概统第十二章假设检验第二节正态总体显著性水平.
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三、
正态总体的显著水平检验
一个正态总体
ch8-1
（1）关于 的检验
拒绝域的推导 给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn ) 设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验： H0 : 0 ； H 1 : 0 构造统计量
X 0 Z ~ N (0,1) n
P(拒绝HH H0H 为真 0|0 0 )
u
ch8
x 0
0
950 1000 n 25 2.5. 100
14
由于 z 2.5 1.645 u0.95 故拒绝原假设 H 0 认为此批元件的平均寿命偏低，即不合格。
ch8
15
T 检验法 (2 未知)
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
百度文库
1 2
X 0
Z u1
0
> 0
Z u1
强度 X ~ N ,402 ，单位：N / cm2 。 从一
例1 假定某厂生产的一种钢索的断裂
批该产品中任选一个容量为 9 的样本，经计
算得 x 780N / cm2 ，能否据此样本，认为这 批钢索的断裂强度为 800N / cm2 0.05?
ch8 6
u1 u 0.975 1.96 ，因此检验的拒绝域为
2
R Z 1.96 .
X 800 780 800 z 9 9 1.5. 40 40
计算统计量 U 的观察值
因为 z 1.5 1.96 ，故接受原假设 H 0 。 即认为这批钢索的平均断裂强度为 800N / cm2 是可以接受的。
o
图12—3
12
ch8
该检验称之为左方单侧检验。 例2 某种电子元件，要求使用寿命不 得低于1000 h 。现从一批这种元件中随机
抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命 x
950 h ，设该元件的寿命 X ~ N ,1002 , 在 0.05 的检验水平下，确定这批元件是 否合格？ 解 本例是单侧检验问题。即在
0 0 0
0
T
X 0 S
*
T t
1
2
< 0 > 0
n ~ t ( n 1)
T t1
T t1
t x; n
2
2
t1
2
o
t1
x
2
图示12-4为t检验法的拒绝域(双侧)
ch8
17
例1 从经验知，灯泡的寿命服从正态分 布，现从一批灯泡中随机抽取 20 个，算得 平均寿命 x 1900 h ，样本标准差 s 490 h 检验该批灯泡的平均寿命是否为2000h 0.01？ 解 这是一个正态总体，方差未知，对 总体均值 是否为2000h 的检验问题。因此
下，检验假设
ch8
0.05
13
H0 : 1000;
H1 : 1000.
对于 0.05 ，查正态分布表得 u1 u0.95 1.645.
u1 u0.95 u0.95 1.645 因此，
从而该检验的拒绝域
W Z 1.645
计算统计量 Z 的观察值
H1 : 0 .
对于检验水平 ，查正态分布表得 u1 ， 由于 u1 u1 ，使统计量
ch8 11
Z 满足
PZ u1
W Z u1 .
x
（ 3） （ 4）
如图12—3所示，由（7）式得检验的拒绝域为
x
u1
ch8 7
上述检验中的拒绝域 W { Z u1 } 是双
2
侧的即 Z u1
2
2
或 Z u1 ，也即统计量 Z
2
落入 ( ,u1 ) 和 ( u1 , ) 的概率之和为
2 2
2
因此检验称为双侧检验。
实际应用中，有时只关心总体均值是否
ch8 5
解 由题中所给条件，可知这是一个正态 总体，且方差已知 2 402 ，对均值 是否
等于 800 进行检验的问题。即检验假设
H0 : 800 ;
H 0 为真时，统计量
H1 : 800.
X 800 Z 9 ~ N 0 , 1 40
对于显著性水平 0.05 ，查正态分布表得
ch8-2
P ( X 0 k 0 ) PH 0 ( X 0 k )
X 0 X 0 k u 1 ) PH 0 ( ) PH 0 ( 2 n n n
取 k u 1
所以本检验的拒绝域为
2
n
0： Z u 1
采用 t 检验法进行检验。要检验假设
H 0 : 2000;
ch8
H1 : 2000.
18
对于检验水平 0.01 。因为自由度 n 1 19，
增大（或减小）。比如，经过工艺改革后，材
料的强度是否比以前提高，这时，考虑的问题
ch8 8
是在新工艺下，总体均值 是否比原来总体 均值大，即要检验假设
H0 : 0 ; H0 : 0 ;
H1 : 0 . H1 : 0 .
