第三讲 索罗增长模型
宏观经济学 索洛增长模型名词解释
宏观经济学索洛增长模型名词解释
宏观经济学是研究整个经济体系的产出、就业、价格和政策等方面的学科。
它主要关注国民经济总体运行规律和政府应对宏观经济波动的政策。
索洛增长模型是一种描述经济增长的数学模型，由美国经济学家罗伯特·索洛于1956年提出。
该模型认为，技术进步是推动经济增长的主要因素。
在该模型中，技术进步被视为一种外生变量，即与其他因素无关，对于经济增长有直接而持续的影响。
同时，该模型还考虑了人口增长、资本积累等因素对于经济增长的影响。
在索洛增长模型中，经济增长被分解为两个部分：一个是由技术进步所带来的效应，另一个则是由资本积累所带来的效应。
其中，技术进步所带来的效应可以通过提高生产率来实现，而资本积累则可以通过投资来实现。
总之，宏观经济学和索洛增长模型都是研究整个经济体系运行规律和推动经济发展的重要学科和理论。
它们对于经济政策制定和实践具有重要的指导意义。
索洛经济增长模型
索洛经济增长模型索洛经济增长模型是以罗伯特·索洛为首的一群经济学家在20世纪50年代提出的，在经济学界有着广泛的应用。
该模型旨在解释经济增长的来源和进程，以及如何促进经济发展。
通过分析经济体的技术进步和资本投资、劳动力等要素，来研究经济增长长期均衡状态下的影响因素。
下面我们来详细介绍一下索洛经济增长模型。
首先，索洛经济增长模型的核心思想是技术进步的推动作用。
在该模型中，技术进步是经济发展的推动力量，而经济增长的速度则取决于技术进步的速度。
技术进步可以分为两种类型，即劳动密集型技术和资本密集型技术。
劳动密集型技术是指相对于资本而言，需要大量使用劳动力的技术；资本密集型技术则是指相对于劳动力而言，需要大量使用资本的技术。
在经济增长中，技术进步的推动作用主要通过两种途径实现：一是通过技术的累积积累，改进产品质量和效率；二是通过技术传播，促进技术使用和合作，从而推动行业和整个经济体的发展。
其次，索洛经济增长模型还关注资本的积累和分配。
资本积累是经济快速增长的必要条件，而资本分配则决定了经济增长的速度和质量。
在该模型中，资本积累主要通过增加投资和积累扩大化来实现。
增加投资，即加大对生产资料的投入，并为企业提供更多的融资渠道；积累扩大化则是指将企业内部的产量和效率优化，提高企业利润水平，为企业自身的发展提供足够的资本积累。
最后，索洛经济增长模型还强调了劳动力的重要性。
劳动力在经济增长中发挥着至关重要的作用，其质量和数量都会直接影响到生产力和经济增长的水平。
因此，在该模型中，劳动力的培训和教育成为了经济发展的重要支撑。
通过提高劳动力的素质和技能，可以推动经济的技术进步和创新能力，进而促进经济发展和增长。
总之，索洛经济增长模型提出了技术进步、资本积累和劳动力素质这三个方面的关键要素，以解释经济增长的来源和进程。
通过优化这些方面的要素，可以促进经济的持续增长和发展。
索洛增长模型
稳态分析的图形
y
yA
syA
A
0
kA
(n+g+δ)k
f(k) sf(k)
k
图中，sf(k)为人均储蓄曲线，它与 人均生产函数有相同形状但是位于生 产函数的下方。另外一条直线表示资 本的广化。
根据稳态分析，sy= （n+g+δ）k， 此时（n+g+δ）k线和sy曲线相交， 交点A所对应的人均资本为kA，人均 产量为yA，这时人均储蓄恰好等于资 本广化的需要，即
当经济处于资本深化阶段时，产出的增长 会快于人口的增长，人均产出水平会不断 提高。因此对于资本贫乏的国家，其产出 增长率会高于资本充裕的国家，但是随着 资本深化的提高，他将日益接近于稳定增 长的人均资本水平，经济增长率最终会慢 下来。因此当经济偏离稳定状态时，无论 人均资本过多还是过少，都存在着某种力 量使其恢复到长期增长的均衡状态。这是 新古典经济增长理论对哈罗的模型的改进。
y
人均产出和增长率随时间变化的轨迹
y0
0
t0
t1
t
g
0
t
上图的上半部分显示了人均产出水平 的时间路径。储蓄率的提高增加了人 均资本占有量从而人均产量提高，直 到达到新的稳定状态。
下半部分则显示了人均产量增长率的 时间路径。储蓄率的增加会导致资本 积累，实现人均产量水平的暂时性较 高增长，但是随着资本积累，人均产 量的增长率最终会回落到人口增长率 水平。
Байду номын сангаас
储蓄率变动对消费的影响
若将家庭引入模型，其福利将取决于消费而非产量， 因此在许多情况下，我们可能只关心消费变动而非产 量变动。
率为n，知识增长率为g。
索洛增长模型
在A点的左边，sy曲线比（n+g+δ）k
