【一等奖教案】 三角函数中的求值问题

课题：三角函数中的求值问题(高三复习课)1.教学目标：立足教材中的三角函数公式，借助有代表性的例题使学生掌握三角函数中求值的一些常用方法，正确灵活地运用教材中的公式解决三角函数中的求值问题。

注重化归思想和整体思想的培养。

2.教学重点、难点：复习所学过的三角函数公式，正确灵活地使用三角函数公式解决求值问题，以及对变角、变名、弦切互化、讨论角的范围等技巧的训练。

3.教学过程：回忆公式：同角三角函数基本关系式；诱导公式；两角和与差的三角函数公式；二倍角公式。

要回忆各公式的推导过程，向学生介绍各公式间的关系及使用价值。

例1．已知tan(4π+α)=2，求ααα2cos cos sin 21+的值.这是一道“给值求值”问题，主要技巧是“1的巧用”将1换为sin αα22cos +,其次是弦化切。

例2．求值 ：︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin这是一道“给角求值”问题，解决此题的关键是“变角”，提醒同学们注意观察题中各角间的关系。

其中“ 7°=15°-8°”。

例3.求值 tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°.分析：观察问题结构，可联想两角和的正切公式，逆向思维。

解后思考：这是“给角求值”的题目，注意所给角20°与40°的和是特殊角60°。

另外，从试题结构上与两角和正切公式相似，因此，解题时要多注意联想。

例4．若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97-B ．31-C ．31D ．97 注意：角απαπ+-36与的和是2π。

例5：已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅=（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及二倍角公式，考察应用、分析和计算能力。

解：（Ⅰ）∵1m n ⋅= ∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=12sin cos 12A A ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭, 1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=（Ⅱ）将2212sin cos 3cos sin B BB B+=--化为：3sin cos cos sin 2sin cos 2222-=-++B B B B B B即：3)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2-=+-+B B B B B B (这里，0sin cos ≠+B B )整理得：B B cos 2sin = ∴tan 2B =练习：设==+-=∈∈αβαβππβπαsin ,97)sin(,31cos ),,2(),2,0(则且A 271B 275C 31D 2723小结：三角函数求值的基本方法：巧用1、变角、变名、弦切互化、讨论角的范围。

另外在本节课中，多次使用了化归和整体的数学思想。

作业：已知函数1)4()cos x f x x π-=， （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且4tan 3α=-，求()f α的值.本题主要考查三角函数的定义域，以及利用两角和的正弦、二倍角公式、同角三角函数基本关系式化简求值。

解：（Ⅰ）由 cos 0x ≠得()2x k k Z ππ≠+∈，故()f x 在定义域为},,2x x k k Z ππ⎧≠+∈⎨⎩（Ⅱ）因为4tan 3α=-，且α是第四象限的角,所以43sin ,cos ,55αα=-=故1)4()cos f x παα-=12(sin 22)22cos ααα-=1sin 2cos 2cos ααα-+=22cos 2sin cos cos αααα-=2(cos sin )αα=-145=.对本节课教学设计的几点说明：1.由于是高三第一轮复习，所以应更注重教材中的公式和基本求值方法的掌握。

同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式是高考重点考查的内容，由于应用非常广泛，所以是本章复习的重点，在本节课中，我首先要向学生讲清楚这些公式间的联系及规律。

2.在授课中，反复使用变角、变名以及弦切互化等手段把三角函数式不断变形，这种“形”变而“值”不变，便是恒等变形的实质，恒等变形的过程，就是对命题连续化简的过程，这也是化归的数学思想的培养。

