第七章从动件规律与凸轮廓线

凸轮从动件基本运动规律
（有关凸轮机构的部分讲义）
1. 多项式类运动规律
多项式运动规律的一般形式：
其中，
（1） 一次多项式运动规律（等速运动规律） a. 通式：
b. 推程阶段边界条件：
带入通式，可解出：
c. 回程阶段边界条件：。

带入通式，可解出：
O
s φ
B
A
Φ
Φ‘
h
v
O
φ
O
φ
a ∞
∞
-∞
图1 等速运动规律
（2） 二次多项式运动规律（等加速等减速运动规律）
a. 通式：
其中，
b. 推程前半阶段(等加速阶段)边界条件：
带入通式，可解出：
;
推程后半阶段(等减速阶段)边界条件：
带入通式，可解出：
;
c. 回程前半阶段(等加速阶段)边界条件：
带入通式，可解出：
;
回程后半阶段(等减速阶段)边界条件：
带入通式，可解出：
;
O
s
φ
B
A
Φ
Φ‘
Φ/2h/2
v
φ
a
φ
图2 等加速等减速运动规律
（3） 五次多项式运动规律 a.通式：
其中，
b. 推程阶段边界条件：
带入通式，可解出：
;
c. 回程阶段边界条件：
带入通式，可解出：
;
O
s φ
B
A
Φ
Φ‘
h
O
v
φ
O
a
φ
图3 五次多项式运动规律
2. 三角函数类运动规律
（1） 简谐运动规律（余弦加速度运动规律） a.通式：
其中，
b. 推程阶段边界条件：
带入通式，可解出：
; k=
c. 回程阶段边界条件：
带入通式，可解出：
; k=
O
s φ
B
A
Φ
Φ‘
h
O
v
φ
O
a
φ
图4 简谐运动规律
（2） 摆线运动规律（正弦加速度运动规律） a.通式：
其中，
b. 推程阶段边界条件：
带入通式，可解出：
; k=
c. 回程阶段边界条件：
带入通式，可解出：
; k=
O
s φ
B
A
Φ
Φ‘
v
φ
a
φ
图5 摆线运动规律
有关简谐运动
简谐运动（或简谐振动、谐振）既是最基本也是最简单的一种机械振动。

当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且力总是指向平衡位置。

有关摆线
摆线（Cycloid ）：当一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。

摆线时最速降线问题的解。

1. 摆线研究历史
摆线的研究最初开始于Nicholas of Cusa ，之后梅森 (Marin Mersenne) 也有针对摆线的研究。

1599年伽利略为摆线命名。

1634年G.P. de Roberval 指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。

1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。

在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(The Helen of Geometers)。

2. 最速降线问题
在重力作用且忽略摩擦力的情况下，一个质点在一点A 以速率为零开始，沿某条曲线，去到一点不高于A 的B ，怎样的曲线能令所需的时间最短呢？这就是最速降线问题，又称最短时间问题、最速落径问题。

这条线段就是摆线，可以用
变分学求证。

凸轮轮廓曲线的设计
一、尖顶直动从动件凸轮轮廓曲线
s r r +=0
又：θj re r = （蓝色）
)(000ϕ-=j e r r ， )2(000000
ϕπ
θ-==j j e r e r r
)2(ϕπ
-=j se s 00cos r e =θ， 0102
cos
ϕπθ-==-r e
)2
()
(002
ϕπ
ϕϕ
θπ---+=j j j se
e
r re
尖顶直动从动件凸轮的实际廓线：
θcos =x )cos()cos(2020ϕϕϕπ
π-+--=s r ϕϕϕsin )sin(00s r ++=
θsin =y )sin()sin(2020ϕϕϕπ
π-+--=s r ϕϕϕcos )cos(
00s r ++=
二、滚子直动从动件凸轮轮廓曲线
对于滚子从动件凸轮机构，可将尖顶从动件的凸轮廓线看成理论廓线，滚子从动件凸轮
的实际廓线是圆心位于理论廓线上的一系列滚子圆簇的包络线，包络线有两条，分别对应于外凸轮和内凸轮的实际廓线。