线高，这表明储蓄高于资本广化的需 要，会导致人均资本k的提高，从而使 产出增加，k会不断向kA靠近，直到最 终用于资本广化的储蓄等于全部储蓄， 而人均占有的资本数量保持不变，经 济增长达到稳定状态。 在A点的右边，情况完全相反。
当经济处于资本深化阶段时，产出的增长
y
人均产出和增长率随时间变化的轨迹
y00 gFra bibliotekt0t1
t
0
t
上图的上半部分显示了人均产出水平
的时间路径。储蓄率的提高增加了人 均资本占有量从而人均产量提高，直 到达到新的稳定状态。 下半部分则显示了人均产量增长率的 时间路径。储蓄率的增加会导致资本 积累，实现人均产量水平的暂时性较 高增长，但是随着资本积累，人均产 量的增长率最终会回落到人口增长率 水平。
由于K / AL k , L/ L n, A/ A g , K sY (t ) K (t ),则， sY (t ) K (t ) Y (t ) k (t ) k (t )n k (t ) g s k (t ) nk(t ) gk(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) 应用Y / AL f (k ), 有 k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t )
索罗模型的定量含义
前面我们对储蓄率变动 对增长产生的水平影响 的解释如果成立，取决 于经济体系从前一个均 衡增长向后一个均衡增 长路径收敛的速度，如 果 需要上百年的时间才能 最终收敛，那么这种水 平 效应的认识就毫无意义 。下面我们将对这一过 程 作定量化分析。
储蓄率上升对产量的影 响
索洛增长模型名词解释
索洛增长模型名词解释
一、概念
索洛增长模型，又称作新古典经济增长模型或外生经济增长模型，是 Solow 于 1956 年首次创立的经济增长模型。
该模型旨在说明储蓄、资本积累和经济增长之间的关系，是分析以上三个变量关系的主要理论框架。
二、原理
索洛模型对经济总体的增长贡献被设定为由劳动、资本和技术进步三者组成。
该模型假设边际生产递减的一次齐次的总生产函数，满足稻田条件，储蓄率一定，技术进步为外生等条件。
在此基础上，得出了政府政策对于经济增长的作用是无效的结论。
三、应用
索洛模型的应用十分广泛，可以用于分析国家和地区的经济增长情况，为企业和政府制定经济政策提供理论依据。
例如，通过索洛模型可以分析资本积累、技术进步、劳动力等因素对经济增长的贡献，以及各种政策对经济增长的影响。
四、影响
索洛模型的创立对经济增长理论产生了深远的影响。
一方面，该模型提出了储蓄、资本积累和技术进步是经济增长的重要因素，为经济增长理论研究提供了新的视角和思路。
另一方面，该模型得出的政府政策无效论使人们意识到，政府政策并非万能，经济增长还需要依靠市场机制和内在动力。
然而，需要注意的是，索洛模型存在诸多假设条件，如边际生产递减、储蓄率一定等，这些假设条件在现实经济中并不完全符合。
因此，在应用索洛模型进行分析时，需要结合实际情况进行调整和改进，以更好地解释和预测经济增长。
总之，索洛增长模型作为一种重要的经济增长理论框架，对于分析和理解经济增长的基本原理和机制具有重要意义。
索洛增长模型
y* f k * k * s, n, g,
s
s
k *是k 0来决定的，因此k *满足：
sf k * s, n, g, n g k * s, n, g,
sf k * k * f k * n g k *
s
s
k * s
n
g
f k *
sf
k *
2.储蓄率增加的影响程度分析
，
Y FK K FAL AL
❖ 其中 FK 是资本的边际生产力，FAL是有效劳动的边际 生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率 n g
在增长，所以， 。 K(t) (n g)K(t)
•
(AL)(t) (n g)A(t)L(t)
Y的增长率
❖ 从以上可推导：
Y(t)
FK
K(t)
FAL
(
•
（劳动密集型）； ❖ 生产函数的集约形式满足新古典假设； ❖ 人口增长率、知识增长率、储蓄率、资本折旧率都等于常数，
人口和知识呈指数增长。
（二）模型的动态学
❖ k的动态变化
kt dk d K t AtLt
dt
dt
Kt At Lt
K t
At Lt
2
AtLt
Lt At
Kt At Lt
K t At Lt
在平衡增长路径上，资本获得的总收入（完 全竞争市场假设）：
k * f k *
所以 K k * 可以用资本收入占总收入的比重来
估计
完全竞争市场假设
单位资本报酬=f (k*)，
所以总资本报酬=f (k*) k*
