《现代概率论》
现代概率论习题(2011修订)-encryption
(3) 对于 ∀ ω ∈ A△B = A \ B + B \ A， 若 ω ∈ A \ B， 则 ω ∈ A ∪ N1 = B ∪ N2 ，
而 ω 不属于 B ， 故 ω ∈ N2 ．同理， 若 ω ∈ B \ A， 则 ω ∈ N1 ．因此， ω ∈ N1 ∪ N2 ， 即
因为 A△N1 = B △N2 ， 所以 A△(A△N1 ) = A△(B △N2 )， 即 (A△A)△N1 = (A△B )△N2 , ∅△N1 = (A△B )△N2 .
n n n n
/gu
Bn ) =
∞ ∞ ∞ ∪ ∪ ∪ ∩ Bn )] An ) ( [( k=1 n=k n=k
习题 1.4 证明：(1) (lim An )c = lim Ac n; n n ∪ ∪ (2) lim(An Bn ) = lim An lim Bn ;
o
CHAPTER 1. 可测空间
《现代概率论基础(第二版)》
汪嘉冈 编著
sys y.ed
/gu
o
习题参考答案
目
第一章 可测空间 第二章 测度与积分 第三章 独立随机变量序列 第四章 条件期望与鞅
录
1 29 65 67
sys y.ed
i
/gu
o
sys y.ed /gu o
第一章
可测空间
习题 1.1 若 {An , n ≥ 1} 为单调集合序列， 证明 limn An 存在， 且 ∪ ∞ An , An 递增 n=1 lim An = ∩ n ∞ An , An 递减 n=1 证明 (1) 若 An 递增， 则 lim An =
k=1 n=k ∞ ∩ ∞ ∪
=(
k=1 n=k n
概率论的发展简介及在生活中的应用改
论文题目概率论的发展简介及在生活中的应用摘要概率论是一门研究不确定性和随机性等现象的一门数学，其发展过程从最初的研究赌博的随机性开始、最终形成了当代的概率理论这门重要的数学分支，研究概率论发展的历史，有助于更好的理解和学习概率论，并在实际的生活和诸多科技领域更好的应用这门数学科学。
对此本文通过收集相关的文献资料对概率论的发展历程进行了梳理，从概率论的起源到发展，再到成熟进行了全面的论述，最后从生活应用的角度来阐述概率论和现代生活紧密的联系，并从经济管理决策、中奖问题、优化选择以及抽签公平问题和食品质量设计方案中等角度进行了深入的剖析。
关键字：概率论；发展历程；应用Probability theory is a mathematical study of an uncertain and stochastic phenomenon, its development process begins, eventually forming probability of modern theory of this branch of mathematics from the randomness of gambling first, study the history of the development of probability theory, contribute to a better understanding and learning the theory of probability, application and better in real life and in many areas of science and technology of the mathematical sciences. In this paper, through the collection of relevant literature and summarizes the development history of probability theory, from the origin to the development of probability theory, and then to the mature are discussed in this paper, the application perspective of probability theory and modern life closely, and from the optimization selection and draw fairness and food quality design scheme of medium angle economic management decision, winning question, has carried on the thorough analysis.Keywords: Probability theory Development Application第一章引言.................................... 错误!未定义书签。
现代概率论的理论发展与应用
现代概率论的理论发展与应用作者：杨文娟朱兰芝来源：《硅谷》2008年第11期[摘要]介绍现代概率论的一些主要理论，并综述它们在各方面的应用情况。
[关键词]概率论布朗运动鞅随机积分中图分类号：O21文献标识码：A 文章编号：1671－7597(2008)0610102－01一、引言在20世纪初期，作为概率论历史上一个重要发展阶段的拉普拉斯的概率论被公理化的概率论所代替，此后，概率论的研究主要采用测度论方法，并取得了一系列理论上的重大突破，开创了现代概率论的新时期。
二、现代概率论的主要理论研究（一）布朗运动的研究布朗运动(Brown motion)是一类特殊的马尔可夫过程，具有连续时间参数和连续状态空间，是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。
布朗运动最初由英国生物学家布朗(R.Brown)于1827年根据观察花粉微粒在液面上作“无规则运动”的物理现象而提出的。
爱因斯坦(Einstein)于1905年首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显著的发展。
这方面的物理理论工作在Smoluchowski, Fokker,Planck,Burger, FurthOrnstein,Ublenbeck等人的努力下迅速发展起来了。
但在数学方面却由于精确描述太困难而进展缓慢，直到1918年才由维纳(Wiener)对这一现象在理论上作出了精确的数学描述，并进一步研究了布朗运动轨道的性质，提出了在布朗运动空间上定义测度与积分。
这些工作使对布朗运动及其泛函的研究得到迅速而深入的发展，并逐步渗透到概率论及数学分析的各个领域中，使之成为现代概率论的重要部分。
（二）随机过程“鞅”的研究鞅（martingale）是另一类重要的随机过程。
鞅的背景来源于公平赌博。
即如果每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策略是依赖于前面的赌博结果，则赌博是“公平的”。
从20世纪30年代起，莱维（Levy）等人就开始研究鞅序列，证明了一些鞅的性质，把它作为独立随机变量序列的部分和的推广。
现代概率论基础课程设计
现代概率论基础课程设计一、课程简介现代概率论是数学的一个分支，研究随机现象的规律性。
本课程旨在介绍概率论的基本概念、理论和方法，包括概率空间、随机变量、分布函数、概率密度函数、期望、方差、协方差等内容。
通过本课程的学习，学生将掌握概率论的基本知识和方法，为深入学习相关领域的理论和应用打下基础。
二、课程目标1.掌握概率论的基本概念和理论。
2.理解概率空间、随机变量、分布函数、概率密度函数、期望、方差、协方差等概念及其应用。
3.学会运用概率论的方法解决一些实际问题。
4.培养学生的数学思维和实际应用能力。
三、教学内容本课程将分为以下几个部分：1.概率空间1.概率空间的定义和性质。
2.事件的定义和性质。
3.概率的定义和性质。
4.概率的基本运算规则。
2.随机变量1.随机变量的定义和性质。
2.离散型随机变量和连续型随机变量。
3.期望、方差和协方差的定义和性质。
3.概率分布1.离散型随机变量的分布律和分布函数。
2.连续型随机变量的概率密度函数和分布函数。
3.常见的离散型和连续型分布。
4.多维随机变量1.二维随机变量的概率分布及其性质。
2.随机变量的独立性和相关性。
3.二维连续型随机变量的密度函数。
5.中心极限定理和大数定律1.各种随机变量的中心极限定理。
2.大数定理的证明和应用。
四、教学方法本课程采取如下教学方法：1.以理论为基础，强调实际应用。
2.讲解课件+白板讲解+实例分析。
3.求助网络，观看一些经典的案例分析视频，分析相关领域的实际问题。
五、考核方式1.平时成绩：课堂表现、作业、实验等评定。
2.考试成绩：期中考试和期末考试。
六、参考书目1.《概率论与数理统计》（第三版），陈希孺著，高等教育出版社。
2.《现代概率论与数理统计》（第二版），方际明、陶晓峰著，高等教育出版社。
3. 《概率与统计》（第二版），蒋友兵著，机械工业出版社。
七、总结本课程的目的是让学生掌握概率论的基本概念和方法，培养学生的数学思维和实际应用能力，为学生深入学习相关领域的理论和应用打下坚实的基础。
高等概率论——精选推荐
-------------------- 高等概率论--------------------课程编号：121020402006 课程类别：学科基础课课程名称：高等概率论英文译名：Probability Theory学时：60学时学分：3学分开课学期：1 开课形式：讲授考核形式：闭卷考试适用学科：概率与数理统计授课单位及教师梯队：数学与统计学院，概率统计系教师。
内容简介：本课程以测度论为工具，系统地讲述概率论的基本概念，同时还将介绍概率论的主要结果，从而为深入学习现代概率论、随机过程和数理统计提供必要的基础。
本课程主要内容包括 (1)可测空间：σ-域、半σ-域、尾σ-域、单调类定理、可测变换、可测函数的单调类定理等； (2)测度与测度的扩张：符号测度、诱导测度、乘积测度、测度的扩张、测度空间的完备化、一致可积性、几乎必然收敛与平均收敛、Fubini定理、Radon-Nikodym定理、一些重要的不等式（比如：Jensen,Holder,Schwarz不等式）等； (3)独立随机变量序列：Kolmo- gorov 0-1律，三级数定理，强、弱大数定律、Wald等式，更新定理，特征函数，Cramer－Levy 定理等；(4)条件期望与鞅：鞅的定义、基本性质以及应用，关于鞅的中心极限定理，鞅的上穿不等式与收敛性，Marcinkiewicz－Zygmund不等式，鞅的凸函数不等式，鞅的随机不等式等。
主要教材：Chow, Y.S., Teicher, H., Probability Theory , Springer-V erlag, New Y ork Inc, 1978.参考书目（文献）：1．汪嘉冈：《现代概率论基础》，复旦大学出版社。
2．Ash R.B., Real Analysis and Probability, Academic Press, Inc. 1972.3．严士健、王隽骧、刘秀芳：《概率论基础》，科学出版社，1999年版。
《现代概率论》讲义稿_第二章 测度与积分_
