线性代数第四章复习题答案

第四章复习题答案

一、选择题 1、向量组ααα１２３，，线性无关的充要条件为（ C ）

A 、ααα１

２３，，均不是零向量 B 、ααα１

２３，，中任意两个向量的分量不成比例 C 、ααα１

２３，，中任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 D 、１２３，，ααα中一部分向量线性无关 解析：（1）线性相关⇔至少一个向量能由其余两个向量线性表出 （2）线性无关⇔任意一个向量均不能由其余两个向量线性表出 2、设A 为n 阶方阵，且A =0，则下列结论错误是（ C ）

A 、Ｒ（Ａ）＜ｎ

B 、Ａ的ｎ个列向量线性相关

C 、Ａ的两行元素成比例

D 、Ａ的一个行向量是其余ｎ－１个行向量的线性组合 3、已知矩阵A 的秩为r ，则下列说法不正确的是（ A ）

A 、矩阵A 中任意r 阶子式不等于0

B 、矩阵A 列向量组的r 个列向量线性无关

C 、矩阵A 列向量组的任意r+1个列向量线性相关

D 、矩阵A 中所有高于r 阶的子式全等于0 解析：只是存在一个r 阶子式不等于0

4、设12,s ααα 均为n 维向量，则下列结论中不正确的是（ D ） A 、当维数n 小于向量个数s 时，则向量组12,s ααα 线性相关

B 、若向量组12,s ααα 线性无关，则其中任意一个向量都不能由其余s-1个向量线性表示

C 、若对任意一组不全为零的数12,s k k k 都有11220s s k k ααα+++≠ k ，则向量组12,s ααα 线性无关

D 、若向量组12,s ααα 线性相关，则其中任意一个向量都可由其余s-1个向量线性表示 解析：（1）线性相关⇔至少一有个向量能由其余两个向量线性表出 不是任意 二、填空

1、设12311112010ααα===T

T

T

（，-，），（，，），（，，a)线性无关（相关），则a 取值22

()33

a a ≠=

2、设Ａ为35⨯的矩阵，且()3R A =，则齐次线性方程组Ax=0基础解系所含向量个数是 2

3、若12312αααββ，，，，都为四维向量，且四阶行列式1231m αααβ=，，，，1232n αααβ=，，，， 则四阶行列式12312αααββ+=

，，，（）m n +

4、n 维向量组1,2m ααα，当m n >时线性相关。

5、线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是()(,)R A R A b =

三、判断

1、若向量组123,,n αααα 线性相关，则1α可有23n ααα ，线性表示。 （ × ）

2、两个向量线性相关的充分必要条件是这两个向量成比例。 （ √ ）

3、线性无关的向量组中可以包含两个成比例的向量。 （ × ）

4、当向量组的维数小于向量个数时，向量组线性相关 （ √ ）

5、向量组12,,m ααα 线性相关，则向量组12,,,m αααβ 也线性相关。 （√ ）

6、一个向量组线性无关的充分必要条件是任何一个向量都不能由其余向量线性表示 （√ ）

7、齐次线性方程组的基础解系不唯一，但基础解系所含向量个数是唯一确定的 （√ ）

8、若12,ξξ为齐次线性方程组

0Ax =的解，则12ξξ-也是0Ax =的解 （√ ）

三、计算及证明

1、设向量组1(1,1,2,4)T α=-，2(0,3,1,2)T α=，3(3,0,7,4)T α=，4(1,1,2,0)T α=-，5(2,1,5,6)T

α= 求向量组的秩及其一个最大无关组。 解：设12345(,,,,)A ααααα=

2131

2332413423410312103121

031

203303011010110101101033030284202842028420

0000r r r r r r r r r r r r A +-↔--↔⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

--- ⎪ ⎪ ⎪

------⎝⎭⎝⎭⎝⎭

～～～ 3221103

120110100104400000r r A -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪

--- ⎪⎝⎭

～

即()3R A =，由1A 中前三列线性无关，有123,,ααα为最大无关组。

2、求下列齐次线性方程组的基础解系1212341

234022053220

x x x x x x x x x x +=⎧

⎪

+++=⎨⎪+++=⎩

解：系数矩阵3221

3122511001

1

001100211201120112532202220002r r r r r r A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝

⎭⎝⎭

～～

23

2123(1)(2)101010100110011000020001r r r r r r +⨯-+÷-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝

⎭

～～ 解为：13234

x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 令31x =，则基础解系为1110ξ-⎛⎫

⎪

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

。 3、求解线性方程组1234123412

342322213523

x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪

---=⎨⎪+--=⎩，并写出所对应的齐次线性方程组的基础解系

解: 增广矩阵73

41055512312413212110155531523000

00B ⎛

⎫--

⎪--⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪=----- ⎪ ⎪ ⎪--

⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝

⎭

~ 则，134234734555413555x x x x x x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩

令3142,x c x c ==