用Mathematica进行级数运算
mathematica技术在幂级数展开中的应用
mathematica技术在幂级数展开中的应用Mathematica是一款专业的数学软件，为科学研究者提供了广泛的应用场景。
在幂级数展开中，Mathematica以其优越的技术特征，为科学家和研究者提供了更多的便利和方便。
幂级数展开是数学中常用的一种展开方法，是由一个函数的无穷多次幂展开的术语，是用于计算函数的表达式的一种压缩形式，避免了多次重复运算。
幂级数是分析学中重要的概念，它可以帮助求解任何数量级的复杂问题。
使用Mathematica可以让科学家和研究人员更快捷地计算各种函数的幂级数展开。
Mathematica拥有丰富的算法仓库，可支持高精度运算。
它可以准确计算各种函数的展开结果，省去了复杂的算法步骤。
Mathematica 中有各种专用工具，可以快速求解多元函数的表达式。
例如，使用Sum指令可以快速的求解复杂的积分，而Series指令可以快速的求解函数的无穷展开结果，以及指定展开项的结果。
另外，Mathematica 拥有丰富的函数优化方法，可以让科学家更快捷地求解多项式函数的幂级数展开，而不必依赖抽象数学概念，大大简化了研究过程。
Mathematica拥有完善的数据结构，可以快速处理各类数据格式，支持各种类型和维度的数据处理，比如表、图、矩阵、向量等等。
使用Mathematica，科学家和研究者可以更快更准确地求解各种函数的展开结果，同时还可以方便地观察结果，便于科研推理。
此外，Mathematica还有一个高效的可视化工具，可以帮助科学家和研究者以图形的形式清晰地展示各种数据，以图示的形式展示函数的展开结果，从而更好地推理出结果。
总之，Mathematica拥有优良的技术特征，可以为科学家和研究者提供便利，能够帮助他们快速求解复杂的函数的幂级数展开，更容易推理和观察结果，是一款非常有用的数学软件。
mathematica技术在幂级数展开中的应用
mathematica技术在幂级数展开中的应用近些年来，由于进步幅度加快，计算机技术及其应用得到了前所未有的发展，它使人们能够识别数学工作中复杂、多变的模型，开展更复杂、更丰富的数学研究，从而创新计算机行业。
Mathematica，一款多义的数学软件，用有系统的模式来描述、分析数学模型，并且可以借助计算机快速计算。
在数学中，Mathematica应用较多的一个技术就是“幂级数展开”。
幂级数展开是识别函数及其参数的功能，它是在计算机中计算函数近似值和精确值的关键步骤，有助于解决像求根、积分等数学问题和编写程序，并且在许多领域都有应用，如电子计算机设计、物理建模等。
Mathematica技术利用计算机的运算精度及内存容量，利用其提供的工具箱来求解幂级数，从而为数学研究工作提供了一种新的方法。
使用Mathematica技术来求解幂级数的优势在于，Mathematica技术提供的工具可以把非常复杂的函数展开成非常简单的表达式，而不需要耗费大量的时间，而且这种表达式能够有效反映出函数的特性。
其次，Mathematica技术提供的工具可以实现自动展开，而不需要人工进行循环或者判断，大大降低了人工的工作量。
最后，Mathematica 技术还提供了用于绘制函数图像的工具，将函数的数学表达与图形表达结合起来，使得函数展开结果更清晰、更直观，便于深入理解函数的内在本质。
因此，Mathematica技术在幂级数展开中的应用及其对数学研究的影响已经成为研究者及工程师们关注的热点问题。
比如，研究人员可以设计一些具体的数学模型，利用Mathematica技术，来展开这些模型，最终获得更为精确的结果；工程师则可以利用Mathematica技术应用于电子计算机设计，并实现自动化设计流程，从而大大提升工作效率。
从以上可以看出，Mathematica技术在幂级数展开中的应用既可以帮助人们更好地理解数学模型，又能够有效提升工作效率，因此，在数学和工程领域都有很大的应用价值。
用Mathematica进行级数运算
algebra\symboblic.m。 algebra\symboblic.m。 Sum[（ Sum[（-1）^(n+1)*x^n/n,{n,1,Infinity}] 求级数的和，输出结果为Log[1+x] \求级数的和，输出结果为Log[1+x] 还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令： 还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令： Clear[f,a,b,n] :=（ f[x_] :=（-1）^(n+1)*x^n/n; a[n_]:=（ a[n_]:=（-1）^(n+1) /n; b=Limit[a[n]/a[n+1],nb=Limit[a[n]/a[n+1],n->Infinity]; Print[“R= R=”,Abs[b]] 确定收敛半径为1 Print[ R= ,Abs[b]] \确定收敛半径为1 Sum[f[1],{n,1,Infinity}] \确定原级数在x=1处收 确定原级数在x=1处收 x=1 敛于Log[2] 敛于Log[2] Sum[f[确定原级数在x= x=Sum[f[-1],{n,1,Infinity}] \确定原级数在x=-1处 发散 因而原级数收敛域为（ 因而原级数收敛域为（-1，1]
n =1
xn n
（二）函数展开成幂级数 （1）将 sin x 在 x = 0 处展开到
x 的5次幂
1 处展开到( 1)的 （ 2） 将 在 x = 1 处展开到( x-1)的3次幂 3 x
1 处展开到( 1)的 （ 3） 将 在 x = 1 处展开到( x-1)的3次 x+ y
幂，在 y = 1 处展开到 ( y 1) 的2次幂
边学边做： 边学边做 求和：Sum命令 （一）求和：Sum命令 （1）求有限项的和 ∑ n2
Mathematica的命令大全
Mathematica的命令大全Mathematica的内部常数Pi , 或π(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率πE (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数eI (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位iInfinity, 或∞(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“inf”+“Esc”）无穷大∞Degree 或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度Mathematica的常用内部数学函数指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数Log[a，x]以a为底数的x的对数开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根绝对值函数Abs[x]表示x的绝对值三角函数（自变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数Cos[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Csc[x]余割函数反三角函数ArcSin[x]反正弦函数ArcCos[x]反余弦函数ArcTan[x]反正切函数ArcCot[x]反余切函数ArcSec[x]反正割函数ArcCsc[x]反余割函数双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数Cosh[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数Sech[x]双曲正割函数Csch[x]双曲余割函数反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数ArcCosh[x]反双曲余弦函数ArcTanh[x]反双曲正切函数ArcCoth[x]反双曲余切函数ArcSech[x]反双曲正割函数ArcCsch[x]反双曲余割函数求角度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度数论函数GCD[a,b,c,．．．]最大公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)Quotient[m，n]求商函数（表示m除以n的商）Divisors[n]求所有可以整除n的整数FactorInteger[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Prime[n]求第n个质数PrimeQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为True，否则结果为FalseRandom[Integer，{m，n}]随机产生m到n之间的整数排列组合函数Factorial[n]或n！