线性代数第四章复习题答案
【最新试题库含答案】线性代数练习册第四章习题及答案
线性代数练习册第四章习题及答案：篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算习题4.14-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的距离．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB ＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。
4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。
3＝23 24-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x??2y?3z0?04-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位。
线性代数第四章题目及答案
一、选择+填空（64课时）1. 向量(2,3,2)T β=在基1(1,1,1)T α=，2(0,1,1,)T α=，3(0,0,1)T α=下的坐标为:(2,1,-1) .2. 已知三维空间3R 的两组基为：1(1,1,0)T α=， 2(0,1,1)T α=， 3(1,0,1)T α=和1(1,0,3)T β=，2(1,1,0)T β=-，3(1,2,1)T β=，则由基1α，2α，3α到基1β，2β，3β的过渡矩阵为（ 101111210-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭）.3. 设312312311212,,,,R ξξξηηηηξηξξ==-和是的两组基，其中，，3123ηξξξ=--，则32132ξξξα+-=关于基321321,,,,ηηηξξξ和的坐标为⎽⎽⎽1,-2,3 和 -1,5,-3 。
4. 向量组1(1,2,2)T α=-，2(1,0,1)T α=--，3(5,3,7)T α=--单位正交化后为：（ 1/32/32/32/32/31/32/31/32/3-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭）。
5. 向量(1,2,1,1)T α=与(3,1,0,1)T β-的内积为（ 2 ）.6. 向量(1,2,2,3)α=与向量(3,1,5,1)β=的夹角为 。
7. 下列集合是向量空间的是（ CEG ）A. 2323{(1,,,,)|,,,}T n n V x x x x x x R =∈B. 123123{(,,)|321}T V x x x x x x =-+=C. 2323{(0,,,,)|,,,}T n n V x x x x x x R =∈D. 1231{(,,)|0}T V x x x x =>E. 齐次线性方程组解空间{|0}V X AX ==F. 非齐次线性方程组解空间{|}V X AX b == G . 123123{(,,)|320}T V x x x x x x =-+=8. 若向量()524α=-,,，则α= 5 ，标准化之后为 524555⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,, 。
线代第4章习题答案
第4章1.（1）是；（2）是；（3）是；（4）否.2. 证：（1）假设零向量不唯一，即存在两个零向量120,0，但1200≠，则由10αα+=和20αα+=推出1200=，这与假设矛盾. （2）类似（1）中证明. （3）0()0k k k k αααα=-=-=， (1)(01)01ααααα-=-=-=-， 0()0k k k k αααα=-=-=. 3.（1）是；（2）是；（3）否；（4）否. 4. 证：设11223344k A k A k A k A O +++=，则有12341234123412340,0,0,0,k k k k k k k k k k k k k k k k ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩系数矩阵11111111111101011111001111110001A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，则()4r A =， 故12340k k k k ====，即1234,,,A A A A 线性无关.又对任意一个11122122a a A a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若11223344k A k A k A k A A +++=， 则可得123411123412123421123422,,,,k k k k a k k k k a k k k k a k k k k a ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩解得唯一一组解为：()()()()1111221222111221223111221224111221221,41,41,41,4k a a a a k a a a a k a a a a k a a a a ⎧=+++⎪⎪⎪=-+-⎪⎨⎪=+--⎪⎪⎪=-++-⎩即任意一个A 都可以由这组矩阵线性表出，且表达式唯一，则22dim()4R ⨯=，且1234,,,A A A A 构成22R ⨯的一组基.5. 解：令123110100,,000011A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则由112233k A k A k A O ++=可解得1230k k k ===，即123,,A A A 线性无关. 又对任意一个A V ∈，a ab Ac c +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若112233k A k A k A A ++=，可解得唯一一组解为： 123,,k a k b k c ===，即任意一个A 都可以由123,,A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()3V =，且123,,A A A 构成V 的一组基. 6. 解：2()65f x x x =-+，故在这组基下的坐标为[]6,5,1T-.7. 解：（1）根据过渡矩阵C 的3个列向量分别是21,1,(1)x x ++在基21,,x x 下的坐标，可得111012001C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （2）新的基为：21,1,2x x x -+-+. 8. 解：（1）显然对加法和数乘封闭.（2）令1100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，2010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，…，001n A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ . 若1122n n k A k A k A O ++= ，显然可推出120n k k k ==== ，即12,,,n A A A 线性无关.又对任意一矩阵12A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，若 1122n n k A k A k A A ++= ，可解得唯一一组解为：121,2,,n k k k n === .即任意一个A W ∈都可以由12,,,n A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()W n =，且12,,,n A A A 构成W 的一组基. 9. 解：11211121211101111103001301170000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =，故由1234,,,αααα 生成的子空间维数是3，一组基为123,,ααα（或124,,ααα）.11．解：过渡矩阵为：205133113C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，若有一非零向量[],,T w x y z =，满足w Cw =，则可得方程组25,33,3,x x z y x y z z x y z =+⎧⎪=++⎨⎪=---⎩对系数矩阵经初等行变换后得阶梯形方程组50,0,x z y z +=⎧⎨-=⎩ 可解得一般解为： [5,,]w c c c =-，c 为任一非零常数.12. 证：已知()()()()112112212211,,313b a a b a a b a a b αβ-⎛⎫⎛⎫==-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （1）()()()()112212,3,b a a b a a αββα=-+-+=；（2）()()()()()1112221122,33,,c a b a b c a b a b αβγαγβγ+=+--+--++=+； （3）()()()()112212,3,k kb a a kb a a k αβαβ=-+-+=；（4）()()()()22112212122,320a a a a a a a a a αα=-+-+=-+≥，若(),0αα=，当且仅当1220,0,a a a -=⎧⎨=⎩ 故120a a ==，即0α=.由于(),αβ满足定义4.6中的4个性质，故是2R 的内积.13. 解：（1）1||α=2||α=，3||α=.因为()2323,cos ||||10ααθαα==-，故arccos 10θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. （2）设与123,,ααα都正交的向量为()1234,,,b b b b β=，则可得12341234123420,230,220,b b b b b b b b b b b b +-+=⎧⎪++-=⎨⎪---+=⎩ 经过初等行变换可得阶梯形矩阵：123423420,330,b b b b b b b +-+=⎧⎨-+-=⎩ 解得一般解为()34343455,33,,Tb b b b b b β=-+-，其中34,b b 为自由变量，或者通解表达式为1255331001k k β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.14. 解：()111,0,1,1Tβα==，)1111,0,1,1||Tβγβ==. ()22211121,,1,,333Tβααγγ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，)2221,3,2,1||Tβγβ==--. ()()333113223112,,,,,5555Tβααγγαγγ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，)3333,1,1,2||Tβγβ==--. 15. 解：()110,0,1Tβα==，()10,0,1Tγ=. ()()22211,0,1,0T βααγγ=-=，()20,1,0Tγ=.()()()33311322,,1,0,0T βααγγαγγ=--=，()31,0,0Tγ=. 16. 证：（1）()()T T T T T AB AB B A AB B EB B B E ====.（2）A 正交，则||1A =±，*1*||A A A A -==±，则**1111()()()T T T A A A A A A E E ----====. 17. 解：已知1T X X =，则(2)(2)(2)(2)T T T T T T Q Q E XX E XX E XX E XX =--=-- 44()44T T T T T E XX X X X X E XX XX E =-+=-+=， 即Q 为正交矩阵.若T X =，则122122123221T Q E XX --⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 18. 解：73217737326a Q b c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，通过T Q Q E =得 214960,1421180,621120,a bc abc -+-=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩解得626,,777a b c =-==-.19. 证：因为T Q Q E =，故对任意n X R ∈，有()()()22||,||TT T T QX QX QX QX QX X Q QX X X X =====，则一定有 ||||QX X =.20.（1）否；（2）是；（3）是；（4）否. 21. 解：（1）A 112(1,1,0)T εεε==+，A 212(1,1,0)T εεε=-=-， A 33(0,0,1)T εε==，所求矩阵为：110110001D ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) A ()12110T,,ηη==，A()212002T,,ηη==，A ()31232012T,,ηηηη==-+，故所求的矩阵为022101001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.22. 解：（1）A 1123(2,3,5)235T εεεε==++,A 2ε=A 110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 1123(1,3,5)35T εεεε=---=---,A 2ε=A 111⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 2ε-A 1123(1,1,1)T εεεε=--=-+-,故所求的矩阵为211331551A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.（2）已知1232αεεε=-+，则21124331110551114y AX --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.23. 解：010001000D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦24. 证：必要性：因为12,,,n εεε 是V 的标准正交基，则(,),1,i j ij i j n εεδ=≤≤. 因为A 是正交变换，则（A ()i ε，A ()j ε）ij δ=， 1,i j n ≤≤. 即A ()i ε，A ()j ε，…，A ()n ε是V 的标准正交基. P 40.3.(作业册)解：211111111111011312240000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，解得4343423x x x X x x -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则解空间的解向量为[]10,1,1,0T α=，[]22,3,0,1Tα=-，通过Schmidt 标准正交化得]10,1,1,0T γ=，]24,3,3,2Tγ=--.。
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
线性代数 (清华大学出版)课后习题部分解答(第四章)
第四章课后习题 及解答1. 证明：T ）（1,1,1,11=α, T ）（1,1,1,12--=α, T ）（1,1,1,13--=α, T ）（1,1,1,14--=α是4R 的一组基, 并求T ）（1,1,2,1=β在这组基下的坐标.证明：0161111111111111111,,,4321≠-=------=）（αααα.R ,,,44321的一组基是αααα∴设β在这组基下的坐标为x ，则x ）（4321,,,ααααβ=，从而 βαααα14321,,,-=）（x⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫--→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------4141414510001000010000111211111111111111111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴111541x 2. 已知3R 的两组基为.6,1,1,1,2,5,4,1,3,1,7,3,3,3,2,1,2,1T3T 2T 1T1T 2T 1）（）（）（）（）（）（-======βββααα求：（1）向量T2,6,3）（=γ在基{}321,,ααα下的坐标； （2）基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵； （3）用公式（4.7）求γ在基{}321,,βββ下的坐标。
解：（1）设γ在基{}321,,ααα下的坐标为x ，则：x ）（321,,αααγ=从而 γααα1321,,-=）（x⎪⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫112100010001263131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∴112x（2）设基{}321,,ααα到基{}321,,βββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,321321）（）（αααβββ=从而 ）（）（3211321,,,,A βββααα-= ⎪⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫-8124920941712710010001614121153131732321 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=∴81249209417127A （3）设γ在基{}321,,βββ下的坐标为y ，则：x y 1A -= ⎪⎪⎪⎭⎫-⎝⎛→→ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫----4832534153100100111281249209417127⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴83106153414832534153y3. 已知4R 的两组基为.2,1,3,1,2,1,1,2,2,2,1,0,1,0,1,21,0,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,0,1,2,1T4T3T2T1T4T 3T 2T 1）（）（）（）（）（）（）（）（=-===--=-=-=-=ββββαααα（1）求基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵；若γ在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,0,0,1）（，求γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标.（2）求基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵；若ξ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标.（3）已知向量α在基{}4321,,,αααα下的坐标为T 0,1,2,1）（-，求它在基{}4321,,,ββββ下的坐标.解：（1）设基{}4321,,,αααα到基{}4321,,,ββββ的过渡矩阵为A ，则：A ,,,,,,43214321）（）（ααααββββ=从而 ）（）（432114321,,,,,,A ββββαααα-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------0111101011100110001000010000122211120311112021110011112121111 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴010111010111001A 设γ在基{}4321,,,ββββ下的坐标为y ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0001A 1-y⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫101-01000100001000010001010111010111001 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴101-0y(2) 设基{}4321,,,ββββ到基{}4321,,,αααα的过渡矩阵为B ，则:B ,,,,,,43214321）（）（ββββαααα= ），，，（），，，（432114321B ααααββββ-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫----⎝⎛→→⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫------11111000001111101000100001000011110111121211112221112031111202⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=∴1111100000111110B设ξ在基{}4321,,,αααα下的坐标为x ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1131012101011101011100101-21A x（3）设α在基{}4321,,,ββββ下的坐标为z ，则：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20130121111110000011111001-21B z 4. 在4R 中找一个向量γ，它在自然基{}4321,,,εεεε和基T4T3T2T13,1,6,6,1,2,3,5,0,1,3,0,1,1,1,2）（）（）（）（===-=ββββ下有相同的坐标.解：设所求坐标为x ，则它满足：x x ）（）（43214321,,,,,,ββββεεεε= 即：0211111163216501=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-x⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000110010101001211111163216501 ∴此齐次线性方程组的一般解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1111k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==∴1111,,,4321k x ）（可取εεεεγ 5. 已知）（）（）（2,2,1,1,1,1,3,2,1,1,2,1---=-=-=γβα。
线性代数习题册(第四章 向量组的线性相关性参考答案)
r4 − r2
0
5
2
0 0 2
0
0
2
8
6
r2
−
r3Leabharlann 0506 6
2
2
1 2 r2
0 0
0 0
1 0
2
4
3 1
0
0
1
0 →
0 0
6 1 0 0
0 0 1 0
3 2 5 3 0
4 4 5 1 0
注：整体无关，部分无关。
14. 设三阶行列式=D = aij 0 ，则（ A ）. ( A) D 中至少有一个行向量是其余行向量的线性组合；
(B) D 中每一个行向量都是其余行向量的线性组合；
(C ) D 中至少有两个行向量线性相关；
(D) D 中每一个行向量都线性相关.
