《数学分析I》教学大纲

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数学分析教学大纲

数学分析教学大纲
一、教学目的
1、掌握分析几何的基本概念，具有对函数概念的基本认识，了解函
数的定义、表示法、域、值、图象等；
2、掌握分析几何的基本知识，能解决简单的函数的图标、极限、极
值问题，以及函数的导数问题；
3、具有良好的文字描述、符号说明及图形表示函数的能力，培养学
生从多个角度和不同维度思考问题的能力；
4、学会利用科学计算器和其它数学软件进行计算和研究，使学生能
够熟练地使用科学计算器进行科学计算。

二、教学内容
1、简介分析几何：了解概念、表示法、域、值、图象及其基本结构等；
2、基本概念：函数、上下界、定义域、值域、函数的增减性、单调性、奇偶性、周期性等；
3、函数的图象：定义域和值域的概念，绘制函数图象的方法，求函
数图象上特定点的特征；
4、极限：极限的概念，求函数极限的方法，利用极限解决实际问题；
5、极值：求函数极值的方法，利用极值解决实际问题；
6、导数：函数的导数的概念，求函数导数的方法，利用导数解决实
际问题；
7、科学计算器的应用：熟练操作科学计算器，掌握函数和曲线的绘制技术。

《数学分析1》课程教学大纲

《数学分析1》课程教学大纲课程名称数学分析1课程编码131500001 课程类型学科基础课程库适用范围院级课程学分数 4 先修课程初等数学学时数64 其中实验学时其中实践学时考核方式考试制定单位数学与信息科学学院执笔者审核者一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。

本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期），是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程。

本课程以经典微积分为主体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。

本课程的任务是使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识，使学生获得数学思想，使学生获得数学的逻辑性、严密性方面的严格训练，使学生掌握近代数学的方法、技巧，使学生获得初步应用的能力,为后续课程的学习乃至毕业后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础。

（二）教学目的和要求本课程教学目的是通过系统的学习和严格的训练，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能力与技巧，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

在教学基本要求上分为三个档次，即了解、理解和掌握。

1、掌握——能联系几何与物理的直观背景，从正反两方面理解基本概念；熟练运用基本理论进行推理论证和分析问题；熟练运用基本方法、灵活运用基本技巧进行运算和解决应用问题。

包括实数与函数、各类极限、连续、（偏）导数、（全）微分、各类正常积分、数项级数和幂级数有关概念、性质、计算及应用。

2、理解——能从正面理解基本概念；能应用和了解如何证明基本理论；能掌握基本方法解决问题，但不要求很熟练和技巧性。

数学分析与习题课教学大纲

《数学分析I》课程教学大纲（本课程周课时数为5，共85课时，此外每周还有2课时的习题课）课程编号：MAAB1101课程类别：大类基础课授课对象：数学与应用数学基地、数学与应用数学师范、信息与计算科学、统计专业开课学期：秋季，第1学期学分：5学分指定教材：1、华东师范大学数学系，《数学分析（下）》（第三版），高等教育出版社，2003年2、谢惠民，《数学分析讲义》（第一册），自编一、教学目的数学分析课程是是数学专业最重要的基础课，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。

课程的其特点是：学习时间的跨度很大，一般是三个学期，内容极为丰富。

《数学分析I》课程是基础，其基本的内容为极限和连续理论、一元微分学。

课程的教学目的是通过系统的数学训练，使学生进一步提高数学修养，特别是分析的修养，积累从事进一步学习所需要的数学知识，掌握数学的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

二、课程内容第一章、引论（5 课时）1. 集合；2. 实数的连续性实数的一些描述方法。

3. 数集与确界确界的描述、确界原理及其应用；4. 逻辑记号的对偶法则逻辑记号的对偶法则；用逻辑记号叙述否命题；5. 常用不等式三角不等式、Bernoulli不等式、平均值不等式、Cauchy不等式。

.第二章、数列极限（20课时）1. 数列极限的定义数列极限的ε－N语言和邻域语言。

2. 数列极限的计算适当放大法；发散数列；一些重要例子；Cauchy命题和Stolz定理。

3. 单调数列的极限单调有界定理、闭区间套定理及其应用；4. Cauchy收敛准则用Cauchy收敛准则描述极限存在和不存在；5. 子列及其应用.子列的概念、它与收敛发散的关系及其应用。

