大学物理第19章习题解答
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1 4 4 1 4
19－3：(1)
最大动能：
( Ek ) max = hν − A = h
c −A λ
6.63 × 10−34 × 3 × 108 −19 = − 4.2 × 1.6 × 10 2 × 10−7 = 3.225 × 10−19 J ≈ 2eV
1
eU = ( Ek ) max
−19 ( E ) 3.225 × 10 k max (2) ∴U = = = 2V E 1.6 × 10−19
∵ε = h
c λ散 6 且 = λ λ入 5
5 ∴ε 散 = ε 入 6 1 Ek = ε 入 − ε 散 = ε 入 6 ε散 =5 Ek
19-9 波长 λ0 = 0.708 A 的 X 射线在石蜡上受到康普顿散射，求在 所散射的 X 射线波长各为多大？ 解：根据波长改变公式
∆ λ = λ − λ0 =
电子的德布罗意波长与电子的动能之间的关系式为
λ=
h = p
h = 2 × 10 −10 m 2me E k
所以电子的动能为 37.7eV 电子的总能量为
E d = m0 c 2 + E k = 511.0377keV
. 已知中子的质量 mn=1.67×10-27kg,当中子的动能等于温度 300 K 的热平衡中子气体的 19-20 20. 300K 平均动能时，其德布罗意波长为多少 ? 解：中子的平均动能为：
19-6: (1) 光子的频率为：
2
hν = m0c 2 m0 c 2 ∴ν = h
= 9.1×10−31 × ( 3 × 108 ) 6.63 ×10
−34 2
HZ = 1.236 ×1020 HZ
(2)
ο h 6.63 × 10−34 λ= = m = 0.2 A 光子的波长： m0 c 9.1× 10−31 × ( 3 × 108 )
∆p ≥
ℏ 2L
由于动量的数值不可能小于它不确定量，故粒子的动量
p≥
ℏ 2L
所以粒子所具有的最小动能的值为
= 4.3 × 10 −12 m = 0.043 A 由康普顿散射公式
∆ λ = λ − λ0 =
�
h (1 − cos θ ) m0 c
得 cos θ = 0.465rad ， θ = 62 °17 '
19-12 实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75eV 的光子。 （1） 试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级？ （2） 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可发出哪几条谱线？请将这些跃 迁画在能级图上。
得到 n = 3.5 ，只能取整数， 所以最高激发到 n = 3 ，可发 3 条谱线。 ~ = R( 1 − 1 ) = 8 R ， n 从 3 → 1 ：ν 1 9 12 3 2 � 9 λ1 = = 1.026 × 10 −7 m = 1026 A ； 8R ~ = R( 1 − 1 ) = 3 R ， n 从 2 → 1 ：ν 2 4 12 2 2 � 4 λ2 = = 1216 A ； 3R ~ = R( 1 − 1 ) = 5 R ， n 从 3 → 2 ：ν 3 36 2 2 32 � 36 λ3 = = 6563 A ； 5R
.光子与电子的波长都是 2.0 Å，它们的动量和总能量各为多少？ 19-19 19. 解：光子与电子的动量相等且等于
p=
h 6.626 × 10 −34 == = 3.313 × 10 − 24 kg.m / s λ 2 × 10 −10
光子的总能量为
hc 6.626 × 10 −34 × 3 × 10 8 E g = hγ = = = 9.919 × 10 −16 J −10 λ 2 × 10
9-15 倍？
当基态氢原子被 12.09eV 的光子激发后，其电子的轨道半径将增加多少
解： 1 1 E n − E1 = 13.6( 2 − 2 ) = 12.09 1 n 得n = 3 而 rn = n 2 r1 = 3 2 r1 = 9r1 ， 轨道半径增加到 9 倍。