分析：行列式为零，所以构成行列式的矩阵的行向量组一定线性相关，故至少有一个行向 量可以由其他行向量线表示，从而知（A）是正确的。
β=3 α3 + α4 的秩为（ C ）.
( A) 1
(B) 2
(C ) 3
(D) 4
1 0 0
分析：
(
β1
,
β
2
,
β
3
)
=
(α1
,α
2
,
α
3
,
α
4
)
1 0
1 1
0
1
0 0 1
1 0 0 1 0 0
⇒
R ( β1 ,
线性代数第四章答案
第四章 向量组的线性相关性1 设v1(1 1 0)T v2(0 1 1)T v3(3 4 0)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(1 1 0)T(0 1 1)T(10 11 01)T(1 0 1)T3v12v2v33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (3 4 0)T(31203 31214 30210)T(0 1 2)T2 设3(a1a)2(a2a)5(a3a) 求a其中a1(2 5 1 3)Ta2(10 1 5 10)T a3(4 1 1 1)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得(1 2 3 4)T3 已知向量组A a1(0 1 2 3)T a2(3 0 1 2)T a3(2 3 0 1)TB b1(2 1 1 2)T b2(0 2 1 1)T b3(4 4 1 3)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(A B)3 所以B组能由A组线性表示由知R(B)2 因为R(B)R(B A) 所以A组不能由B组线性表示4 已知向量组A a1(0 1 1)T a2(1 1 0)TB b1(1 0 1)T b2(1 2 1)T b3(3 2 1)T证明A组与B组等价证明由知R(B)R(B A)2 显然在A中有二阶非零子式故R(A)2 又R(A)R(B A)2 所以R(A)2 从而R(A)R(B)R(A B) 因此A组与B组等价5 已知R(a1a2a3)2 R(a2a3a4)3 证明(1) a1能由a2a3线性表示(2) a4不能由a1a2a3线性表示证明 (1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1 a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T(2) (2 3 0)T (1 4 0)T (0 0 2)T解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7 问a取什么值时下列向量组线性相关？a1(a 1 1)T a2(1 a 1)T a3(1 1 a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）8 设a1a2线性无关a1b a2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1b a2b线性相关故存在不全为零的数12使(a1b)2(a2b)01由此得设则b c a1(1c)a2c R9 设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之（也可看书后答案）解不一定例如当a1(1 2)T, a2(2 4)T, b1(1 1)T, b2(0 0)T时有a1b1(1 2)T b1(0 1)T, a2b2(2 4)T(0 0)T(2 4)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10 举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组a1a2a m是线性相关的则a1可由a2a m线性表示解设a1e1(1 0 0 0) a2a3a m0则a1a2a m线性相关但a1不能由a2a m线性表示(2)若有不全为0的数12m使a1m a m1b1m b m01成立则a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关解有不全为零的数12m使a1m a m 1b1m b m01原式可化为(a1b1) m(a m b m)01取a1e1b1a2e2b2a m e m b m其中e1e2e m为单位坐标向量则上式成立而a1 a2a m和b1b2b m均线性无关(3)若只有当12m全为0时等式a1m a m1b1m b m01才能成立则a1a2a m线性无关, b1b2b m亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式由1a1m a m1b1m b m0成立所以只有当12m全为0时等式(a1b1)2(a2b2) m(a m b m)01成立因此a1b1a2b2a m b m线性无关取a1a2a m0取b1b m为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2a m线性相关(4)若a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关则有不全为0的数12m使a1m a m0 1b1m b m01同时成立解a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)Ta12a2 01221b12b2 01(3/4)210 与题设矛盾1211 设b1a1a2b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关证明由已知条件得a1b1a2a2b2a3 a3b3a4 a4b4a1于是a1 b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关12 设b1a1b2a1a2b r a1a2 a r且向量组a1a2a r线性无关证明向量组b1b2b r线性无关证明已知的r个等式可以写成上式记为BAK因为|K|10 K可逆所以R(B)R(A)r从而向量组b1b2b r线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组(1)a1(1 2 1 4)T a2(9 100 10 4)T a3(2 4 2 8)T解 由知R(a1a2a3)2 因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1 a2是一个最大无关组(2)a1T(1 2 1 3) a2T(4 1 5 6) a3T(1 3 4 7)解由知R(a1T a2T a3T)R(a1a2 a3)2 因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1T a2T 线性无关所以a1T a2T是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）15 设向量组(a 3 1)T (2 b 3)T(1 2 1)T (2 3 1)T的秩为2 求a b解设a1(a 3 1)T a2(2 b 3)T a3(1 2 1)T a4(2 3 1)T因为而R(a1a2a3a4)2 所以a2 b516 设a1a2a n是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2e n能由它们线性表示证明a1a2a n线性无关证法一记A(a1a2a n) E(e1e2e n) 由已知条件知存在矩阵K使EAK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0 所以R(A)n从而a1a2a n线性无关证法二因为e1e2e n能由a1a2a n线性表示所以R(e1e2e n)R(a1a2a n)而R(e1e2e n)n R(a1a2a n)n所以R(a1a2a n)n从而a1a2a n线性无关17 设a1a2a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2a n线性无关而a1a2a n a 是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2a n线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n维向量都可由a1a2a n线性表示故单位坐标向量组e1 e2e n能由a1a2a n线性表示于是有nR(e1e2e n)R(a1a2a n)n即R(a1a2a n)n所以a1a2a n线性无关18 设向量组a1a2a m线性相关且a10证明存在某个向量a k (2km) 使a k能由a1a2a k1线性表示证明因为a1a2a m线性相关所以存在不全为零的数12m使a12a2m a m01而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10 矛盾因此存在k(2km) 使0 k1k2m0k于是a12a2k a k01a k(1/k)(1a12a2k1a k1)即a k能由a1a2a k1线性表示19 设向量组B b1b r能由向量组A a1a s线性表示为(b1b r)(a1a s)K其中K为sr矩阵且A组线性无关证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r证明 令B(b1b r) A(a1a s) 则有BAK必要性设向量组B线性无关由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有rR(B)R(AK)min{R(A) R(K)}R(K)及R(K)min{r s}r因此R(K)r充分性因为R(K)r所以存在可逆矩阵C使为K的标准形于是(b1b r)C( a1a s)KC(a1a r)因为C可逆所以R(b1b r)R(a1a r)r从而b1b r线性无关20 设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3A x A2x且向量组x A x A2x线性无关(1)记P(x A x A2x) 求3阶矩阵B使APPB解因为APA(x A x A2x)(A x A2x A3x)(A x A2x 3A x A2x)所以(2)求|A|解由A3x3A x A2x得A(3x A x A2x)0因为x A x A2x线性无关故3x A x A2x0即方程A x0有非零解所以R(A)3 |A|0（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。
线性代数第四章习题答案
0 a+1 1 −1
1 − a2 = (a + 1)2 (a − 2). a
a −1 a
0 a + 1 −1 − a
1 −1
所以, a = −1 或 a = 2 时向量组线性相关. 更常规的思路是: 向量组 a1 , a2 , a3 线性相关, 则存在不全为零的数 k1 , k2 , k3 使得
k1 a1 + k2 a2 + k3 a3 = 0.
50
第四章 向量组的线性相关性 解: (1) 因为
A= −1 2 3 1 1 0 1 −1 0 0 2 7 2 1 7 2 −1 0 0 2 1 0 1 1 , 0
r2 + 3r1 4 r3 + r1 1
可见 R(A) = 2, 所以该向量组是线性相关的. 或者: 由 −1 2 1 3 + 1 = 4 1 0 1 知线性相关. (2) 因为
1 a3 = −1 1
4
.
解: 由 3(a1 − a) + 2(a2 + a) = 5(a3 + a) 得 2 10 1 1 5 + 1 1 a = (3a1 + 2a2 − 5a3 ) = 6 2 1 3 5 3= 3 0 1
2
;
4 −2 1 , b3 = B : b1 = , b2 = 1 1 1 3 1 2
2
0
4
.