第三章、映射与函数（2课时）1.映射；2. 一元实函数；3. 函数的几何特性草图的画法（如两个函数和的草图等）；有界函数、单调函数、反函数、奇偶函数和周期函数的特性。

第四章、函数极限与连续性（10课时）1. 函数极限的定义与性质,函数极限的定义、性质和几个重要的函数极限；三种存在性条件（Heine归结原则；单调有界函数的收敛定理；Cauchy准则），能有选择地应用。

《数学分析》教学大纲

《数学分析》教学大纲《数学分析》教学大纲一、课程概述《数学分析》是数学专业的一门重要基础课，它旨在为学生提供深入的数学分析知识和技能，为后续的高级数学课程打下坚实的基础。

本课程的目标是培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。

二、课程目标1、理解并掌握数学分析的基本概念、原理和方法，包括极限、导数、微分、积分等。

2、理解并掌握数学分析中的一些重要定理和公式，包括微积分基本定理、泰勒定理、格林公式等。

3、培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力，使学生能够运用所学的数学分析知识解决复杂的数学问题。

4、培养学生的自学能力，使学生能够自主地学习新的数学分析知识和技能。

三、课程内容1、数列的极限、函数的极限、连续函数、导数、微分、不定积分、定积分、级数、泰勒定理等基本概念和原理。

2、微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、导数的应用、积分的应用、多元函数的微分和积分等进阶内容。

3、一些重要的数学分析方法和技巧，包括无穷级数、瑕积分、傅里叶分析、微分方程等。

4、数学分析在其他领域中的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。

四、课程安排本课程分为两个学期，每个学期为36个学时，每个学时为45分钟。

每周安排4个学时，共12周。

五、教学方法本课程采用讲授、演示、练习、讨论等多种教学方法，使学生能够更好地理解和掌握数学分析知识。

六、作业和考试本课程要求学生完成一定数量的作业，包括课堂练习和课外作业。

作业内容主要是针对课堂讲授的知识和技能进行练习和巩固。

考试形式为笔试，考试内容主要是针对学生掌握的数学分析知识和技能进行测试。

七、教师队伍本课程的教师队伍由具有丰富教学经验和深厚数学分析知识的教授和副教授组成，他们将为学生提供全面的教学支持和指导。

八、教学资源本课程将提供各种教学资源，包括教材、参考书籍、网上资料、教学视频等，以帮助学生更好地学习和掌握数学分析知识和技能。

九、课程评估本课程的评估将采用多种方式进行，包括作业、考试、课堂表现等。

数学分析(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)教学大纲

数学分析（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）课程教学大纲课程名称：数学分析（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）Mathematical Analysis（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）课程编码：Z110010、Z110063、Z110064总学时/总学分：336/21 理论学时/理论学分：336/21实验学时/实验学分：0适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学开课单位：师范学院一、课程性质及目的1、课程性质：本课程是数学与应用数学专业的普通教育必修课。

2、课程目的：本课程是数学专业的一门重要的基础课，它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识。

它是进一步学习复变函论、常微分方程、概率论与数理统计、实变函数论等后续课程的阶梯，并为深入理解中学数学知识打下基础。

二、课程内容及要求（一）章节内容与学时分配1、实数集与函数（10学时：讲授课6学时，习题课4学时）主要内容：（1）绝对值与不等式，确界原理实数性质概述，实数绝对值的性质与运算，确界概念，确界原理（2）函数函数概念几种特殊类型的函数，函数的四则运算，复合函数，基本初等函数，初等函数。

2、数列极限（12学时：讲授课8学时，习题课4学时）主要内容：（1）数列极限定义与性质数列极限ε-N定义收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性。

数列极限的四则运算（2）数列极限存在条件，数列的单调有界法则，柯西由敛准则，重要极限 3、函数极限（16学时：讲授课12学时，习题课4学时）主要内容：（1）函数极限的M -ε定义和δε- 定义，单侧极限，函数极限的性质：唯一性、局部保号性、保存不等式性质、迫敛性（2）函数极限存在条件，两个重要极限海涅定理（归结原则），柯西收敛准则，两个重要极限（3）无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义、性质，无穷小（大）量阶的比较 4、函数的连续性（12学时：讲授课8学时，习题课4学时）主要内容：（1）函数在一点连续性定义与性质函数在一点连续，单侧连续和区间上连续的定义，间断点的类型连续函数的局部性质，复合函数的连续性，反函数的连续性闭区间上连续函数的性质：最大（小）值性、有界性、介值性（2）一致连续性与初等函数的连续性一致连续定义，初等函数的连续性5、导数与微分（18时：讲授课12学时，习题课6学时）主要内容：（1）导数概念导数定义（包括单侧导数，无穷大导数），导数的几何意义、导函数（2）求导法则与求导公式导数四则运算、反函数导数、复合函数导数，求导法则与求导公式（3）微分与高阶导数微分概念、微分基本公式，微分法则，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，高阶导数与高阶微分，参数方程所确定的函数的导数6、微分中值定理及其应用（26学时：讲授课18学时，习题课8学时）主要内容：（1）微分中值定理罗尔定理，拉格朗日定理，函数的单调性。