9-16 德布罗意波的波函数与经典的波函数的本质区别是什么？ 答：德布罗意波是概率波，波函数不表示实在的物理量在空间的波动，其振
(2)功率为：
P=
E = 1.99 ×10−18 w t
19－5： （1）每秒落到地面上单位面积的光子数量是：
8 × 1× 1 s −1m −2 8 3 ×10 6.63 ×10−34 × 5 × 10−7 = 2.01× 1019 s −1m −2
n=
2
(2)每秒钟进入人眼的光子数是：
⎛3 ⎞ 8 × 1× 3.14 × ⎜ ×10−3 ⎟ ⎝2 ⎠ S −1 N= 8 3 × 10 6.63 ×10−34 × 5 ×10−7 = 1.42 ×1014 S −1
(3)光子的动量：
h = m0 c = 9.1×10−31 × ( 3 ×108 ) kg ⋅ ms −1 λ = 2.73 ×10−22 kg ⋅ ms −1 P=
19-7: 光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的一面。 光电效应揭示了光子能量与频率的关系，康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的关 系。 两者的区别源于产生这两效应的能量范围大不相同。光电效应中光子的波长在光学范围， 能 量的数量级是几个 eV，金属中电子逸出功的数量级是 1eV。在线性光学范围内的光电效应 中，入射光子能量大于或等于逸出功时，一个电子吸收一个光子，电子和光子系统的能量守 恒，而因电子受束缚，系统的动量不守恒；康普顿效应中的光子在 X 射线波段，具有 10 eV 数量级的能量， 相对来说电子逸出功和电子热运动的能量等都可忽略， 原子的外层电子可看
第十九章习题 解答
19-1：维恩位移定律： λmT
= b(b = 2.898 ×10 −3 )
b 2.898 ×10−3 T1 = = K = 5.3 ×103 K −6 λm1 0.55 × 10
源自文库
b 2.898 ×10−3 T1 = = K = 8.3 ×103 K −6 λm1 0.35 ×10
7
幅无实在的物理意义， φ 仅仅表示粒子某时刻在空间的概率密度。
2
第 19 章
答案
. 为使电子的德布罗意波长为 1Å，需要多大的加速电压？ 19-17 17. 解：电子的德布罗意波长与加速电压之间的关系式为
λ = 1 × 10 −10 m =
计算得 V=150.77 特.
h = p
h 6.626 × 10 −34 = 2me eV 2 × 9.1 × 10 −31 × V × 1.6 × 10 −19
λ=
h = p
h = 2me E k
6.626 × 10 −34 2 × 9.1 × 10
−31
× 1.4 × 1.6 × 10
−19
= 1.0377 × 10 −9 m
光电子的速度与光电子的动能之间的关系式为
v=
2Ek = me
2 × 1.4 × 1.6 × 10 −19 = 7 × 10 5 m / s −31 9.1 × 10
b 2.898 ×10 −3 4 T1 = = K = 1 × 10 K −6 λm1 0.29 ×10
19-2: 斯特藩－波耳茨曼定律：
M = σ T 4 (σ = 5.67 × 10 −8 w / (m 2 k 4 ))
⎛ M ⎞ ⎛ 22.8 ×10 ⎞ ∴T = ⎜ ⎟ = ⎜ = 1.42 ×103 K −8 ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ 5.67 ×10 ⎠
5
E1 13.6 = − 2 eV 2 n n 1 得 En − E1 = 13.6(1 − 2 ) = 12.75eV n
解： （1）由 En = 故
n = 4 ，第三激发态。
（2）可发出六条谱线，分别是 λ41 、 λ 42 、 λ 43 、 λ31 、 λ32 、 λ 21 。如下
图，
λ 43
6
19-14 处于基态的氢原子被外来单色光激发时， 发出巴尔末系中只有两条谱线， 试求这两条谱线的波长及外来光的频率？ 解：巴尔末系是由 n > 2 的高能级跃迁到 n = 2 的能级发出的谱线，只有两条 谱线说明激发后最高能级是 n = 4 的激发态。 13.6 = −0.85eV 42 13.6 E3 = − 2 = −1.51eV 3 13.6 E2 = − 2 = −3.4eV 2