阶乘函数，表示n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐角函数Abs[z]求复数的模Conjugate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Ceiling[x]表示大于或等于实数x的最小整数Floor[x]表示小于或等于实数x的最大整数Round[x]表示最接近x的整数IntegerPart[x]表示实数x的整数部分FractionalPart[x]表示实数x的小数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num//N把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字）N[num，n]把精确数num化成具有n个有效数字的浮点数NumberForm[num，n]以n个有效数字表示numRationalize[float]将浮点数float转换成与其相等的分数Rationalize[float，dx]将浮点数float转换成与其近似相等的分数，误差小于dx最大、最小函数Max[a，b，c，．．．]求最大数Min[a，b，c，．．．]求最小数符号函数Sign[x]Mathematica中的数学运算符a+b 加法a-b减法a*b (可用空格键代替*)乘法a/b (输入方法为：“Ctrl ”+ “/ ”) 除法a^b (输入方法为：“Ctrl ”+ “^ ”)乘方-a 负号Mathematica的关系运算符==等于<小于>大于<=小于或等于>=大于或等于!=不等于注：上面的关系运算符也可从基本输入工具栏输入。
实验六 用Mathematica软件进行 级数运算
实验六 用Mathematica 软件进行 级数运算实验目的:掌握用Mathematica 软件进行级数运算的语句和方法。
实验过程与要求:教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。
实验的内容:幂级数展开用Mathematica 对级数进行加、减、乘、除、乘方、微分、积分等多种运算.这里重点介绍函数的幂级数展开.在Mathematica 系统中，用Series 函数将一个函数f [x ]展开成为幂级数.其基本格式为：Series[f [x ],{x ,x 0,n }]把函数f [x ]在点x 0处展开到x - x 0的n 次幂.实验1 分别将e x ,ln(1+x )在点x 0=0处展开到x 的5次幂，并求其和、差、积.解 In[1]:= Clear[x,a,b ]In[2]:= a =Series[Exp[x ],{x ,0,5}]In[3]:= b =Series[Log[1+x ],{x ,0,5}]In[4]:= a+bIn[5]:= a-bIn[6]:= a*b实验2将x-31在点x 0=1处展开到x-1的4次幂. 解 In[7]:= Clear[x ]In[8]:= Series[1/(3-x ),{x ,1,4}]在Mathematica 系统中，用Sum 函数求级数的和（和函数）.其基本格式为：Sum[an ,{n ,n 0,n 1}]其中an 为级数的通项，n 0为 n 的起始值，n 1为终值.实验3 求级数∑∞=121n n 的和. 解 In[9]:= Sum[1/n^2,{n,1,Infinity}]实验4 求级数∑∞=0!n nn x 的和函数.解 In[10]:= Sum[x^n/n!,{n,0,Infinity}]敛散性的判定可用比值审敛法、根式审敛法或定义判定.实验1.将y=ln(5+x)在点x0=1处展开到x-1的4次幂.2. 将2x=在点x0=0处展开到x的5次幂.y-e。
mathematica级数
mathematica级数在 Mathematica 中，可以使用内置的符号计算功能来处理级数。
以下是一些基本的操作：1.定义级数：使用 Series 函数定义一个级数。
例如，定义一个简单的幂级数：mathematicaseries = Series[x^2 + 3*x + 2, {x, 0, 10}]这将创建一个级数，其中包含x2 ，3x 和 2 的前10项。
2. 求和：使用 Sum 函数来求和。
例如，求上述级数的和：mathematicaSum[CoefficientList[series, x][[n]], {n, 0, 10}]3.求导：使用 D 函数来求导。
例如，求上述级数的导数：mathematicaD[series, x]4.积分：使用 Integrate 函数来积分。
例如，求上述级数的积分：mathematicaIntegrate[series, x]5.展开式：使用 Normal 函数来获取级数的展开式。
例如，获取上述级数的展开式：mathematicaNormal[series]6.阶乘和组合数：Mathematica 内置了阶乘和组合数的符号。
例如，可以使用 n! 来表示 n 的阶乘，使用 Binomial[n, k] 来表示组合数。
7.展开二项式定理：使用 Binomial 函数来展开二项式定理。
例如，展开 (a+b)3 ：mathematicaBinomial[3, 2]*a^3*b^2 + Binomial[3, 1]*a^2*b^3 + Binomial[3, 0]*a^1*b^3 + Binomial[3, 2]*a^2*b^1 +Binomial[3, 1]*a^1*b^2 + Binomial[3, 0]*a^0*b^3以上是一些基本的操作，具体使用时可能需要根据实际情况进行调整。
(完整版)Mathematica——常微分方程、拉氏变换与级数实验
创3.5 常微分方程、拉氏变换与级数实验[学习目标]1. 会用Mathematica 求解微分方程(组)；2. 能用Mathematica 求微分方程(组)的数值解；3. 会利用Mathematica 进行拉氏变换与逆变换；4. 能进行幕级数和傅里叶级数的展开。
一、常微分方程(组)Mathematica 能求常微分方程(组)的准确解，能求解的类型大致覆盖了人工求解的范围， 功能很强。
但不如人灵活(例如在隐函数和隐方程的处理方面)，输出的结果与教材上的答 案可能在形式上不同。
另外，Mathematica 求数值解也很方便，且有利于作出解的图形。
在本 节中，使用Laplace 变换解常微分方程(组)的例子也是十分成功的，过去敬而远之的方法 如今可以轻而易举的实现了。
求准确解的函数调用格式如下： DSolve[eqn ,y[x] ,x] 求方程 eqn 的通解 y(x )，其中自变量是X 。
DSolve[{eqn ，y[x o ]= =y 0}，y[x]，x] 的特解y (x )。
DSolve[｛eqn1，eqn2，—｝，｛y 1 [x]，y 2[x]，…｝，x]求方程组的通解。
DSolve[｛equ1，…，y 1[x 0]= =y 10，…｝，｛y 1[x]，y 2[x]，…｝，x] 求方程组的特解。
说明：应当特别注意，方程及各项参数的表述方式很严格，容易出现输入错误。
微分方 程的表示法只有通过例题才能说清楚。
例1 解下列常微分方程(组)：52(1) y 斗(x 1)2，(2) y - y 3 ，(3)x 1(x x ) y解：In[1]: =DSolve[y ' [x]= =2y[x]/ (x+1) + (x+1) A (5/2)，y[x]，x]Out[1]=y[x] i (1 x)7/2 (1 x)2c[1]In[2]: =DSolve[y ' [x]= = (1+y[xF2 ) /((x+xA3 ) y[x])，y[x]，x]求满足初始条件y ( x o ) = y o(4)的通解及满足初始条件y (0) =0, z (0) =1的特解。
用Mathematica进行级数运算
的和
2．设 f ( x)
1 1 阶幂级数
3．将y=sin(xex)在点（0,0）处展开到x的7次幂 ４.将z=xy在（2,3)处展开为x的３次幂，y的４次 幂。
二、应用部分
(1)利用函数z=xy的五阶泰勒展开式，计算
1.1011.021的近似值. (2)作出y=sinx的图形和函数的幂级数展开式的图形 （选取不同的x0和n），将图形进行比较，并总结 规律。
实验五 用Mathematica进行级数运算
实验目的：学会利用Mathematica进行级数求和、 函数幂级数展开 预备知识：
（一）求和符号∑用法及相关知识 （二）级数的敛散性及其确定 （三）函数展开为幂级数相关知识 （四）Mathematica中求和及级数运算相关命令
边学边做： （一）求和：Sum命令 （1）求有限项的和 n2
2．函数展开成幂级数 （1）Series[Sin[x],{x,0,5}]
x x
3
x
5
6
120
O x
6
（2）Series[1/(3-x),{x,1,3}]
1 2 x 4 1 1 8 x 1
2
1 16
x
1
3
O x
1
4
（3）Series[1/(x+y),{x,1,3},{y,1,2}]
1 2 1 8 y 4 3 y 16 1 1 8 1 y 1 3 16
6 n 1
n
（2）分别求级数
1 n 1 n(n 1)
与
1 n 1 n
n 1
的和，并判定敛散性
（3）分别求级数 收敛域
xn 与 n 0 n!