资本报酬占总产出的比例=
f (k*) k* f (k*)
=
第三讲索罗增长模型
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Байду номын сангаас
模型的集约形式
根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) AL F(K / AL,1) AL f (K / AL)
于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form)： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
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Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL)（哈罗德中性），
而是Y=F(AK,L)（索洛中性）或Y=AF(K,L)（希克斯中 性），结果会有何不同？ 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
0
量 Y/L
人均产出
g
c(Y/AL) 有效劳动的费人均消
0
C/L
人均消费
g
K/Y
资本产出比
0
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备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=Lc)F(K,A C=(1-s)Y
y=f(k)=Y/AL c=(1-s)f(k)
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四、储蓄率变化的影响
下面考察政策控制变量s的变动的影响: 对稳态均衡的影响； 两个稳态均衡之间的动态路径； 对长期增长的影响程度； 对长期增长的影响持续时间。
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图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
索洛-斯旺增长模型
比较不同国家或地区的发展水平
通过比较不同国家或地区之间索洛-斯旺模型的参数，可以评估各 国或地区的发展水平和发展阶段。
制定经济发展战略
根据索洛-斯旺模型的结论，政府可以制定针对性的经济发展战略， 优化资源配置，促进经济的持续增长。
引入动态分析，考虑技术进步和资本积累的相互作用；引入制度因素， 分析其对经济增长的影响；考虑非线性生产函数的可能性。
模型的发展方向与未来研究展望
发展方向
将模型与其他经济理论相结合，如内 生增长理论、人力资本理论等，以更 全面地解释经济增长现象。
未来研究展望
探索模型在发展中国家和发达国家的应用， 比较不同国家经济增长的异同；研究全球化 、技术创新等对经济增长的影响；进一步深 化对经济增长机制和动力的理解。
模型的基本假设
假设经济中只存在两种生产要 素：资本和劳动，且资本和劳
动之间可以相互替代。
假设生产函数是规模收益不变 的，即增加投入并不能带来更
大的产出。
假设经济中不存在技术进步和 资本折旧，即经济增长只取决 于资本和劳动的投入。
假设经济中的储蓄率、人口增 长率和技术进步率是外生给定 的，即不受经济系统内部因素 的影响。
06 结论
对索洛-斯旺增长模型的综合评价
01
贡献
索洛-斯旺增长模型为经济增长研究提供了重要的理论基础，它揭示了
资本、劳动和技术进步对经济增长的贡献，并解释了经济增长的源泉。
02
局限性
然而，该模型也存在一些局限性，例如假设条件过于严格，忽略了许多
现实世界中的复杂因素，如经济政策、市场失灵、资源限制等。
索洛增长模型
先做变换，两边取自然对数: ln k(t) ln K (t) ln A(t) ln L(t)
对t求导数，得：
•
•
•
•
k (t) K (t) A(t) L(t)
k (t) • K (t) A(t)• L(t) •
•
k (t )
K (t)
K (t)
A(t) k(t) L(t) k(t)
K (t) A(t)L(t) A(t)
1.1 模型的基本假定
• 对密集生产函数进行进一步假设：
f k 0 f k 0
满足稻田(Inada)条件：
lim f k
k 0
lim f k 0
k
边际报酬递减 保证经济增长路径不发散
高级经济学Ⅰ（宏观部分） 2011年秋季学期
1.1 模型的基本假定
