二、空间几何体的表面积与体积复习课件

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第8章 立体几何
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解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱 柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大， 削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半 径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高．
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答案： 3
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5．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直 角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋 转一周所成的几何体体积是________．
8π 答案： 3
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(2010 年高考课标全国卷)设三棱柱的侧 棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一 个球面上，则该球的表面积为( ) 7 2 2 A．πa B. πa 3 11 2 C. πa D．5πa2 3
例3
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变式训练1 (2009年高考海南、宁夏卷)一个棱锥 的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2) 为( )
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A．48＋12 2 C．36＋12 2
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课前热身 1．(教材习题改编)一个圆柱形的玻璃瓶的内半径 为3 cm，瓶里所装的水深为8 cm，将一个钢球完 全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm，则钢球 的半径为( )
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面积 ch S 侧＝___ 1 S 侧＝ ch′ 2
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思考感悟 对不规则的几何体应如何求体积？
提示：对于求一些不规则的几何体的体积常用割
补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解 决．
【思路点拨】 根据图形特征，球心为三棱柱上、 下底面的中心连线的中点，构造三角形可求得球 的半径，代入公式可求得表面积．
例1
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【解析】
三棱柱如图所示，
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考点探究•挑战高考
考点突破 几何体的表面积 求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征 几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形， 棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长 等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的 未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表 面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧 面展开图的面积．
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圆柱
面积 S 侧＝ ________ 2πrh
体积 V＝Sh＝_______ πr2h 1 1 2 V＝ Sh＝ πr h 3 3 1 2 2 2 ＝ πr l －r 3 1 V＝ (S 上＋S 下＋ S上·下)h S 3 1 2 2 ＝ π(r1＋r2＋r1r2)h 3
【答案】 B
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【名师点评】
求几何体的表面积要抓住关键量，
如多面体的高，底面边长及几何体特征，旋转体的
高、底面半径及几何特征，球的半径，同时注意整
体思维的运用，以减少计算量．
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且由已知可知 AB＝BC＝6，PD＝4. 1 1 1 则全面积为 S＝ ×6×6＋2× ×6×5＋ 2 2 2 ×4×6 2 ＝48＋12 2.故选 A.
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几何体的体积
计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出
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A．1 cm
B．1.2 cm
C．1.5 cm
D．2 cm
答案：C
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2．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的 截面面积为 π，则球的体积为( ) 8π 8 2π A. B. 3 3 32π C．8 2π D. 3
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二
空间几何体的表面积与体积
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双基研习•面对高考
基础梳理
柱、锥、台与球的侧面积和体积
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B．48＋24 2 D．36＋24 2
解析：选A.由三视图可知原棱锥为三棱锥，记 为P-ABC(如图)，且底面为直角三角形，顶点P 在底面的射影为底边AC的中点，
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几何体的折叠与展开 几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得 的，利用了空间问题平面化的思想．把一个平面图 形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间 想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是
(2)由图形特征易求得三棱锥 E-ABC 的底面积及高 1 PA，代入体积公式可求 V. 2
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【解】 (1)证明：在△PBC 中，E，F 分别是 PB， PC 的中点， ∴EF∥BC. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴BC∥AD，∴EF∥AD， 又∵AD 平面 PAD，EF Ø 平面 PAD， ∴EF∥平面 PAD.
AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中 点． (1)证明：EF∥平面PAD； (2)求三棱锥E-ABC的体积V.
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【思路点拨】 EF∥平面 PAD.
(1)由线面平行的判定定理易证
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在△ABC 中，令 AB＝3，BC＝4，AC＝5， ∴△ABC 为直角三角形． 根据直角三角形内切圆的性质可得 7－2R＝5， ∴R＝1. ∴V 圆柱＝πR2· h＝6π(cm3)． 1 而 三 棱 柱 的 体 积 为 V 三 棱 柱 ＝ ×3×4×6 ＝ 2 36(cm3)． 3 ∴削去部分的体积为 36－6π＝6(6－π)(cm )． 即削去部分体积的最小值为 6(6－π)cm3.
相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的
截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面
问题求解．
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例2 (2010年高考陕西卷)如图，在四棱锥
P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
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(2)连接 AE，AC，EC，过 E 作 EG∥PA，交 AB 于点 G， 1 则 EG⊥平面 ABCD，且 EG＝ PA. 2 在△PAB 中， AP＝AB， ∠PAB＝90° BP＝2， ，
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由题意可知：球心在三棱柱上、下底面的中心 O1、 2 的连线的中点 O 处， O 连接 O1B、 1O、 O OB， 2 其中 OB 即为球的半径 R，由题意知：O1B＝ 3 3a 3a 3a 2 7a2 a2 × ＝ ，所以半径 R2＝( ) ＋( )＝ ， 2 3 2 3 12 2 7πa 2 所以球的表面积 S＝4πR ＝ ，故选 B. 3
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变式训练2
有一根木料，形状为直三棱柱形，
高为6 cm，横截面三角形的三边长分别为3 cm、 4 cm、5 cm，将其削成一个圆柱形积木，求该木 料被削去部分体积的最小值．
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圆锥
πrl S 侧＝_____
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圆台
S 侧＝ π(r1＋r2)l __________
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直棱柱 正棱锥 正棱台 球
体积 Sh V＝_____ 1 Sh V＝______ 3 1 1 (c＋c′)h′ V＝ (S 上＋S 下＋ 2 3 S 侧＝_________ S上·下)h S 4 3 2 πR S 球面＝4πR V＝______ 3
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高考的一个热点．
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(1)有一根长为3π cm、底面半径为1 cm的圆 柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁 丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝 的最短长度为多少？ (2)把长、宽分别为4π cm和3π cm的矩形卷成圆柱， 如何卷能使体积最大？ 【思路点拨】 把圆柱沿着铁丝的两个端点落在的 那条母线展开，将问题转化为平面上两点间的最短 距离．
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3＋ 3 A. 2 1 C. 6
B．3＋ 3 3 D. 2
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答案：A
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4． 如图是一个几何体的三视图． 若它的体积是 3 3，则 a＝______.
答案：B
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3．(2011年蚌埠质检)如图，一个空间几何体的主 视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形， 如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体 的表面积为( )
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求锥体的体积，要选择适当的底面 1 积和高，然后应用公式 V＝ Sh 进行计算即可．常用 3 方法：割补法和等积变换法． (1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体 分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱体的体 积，从而得出几何体的体积． (2)等积变换法：①利用三棱锥的任一个面可作为三 棱锥的底面．求体积时，可选择容易计算的方式来 计算；②利用“等积性”可求“点到面的距离”．
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2 ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ . 2 1 ∴S△ABC＝ AB· BC 2 1 ＝ × 2×2＝ 2， 2 1 ∴VEABC＝ S△ ABC· EG 3 1 2 1 ＝ × 2× ＝ . 3 2 3