(通用版)202x高考数学一轮复习 2.11 函数与方程讲义 文
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第十一节函数与方程
一、基础知识批注——理解深一点
1．函数的零点
(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
二、常用结论汇总——规律多一点
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
三、基础小题强化——功底牢一点
一判一判对的打“√”，错的打“×” (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( )
(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac ＜0时没有零点．( )
(5)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
(二)选一选
1．已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 f (x )
－4
－2
1
4
7
f x A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4)
D ．(4,5)
解析：选B 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )在(2,3)内有零点．
2．函数f (x )＝(x －1)ln(x －2)的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
解析：选B 由x －2>0，得x >2，所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)，所以当f (x )＝0，即(x －1)ln(x －2)＝0时，解得x ＝1(舍去)或x ＝3.
3．函数f (x )＝ln x －2
x
的零点所在的大致区间是( )
A ．(1,2)
B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)
解析：选B 易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－2
3
＞0，得f (2)·f (3)＜0，
故函数f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)．
(三)填一填
4．已知2是函数f (x )＝⎩
⎨⎧
log 2x ＋m ，x ≥2，
2x ，x <2的一个零点，则f [f (4)]的值是________．
解析：由题意知log 2(2＋m )＝0，∴m ＝－1，∴f [f (4)]＝f (log 23)＝23
2log ＝3.
答案：3
5．若函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．
解析：当a ＝0时，函数f (x )＝1在(－1,1)上没有零点，所以a ≠0.所以函数f (x )是单调函数，要满足题意，只需f (－1)f (1)<0，即(－3a ＋1)·(1－a )<0，所以(a －1)·(3a －1)<0，解得
1
3