即线性方程组
线性代数第四章答案解析
线性代数第四章答案解析第四章向量组的线性相关性1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T=(1-0, 1-1, 0-1)T=(1, 0, -1)T .3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T .2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1,3)T ,a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T .解由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61TT T --+==(1, 2, 3, 4)T .3. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ;B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明由-=312123111012421301402230) ,(B A ????? ??-------971820751610402230421301~r ????? ?------531400251552000751610421301 ~r-----000000531400751610421301~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.由-????? ??---????? ??-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2. 因为R(B )≠R (B , A ), 所以A 组不能由B 组线性表示.4. 已知向量组A : a 1=(0, 1, 1)T , a 2=(1, 1, 0)T ;B : b 1=(-1, 0, 1)T , b 2=(1, 2, 1)T , b 3=(3, 2, -1)T , 证明A 组与B 组等价. 证明由- ??- ??--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B ,知R (B )=R (B , A )=2. 显然在A 中有二阶非零子式, 故R (A )≥2, 又R (A )≤R (B , A )=2, 所以R (A )=2, 从而R (A )=R (B )=R (A , B ). 因此A 组与B 组等价.5. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示;(2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.证明 (1)由R (a 2, a 3, a 4)=3知a 2, a 3, a 4线性无关, 故a 2, a 3也线性无关. 又由R (a 1,a 2, a 3)=2知a 1, a 2, a 3线性相关, 故a 1能由a 2, a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1, a 2, a 3线性表示, 则因为a 1能由a 2, a 3线性表示, 故a 4能由a 2, a 3线性表示, 从而a 2, a 3, a 4线性相关, 矛盾. 因此a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (1) (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; (2) (2, 3, 0)T , (-1, 4, 0)T , (0, 0, 2)T .解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A . 因为-???? ??-???? ??-=000110121220770121101413121~~r r A , 所以R (A )=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关. (2)以所给向量为列向量的矩阵记为B . 因为022200043012||≠=-=B ,所以R (B )=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.7. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1,a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 解以所给向量为列向量的矩阵记为A . 由aa aA 111111||--=如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关.（具体看书后相应答案）8. 设a 1, a 2线性无关, a 1+b , a 2+b 线性相关, 求向量b 用a 1,a 2线性表示的表示式. 解因为a 1+b , a 2+b 线性相关, 故存在不全为零的数λ1, λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0, 由此得2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=,设211λλλ+-=c , 则b =c a 1-(1+c )a 2, c ∈R .9. 设a 1, a 2线性相关, b 1, b 2也线性相关, 问a 1+b 1, a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之. （也可看书后答案）解不一定.例如, 当a 1=(1, 2)T , a 2=(2, 4)T , b 1=(-1, -1)T , b 2=(0, 0)T 时, 有 a 1+b 1=(1, 2)T +b 1=(0, 1)T , a 2+b 2=(2, 4)T +(0, 0)T =(2, 4)T , 而a 1+b 1, a 2+b 2的对应分量不成比例, 是线性无关的.10. 举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a 1, a 2, ? ? ?, a m 是线性相关的, 则a 1可由a 2, ? ? ?,a m 线性表示. 解设a 1=e 1=(1, 0, 0, ? ? ?, 0), a 2=a 3= ? ? ? =a m =0, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, 但a 1不能由a 2, ? ? ?, a m 线性表示.(2)若有不全为0的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0成立, 则a 1, a 2, ? ? ?, a m 线性相关, b 1, b 2, ? ? ?, b m 亦线性相关. 解有不全为零的数λ1, λ2, ? ? ?, λm 使λ1a 1+ ? ? ? +λm a m +λ1b 1+ ? ? ? +λm b m =0,原式可化为λ1(a1+b1)++λm(a m+b m)=0.取a1=e1=-b1,a2=e2=-b2,,a m=e m=-b m,其中e1,e2,,e m为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,,a m和b1,b2,,b m均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0才能成立,则a1,a2,,a m线性无关, b1,b2,,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式由λ1a1++λm a m+λ1b1++λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)++λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,,a m+b m线性无关.取a1=a2==a m=0,取b1,,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,,a m线性相关.(4)若a1,a2,,a m线性相关, b1,b2,,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,,λm使λ1a1++λm a m=0,λ1b1++λm b m=0同时成立.解a1=(1, 0)T,a2=(2, 0)T,b1=(0, 3)T,b2=(0, 4)T,λ1a1+λ2a2 =0?λ1=-2λ2,λ1b1+λ2b2 =0?λ1=-(3/4)λ2,λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a 1=b 1-a 2, a 2=b 2-a 3, a 3=b 3-a 4, a 4=b 4-a 1, 于是 a 1 =b 1-b 2+a 3 =b 1-b 2+b 3-a 4 =b 1-b 2+b 3-b 4+a 1, 从而 b 1-b 2+b 3-b 4=0,这说明向量组b 1, b 2, b 3, b 4线性相关.12. 设b 1=a 1, b 2=a 1+a 2, ? ? ?, b r =a 1+a 2+ ? ? ? +a r , 且向量组a 1, a 2, ? ? ? , a r 线性无关, 证明向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关. 证明已知的r 个等式可以写成=100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b , 上式记为B =AK . 因为|K |=1≠0, K 可逆, 所以R (B )=R (A )=r , 从而向量组b 1, b 2, ? ? ? , b r 线性无关.13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:(1)a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 解由-????? ??--????? ??----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a , 知R (a 1, a 2, a 3)=2. 因为向量a 1与a 2的分量不成比例, 故a 1, a 2线性无关, 所以a 1, a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1, 2, 1, 3), a 2T =(4, -1, -5, -6), a 3T =(1, -3, -4, -7).。
《线性代数》(陈维新)习题答案(第4章)
⇔ 矩阵 [α1 α 2 α 3 ] 的秩是否与矩阵 [α1 α 2 α 3
解 对矩阵 [α1
β ] 的秩相同.
α 2 α 3 β ] 作初等行变换化为阶梯形:
[α1
1 2 3 1 7 1 2 −1 α2 = α 3 β ] 3 7 −6 − 2 → 0 1 −3 − 5 . 5 8 1 a 0 0 0 a − 1 5
证明 设������ ≠ ������ ∈ ������ ，则������，2������， ⋯ ，������������， ⋯ ∈ ������ 。下证当������ ≠ ������时，������������ ≠ ������������。 (反证) 若������������ = ������������，则(������ − ������)������ = ������，因������ ≠ ������，则������ − ������ = 0，这与 ������ ≠ ������矛盾，所以������ 中 至少有无穷多个向量������，2������， ⋯ ，������������， ⋯。
第四章 线性空间和线性变换
习题 4.1
1．检验以下集合关于所指定的运算是否构成实数域������上的线性空间： (1) ������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘； (2) 次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式 的数乘； (3) 有理数的全体������，关于数的加法和实数与有理数的乘法； ： (4) 平面上全体向量������2 ，关于通常的向量加法和如下定义的数量乘法“∘” 解 (1) 是 因为任意两个������阶实对称矩阵和是������阶实对称矩阵， 任意一个实数乘以������阶实对称矩阵也 是������阶实对称矩阵，所以������阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘运算是 封闭的。下面验证八条运算规律成立。 记������阶零矩阵为������，显示������是实对称矩阵，且对任意的������阶实对称矩阵������都有������ + ������ = ������。 对任意的������阶实对称矩阵������，显然−������也是������阶实对称矩阵，且������ + (−������) = ������。 其它 6 条运算规律显然成立，这里就不证。 由此可知，������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘否构成实数域 ������上的线性空间。 (2) 否 因为零多项式的次数不是������，所以这个集合不含零向量，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系 数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性 空间。 或者说： 因为两个任意的次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式和的多项式次数不一定等于������， 有可能小于������，所以关于多项式的加法不封闭，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式 的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性空间。 ������ ∘ ������ = ������，∀������ ∈ ������，∀������ ∈ ������2
线性代数第4章习题答案(48p)
由于 D = 1
2 −1
⇒ k ≠ 4且k ≠ −1. 故应选 (C) .
(2) 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的条件是 B ). 有唯一解的条件是( (B) R(A) = R(A b) = n ; (A) m = n ; ) 都不对. 都不对 (C) Ax = θ 只有零解 只有零解; (D) (A),(B),(C)都不对 解: 线性方程组 Am×n X = b 有唯一解的充要条件是其 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为n 选项(A)只 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且为 . 选项 只 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同, 表明方程组中方程的个数与未知量个数相同 此时系 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为n 数矩阵的秩与增广矩阵的秩未必相等且为 , 故选项 (A)不正确 选项 成立的条件是系数矩阵的秩为 , 不正确. 选项(C)成立的条件是系数矩阵的秩为 成立的条件是系数矩阵的秩为n 不正确 也不正确. 但此时增广矩阵的秩未必为n, 故选项(C)也不正确 但此时增广矩阵的秩未必为 故选项 也不正确 由排除法知选项(B)正确 因此应选(B). 由排除法知选项 正确, 因此应选 正确
四. 求方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 的特解. x1 − x2 + x3 + x4 = 1 的特解
解: B = 1 2 3 4 5 → 1 2 3 4 5 1 −1 1 1 1 0 −3 −2 −3 −4
∴ R( A) = R( B) = 2 < 4 = n.
α 4. 设Ax = b为四元齐次线性方程组，R(A)=3，1 , α 2 , α 3 为四元齐次线性方程组， 为四元齐次线性方程组 ，
线性代数第四章答案
