第三讲 索罗增长模型

? 瞬时增长率的定义：
劳动增长率为n： 技术进步率为g：
L?(t) ? n AL?((tt)) ? g
A (t )
gx
?
dx / dt x
?
x?? x
d ln x dt
t时劳动力：
L(t) ? L(0)ent
t时技术存量： A(t) ? A(0)egt
产出在消费和投资之间分割，那么储蓄 等于投资。储蓄率s为外生且不变，资本
(n ? g ? ? )
k*
k
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k*
k
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3、稳态时的增长：平衡增长
在稳态，k收敛于k*，单位有效劳动的产出也不变： y* ? f (k*)
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k*
索洛－斯旺模型
c*＝f(k*)-sf(k*) =f(k*)(n+g+δ ）k*
k
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2、稳态
稳态均衡图示
因为
d[sf (k) / k]
dk
?
s d[ f (k) / k]
dk
?
?s
f (k) ? kf '(k) k2
?
?s
F 'AL k2
?
0
sf (k ) / k
?
k (t )
k?(t) ?0
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每单位有效劳动 的实际投资
有效折旧：为保持 k在现有水平所必 须进行的投资。
k?(t) ?0 k?(t) ? 0
k增加 k下降 k不变
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2、稳态
稳态： 如果所有变量都以某一固定不变的速度增长或者均为零增长的
?
状况，即 k (t) ? 0 平衡增长（ balanced growth): 如果各主要的总量指标彼此间保持相同的比例，这样的经济增 长成为平衡增长。在我们讨论的大多数增长模型中，稳定状态 的路径也是平衡增长的路径。
K?(t) ? sY (t) ? ?K (t)
折旧率为δ。资本变化＝投资－折旧。
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三、模型的动态学
1、k的动态学
? 在索罗模型中，劳动和技术是外生的，因此，我们重 点分析资本的变化。
? 单位有效劳动资本存量的变化：
k?(t) ? sf(k(t))? (n? g ? ?)k(t)
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? 以后所介绍的增长模型都有相同的一般均衡 结构：
? 家庭拥有经济中的所有投入和资产，家庭自 主决策。
? 企业雇佣投入品进行生产。
? 家庭出售投入品，企业出售产品，形成市场。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
索罗模型关注四个变量：产出 Y、资本K 、劳动L ，以及知 识或劳动的有效性A。 ? 生产函数：
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2、关于生产函数的假设
? 第一，每种投入的边际产品为正且递减。 ? 第二，规模报酬不变。F(λK,λAL)= λ F(K,AL) ? 第三，稻田条件：
lim
K? 0
FK
?
lim
L? 0
FL
?
?
lim
K ??
FK
?
lim
L ??
FL ? 0
? 满足这三个条件的生产函数被称为新古典生产函数。
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一、索罗模型简评
? 几乎对所有有关增长的分析，索罗模型是起点。 ? 索罗模型的主要结论：
长期人均产出惟一来源于技术进步； 实物资本的积累既不能解释不同时间上人均产出的巨 大增长，也无法解释地域上不同人均产出的巨大差距。 ? 主要缺陷： 模型把收入差异的其他潜在来源或者当作外生，因而 无法用模型解释（如技术进步）；或者当作不存在 （如资本产生正的外部性）。
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边际产出
资本的边际产出
MPK
?
?F (K , AL) ? ?K
?ALf (K / AL) ? ?K
f ?(k)
有效劳动的边际产出
MPAL
?
?F(K, AL) ?AL
?
f (k) ?
kf ?(k)
劳动的边际产出
MPL
?
?F(K, AL) ?L
?
A[
f (k) ?
kf ?(k)]
如果市场是完全竞争的，并且不存在外部性，资本获得其边际产出
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2、稳态
单位有效劳动资 本存量的变化：
k?(t) ? sf (k (t)) ? (n ? g ? ? )k (t)
f(k)
k?0
(n＋g+δ)k f(k) sf(k)
A
在A点，实际投资与有 效折旧相等，资本存量 不变，经济达到稳态： 单位有效劳动的 k*, y*, c*固定不变。消费为：
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假设的含义
? 稻田条件意味着，在资本存量充分小时资本的边际
产出十分大，当资本存量很大时，其会变得很小。 其作用在于确保经济的路径不发散。即
lim f ?( k ) ? ?
k? 0
? 根据假设1得到：
lim f ?( k ) ? 0
k ??
f (0) ? 0 f ?( k ) ? 0 f ??( k ) ? 0
Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)) 式中t表示时间。
? AL被称为有效劳动。以劳动力增加的形式引入的技术进步
被称为劳动增加型技术进步，或者被称为哈罗德中性。
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二、索罗模型的假设
1、投入与产出
思考： ? 如果知识进入的形式不是Y=F(K,AL) （哈罗德中性），
而是Y=F(AK,L) （索洛中性）或Y=AF(K,L) （希克斯中 性），结果会有何不同？ ? 可以证明只有劳动增进型技术进步被证明与稳态的存在 相一致
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一国若想从最低级的野蛮状态 过渡到最高程度的丰饶，所需要的 仅仅是和平、轻松的税收和可以容 忍的公正原则的执行，其他一切都 可以从事物的自然进程中产生。
——亚当.斯密
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问题提出
? 什么因素决定了经济增长？ ? 经济增长的一般趋势是什么？ ? 为什么国家或地区之间存在着收入差异？ ? 穷国能否赶上富国？
每单位有效劳动的资本获得的总产出是 kf'(k)
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图形表示
f(k)
f(k)
c
sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 资本边际报酬。（假定外生不变的储蓄率 s，c表示消费）
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3、生产投入的演化
? 资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
因此，索罗增长模型又被称为新古典增长模型。
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模型的集约形式
? 根据规模报酬不变假设可以得到
F(K, AL) ? AL?F(K / AL,1) ? AL?f (K / AL)
? 于是生产函数可以写出以下集约形式（intensive form) ： y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出，k=K/AL 单位有 效劳动的资本