同时，在角的分拆和变形中，让学生体会整体的数学思想。

3.本节课中的例题大部分选自近三年的高考试题，这样做有利于学生更有效地把握高考命题的动向，从众多的考题中我们可以看到，试题更多地注重对基本公式，基本方法的考查。

因此，在本节课的讲授中，我应立足教材，注重基本方法，在解题时，多注意培养学生在题目的条件和结论之间建立联系，在变形过程中不断寻找差异，努力培养学生的解题能力。

4．边复习公式边讲几个例题，我想这样有利于学生加深对公式的理解和掌握。

5．部分公式和例4板书，其它借助投影。

二元一次不等式表示平面区域一、教材分析⒈教材的地位和作用本节课主要内容是新教材高二上第七章第4节第一课时：二元一次不等式表示平面区域。

在此之前，学生已经学习了直线的方程，同时也学习了数形结合的数学思想方法。

在这个基础上，教材安排了这一节，介绍直线方程的一个简单应用。

这是《新大纲》中增加的一个新内容，反映了《新大纲》对于数学知识应用的重视。

线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它可以解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题．中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的方法――数学建模法。

通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。

⒉教材的重点、难点和关键教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域。

为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法。

教学难点：准确画出二元一次不等式（或不等式组）所表示的平面区域。

关键：教师引导的逻辑层次要清晰，学生的探求欲望要强烈。

3．教学大纲对这部分内容的要求了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会进行简单的应用。

4．教材的内容安排和处理教参安排“简单的线性规划”这部分内容的授课时间为3课时,本课为第一课时。

根据学生的实际情况，在证明猜想时适当调整解题思路，多提供一种证明思路。

另外，适当加强应用部分的教学。

二、学生心理分析高二学生在经过本章前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成。

他们厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行观察、思考的几何环境，给他们发表自己见解和表现才华的机会，希望教师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才华的机会。

三、教学目标分析本着因材施教的原则，根据教学大纲和高考考试说明的要求，并结合我校学生的实际情况，我制定本节课的教学目标如下：知识目标：使学生掌握用二元一次不等式来表示平面区域。

能力目标：使学生在学会知识的过程中，进一步熟练用代数方法（坐标、方程）讨论图形性质的能力，培养学生运用数形结合等数学思想方法解决问题的能力，培养学生综合运用知识解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力。

德育目标：（1）通过对推导思路的探索、评价，优化学生的思维品质，培养学生的辩证统一思想。

（2）培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索、勇于创新的科学精神。

创新素质目标：引导学生从已有知识中挖掘数学内容，培养学生的发现意识和整合能力。

情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。

结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

以上五个目标的确定基于以下几点考虑：(1)依据新大纲及教材分析，二元一次不等式表示平面区域的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，故本节知识内容定为了解层次。

(2)本大节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法的教学的好教材。

(3)与实际联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力。

四、教学方法和教学手段课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则。

根据这样的原则及所要完成的教学目标，我采用如下的教学方法和手段：教学方法：我采用的主要是引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等。

（一）引导发现法1.是符合辩证唯物主义观点；2.是符合教学原则的；3.能充分调动学生的主动性和积极性。

（二）探索讨论法1.有利于学生对知识进行主动建构；2.有利于突出重点、突破难点；3.有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

（三）通过题组教学法，发展学生等价转换、数形结合等思想，培养综合运用知识解决问题的意识。

教学手段：利用多媒体和教具等教学手段。

新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学。

五、学法指导观察分析、联想转化、猜想证明。

通过本节课的教学，教师应引导学生学会思考、尝试、猜想、证明、归纳。

这样更有利于学生掌握知识；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习。

六、教学过程特点：以知识为载体，思维为主线，能力为目标的设计原则，突出多媒体这一教学技术手段在本节课教学流程图七、教学评价的分析1、这节课安排了导入新课、尝试探求、例题示范、变式训练、总结和作业等几个教学环节。

它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探求，从而实现教学目的的要求，完成教学任务的一种教学方法。

2、这节课是有一定的难度的概念作图课。

设计这堂课，从开始到结束几乎所有的教学环节，都是围绕集合、化归、数形结合的数学思想方法这一主题来展开的。

这是因为用集合的观点和语言分析来描述几何图形问题，常能使问题更加清楚、准确。

本教案充分注意了运用这种观点和语言去分析直线和二元一次不等式（组）所表示的平面区域。