第四章 向量组的线性相关性1设v 1(1 1 0)T v 2(0 1 1)T v 3(3 4 0)T 求v 1v 2及3v 12v 2v 3解 v 1v 2(1 1 0)T (0 11)T(10 11 01)T(1 01)T3v 12v 2v 33(1 1 0)T 2(0 1 1)T (34 0)T(31203 31214 30210)T (0 1 2)T2 设3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a ) 求a 其中a 1(2 5 13)Ta 2(10 1 5 10)Ta 3(41 1 1)T解 由3(a 1a )2(a 2a )5(a 3a )整理得)523(61321a a a a -+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61TT T --+=(1 2 3 4)T3 已知向量组 A a 1(0 1 2 3)T a 2(3 0 1 2)T a 3(2 30 1)TBb 1(2 112)T b 2(02 1 1)T b 3(4 4 13)T证明B 组能由A 组线性表示 但A 组不能由B 组线性表示证明 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312123111012421301402230) ,(B A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------971820751610402230421301~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------531400251552000751610421301 ~r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----000000531400751610421301~r 知R (A )R (A B )3 所以B 组能由A 组线性表示由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )2 因为R (B )R (B A ) 所以A 组不能由B 组线性表示4 已知向量组 A a 1(0 1 1)T a 2(1 10)TBb 1(10 1)T b 2(1 2 1)T b 3(3 2 1)T证明A 组与B 组等价 证明 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B知R (B )R (B A )2 显然在A 中有二阶非零子式 故R (A )2 又R (A )R (BA )2 所以R (A )2 从而R (A )R (B )R (A B ) 因此A 组与B 组等价5 已知R (a 1 a 2 a 3)2 R (a 2 a3 a 4)3 证明(1) a 1能由a 2 a 3线性表示 (2) a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示 证明 (1)由R (a 2 a 3 a 4)3知a 2 a 3 a 4线性无关 故a 2 a 3也线性无关 又由R (a 1 a 2 a 3)2知a 1 a 2 a 3线性相关 故a 1能由a 2 a 3线性表示(2)假如a 4能由a 1 a 2 a 3线性表示 则因为a 1能由a 2 a 3线性表示 故a 4能由a 2 a 3线性表示 从而a 2 a 3 a 4线性相关 矛盾 因此a 4不能由a 1 a 2 a 3线性表示6 判定下列向量组是线性相关还是线性无关 (1) (1 3 1)T (2 1 0)T (1 4 1)T (2) (23 0)T (14 0)T (00 2)T解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000110121220770121101413121~~r r A所以R (A )2小于向量的个数 从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B 因为22200043012||≠=-=B所以R (B )3等于向量的个数 从而所给向量组线性相无关7 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1(a 1 1)T a 2(1a 1)T a 3(11 a )T解 以所给向量为列向量的矩阵记为A 由aa aA 111111||--=如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关（具体看书后相应答案）8 设a 1 a 2线性无关 a 1b a 2b 线性相关 求向量b 用a 1 a 2线性表示的表示式解 因为a 1b a 2b 线性相关 故存在不全为零的数12使1(a 1b )2(a 2b )0由此得2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+--+-=+-+-=设211λλλ+-=c 则b c a 1(1c )a 2 c R9 设a 1 a 2线性相关 b 1 b 2也线性相关 问a 1b 1 a 2b 2是否一定线性相关？试举例说明之 （也可看书后答案） 解 不一定例如 当a 1(1 2)T , a 2(2 4)T , b 1(1 1)T , b 2(0 0)T 时 有 a 1b 1(1 2)T b 1(0 1)T , a 2b 2(2 4)T (0 0)T (2 4)T而a 1b 1 a 2b 2的对应分量不成比例 是线性无关的10 举例说明下列各命题是错误的 (1)若向量组a 1 a 2a m 是线性相关的则a 1可由a 2a m 线性表示解设a1e1(1000)a2a3a m0则a1 a2a m线性相关但a1不能由a2a m线性表示(2)若有不全为0的数12m使a1m a m1b1m b m01成立则a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关解有不全为零的数12m使a1m a m1b1m b m01原式可化为(a1b1)m(a m b m)01取a1e1b1a2e2b2a m e m b m其中e1e2e m为单位坐标向量则上式成立而a1a2a m和b1b2b m均线性无关(3)若只有当12m全为0时等式a1m a m1b1m b m01才能成立则a1a2a m线性无关, b1b2b m亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式由1a1m a m1b1m b m0成立所以只有当12m全为0时等式(a1b1)2(a2b2)m(a m b m)01成立因此a1b1a2b2a m b m线性无关取a1a2a m0取b1b m为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2a m线性相关(4)若a1a2a m线性相关, b1b2b m亦线性相关则有不全为0的数12m使a1m a m01b1m b m01同时成立解a1(1 0)T a2(2 0)T b1(0 3)T b2(0 4)Ta12a2 01221b12b2 01(3/4)210与题设矛盾1211设b1a1a2b2a2a3 b3a3a4 b4a4a1证明向量组b1b2 b3b4线性相关证明 由已知条件得a 1b 1a 2 a 2b 2a 3 a 3b 3a 4 a 4b 4a 1于是 a 1 b 1b 2a 3 b 1b 2b 3a 4b 1b 2b 3b 4a 1从而 b 1b 2b 3b 40这说明向量组b 1 b 2 b 3 b 4线性相关12 设b 1a 1 b 2a 1a 2b ra 1a 2a r 且向量组a 1 a 2a r 线性无关 证明向量组b 1 b 2b r 线性无关证明 已知的r 个等式可以写成⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b上式记为B AK 因为|K |10 K 可逆 所以R (B )R (A )r 从而向量组b 1 b 2b r 线性无关13 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组(1)a 1(1 2 1 4)T a 2(9 100 10 4)T a 3(2 4 2 8)T解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a知R (a 1 a 2 a 3)2 因为向量a 1与a 2的分量不成比例 故a 1 a 2线性无关 所以a 1 a 2是一个最大无关组(2)a 1T (1 2 1 3)a 2T (41 5 6)a 3T (134 7)解 由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a知R (a 1T a 2T a 3T )R (a 1 a 2 a 3)2 因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例 故a 1Ta 2T 线性无关 所以a 1T a 2T 是一个最大无关组14 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛531053103210431731253423~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---14011313021512012211解 因为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---141131302151201221113142~rr r r --⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------222001512015120122112343~rr r r +↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---00000222001512012211所以第1、2、3列构成一个最大无关组（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）15 设向量组(a3 1)T (2 b 3)T (1 2 1)T (2 31)T的秩为2 求a b解 设a 1(a 3 1)T a 2(2 b 3)T a 3(12 1)T a 4(23 1)T因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=52001110311161101110311131********) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a而R (a 1 a 2 a 3 a 4)2 所以a 2 b 516设a1a2a n是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2e n能由它们线性表示证明a1a2a n线性无关证法一记A(a1a2a n)E(e1e2e n)由已知条件知存在矩阵K使E AK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0所以R(A)n从而a1a2a n线性无关证法二因为e1e2e n能由a1a2a n线性表示所以R(e1e2e n)R(a1a2a n)而R(e1e2e n)n R(a1a2a n)n所以R(a1a2a n)n从而a1a2a n线性无关17设a1a2a n是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2a n线性无关而a1a2a n a是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2a n线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n维向量都可由a1a2a n线性表示故单位坐标向量组e1e2e n能由a1a2a n线性表示于是有n R(e1e2e n)R(a1a2a n)n即R(a1a2a n)n所以a1a2a n线性无关18设向量组a1a2a m线性相关且a10证明存在某个向量a k (2k m)使a k能由a1a2a k1线性表示证明因为a1a2a m线性相关所以存在不全为零的数12使ma12a2m a m01而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10矛盾因此存在k(2k m)使0k1k2m0k于是a12a2k a k01a k(1/k)(1a12a2k1a k1)即a k 能由a 1 a 2 a k 1线性表示19 设向量组B b 1 b r 能由向量组A a 1a s 线性表示为(b 1b r )(a 1a s )K 其中K 为s r 矩阵 且A 组线性无关 证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )r 证明 令B (b 1b r ) A (a 1a s ) 则有B AK必要性 设向量组B 线性无关 由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质 有 r R (B )R (AK )min{R (A ) R (K )}R (K )及 R (K )min{r s }r因此R (K )r充分性 因为R (K )r 所以存在可逆矩阵C 使⎪⎭⎫ ⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形 于是(b 1b r )C ( a 1a s )KC(a 1 a r )因为C 可逆 所以R (b 1b r )R (a 1a r )r 从而b 1b r 线性无关20 设⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=-1321312321 n n n nααααβαααβαααβ证明向量组12n 与向量组12n 等价证明 将已知关系写成⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ将上式记为B AK 因为0)1()1(0111101111011110||1≠--=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-n K n所以K 可逆 故有A BK 1由B AK 和A BK 1可知向量组12n与向量组12n 可相互线性表示 因此向量组12n 与向量组12n 等价21 已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x 3A x A 2x 且向量组x A x A 2x 线性无关(1)记P (x A x A 2x ) 求3阶矩阵B 使AP PB解 因为AP A (x A x A 2x ) (A x A 2x A 3x )(A x A 2x 3A x A 2x )⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110301000) , ,(2x x x A A所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110301000B(2)求|A |解 由A 3x 3A x A 2x 得A (3x A x A 2x )0 因为x A x A 2x 线性无关 故3x A x A 2x 0 即方程A x 0有非零解 所以R (A )3 |A |0（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。
线性代数第四章答案
第4章习题答案思考题4-11.（1）不对。
我们现在遇到的向量都是自由向量，可以平行移动。
a 与b 共线的意思是a 与b 平行，a 与b 一开始并不一定在一条直线上。
（2）不对。
我们现在遇到的向量都是自由向量，可以平行移动。
a 、b 、c 共面的意思是它们平行于同一个平面, a 、b 、c 一开始并不一定在一个平面上; （3）不对。
参考下图，水平方向的向量为c .2．一个向量的方向可用它的单位向量、方向角、方向余弦表示。
习题4-11.（1）a ⊥b ；（2）a 与b 同向；（3）a 与b 反向且a b ≥；（4）a 与b 为同向的非零向量。
2.证：因为M 是线段AB 的中点,所以AM MB =，即O M O AO B O M-=-. 因而1()2OM OA OB =+. 3．()/a b a b abab++注：因为a a和b b都是单位向量，所以以它们为边的平行四边形是菱形，其对角线也是角平分线。
4．图略。
点A 关于Oxy 面的对称点的坐标为(2,4,1), 点B 关于y 轴的对称点的坐标为(2,4,1)-.5．A 在第II 卦限，B 在第V 卦限，C 在第VIII 卦限，D 在第III 卦限。
6．（1）点(,,a b c ) 关于Oxy 面，Oyz 面和Ozx 面的对称点的坐标分别为(,,)a b c -，(,,)a b c -和(,,)a b c -；（2）点(,,a b c )关于x 轴，y 轴和z 轴的对称点的坐标分别为(,,)a b c --，(,,)a b c --和(,,)a b c --；（3）点(,,a b c )关于坐标原点O 的对称点的坐标为(,,).a b c ---7．（1）从点(,,a b c )向x 轴,y 轴和z 轴作垂线的垂足分别为(,0,0)a ，(0,,0)b 和(0,0,)c ； （2）从点(,,a b c )向Oxy 面,Oyz 面和Ozx 面作垂线的垂足的坐标分别为(,,0)a b ，(0,,)b c 和(,0,)a c .8．234122.a b c i j k ++=-+-9．因为AB BC =，所以,2OB OA OC OB OC OB OA -=-=-。
第四章向量组的线性相关性线性代数含答案