第二章 测度与积分（Measures and Integration）一、测度与测度空间1．测度定义①．()Ω,F 为一可测空间,μ为定义于F 取值于_+R =[0,+]∞的函数（非负集函数）,常用μυλ，，等表示②．A ,1,,n n m n A A m n φ∈≥=≠∩F ⇒11()()n n n n A A μμ∞∞===∑∑μ具有可列可加性（σ可加性）③．φ∈F ,且()0μφ=则称μ为Ω上的（或()Ω,F 上的）测度.测度μ是非负、σ可加性、()0μφ=的集合函数.④．If A ∀∈F ,有()A μ<∞,then 称μ在F 上有限测度.特别地,if Ω∈F ,且()1μΩ=,then 称μ为概率测度. If A ∀∈F ,n A ∃∈F ,1..nn s t A A∞=⊂∪且()n A μ<∞,则称μ为σ有限测度.注：1nn A∞=∪不一定∈F例：1R 中的Lebesgue 测度是σ有限的,即1L R =∞() A [,1]()1n n n n L A =+⇒=,()[,]n L A a b b a ==−注：Lebesgue 测度是线段长度概念的延伸（更一般地,是欧式空间中面积或体积概念的延伸）,本节引入的测度是Lebesgue 测度的抽象化.2．测度空间设μ为可测空间()Ω,F 上的测度,称三元体()μΩ,,F 为测度空间. 若()μΩ<∞,称μ为有限测度,并称()μΩ,,F 为有限测度空间. 若()1μΩ=,则称μ为概率测度,并称()μΩ,,F 为概率测度空间若存在,1n A n ∈≥F ,使得1nn A∞==Ω∪,且使()n A μ<∞对一切1n ≥成立（n A 为Ω的一个划分）,则称μ为σ有限测度,并称()μΩ,,F 为σ有限测度空间.3．完备测度空间设()μΩ,,F 为一测度空间,若,()0A A μ∈=且F ,称A 为μ零测集.如果任何μ零测集的子集均属于F ,称F 关于μ是完备的,称()μΩ,,F 为完备测度空间.P37汪（定义 2.1.5）设μ为σ代数F 上的测度,{:,()0}A A A μ=∈=L F ,又令{():,}N A N A =∈Ω∈⊂存在使N P G ,则把N 中元素称为μ可略集.若⊂N F ,则称μ在F 上完备的.例：①．在()ΩP 上规定μ：#(){}A A μ=（A 的元素个数） 计数测度当A 为无限集时,()A μ=+∞； 当Ω为有限集时,μ为有限的； 当Ω为可列集时,μ为σ有限的.②．若数{():}cA A or A =∈Ω为有限集（或空集）A P ,01A A A υ⎧=⎨⎩为有限集（）为无限集则易验证：υ在A 上是有限可加的.但是Ω为无限集时,υ不是可列可加的.4．性质（测度的）半环F 上的测度μ的性质（抽样空间Ω）注：半环①．A B AB ∈⇒∈、F F ②．φ∈F ③．\fA B A B C ∈⇒∈∑、F半环上的测度具有：①．有限可加性 ②．可减性 ③．单调性 ④．下连续性 ⑤．上连续性 ⑥．半σ可加性① 有限可加性如果对一切2n ≥,,1,2,,i A i n ∈= F ,,i j A A i j φ=≠,且1ni i A =∈∑F ,则11()()n ni i i i A A μμ===∑∑证明：显然,1nii A =∑=1ii A ∞=∑,where 12n n AA φ++===11ni i i i A A ∞==∈⇒∈∑∑∵FF由于μ的σ可加性1111()()()()n ni i iii i i i A A A A σμμμμ∞∞===========∑∑∑∑可加性（因()()0n i A μμφ+==）② 可减性If ,\A B A B B A ⊂∈、、F and ()A μ<∞（有限测度）,then (\)()()B A B A μμμ=−证明：∵ A 与\B A 不交,且\B A B A =+（有限不交并） ∴()()(\)B A B A μμμ=+ ←利用可加性⇒ (\)()()B A B A μμμ=−③ 单调性If ,A B A B ⊂∈、F , then ()()B A μμ≥④ 下连续性If ,n n A A A ↑∈F ,then ()lim ()n n A A μμ→∞=证明：n ∀,由半环性质,,,1,2,,n k n C k k ∃∈= F ,11..\nk n n nk k s t A A C −==∑（约定0A φ≠）11111lim (\)nk n n n n nk n n n k n A A A A A C ∞∞∞−→∞========∑∑∑∪其中nk C 对不同的n 与k 都不交.∴ 1111()()()n nk k nk nk n k n k A C C μμμ∞∞======∑∑∑∑11lim ()n k N nk N n k C μ→∞===∑∑11lim ()lim ()nk N nk N N N n k C A μμ→∞→∞====∑∑⑤ 上连续性If n A ∈F ,n ∀,..s t n A A ↓∈F and 1()A μ<∞ ,then ()lim ()n n A A μμ→∞= 证明：由半环的定义,n ∀,∃两两不相交的,,1,2,,n k n C k k ∈= F ,11..\nk n n nkk s t A A C+==∑则1223\,\,A A A A 两两不相交,⇒,nk A C 对n ∀与k 两两不相交.∴ 1(\)n i i i nA A A A ∞+==+∑1ik ik i n k C A ∞===+∑∑由σ可加性有11()()()ik n iki k A CA μμμ∞===+∑∑ 对n ∀均成立当1n =时111()()()ik ik i k A C A μμμ∞==∞>=+∑∑ 因()0A μ≥⇒ 111()()i k ik i k A C μμ∞==≥∑∑, 所以1()0ik n ik i n k C μ∞→∞==→∑∑即对11()()()ik n iki k A CA μμμ∞===+∑∑取极限得lim ()()n n A A μμ→∞=注：在φ上的上连续性,即()()0A A φμμφ=⇒==⑥ 半σ可加性或次σ可加性If n A ∈F ,1n n A ∞=∈∪F ,Then ∑∞=∞=≤11)()(n n n n A A μμ∪证：化并为不交并令11A B =,22121\cB A A A A ==， ，111111()(\)n n c c c n n n n kn k k k B A A A A A A A −−−===== ∩∩则n B 对n ∀均不交,即i j B B φ=,j i ≠,,nkl n k c ∀∃∈F ,1,2,,nk l l = ,两两不交,t s . 1\nkl n k nkl l A A C ==∑n 1111()k n j l j n n nkl n l j k B C D −=====∑∑∩ 注： 111.2.3.,j n n n nk k n B j l D j −=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪∈⎩∏不一定在上对不交F F111\()n j j n n k n j k A A D −===∑∪ （ 11111(\)()nkl n n n k nkl l k k A A C −−====∑∩∩ ） ⇒111\(\)n nn j jj j j j c n n n n n n j j j A D A D A D =====∑∩∩ （**）,1,2,,;i n n E i i ∃∈= F 两两不相交,..s t 1\n jj i i n n n i A D E ==∑ （*）∴ 111n n ni j j i j n n n i j j A E D ====+∑∑∩ （该式是将（*）代入与（*）所得）（上式取测度并放缩）所以 1()()njj n n j A Dμμ=≥∑又前并化不交并有 1111njj n nn n n j n A B D∞∞∞======∑∑∑∪取测度11111()()()()njj n n n n n n j n n A B D A μμμμ∞∞∞∞=======≤∑∑∑∑∪ 即证汪P35-36例 ① 在},2,1{ =N 上,μ为计数测度,};{n k k A n ≥=,则φ↓n A ,但+∞=)(n A μ ② 在},2,1{ =N 上,μ为计数测度,},2{},1{212==−n n A A 则}2,1{lim =∞→n n A , lim n n A φ→∞=(lim )01lim ()lim ()2(lim )n n n n n n n n A A A A μμμμ→∞→∞→∞→∞=<==<=定理：设μ是半环D 上的非负集函数,0)(=φμ,则μ是可列可加的 ⇔ μ有限可加且半可列可加. (证见北大笔记) 注：可列可加 11()()nnn n A A μμ∞∞===∑∑ 有限可加 11()()n niii i A A μμ===∑∑半σ可加 ∑∞=∞=≤11)()(n nn nA A μμ∪定义 三元体(,,)μΩF 称为测度空间,where F 是Ω上的σ−代数,μ是F 上的测度. ()μΩ<∞ ⇒ 有限测度空间 ()1μΩ= ⇒ 概率测度空间,可记为(,,)p ΩF If A ∈F ,且()0A μ=称A 为μ的零测集If F 中的任何μ零测集的子集都是属于F , 测度空间(,,)μΩF 称为完备的.二、外测度与测度的扩张1 ．外测度由Ω的最大σ−代数[0,]R →=+∞F 的函数μ称为Ω上的外测度.如果满足 （1）()0μφ= 非负集函数（2）If A B ⊂ then ()()A B μμ≤ 单调性（3）11()()nnn n A A μμ∞∞==≤∑∪ 半可列可加性/次σ−可加性/半σ−可加性（严加安） 令()ΩA 表示Ω的所有子集（包括空集）所构成的集类,设μ为()ΩA 上的一非负集函数（约定()0μφ=）,如果μ有单调性并满足如下的次σ−可加性：,1n A n ⊂Ω≥ ⇒ 11()()n n n n A A μμ∞∞==≤∑∪则称μ为Ω上的一外测度. 定理 设μ为Ω的一外测度,令{,}cA D D A D A D μμμ=⊂Ω∀⊂Ω∩∩有()=()+()U 则U 为Ω上的一σ代数,且μ限于U 为一测度,称U 中的元素为μ可测集. 上述定理为测度扩张的基础定理.定理：设C 为Ω上的一集类,且φ∈C . 又设μ为C 上的一半σ−可加非负集函数,()0μφ=. 令*11()inf{();,1}n n n n n A A A n A A μμ∞∞===∈≥⊂∑∪且C A ∀∈Ω∈F则*μ是Ω的外测度, 称为由μ生成(引出)的外测度. μ限于C 与μ一致；当A ∈C 时,*()()A A μμ= . 证明：（1）显然*()0μφ= （2）显然,单调性 （3）如果0*0...()n n s t A μ∃=∞ 有**11()()n n n n A A μμ∞∞==≤∑∪ 成立在*.()n n A μ∀<∞条件下证明0,,1k n n A B k ε∀>∀∃∈≥C 使1kn n k BA ∞=⊃∪ 且*1()()2kn n nn B A εμμ∞=≤+∑111kn n n k n BA ∞∞∞===⊃∪∪∪取外测度*μ***11111()()(())()2kn n n n nn k n n n A B A A εμμμμε∞∞∞∞∞=====≤≤+=+∑∑∑∑∪ 所有,当A ∈C 时,*()()A A μμ=.2.