3
4
作是自由的、静止的。所以，康普顿效应反映的是高能光子和低能自由态电子间的弹性碰撞 问题，系统的能量和动量都守恒。 可见， 光电效应和康普顿效应虽然同为光子和电子的相互作用， 但是它们发生的概率是与光 子的能量有关的。一般说来，发生光电效应的概率随着光子能量的增大而迅速减小。 19-8：散射光子的能量与反冲电子的动能之比：
λ 42
n=4
3
λ 32
2
λ 41 λ 31 λ 21
1
9-13 以动能 12.5eV 的电子通过碰撞使氢原子激发时，最高能激发到哪一能 级？当回到基态时能产生哪些谱线？ 解：设氢原子全部吸收 12.5eV 能量后，最高激发到第 n 和能级，则
E n − E1 = 13.6(
1 1 − 2) 2 1 n
m0 c 2
1 − 0.6
2
− m0 c 2 = 0.25m0 c 2
电子增加的能量等于光子损失的能量，
hc hc − = 0.25m0 c 2 λ0 λ
散射光子波长
hλ0 6.63 × 10 −34 × 0.030 × 10 −10 λ= = h − 0.25m0 cλ0 6.63 × 10 −34 − 0.25 × 9.1 × 10 −31 × 3 × 10 8 × 0.030 × 10 −10
E4 = −
而 λ=
hc En − Em λα =
� hc = 6573 × 10 −10 m = 6573 A E3 − E2 � hc = 4872 A E4 − E 2
所以
λβ =
基态氢原子吸收一个光子 hν 被激发到 n = 4 的能态
hν = E 4 − E1 = ν=
hc λ
E4 − E1 = 3.08 ×1015 Hz h
hc 6.63 ×10−34 × 3 ×108 −7 λ = = m = 2.96 × 10 m (3) 0 −19 A 4.2 ×1.6 ×10
19-4：(1) 视网膜接收到光的能量为：
W = nε = nhν = nh
c λ 3 × 108 −34 −19 = 5 × 6.63 × 10 × × 10 J −7 5 × 10 = 1.99 × 10−18 J
当 θ = π 时：
λ = 7.56 ×10 −11 m = 0.756 A
�
19-10 已知 X 光子的能量为 0.60MeV，在康普顿散射之后变化了 20%，求反冲 电子的能量。
4
解：
E e = E 0 − E λ = hν 0 − hν ，
已知 ∆λ = λ − λ0 = 0.2λ0 ，得
ν c c = 1.2 ，得ν = 0 ， ν ν0 1.2
8
E k = 1.5kT = 6.21 × 10 −21 J
中子的速率为
v=
2Ek = 2.7 × 10 3 m / s mn
其德布罗意波长为
λ=
h = 0.15nm p
. 一个质量为 m 的粒子，约束在长度为 L 的一维线段上。试根据测不准关系估算这个 19-21 21. 粒子所具有的最小能量的值。 解：根据测不准关系得
0
π 和 π 方向上 2
h (1 − cos θ ) m0 c
散射线波长可以表示为
λ=
当θ =
h (1 − cos θ ) + λ0 = 2.426(1 − cos θ ) ×10 −12 m + 7.08 × 10 −11 m m0 c
π 时： 2
�
λ = 7.32 ×10 −11 m = 0.732 A
19-18.具有能量 15eV 的光子,被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收 ,形成一个光电子 . 问此光电子远离质子时的速度为多大 ?它的德布罗意波长为多大 ? 解：氢原子中处于第一玻尔轨道的电子的电离能为 13.6eV，所以形成的光电子的动能为 1.4 eV。光电子的德布罗意波长与光电子的动能之间的关系式为
Ee = hν 0 −
hν 0 1.2 − 1 = 0.60 × ( )MeV = 0.10MeV 1.2 1.2
0
19-11
在康普顿散射中，入射光子波长为 λ0 = 0.030 A ，反冲电子的速度 为
