(2020年整理)初升高数学衔接教材(完整).doc

第一讲 数与式
1、 绝对值
（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式
①()(0)f x a a <>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()a f x a -<<。

②()(0)f x a a >>,去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是()()f x a f x a ><-或。

③2
2
()()()()f x g x f x g x >⇔>。

（2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：
①找到使多个绝对值等于零的点．
②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n 个零点把数轴分为n ＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式354x -<的解集 例2.求不等式215x +>的解集 例3.求不等式32x x ->+的解集 例4.求不等式|x ＋2|＋|x －1|＞3的解集． 例5.解不等式|x －1|＋|2－x |＞3－x ．
例6.已知关于x 的不等式|x －5|＋|x －3|＜a 有解，求a 的取值范围． 练习
解下列含有绝对值的不等式： （1）13x x -+-＞4+x （2）|x +1|<|x －2|
（3）|x －1|+|2x +1|<4 （4）327x -< (5)578x +> 3、因式分解 乘法公式
（1）平方差公式 22
()()a b a b a b +-=- （2）完全平方公式 222
()2a b a ab b ±=±+ （3）立方和公式 2233
()()a b a ab b a b +-+=+ （4）立方差公式 2233
()()a b a ab b a b -++=-
（5）三数和平方公式 2222
()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++ （6）两数和立方公式 33223
()33a b a a b ab b +=+++ （7）两数差立方公式 33223
()33a b a a b ab b -=-+-
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法 例1 分解因式：
（1）x 2
－3x ＋2； （2）2
672x x ++
（3）22
()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．
2．提取公因式法
例2.分解因式：
（1）()()b a b a -+-552
（2）32
933x x x +++
3．公式法
例3.分解因式： （1）164
+-a （2）()()2
2
23y x y x --+
4．分组分解法
例4.（1）x y xy x 332
-+- （2）2
2
2456x xy y x y +--+-
5．关于x 的二次三项式ax 2
+bx +c (a ≠0)的因式分解．
若关于x 的方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2
(0)ax bx c a ++≠就可分
解为12()()a x x x x --.
例5.把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）2
21x x +-； （2）2
2
44x xy y +-．
练习
（1）2
56x x -- （2）()21x a x a -++ （3）2
1118x x -+
（4）24129m m -+ （5）2
576x x +- （6）2
2
126x xy y +-
（7）()()3211262
+---p q q p （8）2
2365ab b a a +- （9）()
2
2244+--x x （10）122
4+-x x （11）by ax b a y x 222
2
2
2
++-+-
（12）9126442
2++-+-b a b ab a (13)x 2
－2x －1
（14） 31a +； （15）42
4139x x -+；
（16）22
222b c ab ac bc ++++； （17）2
2
35294x xy y x y +-++-
第二讲 一元二次方程与二次函数的关系
1、一元二次方程 (1)根的判别式
对于一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a
-；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a
； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）
如果ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -
，x 1·x 2＝c
a
．这一关系也被称为韦达定理．
2、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，。

当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a =-时，y 有最小值244ac b a -。

2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，。

当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a =-时，y 有最大值244ac b a -.
3、二次函数与一元二次方程：
二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠
的两根。

这两点间的距离21AB x x =-=.
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'
当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。

例1.若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2
＋5x －3＝0的两根．
（1）求| x 1－x 2|的值； （2）求
22
1211x x +的值；（3）x 13＋x 23
． 例2.函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（
）
Ａ．0个 Ｂ．1个
Ｃ．2个 Ｄ．1个或2个
例 3.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴
必然相交于
点，此时
．
例4 .抛物线与轴交于两点和，若，要使抛物线经过原点，应将它向右平移
个单位．
例5.关于的二次函数的图像与轴有交点，则的范围是（ ） Ａ． Ｂ．且 Ｃ． Ｄ．且 2
2y mx x m =+-m x x 2
5mx mx m ++=2
5y mx mx m =++-x m =2
(21)6y x m x m =---x 1(0)x ，
2(0)x ，121249x x x x =++x 2
2(81)8y mx m x m =+++x m 1
16
m <-
116m -
≥0m ≠116m =-116
m >-0m ≠
练习
1.一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和
122
x x +；（2）x 13＋x 23
． 2.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标 ．
3. 已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，顶点的纵坐标为，若，是方程的两根，且．
（1）求，两点坐标； （2）求抛物线表达式及点坐标；
4. 若二次函数，当取、（）时，函数值相等，则当取时，函数值为
（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5、已知二次函数，关于的一元二次方程的两个实根是和，则这个二次函数的解析式为
第三讲 一元二次不等式的解法
1、定义：形如ax 2
+bx +c ＞0（a ＞0）（或ax 2
+bx +c ＜0（a ＞0））的不等式
做关于x 的一元二次不等式。