（参见课本P123）
⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=0),,(0),,(λλ
λy x F y x F 包络原理：上式是曲线簇，下式为包络条件。

2
22)()(r r y Y x X =++- => ⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂=-++-=0
),,(0
)()(),,(222ϕϕϕY X F r y Y x X Y X F r
实际廓线：⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎪⎪⎨⎧
+=+±=2222)()()()(ϕϕϕϕϕϕd dy
d dx d dx
r
y Y d dy d dx d dy r x X r r
上面一组符号，内包络，外凸轮； 下面一组符号，外包络，内凸轮； X ，Y 为包络线的坐标
三、平底直动从动件凸轮轮廓曲线
方法一：
b s r r ++=0
)0()(02
)(ϕϕθ
π--++=j j j be e
s r re
（红色）
∵ϕ
ω
d ds
v
OP b =
== （P ：为瞬心）
θcos =x )cos()cos()(20ϕϕϕπ-+
-+=d ds s r ϕϕ
ϕcos sin )(0d ds
s r ++= θsin =y )sin()sin()(20ϕϕϕπ-+-+=d ds s r ϕϕ
ϕsin cos )(0d ds s r -+=
方法二：包络线法
平底直线方程：
q px y +=q xtg +-=)(ϕπq x tg +⋅-=ϕ
B ''的坐标：
)(002)(ϕπ-''+=+=j B e s r s r r
∴)cos()(20ϕπ-+=''s r x B ϕsin )(0s r += )sin()(20ϕπ-+=''s r y B ϕcos )(0s r += 带入平底直线方程，得 ϕ
cos 0s
r q +=
∴平底直线簇：ϕ
ϕϕϕcos )
(sin cos 00s r x s r x tg y ++-=++
⋅-= ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==∂∂=+-+=0
cos sin 00
)(sin cos ),,(0ϕϕϕϕ
ϕϕϕd ds x y F s r x y y x F
∴ ϕϕ
ϕcos sin )(0d ds
s r x +
+= ϕϕ
ϕsin cos )(0d ds
s r y -+= 与方法一的结果相同。

四、尖顶--滚子摆动从动件凸轮轮廓曲线
l a r +=
)2
3(
)
(02
ψϕψπ
ϕθπ
----+=j j j le
ae
re （红色）
θcos =x )23cos(
)cos(02ψϕψπ
ϕπ---+-=l a )sin(sin 0ψϕψϕ++-=l a θsin =y )2
3sin()sin(02
ψϕψπ
ϕπ---+-=l a )cos(cos 0ψϕψϕ++-=l a 理论廓线： )sin(sin 0ψϕψϕ++-=l a x
)cos(cos 0ψϕψϕ++-=l a y al
r l a 2cos 2
221
0-+=-ψ
实际廓线： 2
22)()(r r y Y x X =++-
⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂=0
0),,(ϕϕF Y X F
与直动滚子从动件的形式相同，（ϕd dy ，ϕ
d dx
不同）。

五、平底摆动从动件凸轮轮廓曲线
b l a r ++=
)23()(02)(ψϕψπϕθπ-----+=j j j e b l ae re （红色）
θcos =x )2
3cos(
)()cos(02ψϕψπϕπ----+-=b l a θsin =y )23sin()()sin(02ψϕψπϕπ----+-=b l a )sin()(sin 0ψϕψϕ++--=b l a x
)cos(
)(cos 0ψϕψϕ++--=b l a y AP OP ⋅=⋅ψω （P ：为瞬心） => ϕ
ψd d a
AP +=1
a AP OP =+ )cos(0ψψ+=AP AB
AB l b -= ϕψψψψd d a a AB l b ++-
=-=1)cos(cos 00。