《数学分析Ⅰ》教学大纲

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灵活使用这些定理的技巧。正确理解“ ” ，“ ”等不定型的含义及不确定性。
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理解数列的“确界”与“极限”Байду номын сангаас关系。
3.教学重点和难点
教学重点是数列极限的定义，数列极限的计算，迫敛性定理, 单调有界定理, 数列极
限的柯西收敛准则，用子列刻划数列的收敛性。教学难点是数列极限的柯西收敛准则。
4.教学内容
第三节初等函数连续性
1. 指数函数的连续性 2. 初等函数的连续性
第五章导数和微分
1.教学基本要求
理解函数导数和微分的定义和几何意义，熟练掌握求导和求微分的方法。
2.要求学生掌握的基本概念、理论、方法
深刻理解导数的定义与几何意义。深刻理解微分的定义与几何解释;以及一阶微分形式不变性的确切含义.熟练掌握求导,求微分的方法。掌握用单侧导数的定义求出函数在一些特殊点处的导数，掌握说明函数在该点的导数不存在的方法。
3.教学重点和难点
教学重点是连续性的概念，闭区间上连续函数的基本性质，一致连续性。教学难点是一致连续性。
4.教学内容第一节连续性概念
1. 函数在一点的连续性 2. 间断点及其分类 3. 区间上的连续函数
第二节连续函数的性质
1. 连续函数的局部性质 2. 闭区间上连续函数的基本性质 3. 反函数的连续性 4. 一致连续性
五、主用教材及参考书
（一）主用教材：
《数学分析》（上、下册）（第四版）主编：华东师范大学数学系出版社：高等教育出
版社出版或修订时间：2010 年。
（二）参考书：
1. 《数学分析》（上、下册）（第三版）主编：复旦大学数学系出版社：高等教育出
版社出版或修订时间：1992 年。

数学分析Ⅰ教学大纲(试行草案) (3)

数理与信息科学学院统计学专业课程教学大纲数学分析Ⅰ教学大纲（试行草案）（ 2006年8月试行）课程代码：P4010114001 一、说明（一）课程性质《数学分析Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程，以一元微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础，也是高观点下深入理解中学教学内容的基础．在第1学期开设．（二）教学目的通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微分学内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程（复变函数、变实函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透对学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练．（三）教学内容集合与映射、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中值定理及其应用、实数系的连续性．（四）教学时数及学分 102学时．学分：5分二、本文一实数集与函数（10学时）[[教教学学要要点点]]集合、映射与函数的概念，一元函数的定义表示及初等函数的定义，函数的简单特性．非空数集上（下）确界的概念．[[教教学学内内容容]]1 实数实数及其性质；绝对值与不等式． 2 数集与确界原理集合的概念、运算、Descartes 乘积集合．区间、邻域、数集的上（下）界与最大（小）值的概念．上确界与下确界、确界存在原理．3 映射与函数映射、一元实函数、函数的表示、几个常见的特殊函数、函数的运算、基本初等函数、初等函数． 4 具有某些特性的函数函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性．二数列极限(16学时)[[教教学学要要点点]]本段为整个课程的基础，数列极限的定义、性质、四则运算、无穷大量、无穷小量、待定型。