2、一元二次不等式的一般形式：
ax 2+bx +c ＞0（a ＞0）或ax 2+bx +c ＜0（a ＞0）
3、一元二次不等式的解集：
2
(2)(5)y k x k =--+-x 0x =2
y ax bx c =++y C x 1(0)A x ，
212(0)()B x x x <，M 4-1x 2x 22
2(1)70x m x m --+-=221210x x +=A B C 2
y ax c =+x 1x 2x 12x x ≠x 12x x +a c +a c -c -c 212y x bx c =-
++x 21
02
x bx c -++=1-5-
4、解一元二次不等式的一般步骤：
（1）将原不等式化成一般形式ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））；
（2）计算Δ=b2-4ac；
（3）如果Δ≥0，求方程ax2+bx+c=0（a＞0）的根；若Δ＜0，方程ax2+bx+c=0（a＞0）没有实数根；
（4）根据上表，确定已经化成一般形式的不等式的解集，即为原不等式的解集。

例1.解下列不等式：
（1）4x2-4x＞15；（2）-x2-2x+3＞0；（3）4x2-4x+1＜0
例2.自变量x在什么范围取值时，函数y=-3x2+12x-12的值等于0？大于0？小于0？
例3.若关于x的方程x2-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。

练习
1.解下列不等式：
（1）4x2-4x＜15；（2）-x2-2x+3＜0；（3）4x2-4x+1＞0
（3）4x2-20x＜25；（4）-3x2+5x-4＞0；（5）x（1-x）＞x（2x-3）+10
2.m是什么实数时，关于x的方程mx2-（1-m）x+m=0没有实数根？
3.已知函数y =12x 2－3x －3
4
，求使函数值大于0的x 的取值范围。

含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答. 1.二次项系数含参数a （按a 的符号分类） 例1.解关于x 的不等式：2
(2)10.ax a x +++>
例2.解关于x 的不等式：2560(0)ax ax a a -+>≠ 2.按判别式∆的符号分类
例3.解关于x 的不等式：2
40.x ax ++>
例4.解关于x 的不等式：2
2
(1)410.()m x x m +-+≥为任意实数
3.按方程2
0ax bx c ++=的根12,x x 的大小分类。

例5.解关于x 的不等式：2
1
()10(0)x a x a a
-++<≠
例6.解关于x 的不等式：2
2
560(0)x ax a a -+>≠ 练习
1.解关于x 的不等式：.0)2(2
>+-+a x a x 2.解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax 3.解关于x 的不等式：.012
<-+ax ax 4.解关于x 的不等式：033)1(2
2
>++-ax x a
第四讲 一元高次不等式及分式不等式的解法
1.一元高次不等式的解法
1.可解的一元高次不等式的标准形式 12()()
()0(0)n x x x x x x ---><
（1）左边是关于x 的一次因式的积； （2）右边是0；
（3）各因式最高次项系数为正。

2.一元高次不等式的解法 穿根法：
（1）将高次不等式变形为标准形式； （2）求根12,,
,n x x x ，画数轴，标出根；
（3）从数轴右上角开始穿根，穿根时的原则是“由右往左穿，由上往下穿，奇穿偶不穿”。

(4)写出所求的解集。

例1.0)3)(2)(1(<---x x x
例2.2
(1)(2)(1)0x x x x --+≥
例3.(1)(2)(3)0x x x -+->
例4.2
(2)(3)(21)0x x x x -+--≥
例5.2
(1)(2)(45)0x x x x ---+≥
例6.32
2210x x x --+≤
练习
1.2
(1)(3)(68)0x x x x +--+≥ 2.2
2(328)(12)0x x x x +-+-≤
3.22(23)(67)0x x x x ----≥
4.2
2(45)(1)0x
x x x --++≤
5.2
3
(2)(3)(6)(8)0x x x x -+-+≥ 6.43220x x x +--> 7.32330x x x +-->
2.分式不等式的解法 例1.（1）
()()3
03202x x x x ->-->-与解集是否相同，为什么？ （2）()()303202
x x x x -≥--≥-与解集是否相同，为什么？
通过例1，得出解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：
（1）()()
()()00f x f x g x g x >⇔⋅>
（2）
()()()()()000
f x
g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 解题方法：穿根法。