第四章 向量组的线性相关性4.4.1 基础练习1. 设有n 维向量组12m ⋅⋅⋅ααα，，,与⋅⋅⋅12m ββ,β，，若存在两组不全为零的数 12m λλλ⋅⋅⋅，，,和12k k k m ⋅⋅⋅，，,使11111m m m k k k k 0m m m λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅1ααββ（＋）＋＋（＋）＋（－）＋＋（－）＝则（ ）（A ）12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性相关 (B) 12m ⋅⋅⋅ααα，，,和⋅⋅⋅12m ββ,β，，都线性无关 (C) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性无关 (D) 1m m 1m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβ＋，，＋，－，，－线性相关 2. 设12s ⋅⋅⋅ααα，，,与t ⋅⋅⋅12ββ,β，，为两个n 维向量组，且 12s t ()()r R R ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=12αααββ,β，，,，，，则（ ）（A ）当s t =时，两向量组等价； （B ）两向量组等价；（C ）12s t ()r R ⋅⋅⋅⋅⋅⋅12αααββ,β，，,，，，＝； （D ）当向量组12s ⋅⋅⋅ααα，，,被向量组t ⋅⋅⋅12ββ,β，，线性表示时，两个向量组等价. 3. 设A 是4阶方阵，且0A ＝，则A 中（ ） (A) 必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合. 4. 设A 是矩阵，B 是矩阵，则( )（A ）当m n >时，必有0≠AB ； （B ）当m n >时，必有0AB ＝ （C ）当m n <时，必有0≠AB ； （D ）当m n <时，必有0AB ＝5. 设向量组231ααα，，线性无关，向量1β可由231ααα，，线性表示，而向量2β不能由231ααα，，线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ）（A ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（B ）232k 11αααββ，，，＋线性相关； （C ）232k 11αααββ，，，＋线性无关；（D ）232k 11αααββ，，，＋线性相关.6. 设有向量组1α＝(1,-1,2,4)，2α＝(0,3,1,2)，3α＝(3,0,7,14)，4α＝(1,-2,2,0)与5α＝(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（ ）（A ）231ααα，，； (B) 241ααα，，； (C) 251ααα，，； (D) 2451αααα，，，.7. 设有向量组(,0,)(,,0)(0,,)a c b c a b 123ααα＝,＝,＝线性无关，则a ，b ，c 必须满足关系式 .8.向量组(1,2,3,4)(2,3,4,5)(3,4,5,6)(4,5,6,7)1234αααα＝,＝,＝,＝的秩等于 .9. 已知向量组23(1,2,-1,1)(2,0,,0),(0,-4,5,-2)t 1ααα＝,＝＝的秩为2，则t ＝ . 10. 设矩阵122212304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A －＝，向量(,1,1)Ta α＝，已知A α与α线性无关，则a ＝ .11. 向量空间{}V ∈=x=(x,2x,y)|x,y R 的维数是 ，它的基2________,________.=1αα＝向量 ()α＝3,6,-4 在基21αα,下的坐标是 . 12. 设有向量组 123(2,4,7);(3,2,5);(5,6,);(1,3,5)k ====αααβ，当k 为何值时， β能由123ααα,,线性表示？ 13. 设有向量组12345(2,1,5,3);(1,1,2,1);(0,3,1,1);(1,2,3,2);(1,1,2,8)==-===---ααααα求向量组的秩和它的一个极大线性无关组.14. 设有向量组 123(111);(111);(111);(121)==-=-=αααβ，，，，，，，，，试把β表为123ααα,,的线性组合.15. 求方程组12345123451234512345x -2x +x +x -x 02x +x -x -x +x 0x +7x -5x -5x +5x 03x -x -2x +x -x 0=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩的基础解系和通解.16. 求方程组1234234124234x -2x +3x -4x 4x -x +x 3x -3x -3x 1-7x +3x +x 3=⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎩的通解.4.4.2 提高练习1. 已知 123(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1)T T Ta ===-+ααα4(1,2,4,8),(1,1,3,5)T T a b =+=+αβ（1）a ,b 为何值时，β不能表示为1234,,,αααα的线性组合；（2）a ,b 为何值时，β有1234,,,αααα的唯一线性表示，并写出该表达式. 2. 设向量12,,,r ααα线性相关，而其中任何r -1个向量线性无关，证明存在不全为零的数12,,,r k k k 使110r r k k ++=αα.3. 设123,,ααα线性无关，证明 1123223312322,,23=-+=-=-+βαααβααβααα 线性无关.4. 验证向量123(1,1,0),(2,1,3),(3,1,2)T T T =-==ααα是3R 的一个基，并分别将向量12(5,0,7),(9,8,13)T T ==---ββ用这个基表示.5. 已知3R 的两个基123123333536:1,1,1;:3,1,422211312⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=====-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A αααB βββ，求基A 到基B 的过渡矩阵C .6. 设由向量()1230,1,2,(1,3,5),(2,1,0)===ααα生成的向量空间为V 1，由向量()121,2,3,(1,0,1)==-ββ生成的向量空间为V 2，试证V 1= V 2.7. 设4R 的3个基分别为12341234110000100(1):,,,;0010000120100101(2):,,,;1012010021(3):01⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛=e e e e εεεεη234021113,,,.211222-⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ηηη 1) 求由基（2）到基（1）的过渡矩阵； 2) 求向量123=++αe e e 在基（2）下的坐标； 3) 求向量134323=+-βεεε在基（1）下的坐标； 4) 求由基（2）到基（3）的过渡矩阵.8. 设m 个n 维向量12,,,n ααα线性无关，P 为n 阶方阵，证明：向量组12,,,nP αPαPα线性无关的充要条件是0≠P .9. 已知向量组（1）：1230a b 121110⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ＝，＝，＝，向量组（2）：123⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα139＝2，＝0，＝6－31－7具有相同的秩，且3β可由向量组（2）线性表示，求a ，b 的值.10. 已知3阶方阵A 与3维向量x ，使得向量组2x,Ax,A x 线性无关，且满足332=-2A x Ax A x ；1) 记(),,=2P x Ax A x ，求3阶方阵B ，使1-A =PBP ; 2） 计算行列式+A I .11. 讨论并求解方程组 12312321231x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩.12. 设有3维列向量 2321110111111λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααβ＋＝，＝＋，＝，＝＋问λ取何值时，（1）β可由231ααα，，线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由231ααα，，线性表示，但表达式不唯一？ （3）β不能由231ααα，，线性表示？13. k 为何值时，线性方程组 1232123123424x x kx x x x k x x x +=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩＋k有唯一解、无解、有无穷个解？在有解时求出其全部解. 14． 已知234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8),(1,1,3,5).a a b ===-+=+=+1ααααβ（1）a 、b 为何值时，β不能表示为234,1αααα，，的线性组合？（2）a 、b 为何值时，β可表示为234,1αααα，，的线性组合？并写出该表示式. 15. 已知下列线性方程组1234124123413412334526(1)41;(2)2113321x mx x x x x x x x x x nx x x x x x x x t +--=-+-=-⎧⎧⎪⎪---=--=-⎨⎨⎪⎪--=-=-+⎩⎩(1) 求出方程组(1)的通解;(2) 当(2)中的参数m 、n 、t 为何值时，方程组(1)与(2)同解？第四章参考解答4.4.1 基础练习：1. （D ）提示：由题设知，1122211222m m m m m k k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+11αβαβαβαβαβαβ（+）+（+）++（+）+（-）+（-）+（-）=m 0又知12m 12m k k k λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，，，不全为零， 122122m m m m ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11αβαβαβαβαβαβ＋，＋，，＋，-，-，，-线性相关.2.（D ）提示：设向量组12s ⋅⋅⋅αααA ：，，,：向量组t B ⋅⋅⋅12ββ,β：，， ⎛⎫⎛⎫=→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A O CB B （因向量组A 可被向量组B 表示），则()()()R R R r ===A B C ， 所以AB ，故选（D ）3.（C ）提示：因0A ＝，则()4R <A ，A 经初等列变换化为阶梯阵B ，B 必有零列，该列就是其余列的线性组合.4.（B ）提示：m n >时，n m ≤<A R ()，又≤AB A R ()R ()，则AB R ()<m ，AB 为降阶方阵，所以0AB ＝.5.（A ）提示：1β由可由231ααα，，线性表示知12233λλλ11βααα＝＋＋，那么42233()2233122r k r r r K λλλβββ-++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111ααααA B αα 又231ααα，，线性无关，且2β不能由231ααα，，线性表示，则A B R ()=R ()=4，即2312k +1αααββ，，，线性无关.这个结论肯定了（A ）而排除了（B ）,对条件（C ）,取k =0即与题设矛盾，可排除. 对于（D ）,取k =1时与（A ）中k =1相同，已知（A ）正确，从而否定（D ）. 6.（B ）7. 0abc ≠.提示：231ααα，，线性无关230⇔≠1ααα，，，即0000a cbc a b≠，由此求得0abc ≠.8. 向量组的秩为2. 提示：因为234123412341234234501230123345602460000456703690000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1αααα－－－－－－＝－－－－－－9. t =3. 提示：2312111211121120t 004t 2204t 2204520452003t 0⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1ααα－－－＝－＋－－＋－－－－－－向量组的秩为22t ⇔＝ 10. a ＝－1. 提示：1221a 21212a 3,2a 312a 2130413a 43a 413a 31⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A αAααB －aa 0a ＝＝＋（，）＝＋＋＋＋＋a =-1时，010101R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B A ααB －＝，（，）＝R ()=1<2（向量个数），则A α与α线性相关. 11. V 的维数是2，它的基()()21αα＝1,2,0,＝0,0,1.向量α的坐标是（3，－4）.提示：对V 中任意向量()()(),2,x x y x y x ==1,2,0+0,0,1，向量()(),1,2,00,0,1线性无关.12. 12k ≠. 13. 秩为3，125ααα,,是它的一个极大线性无关组. 14. 12331022βααα＝＋－. 15. 基础解系为(0,0,0,1,1)T=ξ，通解为(0,0,0,,)Tk k k ==x ξ（k 为任意常数）. 16. (8,0,0,3)T=--x4.4.2 提高练习：1. 解 设有数1234,,,x x x x ，使11223344x x x x +++=ααααβ即 123411111111110112101121,(,)2324300103518500010x x x a b a b x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎪+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A β （1）当a ＝－1，b 时，方程组无解，此时β不能表示为1234,,,αααα的线性组合； （2）当a ＝－1，b 时，方程组有唯一的解，此时β有1234,,,αααα的唯一线性表示，求解线性方程组12342344321341234121b ,0,,(1)(1)0b 0x x x x x x x x x x x a x b a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩+++βααααa+b+1-2b 解出＝，＝＝＝a+1a+1a+1-2b a+b+1＝a+1a+1a+1.2. 解： 反证法：若110r r k k ++=αα 至少有一个0i k =，那么11111100i i i i r r k k k k --++++++==αααα，由于r -1个向量是线性无关的， 必有1110i i r k k k k -+======，这样，12,,,r ααα线性无关，与假设矛盾.3. 提示：利用过渡矩阵可逆.4. 提示：1231210023(,,,,)010*******⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭αααββ初等变换123,,ααα与123,,e e e 等价，则123,,ααα是3R 的一个基，并且 1123212333+βαααβααα＝2－，＝3－－2.5. ()()1123123312,,,,111203-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭C αααβββ6. 提示：只需证()()R R R ⎛⎫== ⎪⎝⎭A AB B ， 012123135012210000123000101000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪==→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A CB ,所以()()2R R R ⎛⎫===⎪⎝⎭A AB B ，A B ,由此V 1= V 2. 7. 解：()12341234(,,,),,,=e e e e εεεεC1）()1123412120001,,,14240101-----⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭C εεεε; 2）设α在基（2）下的坐标为1234,,,l l l l ，已知α在基（1）下的坐标为()()1234,,,1,1,1,0k k k k =-，根据坐标变换公式11223344121210000110142411010101l k l k l k l k ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以α在基（2）下的坐标为0，0，-1，1. 3) 13432=+-βεεε在基（1）下的坐标112213344121238000101142423010110k l k l k l k l ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 所以，β在基（1）下的坐标是-8，1，3，0.4）设由基（2）到基（3）的过渡矩阵为Q ，它可以认为是由基（2）到基（1）（过渡矩阵C ），再由基(1)到基(3)的变换，设由基(1)到基(3)的过渡矩阵为G ，则()()12341234,,,,,,==ηηηηe e e e G G ，于是由基(2)到基(3)的过渡矩阵为()12341212202168512000111131222,,,1424021110161223010112222335---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪==== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q CG C ηηηη.8. 提示：已知12,,,n ααα线性无关，则1212120,0n n n ≠=≠αααP αααPαPαPα，所以0≠P9. 提示：()123⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭ααα139,,012000，则()1232R =ααα,,且12αα,为一个最大无关组 ()1231211013003a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭βββ,,，因()123123(,,)2R R ==βββααα,,，则03a b -=， 即3a b =，又3β可由向量组（2）线性表示，即可由最大无关组12αα,线性表示，那么123131302010*********0103b b b b b===--=--ααβ，则5,15b a ==.10. 提示： 1)()()()2322232000103012==-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭AP Ax A x A x Ax A x Ax A x x Ax A x PB， 故000103012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B2) 由111,---+=+A =PBP A I PBPPP ，所以 1001134011+=+==--A I B I11. 