0.60c，求散射光子的波长及散射角。 解：反冲电子的能量增量为 ∆E = mc 2 − m0 c 2 =
19－3：(1)
最大动能：
( Ek ) max = hν − A = h
c −A λ
6.63 × 10−34 × 3 × 108 −19 = − 4.2 × 1.6 × 10 2 × 10−7 = 3.225 × 10−19 J ≈ 2eV
1
eU = ( Ek ) max
−19 ( E ) 3.225 × 10 k max (2) ∴U = = = 2V E 1.6 × 10−19
∵ε = h
c λ散 6 且 = λ λ入 5
5 ∴ε 散 = ε 入 6 1 Ek = ε 入 − ε 散 = ε 入 6 ε散 =5 Ek
19-9 波长 λ0 = 0.708 A 的 X 射线在石蜡上受到康普顿散射，求在 所散射的 X 射线波长各为多大？ 解：根据波长改变公式
∆ λ = λ − λ0 =
电子的德布罗意波长与电子的动能之间的关系式为
λ=
h = p
h = 2 × 10 −10 m 2me E k
所以电子的动能为 37.7eV 电子的总能量为
E d = m0 c 2 + E k = 511.0377keV
. 已知中子的质量 mn=1.67×10-27kg,当中子的动能等于温度 300 K 的热平衡中子气体的 19-20 20. 300K 平均动能时，其德布罗意波长为多少 ? 解：中子的平均动能为：
19-6: (1) 光子的频率为：
2
hν = m0c 2 m0 c 2 ∴ν = h
= 9.1×10−31 × ( 3 × 108 ) 6.63 ×10
−34 2
HZ = 1.236 ×1020 HZ
(2)
ο h 6.63 × 10−34 λ= = m = 0.2 A 光子的波长： m0 c 9.1× 10−31 × ( 3 × 108 )
∆p ≥
ℏ 2L
由于动量的数值不可能小于它不确定量，故粒子的动量
p≥
ℏ 2L
所以粒子所具有的最小动能的值为
= 4.3 × 10 −12 m = 0.043 A 由康普顿散射公式
∆ λ = λ − λ0 =
�
h (1 − cos θ ) m0 c
得 cos θ = 0.465rad ， θ = 62 °17 '
19-12 实验发现基态氢原子可吸收能量为 12.75eV 的光子。 （1） 试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级？ （2） 受激发的氢原子向低能级跃迁时，可发出哪几条谱线？请将这些跃 迁画在能级图上。
得到 n = 3.5 ，只能取整数， 所以最高激发到 n = 3 ，可发 3 条谱线。 ~ = R( 1 − 1 ) = 8 R ， n 从 3 → 1 ：ν 1 9 12 3 2 � 9 λ1 = = 1.026 × 10 −7 m = 1026 A ； 8R ~ = R( 1 − 1 ) = 3 R ， n 从 2 → 1 ：ν 2 4 12 2 2 � 4 λ2 = = 1216 A ； 3R ~ = R( 1 − 1 ) = 5 R ， n 从 3 → 2 ：ν 3 36 2 2 32 � 36 λ3 = = 6563 A ； 5R
.光子与电子的波长都是 2.0 Å，它们的动量和总能量各为多少？ 19-19 19. 解：光子与电子的动量相等且等于
p=
h 6.626 × 10 −34 == = 3.313 × 10 − 24 kg.m / s λ 2 × 10 −10
光子的总能量为
hc 6.626 × 10 −34 × 3 × 10 8 E g = hγ = = = 9.919 × 10 −16 J −10 λ 2 × 10
9-15 倍？
当基态氢原子被 12.09eV 的光子激发后，其电子的轨道半径将增加多少
解： 1 1 E n − E1 = 13.6( 2 − 2 ) = 12.09 1 n 得n = 3 而 rn = n 2 r1 = 3 2 r1 = 9r1 ， 轨道半径增加到 9 倍。
9-16 德布罗意波的波函数与经典的波函数的本质区别是什么？ 答：德布罗意波是概率波，波函数不表示实在的物理量在空间的波动，其振
(2)功率为：
P=
E = 1.99 ×10−18 w t
19－5： （1）每秒落到地面上单位面积的光子数量是：