半环上测度的扩张（1）定义扩张 （2）扩张的唯一性、存在性等 （3）完全化（一种扩张） 定义：μ、*μ分别是C （σ代数）、C （半环）上的测度,且⊂C CIf A ∀∈C ,都有*()()A A μμ= Then 称*μ是μ由→C C 上的一个扩张如果*μ′是μ在→C C 另一个扩张,A ∀∈C 都有**()()A A μμ′=称扩张是唯一的 唯一性：设D 是一个π类（系）, μ,()υσ∈D 上的测度 (1) ()()A A μυ= A ∈D（2）n A ∃∈D ,1n ≥,不交 ,1nn A∞==Ω∑,()n A μ<∞,1,2......n =则()()A A μυ= ()A σ∀∈D证明：B ∀∈D ,如()B μ<∞, 令()(){}():A A B A B σμυ=∈=∩∩G D 易证G 是一个λ系（（1）∈ΩG （2）,A B ∈G 则B ∈G （3）↑封闭） 且⊃G D ⇒ ()σ⊃G D∀()A σ∈D ,()()A B A B μυ=∩∩将B 用n A 代替：()()n n A A A A μυ=∩∩ （n ∀均成立）1111()()()()()()()n n n i n n n i A A A A A A A A A A A μμμμυυυ∞∞∞∞=====Ω=====∑∑∑∑∩∩∩∩∩扩张定理：设μ为半环D 上的测度 （1）则μ可以扩张成为()σD 上的测度*μ∃()σD 上测度*μ,使A ∀∈D 上有*()()A A μμ=（2）如上述（2）对D 成立,则这一扩张是唯一的,且*μ在()σD 上也是σ有限的见严加安Ｐ19 或北大笔记 证明略完全化（完备化）：设*μ在D 上生成的外测度,则（1）A τ∀∈F ,B ∃∈()σD ,B A ⊃ s.t. **()()B A μμ=(2)如有上述（2）式成立,则A τ∀∈F ,B ∃∈()σD ,B A ⊃,s.t. ()0B A τ= 证明略（见北大笔记）三、Lebesgue-stielties 测度分布函数(CDF: Cumulative Distribution Function)()()F x P X x =≤ 一维121122(,,,)(,,,)n n n F x x x P X x X x X x =≤≤≤ n 维 命题A ：若()F X 为实值有限随机变量X 的分布函数,则（1）()F X 是单调不减的Proof: If 12X X <,Then 2112()()()0F X F X X x X −=Ρ<≤≥ (2) ()F X 是右连续的Proof:1111lim ()lim ()({[,]}){[,]}x x n F X X x X x X x n n n∞→∞→∞=+=Ρ≤+=Ρ∈−∞+=Ρ∈−∞∩()F x = 注：（1）（2）可概括为单调不减右连续. （3）lim ()0x F x →−∞= lim ()1x F x →+∞=Ｐroof:{}1lim ()lim [,]({[,]}{}0x x n F x x n x n x φ∞→∞→∞==Ρ∈−∞−=Ρ∈−∞−=Ρ∈=∩1lim ()lim {[,]}({[,]}){[,]}1x x n F x x n x n x ∞→+∞→∞==Ρ∈−∞=Ρ∈−∞=Ρ∈−∞+∞=∪记号：设12(,,...,)n a a a a =与12(,,...,)n b b b b =为nR 中的两个点.若(1,2,...)i n ∀= 均有i i a b ≤（i i a b <）,则记为a b ≤（a b <） 设a b ≤,令{(,]|,,}na b a b a b R =≤∈C 1((,])()niii a b b a μ==−Π引理：C 为nR 上的半环,且μ为C 上的σ可加非负集函数. 严加安 P23 一维情形定理：()F x 为R 上单调不减右连续的有界函数,则在(,)R B 必存在唯一的有限测度μ, 使([,])()()a b F a F b μ=− a b −∞≤<<+∞ 证明：见汪Ｐ48定义：若F 为R 上有限右连续不减函数的有界函数,则由F 在(,)R B 上按上式生成的σ有限完备测度μ称为由F 生成的Lebesgue-stielties 测度,简称L S −测度.特别：当()F t t =(or ()F t t c =+),由此产生的完备化测度称为Lebesgue 测度.由B按Lebesgue 测度扩张成的完备σ代数B 中的集合都称为Lebesgue 测度集. （见汪Ｐ49）定理：()F x 为满足命题A 的函数,则必存在概率测度空间(,,)p ΩF 及其上的随机变量 s.t.()()X x F x Ρ≤=n 维情形令()n R B 为nR 上的Borel σ代数.易知,()()n R σ=C B ,于是由测度扩张定理得： 定理：μ可以唯一地扩张成为()nR B 上的σ有限测度（称之为Lebesgue 测度） 令()n R B 为()n R B 的μ完备化,称()n R B 中元为Lebesgue 测度集,而()nR B 中的元称为Borel 可测集.定义：设F 为n R 上的一右连续实值函数,对,na b R ∈,a b ≤,令 111()(1)(1),,,,...nnn nn n b a F F b a ba b a −−Δ=ΔΔΔWhere()111111,()(,,,,,,)(,,,,,,)iii i i i n i i i n G x G x xb x x G x x a x x b a −+−+=−Δ如果对一切a b ≤,有,0a b F Δ≥,称F 为增函数.设μ为()nR B 上一σ有限测度,称μ为Lebesgue-stielties 测度（简称L S −测度）,如C ∀∈C ,有()C μ<∞,即μ在C 上有限.定理：设F 为n R 上的一右连续增函数,令 ()0F μφ=,,((,])F a b a b F μ=Δ,a b ≤,,n a b R ∈则Fμ可以唯一地扩张成为nR 上的Lebesgue-stielties 测度.反之,设μ为nR上的一L S −测度,则存在nR 上的一右连续增函数F （不唯一）.故见μ为Fμ从C 到()nR B 上的唯一扩张四、积分-期望 关于概率测度的积分1定义与性质定义1:若1()()ini A i X X Iωω==∑（∈E ：Ω上F 可测的非负简单函数全体）为阶梯随机变量,称1()niii X P A =∑()iA ∈F 为X 的期望或X 关于P 的积分.记为 []E X ,EX ,()X ω∫,Xdp ∫,X ∫概率测度空间(,,)P ΩF 注：当()()i j i A j B X X I y I ωω==∑∑{}{}()j i A B A EI P A ====⇒为的组合()()iijjijEX X P A y P B ==∑∑命题1 若E 表示(,)ΩF 上阶梯变量的全体,则（1）EX 是唯一满足)(A P EI A =的E 是上的正线性泛函;（2）[]E ⋅在E 上是单调的,且若{},1n X n ≥⊂E ,()n X ↑↓ X ∈E ,则()n EX ↑↓EX ;（3）若()E ⋅为E 上正线性泛函,1)1(=E 且当E 中序列0n X ↓时,0n EX ↓,则由A EI A Q =)(可规定(,)ΩF 上的概率测度.Proof ：(1) 由上述注释可得.(2) ()E ⋅非负、线性⇒()E ⋅单调设0n X ↓,记k 为1X 的上确界,则()000()n n X n n X kI EX kP X εεεεεε>≤↓≤+↓≤≤>+↓()0n n X EX εφ>↓⇒↓当∞→n 时,有(,0)()0n n n n n X X X X X X E X X EX EX ↓∈⇒−∈−↓⇒−↓⇒↓E E ()()n n n n X X X X E X E X EX EX ↑∈⇒−↓−∈⇒−↓−⇒↑E E(3) 验证()Q ⋅是概论测度,即()1Q ⋅=.命题2 If {},1n I X n ≥↑,{},1n Y n +≥↑∈E （非负阶梯随机变量全体）,且lim lim n n nnX Y ≤,then lim lim n n nnEX EY ≤特别：lim lim lim lim n n n n nnnnX Y EX EY =⇒=Proof: Fixed m ,则m n X Y +∧∈E min(,)m n X Y ,{,1}m n X Y n ∧≥↑and lim()m n m nX Y X +∧=∈E ()n Y ≤,即lim [][]lim lim m m n m n n nnnE X X E X EY EX ↑∞∧=≤===命题3 记{}lim :n n nX X X ++==↑∈G E 单调递增序列的全体对X +∈G ,若lim n nX X =↑,n X +∈E ,令lim n nEX EX =（*）则（1）+G 为(,)ΩF 上非负随机变量全体； （2）由（*）式规定的[]E ⋅是完全确定的； （3）0EX ≤≤∞（X +∈G ）；（4）在+G 中若12X X ≤,则12EX EX ≤⇐单调性 （5）若X +∈G ,0≥c ,则cX +∈G 且[][]E cX cE X =；（6）If 12,X X +∈G ,then 12X X +,12X X ∨1212,X X X X +∨∧∈G ,且12121212[][][][][]E X X E X E X E X X E X X +=+=∨+∧（7）{,1}n X n +≥↑⊂G ,则lim n nX X +=∈G ,且lim lim n n nnE X EX ↑=↑(极限的期望等于期望的极限) 证明：见汪P52-53定义 2 广义实值随机变量X ,若EX +<∞,EX −<∞,则称X 为可积的,且以EX EX EX +−=−表示X 关于P 的积分,也称为期望或关系期望,记为Xdp ∫.若EX +,EX −中至少有一个取有限值,则称X 为非可积的. 用EX EX EX +−=−表示X 关于P 的积分或期望.有界或阶梯随机变量都是可积的,非负随机变量必须是非可积的. If (0)0P X ≠= then X 可积分且0EX = (退化分布)命题4 若()E ⋅表示概率空间上的非可积随机变量的期望,则 （1）EX R ∈,EX R ∈⇔X +,X −可积且()0P X =±∞=（2）If 0((0)0)X P X ≥<=,then 0EX ≥且0EX =⇔(0)1P X ==（3）R c ∈∀,()E cX cEX =,If X Y +有确定的含义,且X −,Y −（X +,Y +）可积,then()E X Y EX EY +=+⇐===成立X ,Y 至少有一个可积（特别地）（4）If X Y ≤,且EX ,EY 存在,then EX EY ≤ Markov 不等式：X 为非负随机变量 ①11()()[]X a aa P X a E XI EX ≥≥≤≤ 0≥∀a ②1()pPa P X a E X ≥≤ 0>a ,0>p③1()()[()]f a P X a E f X ≥≤ f 为],0[+∞上非负不减函数证明：（1）期望定义：EX EX EX EX R +−=−⇒∈的充要条件,且因()1()()()X n X P X P X n E I EX n n+≥=+∞≤≥≤≤ n →∞====⇒当EX +<∞时()0P X ⇒=+∞=（2）If 0X ≥时0EX ≥,若当0X ≥时,0EX =则11()()1111([]0()0011(0){()}()0n n X X nn n P X E XI nEXI nEX P X n n X P X P X P X n n ≥≥⎫≥≤=≤=⇒≥=⎪⎪≥⎬⎪>=≥≤≥=⎪⎭∑∪由0(0)1E P X =⇒== （3）定义：()()iiX X P A E cX cEX =⇒=∑证：()E X Y EX EY +=+ 先证21X X X =−有意义且至少有一非负变量,至少有一可积,则21EX EX EX =−212121X X X X X X X X X EX EX EX EX +−−+−+−==−⇒+=+⇒+=+⇓21EX EX EX EX EX +−−=−= 一般：()()X Y X Y X Y ++−−+=+−+ ⇓X Y −−+可积()()()E X Y E X Y E X Y EX EY EX EY EX EY ++−−++−−+=+−+=+−−=+（4）定义推出2．极限定理Levy 引理(单调收敛定理)Levy lemma(Monotone convergence theorem)积分形式 测度形式（1）If n X X ↑,且0n ∃,0n X −可积, then lim n nEX EX ↑=⇔()()n X X μμ↑； （2）If n X X ↓,且0n ∃,0n X +可积, then lim n nEX EX ↓=⇔()()n X X μμ↓．