解题步骤：（1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。

例2.解不等式：
2232
0712x x x x -+≤-+- 例3.解不等式：22
911
721
x x x x -+≥-+
例4.解不等式：22
56
0(0)32
x x x x +-≥≤-+
例5.解不等式：2121
332x x x x ++>
--
例6.解不等式：22331
x
x x ->++
练习 解不等式： 1.
3
02x x
-≥- 2.
21
13
x x ->+ 3.22
32
023x x x x -+≤-- 4.
221
02
x x x --<- 5.()()()
3
22
1603x x x x -++≤+ 6.
()
2
309x x x -≤-
7.1
01x x
<-<
3.无理不等式的解法 1、无理不等式的类型：
()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⎪⎬
>⇔≥⎨⎭⎪>⎩
②
⎩⎨
⎧≥<⎪⎩
⎪
⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0
)()()(2x f x g x g x f x f x g x g x f 或型
③⎪⎩
⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型
例1.解不等式0343>--
-x x
例2.解不等式x x x 34232->-+-
例3.解不等式24622+<+-x x x
第五讲 集合的含义与表示
1. 集合的含义
2. 集合元素的三个特性
3. 元素与集合的关系
4. 常用的数集及其记法
5. 集合的表示方法
6. 集合的分类、空集
例1.判断下列对象能否构成一个集合
（1）身材高大的人
（2）所有的一元二次方程
（3）直角坐标平面上纵坐标相等的点
（4）细长的矩形的全体
（5
（6）所有的数学难题
例2.已知集合{}{}2,,2,,,,,A a a b a b B a ac ac A B =++==若求实数c 的值。

例3.已知集合S 中三个元素,,a b c ABC ABC ∆∆是的三边长，那么一定不是
三角形。

例4.用适当的方法表示下列集合。

（1）290x -=的解集；
（2）不等式213x ->的解集：
（3）方程组{2
4x y x y +=-=的解集；
（4）正偶数集；
例5.已知集合{}220,,A x x x a a R x R A a =++=∈∈若中至多有一个元素，求的取值范围。

例6.下列关系中，正确的有
1
(1);(3)3;(4).2R Q N Q ∈-∈
练习
1. 已知集合{}{}1,2,3,4,5,(,),,A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为（
）
A.3
B.6
C.8
D.10
2. 已知集合{}{}0,1,2,-,A B x y x A y A ==∈∈则集合中元素的个数是（ ）
A.1
B.3
C.5
D.9
3. 已知{}{}1,2,3,2,4,A B A B ==定义、间的运算{}A B x x A x B *=∈∉且,则集合
A B *等于（ ）
A. {}1,2,3
B.{}2,4
C.{}1,3
D.{}2
4. 若集合{}210A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a=( )
A.4
B.2
C.0
D.0或4
5. 设集合{}{}1,2,3,1,3,9,,A B x A x B x ==∈∉=且则（ ）
A.1
B.2
C.3
D.9
6. 定义集合运算：{}(,,).A B z z xy x y x A y B ==⋅+∈∈设{}{}0,1,2,3,A B ==
则集合A B 的所有元素之和为（ ）
A.0
B.6
C.12
D.18
7. 下列各组对象中不能构成集合的是（ ）
A. 某中学高一（2）班的全体男生
B.某中学全校学生家长的全体
B. 李明的所有家人 D.王明的所有好朋友
8. 已知a,b 是非零实数，代数式a b ab a b ab
++的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A. 0M ∈ .1B M -∈ .3C M ∉ .1D M ∈
9. 已知{}{}1,2,0,1,,A B x x y y A =--==∈，则B=
10. 集合{}22,25,12,3,A a a a A a =-+-∈且则=
11. 设集合{}
21,,5A x x k k Z a ==+∈=，则有（ ） .Aa A ∈ .B a A -∉ {}.C a A ∈ {}.D a A ∉
12. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
{}.1A x x = {}2.1B x x = {}.1C {}
2.(1)0D y y -= 1
3. 已知集合{}2
320A x ax x =-+=，若A 中至多有一个元素，则a 的取值范围是 14. 集合{}1,,0,,,b a b a b a b a ⎧⎫+=-⎨⎬⎩⎭
则= 15. 已知集合{}
210,.A x x ax a R =++=∈
（1）若A 中只有一个元素，求a 的值；
（2）若A 中有两个元素，求a 的取值范围.
第六讲 集合间的基本关系
1.子集的概念
2.集合相等的定义
3.真子集的定义
4.子集的性质
5.确定集合子集与真子集个数
例1.判断集合A 是否为集合B 的子集。