2708 数学软件mathematics计算幂级数和傅里叶级数讲解
高等数学在线开放课程
数学软件 Mathematica 计算幂级数和 傅里叶级数
目 录
01
幂级数的收敛域 函数展开成幂级数
02
03 函数展开成傅里叶级数
01幂级数的收敛域
SumConvergence[f,n] 例： 求幂级数
n
给出和式 f 收敛的条件
n 1
x 的收敛域 n 0 n 1
02函数展开成幂级数
Series[f,{x,Subscript[x, 0],n}] 生成
f 在点 x x0 处的幂级数展开式，
( x ) n
次数直到
x 将 f ( x ) e 展开成x的幂级数 例：
03函数展开成傅里叶级数
展开式 将函数 t 展开成 3阶傅里叶级数，并在 [3π,3π] 画出傅里叶级数 例：
2
FourierSeries[expr,t,n]
给出在区间 [ π, π] 的expr的n阶傅里叶级数
思考题：
（1） 写出级数
n 0
(3) n n x 的收敛半径 n 1
（2）将f ( x) sin x展开成x的幂级数
mathematica高阶导数
mathematica高阶导数Mathematica是一款功能强大的数学软件，除了基本的计算功能外，它还提供了高阶导数的求解功能。
高阶导数是微积分学中的重要概念，它可以用来描述函数的变化率、凸凹性等。
在Mathematica中，我们可以使用D函数来求解高阶导数。
D 函数可以接收三个参数：第一个参数是要求解的函数，第二个参数是要求解的变量，第三个参数是要求解的阶数。
例如，我们可以使用以下代码来求解函数y=x^3在x=1处的二阶导数：```D[x^3, {x, 2}] /. x -> 1```运行结果为6，表示函数在x=1处的二阶导数为6。
如果要求解更高阶的导数，只需要将第三个参数改为相应的阶数即可。
除了使用D函数外，Mathematica还提供了Derivative函数，它可以用来表示高阶导数的函数形式。
例如，我们可以使用以下代码来表示函数y=x^3的二阶导数：```Derivative[2][#^3&]```运行结果为6x，表示函数y=x^3的二阶导数为6x。
我们还可以使用以下代码来求解函数在x=1处的二阶导数：```Derivative[2][#^3&][1]```运行结果为6，与使用D函数求解的结果一致。
除了上述方法外，我们还可以使用Series函数来展开函数的泰勒级数，并求出各阶导数的系数。
例如，我们可以使用以下代码来展开函数y=sin(x)的泰勒级数，并求出其二阶导数的系数：```Series[Sin[x], {x, 0, 4}]Coefficient[%, x, 2] / 2```运行结果为x - x^3/6，-1/3，表示函数y=sin(x)在x=0处的二阶导数为-1/3。
综上所述，Mathematica提供了多种求解高阶导数的方法，可以方便地求解函数的变化率、凸凹性等问题。
使用Mathematica求解高阶导数，不仅可以提高计算效率，还可以减少计算错误的风险，是数学科研和工程实践的重要工具之一。
mathematica技术在幂级数展开中的应用
mathematica技术在幂级数展开中的应用随着科学技术的发展，数学工具也在不断更新，如“Mathematica”是极具前瞻性的一种数学软件。
它集数学计算、可视化、符号运算和脚本开发等多项功能于一体，不仅为科学计算提供了强大的动力，而且已经发挥出了重要作用，包括用于求解动力学系统的解析解和数值解以及用于数论理论的计算。
此外，Mathematica的应用确实不仅局限于上述短视的领域。
比如，Mathematica也可以用于多变量的分析，特别是幂级数的展开和求反。
近年来，在理论数学和应用数学领域，幂级数展开已经发展成为一个重要的研究方向。
许多有趣的问题，例如非线性等，可以用幂级数形式来表示。
由于幂级数展开的复杂性，它的求反也是一个棘手的问题，尤其是对于多项式求反，符号运算是否可以有效解决？在这里，Mathematica将提供极大的帮助。
实际上，Mathematica提供了一个特殊的函数InverseSeries[exp]，可以用来有效地计算幂级数的逆函数，它的基本思想是把多项式展开的幂级数换成等价的不定积分形式，然后再用符号计算来求反，最后得到逆函数的表达式。
此外，Mathematica还可以实现以下一些科学计算功能：首先，它可以构造一个高精度数值求解器，用来快速计算和估算幂级数展开的值；其次，它还可以把幂级数展开形式进行优化，以改善计算速度和精度；最后，Mathematica还可以用来对幂级数展开作图，以便于识别其特征和趋势。
因此，Mathematica的出现极大地简化了多元函数的计算，并且它的强大功能可以有效地利用，从而有效开发和管理数据，这样就可以获得更准确和有用的信息，从而在理论数学和应用数学方面取得新的发现。
利用Mathematica，可以解决多项式函数的许多问题，尤其是用于计算幂级数展开的问题。
总之，Mathematica技术在当今数学计算领域不可或缺，特别是在多变量分析和幂级数展开中，它的精确、高效和可扩展的特性得到了广泛的应用，其应用范围不仅限于数学研究，而且可以扩展到其他相关的科学研究领域，从而为科学发展注入新的动力。
Mathematica求解方程(组)、级数
方程（组）与级数的Mathematica 求解[学习目标]1. 能用Mathematica 求各类方程（组）的数值解和近似解；2. 能对常见函数进行幂级数的展开。
一、 求解简单方程（组）数学里的方程是带有变量的等式。
一样地说，一个或一组方程老是关于方程中显现的变量的可能取值范围增加了一些限制。
所谓求解方程确实是设法把方程关于变量取值的限制弄清楚，最好的结果是用不含变量的表达式把变量的值表示出来。
在那个系统里，方程也用含有变量的等式表示，要注意的是在那个地址等号用持续的两个等号(==)表示。
方程的两头能够是任何数学表达式。
用户能够自己操作Mathematica 系统去求解方程，例如利用移项一类的等价变换规那么对方程加以变形、对方程的两头进行整理、把函数作用于方程的两头等等。
系统也提供了一些用于求解方程的函数。
1、 求方程的代数解最大体的方程求解函数是Solve ，它能够用于 求解方程(主若是多项式方程)或方程组。
Solve 有两个参数，第一个参数是一个方程，或是由假设干个方程组的表(表示一个方程组);第二个参数是要求解的变量或变量表。
例如，下面的式子关于变量X 求解方程016x x x 234=+--：In[1]:=Solve[x^4-x^3-6x^2+1==0,x]输入了那个表达式，系统立刻就能够计算出方程的四个根，求出的解都是精准解(代数根)。
关于一样的多项式，如此得出的解常常是用根式描述的复数。
方程的解被表示成一个表，表中是几个子表，每一个子表的形式都是{x->...}，箭头后面是方程的一个解。
Solve 也能够求解多变量的方程或方程组:In[2]:=Solve[{x-2y==0,x^2-y==1},{x,y}]那个表达式求解方程组: x y x y -=-=⎧⎨⎩2012.有时求解方程会取得超级复杂的解。
例如将上面的第一个方程略加变形，所取得的解的表达式就会变得很长:In[3]:=Solve[x^4-x^3-6x^2=2==0,x]那个表达式求出的解的表达式超级长，以至一个运算机屏幕显示不下。
数列与级数(mathematica数学实验报告)
可以看出， Fibonacci数列的变化速度非常快，且单调递增趋于无穷；从图象中也可明显看出n 取值越大，图像越陡，即递增越快。
事实上，由Fibonacci 数列的递推关系式2112,1,2,...,1,1n n n F F F n F F ++=+===， （1） 容易得到12113/22,n n n n n F F F F F ++++<=+< （2） 因此，n F 的阶应该在()3/2n与2n 之间。
为进一步研究Fibonacci 数列n F 的特性，我们将n F 取对数，在直角坐标系中画出顺次连接点()(),log ,1,2,...n n F n N =的折线图。
此时的折线图近乎于一条直线。
因此，我们猜测()log n F 是n 的线性函数。
取1000N =，对上述数据进行拟合可得()log 0.8039030.481211n F n ≈-=， （3） 故0.447567 1.61803n n F ≈⨯. （4）2.下面，我们分别取50,100,500,1000n =，利用Mathematica 编程，用直线去拟合上述数据()(),log ,1,2,...n n F n N =，由此来求数列n F 的近似表示。
过程如下：可以看出，给定的n值越大，线性拟合的结果便趋于稳定，而且，对每一组拟合的线性方程，其系数与黄金分割数有着紧密的联系。
由计算机观察得到的上述结果我们似乎可F的通项具有形式以猜测数列nn n F cr = （5） 将上式代入递推公式（1）得21r r =+ （6）从而()15/2r =+.因为数列趋于无穷，故取()15/2r =+。
于是152n n F c ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ （7）然而，公式（7）并不满足121F F ==，即并非数列n F 的通项公式.不过，它仍然是数列n F 的主项.3.取一组整数50,100,500,1000,5000,10000n =，将Fibonacci 数列模n 得到一周期数列，将该周期数列的值作为高音，编程演奏它.运行结果如下：根据运行结果，明显可以看出，n的取值越大，图像上的点越稠密.实验结果和结果分析：附录：。
