机械工程控制基础4_2

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惯性环节
1 G4 ( j ) j 0.2 1
L4 ( ) 20 lg 1 (0.2 ) 2
4 ( ) arctg0.2
1 1 5 rad s 转折频率 4 0.2 ，对数幅频特性渐 近线类似于 L3 ( )，相频特性类似于 3 ( ) 。
第四章 频率特性分析
第一节 频率特性概述
第二节 频率特性的图示方法
第三节 频域特性的特征量 第四节 最小相位系统与非最小相位系统 第五节 利用MATLAB分析频率特性 第六节 设计示例
第二节 频率特性的图示方法
概述
作为一种图解分析系统的方法，频率特性曲线常采用两种 表示形式，即极坐标图、对数坐标图。
Im v ＝3
K 0 v ＝2 v ＝0 Re
v ＝1
开环极坐标图曲线的起点
Im n －m＝ 3 n －m＝ 4 n －m＝ 2 0 Re
n －m＝ 1
开环极坐标图曲线的终点图
二、对数坐标图(Bode图)
Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两张图组成。 对数幅频特性是频率特性的对数值 L(ω)=20lgA (ω)（ dB） 与频率ω的关系曲线； 对数相频特性是频率特性的相角 ( ) (度)与频率ω的关系 曲线。
i 1
j
i ( )
i 1
n
(4-36)
系统开环的对数幅频特性:
L( ) 20 lg A( ) 20 lg[ Ai ( )]
20 lg Ai ( )
n
n
i 1
Li ( )
i 1
i 1 n
开环相频特性:
( ) G ( j ) i ( )
1. 将系统传递函数G（s）写成若干个标准形式的典型环节 （即惯性、一阶微分、二阶振荡和二阶微分环节的传递函数中常 数项均为1）串联相乘的形式。
2 2 K ( 1s 1) ( 2 s 2 ' 2 s 1) G( s) 2 2 s (T1s 1) (T2 s 2T2 s 1)
G(s) G1 (s)G2 (s) Gn (s)
其频率特性:
G( j ) G1 ( j )G2 ( j ) Gn ( j )
A1 ( )e
n
j1 ( )
A2 ( )e
j 2 ( )
An ( )e
j n ( )
Ai ( )e
M() 1 00 80 60 40 20 10 8 6 4 2 1 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 .1 20 L()增 大 2 0 dB 0 40
L()/dB
M()增 大 1 0倍
－20 0 .1
0 .6 0 .2 0 .4 0 .81 2 4 6 8 10 2 0 4 06 08 0 1 00 / (rad/s)
系统由5个典型环节串联组成：
比例环节
G1 ( j ) 100
1 ( ) 0 dB
积分环节
L1 ( ) 20 lg 100 40
1 G 2 ( j ) j
L2 ( ) 20 lg
2 ( ) 90