where 0max(,0)n n n X X X −=∨= ()0max(,0)n n n X X X +=−∨=− n n n X X X +−=−证明：（1）令01n n n Y X X −=+nX X↑⎯⎯⎯→0{,}n Y n n ≥非负递增,且00lim lim()n n n n n nY X X X X −−=+=+, 由于命题前（7）(极限的期望等于期望的极限),即000[lim ]lim lim []lim []n n n n n n n nnnnE Y EY E X X E X X X X −−−==+=+=+,又由01n n n Y X X −=+两边取期望求极限利用上式得000[lim ]lim n n n n n nnE X EY EX EX EX EX EX −−−=−=+−= （1）即证（2）令0n n n Y X X +=−+,0n n ≥,类似于（1）可证．Fatou 引理：随机变量序列{,1}n X n ≥,,Y Z 为可积随机变量． （1）若0,n X Z n n ≥≥,则[lim ]lim n n nnE X EX ≤ ⇔[liminf ]liminf ()n n n nX X μμ≤ ⇔lim lim n n n nX d X d μμ≤∫∫（2）若0,n X Y n n ≤≥,则[lim ]lim n n nnE X EX ≥⇔[limsup ]limsup ()n n nnX X μμ≤ ⇔lim lim n n nnX d X d μμ≤∫∫证明：（1）取inf n k n k nY X X ≥=≤,则0{,}n Y n n ≥为递增序列,0n Y Z ≥,Z 为可积的,由Levy Lemma[lim ][lim ]lim lim n n n n nnnnE X E Y EY EX ==≤．（2）对n X −应用（1）即得(2)．Lebesgue Dominated Convergence Theorem ：非负随机变量Y 可积,随机变量序列{},1n X n ≥,有n X Y ≤,且lim n n X X →∞=存在．则lim n n EX EX →∞=⇔lim n nX d Xd μμ=∫∫证明：若取Y Z − ．即{},1n X n ≥满足Fatou 引理条件[lim ]lim n n nnEX E X EX =≤ ≤ lim [lim ]n n nnEX E X EX ≤=（“≤”两边两次利用Fatou 引理）由于n X Y ≤,故X Y ≤,X 可积．由此lim n n EX EX →∞=．五、随机变量及其收敛性研究概率测度空间(,,)p ΩF 上..'r v s 及其收敛性,并推广到一般测度空间(,,)μΩF 上的可测函数及收敛性． 约定：测度空间(,,)μΩF ,如果某一性质在Ω上除了一零测度集外均成立,则称它几乎处处成立,简称..a e (almost everywhere)成立．概率空间(,,)p ΩF ,如果某一性质在Ω上除了一零测度集外均成立,则称它几乎必然成立,简称..a s (almost surely)成立． 定义：设1()n n f ≥,f 均为实值可测函数(1) If ∃ 零测集N ,..s t cN ω∀∈．有lim ()()n nf f ωω=．则称()n f 几乎处处收敛于f （..a e 收敛于f ）,记为lim n nf f = ..a e or ..a e n f f ⎯⎯→；(2) If 0ε∀>,存在N f ∈,()u N ε<,..s t ()n f 在cN 上一致收敛于f ．则称()n f 几乎一致收敛于f ,并记为lim n nf f = ..a un (almostuniform) or ..a un n f f ⎯⎯⎯→； (3) If 0ε∀>,lim ([||])0n n f f με→∞−>=,则称()n f 依测度收敛于f ,并记为n f f μ⎯⎯→．当μ是概率测度时,称()n f 依概率收敛于f ,记为in p n f f ⎯⎯⎯→（in probability ）定理：实值可测函数n f ,f（1）..a e n f f ⎯⎯→⇔1([||])0i n i nf f με∞∞==−≥=∩∪ 0ε∀>；当μ概率测度时，n f ,f 为..r v ，则1([||])0i n i nP f f ε∞∞==−≥=∩∪⇔1([||])1i n i nP f f ε∞∞==−<=∩∪ 0ε∀>即..a s n f f ⎯⎯→(2）..a un n f f ⎯⎯⎯→ ⇔ lim ([||])0in i nff με∞→∞=−≥=∪ 0ε∀>;(3) n f f μ⎯⎯→ ⇔ ()n f 的任何子列()n f ′,存在其子列()k n f ′,..s t ..k a un n f f ′⎯⎯⎯→()k →∞．定理：（1）..a un n f f ⎯⎯⎯→⇒..a e n f f ⎯⎯→, ..a un n f f ⎯⎯⎯→⇒n f f μ⎯⎯→； （2）μ是有限测度,..a e n f f ⎯⎯→⇔..a un n f f ⎯⎯⎯→； （3）n f f μ⎯⎯→,then 存在子列()k n f ,..s t ..k a e n f f ⎯⎯→．1. 随机变量的等价类定义1．设()D ω表示与ω有关的一个论断(命题)．若{:()}A D ωω=∈Ω不真为可略集（某论断不真的样本点的集合）,即()0P A =．则称()D ω几乎必然成立,或()D ω..a s 成立,或()D ω为真..a s ．若A 为μ可略集,则()0A μ=,则称()D ω为真..a e μ． 特别：..r v X 、Y , If ()0P X Y ≠=, then 记X Y =..a s ．记：~X Y ⇔X Y =..a s ⇒与X 等价的元素全体记为{:..}X X X X a s ′′==．等价类间的运算{:}{:,}{:,}{:,}{:,}c X cX X X X YX Y X X Y Y X Y X Y X X Y Y X Y X Y X X Y Y X Y X Y X X Y Y ⎫′′=⎪′′′′+=+⎪⎪′′′′=⎬⎪′′′′∨=∨⎪⎪′′′′∧=∧⎭∼∼∼∼∼∼∼∼∼⇒ （1） 同一等价类内的..r v 有相同的分布；（2） If ~X X ′,且同时可积；若可积,则EX EX ′=．例：If 2~(0,)X N σ, then 2~(0,)Y X N σ=−.即X 与X −有相同的分布, 但X 与X −不相等.故分布相同与随机变量相等是两个不同的概念.命题2.4.1(变量形式) 随机变量族{},i X i I ∈,则必有唯一（不计..a s 相等差别）..r v Y (可取±∞)满足(1) 对i I ∀∈,i X Y ≤ ..a s ；(2) If 'Y 也满足,..i i I X Y a s ′∀∈≤,Then '..Y Y a s ≤（满足上述两点的Y 是{}i X 的本性上确界(essentiality supremum),记为sup i i IY ess X ∈=）证明：I 为可列指标集,取sup i i IY X ∈=即可.记()arctan f x x =↑有界,令sup [(sup )]i J Ii JE f X δ⊂∈= J 为I 的可列子集 (2.4.1)由上确界定义,必有可列子集...n J I s t ⊂1[(sup )]ni i J E f X nδ∈>−记0n nJ J =∪,则0J 可列,且对每个n ,有1[(sup )]i i J E f X n δδ∈≥>−⇒ 0[(sup )]i i J E f X δ∈= 令0sup i i J Y X ∈=,则Y 为..r v ,且（1）必成立,否则0i X ∃,()00i P X Y >>, 这时()()00i P f X Y f Y ⎡⎤∨>>⎣⎦ ⇒ {}()()000[(sup )]i i i J i E f X E f Y X E f Y δ∈⎡⎤=∨>=⎡⎤⎣⎦⎣⎦∪ 该式(大于)与（2.1.4）（等于）矛盾,故（2）成立. 此外,若'Y 也满足'i X Y ≤ ..a s i I ∀∈则sup 'i i J Y X Y ∈=≤ ..a s故（2）成立, 唯一性是（2）的直接结论.定义2.4.2 若{},i X i I ∈为..r v 族,由命题2.4.1规定的Y 称为{},i X i I ∈的本性上确界,记为sup i i Iess X ∈ or sup i i Ie X ∈.同样,inf sup ()i i i Ii Ies X ess X Δ∈∈=−−称为{},i X i I ∈的本性下确界.P61（汪） 注：① 任一随机变量族有上(下)确界，也就是随机变量作为格是完备的(有上(下)确界); ② 若随机变量族{},i X i I ∈本身是一个格，当,i j I ∈时，{},i j i X X X i I ∨∈∈，则必存在一列{},n i n X i I ∈，使{}n i X 递增地收敛于sup i i Iess X ∈;③ 若{},i X i I ∈对可列个随机变量的上确界运算是封闭的，则sup i i Iess X ∈必属于{},i X i I ∈.（命题2.4.1的）集合形式：可测集族{},i A i I ∈,必存在唯一,..,..i A s t i A A a s ∈∀⊂F 且若B ∈F 也有对,..i i A B a s ∀⊂,则..A B a s ⊂例 []0,1Ω=,[]0,1=F B 为[]0,1上Borel 点集全体,P 取为[]0,1上的Lebesgue 测度,对[]0,1r ∈,令10r r X r ωω=⎧=⎨≠⎩则[]()0,1sup 1r r X ω∈≡,但 []()0,1sup 0r r ess X ω∈=定义2.4.3 ..'r v s {,1}n X n ≥ ,若limsup liminf n n nnX X = ..a s则不计等价类内的差别,其唯一确定的极限limsup n nX X =,也记为lim n nX X = or..a s n X X →,称{,1}n X n ≥为以概率1收敛于X or ..a s 收敛于X .命题2.4.2（1） ..'RVs ..a s n X X → ⇔ 1({})0n N n NP X X ε∞∞==−>=∩∪⇔ 1({})1n N n NP X X ε∞∞==−≤=∩∪ 0ε∀>（2） ..a s n X X → ⇔ 1,({})0n m N n m NP X X ε∞∞==−>=∩∪⇔ 1,({})1n m N n m NP X X ε∞∞==−≤=∩∪⇔ ,m n →∞时,..{,,1}0a s n m X X m n −≥⎯⎯→ Cauchyseries （3）If 正数列{}n ε满足1nn ε∞=<∞∑, {,1}n X n ≥满足11{}n n n n P XX ε∞+=−><∞∑ ⇒ ..a s n X X ⎯⎯→ ()X <∞then {,1}n X n ≥ a.s.收敛于有限随机变量X .证明：（1） ""⇒If 0{:lim ()}n nX X ωωω∈=<∞ ,Then 0ε∀>,0(,)N εω∃,n N >, ..s t 00()()n X X ωωε−≤即0lim ()n n A ωω→∞∉. 所以(){lim }(lim )Cn n n n X X A ε→∞→∞=<∞⊂ ⇒ (1) 结论成立""⇐ 0ε∀>, 对于1({})0n N n NP X X ε∞∞==−>=∩∪ 成立,则11(lim (0n nk P A k ∞=⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∪ ( * )因而对011(lim (n n k A k ω→∞≥∉∪及00ε∀>,取01k ε<,由011(lim ())lim(())c cn n n n A A k k ω→∞→∞∈= 必存在()00,N εω, 当()00,n N εω>时,01((cn A kω∈,即()()0001n X X kωωε−≤<.