• 一个满足上述条件假设的新古典生产函数 是什么样子的呢？
1.2 索洛模型的动态学
1.2.2 稳态均衡 索洛模型的核心公式：
•
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳 动的实际投资
持平投资：为 保持k在现有水 平所必须进行 的投资。
•
k(t) 0
•
k(t) 0
•
k(t) 0
k增加 k下降 k不变
高级经济学Ⅰ（宏观部分） 2011年秋季学期
c *
>0
s
当
k*
k
*gold
，
f
'(k
*
(s,
n,
g,
))
<(n
g
),
c * s
<0
高级经济学Ⅰ（宏观部分） 2011年秋季学期
发展经济学索洛模型
发展经济学索洛模型发展经济学是研究经济增长和经济发展的学科，它关注的核心问题是如何使一个经济体从贫穷落后状态向富裕先进状态转变。
在这个过程中，经济学家们提出了许多模型和理论来解释经济增长的动力和机制。
其中，索洛模型（Solow Model）是发展经济学中一个重要的经济增长模型，本文将对索洛模型进行详细阐述。
一、索洛模型简介索洛模型，又称新古典增长模型，是由美国经济学家罗伯特·索洛（Robert Solow）在20世纪50年代提出的。
该模型主要研究了资本积累、劳动力增长和技术进步对经济增长的影响。
索洛模型是一个动态一般均衡模型，它描述了在一个封闭经济中，资本、劳动力和技术如何相互作用，从而推动经济增长。
二、索洛模型的基本假设封闭经济：索洛模型假设经济体是一个封闭系统，不与外部世界进行贸易往来。
生产函数：生产函数表示在一定时期内，生产要素（资本和劳动力）的投入与产出之间的关系。
索洛模型通常采用柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function），该函数具有资本和劳动力的规模报酬不变特性。
储蓄率：储蓄率是家庭部门储蓄占总收入的比例。
在索洛模型中，储蓄率是外生给定的，并且保持不变。
人口增长：劳动力数量以固定的外生速率增长。
资本折旧：资本在使用过程中会磨损和消耗，因此需要以一定的速率进行折旧。
技术进步：索洛模型中的技术进步是外生的，以固定的速率增长，它可以提高生产的效率。
三、索洛模型的动态过程索洛模型的动态过程主要包括资本积累和经济增长两个方面。
资本积累：在一个没有政府部门的封闭经济中，总投资等于总储蓄。
总投资用于增加资本存量，同时资本也会因为折旧而减少。
当经济达到稳态时，储蓄恰好等于为保持资本存量不变所需的投资（包括补偿折旧的投资和为新增加的劳动力配备按原有资本-劳动比率配备的资本）。
经济增长：在索洛模型中，经济增长主要来源于资本深化（即每个劳动力拥有的资本数量增加）和技术进步。
宏观经济学之运用索洛增长模型
知识溢出
引入知识溢出效应，以解释技术进步的外部性。
考虑资源环境因素
自然资源
将自然资源作为经济增长的约束 条件，研究资源环境对经济增长
的影响。
环境污染
将环境污染作为经济增长的成本， 研究环境质量与经济增长的关系。
可持续发展
将可持续发展理念引入模型，以实 现经济、社会和环境的协调发展。
政策制定中的运用
03
索洛增长模型的局限性
假设条件的局限性
假设条件过于简化
索洛增长模型建立在一些简化的假设基础上，如完全竞争市场、规模收益不变 等，这些假设在现实中很难完全满足。
忽略制度、政策和人力资本因素
模型中没有考虑制度、政策和人力资本等因素对经济增长的影响，而这些因素 在现实中对于经济增长至关重要。
长期经济增长的不可预测性
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政府可以制定相关政策，如提供创新奖励、减税等措施，鼓 励企业进行技术创新，同时加强知识产权保护，保障创新者 的利益。
优化资源配置和提高效率
索洛增长模型指出，通过优化资源配置和提高效率，可以 实现更快的经济增长。在未来的经济发展中，应更加注重 资源的优化配置，提高生产效率。
企业应加强内部管理，提高生产效率，政府可以通过改革 市场机制、加强监管等措施，促进资源的合理配置。同时 ，加强教育和培训，提高劳动力素质，也是优化资源配置 和提高效率的重要途径。
03
不受经济系统内部因素影响。
模型公式
01
(Y=AF(K,L))
02
(Y)代表总产出，(A)代表技术水平，(K)代表资本投入，(L) 代表劳动投入。
03
(F)表示生产函数，描述了资本和劳动的投入与总产出之间 的关系。
简述索洛经济增长模型
索洛经济增长模型1. 引言索洛经济增长模型是20世纪50年代由美国经济学家罗伯特·索洛提出的一种描述经济增长的理论模型。