对数幅频特性渐近线在 1时穿越0dB线， 其斜率为-20dB/dec。
(2) 将各环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别画于半对数
坐标纸上； (3)将各环节幅频特性曲线进行叠加(在各转折点处各环节幅值
数相加)，求得开环对数幅频特性曲线。
(4)将各环节相频特性曲线进行叠加(选取若干个值，将各环 节在此处的相频数值叠加)，求得开环对数相频特性曲线。 (5)如需要精确对数幅频特性，则可在各转折频率处加以修正。
5
1 20rad s 1 ，对数幅频特性渐 0.05
将以上个环节的对 数幅频特性渐近线和 相频特性曲线绘制出 ，在同一频率下相加 即得到系统的开环对 数幅频特性渐近线及 相频特性，如图4-25 所示。
图4-25 例 4-2的Bode图
（二）顺序斜率叠加法
本方法不必将各个典型环节的L() 绘出,而使用从低频到高 频逐次变换斜率的方法绘出L()曲线, ()曲线可用前述办法或 后面介绍的计算法绘制。 绘制步骤概括如下:
图4-1 极坐标图
图4-1 极坐标图
频率特性 G(jω) 是输入频率 ω 的复变函数， 是一种变换，当频率ω由0→∞时，G(jω )变化 的曲线，即向量端点轨迹就称为极坐标图。 极坐标图在 i 时，在实轴上的投影 为实频特性 p( i )，在虚轴上的投影为虚频特性 ( i ) 。
3
2
2
1
1
0
1
2
3
4 5 6 7 89 1
2
3
4 5 6 7 89 1
2
3
4 5 6 7 89 1
0
图4 - 7
三级“半对数坐标纸”
在使用对数坐标时要特别注意以下两点：
(1) 它是不均匀坐标， 是由疏到密周期性变化排列的。
(2) 对数坐标的每一级代表10倍频程， 即每一个等分 的级的频率差 10 倍， 若第一个“ 1” 处为 0.1 ， 则以后的 “1”处便分别为1、 10、 100、 1000等等。
一. 极坐标图(乃奎斯特图或乃氏图或Nyquist图) 系统频率特性可表示为
G( j ) A( )e j ( )
G( j i ) 向量的长 用一向量表示某一频率 下的 i ( )的正方向取为 度A( i )，向量极坐标角为 ( i ) ， 逆时针方向，极坐标的顶点在坐标原点。如图4-1所 示。
图4.2.3 积分环节的极坐标图
图4-16
纯微分环节的极坐标图
K 2 K 2 (U ) V 2 2
2
图4.2.5 惯性环节极坐标图
图4-7
振荡环节极坐标图
K K lim GK ( j ) lim lim 90 0 0 ( j ) 0
2. 求各环节的转折频率（如果有的话），并由小到大将其
顺序标在Bode图的ω轴上。
3. 4.
5. 在各转折频率附近利用误差曲线进行修正，得精确 曲线。 系统的对数相频特性可以由各环节相频特性叠加的 方法绘制。
10(0.01s 1) 【例4-3】系统开环传递函数为 G ( s) s ( 0 . 1 s 1 )( 0 . 2 s 1 ) 试绘制系统的对数幅频特性。
对数幅频特性的纵 轴 为 L(ω)=20lgA(ω) 采 用 线 性 分 度 ， A(ω) 每 增 加 10 倍 ， L(ω) 增 加 20dB ； 横 坐 标 采 用 对 数分度，即横轴上的 ω 取对数后为等分点。 对数相频特性横轴 采用对数分度 ，纵轴 为线性分度，单位为 度。
图4-2 Bode图坐标系
惯性环节
1 G3 ( j ) 1 j 0.1
L3 ( ) 20 lg 1 (0.1 ) 2
3 ( ) arctg 0.1
1 10 rad s 转折频率 c ，对数幅频特性渐 近线曲线在转折频率前为0dB线，转折频率后 为一条斜率为-20dB/dec的直线。 3 ( ) 对称于 点( 3 , )。
频率特性如图4-27所示。
图4-27 例4-4系统的开环对数频率特性
【例4-2】系统开环传递函数
100(0.05s 1) G( s) s(0.1s 1)(0.2s 1)
试绘制开环对数频率特性。 解 系统开环频率特性为
100(1 j 0.05 ) G( j ) j (1 j 0.1 )(1 j 0.2 )
图4-14 积分环节的Bode图
图4-17 纯微分环节的Bode图
低频时的对数幅值曲线是一条0分贝的直线。
高频时的对数幅频特性曲线是一条斜率为-20分贝/十 倍频程（－20dB/Dec，即频率每增加10倍，幅值就下 降20dB）的直线。 =1/T时，前述两条直线相交， =1/T称为转折频 率。
Bode图在控制工程设计和综合中， 具有以下优点： （3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正） 代替精确Bode图，使绘图十分简便。
（4）在控制系统的设计和调试中,开环放大系数K是 最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性 的形状,只会使幅频特性曲线作上下平移。
1. 典型环节的Bode图
增大 10
－1
0 lg 增 大 1
1
2
lg
伯德图的横坐标和纵坐标
由上图可见， 伯德图是画在纵轴为等分坐标、 横轴 为对数坐标的特殊坐标纸上的。 这种坐标纸称“半对数坐 标纸”， 横轴对数坐标的每一个等分称为一级， 图4 - 7横 轴有三个相等的等分， 因此称为三级“半对数坐标纸”。
4 4
3
1. 典型环节的Nyquist图
控制系统由若干典型环节组成，常见的典型环
1 1 节有比例环节 K，积分环节 ,惯性环节 ，一 Ts 1 s 阶 微 分 环 节 1+τs ， 微 分 环 节 s ， 振 荡 环 节
1 ， T 2 s 2 2Ts 1
，滞后环节 e s 等。
下面分别讨论典型环节的频率特性。
【例4-1】设系统开环传递函数如下，试绘制其开环对数频率
特性图。
解： (1)系统开环频率特性可写成：
(2) 将五个环节的对数幅频特性和相频特性曲线分别绘于图4-27 中
(3)将L1()～L5()叠加，
求得开环对数幅频特性 曲线L() 。 (4)将1 ()～5 ()叠加, 得开环对数相频特性曲 线 () 。 最后得到该系统的对数
比例微分环节
G5 ( j ) 1 j 0.05
L5 ( ) 20 lg 1 (0.05 ) 2
5 ( ) arctg 0.05
转折频率 近线在 5 20rad s 1 之前为0分贝线，在 5 之后为 一条斜率为20dB/dec的直线。 相频特性 5 ( ) 在转折频率处为45°，低频段为 ( , 45 )。 0°，高频段为90°，且曲线对称于点 5
i 1
n
由此看出，系统的开环对数幅频特性L(ω) 等于各个串联环节对数幅频特性之和；系统的开 环相频特性 ( ) 等于各个环节相频特性之和。
绘制系统开环对数幅频特性曲线的一般步骤：
控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统Bode图时，应先 将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。常用 方法有三种。 （一）环节曲线叠加法 绘图步骤概括如下: (1)将系统开环频率特性写为各个典型环节乘积形式，确定各环 节的转折频率（如果有的话）
Bode图在控制工程设计和综合中， 具有以下优点： （1）横坐标按频率取对数分度，低频部分分辨率高， 而高频部分分辨粗略。与对实际控制系统（一般为 低频系统）的频率分辨要求吻合。 （2）幅频特性取分贝数［20Lg|G（s)|］后，使各因子 间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各 因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程， 使系统设计和分析变得容易。
图4-8 二阶振荡环节的Bode图
用渐近线代替实际对数幅频特性也会带来误差，常按 的大小来修正渐近线。二阶振荡环节的误差修正曲线如图 4-9所示。
图4-9 二阶振荡环节的误差修正曲线
图4-24 二阶微分环节的 Bode图
2. 绘制系统Bode图的步骤与实例 概述
对n个环节串联的系统，其开环传递函数为
误差为
L( ) L( ) L渐 ( )

3.03 dB
L( ) L( ) L渐 ( )
1 T
在高于转折频率一个倍频处，即
2 的误差为 T
20 lg 1 2T 2 20 lg T 0.97 dB
误差曲线如左图所示。
图4-5 惯性环节的误差曲线
惯性环节的对数 幅频特性曲线近似为两 段直线 。两直线相交 ， 1 交点处频率 ，称 T 为转折频率。 两直线实际上是对数 幅频特性曲线的渐近线， 故又称为对数幅频特性 渐近线。 用渐近线代替对数幅 频特性曲线 ，最大误差 发 生 在 转 折 频 率 处。
图5-10 惯性环节的Bode图