运用单调有界原理和Cauchy 收敛准则对数列的敛散性进行一般基本的分析和应用．[[教教学学内内容容]]1 数列极限概念数列、数列极限的定义及其应用数列极限的定义证明数列极限． 2 收敛数列的性质收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保序性，无穷小量以及无穷小量的基本性质，数列极限的四则运算，迫敛性．无穷大量的定义、无穷大量与无穷小量的关系，待定型．子列、收敛子列定理．3 数列极限存在的条件单调数列、单调有界定理．基本列、Cauchy 收敛准则．三函数极限(16学时)[[教教学学要要点点]]函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系，单侧极限、Heine 归结原则、Cauchy 收敛准则．两个重要极限，无穷小量与无穷大量及其阶的比较．[[教教学学内内容容]]1 函数极限概念x 趋于无穷大时函数的极限，x 趋于某一定数时函数的极限，单侧极限．2 函数极限的性质函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四则运算．无穷小量、无穷大量的定义及其无穷大量与无穷小量的关系．函数极限定义的推广．复合函数的极限．3 函数极限存在的条件Heine 归结原则．单侧极限存在定理，Cauchy 收敛准则． 4 两个重要极限两个重要极限的推导及其应用． 5 无穷小量与无穷大量的阶无穷小量的比较、高阶、同阶、等价无穷小量，无穷大量的比较、高阶、同阶、等价无穷大量，等价量、等价量的代换．四函数的连续性(14学时)[[教教学学要要点点]]连续函数的定义、间断点的类型、连续函数的四则运算、反函数的连续性、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质、一致连续的概念．[[教教学学内内容容]]1 连续性概念连续函数的定义、单侧连续，间断点的类型，区间上的连续函数． 2 连续函数的性质连续函数的四则运算，连续函数的局部性质，反函数连续性定理、复合函数的连续性．闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、根的存在定理、一致连续性及闭区间上连续函数的一致连续性的Cantor 定理．3 初等函数的连续性指数函数的连续性，基本初等函数的连续性，初等函数的连续性．五导数与微分(14学时)[[教教学学要要点点]]导数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用，微分的定义、一阶微分形式的不变性、高阶导数和高阶微分及运算法则， Leibniz 公式．[[教教学学内内容容]]1 导数概念导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、导函数、单侧导数，可导与连续的关系．用定义求导数． 2 求导法则求导的四则运算、反函数求导法则，复合函数求导法则——链式法则．基本求导公式，基本初等函数的导数．双曲函数的导数． 3 微分微分的历史背景、微分的定义、微分的几何意义、微分的运算性质、一阶微分形式的不变性、近似计算与误差估计． 4 高阶导数和高阶微分高阶导数的定义、运算、Leibniz 公式、高阶微分的概念． 5 参量方程所确定的函数的导数六微分中值定理与不定式极限(20学时)[[教教学学要要点点]]微分中值定理、Taylor 公式及其应用， L`Hospital 法则并应用极限计算．用导数判断函数单调性、极值、最大值和最小值的方法，函数凸性和拐点的定义、函数的凸性条件推导和证明、函数的凹凸性和拐点的判定，应用函数的单调性和凸性证明不等式，函数的渐近线、函数作图．[[教教学学内内容容]]1 微分中值定理极值、Fermat 引理、Rolle 中值定理、Lagrang e 中值定理、Cauchy 中值定理．函数的单调性与单调区间、运用不等式原理证明不等式．2 L` Hospital 法则待定型极限、L` Hospital 法则、00型、∞∞型、∞-∞型、∞⋅0型、0∞型、∞1型、00型的极限． 3 Taylor 公式Taylor 中值定理、Taylor 公式及其Peano 型余项、Lagrange 型余项、Cauchy 型余项．Maclaurin 公式，Taylor 公式的应用、近似计算、求极限．3 函数的极值函数极值、最大值和最小值，最值问题． 4 函数的凸性和拐点函数凸性和拐点的概念，函数凸性和拐点存在的各种条件，Jessen 不等式、运用函数的凹凸性证明不等式． 5 函数图像的讨论函数的渐进线，运用函数的各种几何性态描述函数的图像．七极限与连续性（续）( 12学时)[[教教学学要要点点]]在第二、三、四部分我们讨论了极限存在的各种条件，本部分是在上述讨论的基础上通过讨论实数系的连续性继续详细讨论极限存在的各种条件及其内在联系，本段的内容主要包括Cantor 闭区间套定理、聚点、Bolzano-Weierstrass 聚点定理、Heine —Borel 有限覆盖定理的证明和应用，及其运用上述定理证明闭区间上连续函数的性质．[[教教学学内内容容]]1 实数完备性的基本定理Cantor 闭区间套定理及其‘闭区间套技术’、Cauchy 收敛准则、Weierstrass 聚点定理、致密性定理、Heine —Borel 有限覆盖定理及其‘有限覆盖技术’，实数完备性的基本定理的等价性的讨论与推导． 2 闭区间上连续函数性质的证明运用上节定理证明闭区间上连续函数的性质—有界性、最大值和最小值、介值性与根的存在定理、一致连续的Cantor 定理．三、参考书目1、华东师范大学数学系。