该模型旨在解释为什么一些国家或地区的经济能够持续增长，而其他国家或地区却陷入停滞。
索洛经济增长模型以其简洁而有力的理论框架成为经济学研究中的重要工具。
2. 模型概述索洛经济增长模型基于几个核心假设，包括：•技术进步是经济增长的主要驱动力；•储蓄和投资在经济增长中起到关键作用；•经济体存在着递减边际回报。
根据这些假设，索洛将一个国家或地区的产出（Output）表示为劳动力（Labor）和资本（Capital）两个要素的函数。
具体而言，产出可以写作：Y=F(K,AL)其中，Y表示产出，K表示资本存量，A表示技术水平，L表示劳动力。
函数F()则代表了技术进步、资本和劳动力的相互作用。
3. 技术进步在索洛经济增长模型中，技术进步被视为经济增长的主要推动力。
技术进步可以通过提高生产函数F()中的A来体现。
技术进步可以带来多种形式的效应，包括：•生产效率提高：同样的劳动力和资本投入可以创造更多的产出；•新产品和服务：技术进步可以带来新产品和服务，从而刺激需求和投资；•创新能力提升：技术进步可以促使企业和个人创新，推动经济发展。
索洛经济增长模型认为，技术进步是累积性的，并且受到储蓄和投资水平的影响。
高储蓄率和投资率有助于积累更多的资本存量，从而促进技术进步和经济增长。
4. 储蓄与投资储蓄与投资在索洛经济增长模型中扮演着至关重要的角色。
储蓄是指个人、企业或政府将当前收入留存下来以供未来使用的行为。
投资是指将储蓄用于购买资本品或其他生产要素的行为。
索洛经济增长模型认为，储蓄和投资水平对经济增长有着直接的影响。
较高的储蓄率可以提供更多的资金用于投资，从而促进经济增长。
投资可以带来新的生产设备、技术创新和人力资源培训，从而提高生产效率和产出水平。
然而，索洛经济增长模型也指出，储蓄和投资存在递减边际回报的问题。
索洛增长模型
kmax
资本—劳动比kt
c
cG kG kmax 资本—劳动比kt 劳动—资本黄金律水平
稳态的到达
引入储蓄比例 假定经济体中储蓄和收入成正比， 则：St=sYt （0<s<1） 两部门经济储蓄等于投资， 则：sYt= (n+d)Kt （稳定状态下） 人均储蓄=人均投资 sf(k)= (n+d)k （稳定状态下） 稳态下，人均产出 y*=f(k*) 人均消费 c*=f(k*)-(n+d)k*
索洛模型
1 2
罗伯特·默顿·索洛简介 索洛模型的基本结构
长期生活水准的根本决定因素
3
1
罗伯特·默顿·索洛
罗伯特·默顿·索洛（Robert Merton Solow，1924年 8月23日-），美国经济学 家，麻省理工学院客座教授，1961年被授 予美国经济学会授予青年经济学家的“约 翰·贝茨·克拉克奖”（John Bates Clark Medal），并于1987年获得诺贝尔 经济学奖。
结论：人口增长率n的提高，意 味着需要更多的产出来给工人配 备资本，所以可用来消费或增加 人均资本的产出减少，生活水准 降低 生产率增长
结论：生产率的增长，直接使产 出增加，通过增加收入，它也使 储蓄和资本存量增加，生活水准 提高
人 均 投 资 储 蓄
新稳定状态下的 人均投资(n2+d)Kt 初始稳定状态下的 人均投资(n1+d)Kt 人均储蓄sf(k)
主要观点：长期的经济增长主要依靠技术 进步，而不是依靠资本和劳动力的投入。
2
1 2 3
4
索洛模型的基本结构
基本假设 人均生产函数
稳定状态 稳态的到达
基本假设
索洛增长模型公式
索洛增长模型公式
索洛增长模型（Solow growth model）是经济学家罗伯特·索洛（Robert Solow）在20世纪50年代提出的一种经济增长模型。
该模型旨在解释一个国家或地区的长期经济增长率是如何由劳动力、资本积累和技术进步共同决定的。
索洛增长模型的基本公式如下：
Y = A * F(K, L)
其中，Y代表国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP），A代表全要素生产率（Total Factor Productivity，TFP），K代表资本存量，L代表劳动力。
公式中的F(K, L)代表生产函数，描述了劳动力和资本如何组合产生产出。
生产函数通常假设具有递增边际产出递减的性质，即增加资本或劳动力对产出的贡献越来越小。
索洛增长模型的核心假设是资本和劳动力的增长率均保持恒定。
在这种情况下，索洛模型分析了长期经济增长率随技术进步的变化情况。
模型还引入了储蓄率和资本边际产出率的概念。
储蓄率表示国家或地
区的储蓄行为，即将一部分收入用于储蓄或投资。
资本边际产出率则表示每新增一单位资本对产出的贡献。