由于0ε可为0∀>的数, 故()()00lim n n X Xωω→∞=,由（*）式,故..a s n X X ⎯⎯→. （2）由实数列收敛的Cauchy 准则,对给定的0ω,()lim n n X ω→∞<∞ ⇔ ()()00,lim 0n m m n X X ωω→∞−=而{,1}n X n ≥..a s 为Cauchy 基本列与（2）中式子等价,可类似（1）证明. （3）记{}1n n n n A X X ε+=−>,Then{}1k n n n k nk n P A P X X ε+≥≥⎛⎞≤−>⎜⎟⎝⎠∑∪ ⇒ ()lim lim 0n k n n k n P A P A →∞→∞≥⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∪若()c1lim c nk n n k nA A ω∞∞→∞≥≥∈=∪∩,Then 必存在()0N ω,..s t 0c n k N A ω≥∈∩,即当()0k N ω≥时,有()()1n n n X X ωωε+−≤ ⇒()()1n nnX X ωω+−<∞∑因为当()clim nn A ω→∞∈时,()lim nnXω<∞,故{}..a s n X X ⎯⎯→<∞. 定义2.4.4 Pn X X ⎯⎯→ or lim n n pr X X →∞−=⇔ {}lim 0n n P X X ε→∞−>= 0ε∀>说明 in P 收敛极限不计可数集上的差别是唯一确定的. 如果lim n n pr X X →∞−=, lim n n pr X Y →∞−=,那么0ε∀>有{}022n n n P X Y P X X P X Y εεε→∞⎛⎞⎛⎞−>≤−>+−>⎯⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⇒ {}0P X Y ε−>=又由于ε可为任一正数,故()1P X Y ==.引理 2.4.1 If {,1}n X n ≤.in P⎯⎯⎯→Cauchy 基本列,即n X ： ,lim {||}0n m m n P X X ε→∞−>= 0ε∀> ⇒ ..a s nk X X ⎯⎯→ （<∞）Then 必有 a.s. 收敛于有限随机变量的子序列{,1}nk X k ≥ Proof ：取11n =,而1j j n n −>,且当,j r s n >时(||2)3j j r s P X X −−−><此时1(||2)3j j j jn n jjP XX +−−−><<∞∑∑ 2.4.2=====⇒命题（3）{,1}nk X k ≤..a s ⎯⎯→X <∞命题2.4.3 {,1},n X n ≤为..'r v s then（1）If lim n n X X →∞= .a s ⇒ Pr lim n n X X →∞−=（2）Pr lim n n X X →∞−=⇔ {}n X 为in P 收敛下的Cauchy 基本列：(in Pn X X ⎯⎯⎯→⇔n X 为in P 收敛下的Cauchy series.)Proof ：（1）..1({||})0a s n n N n N X X P X X ε∞∞==⎫⎯⎯→⎪⎬−>=⎪⎭∩∪ ⇒ 0ε∀>,lim ({||})0n n k nP X X ε∞→∞≥−>=∪ ⇒ 0ε∀>,lim {||}0n n P X X ε→∞−>=. 即in Pn X X ⎯⎯⎯→.（2） “⇒”.in Pn X X ⎯⎯⎯→:{||}{||}{||}22n m n m P X X P X X P X X εεε−>≤−>+−>⇒n X 为依概率收敛下的Cauchy Series.“⇐”由引理2.4.1有.a s nk X X ⎯⎯→⇒in pn X X ⎯⎯⎯→{||}{||}{||}22n n nk nk P X X P X X P X X εεε−>≤−>+−>k n n →∞→∞==⇒in pn X X ⎯⎯⎯→ 即证.注：,,Ω（p）F 上随机变量X ,Y||(,)[1||X Y X Y E X Y ρΔ−=+− 等价于依Pr.收敛 ⇐ 距离空间是完备的例：设B 为[0,1]的Lebesgue 可测集全体.p λ=为[0,1]上的Lebesgue 测度.在可测空间λ([0,1],,)B 上取[/2,(1)/2]()1()k k n p p X ωω+= 2k n p =+ 021k p ≤≤−则对[0,1]ε∈有1|2n kP X ε(|>)= n →∞===⇒ 0n X ρ⎯⎯→2. 一致可积与平均收敛定义 2.4.5 Ω（,,p）F 上{,}i X i I ∈,若||lim sup ||0ii N i I X NX dp →∞∈>=∫,则称{,}i X i I ∈为一致可积的.若随机变量Y 可积,则||lim ||0N Y Y dp →∞=∫ （*）证明：取 ||||n Y n X Y I >= ⇒ ||lim ||0n Y n X Y I =∞→∞== ..a s又||n X Y ≤故由Lebesgue 控制收敛定理即（*）成立.命题2.4.4 Ω（,,p）F 上可积..r v 族{,}i X i I =∈H （1） If I 为有限集,then H 一致可积；（2） If ,||i i I X Y ∀∈≤,Y 可积,then H 一致可积； （3） If 1p ∃>,sup ||pi i IE X ∈<∞, then H 一致可积；证明：（1）（2）由（*）可证明. （3） 利用11||||11||||sup ||i i pi i i p p i IX NX N X dp X dp E X N N N −−∈>>≤≤⇒→∞∫∫即证. 命题 2.4.5 Ω（,,p）F 上可积..r v 族{,}i X i I =∈H 为一致可积的充要条件是 （1） 一致绝对连续： 0()limsup sup ||0i P A i I AX dp δδ→<∈=∫ （☆）（2） 积分一致有界： sup ||i i IE X ∈<∞证明：“⇒”(||N)(||N)||||||i i ii i AA X A X Xdp X dp X dp≤>≤+∫∫∫N →→∞===⇒令P(A)0（1）A =Ω==⇒（2）“⇐”由（☆）式,0ε∀>,()0δε∃>,当()()P A δε<时,有sup ||i i I AX dp ε∈<∫,即{,}i X i I =∈H 一致可积.而1(||)sup ||0N i i iP X N E X N →∞>≤⎯⎯⎯→所以 (||)()i P X N δε><.定义 2.4.6 Ω（,,p）F 上..'r v s {,1}n X n ≥,且..r v X 可积,使lim ||0n n E X X →∞−=则称{}n X （一阶）平均收敛或1L 收敛于X ,记为1L nX X ⎯⎯→.命题2.4.6 对可积..'r v s {,1}n X n ≤下列条件等价： （1）1LnX X ⎯⎯→；（2）{}n X 为1L 基本列,即,lim ||0n m m n E X X →∞−=；（3）{,1},n X n ≤为一致可积的且Pn X X ⎯⎯→.3. pL 空间定义：设Ω（,,p）F 概率测度空间,若常数p ,且0p <<∞,令||||pp X Ω∞L （,,p)={X:X为r.v.,<}F 记为p L 空间.设1,,pp X L ≤∈定义11||||(||)(||)p p p pp X E X X dp ==∫为X 在L p空间上的范数.sup{:(||)0}Xx P X x ∞=>> ⇒ (||)1P X X∞≤=,(||)0P X X∞>=(,)p p L ⋅构成完备的线性赋范空间—Banach 空间基本不等式：,a b R ∈,0r >,1p <,q <∞且111p q+=（p ,q 为共轭数）,则(1)1||max(1,2)(||||)r r r r a b a b −+≤+(2) ||||||p q a b ab p q ≤+ ⇔ 11||||||||pq a b a b p q≤+p L 中基本不等式：（1）1||max(1,2)[||||]p r p pX Y dp X dp Y dp −+≤+∫∫∫Holder 不等式 （2）||pqXY XY dp XY=≤⋅∫⇔||pq E XY XY ≤⋅（111p q+=,1p ≤,1q ≤ ） （3）Minkowski 不等式：ppp X YXY +≤+ ..r v ：X Y . (若实数,1p c ≥,则有 ||ppcXc X≤)Proof ：1||||||pp X Y dp X Y X Y dp −+=+⋅+∫∫11||||||||p p X X Y dp Y X Y dp −−≤⋅++⋅+∫∫式中11||||(||)p p p qX X Y dp XX Y −−⋅+≤+∫11[(||)]p qqp XX Y dp −=+∫1[||]pqp XX Y =+∫ 11[||][||]ppqqpp X X Y dp YX Y dp ≤⋅++⋅+∫∫ 1()[||]pqp p XY X Y dp =++∫其中 111p q +=⇒1pq p =− 所以有11[||]()pqpp X Y dp XY −+≤+∫即有不等式ppp X YXY +≤+（4）Jensen 不等式f 为上的凸函数,X 为取值(,)a b 的可积..r v ,则有[()]()E f X f EX ≥证明：0(,)X a b ∃∈,f 为凸函数.'000()()()()f x f x f x x x −≥+− (,)x a b ∈令0x EX = x X =,则上式变为'()()()()f X f EX f EX X EX −≥+−上式两边同时取期望得[()]()E f X f EX ≥证明(,)pp L ⋅完备线性赋范空间线性：① If pX L ∈,a R ∈ ⇒paX L ∈ ② ,pX Y L ∈⇒pX Y L +∈ 赋范：0pX≥且0pX=⇔0X = ..a e ⇔0f ≡ppaX a X= ppp X YXY +≤+定义（依范数收敛）：设Pn X L ∈, If lim||0p n n X X dp Ω→∞−=∫（ ⇔lim 0n pn X X→∞−=）Then 称{}n X 依范数收敛于X （p 方收敛）,记为PL n X X ⎯⎯→. 结论：PL n X X ⎯⎯→⇒pn X X ⎯⎯→系（Corollary ）：[]1,,p ∈∞..'r v s {,1}n X n ≥.若存在(,,)pY L p ∈ΩF ,n ∀,有||n X Y ≤,则当n →∞时,下列两式等价：（1） pn X X ⎯⎯→ （2） PL n X X ⎯⎯→ 命题2.4.11： 1p ≤≤+∞,pL 中元素列{}n X ,下列两事实等价（1）PL n X X ⎯⎯→ ； （2）{}n X 是基本列,即,lim 0n mpn m X X →∞−=；（3）{||,1}p n X n ≥一致可积,且pn X X ⎯⎯→. 命题1：(1) [1,]p ∈+∞,p L 为Banach 空间(,)pp L ⋅,且是一个完备集合. （2）若在2(,,)L P ΩF 中取(,)[]X Y E XY =则(,)X Y 是内积,2(,,)L P ΩF 是Hilbert 空间22(,)L ⋅,且也是一个完备格. 定义：(,,)P ΩF ,..r v ,X Y 0p >.||p E X ：X 的（分布的）p 阶绝对矩()VarX E X EX Δ=− X 的方差p EX （存在） X 的p 阶矩ΔX 的标准差协方差：(,)()()Cov X Y E X EX Y EY Δ=−− ()0E XY =称,X Y 为正交的相关系数：0(,)00VarX VarY X Y VarX VarY ρΔ⋅≠=⋅=⎩⇒ ,X Y 互不相关的(,)Cov X Y ≤若(,)1X Y ρ≤,由1(||)||ppP X a E X a≥≤,得Chebyshev 不等式 21(||)P X EX a VarX a−>≤ 0a >六、乘积可测空间上的测度1．