（1）{}{}1,3,5,1,2,3,4,5,6A B ==
（2）{}{}1,3,5,1,3,6,9A B ==
（3）{}{}
20,20A B x x ==+= （4）{}{},,,,,,,A a b c d B d b c a ==
例2.写出集合{}{},,,,a b a b c 的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

例3.判断下列写法是否正确。

（1）A ∅⊆ (2)A ⊂∅≠ (3)A A ⊆ (4)A A ⊂≠
例4.已知{}{}2230,10,,A x x x B x ax B A =--==-=⊆若求a 的值。

例5.已知集合{}
{}2320,0,1,2,M x x x N =-+==则M 与N 的关系正确的是（ ） .AM N = .B M N ⊆ .C M N ⊂≠ .D N M ⊆
例6.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-。

（1）若B A ⊆,求实数m 的取值范围；
（2）若,x Z ∈求A 的非空真子集的个数。

练习
1. 已知集合{}{}
2320,,05,,A x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈则满足条件 A C B ⊆⊆的集合C 的个数（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
2. 集合{}1,0,1-共有 个子集。

3. 已知集合{{},1,,,A B m B A ==⊆则m= 。

4. 已知集合{}1,0,1,A =-则下列关系式中正确的是（ ） .A A A ⊆ .0B A ⊂≠ {}.0C A ∉ .D A ⊂∅≠
5. 设{}{}13,,,A x x B x x a A B ⊂
=-<≤=>≠若则a 的取值范围是（ ） {}.3A a a ≥ {}.1B a a ≤- {}.3C a a > {}.1B a a <-
6. 设{},,(,),(,)1,y x y R A x y y x B x y x ⎧
⎫∈====⎨⎬⎩⎭
则A,B 的关系是 7. 已知集合{}{}
22,3,44,=3.,A m B m B A =--⊆集合，若则实数m=
8. 集合{}26,,A x x y x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为（ ）
A.9
B.8
C.7
D.6
9. 已知集合{}2,0,1A =,集合{},B x x a x Z =<∈且,则满足A B ⊆的实数a 可以取的一个值是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
10. 已知集合{}{}1,2,20,A B x ax B A ==-=⊆若,则a 的值不可能是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
11. 若集合{}{}260,10,,A x x x B x mx B A ⊂=+-==+=≠求m 的值。

12. 已知{}{}12,13,,A x k x k B x x A B =+≤≤=≤≤⊆求实数k 的取值范围。

13. 已知集合{}{}27,121,,A x x B x m x m B A =-≤≤=+<<-⊆若求实数m 的取值范围。

第七讲 集合的基本运算
1. 并集的定义及性质
2. 交集的定义及性质
3. 全集、补集的定义及性质
例1. 设{}{}4,5,6,8,3,5,7,8,A B A B ==求
例2. 设集合{}{}21,0,1,,,A B a a A B A =-==则使成立的a 的值为
例3. 已知{}{}4,,,A x x B x x a A B R =≤=>=若求实数a 的取值范围。

例4. 设{}{}
2,3,.A x x B x x A B =≥-=≤求 例5. 已知集合{}{}(,)2,(,)4,M x y x y N x y x y M N =+==-=那么集合为（ ）
.3,1A x y ==- .(3,1)B - {}.3,1C - {}.(3,1)D -
例6. （1）若{}{}2,3,4,4,3,S S A C A ===则
(2) 若{}{}{}21,3,21,1,3,5U U a a A C A =++==,则a=
例7. 已知{}{}{}0,2,4,1,1,1,0,2,U U A C A C B B ==-=-=求
例8. (1)已知集合{}{}222,3,42,0,7,42,2,M a a N a a a =++=+--
且{}3,7M N =,求实数a 的值。