通过对索洛增长模型进行数学推导和经济分析，经济学家可以研究技术进步、储蓄率和资本积累对经济增长的影响。
这个模型为经济政策提供了理论框架，帮助决策者制定增长战略和政策。
需要注意的是，索洛增长模型是一个简化的经济模型，假设非常理想化，忽略了很多现实经济中的复杂因素。
实际经济增长往往受到政治、制度、自然资源等多种因素的影响。
因此，在实际应用中，索洛增长模型仅作为一种参考工具使用，并不完全能够解释现实经济增长的复杂性。
08经济增长理论_3索洛增长模型
第三节：索洛增长模型Section III: Solow growth model生产函数(production function) 设经济的生产函数为),(K L F Y =因此函数可以化为：)/,1(/L K F L Y = 如果用N Y y /=表示人均产量，N K k /=表示人均资本量，则函数就化为了：)(k f y =MP K 为资本的边际产出(marginal product of capital)，则)()]([k f dkL k f L d dK dF MP K '=⋅⋅==MP L 为劳动的边际产出(marginal product of labor)，则L MP =dL dF =dL k f L d )]([⋅=dLL K df L k f )/()(⋅+ =)()(2k f LKL k f '⋅⋅-=)()(k f k k f '⋅-并且生产要素的边际产量是递减的。
消费函数(consumption function)用y 表示人均产出，c 表示人均消费，i 表示人均支出，可得到i c y +=储蓄率为s ，则人均消费y s c ⋅-=)1(代入上式，得到i y s y +⋅-=)1(移项，即得到y s i ⋅=再代入)(k f y =，得到)(k f s i ⋅=I ．只包含人口增长的简单模型（略）II ．包含人口增长、资本折旧的稳定状态(steady state with population growth and capital depreciation)如果折旧率是δ，资本存量(capital stock)为K ，那么资本的变化量 = 投资 – 折旧，用公式表示，就是K I K⋅-=δ 由于人均资本k = K/L ，人均投资L I i /=，因此k i L K⋅-=δ/ 代入)(k f s i ⋅=，就得到k k f s L K⋅-⋅=δ)(/ 由于L K k /=两边取对数，得到L K k ln ln ln -=两边取全微分，再对时间求导，得到LL K K k k-= 如果L Ln / =表示人口增长率，并代入L K k /=，则等式两边同时乘以后就得到 k n L K k⋅-=/ 代入k k f s L K⋅-⋅=δ)(/ ，就得到了新古典增长模型的基本方程 k n k f s k⋅+-⋅=)()(δ 因此，新古典增长理论中的稳态(steady state)的条件是： k n y s ⋅+=⋅)(δ储蓄率和人口对稳定态的影响储蓄率上升提高了稳态人均产出水平人口增长降低了稳态人均产出水平III ．包含技术进步的稳定状态(steady state with technological progress)),(L E K F Y ⋅=将EL 定义为有效劳动(efficiency of worker)，E L ⨯,是效率工人数量(the number of effectiveworkers)的度量。
索洛增长模型讲解
dt L(t) L(t) L(t) L(t)
L(t)
L(t)
L(t)
❖ 人均产出（劳动生产率）以技术进步率g增长。 ❖ 注意区分人均产出与人均有效劳动产出。
平衡增长路径
在索洛模型中，无论从任何一点出发， 经济向平衡增长路径收敛，在平衡增长路径 上，每个变量的增长率都是常数，且是外生 决定的。特别是，在该路径上，人均产出的 增长率仅取决于技术进步率。
y *
f k * f k *
s n g sf k *
同乘以s / y*：
s y* s
f k * f k *
y* s f k * n g sf k *
将s替换掉：
n g k * f k *
f k * n g n g k * f k * /
f k*
，
Y FK K FAL AL
❖ 其中 FK 是资本的边际生产力，FAL是有效劳动的边际 生产力。由于资本与有效劳动以同样的增长率 n g
在增长，所以， 。 K (t) (n g)K(t)
•
(AL)(t) (n g)A(t)L(t)
Y的增长率
❖ 从以上可推导：
YБайду номын сангаасt)
FK
K
(t)
FAL
(
1
k* f