8 × 1× 1 s −1m −2 8 3 ×10 6.63 ×10−34 × 5 × 10−7 = 2.01× 1019 s −1m −2
n=
2
(2)每秒钟进入人眼的光子数是：
⎛3 ⎞ 8 × 1× 3.14 × ⎜ ×10−3 ⎟ ⎝2 ⎠ S −1 N= 8 3 × 10 6.63 ×10−34 × 5 ×10−7 = 1.42 ×1014 S −1
(3)光子的动量：
h = m0 c = 9.1×10−31 × ( 3 ×108 ) kg ⋅ ms −1 λ = 2.73 ×10−22 kg ⋅ ms −1 P=
19-7: 光电效应和康普顿效应都通过光和物质的相互作用过程揭示了光具有粒子性的一面。 光电效应揭示了光子能量与频率的关系，康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的关 系。 两者的区别源于产生这两效应的能量范围大不相同。光电效应中光子的波长在光学范围， 能 量的数量级是几个 eV，金属中电子逸出功的数量级是 1eV。在线性光学范围内的光电效应 中，入射光子能量大于或等于逸出功时，一个电子吸收一个光子，电子和光子系统的能量守 恒，而因电子受束缚，系统的动量不守恒；康普顿效应中的光子在 X 射线波段，具有 10 eV 数量级的能量， 相对来说电子逸出功和电子热运动的能量等都可忽略， 原子的外层电子可看
第十九章习题 解答
19-1：维恩位移定律： λmT
= b(b = 2.898 ×10 −3 )
b 2.898 ×10−3 T1 = = K = 5.3 ×103 K −6 λm1 0.55 × 10
源自文库
b 2.898 ×10−3 T1 = = K = 8.3 ×103 K −6 λm1 0.35 ×10
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幅无实在的物理意义， φ 仅仅表示粒子某时刻在空间的概率密度。
2
第 19 章
答案
. 为使电子的德布罗意波长为 1Å，需要多大的加速电压？ 19-17 17. 解：电子的德布罗意波长与加速电压之间的关系式为
λ = 1 × 10 −10 m =
计算得 V=150.77 特.
h = p
h 6.626 × 10 −34 = 2me eV 2 × 9.1 × 10 −31 × V × 1.6 × 10 −19
λ=
h = p
h = 2me E k
6.626 × 10 −34 2 × 9.1 × 10
−31
× 1.4 × 1.6 × 10
−19
= 1.0377 × 10 −9 m
光电子的速度与光电子的动能之间的关系式为
v=
2Ek = me
2 × 1.4 × 1.6 × 10 −19 = 7 × 10 5 m / s −31 9.1 × 10
b 2.898 ×10 −3 4 T1 = = K = 1 × 10 K −6 λm1 0.29 ×10
19-2: 斯特藩－波耳茨曼定律：
M = σ T 4 (σ = 5.67 × 10 −8 w / (m 2 k 4 ))
⎛ M ⎞ ⎛ 22.8 ×10 ⎞ ∴T = ⎜ ⎟ = ⎜ = 1.42 ×103 K −8 ⎟ ⎝ σ ⎠ ⎝ 5.67 ×10 ⎠
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E1 13.6 = − 2 eV 2 n n 1 得 En − E1 = 13.6(1 − 2 ) = 12.75eV n
解： （1）由 En = 故
n = 4 ，第三激发态。
（2）可发出六条谱线，分别是 λ41 、 λ 42 、 λ 43 、 λ31 、 λ32 、 λ 21 。如下
图，
λ 43
6
19-14 处于基态的氢原子被外来单色光激发时， 发出巴尔末系中只有两条谱线， 试求这两条谱线的波长及外来光的频率？ 解：巴尔末系是由 n > 2 的高能级跃迁到 n = 2 的能级发出的谱线，只有两条 谱线说明激发后最高能级是 n = 4 的激发态。 13.6 = −0.85eV 42 13.6 E3 = − 2 = −1.51eV 3 13.6 E2 = − 2 = −3.4eV 2
