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高中基本不等式的十一类经典题型

类型一：基本不等式的直接运用 类型二：分式函数利用基本不等式求最值 类型三：分式与整式乘积构造的基本不等式 类型四： 1 的妙用

类型五：利用整式中和与积的关系来求最值 类型六：两次运用基本不等式的题型 类型七： 负数的基本不等式 类型八： 化成单变量形式☆ 类型九：与函数相结合

类型十： 判别式法

类型十一：构造

高考真题

10.已知 a

5 1 ，函数 f ( x) a x ，若实数 m 、 n 满足 f (m) f ( n) ，则 m 、 n 的大小

2

关系为

▲ .

[解析 ] 考查指数函数的单调性 .

a

5 1 (0,1)

，函数 f ( x) a x

在 R 上递减 .由 f (m) f (n) 得： m

2

类型一、 基本不等式的直接运用 1 （ 1）求 y

x(4 x)(0 x 4) 的最大值，并求取时的 x 的值 （改 y 2x(4

x) ）

（ 2）求 y

x 4 x 2 (0 x 2) 的最大值，并求取最大值时

x 的值

（ 3）求 y x 4 x 2 ( 0 x 2) 的最大值，并求取最大值时 x 的值

2 x 0, y

0,

1 4

1,

则 xy 的最小值是

x y

3 x 0, y

0,

1

4 1, 则 x y 的最小值是

x y

4 已知 x ， y 为正实数，且

x 2＋

y

2

＝ 1，求 x 1＋ y 2

的最大值

2

5.

f x = （ m 2 ） x 2

+（ n ﹣ 8）x+1（ m ≥ 0，n ≥ 0）在区间 [ ] 上单调递减，

如果函数

（ ） ﹣

则 mn 的最大值为 18 ．

【解答】 解：∵函数 f （x ） = （ m ﹣ 2） x 2

+（n ﹣ 8） x+1（ m ≥ 0， n ≥0）在区间 [

，2] 上

单调递减，

∴f ′（ x ）≤ 0，即（ m ﹣2） x+n ﹣8≤ 0 在 [ ， 2] 上恒成立．

而 y= （ m ﹣ 2）x+n ﹣ 8 是一次函数，在 [

， 2] 上的图象是一条线段．

故只须在两个端点处

f ′（ ）≤ 0， f ′（ 2）≤ 0 即可．即 ，

由② 得 m ≤

（12﹣ n ），

∴mn ≤ n （ 12﹣ n ）≤

=18 ，

当且仅当 m=3，n=6 时取得最大值，经检验 m=3， n=6 满足 ① 和 ② ．

∴mn 的最大值为 18． 故答案为： 18．

类型二、分式函数利用基本不等式求最值

1 设 x

1，求函数 y ( x 5)( x 2)

x

的最值

1

2 已知 x

1，求 y x 2 3x

1

的最值及相应的 x 的值

x 1

3 不等式 2x

2

1的解集为

x 3

类型三、分式与整式乘积构造的基本不等式

1 若 a

b

c ，求使

1

1 k

b b c

恒 成立的 k 的最大值 .

a

a c

2 若 a

0, b

1 1 1，求 a 2b 的最小值

0 且

b b

1

2a

3 函数 y ＝ log a (x ＋ 3)－ 1 (a>0，a ≠ 1)的图象恒过点 A ，若点 A 在直线 mx ＋ny ＋ 1＝ 0 上，其

中 mn>0，则 m 1＋ 2

n 的最小值为 ________ ．

4. 设 x, y

R, a 1,b 1,若 a x

b x 2, a 2

b 4, 则

2

1

的最大值为

x y

5. 求1

1 (0 x

9

) 的最小值x 9 4x 4

6. 已知 x 0, y 0 1 9

x y m 恒成立的实数 m 的取值范围。

且 1 ，求使不等式

x y

7 若且则的最小值为．

8 定义: min{ x, y} 为实数x, y中较小的数.已知 h min{ a,

b

2 } ，其中 a, b 均为正实

2

4b

a

数 ,则h的最大值是 _________.

9 已知a b 2, b 0,

1 | a |

a 的值为？当取得最小值时，

2 | a | b

10.设x, y是正实数 , 则

x y

令分母分别为m,n 来做3x 2 y

的最大值为 ________.

2x 3 y

类型四、 1 的妙用

1 设正实数a,b满足a b

1 a

2, 则当的最小值为

a 2b

2 函数 y

4

9

的最小值是

cos 2 x

sin 2

x

3 已知 a>0， b>0， a ＋ b ＝ 1，求证： 1

1 1

1

a

9 .

b

4 设 0

x 1 ，函数 y 4

1 的最小值为

．

x 1 x

5 设 a

1， b

0 ，若 a b 2 ，则 1

1 2

的最小值为

．

a b

6 已知 x 0, y

0,且 2x 8y xy 0, 则 x y 的最小值为？

7. 已知 ab ＝ 1

， a ， b ∈ (0,1) ，则

1 ＋

2 的最小值为 ________.

4

1－ a 1－ b

解析 (1) 1 ＋ 2 ＝ 1

＋ 2

1－ a

1－ b

1－ a

1

1－ 4a

＝2＋ ( 4 ＋ 2

4－ 4a 4a － 1

)

＝2＋ ( 4 ＋ 2 [ 4－ 4a ＋ 4a － 1 ]

3

4－ 4a 4a － 1)

＝2＋

1 4 4a －1

2 4－ 4a

2＋ ( ＋

)

3 4－ 4a 4a － 1

1

4 4a － 1 2 4－ 4a 4 2

≥4＋

3× 2 4－ 4a ·

4a － 1 ＝ 4＋ 3 ，

当且仅当 4

4a －1 ＝ 2 4－ 4a 时取等号 .

4－4a 4a － 1

类型五：利用整式中和与积的关系来求最值 1 已知 x

0, y 0, x 3y xy 9, 则 x 3y 的最小值为

类型六：两次运用基本不等式的题型

1 设 a

b 0, 则 a 2

1 1 的最小值是

ab

a( a b)

2 若 a

b c 0,

求 2

2

1 1 25c

2 的最小值？

a

ab a 2 10 ac

ab

3 若正实数 x, y, z 满足 x

2

4 y 2

z 3xy, 则当

xy

取得最大值时，

1

1 1 的最大值为

z

x 2 y z