Mathematica使用教程
Mathematica使⽤教程Mathematica 使⽤教程⼀、要点Mathematica 是⼀个敏感的软件. 所有的Mathematica 函数都以⼤写字母开头; 圆括号( ),花括号{ },⽅括号[ ]都有特殊⽤途, 应特别注意; 句号“.”,分号“;”,逗号“,”感叹号“！”等都有特殊⽤途, 应特别注意; ⽤主键盘区的组合键Shfit+Enter 或数字键盘中的Enter键执⾏命令.⼆、介绍案例1. 输⼊与输出例1 计算 1+1:在打开的命令窗⼝中输⼊1+2+3并按组合键Shfit+Enter 执⾏上述命令,则屏幕上将显⽰:In[1] : =1+2+3 Out[1] =6这⾥In[1] : = 表⽰第⼀个输⼊,Out[1]= 表⽰第⼀个输出,即计算结果.2. 数学常数Pi 表⽰圆周率π; E 表⽰⽆理数e; I 表⽰虚数单位i ; Degree 表⽰π/180; Infinity 表⽰⽆穷⼤.注:Pi,Degree,Infinity 的第⼀个字母必须⼤写,其后⾯的字母必须⼩写.3. 算术运算Mathematica 中⽤“+”、“-”、“*”、“/” 和“^”分别表⽰算术运算中的加、减、乘、除和乘⽅.例2 计算π+ --213121494891100.输⼊ 100^(1/4)*(1/9)^(-1/2)+8^(-1/3)*(4/9)^(1/2)*Pi则输出 3103π+这是准确值. 如果要求近似值,再输⼊N[%] 则输出这⾥%表⽰上⼀次输出的结果,命令N[%]表⽰对上⼀次的结果取近似值. 还⽤ %% 表⽰上上次输出的结果,⽤ %6表⽰Out[6]的输出结果.注:关于乘号*,Mathematica 常⽤空格来代替. 例如,x y z 则表⽰x*y*z,⽽xyz 表⽰字符串,Mathematica 将它理解为⼀个变量名. 常数与字符之间的乘号或空格可以省略.4. 代数运算例3 分解因式 232++x x输⼊ Factor[x^2+3x+2] 输出 )x 2)(x 1(++ 例4 展开因式 )2)(1(x x ++输⼊ Expand[(1+x)(2+x)] 输出 2x x 32++例5 通分 3122+++x x 输⼊ Together[1/(x+3)+2/(x+2)]输出 )x 3)(x 2(x38+++例6 将表达式)3)(2(38x x x+++ 展开成部分分式输⼊ Apart[(8+3x)/((2+x)(3+x))]输出 3x 12x 2+++ 例7 化简表达式 )3)(1()2)(1(x x x x +++++输⼊ Simplify[(1+x)(2+x)+(1+x)(3+x)]输出 2x 2x 75++三、部分函数1. 内部函数Mathematica 系统内部定义了许多函数,并且常⽤英⽂全名作为函数名,所有函数名的第⼀个字母都必须⼤写,后⾯的字母必须⼩写. 当函数名是由两个单词组成时,每个单词的第⼀个字母都必须⼤写,其余的字母必须⼩写. Mathematica 函数(命令)的基本格式为函数名[表达式,选项] 下⾯列举了⼀些常⽤函数:算术平⽅根x Sqrt[x] 指数函数x e Exp[x]对数函数x a log Log[a,x]对数函数x ln Log[x]三⾓函数 Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x], Csc[x] 反三⾓函数ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x], AsrcSec[x], ArcCsc[x]双曲函数 Sinh[x], Cosh[x], Tanh[x], 反双曲函数 ArcSinh[x], ArcCosh[x], ArcTanh[x] 四舍五⼊函数 Round[x] (*取最接近x 的整数*) 取整函数 Floor[x] (*取不超过x 的最⼤整数*) 取模 Mod[m,n] (*求m/n 的模*) 取绝对值函数 Abs[x] n 的阶乘 n! 符号函数Sign[x] 取近似值 N[x,n] (*取x 的有n 位有效数字的近似值,当n 缺省时,n 的默认值为6*)例8 求π的有6位和20位有效数字的近似值.输⼊ N[Pi] 输出输⼊ N[Pi, 20] 输出注:第⼀个输⼊语句也常⽤另⼀种形式:输⼊ Pi235] 输出 (3) 输⼊ Round[] 输出 -2 例10 计算表达式)6.0arctan(226sin 2ln 1132+-+-e π的值输⼊ 1/(1+Log[2])*Sin[Pi/6]-Exp[-2]/(2+2^(2/3))*ArcTan[.6] 输出2. ⾃定义函数在Mathematica 系统内,由字母开头的字母数字串都可⽤作变量名,但要注意其中不能包含空格或标点符号.变量的赋值有两种⽅式. ⽴即赋值运算符是“=”,延迟赋值运算符是“: =”. 定义函数使⽤的符号是延迟赋值运算符“: =”.例11 定义函数 12)(23++=x x x f ,并计算)2(f ,)4(f ,)6(f . 输⼊Clear[f,x]; (*清除对变量f 原先的赋值*) f[x_]:=x^3+2*x^2+1; (*定义函数的表达式*) f[2] (*求)2(f 的值*)f[x]/.{x->4} (*求)4(f 的值,另⼀种⽅法*)x=6; (*给变量x ⽴即赋值6*)f[x] (*求)6(f 的值,⼜⼀种⽅法*)输出17 97 289注:本例1、2、5⾏的结尾有“;”,它表⽰这些语句的输出结果不在屏幕上显⽰.四、解⽅程在Mathematica 系统内,⽅程中的等号⽤符号“==”表⽰. 最基本的求解⽅程的命令为 Solve[eqns, vars]它表⽰对系数按常规约定求出⽅程(组)的全部解,其中eqns 表⽰⽅程(组),vars 表⽰所求未知变量. 例12 解⽅程0232=++x x 输⼊Solve[x^2+3x+2==0, x] 输出 }}1x {},2x {{-→-→例13 解⽅程组 =+=+1dy cx by ax输⼊ Solve[{a x + b y == 0,c x + d y ==1}, {x,y}]输出+-→-→ad bc a y ,ad bc b x例14 解⽆理⽅程a x x =++-11输⼊ Solve[Sqrt[x-1]+ Sqrt[x+1] == a, x]输出 ??+→24a 4a 4x 很多⽅程是根本不能求出准确解的,此时应转⽽求其近似解. 求⽅程的近似解的⽅法有两种,⼀种是在⽅程组的系数中使⽤⼩数,这样所求的解即为⽅程的近似解;另⼀种是利⽤下列专门⽤于求⽅程(组)数值解的命令: NSolve[eqns, vars] (*求代数⽅程(组)的全部数值解*)FindRoot[eqns, {x, x0}, {y, y0} ,]后⼀个命令表⽰从点),,(00 y x 出发找⽅程(组)的⼀个近似解,这时常常需要利⽤图像法先⼤致确定所求根的范围,是⼤致在什么点的附近.例15 求⽅程013=-x 的近似解输⼊ NSolve[x^3-1== 0, x]输出 {{→x →x →x 输⼊ FindRoot[x^3-1==0,{x, .5}] 输出 {→x 1.}下⾯再介绍⼀个很有⽤的命令:Eliminate[eqns, elims] (*从⼀组等式中消去变量(组)elims*) 例16从⽅程组 ??=+=-+-+=++11)1()1(1222222y x z y x z y x 消去未知数y 、z .输⼊Eliminate[{x^2+y^2+z^2 ==1,x^2+(y-1)^2 + (z-1)^2 ==1, x + y== 1},{y, z}]输出 0x 3x 22==+-注:上⾯这个输⼊语句为多⾏语句,它可以像上⾯例⼦中那样在⾏尾处有逗号的地⽅将⾏与⾏隔开, 来迫使Mathematica 从前⼀⾏继续到下⼀⾏在执⾏该语句. 有时候多⾏语句的意义不太明确,通常发⽣在其中有⼀⾏本⾝就是可执⾏的语句的情形,此时可在该⾏尾放⼀个继续的记号“\”, 来迫使Mathematica 继续到下⼀⾏再执⾏该语句.五、保存与退出Mathematica 很容易保存Notebook 中显⽰的内容,打开位于窗⼝第⼀⾏的File 菜单,点击Save 后得到保存⽂件时的对话框,按要求操作后即可把所要的内容存为 *.nb ⽂件. 如果只想保存全部输⼊的命令,⽽不想保存全部输出结果,则可以打开下拉式菜单Kernel,选中Delete All Output,然后再执⾏保存命令. ⽽退出Mathematica 与退出Word 的操作是⼀样的.六、查询与帮助查询某个函数(命令)的基本功能,键⼊“函数名”,想要了解更多⼀些,键⼊“函数名”,例如,输⼊Plot则输出Plot[f,{x,xmin,xmax}] generates a plot of f as a functionof x from xmin to xmax. Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}] plots several functions fi 它告诉了我们关于绘图命令“Plot”的基本使⽤⽅法.例17 在区间]1,1y=的图形.[-上作出抛物线2x输⼊ Plot[x^2,{x,-1,1}]则输出例18 .输⼊ Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,2Pi}]则输出Plot则Mathematica会输出关于这个命令的选项的详细说明,请读者试之.