两个乘积可测空间上的测度 (1) 乘积可测空间(,)i i ΩFi i Ω=ΩΠ=1乘积空间1{(,,):}n i i ωωωΩ=∈Ω ，11{1}nn i i i i i i A A i n σ====∈≤≤ΠΠ：，F F F ，1(,)(,)ni i i =Ω=ΩΠF Fi i A Ω⊂，1{(,,):}n i i A A ωωω=∈ ，可测矩形全体：i ni A A Π==1C 为Ω中可测的矩形全体 ()σ=F C(2) 截口Y X ,集合，E 是Y X ×的子集，分别称}),({E y x Y y E X ∈∈=：（或}),({E y x X x E Y ∈∈=：）为E 在X （或Y ）处的截口.记),(y x f 为Y X ×上的函数，),()(y x f y f x =),()(y x f x f y = (3) 引理引理 设11(,)ΩF 与22(,)ΩF 为可测空间（a）若21Ω×Ω∈E ，则1Ω∈∀x ，2Ω∈y ，有2x E ∈F ，1y E ∈F（b）若f 为21Ω×Ω上的12×F F 可测函数，则1Ω∈∀x ，2Ω∈y ，x f 为2Ω上的2F 可测函数，y f 为1Ω上的1F 可测函数.进一步引理 设11(,,)μΩF 与22(,,)νΩF 为两个σ有限测度空间若21Ω×Ω∈E ，则函数(映照)x x E μ⎯⎯→为1Ω上可测；y y E ν⎯⎯→为2Ω上可测.(4) 乘积测度设11(,,)μΩF 与22(,,)νΩF 为两个σ有限测度空间，则在12×F F 上存在唯一的测度νμ×，s.t，)()())((B A B A νμνμ=××， 1A ∈F ，2B ∈F ，从而νμ×亦为σ有限.此外对于12E ∀∈×F F 有12()()()()()()x yE E dx E dy μννμμνΩΩ×==∫∫则测度νμ×称为μ与ν的乘积. (5) 乘积测度的积分Theorem: σ有依测度空间11(,,)μΩF 与22(,,)νΩF ，f 为21Ω×Ω上的非负12×F F 可测函数，则函数2x x f dv Ω→∫与1y y f d μΩ→∫分别在1F 和2F 可测，且有∫∫∫∫∫ΩΩΩΩΩ×Ω==×122121)()()()()(dx dv f dy v d f v fd x y μμμFubini's Theorem: σ有依测度空间11(,,)μΩF 与22(,,)νΩF ，f 为21Ω×Ω上的12×F F 可测函数，若f 关于νμ×可积（积分存在），则：(a) 对..a e μ− x ，x f 为ν可积（关于ν积分存在），对..a e ν−y ，y f 为μ可积（关于μ积分存在）(b) 令⎪⎩⎪⎨⎧=∫Ωotherv f d f I x x x f 02)(可积（积分存在）为若ν⎪⎩⎪⎨⎧=∫Ωelsewheref d f I y y y f 01)(可积（积分存在）为若μμ则)(x I f 为μ可积（积分存在），)(y I f 为v 可积（积分存在），且有1212()()()()()f f fd v I x dx I y v dy μμΩ×ΩΩΩ×==∫∫∫另一种形式的Fubini's Theorem: If 0≥f or ||f d μ<∞∫，then∫∫∫∫∫ΩΩΩ×ΩΩΩ==212112)()(),()()(),(dy v dx y x f fdu dx dy v y x f μμFubini 定理有很多应用 2．乘积可测空间上的概率测度 （1）两维乘积空间上的概率测度设()()1122,,,ΩΩF F 为两个可测空间，[]12(,)120,1P A ωΩ×→F ，若函数12(,)P A ω满足：（a） 11ω∀∈Ω，1(,)P ω⋅是()22,ΩF 上的概率测度； (b) 222,(,)A P A ∀∈⋅F 是()11,ΩF 上的可测函数； 则称P 为()11,ΩF 到()22,ΩF 的转移概率. 注：函数12(,)P A ω满足：()()121,1,,0P P ωωφΩ==； ()12,0,P A A ω≥∀∈F ；2,,i i j A A A i j ϕ∈∩=≠F ，有1111(,)(,)i i i i P A P A ωω∞∞===∑∑.例：可测空间()11,ΩF 和()22,ΩF ，则（a）()⋅Q 是()22,ΩF 上的概率测度，则对()()22122,,A P Q A ω∈=F F 是一个转移概率;（b）可测映照()()1122:,,f Ω→ΩF F ，则()()()2121,A P A I f ωω=也是一个转移概率.(2) 定理定理2.5.1：可测空间()11,ΩF 和()22,ΩF ，1P 为()11,ΩF 上的概率测度，12P 为转移概率，则（a）在()1212,Ω×Ω×F F 上存在唯一概率测度P 满足 ()()()1121212111122,,,A P A A P A P d A A ωω×=∀∈∈∫F F。
现代概率论03：测度空间（1）
现代概率论03：测度空间（1）⽬录第三讲 测度空间(1)2.1 测度的定义及性质2.1.1 测度的公理化定义本节主要讨论测度的定义及性质，在此之前需要引⼊⼏个概念：⾮负集函数：给定空间 X 上的集合系 E ，将定义在 E 上，取值于 [0,∞] 上的函数称为⾮负集函数，常⽤希腊字母 µ,ν,τ,⋯ 来表⽰。
可列可加性：如果对任意可列个两两不交的集合 {A n ∈E,n ≥1} 满⾜ ∞⋃n =1A n ∈E ，均有µ∞⋃n =1An=∞∑n =1µ(An ),则称⾮负集函数 µ 具有可列可加性。
有限可加性：如果对任意有限个两两不交的集合 {A k ∈E,1≤k ≤n } 满⾜ n⋃k =1Ak∈E ，均有µn⋃k =1Ak=n∑k =1µ(Ak ),则称⾮负集函数 µ 具有有限可加性。
可减性：如果对 ∀A ,B ∈E ，满⾜ A ⊂B ，且有 B −A ∈E ，只要 µ(A )<∞ ，就有µ(B −A )=µ(B )−µ(A ),则称⾮负集函数 µ 具有可减性。
本节的核⼼是测度的公理化定义，具体如下：测度的公理化定义：指的是在抽象空间的集合上建⽴的测度。
设 E 是 X 上的集合系，且 ∅∈E 。
若 E 上的⾮负集函数 µ 满⾜：(1) µ(∅)=0 ；(2) 可列可加性，则称 µ 为 E 上的测度。
若 µ(A )<∞, ∀A ∈E ，则称测度 µ 为有限测度。
()()若 ∀A ∈E ，存在 {A n ∈E,n ≥1} ，使得 ∞⋃n =1An⊃A ，则称测度 µ 为 σ 有限测度。
命题 2.1.1：测度具有有限可加性和可减性。
命题 2.1.2：设 X ⊂R, E =Q R ，F 是 R 上⾮降右连续的实值函数。
概率论发展简史
概率论发展简史概率论有悠久的历史，它的起源与博弈问题有关。
16世纪意大利的一些学者开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题，例如比较掷二个骰子出现总点数为9或10的可能性大小。
17世纪中叶，法国数学家B.帕斯卡，P.de.费马及荷兰数学家惠更斯基于排列组合的方法研究了一些比较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”（即历史上有名的“得分问题”）“输光问题”等等，其方法不是直接计算赌徒赢局的概率，而是计算期望的赢值，从而导致了现今成为数学期望的概念（由惠更斯明确提出）。
概率论成为数学的一个分支的真正奠基人则是瑞士数学家雅各布第一·伯努利。
他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，这个结果发表于他死后八年(1713)出版的遗著《推测术》。
1716年前后，A.棣莫弗用他导出的斯特林公式（即：）进一步证明了渐进地服从正态分布（德国数学家C.F.高斯于1809年研究测量误差理论时重新导出正态分布，故亦称为高斯分布），这里，后来法国数学家P.S.拉普拉斯将棣莫弗的这一结果推广到一般的的情形，后世称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理，这是概率论中第二个基本极限定理的原始形式。
拉普拉斯对概率论的发展贡献很大，他在系统总结前人工作的基础上写出了《概率的分析理论》（1812年出版后又再版6次），在这一著作中，他首次明确规定了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，如差分方程、母函数，从而实现了概率论由单纯的组合计算到分析方法的过渡，将概率论推向一个新的发展阶段。
拉普拉斯非常重视概率论的实际应用，对人口统计学尤感兴趣。
继拉普拉斯之后，概率论的中心研究课题是推广和改进伯努利大数定律及棣莫弗—拉普拉斯极限定理，在这方面俄国数学家切比雪夫迈出了决定性的一步，1866年他用自己创立的切比雪夫不等式建立了有关独立随机变量序列的大数定律，次年又建立了有关各阶绝对矩一致有界的独立随机序列的中心极限定理。
1901年，A.M.李亚普诺夫利用特征函数方法，对一类相当广泛的独立随机变量序列，证明了中心极限定理，他利用这一定理第一次科学地解释了为什么实际中遇到的许多随机变量近似服从正态分布。
7从古典概率论到现代概率论
卡尔达诺 (G.Cardano ，1501～1576， 意大利)。
《赌博之书》 (1539，出版于 1663)：
对赌博中断问题的继续讨论； 点问题：掷两颗或三颗骰子时在一切可能的方法中 有多少种方法得到某一总点数 ；
大数定律的雏形：在抛掷硬币的试验中，每次出现
正面或反面虽属偶然，但在大量重复试验中，出现正 面（对称地，出现反面)的频率却必然地接近于定数 1／2 ；
在书中贝叶斯给出了概率的定义：
“任一事件的概率是这样的比值：一 个是由于这一事件发生应计算的期望 的值，一个是会发生的事情的相应的 值。机会（chance）我认为就是概 率。”
几个重要的问题
逆概率（inverse probability） 彼得堡悖论 Bernoulli-Euler 关于装错信封的问
在 n次独立事件中，如果事件本身的概率是 p，那 么它连续发生 n次的概率是p的n次方
二、概率论的创立与发展～～古典概率 论/组合概率时期（17－18世纪）
从17世纪中期概率论的产生到18世纪 末，约一个半世纪的时间里，概率论 主要以计算各种古典概率问题为中心 发展着，因而将其称为古典概率时期； 由于这个时期的概率论主要以组合论 为工具，所以也称为组合概率时期。
《分析杂论》 (1730) ：正态分布
贝叶斯 (Thomas Bayes，1702～ 1761)
1763 An essay towards solving a problem in th概率的概念和推理的方法、公式， 扩展和提高为处理一般科学问题的原 理； ⑵ 给出了著名的贝叶斯公式 ； ⑶提出了贝叶斯假设
题 秘书问题 布丰（Buffon）投针问题（1777）
今天看来，概率论最初考虑的问题，其样本空间 (这一概念是德国数学家冯·米泽斯 (von •Misses)于1931年提出的。) 都是由有限个元素 构成的。随着概率论的发展，这种样本空间的局 限性越来越明显。把等可能性思想发展到包含无 穷多个元素的样本空间，就产生了几何概率。将 概率的古典定义与几何定义稍作比较就会发现， 在古典定义里，只有不可能事件的概率才是０， 而在几何定义中，概率０的事件未必是不可能的
《现代概率论》
Probability: Theory and Examples (Second Edition) 1996/2012
Kai Lai Chung. A Course in Probability Theory, (Third Edition) China Machine
Press. 2010.
