2018中考专题复习轴对称最值

2015中考专题复习一一轴对称之最值

例题讲解

1. （2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt △ OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（3, 岳，点C 的坐标为（3, 0）,点P 为斜边OB 上的一个动点，则 PA+PC 的最小值为（

）

A

. |：：

B. •

C . - '

D . 2.「

2

~2~

2. （2011?本溪）如图，正方形 ABCD 的边长是4, / DAC 的平分线交DC 于点E ,若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，贝U DQ+PQ 的最小值（ ）

A . 2

B . 4

C . 2 ]

D . 4.::

3.

（2013?宛城区一模）点A , B 均在由边长为1的相同小正方形组成的网格的格点上， 建立平面直角坐标 系

如图所示，若P 是x 轴上使得|PA - PB|的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP+OQ=

（ ） A . 7

B . 4

C . 14

2

3

4. 如图，A 是半圆上的一个二等分点, 径r=1，贝U PA+PB 的最小值是（

6.

如图，MN 是OO 的直径，点A 是半圆上的三等分点，点 B

是劣弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一 动点.若 MN=2 一；贝U PA+PB 的最小值是（ ）

B 是半圆上的一个六等分点，P 是直径MN

上的一个动点，O O 半

使点P 到点A 和点B

(0, 0)

A B

Q -■

(4, 0) B .

(-2, )

5.如图，在平面直角坐标系中，点 的距离之和最小，则点

P 的坐标是（

4) , B (4, 2),在x 轴上取一点P ,

D A

B D

C . (2, 0)

B - ■:

7. 如图，正方形ABCD的面积为16, △ ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P,使PC+PE的和最小，则这个最小值为( )

A . 4

B . 2「；

C . 2

D . 2

& (2013?资阳)如图，在Rt△ ABC中，/ C=90 ° / B=60 °点D是BC边上的点，CD=1，将△ ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，贝U △ PEB的周长的最小值是

9. (2012?青岛)已知：如图，在Rt△ ABC 中，/ C=90° AC=6cm , BC=8cm , D、E 分别是AC、AB 的中点，连接DE,点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，点Q从点B出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动.连接PQ,设运动时间为t (s) (0 v t v 4).解答下列问题：

(1)当t为何值时，PQ丄AB ?

(2)当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y (cm2),求y与t之间的函数关系式；

(3)在(2)的情况下，是否存在某一时刻t，使PQ分四边形BCDE两部分的面积之比为S^ PQE：S五边形PQBCD=1: 29?若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h;若不存在，请说明理由.

10. （2013?南充）如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5方向上，距离5千米处是村庄M ;在

点A北偏东53.5°方向上，距离10千米处时村庄N （参考数据；sin36.5°0.6，cos36.5°0.8，tan36.5°0.75）.

（1）求M , N两村之间的距离；

（2）要在公路AB旁修建一个土特产收购站P,使得M, N两村到P的距离之和最短，求这个最短距离.

11. （2013?日照）问题背景：

如图（a）,点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于I 的对称点B :连接A B与直线l交于点C,则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图（b）,已知，O O的直径CD为4，点A在O O上，/ ACD=30 °, B为弧AD的中点，P为直径CD 上一动点，则BP+AP的最小值为____________________________ .

（2）知识拓展：

如图（c）,在Rt△ ABC中，AB=10 , / BAC=45 ° / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD 和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.

12. （2010?天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴

的正半轴上，OA=3 , OB=4 , D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△ CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

（温馨提示：可以作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E,此时△ CDE的周长是最小的.这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了.）

13. （2010?淮安）（1）观察发现：

如（a）图，若点A, B在直线I同侧，在直线l上找一点P,使AP+BP的值最小.

做法如下：作点 B 关于直线I 的对称点B'，连接AB'，与直线I 的交点就是所求的点 P .再如(b )图，在 等边三角形 ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点P ,使BP+PE 的值最小.

做法如下：作点B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点 P ,

故BP+PE 的最小值为 一_==^. (2)实践运用：

如(c )图，已知 O O 的直径CD 为4, / AOD 的度数为60°点B 是益的中点，在直径 CD 上找一点P , 使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值.

(3) 拓展延伸：

问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.

方法：作点 A 关于直线I 的对称点A',连接A'B 交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明). 模型应用： (1) 如图1，正方形ABCD 的边长为2, E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD ，由正方形对称性 可知，B 与D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P ,则PB+PE 的最小值是 ______________________ ;

(2) 如图2, O O 的半径为2，点A 、B 、C 在O O 上, OA 丄OB ，/ AOC=60 ° P 是OB 上一动点，求PA+PC 的最小值；

(3) 如图3, / AOB=45 ° P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、OB 上的动点，求 △ PQR 周 长的最小值.

14. ( 2009?漳州)几何模型：

条件：如下图，A 、B 是直线I 同旁的两个定点.

加，不必写出作法.

如(d )图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点P ,使/ APB= / APD .