数学与应用数学专业学科必修课程教学大纲数学分析I

数学与应用数学专业学科必修课程教学大纲数学分析I一﹑说明课程性质本课程是专业核心课程，是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也为高观点下深入理解中学教学内容所必需。

教学目的通过本课程的学习，使学生掌握一元函数极限、连续以及微分学的内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ、及分析学系列课程（复变函数、实变函数、微分方程、泛函分析等）及数学专业其它后继课程打好基础，并自然地渗透了对学生进行逻辑和数学抽象思维的特殊训练。

教学内容实数集与函数、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中值定理及其应用、实数完备性、不定积分。

教学时数108学时教学方式讲授与课堂讨论法相结合二﹑本文第一章实数集与函数教学要点：实数集的性质；有界集、上、下确界的定义与性质；确界原理；有界、无界函数的定义；单调函数的定义与性质。

教学时数：10 学时教学内容：§1实数（2学时）实数及其性质；绝对值与不等式§2 数集·确界原理（4学时）区间与邻域；有界集的定义；上确界、下确界的定义与性质；确界原理；求解集合的上、下确界§3 函数概念（2学时）函数定义的进一步讨论；函数的表示方法；Dirichlet 函数、Riemann 函数的定义；复合函数的定义与性质；反函数、初等函数的定义。

§4 具有某些特性的函数（2学时）有界函数的定义；无界函数的定义；单调函数的定义与性质；奇函数、偶函数的定义与性质；周期函数的定义。

考核要求：熟练掌握上确界、下确界的定义，会运用上、下确界的定义证明或求解集合的上、下确界；掌握确界原理的定义；能运用有界函数、无界函数的定义证明函数的有界性与无界性。

第二章数列极限教学要点：数列极限的定义；收敛数列的性质；单调有界原理；Cauchy 收敛准则。

教学时数：15学时教学内容：§1数列极限的概念（6学时）收敛数列的N 定义，邻域型定义；发散数列的定义；运用收敛数列的定义证明数列的极限；无穷小数列；无穷大数列。

数学分析1教学大纲

《数学分析1》课程教学大纲课程代码：090131101课程英文名称：Calculus 1课程总学时：72 讲课：72 实验：0 上机：0适用专业：信息与计算科学大纲编写（修订）时间：2017.11一、大纲使用说明（一）课程的地位及教学目标本课程是信息与计算科学专业的一门重要专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得本课程的基本内容和基本的思想方法，培养学生的抽象思维能力、分析问题和解决问题的能力，是进一步学习概率论、数值分析、常微分方程等后继课程的基础。

通过本课程的学习，学生将达到以下要求：1．获得证明一些问题的能力。

如数列极限的存在性；一点处连续、可微的判别；特殊点的存在性；不等式的证明等等。

2．掌握计算一些问题的方法。

如极限证明中的不等式放缩法；极限计算的洛必达法则，等价无穷小代换；导数计算中的链式法则；积分计算中的换元法，分部积分法等等。

3．学习辨析一些问题的思维。

如一元函数与多元函数的联系与区别；一致连续与连续的联系与区别；闭区间上连续函数的性质当区间变成开区间时需要什么条件得以保持；积分上限函数在理解微分与积分的联系中的重要性如何体现等等。

（二）知识、能力及技能方面的基本要求1. 基本知识：要求学生掌握一元微积分中的基本概念，包括无穷小、极限、连续、微分、积分等等；一元微积分中的基本定理，包括极限的存在准则，连续与可微的关系，微分中值定理与积分中值定理，实数的连续性定理等等；一元微积分中的典型的分析方法，包括极限的证明，有界性的证明，连续与可微性的证明，特殊点的存在性证明，不等式的证明等等；一元微积分中的计算方法，包括极限、导数、极值、最值计算等等。

2. 基本能力：培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；用数学分析的语言叙述表达自己思想的能力；使学生掌握解决数学中的其它问题以及其它实际问题的能力。

3. 基本技能：使学生获得数学分析的基本运算和证明技能。

（三）实施说明1．本大纲主要依据信息与计算科学专业2017-2020版教学计划、信息与计算科学专业建设和特色发展规划和沈阳理工大学编写本科教学大纲的有关规定及全国通用《数学分析教学大纲》并根据我校实际情况进行编写的。