此外,Mathematica的Help菜单中提供了⼤量的帮助信息,其中Help菜单中的第⼀项Help Browser(帮助游览器)是常⽤的查询⼯具,读者若想了解更多的使⽤信息,则应⾃⼰通过Help菜单去学习.编辑本段Mathematica 基本运算a+mathematica数学实验(第2版) b+c 加a-b 减a b c 或 a*b*c 乘a/b 除-a 负号a^b 次⽅Mathematica 数字的形式256 整数实数11/35 分数2+6I 复数常⽤的数学常数Pi 圆周率，π=…E 尤拉常数，e=2.…Degree ⾓度转换弧度的常数，Pi/180I 虚数，其值为√-1Infinity ⽆限⼤指定之前计算结果的⽅法% 前⼀个运算结果%% 前⼆个运算结果%%…%(n个%) 前n个运算结果%n 或 Out[n] 前n个运算结果复数的运算指令a+bI 复数Conjugate[a+bI] 共轭复数Re[z], Im[z] 复数z的实数/虚数部分Abs[z] 复数z的⼤⼩或模数(Modulus)Arg[z] 复数z的幅⾓(Argument)Mathematica 输出的控制指令expr1; expr2; expr3 做数个运算，但只印出最後⼀个运算的结果expr1; expr2; expr3; 做数个运算，但都不印出结果expr; 做运算，但不印出结果编辑本段常⽤数学函数Sin[x],Cos[x],Tan[x],Cot[x],Sec[x],Csc[x] 三⾓函数，其引数的单位为弪度Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x],… 双曲函数ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x] 反三⾓函数ArcCot[x],ArcSec[x],ArcCsc[x]ArcSinh[x],ArcCosh[x],ArcTanh[x],… 反双曲函数Sqrt[x] 根号Exp[x] 指数Log[x] ⾃然对数Log[a,x] 以a为底的对数Abs[x] 绝对值Round[x] 最接近x的整数Floor[x] ⼩於或等於x的最⼤整数Ceiling[x] ⼤於或等於x的最⼩整数Mod[a,b] a/b所得的馀数n! 阶乘Random[] 0⾄1之间的随机数（最新版本已经不⽤这个函数，改为使⽤RandomReal[]）Max[a,b,c,...]，Min[a,b,c,…] a,b,c,…的极⼤/极⼩值编辑本段数之设定x=a 将变数x的值设为ax=y=b 将变数x和y的值均设为bx=. 或 Clear[x] 除去变数x所存的值变数使⽤的⼀些法则xy 中间没有空格，视为变数xyx y x乘上y3x 3乘上xx3 变数x3x^2y 为 x^2 y次⽅运算⼦⽐乘法的运算⼦有较⾼的处理顺序编辑本段四个常⽤处理代数的指令Expand[expr] 将 expr展开Factor[expr] 将 expr因式分解Simplify[expr] 将 expr化简成精简的式⼦FullSimplify[expr] Mathematica 会尝试更多的化简公式，将 expr化成更精简的式⼦编辑本段多项式/分式转换的函数ExpandAll[expr] 把算是全部展开Together[expr] 将 expr各项通分在并成⼀项Apart[expr] 把分式拆开成数项分式的和Apart[expr,var] 视var以外的变数为常数，将 expr拆成数项的和Cancel[expr] 把分⼦和分母共同的因⼦消去编辑本段分母/分⼦的运算Denominator[expr] 取出expr的分母Numerator[expr] 取出expr的分⼦ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr的分⼦编辑本段多项式的另⼆种转换函数Collect[expr,x] 将 expr表⽰成x的多项式，如Collect[expr,{x,y,…}] 将 expr分别表⽰成 x,y,…的多项式FactorTerms[expr] 将 expr的数值因⼦提出，如 4x+2=2(2x+1)FactorTerms[expr,x] 将 expr中把所有不包含x项的因⼦提出FactorTerms[expr,{x,y,…}] 将 expr中把所有不包含{x,y,...}项的因⼦提出编辑本段三⾓函数、双曲函数和指数的运算TrigExpand[expr] 将三⾓函数展开TrigFactor[expr] 将三⾓函数所组成的数学式因式分解TrigReduce[expr] 将相乘或次⽅的三⾓函数化成⼀次⽅的基本三⾓函数之组合ExpToTrig[expr] 将指数函数化成三⾓函数或双曲函数TrigToExp[expr] 将三⾓函数或双曲函数化成指数函数复数、次⽅乘积之展开ComplexExpand[expr] 假设所有的变数都是实数来对 expr展开ComplexExpand[expr,{x,y,…}] 假设x,y,..等变数均为复数来对 expr展开PowerExpand[expr] 将多项式项次、系数与最⾼次⽅之取得Coefficient[expr,form] 於 expr中form的系数Exponent[expr,form] 於 expr中form的最⾼次⽅Part[expr,n] 或 expr[[n]] 在 expr项中第n个项代换运算⼦expr/.x->value 将 expr⾥所有的x均代换成valueexpr/.{x->value1,y->value2,…} 执⾏数个不同变数的代换expr/.{{x->value1},{x->value2},…} 将 expr代⼊不同的x值expr清除f的定义Remove[f] 将f⾃系统中清除掉含有预设值的Patterna_+b_. b的预设值为0，即若b从缺，则b以0代替x_ y_ y的预设值为1x_^y_ y的预设值为1条件式的⾃订函数lhs:=rhs/;condition 当condition成⽴时，lhs才会定义成rhsIf指令If[test,then,else] 若test为真，则回应then，否则回应elseIf[test,then,else,unknow] 同上，若test⽆法判定真或假时，则回应unknow 极限Limit[expr,x->c] 当x趋近c时，求expr的极限Limit[expr,x->c,Direction->1]Limit[expr,x->c,Direction->-1]微分D[f,x] 函数f对x作微分D[f,x1,x2,…] 函数f对x1,x2,…作微分D[f,{x,n}] 函数f对x微分n次D[f,x,NonConstants->{y,z,…}] 函数f对x作微分，将y,z,…视为x的函数全微分Dt[f] 全微分dfDt[f,x] 全微分Dt[f,x1,x2,…] 全微分Dt[f,x,Constants->{c1,c2,…}] 全微分，视c1,c2,…为常数不定积分Integrate[f,x] 不定积分∫f dx定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax}] 定积分Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}] 定积分数列之和与积Sum[f,{i,imin,imax}] 求和Sum[f,{i,imin,imax,di}] 求数列和，引数i以di递增Sum[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]Product[f,{i,imin,imax}] 求积Product[f,{i,imin,imax,di}] 求数列之积，引数i以di递增Product[f,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}]函数之泰勒展开式Series[expr,{x,x0,n}] 对 expr於x0点作泰勒级数展开⾄(x-x0)n项Series[expr,{x,x0,m},{y,y0,n}] 对x0和y0展开关系运算⼦a==b 等於a>b ⼤於a>=b ⼤於等於aa<=b ⼩於等於a!=b 不等於逻辑运算⼦!p notp||q||… orp&&q&&… andXor[p,q,…] exclusive orLogicalExpand[expr] 将逻辑表⽰式展开基本⼆维绘图指令Plot[f,{x,xmin,xmax}]画出f在xmin到xmax之间的图形Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]同时画出数个函数图形Plot[f,{x,xmin,xmax},option->value]指定特殊的绘图选项，画出函数f的图形Plot[]⼏种常⽤选项的指令选项预设值说明AspectRatio 1/GoldenRatio 图形⾼和宽之⽐例，⾼/宽Axes True 是否把坐标轴画出AxesLabel Automatic 为坐标轴贴上标记，若设定为AxesLabel->{ylabel}，则为y轴之标记。
2707数学软件mathematics计算级数(精)
（2）写出2 7 12 17 的一般项
（3） 写出
3 的和 n n 1 (7)
谢谢
1 1 1 1 的一般项 例： 写出级数 2 6 12 20
03求和式的值
Sum[f,{i,imax}] 求下列无穷级数的和 例： 求和式
f
i 1
imax
的值
1 1 1 (1) 1 2 2 3 n(n 1) 1 2 1 n (2)1 x x x 2! n!