k *
k * / f f k * /
k* f k *
2.储蓄率增加的影响程度分析
k * f k * / f k *
k k *处的资本产出弹性，记为 K k * s y* K k * y* s 1 K k *
2.储蓄率增加的影响程度分析
❖ 如何估计 K k * ：
y* f k * k * s, n, g,
索洛增长环境模型的稳态
索洛增长环境模型的稳态索洛增长模型（Solow-Swan Model）是一个描述经济增长的理论模型，由罗伯特·索洛（Robert Solow）和特雷弗·斯旺（Trevor Swan）于20世纪50年代独立提出。
该模型主要关注资本积累、劳动力增长和技术进步对经济增长的影响。
在索洛增长模型中，稳态（steady state）是指一个经济体系在长期内达到的一种平衡状态，其中各主要变量的增长率保持不变，产出、资本和消费等均以相同的速度增长。
在稳态下，资本存量（K）和有效劳动力（AL，即劳动力L与劳动生产率A的乘积）的增长率相等。
这意味着资本产出比（K/AL）保持不变，从而使得资本收益率（MPK，即边际产出率）也保持不变。
此外，由于资本收益率不变，储蓄率（s）和投资率（I/Y）也将保持不变。
因此，在稳态下，经济增长主要取决于外生给定的技术进步率和劳动力增长率。
要实现稳态，经济需要满足以下条件：1. 生产函数具有规模报酬不变的性质，即生产函数为柯布-道格拉斯形式：Y=AK^αL^(1-α)，其中0<α<1。
2. 技术进步是希克斯中性（Hicks-neutral）的，即技术进步不影响资本和劳动的边际替代率。
3. 资本折旧率为常数δ，且0<δ<1。
4. 储蓄率为常数s，且0<s<1。
5. 劳动力增长率为常数n，且n>0。
6. 市场是完全竞争的，资本和劳动的使用是有弹性的。
在稳态下，经济增长率等于技术进步率加上劳动力增长率，即g_Y = g_A + n。
这意味着，如果技术进步率和劳动力增长率之和为零，那么经济增长率也将为零，即经济将停止增长。
反之，如果技术进步率和劳动力增长率之和为正，那么经济将继续增长。
索洛增长模型解释
索洛增长模型解释一般来说，农业发展一直是保障我国粮食安全的重要途径。
在传统农业向现代化农业转变的过程中，各地存在较大差异。
如何平衡经济发展与粮食生产之间的关系，从而促进经济和粮食生产的协调发展，有待深入探讨。
为此，农业部和科技部共同组织开展了“现代农业区域科技发展研究”。
我们对该项目取得的相关成果进行整理和分析，尝试利用最新的计量分析工具——多重线性回归分析（ multidimensionallinear regression，简称regression），对我国不同区域的耕地资源增长情况及粮食生产能力的构成作出判断。
以上两个模型的共同特点是：人口增长率不是指数增长，而是变动趋势更加复杂，且地区间呈现明显差异。
2012年到2017年，东北三省平均耕地面积呈现出波动下降趋势；甘肃、内蒙古、四川、贵州等省份人均耕地减少幅度较大，且南方各省份人均耕地面积都在逐渐下降；湖南、江西、浙江等南方省份耕地增加较多，且人均耕地面积也在增加。
1、地理区域和城市等级高的地方，耕地增长快，但粮食总产不高。
这可能是因为农业基础设施条件好，社会经济发展水平高，但生态环境保护力度差。
耕地增加并不一定能带来粮食总产的提高，要注意适度发展。
2、地理位置偏僻，自然灾害频繁，则粮食生产潜力相对较低。
3、如果一个区域经济实力强，但是人均耕地占有量很低，则表明这里可能未充分利用土地资源，在开发过程中应引起重视。
4、某些省份，人均耕地较多，但其人口密度大，就会导致耕地资源浪费。
由于土地质量差，单位面积的产量低。
这些地方的粮食供给安全是否存在隐患？笔者根据多年在全国各地进行实地调查的结果，通过统计学方法对各地区粮食产量、耕地数量及粮食增长率进行计算分析，并用此判断某些地区粮食生产能力的状况，找出其中的问题。
下图为：索洛模型表明：人均可耕地增长幅度远小于人均GDP的增长幅度，且这种关系存在非线性关系。
农村人口增长速度高于人均耕地增长速度，耕地面积增加速度高于人均可耕地面积增加速度。
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k*
索洛－斯旺模型
c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)(n+g+δ ）k*
k
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2、稳态
稳态均衡图示
因为
d[sf (k) / k]
dk
?