提示： 2222231111111011110021λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭B （1）有唯一解21λ⇔≠－，，这时唯一解为 ()2111,,222x x x λλλλλ++=-==+++123. （2） 2λ=－时无解.（3） 1λ＝有无穷多解，这时通解为 12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x ＝（k 1，k 2为任意常数）.12.提示：（1）β可由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，有唯一解0λ⇔≠，且11 / 1111 / 11 3λ≠－； （2）β可由123ααα，，线性表示，但表达式不唯一()123⇔=αααx β，，有无穷多解0λ⇔＝；（3）β不能由123ααα，，线性表示()123⇔=αααx β，，无解3λ⇔＝－13. 提示：（1）1,4k ≠-时，有唯一解 221232242,,111k k k k k x x x k k k+++-===+++； （2）k ＝1时，无解；（3） k =4时有无穷多解，全部解为 034101k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x （k 为任意常数）. 14. 提示：设234(,,,)=1A αααα，则本题是要求a 、b 为何值时，=Ax β有解和无解.（1）1a =-且0b ≠时，β不能由1234αααα，，，线性表示 ；（2）1a ≠- 时，β可由1234αααα，，，唯一线性表示 1234b 1011a b b a a +++++++βαααα－2＝a +1； 当1a =-且0b =时，β可由1234αααα，，，线性表示为1234(12)++-++βαααα121212＝(-2c +c )c c c c （,12c c 为任意常数）15. 提示：先求出（1）的解，然后代入（2），定出m 、n 和t 的值1）(2,4,5,0)(1,1,2,1)T T k =---+x ； 2） 将(2,4,5,0)T---代入（2），得关于m 、n 和t 的线性方程组 2455451151m n t --+=-⎧⎪-+=-⎨⎪-=-+⎩解之得2,4,6m n t ===当2,4,6m n t ===时，（2）的系数矩阵的秩等于（1）的系数矩阵的秩，都是2，则基础解系含一个向量，可由验证（1）的基础解系()T1,1,2,1也是（2）的基础解系. 所以（1）与（2）是同解方程组.。
线性代数练习册第四章习题及答案（本）
线性代数练习册第四章习题及答案（本）第四章线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A.当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?有非零解，则λ= 1 ，μ= 0 .2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠, 则方程组有唯一解i x =i D D.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623x y x y +=??+=?解：832062D ==-≠123532D ==-，2821263D ==-所以，125,62D D x y D D ====-2．123123123231x x x x x x ?+-=??-+-=?解：2131121121221303550111010r r D r r ---=--=-≠+--- 1122210511321135011011D r r ---=-+-=---，212121505213221310101101D r r --=-+-=-----，31212250021122115110110D r r --=+=---所以， 3121231,2,1D D D x x x DDD======3．21241832x z x y z x y z -=??+-=??-++=?解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--，31320101241204120182582D c c =-=--所以， 3121,0,1D D D x y z DDD======4．1234123412341234242235232110x x x x x x x x x x x x ?+-+=-??---=-??+++=?解：21314121311111111112140123223150537331211 2181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---321421232511151110222142251823152352811012110105110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----21231411323151115111214072322215012373302111518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----= --------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231201021521555250271425115264c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D D x x x x DDDD========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ?矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX = 的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）.A.1k α；B.2k α；C.12()k αα+；D.12()k αα-.解：因为m n ?矩阵A 的秩为1n -，所以方程组0AX =的基础解系含1个向量。
高等数学 线性代数 习题答案第四章
习题 4-11.验证函数f (x )=lnsin x 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0.解: 显然()ln sin f x x =在5π,66x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,在π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭内可导,且π5π()()ln 266f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin x f x x x '===,则π2x = 即存在ππ5π(,)66ξα=∈,使()0f ξ'=成立.2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ?[][][]2(1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π(3)()0,π1,0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤⎧=⎨=⎩解: (1) 2()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f -= () f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2()20ex f x x '==得 0x =,即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=.(2) 101()1112x x f x x x x -≤<⎧==-⎨-≤≤⎩显然()f x 在(0,1),(1,2)内连续,又1111(10)lim ()lim(1)0,(10)lim ()lim(1)0,(10)(10)(1)0,即x x x x f f x x f f x x f f f --++→→→→-==-=+==-=-=+==所以()f x 在1x =处连续,而且22(00)lim ()lim(1)1(0),(20)lim ()lim(1)1(2),x x x x f f x x f f f x x f ++--→→→→+==-==-==-==即()f x 在0x =处右连续,在2x =处左连续,所以()f x 在[]0,2 上连续.又1111()(1)1(1)lim lim 1,11()(1)1(1)lim lim 111x x x x f x f xf x x f x f xf x x --++-→→+→→--'===-----'===--(1)(1)()f f f x -+''∴≠∴在1x =处不可导,从而()f x 在(0,2)内不可导.又 (0)(2)1f f == 又由 101()112x f x x -<<⎧'=⎨<<⎩知 ()0f x '≠综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的ξ.(3) 由0(00)lim sin 0(0)1x f x f +→+==≠=知()f x 在0x =不右连续, () f x ∴在[]0,π上不连续, 显然()f x 在()0,π上可导,又(0)1,(π)0f f ==,即(0)(π)f f ≠,且()cos (0,π) f x x x '=∈,取π(0,π)2ξ=∈,有π()cos cos 02f ξξ'===. 综上所述,函数()f x 满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的ξ,ξ=π2.3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解: 显然()f x 在[]1,2上连续,在()1,2内可导,且(1)(2)0f f ==,由罗尓定理知,在()1,2内至少存在一点1ξ,使1()0f ξ'=,即()0f x '=在()1,2内至少有一个实根.同理 ()0f x '=在()2,3内也至少有一个实根2ξ.又()0f x '=是二次方程,最多有两个实根,故()0f x '=有两个实根,分别在区间()1,2和()2,3内.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间［0，1］上的正确性.解: 显然3()2f x x x =+在［0，1］上连续,在()0,1内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.若令2(1)(0)()32310f ff x x -'=+==-则x =,取ξ=,即存在(0,1)3ξ=∈,使得(1)(0)()10f f f ξ-=-成立. 从而拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在［0，1］上成立.5. 已知函数f (x )在［a ,b ］上连续，在(a ,b )内可导，且f (a )=f (b )=0,试证：在(a ,b )内至少存在一点ξ，使得f (ξ)+f ′(ξ) = 0，ξ∈(a ,b ). 证: 令()()e xF x f x =,则()()()e e xxF x f x f x ''=+由e x 在(),-∞+∞上连续,可导,()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,知()F x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导,而且()()0,()()0,()()e e 即abF a f a F b f b F a F b =====,由罗尓定理至少存在一点(,)a b ξ∈使()0F ξ'=. 即 ()()0e e f f ξξξξ'+= 而0e ξ≠ 故 ()()0f f ξξ'+=即在(),a b 内至少存在一点ξ,使得()()0f f ξξ'+=. 6.若方程10110n n n a x a x a x --+++= 有一个正根x 0,证明方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根. 证: 令1011()…nn n f x a x a xa x --=+++,显然()f x 在[]00,x 连续,在()00,x 内可导,且(0)0f =,依题意知0()0f x =.即有0(0)()f f x =.由罗尓定理,至少存在一点0(0,)x ξ∈,使得()0f ξ'=成立,即12011(1)0…n n n a n a n a ξξ---+-++=成立,这就说明ξ是方程12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++= 的一个小于0x 的正根.7. 设f (a ) = f (c ) = f (b ),且a ＜c ＜b , f ″(x )在［a ,b ］上存在，证明在(a ,b )内至少存在一点ξ，使f ″(ξ)= 0.证: 显然()f x 分别在[],a c 和[],c b 上满足罗尓定理的条件,从而至少存在1(,)a c ξ∈,2(,)c b ξ∈,使得12()()0f f ξξ''==.又由题意知()f x '在[]12,ξξ上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈⊂,使得()0f ξ''=.即在(,)a b 内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.习题4-21.利用洛必达法则求下列极限：(1) sin3lim tan5x xxπ→; (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---;(3)lim m m n n x a x a x a →--； (4) 20()lim x xx a x a x →+-,(a ＞0)； (5) 0ln lim cot x xx+→； (6) 0lim sin ln x x x +→; (7) 1ln(1)lim arccot x x x →+∞+; (8) 0e 1lim()e 1x x x x →--; (9) 10lim(1sin )xx x →+; (10) 2lim (arctan )πx x x →+∞(11) c s c 03e lim()2x x x x →-+ ; (12) 2120lim e x x x →;(13) lim )x x →+∞; (14) 1101lim (1)e xxx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦.解:222000011sin 33cos33(1)limlim lim cos3cos 5tan 55sec 5533(1)(1)5511(2)lim lim lim (1)111lim 22(3)lim lim lim πππe e e e e e e e e x x x x x xx x x x x xx x x x m m m n n n x a x a x a x x x x x x x x x x x x a mx x a nx →→→→→→→--→→→==⋅=⋅-⋅-=----==--+++==+-==-.m n m nm m x a n n --=2002220()ln ln()()(4)lim lim 21()()()ln ln()()lim2x xxxx x x x x x x a x a a a x a x a a x x xa x a x a x a a a x a x a x a x →→→⎡⎤+-++⎢⎥+-+⎣⎦=⎡⎤++++-++⎢⎥+++⎣⎦=[]200021()ln ln 012 aa a a aa a a a ++-⋅+==2200000000001ln sin 2sin cos (5)lim lim lim lim cot csc 12sin 0cos 001ln sin (6)lim sin ln lim lim lim tan csc csc cot sin lim lim tan 100x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x xxx x ++++++++++→→→→→→→→→→==-=--=-⋅====-⋅-=-⋅=-⨯=222221111ln(1)111(7)lim lim lim lim 111cot 11arc x x x x xx x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞-++++====+-++ 20002200001(1)(8)lim()lim lim 1(1)21443limlim 12022e e e e e e e e e e e e e e e e e e e x x x x x x x x x x x xxxxx x x x x x x xx x x x x x →→→→→-----==-------====+-++0002cos 11ln(1sin )cos 1sin ln(1sin )lim limlim 11sin 12112ln(arctan )arctan 1limlim 112ln(arctan )(9)lim(1sin )lim 2(10)lim (arctan )lim πππee =e ee ee eeπx x x x x xx xx x xxxxx x x x x x x x xxx x x x →→→→+∞→+∞++++→→⋅⋅+-→+∞→+∞+========221lim12lim(1)arctan (1)arctan πeeex x x xx xx→+∞→+∞--+-+===020033lnln322csc ln lim csc 2sin sin 0002(2)(3)33(2)limlim 1(3)(2)cos cos 3(11)lim()lim lim 21e e e e e e e e eee ee exxxx x x x x x x x e e e x x x x xxxxx x x x x x x x xxx →→→---+++→→→+-+--⋅----+--+-===+====2221111220000221()(12)lim lim lim lim 11()e e ee x xx x x x x x x x x x→→→→'⋅====∞'202211ln(1)1ln(1)1limlim lim 0(13)lim )lim1111lim31(14)lim (1) eeee x x x x x x x x xx xxx x x x x →→→+∞→+∞+-+-→=++===⎡⎤===+⎢⎥⎣⎦00111211lim2(1)2eex x xx →→-+--+==2.