n 的前9项值的列表，并绘制点列的图形 例： 写出级数 n 1 n 1
DiscretePlot[expr,{n,nmax}] 产生表达式expr的值的图形，其中n从1变化到nmax
02给定一组数据拟合通项式
FindSequenceFunction[list,n] 给出数据list拟合的关于n的通项式
高等数学在线开放课程
数学软件 Mathematica 计算级数
目 录
01 给出级数项的值列表
02 给定一组数据拟合通项式 03 04
求和式的值 级数的收敛条件
01给出级数项的值列表
Table[expr, {i, Subscript[i, imax]}]
产生i从1到imax的一个expr的值的列表
04级数的收敛条件
SumConvergence[f,n] 判断下列和式的收敛性 例：
给出和式 f 收敛的条件
i 1
imax
1 (1) n 1 n (1) ( 2) n n 1
n
1 (3) a n 1 n
级数发散ห้องสมุดไป่ตู้级数收敛 当实数a > 1级数收敛
数学实验 Mathematic实验九 无穷级数讲解
天水师范学院数学与统计学院实验报告实验项目名称无穷级数所属课程名称数学实验实验类型微积分实验实验日期2011.11.16班级学号姓名成绩fx=Normal[Series[Exp[x]，{x，0，3}]]Plot[fx，{x，-3，3}]则只能得到去掉余项后的展开式，得不到函数的图形，这时要使用强制求值命令Evaluate，改成输入Plot[Evaluate[fx]，{x，-3，3}]便可以得到函数的图形5.作散点图命令ListPlot.ListPlot[Table[j^2，{j，16}]，PlotStyle PointSize[0.012]] 6.用符号“／；”定义分段函数.符号“／；”用于定义某种规则，“／；”后面是条件，例如输入Clear[g，gf]；g[x_]:=x/；0x<1g[x_]:=-x/；-1x<0g[x_]:=g[x-2]/；x 1gf=Plot[g[x]，{x，-1，6}]用which命令也可以定义分段函数，从这个例子中看到，用“…(表达式)/；…(条件)”来定义周期性分段函数更方便些.用Plot命令可以作出分段函数的图形，但用Mathematica命令求分段函数的导数或积分时往往会有问题.用which定义的分段函数可以求导，但不能积分.Mathematica内部函数中有一些也是分段函数，如：Mod[x，1]，Abs[x]，Floor[x]和Unitstep[x].其中只有单位阶跃函数Uniltstep[x]可以用Mathematica命令来求导和求定积分,因此在求ListPlot[vals，PlotStyle PointSize[0.012]] Sum[a[n]，{n，1，Infinity}]2.求幂级数的收敛域.例9.4 求24(3)1n nnxn∞=-+∑收敛域与和函数.Clear[a]；a[n_]=4^(2n)*(x-3)^n/(n+1)；stepone=a[n+1]/a[n]//Simplifysteptwo=Limit[stepone，n Infinity]ydd=Solve[steptwo1，x]zdd=Solve[steptwo-1，x]Simplify[a[n]/.x(49/16)]Simplify[a[n]/.x(47/16)]Sum[4^(2n)*(x-3)^n/(n+1)，{n，0，Infinity}] 3.函数的幂级数展开.例9.5 求cos x的6阶麦克劳林展开式.Series[Cos[x]，{x，0，6}]例9.6 求ln x在1x=处的6阶泰勒展开式.Series[Log[x]，{x，1，6}]例9.7 求arctan x的5阶麦克劳林展开式.ser1=Series[ArcTan[x]，{x，0，5}]；poly=Normal[ser1]Plot[Evaluate[{ArcTan[x]，poly}]，{x ，-3/2，3/2}，PlotStyle {Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}，AspectRatio 1]例9.8 求22(1)(1)x x e --+在1x =处的8阶泰勒展开，并通过作图比较函数和它的近似多项式.Clear[f]；f[x_]=Exp[-(x-1)^2*(x+1)^2]； poly2=Normal[Series[f[x]，{x ，1，8}]] Plot[Evaluate[{f[x]，poly2}]，{x ，-1.5，1.5}，PlotRange {-2，3/2}，PlotStyle {Dashing[{0.01}]，GrayLevel[0]}]例9.9 求函数x sin 在0=x 处的3，5，7，…，9l 阶泰勒展开，通过作图比较函数和它的近似多项式，并形成动画进一步观察.Do[Plot[{Sum[(-1)^j*x^(2j+1)/(2j+1)!，{j ，0，k}]，Sin[x]}，{x ，-40，40}，PlotStyle {RGBColor[1，0，0]，RGBColor[0，0，1]}]，{k ，1，45}] 4.傅里叶级数.例9.10 设()f x 是周期为2的周期函数它在一个周期内的表达式为1,01(),10x f x x x ≤<⎧=⎨--≤<⎩求它的傅立叶级数展开式的前5项和前8项，作出()f x 和它的近似三角级数的图形.Clear[f ，a ，b ，fs ，L]； f[x_]:=1/；0x<1 f[x_]:=-x/；-1x<0 f[x_]:=f[x-2]/；1x gf=Plot[f[x]，{x ，-1，5}] Clear[L ，a ，b ，fs ，f1，f2]； L=1；a[n_]:=(Integrate[-x*Cos[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Cos[n*Pi*x/L]，{x ，0，L}])/Lb[n_]:=(Integrate[-x*Sin[n*Pi*x/L]，{x，-L，0}]+Integrate[Sin[n*Pi*x/L]，{x ，0，L}])/Lfs[k_，x_]:=a[k]*Cos[k*Pi*x/L]+b[k]*Sin[k*Pi*x/L] fourier[n_，x_]:=a[0]/2+Sum[fs[k ，x]，{k ，1，n}] f1=fourier[5，x]//N f2=fourier[10，x]//NPlot[Evaluate[{f[x]，f1}]，{x ，-1，5}，PlotStyle {GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]Plot[Evaluate[{f[x]，f2}]，{x ，-1，5}，PlotStyle {GrayLevel[0]，GrayLevel[0.4]}]设)(x g 是以2Pi 为周期的周期函数，它在],[ππ-的表达式是1,0()1,0x g x x ππ--≤<⎧=⎨≤<⎩，将)(x g 展开成傅里叶级数. Clear[g]；g[x_]:=-1/；-Pi x<0 g[x_]:=1/；0x<Pi g[x_]:=g[x-2Pi]/；Pi xPlot[g[x]，{x ，-Pi ，5Pi}，PlotStyle {RGBColor[0，1，0]}]； Clear[b2，fourier2，tu ，tu2，toshow]；b2[n_]:=b2[n]=2Integrate[1*Sin[n*x]，{x ，0，Pi}]/Pi ； fourier2[n_，x_]:=Sum[b2[k]*Sin[k*x]，{k ，1，n}]； tu[n_]:=Plot[{g[x]，Evaluate[fourier2[n ，x]]}，{x ，-Pi ，5Pi}， PlotStyle{RGBColor[0，1，0]，RGBColor[1，0.3，0.5]}，DisplayFunctionIdentity]；tu2=Table[tu[n]，{n ，1，30，5}]； toshow=Partition[tu2，2]； Show[GraphicsArray[toshow]]【实验结论】（结果）1.用Mathematica 求无穷级数的和；2.求幂级数的收敛域；3.展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数.附录1：源程序1Sum k2^k,k,1,Infinity2Sum12k1^2,k,1,Infinity 283Sum12k^2,k,1,Infinity 2244Sum1^k1k,k,1,Infinity Log2Clear a;a n_x1^2n15^n; stepone a n1a n Simplify11x25steptwo Limit stepone,n Infinity11x25ydd Solve steptwo1,xzdd Solve steptwo1,xx15,x15x15,x15x15,x15Simplify a n.x1Sqrt5Sin kkSimplify a n.x1Sqrt5Sin kkSum x1^2n15^n,n,0,Infinity 51x62x x2Series1x Log1x,x,0,6Log2Log x Log x2O x7Series ArcSin x,x,0,6x x363x540O x7Clear f;f x_x x^21;Series f x,x,0,5Series f x,x,0,10p1Normal Series f x,x,0,5p2Normal Series f x,x,0,10p3Plot Evaluate f x,p1,p2,x,3,3,PlotRange2,32, PlotStyle Dashing0.01,GrayLevel0x x3x5O x6x x3x5x7x9O x11x x3x5x x3x5x7x9GraphicsClear f,a,b,fs,L;f x_:1x^2;12x12 f x_:f x1;x12gf Plot f x,x,1,5GraphicsL12;a n_:Integrate x Cos n Pi x L,x,L,0Integrate Cos n Pi x l,x,0,LLb n_:Integrate x Sin n Pi x L,x,L,0Integrate Sin n Pi x l,x,0,L L fs k_,x_:a k Cos k Pi x L b k Sin k Pi x Lfourier n_,x_:a02Sum fs