可以证明，它和假设检验问题 在同一显著性水平 下的检验法是一样的。 下面我们只考虑后者的情形。 类似于前面的讨论，用统计
2
Z 检验法
x
2
2
u1
2
o
u1
x
2
图示12-1为Z检验法的拒绝域 (双侧)
ch8 3
Z 检验法 (
2
已知)
ch8-4
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0为真时的分布 H0 H1
拒绝域
0 0
0 < 0
~ N (0,1) n Z
Z u
ch8 9
量 Z ，对于检验水平 ，查正态分布表得
u1 使
PZ u1
（ 1）
如图12—2所示，由（1）式得检验的拒绝域为
W { Z u1 }
（ 2）
该检验称之为右方单侧检验。
ch8 10
x
o
图12—2
u1
x
类似地，检验假设
H 0 : 0 ;
正态总体的显著水平检验
一个正态总体
ch8-1
（1）关于 的检验
拒绝域的推导 给定显著性水平与样本值(x1,x2,…,xn ) 设 X ~N ( 2)，2 已知，需检验： H0 : 0 ； H 1 : 0 构造统计量
X 0 Z ~ N (0,1) n
P(拒绝HH H0H 为真 0|0 0 )
u
ch8
x 0
0
950 1000 n 25 2.5. 100
14
由于 z 2.5 1.645 u0.95 故拒绝原假设 H 0 认为此批元件的平均寿命偏低，即不合格。
ch8
15
T 检验法 (2 未知)
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0 H1 H0为真时的分布 拒绝域
百度文库
1 2
X 0
Z u1
0
> 0
Z u1
强度 X ~ N ,402 ，单位：N / cm2 。 从一
例1 假定某厂生产的一种钢索的断裂
批该产品中任选一个容量为 9 的样本，经计
算得 x 780N / cm2 ，能否据此样本，认为这 批钢索的断裂强度为 800N / cm2 0.05?
ch8 6
u1 u 0.975 1.96 ，因此检验的拒绝域为
2
R Z 1.96 .
X 800 780 800 z 9 9 1.5. 40 40
计算统计量 U 的观察值
因为 z 1.5 1.96 ，故接受原假设 H 0 。 即认为这批钢索的平均断裂强度为 800N / cm2 是可以接受的。
o
图12—3
12
ch8
该检验称之为左方单侧检验。 例2 某种电子元件，要求使用寿命不 得低于1000 h 。现从一批这种元件中随机
抽取25 件，测其寿命，算得其平均寿命 x
950 h ，设该元件的寿命 X ~ N ,1002 , 在 0.05 的检验水平下，确定这批元件是 否合格？ 解 本例是单侧检验问题。即在
0 0 0
0
T
X 0 S
*
T t
1
2
< 0 > 0
n ~ t ( n 1)
T t1
T t1
t x; n
2
2
t1
2
o
t1
x
2
图示12-4为t检验法的拒绝域(双侧)
ch8
17
例1 从经验知，灯泡的寿命服从正态分 布，现从一批灯泡中随机抽取 20 个，算得 平均寿命 x 1900 h ，样本标准差 s 490 h 检验该批灯泡的平均寿命是否为2000h 0.01？ 解 这是一个正态总体，方差未知，对 总体均值 是否为2000h 的检验问题。因此
下，检验假设
ch8
0.05
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H0 : 1000;
H1 : 1000.
对于 0.05 ，查正态分布表得 u1 u0.95 1.645.
u1 u0.95 u0.95 1.645 因此，
从而该检验的拒绝域
W Z 1.645
计算统计量 Z 的观察值
H1 : 0 .
对于检验水平 ，查正态分布表得 u1 ， 由于 u1 u1 ，使统计量
ch8 11
Z 满足
PZ u1
W Z u1 .
x
（ 3） （ 4）
如图12—3所示，由（7）式得检验的拒绝域为
x
u1
ch8 7
上述检验中的拒绝域 W { Z u1 } 是双
2
侧的即 Z u1
2
2
或 Z u1 ，也即统计量 Z
2
落入 ( ,u1 ) 和 ( u1 , ) 的概率之和为
2 2
2
因此检验称为双侧检验。
实际应用中，有时只关心总体均值是否
ch8 5
解 由题中所给条件，可知这是一个正态 总体，且方差已知 2 402 ，对均值 是否
等于 800 进行检验的问题。即检验假设
H0 : 800 ;
H 0 为真时，统计量
H1 : 800.
X 800 Z 9 ~ N 0 , 1 40
对于显著性水平 0.05 ，查正态分布表得
ch8-2
P ( X 0 k 0 ) PH 0 ( X 0 k )
X 0 X 0 k u 1 ) PH 0 ( ) PH 0 ( 2 n n n
取 k u 1
所以本检验的拒绝域为
2
n
0： Z u 1
采用 t 检验法进行检验。要检验假设
H 0 : 2000;
ch8
H1 : 2000.
18
对于检验水平 0.01 。因为自由度 n 1 19，
增大（或减小）。比如，经过工艺改革后，材
料的强度是否比以前提高，这时，考虑的问题
ch8 8
是在新工艺下，总体均值 是否比原来总体 均值大，即要检验假设
H0 : 0 ; H0 : 0 ;
H1 : 0 . H1 : 0 .
可以证明，它和假设检验问题 在同一显著性水平 下的检验法是一样的。 下面我们只考虑后者的情形。 类似于前面的讨论，用统计
2
Z 检验法
x
2
2
u1
2
o
u1
x
2
图示12-1为Z检验法的拒绝域 (双侧)
ch8 3
Z 检验法 (
2
已知)
ch8-4
原假设 备择假设 检验统计量及其 H0为真时的分布 H0 H1
拒绝域
0 0
0 < 0
~ N (0,1) n Z
Z u
ch8 9
量 Z ，对于检验水平 ，查正态分布表得
u1 使
PZ u1
（ 1）
如图12—2所示，由（1）式得检验的拒绝域为
W { Z u1 }
（ 2）
该检验称之为右方单侧检验。
ch8 10
x
o
图12—2
u1
x
类似地，检验假设
H 0 : 0 ;