[3] 夏道行等.实变函数论与泛函分析(上) 2rd 高教出版社 2011
[4] 严加安著 测度论讲义（第二版） 北京 科学出版社 2008.8 [5] 严士健等著 概率论基础（第二版） 北京 科学出版社 2009.8 [6] 胡尧 《测度论》笔记（2004 年北大学习） 授课老师 李志阐教授 [7] 胡尧 《高等概率论》笔记（2004 年北大学习） 授课老师 刘勇教授
A\B (差) 特别 Ω \B=Bc =B (余集 complement)
A ∩ A c =φ
A+A c =Ω
A-B=ABc
AΔB= ( A\B ) ∪ ( B\A )
Symmetric difference
约定：if 指标集 I= {i} =φ 即空集,then
∩ A =φ
i i∈I
and
∪ A =φ
n →∞ n
> −∞ then lim X n = inf{ X n }
n →∞ n
若为单调类 { X n , n ≥ 1} 为集合
①If X 1 ⊂ X 2 ⊂
⊂ Xn ⊂ ⊃ Xn ⊃
then lim X n =
n →∞
∪X
n =1 ∞
∞
n
= sup{ X n } 包含所有 X n 的最小集合
n
空间： Ω 元素： ω 集合: A,B,C,
概率论论文10篇完美版
《概率论论文》概率论论文（一）：《概率论与数理统计》论文摘要概率论的发展具有很长的历史，多位数学家对概率论的构成做出了巨大贡献。
纵观其发展史，在实际生活中具有很强的应用好处。
正是有了前人的努力，才有了现代的概率论体系。
本文将从概率论的研究好处、定义，以及发展历程进行叙述。
概率论的发展与起源1.1概率论的定义概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的，随机现象是指在基本条件不变的状况下，一系列或观察会得到不同结果的现象。
每一次实验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，抛一枚硬币，可能会出现正面或者反面；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。
随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或者一组基本事件统称为随机事件，或者简称为事件。
事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。
虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下超多重复的随机实验却往往呈现出明显的数量规律。
例如，连续多次抛一枚硬币，出现正面的频率随着抛次数的增加逐渐趋近于1/2；犹如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且测量值大多落在此常数的附近，其分布状况呈现中间多，两头少及某种程度的对称性。
大数定律和中心极限定律就是描述和论证这些规律的。
在实际生活中，人们往往还需要研究某一特定随机现象的演变状况。
例如，微小粒子在液体中受周围分子的随机碰撞而构成不规则的运动，即布朗运动，这就是随机过程。
随机过程的统计特征、计算与随机过程有关的某些事件的概率，个性是研究与随机过程样本轨道（及过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。
在当代，随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合，囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用十分广泛的学科，概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。
第三章 现代谱估计
将(3.4.2)与(3.4.5)相比较，可令 N ( z) A( z )
i n z i i a z i i 0 p i 0 p p
(k ) z k
i 0
两边同乘以 ai z i，可得
*
_
_
新的ARMA过程{x(n)}的功率谱密度为 P～ ( )
x
2
B( z ) A( z )
~
~
2
2
| (1 e
i 1 r i k 1
s
j
) | | (1 i e
2 i s 1 p
q
j
)|
2
| (1 k e
q
j
)|
1 i 1 i r 1 r p _
B ( z ) (1 k z ) (1 k z 1 )
1 k 1 k s 1
r
p
_
其中， i 1/ i , i r 1, , p; k 1/ k* , k s 1, , q.
k r 1
k r 1
结论：如果系统是非因果的或者是非最小相位的，利用功率 谱密度，只能辨识出|H(ej)|，而不能辨识出H(ej).
可利用互功率谱密度或高阶矩统计量辨识此类系统。
3.4 ARMA谱估计
问题:利用N个已知的观测数据x(0),x(1),…,x(N-1)估计出ARMA 过程{x(n)}的功率谱密度。直接使用式(3.3.6)估计时，需 要辨识出整个ARMA模型及激励噪声的方差。MA参数的 估计需要解非线性方程。 3.4.1 ARMA功率谱估计的两种线性方法
由于将x(n)视为周期函数(幅值谱离散，功率谱 为了减小偏差，可以采用窗函数对周期图进行平滑。 第一种窗函数直接加给样本数据，修正后的周期图为 1 N 1 Px ( ) | x(n)c(n)e jnT |2 NW n 0 1 N 1 1 2 2 W | c(n) | | C ( ) | d N n 0 2 N 另一种窗函数是加给样本自相关函数(Blackman -Tukey法)，功率谱为 PBT ( )
【精品】专题7从古典概率论到现代概率论
拉普拉斯建立的古典概率理论的逻辑 基础十分脆弱，对于事件的概率定义 及运算都要用到“等可能性”概念， 而在一个具体问题上还需要考察有多 少等可能的情形。贝特朗悖论的出现 表明了直观的、经验性的概率概念的 本质缺陷，对建立概率论的严密逻辑 基础提出了要求。
四、概率论的公理化～～现代概率时期 （20世纪）
泊松 (Poisson，1781——1840)
《关于刑事案件和民事案件审判概率 的研究》 (1837) 引入泊松分布 推广大数定律
彼得堡学派（切比雪夫 、马 尔科夫 、李雅普诺夫 ）
切比雪夫 (Tschebyscheff ，18211894）：在一系列研究中切比雪夫首先 引入并提倡使用的随机变量概念，后来 成为概率论与数理统计中最重要的概念。 建立了切比雪夫不等式，证明了泊松形 式大数定律，建立了有关独立随机变量 序列的大数定律并对随机变量和收敛到 正态分布的条件，即中心极限定理进行 讨论。
惠更斯 (C.Huygens ，1629～1695，荷 兰)
—— 第一篇关于概率论的正式论文 数学期望：如果 p表示一个人获 得一定金额 s的概率，则 sp 称 为他的数学期望。
《论赌博中的推理》(1657)
雅各· 伯努利（Jacob Bernoulli ， 1654～1705，瑞士）
《猜度术》（出版于1713年）——“把概率论建立在稳 固数学基础上的首次认真的尝试” ： ①关于惠更斯《论赌博中的推理》的一个精彩评注 ②对排列组合理论的深入研究 ③将排列组合理论运用于概率论 ④概率论在法律和经济等问题上的应用 ⑤伯努利大数定律 (大数定律的最早形式)，这是占据《猜 度术》全书中心位置的结果，被称为“主命题”，是概 率论中的第一个极限定理。雅各· 伯努利考虑的是最简单 的情形，即在整个试验序列中，某个给定事件出现的概 率始终保持为常数
李雅普诺夫现代概率论 在现代分析基础上再生
李雅普诺夫现代概率论在现代分析基础上再生2011-06-14李雅普诺夫现代概率论：在现代分析基础上再生李雅普诺夫现代概率论：在现代分析基础上再生苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903.4.25-1987.10.20，1980年荣获Wolf数学奖)1920年他高中毕业，进入莫斯科大学，先学习冶金，后来转学数学，并决心以数学为终身职业。
Kolmogorov大学三年级时就发表了论文构造了一个处处发散的傅立叶级数，表现出卓越的数学才能，载誉国际。
1924年他念大学四年级时就和当时的苏联数学家辛钦一起建立了关于独立随机变量的三级数定理。
1925年大学毕业后，当研究生。
1928年他得到了随机变量序列服从大数定理的充要条件。
1929年得到了独立同分布随机变量序列的重对数律。
1930年得到了强大数定律的非常一般的充分条件。
1931年发表了《概率论的解析方法》一文，奠定了马尔可夫过程论的基础，马尔可夫过程在物理、化学、生物、工程技术和经济管理等学科中有十分广泛的应用，仍然是当今世界数学研究的热点和重点之一。
[1906-1912年，安德烈?马尔可夫(A.A.Markov，1856.6.14-1922.7.20)开始了马尔可夫链的研究。
]1931年起他担任莫斯科大学教授。
1932年得到了含二阶矩的随机变量具有无穷可分分布律的充要条件。
1933年担任莫斯科大学数学力学研究所所长，创建了概率论、数理统计、数理逻辑、概率统计方法等教研室。
1934年出版了《概率论基本概念》一书，在世界上首次以测度论和积分论为基础建立了概率论公理结论，这是一部具有划时代意义的巨著，在科学史上写下原苏联数学最光辉的一页。
1935年提出了可逆对称马尔可夫过程概念及其特征所服从的充要条件，这种过程成为统计物理、排队网络、模拟退火、人工神经网络、蛋白质结构的重要模型。
1935年获得苏联首批博士学位，1936-1937年给出了可数状态马尔可夫链状态分布。
近代概率论基础第一章 概率空间
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、概率空间及其三要素
1、样本空间
是一非空集合，称为样本空间；其中的元素称
为样本点，相应于随机试验的结果。
2、 F 与可测空间 我们把事件A定义为 的一个子集，它包含若干
近代概率论基础
任课教师: 范胜君
E-mail: f_s_j@
教材 李贤平 编 《概率论基础》 高教出版社 2005.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、内容与学时 第一章 概率空间
（5 学时）
第二章 条件概率与统计独立性（5 学时） 共
第三章 随机变量与分布函数 （6 学时） 32 学
件为 x y 20
可能的结果全体是边长为60的正方形中的点，能会
面的点的区域用阴影标出，故所求的概率为
p
602 402 602
5 9
y
60
实际上，我们假定了两人到达的时间 20 在7点到8点之间的机会均等且互不影响。 0 20
60 x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2 在圆周上任取三点A，B，C，试求这三点构成的 三角形为锐角三角形的概率
B
N
A
C
1 2
1 2
B
A C
B
A M
机动 目录 上页 下页 返回 结束
同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发 现是在取弦时采用了不同的等可能性假定。在第一 种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种 解法中，假定弦的中点在直径上均匀分布，而在第 三种解法中，又假定弦的中点在圆内均匀分布。这 三种答案针对三种不同的随机试验，对于各自的随 机试验而言，它们都是正确的。
关于主观概率写入现代概率论教材的探讨
关于主观概率写入现代概率论教材的探讨作者：刘东海来源：《科技创新导报》2011年第33期摘要:针对概率论概念结构中的矛盾性以及主观概率在日常生活中应用的广泛性,根据事物发展的规律及主观概率在日常生活中的应用,提出主观概率应写入概率论教材的重要性、必要性和可行性。
关键词:主观概率教材改革客观概率主观估计素质教育中图分类号:O211 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)11(c)-0135-02引言随机现象在人们的生活当中可谓是随处可见,触手可及;在科学研究之中更是数不胜数,我们按其重复性来划分,大致可分为两大类:可重复的随机现象和不可重复的随机现象。
一般来说,概率论所研究的对象就是各类随机现象,其目的是从事务发生的偶然性中探求必然性,在模糊混沌中发现有序,同时,通过研究给出发生于偶然性中的必然性的数学方法。
因此,概率的直观意义指的是“根据过去的经验或对未来的预测得出来的关于随机现象发生可能性大小的数量指标”。
1 概率论教材的基本内容概率论与数理统计课程是大学所设课程中唯一的一门研究随机现象规律性的数学基础学科。
纵观目前概率论与数理统计教材,大致由三部分内容构成:第一部分,概率论基础;第二部分,数理统计初步;第三部分,随机过程引论及概率论与数理统计在计算方法中的应用。
为了建立较为严格的概率论理论体系,教材第一部分首先是直观描述概率是反映随机事件发生可能性大小的数值度量;其次是概率的统计定义、古典定义、几何定义;最后概括得出概率的公理化定义。
从概率论基本内容来看,所有教材只涉及了“可重复的随机现象”,而对“一次性事件”的随机现象只字未提。
这是教材的一大缺陷。
因此,我主张“主观概率”应编入概率论教材。
2 主观概率针对可重复的随机现象所引发的概率,我们称之为客观概率。
但在社会生活实践中,除了以上可重复的随机现象之外,还有很多随机现象是“不可重复的随机现象”。
譬如:某气象台预报“明天到后天有大到暴雨”的概率;“明年世界经济增长”的概率;“明天股票上涨”的概率;在一次招聘中“某人被某公司录用”的概率;“天文学家判定某一小行星撞击地球”的概率等等。
现代概率论习题(2011修订)-encryption
= (−∞, sup inf an ) = (−∞, lim an ) .
k≥1 n≥k n
/gu
∪∞
n=1
∞ ∩
An =
∞ ∞ ∩ ∪
k=1 n=1
(−∞, an ) =
(−∞, an ) =
1
o
n=1
lim An =
An =
Ak =
∞ ∪
An .