设 21lim 1x x mx nx →++-=5,求常数m ,n 的值.解: 1lim(1)0, x x →-= 而21lim 51x x mx n x →++=-21lim()0 x x mx n →∴++= 且21()lim 5(1)x x mx n x →'++='-即 10m n ++= 且 1l i m (2)5x x m →+= 即 1m n +=- 且 25m += 于是得 3,4m n ==-. 3.验证极限sin lim x x xx→∞+存在，但不能由洛必达法则得出.解: sin 1limlim(1sin )1x x x x x x x→∞→∞+=+=,极限存在,但若用洛必达法则,有sin lim lim(1cos )x x x xx x→∞→∞+=+因lim cos x x →∞不存在,所以不能用洛必达法则得出.4.设f (x )二阶可导，求2()2()()limh f x h f x f x h h →+-+-.解: 这是型未定式,利用洛必达法则有 [][]200000()2()()()()limlim2()()()()1lim 21()()1()()11lim lim ()()2222().h h h h h f x h f x f x h f x h f x h h hf x h f x f x h f x hf x h f x f x h f x f x f x h h f x →→→→→''+-+-+--=''''-+---=''''+---''''=+=+-''=5.设f (x )具有二阶连续导数，且f (0) = 0,试证g (x ) = (),0'(0),0f x x x f x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩可导，且导函数连续. 证: 当0x ≠时,2()()()()()f x xf x f x g x x x '-''==当0x =时,由200000()(0)()(0)()(0)lim lim lim 00()(0)1()(0)1lim lim (0)2202x x x x x f x f g x g f x xf x x x x f x f f x f f x x →→→→→'-'--==--''''--''===- 即 1(0)(0)2g f '''=所以 2()(),0()1(0),02xf x f x x xg x f x '-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩由(),()f x f x '的连续性知()g x '在0x ≠处连续,又20000()()()()()lim ()limlim211lim ()(0)(0)22x x x x xf x f x f x xf x f x g x x xf x fg →→→→'''''-+-'=='''''===故()g x '在0x =处连续,所以()g x '在(),-∞+∞内处处连续.综上所述,(),0()(0),0f x xg x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪'=⎩可导,且导函数连续.习题4-31.求函数f (x ) =e x x 的n 阶马克劳林公式.解:()()(1),()(1)(2),()()…x x x x x x k x f x e xe e x f x e x e e x f x e k x '=+=+''=++=+=+()()(0)1(0),(1,2,3,)!!(1)!k k f k fk k k k k ∴====-又 (0)0f =321(1)()(01)2!(1)!(1)!n x n x x e n x f x x x x n n θθθ+++∴=+++++<<-+2.当01x =-时，求函数f (x ) = 1x的n 阶泰勒公式. 解:()()[]23()2341()1()112212!3!!()(1),()(1),()(1),,()(1)!(1)(1)!(1)(1)!1,(0,1,2,)!!(1)()(1)1(1)111(1) … n n n n n n n n n nn n f x f x f x f x x x x x n f n f n n n n x f x x x x x θ-++++''''''=-=-=-=-∴-=-⋅=----==-=+∴=-+-⎡⎤+++++++⎣⎦-++ (01)θ<<3.按(4)x -的乘幂展开多项式432()53 4.f x x x x x =-+-+解: 函数432()534f x x x x x =-+-+,根据泰勒公式按(4)x -的幂的展开式是2(4)34(4)()(4)(4)(4)(4)2!(4)(4)(4)(4)3!4! f f x f f x x f f x x '''=+-+-'''+-+- 而[][][]432324244(4)(4)454434456,(4)21,41523(4)137,123022!2(4)111,24303!3!(4)12414!4!x x x f f x x x f x x f x f ====-⨯+-⨯+=-'==-+-''==-+'''==-=⨯=所以,234()5621(4)37(4)11((4)(4)f x x x x x =-+-+-+-+-.4.利用泰勒公式求下列极限:(1) 30sin limx x x x →-; (2) 21lim ln(1)x x x x →+∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦. 解: (1) 利用泰勒公式,有34sin ()3!x x x o x =-+所以 343300430()sin 3!lim lim 1()1lim()66x x x x o x x x x x o x x →→→--==-= (2) 利用泰勒公式,有221111ln(1)()2o x x x x+=-+,所以222222221111lim lim ln(1)(())21()1111lim lim .()1222x x x x x x x x o x x x x o x x o x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=-+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 习题4-41. 求下面函数的单调区间与极值：(1)32()26187f x x x x =---； (2)()ln f x x x =-； (3)23()1(2)f x x =--； (4)()(4)f x x x =-. 解: (1) 2()612186(1)(3),f x x x x x '=--=+-令()0f x '=得驻点121,3,x x =-=-在()(),,13,-∞-+∞上,()0f x '>,在()1,3-上()0f x '< ∴ ()f x 在(,1],[3,)-∞-+∞上单调增加,在[]1,3-上单调减少.当 1x =-时, ()f x 有极大值,极大值为(1)3f -=, 当 3x =时, ()f x 有极小值,极小值为(3)61f =-.(2) 11()1x f x x x-'=-=,令()0f x '=得驻点1x = 在()0,1上,()0f x '<;在()1,+∞上,()0f x '> ∴ ()f x 在(0,1]上单调递减;在[1,)+∞上单调递增. 当1x =时,()f x 有极小值,极小值为(1)1f =. (3)()()0f x f x ''=≠ 但当2x =时,()f x '不存在, 在(,2)-∞上,()0f x '>;在(2,)+∞上,()0f x '<, ∴ ()f x 在(,2]-∞上单调递增;在[2,)+∞上单调递减. 当2x =时, ()f x 有极大值,极大值为(2)1f =.(4) 2240()40x xx f x x xx ⎧-≥=⎨-+<⎩ ,则 240()240x x f x x x ->⎧'=⎨-+<⎩且当 0x =时,()f x '不存在,又令()0f x '=得2x = 在(,0),(2,)-∞+∞上,()0f x '>,在(0,2)上()0f x '< ∴ ()f x 在(,0],[2,)-∞+∞上单调递增;在[0,2]上单调递减; 当0x =时,()f x 有极大值,极大值为(0)0f =; 当2x =时, ()f x 有极小值,极小值为(2)4f =-. 2. 试证方程sin x = x 只有一个根.证: 显然0x =是方程sin x x =得一个根(亦可将()sin f x x x =-运用零点定理).令()sin f x x x =-,则()cos 10f x x '=-≤,而()0f x '=的点不是单调区间的分界点,故()f x 在(,)-∞+∞内单调下降,所以()f x 在(,)-∞+∞内只有一个零点,即方程sin x x =只有0x =一个根.3. 已知()([0,))f x C ∈+∞，若f (0) = 0, f ′(x )在[0,)+∞内存在且单调增加，证明()f x x在［0,＋∞)内也单调增加.解: 0 x ∀>,由题意知()f x 在[]0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件,利用拉格朗日中值定理得,(0,) x ξ∃∈,使()(0)()f x f xf ξ'-=, 因 ()f x '在[0,)+∞单调增加,且(0)0f =,所以()()()f x xf xf x ξ''=≤ 即 ()()0xf x f x '-≥令 ()()(0) f x F x x x=>,则 2()()()0xf x f x F x x '-'=≥ 所以()F x 单调递增,即 ()f x x在(0,)+∞内单调增加.4. 证明下列不等式：(1) 1+12x x ＞0； (2)2ln(1)(0)2 x x x x x -<+<>.证: (1) 令 1()12f x x =+则1()(12f x '=, 当 0x >时1,()0f x '<>即()f x 单调递增,从而()(0)0f x f >=,故112x +>. (2) 令 2()ln(1)2x f x x x =+-+,则 21()111x f x x x x'=-+=++当 0x >时,有()0f x '>,即()f x 单调递增,从而()(0)0f x f >= ,即2ln(1)2x x x +>-又令 ()ln(1)g x x x =-+,则1()111xg x x x'=-=++ 当 0x >时,()0g x '>,即 ()g x 单调递增,从而()(0)0g x g >=,即ln(1)x x >+.综上所述,当0x >时有2ln(1)2x x x x -<+<. 5. 试问a 为何值时，f (x ) = a sin x +13sin ３x 在x =3π处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值.解: ()cos cos3f x a x x '=+若3πx =为极值点,则cos cos 03ππa +=,所以2a =.又()2sin 3sin 3,()03πf x x x f ''''=--=<故函数在3πx =处取得极大值,极大值为()3πf =习题4 - 51. 某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此批牛仔裤的需求函数为402Q P =-,问该个体户应将销售价定为多少时，才能获得最大利润? 解: 利润2()10260400L P PQ Q P P =-=-+-, ()460L P P '=-+,令 ()0L P '=得 P =15所以应将销售价定为每条15元,才能获得最大利润.2.设 f (x ) = cx α (c ＞0,0＜α＜1)为一生产函数，其中c 为效率因子，x 为投入量，产品的价格P 与原料价格Q 均为常量，问：投入量为多少时可使利润最大? 解: 依题意,总利润()()()L x Pf x Q x P cx Qx α=-=⋅- 则 1()L x Pc xQ αα-'=- 令 ()0L x '=得 11Q x Pc αα-⎛⎫=⎪⎝⎭所以,投入量为11Q Pc αα-⎛⎫⎪⎝⎭时利润最大.3. 某产品的成本函数为23()156C Q Q Q Q =-+，(1) 生产数量为多少时，可使平均成本最小?(2) 求出边际成本，并验证边际成本等于平均成本时平均成本最小. 解: (1) 2()()156C Q C Q Q Q Q==-+ 令 260()Q C Q '=-=⎡⎤⎣⎦得Q =3 故 生产数量3Q =时,可使平均成本最小. (2) 2()15123MC C Q Q Q '==-+当 3Q =时,15123396MC =-⨯+⨯= 2()156336C Q =-⨯+=即边际成本等于平均成本时平均成本最小. 4. 已知某厂生产Q 件产品的成本为C ＝25000＋2000Q ＋1402Q （元). 问：(1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品?(2) 若产品以每件5000元售出，要使利润最大，应生产多少件产品? 解: (1) 平均成本 250001()200040C Q Q Q =++ 边际成本1()200020C Q Q '=+. 当()()C Q C Q '=时,平均成本最小,由()()C Q C Q '=即2500011200020004020Q Q Q ++=+ 得1000Q =(负值不合题意已舍去). 所以要使平均成本最小,应生产1000件产品.(2)221()5000()500025000200040130002500040L Q Q C Q Q Q Q Q Q =-=---=-+-令 1()3000020L Q Q '=-+=, 得60000Q =(件) 所以应生产60000件产品.5. 某厂全年消耗(需求)某种钢材5170吨，每次订购费用为5700元，每吨钢材单价为2400元，每吨钢材一年的库存维护费用为钢材单价的13.2%，求： (1) 最优订购批量； (2) 最优批次； (3) 最优进货周期； (4) 最小总费用.解: 由题意 215170,5700,1,240013.2%316.8 R C T C ====⨯= 则(1)最优订购批量70*431.325q === (2)最优批次 5170*12*431.325R n q ==≈(次)(3)最优进货周期 36530.452*12T t n ===(天) (4)最小总费用*136643.9E ==≈(元)6. 用一块半径为R 的圆形铁皮，剪去一圆心角为α的扇形后，做成一个漏斗形容器，问α为何值时，容器的容积最大?解: 设漏斗的底面半径为r ,高为h ,为了计算方便令2ϕπα=-,则2,,2ππR r R r h ϕϕ====漏斗的容积2322123(83)πππV hr V ϕϕ==<<'=-令 0V '=得10ϕ=(舍之),2ϕ=,34222237),40,9πππV V ϕϕϕ''=-+-⎫''=-<⎪⎭故当ϕ=时漏斗得容积最大.由2πϕα=-得2π2πα==, 所以,当2πα=-时,容积最大. 7. 工厂生产出的酒可即刻卖出，售价为k ；也可窖藏一个时期后再以较高的价格卖出.设售价V 为时间t 的函数V = k (k ＞0)为常数.若贮存成本为零，年利率为r ，则应何时将酒售出方获得最大利润(按连续复利计算). 解: ()e rtrtA t k k -=⋅=令()0rt r A t k ⎫'-==⎪⎭得214t r = 所以,应窖藏214r 时以后售出可获得最大利润. 8. 若火车每小时所耗燃料费用与火车速度的三次方成正比，已知速度为20km/h ，每小时的燃料费用40元，其他费用每小时200元，求最经济的行驶速度. 解: 设火车每小时所耗燃料费为Q ,则 3Q k v = (k 为比例常数) 依题意得 34020k =⋅, 解得 1200k =, 又设火车行驶()km s 后,所耗费用为, 32200(200)()s E kv kv s v v=+⋅=+ 令 2200()0100v E s v'=-=, 得27.14v =≈ (km/h), 所以,最经济得行驶速度为27.14 km/h.习题 4-61. 讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点：(1) y =2x －3x ； (2) y = ln(1+2x )； (3) y = x e x； (4) y = 4(1)x +＋e x； (5) y =2(3)x x +； (6) y=arctan e x. 解: (1)223,126,0.3令 得 y x x y x y x '=-''''=-==当13x <时,0y ''>; 当13x >时,0y ''<,且12()327f = 所以,曲线23y x x =-在1(,)3-∞内是下凸的,在1(,)3+∞内是上凸的,点12(,)327是曲线的拐点.(2) 222222222(1)222(1),1(1)(1)x x x x x y y x x x +-⋅--'''===+++, 令0y ''=得,121,1x x =-=,这两点将定义域(,)-∞+∞分成三个部分区间,列表考察各部分区间上二阶导数得符号.所以,曲线2l n (1)y x =+在(,1)-∞-及(1,)+∞内是上凸的,在(1,1)-内是下凸的,点(1,ln 2)±是曲线的拐点.(3) 324(1),12(1)0xxy x e y x e '''=++=++> 所以,曲线在定义域(,)-∞+∞内处处下凸,没有拐点.