k,x,k,1,6f1fourier5,x Nf2fourier10,x N0.625 2.Cos 6.28319x0.05066060.31831l Sin 1.5708l0.31831l Cos12.5664x Sin 3.14159l2.Cos18.8496x0.005628950.106103l Sin 4.71239l0.159155l Cos25.1327x Sin 6.28319l2.Cos31.4159x0.002026420.063662l Sin 7.85398l0.106103l Cos37.6991x Sin 9.42478l2.0.07957750.31831l0.31831l Cos 1.5708lSin 6.28319x2.0.03978870.159155l0.159155l Cos3.14159lSin12.5664x2.0.02652580.106103l0.106103l Cos 4.71239lSin18.8496x2.0.01989440.0795775l0.0795775l Cos 6.28319lSin25.1327x2.0.01591550.063662l0.063662l Cos 7.85398lSin31.4159x2.0.01326290.0530516l0.0530516l Cos 9.42478lSin37.6991x0.625 2.Cos 6.28319x0.05066060.31831l Sin 1.5708l0.31831l Cos12.5664x Sin 3.14159l2.Cos18.8496x0.005628950.106103l Sin 4.71239l0.159155l Cos25.1327x Sin 6.28319l2.Cos31.4159x0.002026420.063662l Sin 7.85398l0.106103l Cos37.6991x Sin 9.42478l2.0.07957750.31831l0.31831l Cos 1.5708lSin 6.28319x2.0.03978870.159155l0.159155l Cos3.14159lSin12.5664x2.0.02652580.106103l0.106103l Cos 4.71239lSin18.8496x2.0.01989440.0795775l0.0795775l Cos 6.28319lSin25.1327x2.0.01591550.063662l0.063662l Cos 7.85398lSin31.4159x2.0.01326290.0530516l0.0530516l Cos 9.42478lSin37.6991xPlot Evaluate f x,f1,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot Evaluate f x,f2,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598.Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.629911.General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.GraphicsPlot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598.Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.629911.General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.GraphicsClear f,a,b,fs,L;f x_:1;0x1f x_:2x;1x2 f x_:f x2;x2 gf Plot f x,x,1,5GraphicsL1;a n_:Integrate x Cos n Pi x L,x,L,0Integrate Cos n Pi x l,x,0,LLb n_:Integrate x Sin n Pi x L,x,L,0Integrate Sin n Pi x l,x,0,L L fs k_,x_:a k Cos k Pi x L b k Sin k Pi x Lfourier n_,x_:a02Sum fs k,x,k,1,8f1fourier5,x Nf2fourier10,x N0.75Cos 3.14159x0.2026420.31831l Sin 3.14159l0.159155l Cos 6.28319x Sin 6.28319lCos9.42478x0.02251580.106103l Sin 9.42478l0.0795775l Cos12.5664x Sin 12.5664lCos15.708x0.008105690.063662l Sin 15.708l0.0530516l Cos18.8496x Sin 18.8496lCos21.9911x0.004135560.0454728l Sin 21.9911l0.0397887l Cos25.1327x Sin 25.1327l0.318310.31831l0.31831l Cos 3.14159lSin 3.14159x0.1591550.159155l0.159155l Cos 6.28319lSin 6.28319x0.1061030.106103l0.106103l Cos 9.42478lSin9.42478x0.07957750.0795775l0.0795775l Cos 12.5664lSin12.5664x0.0636620.063662l0.063662l Cos 15.708lSin15.708x0.05305160.0530516l0.0530516l Cos 18.8496lSin18.8496x0.04547280.0454728l0.0454728l Cos 21.9911lSin21.9911x0.03978870.0397887l0.0397887l Cos 25.1327lSin25.1327x0.75Cos 3.14159x0.2026420.31831l Sin 3.14159l0.159155l Cos 6.28319x Sin 6.28319lCos9.42478x0.02251580.106103l Sin 9.42478l0.0795775l Cos12.5664x Sin 12.5664lCos15.708x0.008105690.063662l Sin 15.708l0.0530516l Cos18.8496x Sin 18.8496lCos21.9911x0.004135560.0454728l Sin 21.9911l0.0397887l Cos25.1327x Sin 25.1327l0.318310.31831l0.31831l Cos 3.14159lSin 3.14159x0.1591550.159155l0.159155l Cos 6.28319lSin 6.28319x0.1061030.106103l0.106103l Cos 9.42478lSin9.42478x0.07957750.0795775l0.0795775l Cos 12.5664lSin12.5664x0.0636620.063662l0.063662l Cos 15.708lSin15.708x0.05305160.0530516l0.0530516l Cos 18.8496lSin18.8496x0.04547280.0454728l0.0454728l Cos 21.9911lSin21.9911x0.03978870.0397887l0.0397887l Cos 25.1327lSin25.1327xPlot Evaluate f x,f1,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot Evaluate f x,f2,x,1,5,PlotStyle GrayLevel0,GrayLevel0.4Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598. Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.491147. General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during this calculation.GraphicsPlot::plnr:f x is not a machine size real number at x 1..Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.756598. Plot::plnr:f x is not a machine size real number at x0.491147. General::stop:Further output of Plot::plnr will be suppressed during thisGraphicsClear a;a n_Sin k k;vals Table a k,k,1,50;ListPlot vals,PlotStyle PointSize0.015Graphics附录2：实验报告填写说明1.实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
§10 用Mathematica进行级数运算
1371§10 用Mathematica 进行级数运算Mathematica 能把函数展成级数的形式，还能对级数及级数间进行四则运算及能对级数开方或取log 值等。
10.1 级数的展开在Mathematica 系统中，用Series 将一个函数)(x f 展开成为幂级数。
其调用形式有以下两种：（1）Series[f,{x,x 0,n}] 把函数f 在点0x 处展开到x 的n 次幂。
（2）Series[f,{x,x0,n1},{y,y0,n2}] 把二元函数f 在点),(00y x 处展开到x 的1n 次幂,y 的2n 次幂1 幂级数的展开例10.1 将函数x x f arctan )(=在00=x 处展开到x 的10次幂。