（2）设全集{}{}{}21,3,23,21,2,5,U U a a A a C A =+-=-=求实数a 的值。

例9.已知集合{}{}24260,,0,,A x x mx m x R B x x x R =-++=∈=<∈若,A B ≠∅求实数m 的取值范围。

练习
1. 若集合{}{}1,2,3,1,3,4,A B A B ==则的子集个数为
2. 已知全集{}{},0,1,()U U R A x x B x x A
B ==≤=≥=则集合C
3. 已知集合{{},1,,,A B m A B A m ====则（ ）
A.0或3 C.1 D.1或3
4. 已知集合{}{}21,.,P x x M a P M P =≤==若则a 的取值范围是（ ）
A. (],1-∞-
B.[)1,+∞
C.[]1,1-
D.(][),11,-∞-+∞
5. 设{}{}
{}20,1,2,3,0,1,2,U U A x U x mx C A ==∈+==若则实数m= 6. 已知{}{}23,0,R M x x x N x x a N
C M =<≥=-≤≠∅或若(R 为实数集)，则a 的取值范围是 7. 若{}2120,1,A x x x B x A B x ⎧⎫=-<=≤=⎨⎬⎩⎭
则 8. 已知集合{}{}20,1,2,3,30,M N x x x M N ==-<=则
9. 集合{}{}13,242A x x B x x x =-≤<=-≥-，
（1）.A B 求
（2）若集合{}20,C x x a B C C =+>=满足求实数a 的取值范围。

10. 已知非空集合{}{}
2135,322.A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤
（1）当a=10时，求,A
B A B ; （2）求能使()A A B ⊆成立的a 的取值范围。

11. 已知全集{}{}{}321,3,32,1,21,0,U U x x x A x C A =++=-=若求x 的值。

12. 设全集{}{}{}0,24,3782,U x x A x x B x x x =>=≤<=-≥-求
（1）,,(),();U U A B A B C A B C A B
（2）若集合{}20,,C x x a B C C =+>=满足求实数a 的取值范围。

13. 已知集合{}{}22,14.A x a x a B x x x =-≤≤+=≤≥或
（1）当a=3时，求;A B （2）若0,,a A
B >=∅且求实数a 的取值范围。

第八讲 函数的概念
1. 函数的定义
2. 函数三要素
3. 函数定义域及函数值域的求法
4. 区间的概念
例1. 下列图像中不能作为函数()y f x =的图像的是（ ） A ． B ． C ． D ． 例2. 判断下列对应f 是否为从集合A 到集合B 的函数。

（1）,,,2;A R B N x A x x *
==∈→-对于任意的
（2）,,,A N B R x A x ==∈→对任意的
（3）{}()()1,2,3,,1(2)3,34;A B R f f f =====
例3. 已知()()21(1),2(),1f x x R x g x x x R x
=∈≠-=+∈+且求 （1）()()()2,1,2f f a g -的值；
（2）()2f g ⎡⎤⎣⎦的值。

例4. 求下列函数的定义域：
（1）()12
f x x =-
（2）()f x =（3）()()01f x x =-
（4）1
y x
= 例5. 求下列函数的值域：
（1）{}21,1,2,3,4,5;y x x =+∈
（2）[]2
46,1,5;y x x x =-+∈
（3）;y x =
（4）211
x y x +=+ 例6. 下列各组函数中，()()f x g x 与表示同一函数的是（ ）
()().1A f x x g x =-=与 ()()2
.x B f x x g x x
==与
()().C f x x g x ==与 ()()24.22
x D f x g x x x -==+-与 例7. （1）已知函数()f x 的定义域为[]1,3，求函数()21f x +的定义域；
（3）已知函数()21f x +的定义域为[]1,3，求函数()f x 的定义域。

练习
1.下列图像中不能作为函数()y f x =的图像的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.求下列函数的定义域。