(4) 343212,(3)(3)x x y y x x --'''==++,令 0y ''=得6x = 当 6x <时,0y ''<,当6x >时,0y ''>;又2(6)27f =,函数的定义域为(,3)(3,)-∞--+∞ ;所以曲线在(,3),(3,6)-∞--内上凸,在(6,)+∞内下凸,点2(6,)27是拐点. (6)arctan 2arctan arctan arctan 2222221112(12)(1)(1)(1)x x x x y e x x x ey e e x x x '=⋅+-''=⋅-⋅=+++令 0y ''= 得 12x =当 12x <时,0y ''>,当12x >时,0y ''<,且 1arctan 21()2e f =,所以曲线在1(,)2-∞内向下凸,在1(,)2+∞内向上凸,点1arctan 21(,)2e是拐点. 2. 利用函数的凸性证明下列不等式：(1) e e 2x y +＞2e x y+， x ≠y ;(2) x ln x +y ln y ＞(x +y )ln2x y +,x ＞0,y ＞0,x ≠y .证: (1) 令()e x f x =,则()e x f x '=,()0e xf x ''=>,所以函数()f x 的曲线在定义域(,)-∞+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有: ()(),()()22x y f x f y x y f x y ++∀≠<≠ 即 22e e ex y x y ++< 即2()2e e e x yx y x y ++>≠.(2) 令()ln f x x x =,则1()1ln ,()f x x f x x'''=+=当 0x >时,恒有()0f x >,所以()f x 的曲线在(0,)+∞内是严格下凸的,由曲线下凸的定义有, 0,0,,x y x y ∀>>≠有()()()22f x f y x y f ++>即ln ln ()ln222x x y x y x y+++> 即 ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+.3. 当a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =a 3x +b 2x 的拐点. 解: 因为32y ax bx =+是二阶可导的,所以在拐点处0y ''=,而232,62y a x b x y a x b'''=+=+ 所以 620a b += 又拐点(1,3)应是曲线上的点,所以3a b +=解方程6203a b a b +=⎧⎨+=⎩ 得 39,22a b =-=所以当39,22a b =-=时,点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点. 4. 求下列曲线的渐近线：(1) y = ln x ; (2)y =22x -; (3) y = 23xx -； (4) y = 221x x -.解: (1) 0lim lim ln x x y x ++→→==-∞,所以ln y x =有垂直渐近线 0x =. 又 lim x y →+∞=+∞,但1ln lim lim lim 01x x x y xx y x x→+∞→+∞→+∞====,lim (0)x y x →+∞-⋅=∞,所以不存在水平或斜渐近线.(2) 220x x -=,所以有水平渐近线0y =,又2lim 0x x x y x -→∞→∞== ,所以没有斜渐近线,又函数22x y -=没有间断点,因而也没有垂直渐近线. (3) 221limlim 0331x x xxx x →∞→∞==--,所以有水平渐近线0y =,又函数23x y x ==-有两个间断点x x ==,且22,,3x x x xx x=∞=∞--所以有两条垂直渐近线x =x =又 21lim lim 3x x y x x →∞→∞==∞-,所以没有斜渐近线.(4) 2lim lim 21x x x y x →∞→∞==∞- ,所以没有水平渐近线,又 函数221x y x =-有间断点12x =,且212lim 21x x x →=∞-,所以有垂直渐近线12x =. 又 1limlim 212x x y x x x →∞→∞==- 2111l i m ()l i m ()l i m 22122(21)4x x x x x y x x x x →∞→∞→∞-=-==-- 所以有斜渐近线1124y x =+. 5.作出下列函数的图形： (1) f (x ) =21xx+； (2) ()2arctan f x x x =- (3) ()2,(0,)e xf x x x -=∈+∞. 解: (1) (i) 定义域为(,)-∞+∞.()()f x f x -=- ,故曲线关于原点对称.(ii) 21lim limlim 012x x x x y x x→∞→∞→∞===+ ,故曲线有渐近线0y =.(iii) 222222121,(1)(1)x x x x y x x +-⋅-'==++ 22223322423232(1)(1)2(1)222442(3)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x y x x x -+--⋅+⋅---+-''===+++,令0y '=即210x -=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0,x =.图4-1(2) (i) 定义域为(,)-∞+∞.又 ()arctan y x x x y -=-+=-,故为奇函数.(ii) 2arctan lim ,limlim (1)1,x x x y x y x x→±∞→±∞→±∞=∞=-=πlim ()lim (2arctan )(2)()π2x x y x x →±∞→±∞-=-=-±= 所以有渐近线πy x = .(iii) 222211,11x y x x -'=-=++ 2222222(1)(1)24,(1)(1)x x x x x y x x +--⋅''==++令 0y '=得驻点1x =±,又使0y ''=的点为0x =. 列表如下:图4-2(3) (i) 定义域为(,)-∞+∞,且()((,))f x C ∈-∞+∞. (ii) ()2(1),()2(2),e e xxf x x f x x --'''=-=-由()0f x '=得1x =,由()0f x ''=得2x =,把定义域分为三个区间 (,1),(1,2),(2,);-∞+∞(iv) lim ()0x f x →+∞=,故曲线()y f x =有渐近线0y =,lim ()x f x →+∞=-∞.(v) 补充点(0,0)并连点绘图,如图所示:图4-3。
线性代数练习册第四章习题及答案
线性代数练习册第四章习题及答案篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算4-1-1、已经明白空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的间隔．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB?4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特别位置：A?3,4,0?; B?0,4,3? ；C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解：A (3，4，0) 在xoy面上B（0，4，3）点在yoz 面上C（3，0，0）在x轴上D（0，－1，0）在y轴上4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：假设平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已经明白AO＝OC，DO＝OB 由于AB＝AO＋OB ＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 因此ABCD为平行四边形。
4-1-8. 已经明白向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．解：.prjuu)4*cos60＝4?r?rcos(r。
3＝23 24-1-9. 已经明白一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x2y?3z0?04-1-12. 求以下向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：（1）a??2,?1,1? ；（2）b??4,?2,2? ；（3）c??6,?3,3? ；（4）d2,1,?1? ．解：（1）a＝（2，－1，1）a?22(1)122cos??22 ??a36cos??126cos a6a6（2）b=(4,-2,2) b?42(2)2 cos2226b3cos??26?2?b666cos b0,, b6b6b366（3）c=(6,-3,3) c?b2(4)3 cos222363cos??336cos??233626 62（4）d=(-2,1,-1)d?(?2)?1?(?1)?6cos??263cos??16d6cosd0??{?,,?66d366与前三向量单位同的d??{?6,,?。
线性代数习题答案4
a2 + b2 3 (a2 + b2 3)(a2 − b2 3) a22 − 3b22
a22 − 3b22
3,
a1 ± a2 , b1
± b2;
a1a2
+ 3b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 a22
− 3b1b2 − 3b22
,
(a2b1 − a1b2 a22 − 3b22
)
都是有理数,故 K2 是数域.
x + y = (x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 )T , 2(x1 + y1) + 3(x2 + y2 ) − (x3 + y3 ) = 0 ⇒ x + y ∈W4 , kx = (kx1, kx2 , kx3)T , 2(kx1) + 3(kx2 ) − (kx3) = 0 ⇒ kx ∈W4 故W4 对 R3 中的加法与数乘运算封闭, 它是 R3 的子空间. (5) W5 = {x ∈ R3 | 2x1 + 3x2 − x3 = 1}; 【解】W5 不是 R3 的子空间. 显然W5 中不含有零向量, 故W5 不是 R3 的子空间. (6) W6 = {x ∈ R3 | x1 − x22 = 0}.
=
a1a2 a22
+ b1b2 + b22
+
(a2b1 a22
− a1b2 ) + b22
i,
a1
± a2 , b1
± b2;
a1a2
− b1b2 , a1b2
+ a2b1;
a1a2 + b1b2 a22 + b22
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第四章复习题答案
一、选择题 1、向量组ααα１２３，，线性无关的充要条件为（ C ）
A 、ααα１
２３，，均不是零向量 B 、ααα１
２３，，中任意两个向量的分量不成比例 C 、ααα１
２３，，中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D 、１２３，，ααα中一部分向量线性无关 解析：（1）线性相关⇔至少一个向量能由其余两个向量线性表出 （2）线性无关⇔任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 2、设A 为n 阶方阵，且A =0，则下列结论错误是（ C ）
A 、Ｒ（Ａ）＜ｎ
B 、Ａ的ｎ个列向量线性相关
C 、Ａ的两行元素成比例
D 、Ａ的一个行向量是其余ｎ－１个行向量的线性组合 3、已知矩阵A 的秩为r ，则下列说法不正确的是（ A ）
A 、矩阵A 中任意r 阶子式不等于0
B 、矩阵A 列向量组的r 个列向量线性无关
C 、矩阵A 列向量组的任意r+1个列向量线性相关
D 、矩阵A 中所有高于r 阶的子式全等于0 解析：只是存在一个r 阶子式不等于0
4、设12,s ααα 均为n 维向量，则下列结论中不正确的是（ D ） A 、当维数n 小于向量个数s 时，则向量组12,s ααα 线性相关
B 、若向量组12,s ααα 线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示
C 、若对任意一组不全为零的数12,s k k k 都有11220s s k k ααα+++≠ k ，则向量组12,s ααα 线性无关
D 、若向量组12,s ααα 线性相关，则其中任意一个向量都可由其余s-1个向量线性表示 解析：（1）线性相关⇔至少一有个向量能由其余两个向量线性表出 不是任意 二、填空
1、设12311112010ααα===T
T
T
（，-，），（，，），（，，a)线性无关（相关），则a 取值22
()33
a a ≠=
2、设Ａ为35⨯的矩阵，且()3R A =，则齐次线性方程组Ax=0基础解系所含向量个数是 2
3、若12312αααββ，，，，都为四维向量，且四阶行列式1231m αααβ=，，，，1232n αααβ=，，，， 则四阶行列式12312αααββ+=
，，，（）m n +
4、n 维向量组1,2m ααα，当m n >时线性相关。
5、线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b =
三、判断
1、若向量组123,,n αααα 线性相关，则1α可有23n ααα ，线性表示。
（ × ）
2、两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量成比例。
（ √ ）
3、线性无关的向量组中可以包含两个成比例的向量。
（ × ）
4、当向量组的维数小于向量个数时，向量组线性相关 （ √ ）
5、向量组12,,m ααα 线性相关，则向量组12,,,m αααβ 也线性相关。
（√ ）
6、一个向量组线性无关的充分必要条件是任何一个向量都不能由其余向量线性表示 （√ ）
7、齐次线性方程组的基础解系不唯一，但基础解系所含向量个数是唯一确定的 （√ ）
8、若12,ξξ为齐次线性方程组
0Ax =的解，则12ξξ-也是0Ax =的解 （√ ）
三、计算及证明
1、设向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,4)T α=，4(1,1,2,0)T α=-，5(2,1,5,6)T
α= 求向量组的秩及其一个最大无关组。
解：设12345(,,,,)A ααααα=
2131
2332413423410312103121
031
203303011010110101101033030284202842028420
0000r r r r r r r r r r r r A +-↔--↔⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--- ⎪ ⎪ ⎪
------⎝⎭⎝⎭⎝⎭
～～～ 3221103
120110100104400000r r A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
--- ⎪⎝⎭
～
即()3R A =，由1A 中前三列线性无关，有123,,ααα为最大无关组。
2、求下列齐次线性方程组的基础解系1212341
234022053220
x x x x x x x x x x +=⎧
⎪
+++=⎨⎪+++=⎩
解：系数矩阵3221
3122511001
1
001100211201120112532202220002r r r r r r A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
～～
23
2123(1)(2)101010100110011000020001r r r r r r +⨯-+÷-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭
～～ 解为：13234
x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令31x =，则基础解系为1110ξ-⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
3、求解线性方程组1234123412
342322213523
x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪
---=⎨⎪+--=⎩，并写出所对应的齐次线性方程组的基础解系
解: 增广矩阵73
41055512312413212110155531523000
00B ⎛
⎫--
⎪--⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪=----- ⎪ ⎪ ⎪--
⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝
⎭
~ 则，134234734555413555x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩
令3142,x c x c ==
通解为121234734555413555100010x x c c x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则基础解系为：12735541,551001ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
4、已知向量组123，，ααα线性无关，11232=+-βααα ，2213=-+βααα， 31232=-+βααα， 求证向量组1,23,βββ线性无关。
解：设 1122330x x x ++=βββ
即 112321233123(2)()(2)0x x x +-+-++-+=ααααααααα 即 123112321233()(22)()0x x x x x x x x x +++--+-++=ααα 由123，，ααα线性无关可知
123123123
02200x x x x x x x x x ++=⎧⎪
--=⎨⎪-++=⎩
解方程得 1230x x x === 有向量组1,23,βββ线性无关。