解 In[1]:=Series[ArcTan[x],{x,0,10}] Out[1]=119753][9753x O x x x x x ++−+− 要去掉误差可使用命令Normal.In[2]:= Normal.[%] Out[2]= 97539753x x x x x +−+− 2 Taylor 级数的展开例10.2 将函数)1log()(z z f +=在00=z 处展开到z 的7次幂. 解 In[3]:=Series[Log[1+z],{z,0,7}] Out[3]=876532][7654324z O z z z z z z z ++−+−+− 10.2 级数的运算1 Mathematica 对级数的四则运算和微、积分 例10.3 分别将x x x cos ,sin 在点00=x 处展开到x 的5次幂a 和b ，并求其1372和、差、积及a 的微积分。
解 In[1]:=Clear[a,b,x]In[2]:=a=Series[Sin[x],{x,0,5}] Out[2]=653][1206x o x x x ++− In[3]:=b=Series[x*Cos[x],{x,0,5}] Out[3]=653][242x o x x x ++− In[4]:=a+b Out[4]=653][20322x O x x x ++− In[5]:=a-b Out[5]= 653][303x O x x +− In[6]:=a*b Out[6]=7642][15232x O x x x ++− In[7]:=D[a,x] Out[7]=542][2421x O x x ++− In[8]:=Integrate[a,x] Out[8]=7642][720242x O x x x ++− 2 用Mathematica 还有其它一些与级数有关的命令如InverseSeries,ComposeSeries 等。
mathematica代入数值进行运算
mathematica代入数值进行运算以mathematica代入数值进行运算Mathematica是一种非常强大的数学软件，它可以进行各种数值计算和符号计算。
在这篇文章中，我们将介绍如何使用Mathematica 进行数值代入和运算。
我们需要定义一些变量和函数。
假设我们想计算一个函数f(x)在给定数值x处的值。
我们可以使用Mathematica的函数定义语法来定义这个函数，如下所示：f[x_] := x^2 + 3这里，我们定义了一个函数f(x)，其表达式是x的平方加上3。
接下来，我们可以使用Mathematica的代入符号“:=”来为变量x赋值。
例如，我们可以将x的值赋为2，然后计算f(x)的值，如下所示：x = 2f[x]运行以上代码，Mathematica会输出结果5，这是因为当x等于2时，f(x)的值为2的平方加上3，即5。
除了代入单个数值，我们还可以使用Mathematica的List数据结构进行向量化计算。
例如，我们可以定义一个包含多个数值的向量x，然后计算f(x)的值。
具体代码如下：x = {1, 2, 3}f[x]运行以上代码，Mathematica会输出一个向量{4, 7, 12}，这是因为当x分别等于1、2和3时，f(x)的值分别为4、7和12。
在进行数值代入和运算时，我们还可以使用Mathematica的各种数学函数和操作符。
例如，我们可以使用Mathematica的内置函数Sin计算正弦函数在给定数值处的值。
具体代码如下：x = Pi/2Sin[x]运行以上代码，Mathematica会输出结果1，这是因为正弦函数在π/2处的值等于1。
除了单个数值的代入和运算，我们还可以使用Mathematica的内置函数Table进行多个数值的代入和运算。
例如，我们可以使用Table函数计算函数f(x)在一系列数值处的值。
具体代码如下：x = Table[i, {i, 1, 10}]f[x]运行以上代码，Mathematica会输出一个向量{4, 7, 12, 19, 28, 39,52, 67, 84, 103}，这是因为当x分别等于1到10时，f(x)的值分别为4、7、12、19、28、39、52、67、84和103。
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3．将y=sin(xex)在点（0,0）处展开到x的7次幂
４.将z=xy在（2,3)处展开为x的３次幂，y的４次 幂。
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二、应用部分
(1)利用函数z=xy的五阶泰勒展开式，计算1.1011.021
的近似值. (2)作出y=sinx的图形和函数的幂级数展开式的图形 （选取不同的x0和n），将图形进行比较，并总结 规律。
n},{y,y0,m]
处展开到(x-x0)的n次幂，(y-
y0)的m次幂，
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注：使用Series命令将函数在指定点按指点阶数展开 时，结果是级数形式，其特征是以o[x]^n作为结尾 ，这种数据称为级数型数据，不便进行计算，也不 能直接画图，在使用时，可以将其转换为多项式， 然后再计算。需使用命令：
3 x
（3）将 1 在
x y
处x 展1开到( -1)的x3次幂
处x 展1开到( -1)的x3次
幂，在 y 处1 展开到 (的y 21次) 幂
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学生实验：
一、基础部分
1．求级数
n 1
n
(
3与) n
4
1的sin和1
n1 n n
2．设f (x) ,将1 展开f (x到) 的4(阶x 幂2)级数
实验五 用Mathematica进行级数运算
实验目的：学会利用Mathematica进行级数求和 、函数幂级数展开 预备知识：
（一）求和符号∑用法及相关知识 （二）级数的敛散性及其确定 （三）函数展开为幂级数相关知识 （四）Mathematica中求和及级数运算相关命 令
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边学边做：
为642 (2)algebra\symboblic.m。 Sum[1/(n*(n+1)),{n,1,Infinity}] \求级数的和，
输出结果为1，同时表明级数收敛。 algebra\symboblic.m。 Sum[1/n,{n,1,Infinity}] \求级数的和，输出结果 为Infinity，同时表明级数发散。
（一）求和：Sum命令
6
（1）求有限项的和 n 2 n n 1
（2）分别求级数
n 1
n(n1与 1)
的n和1 1n ，并判定敛散性
（3）分别求级数
n0
x与n
n!
n1 (1的)n1和xnn 函数并确定其收敛域
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（二）函数展开成幂级数
（1）将 sin在x 处x 展0开到 的5次幂x
（2）将 1 在
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2．函数展开成幂级数
（1）Series[Sin[x],{x,0,5}]
x3 x
x5
6
Ox
6 120
（2）Series[1/(3-x),{x,1,3}]
1 x1 1
21
3
4
x1
x 1 Ox 1
248
16
（3）Series[1/(x+y),{x,1,3},{y,1,2}]
1 y1Байду номын сангаас1
2
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(3) algebra\symboblic.m。 Sum[x^n/n!,{n,0,Infinity}]
\求级数的和，输出结果为 e x
还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令： Clear[f,a,b,n] f[x_] :=x^n/n!; a[n_]:=1/n!; b=Limit[a[n]/a[n+1],n->Infinity];
\确定收敛半径为∞,收敛域为(－∞,＋∞)
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algebra\symboblic.m。 Sum[（-1）^(n+1)*x^n/n,{n,1,Infinity}] \求级数的和，输出结果为Log[1+x] 还可确定收敛域，只需要执行下列各条命令： Clear[f,a,b,n] f[x_] :=（-1）^(n+1)*x^n/n; a[n_]:=（-1）^(n+1) /n; b=Limit[a[n]/a[n+1],n->Infinity]; Print[“R=”,Abs[b]] \确定收敛半径为1 Sum[f[1],{n,1,Infinity}] \确定原级数在x=1处收 敛于Log[2] Sum[f[-1],{n,1,Infinity}] \确定原级数在x=-1处发 散 因而原级数收敛域为（-1，1]
2020/4/8
实验五内容详解： 一、命令汇总
Sum[f(n),{n,a,b}] 求以f(n)为通项的有限项的和
Sum[f(n),{n,1,Infini 求以f(n)为通项的级数在收敛
ty}]
域内的和
Series[f[x],{x,x0,n} 将f(x)在点x0处展开为(x-x0)的
]
n次幂
Series[f[x,y],{x,x0, 将二元函数f(x,y)在点(x0,y0)
Normal[Series] 如：a=Series[1/(1-x),{x,0,5}]，结果为
1 x x2 x3 x4 x5 O x 6
b=Normal[a]，结果为
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
2020/4/8
二、边学边做
1．求和 (1)algebra\symboblic.m。 Sum[n*2^n,{n,1,6}] \求有限项的和，输出结果
3
y 1 Oy 1
248
1 y1 44
1 3y 1
8
16
3 y 12 Oy 13 x 12 16
3
2
3
y 1 Oy 1 x 1
16
1 y 1 5 y 12 Oy 13 16 8 32
x 13 Ox 14
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