s d[ f (k) / k]
dk
?
?s
f (k) ? kf '(k) k2
?
?s
F 'AL k2
?
0
sf (k ) / k
?
k (t )
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2、稳态
单位有效劳动资 本存量的变化：
k?(t) ? sf (k (t)) ? (n ? g ? ? )k (t)
f(k)
k?0
(n＋g+δ)k f(k) sf(k)
A
在A点，实际投资与有 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的 k*, y*, c*固定不变。消费为：
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2、关于生产函数的假设
? 第一，每种投入的边际产品为正且递减。 ? 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) ? 第三，稻田条件：
lim
K? 0
FK
?
lim
L? 0
FL
?
?
lim
K ??
FK
?
lim
L ??
FL ? 0
? 满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。
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一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。
——亚当.斯密
1
问题提出
? 什么因素决定了经济增长？ ? 经济增长的一般趋势是什么？ ? 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ ? 穷国能否赶上富国？
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
? AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： ? 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL) （哈罗德中性），
而是Y=F(AK,L) （索洛中性）或Y=AF(K,L) （希克斯中 性），结果会有何不同？ ? 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
? 瞬时增长率的定义：
劳动增长率为n： 技术进步率为g：
L?(t) ? n AL?((tt)) ? g
A (t )
gx
?
dx / dt x
?
x?? x
d ln x dt
t时劳动力：
L(t) ? L(0)ent
t时技术存量： A(t) ? A(0)egt
产出在消费和投资之间分割，那么储蓄 等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本
每单位有效劳动的资本获得的总产出是 kf'(k)
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图形表示
f(k)
f(k)
c
sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率 s，c表示消费）
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3、生产投入的演化
? 资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
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边际产出
资本的边际产出
MPK
?
?F (K , AL) ? ?K
?ALf (K / AL) ? ?K
ห้องสมุดไป่ตู้f ?(k)
有效劳动的边际产出
MPAL
?
?F(K, AL) ?AL
?
f (k) ?
kf ?(k)
劳动的边际产出
MPL
?
?F(K, AL) ?L
?
A[
f (k) ?
kf ?(k)]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出
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一、索罗模型简评
? 几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 ? 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 ? 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
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? 以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构：
? 家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。
? 企业雇佣投入品进行生产。
? 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出 Y、资本K 、劳动L ，以及知 识或劳动的有效性A。 ? 生产函数：
K?(t) ? sY (t) ? ?K (t)
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
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三、模型的动态学
1、k的动态学
? 在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
? 单位有效劳动资本存量的变化：
k?(t) ? sf(k(t))? (n? g ? ?)k(t)
(n ? g ? ? )
k*
k
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k*
k
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* ? f (k*)
k?(t) ?0
每单位有效劳动 的实际投资
有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
k?(t) ?0 k?(t) ? 0
k增加 k下降 k不变
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
?
状况，即 k (t) ? 0 平衡增长（ balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。
因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
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模型的集约形式
? 根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) ? AL?F(K / AL,1) ? AL?f (K / AL)
? 于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form) ： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本
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假设的含义
? 稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际
产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。 其作用在于确保经济的路径不发散。即
lim f ?( k ) ? ?
k? 0
? 根据假设1得到：
lim f ?( k ) ? 0
k ??
f (0) ? 0 f ?( k ) ? 0 f ??( k ) ? 0