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4
作是自由的、静止的。所以，康普顿效应反映的是高能光子和低能自由态电子间的弹性碰撞 问题，系统的能量和动量都守恒。 可见， 光电效应和康普顿效应虽然同为光子和电子的相互作用， 但是它们发生的概率是与光 子的能量有关的。一般说来，发生光电效应的概率随着光子能量的增大而迅速减小。 19-8：散射光子的能量与反冲电子的动能之比：
λ 42
n=4
3
λ 32
2
λ 41 λ 31 λ 21
1
9-13 以动能 12.5eV 的电子通过碰撞使氢原子激发时，最高能激发到哪一能 级？当回到基态时能产生哪些谱线？ 解：设氢原子全部吸收 12.5eV 能量后，最高激发到第 n 和能级，则
E n − E1 = 13.6(
1 1 − 2) 2 1 n
m0 c 2
1 − 0.6
2
− m0 c 2 = 0.25m0 c 2
电子增加的能量等于光子损失的能量，
hc hc − = 0.25m0 c 2 λ0 λ
散射光子波长
hλ0 6.63 × 10 −34 × 0.030 × 10 −10 λ= = h − 0.25m0 cλ0 6.63 × 10 −34 − 0.25 × 9.1 × 10 −31 × 3 × 10 8 × 0.030 × 10 −10
E4 = −
而 λ=
hc En − Em λα =
� hc = 6573 × 10 −10 m = 6573 A E3 − E2 � hc = 4872 A E4 − E 2
所以
λβ =
基态氢原子吸收一个光子 hν 被激发到 n = 4 的能态
hν = E 4 − E1 = ν=
hc λ
E4 − E1 = 3.08 ×1015 Hz h
hc 6.63 ×10−34 × 3 ×108 −7 λ = = m = 2.96 × 10 m (3) 0 −19 A 4.2 ×1.6 ×10
19-4：(1) 视网膜接收到光的能量为：
W = nε = nhν = nh
c λ 3 × 108 −34 −19 = 5 × 6.63 × 10 × × 10 J −7 5 × 10 = 1.99 × 10−18 J
当 θ = π 时：
λ = 7.56 ×10 −11 m = 0.756 A
�
19-10 已知 X 光子的能量为 0.60MeV，在康普顿散射之后变化了 20%，求反冲 电子的能量。
4
解：
E e = E 0 − E λ = hν 0 − hν ，
已知 ∆λ = λ − λ0 = 0.2λ0 ，得
ν c c = 1.2 ，得ν = 0 ， ν ν0 1.2
8
E k = 1.5kT = 6.21 × 10 −21 J
中子的速率为
v=
2Ek = 2.7 × 10 3 m / s mn
其德布罗意波长为
λ=
h = 0.15nm p
. 一个质量为 m 的粒子，约束在长度为 L 的一维线段上。试根据测不准关系估算这个 19-21 21. 粒子所具有的最小能量的值。 解：根据测不准关系得
0
π 和 π 方向上 2
h (1 − cos θ ) m0 c
散射线波长可以表示为
λ=
当θ =
h (1 − cos θ ) + λ0 = 2.426(1 − cos θ ) ×10 −12 m + 7.08 × 10 −11 m m0 c
π 时： 2
�
λ = 7.32 ×10 −11 m = 0.732 A
19-18.具有能量 15eV 的光子,被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子所吸收 ,形成一个光电子 . 问此光电子远离质子时的速度为多大 ?它的德布罗意波长为多大 ? 解：氢原子中处于第一玻尔轨道的电子的电离能为 13.6eV，所以形成的光电子的动能为 1.4 eV。光电子的德布罗意波长与光电子的动能之间的关系式为
Ee = hν 0 −
hν 0 1.2 − 1 = 0.60 × ( )MeV = 0.10MeV 1.2 1.2
0
19-11
在康普顿散射中，入射光子波长为 λ0 = 0.030 A ，反冲电子的速度 为
0.60c，求散射光子的波长及散射角。 解：反冲电子的能量增量为 ∆E = mc 2 − m0 c 2 =