An .
∞ ∩
An ;
An =
∞ ∩
An . ∩∞
(3) 对于 ∀ ω ∈ A△B = A \ B + B \ A， 若 ω ∈ A \ B， 则 ω ∈ A ∪ N1 = B ∪ N2 ，
而 ω 不属于 B ， 故 ω ∈ N2 ．同理， 若 ω ∈ B \ A， 则 ω ∈ N1 ．因此， ω ∈ N1 ∪ N2 ， 即
因为 A△N1 = B △N2 ， 所以 A△(A△N1 ) = A△(B △N2 )， 即 (A△A)△N1 = (A△B )△N2 , ∅△N1 = (A△B )△N2 .
n ∞ ∪ ∞ ∩ k=1 n=k ∞ ∩ ∞ ∪ k=1 n=k n
An =
∞ ∪ ∞ ∩ k=1 n=1 ∞ ∪ k=1
An =
∞ ∪ n=1
An ;
n
故 lim An = lim An =
n n
∪∞
n=1
An ， 即 lim An 存在且 lim An =
n
(2) 若 An 递减， 则 lim An =
n n n n n n n n n
(
∪
n
An )△(
∪
n
Bn ) = [(
∪
n
现代概率论的应用
现代概率论的应用现代概率论的应用随机引起的流体力学的湍流概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。
许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。
反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。
概率论作为数理统计学的理论基础是尽人皆知的。
下面简略介绍一下概率论本身在各方面的应用情况。
在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联（或倍增）现象,在研究电了-光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程（见点过程）的概念。
当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。
物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。
湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。
探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。
化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题,自动催化反应，单分子反应,双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（见马尔可夫过程）来描述。
随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。
研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生尅模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等等。
有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。
传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程。
在遗传问题中，着重研究群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。
随机性在生物系统里起着重要的作用许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，机器损修，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，等等，都可用一类概率模型来描述。
这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。
概率论发展简史
一、概率论发展简史1(20世纪以前的概率论概率论起源于博弈问题。
15-16世纪，意大利数学家帕乔利(L.Pacioli,1445-1517)、塔塔利亚(N.Tartaglia,1499-1557)和卡尔丹(G.cardano,1501-1576)的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。
1657年，荷兰数学家惠更斯(C.Huygens,1629-1695)发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。
这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。
而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布•伯努利(Jacob Bernoulli,1654-1705)。
他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。
伯努利之后，法国数学家棣莫弗(A.de Moivre,1667-1754)把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。
之后法国数学家蒲丰(C.de Buffon,1707-1788)提出了著名的“普丰问题”，引进了几何概率。
另外，拉普拉斯、高斯和泊松(S.D.Poisson,1781-1840)等对概率论做出了进一步奠基性工作。
特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。
泊松则推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。
19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。
他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯的极限定理。
切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。
19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
四、Stopping Time and Wald's Equation 第四章 Conditional Expectation and Martingales Conditional Expectation and Martingales 成为随机过程与数理统计中不可缺 少的概念，是随机过程和数理统计研究中的重要工具. 其内容主要包括 一、广义测度 定理及应用 第五章 Central Limit Theorems 研究一类 R.V.的分布规律， 它由许多独立 R.V.的和组成， 组成这个和的每一 个 R.V.都非常地“小”. 更确切地说，研究由项数越来越多的独立 R.V.的和组成 的序列的极限分布律，即 CLT 问题. 其主要讨论 一、Characteristic Function 四、CLT 一般结果简介 二、问题的提出 三、CLT-具有有界方差情形 二、条件期望 三、鞅的定义与基本不等式 四、鞅的收敛
《现代概率论》讲义稿
第一章 可测空间
贵州大学 胡尧
现代概率论（Modern Probability Theory）
教 材
汪嘉冈编著 现代概率论基础（第二版） 上海 复旦大学出版社 2006.6 Bing-Yi JING. Advanced Probability Theory. July,2012
参考书 [1] Richard Durrett Duxbury Press
i i∈I
第 5 页 共 30 页
《现代概率论》讲义稿
第一章 可测空间
贵州大学 胡尧
3.性质
1) 交换 2) 结合 3) 分配
A ∪ B=B ∪ A A ∩ B=B ∩ A
( A ∪ B ) ∪ C=A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∪ B ) ∩ C= ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ( A ∩ B ) ∪ C= ( A ∪ C ) ∩ ( B ∪ C ) ( A\B ) C= ( AC ) \ ( BC )
[3] 夏道行等.实变函数论与泛函分析(上) 2rd 高教出版社 2011
[4] 严加安著 测度论讲义（第二版） 北京 科学出版社 2008.8 [5] 严士健等著 概率论基础（第二版） 北京 科学出版社 2009.8 [6] 胡尧 《测度论》笔记（2004 年北大学习） 授课老师 李志阐教授 [7] 胡尧 《高等概率论》笔记（2004 年北大学习） 授课老师 刘勇教授
主讲内容 第一章 Measurable Space
本章可以说是没有概率的概率论， 主要介绍可测空间中不依赖于概率的各种 性质. 主要内容包括 一、集与集类 二、Monotone Class Theorem 三、可测空间与乘积可测空间
四、可测映射与 R.V. 第二章 Measures and Integration 在可测空间引进测度后介绍概率论的各种基本概念. 主要内容有 一、测度与测度空间 度 二、外测度与测度的扩张 三、Lebesgue-Stieltjes 测 六、乘积可
本讲义的符号标识
随机事件： A B C 或 随机变量： X 或 X i 不可能事件： φ
Ai Bi Ci 或 A 或 Ac
指标集： I 实数集： R
概率： P ( A)
P( Ai )
广义实数集： R
可测空间： (Ω, F ) 或 (Ωi , Fi )
概率测度空间： (Ω, F , P) 或 (Ωi , Fi , P i) 样本空间： Ω 样本点： ω 或
n →∞ n m≥n
(
)
下极限是下确界的上确界
第 4 页 共 30 页
《现代概率论》讲义稿
第一章 可测空间
贵州大学 胡尧
若 An 为随机事件：下极限发生当且仅当从某个事件之后的所有事件发生 注： lim X n < ∞ or ∃ ⇔ lim X n < ∞ or ∃ and lim X n < ∞ or ∃ and lim X n = lim X n
贵州大学 胡尧
的讨论. 独立性是概率论中最早引入的概念之一. 独立随机变量序列的性质是讨 论最早、结果最多的一个方面. 虽然以后的讨论并不局限于独立随机变量序列， 但对一般随机变量序列的讨论， 从方法到结果都可以从独立随机变量序列的讨论 中得到不少启发和借鉴. 本章主要包括 一、Independence and 0-1 Law 二、独立项级数 三、Laws of Large Numbers
下确界 infimum
设 E 是非空数集，若 ∃α ∈ R ，且 1） ∀x ∈ E ，有 α ≤ x ； 2） ∀ε > 0 ， ∃x0 ∈ E ，有 x0 < α + ε ； 则称 α 是 E 的下确界. 记为 α = inf E 注：① α 是 E 的下界; ② 大于 α 的任意数 α + ε 都不是 E 的下界,即下确界 α 是数集 E 最大的下界.
第 3 页 共 30 页
《现代概率论》讲义稿
第一章 可测空间
贵州大学 胡尧
《概率论》 《测度论》与《现代概率论》 单调 R.V.序列 { X n , n ≥ 1}
① ② If X 1 < X 2 < If X 1 > X 2 >
< Xn < > Xn >
< ∞ then lim X n = sup{ X n }
n →∞ j =1 k = j
∞
∞
= {ω | ω属于无穷多个X n } = {ω | ∀j ∈ N , ∃k ≥ j , s.t. ω ∈ X k }
⎞ = lim sup X n = inf ⎛ ⎜ sup X m ⎟ n n →∞ ⎝ m≥ n ⎠
上极限是上确界的下确界
= { An i.o.} 若 An 随机事件：上极限发生当且仅当有无穷多个事件发生
A\B (差) 特别 Ω \B=Bc =B (余集 complement)
A ∩ A c =φ
A+A c =Ω
A-B=ABc
AΔB= ( A\B ) ∪ ( B\A )
Symmetric difference
约定：if 指标集 I= {i} =φ 即空集,then
∩ A =φ
i i∈I
and
∪ A =φ
ωi 事件域： σ − 代数
测度： μ
ν p f
M N O P
集类或集合类： P (Ω) A
B C D E F G H I
J
K L
Q R S T U V W X Y
Z
第 2 页 共 30 页
《现代概率论》讲义稿
第一章 可测空间
贵州大学 胡尧
附：上确界与下确界（Supremum and Infimum）不同情形的定义
空间： Ω 元素： ω 集合: A,B,C,
具体， Ω = {ωi，i=1，， 2 ...} ， A=
2 , j } , B= {ω ，h=1，， 2 ,h } {ω ，j=1，，
j n
h n
1. 关系
1） contain or imply A ⊂ B ( B ⊃ A ) ⇔ if ∀ω ∈ A then 是的元素.注： ∅ ⊂ A ⊂ Ω . 2） equality A = B ⇔ A ⊂ B and B ⊂ A .
n →∞ n
> −∞ then lim X n = inf{ X n }
n →∞ n
若为单调类 { X n , n ≥ 1} 为集合
①If X 1 ⊂ X 2 ⊂
⊂ Xn ⊂ ⊃ Xn ⊃
then lim X n =
n →∞
∪X
n =1 ∞
∞
n
= sup{ X n } 包含所有 X n 的最小集合
n
i.o. ：infinitely often
下极限
lim X n = ∪∩ X k = {ω | ω ∉ X n , 只对有限个n成立}
n →∞ j =1 k = j
∞
∞
= {ω | ω至多不属于有限多个X n } = {ω | ∃j0 ∈ N , ∀k ≥ j0 , s.t. ω ∈ X k }
= lim inf X n = sup inf X m
⇒
4. 集序列与极限
集序列 {A n，n ≥ 1} 上极限：
lim A n = lim sup A n = {ω|ω ∈ A n，对无穷多个n成立}
n →∞ n →∞
(定性描述)
= ω|∀m，∃n (ω ) >m，ω ∈ A n (ω ) = ∩∪ A k
四、Integration and Expectation
五、随机变量及其收敛性
测空间上的测度 第三章 Independence Random Variables Series 在用测度论术语规定概率空间的基础上，本章以独立性为前提展开各种问题
第 1 页 共 30 页
《现代概率论》讲义稿
第一章 可测空间
[2]
Probability: Theory and Examples (Second Edition) 1996/2012
Kai Lai Chung. A Course in Probability Theory, (Third Edition) China Machine
Press. 2010.
4)
并化为不交并
A ∪ B=A+ ( B\A ) =A+ ( B\AB ) =A+A C B
B=Байду номын сангаасB+A C B
∪A
n=1
∞
n
=A1 +A 2 \A1 +A 3 \ ( A1 ∪ A 2 ) +
C C =A1 +A 2 A1 +A 3A C 2 A1 +