（1）(
)2f x =
（2）
1x y +=
（3）()1
2f x x =+
3.判断下列各组函数是否是相等函数。

（1）()()221,1;f x x x g t t t =-+=-+
（2）(
)()f x g x ==
4.已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x +的定义域为 。

5.已知函数()()3,f x f a =若则实数a= 。

6.已知()()()21
,2,21f x g x x f x ==+=+则 ，()2f g ⎡⎤⎣⎦= 。

7.已知函数()21f x +的定义域为12,2⎛⎫
- ⎪⎝⎭，则()f x 的定义域为 。

8.若函数234y x x =--的定义域为[]25
0,,44m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦值域为，-，则m 的取值范围是（
）
A.(]0,4
B.2544⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，-
C.3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.3,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
9.函数()f x 的定义域是[]4,1-，则函数()
221f x y x =-的定义域为 。

10.已知函数()21y f x =-的定义域为[]1,1-，求函数()2y f x =-的定义域。

11.
求下列函数的值域。

（1）1y =
（2）[)223,0,3y x x x =-+∈
（3）213
x y x +=-
（4）2y x =
12.已知函数()16
f x x =-- （1）求()f x 的定义域。

（2）求()()1,12f f -的值。

13.已知函数()[]2
210,1f x x ax a x =-++-∈在上有最大值2，求a 的值。

第九讲 函数的表示方法
1. 函数的三种表示方法
2. 分段函数
3. 映射
例1. 已知函数()(),f x g x 分别由下表给出
则()1f g ⎡⎤⎣⎦的值为 ；()2g f ⎡⎤⎣⎦的值为 。

例2. 已知()f x =[)(){223,,021,0,x x x x +∈-∞+∈+∞，()()0,1f f f -⎡⎤⎣⎦求的值。

例3. (1)作出函数1y x =-的图像。

（2）图中的图像所表示的函数的解析式为（ ）
A.()31022y x x =-≤≤
B.()3310222
y x x =--≤
B.()31022
y x x =--≤≤ D.()1102y x x =--≤≤ 例4.（1）{}10,1,2,0,1,,2A B f ⎧
⎫==⎨⎬⎩⎭：取倒数，可以构成映射吗？
（2）有一个映射:,f A B →使集合A 中的元素(),x y ，映射成B 中的元素(),x y x y +-，则在映射的作用下：①()2,1的象是 ；②()2,1的原象是 。

例5.函数()f x ={22,22,2x x x x +≤>，若()008,f x x ==则 。

例6.直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 。

练习
1. 设函数()f x =21,1
2,1,x x x x
+≤>⎧⎨⎩()3f f =⎡⎤⎣⎦则 。

2. 已知a<0,函数()f x =
{2,12,1x a x x a x +<--≥ ，若()()11,f a f a -=+则a 的值为。

3. 设函数()f x =1,021,0x x x x -≥<⎧⎨⎩，若
(),f a a =则实数a 的值是 。

4. 设函数()f x ={2222,0
,0x x x x x ++≤->，若()()2,f f a a ==则 。

5. 已知函数()f x ={232,1,1x x x ax x +<+≥，若()04f f a =⎡⎤⎣⎦，则实数a= 。

第十讲 抽象函数解析式的求法
1. 配凑法
例1.
f （x-1）=x+1，求f （x ）的解析式.
2. 换元法
例2.
f （1+x ）=x+2x ，求f （x ）.
3. 待定系数法
例3. 已知f(x)=ax 2
+b x +c,若f(0)=0，且f(x+1)= f(x)+x+1,求f(x). 4. 构造方程组
例4.
()f x 满足：()2()32f x f x x --=+，求()f x . 练习
1． 已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.
2． 已知f(x+1)=x 2-3x +2, 求f(x)的解析式.
3． 已知221)1
(x
x x x f +=-, 求)(x f 的解析式. 4.已知2111()x x f x x x
++=+，求()f x
5.已知21)f x =+()f x
6.若一次函数()f x 满足：[()]41f f x x =-，求()f x
7.若一次函数()f x 满足：{[()]}87f f f x x =+，求()f x
8.已知二次函数()f x 满足：2(1)(1)24f x f x x x ++-=-求()f x
9. ()f x 满足：12()()1f x f x x -=+求()f x
10. 设函数)(x f 是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式x x
f x f 4)1
(2)(3=+,求)(x f 的解析式.。