《概率论与随机过程》课程自学内容小结

大学2015～2016学年秋季学期本科生
课程自学报告
课程名称：《概率论与随机过程》
课程编号：07275061
报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生：
学号：
任课教师：
成绩：
评阅日期：
随机序列在通信加密的应用
2015年10月10日
摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。

但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。

本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。

1. 引言
在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。

从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。

长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。

本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。

2. 自学容小结与分析
2.1 随机变量的特征函数
在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。

特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为：
定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==⎰
+∞
∞
-
(1)
性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。

性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。

类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。

性质2 求矩公式：0)(|)
()(][=-=u n
u x n n n du C d j X E
(2)
性质3 级数展开式：!)(][!|)()()(0
00n ju X E n u du u C d u C n n n n n n n n X ∑∑∞
==∞
=== (3) 2.2 大数定律与中心极限定理
定义2 大数定律：设随机变量相互独立，且具有相同的μ=)(k X E 和,...2,1,)(2
==k X D k σ,
则0∈>∀,有
11lim 1=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<∈-∑=∞
→n k k n X n P μ (4)
这验证了人们的猜想：大量随机现象的平均结果一般也具有稳定性。

定义3 中心极限定理：设随机变量相互独立，服从同一分布，且μ=)(k X E 和
,...2,1,0)(2
=≠=k X D k σ,则随机变量σ
μn n X Y n k k n
∑=-=
1
的分布函数)(x F n 满足：
dt e x n n X P x F t X n
k k
n n n 21221lim )(lim -∞-=∞→∞→⎰∑=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=πσμ (5)
要求随机变量之和落在某个区间上的概率，只要把它标准化，用正态分布作近似计算即可。

2.3 随机序列及其统计特性
随机序列是对随机信号采样得到的结果，按信号的时间和状态可以分为连续型随机序列 （时间离散、幅度连续）和离散型随机序列（时间和幅度都离散）。

其中，后者在计算机处理中得到了广泛的应用。

将连续随机过程)(t X 以s t 为间隔进行等间隔抽样（记录），即得随机序列，表示为： ∞--∞=-=,...,1,0,1,...,),()(j jt t t X X s j δ (6)
由此可以看出一个N 点的随机序列可以看成是一个N 维的随机向量。

均值向量为：
[
]
T
x x x x x
x x N N m m m m m m X E M 110
110][--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡== (7)
自相关矩阵:
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==------1,11
,10
,11,11110
1,00100][N N N N N N T X r r r r r r r r r XX E R
(8) 协方差矩阵：
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=--=------1,11
,10
,11,111101,00100]))([(N N N N N N T
X X X c c c c c c c c c M X M X E C
(9) 容易证明，协方差矩阵与自相关矩阵有如下的关系：
T
X X X X M M R C -= (10)
性质1 对称性：T
X X R R =
性质2 半正定性：对任意N 维（非随机）向量F ，成立 0≥F R F X T
值得注意的是，协方差矩阵的每一个元素反映的是随机向量X 的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方差。

2.4 随机序列的功率谱密度
由于随机序列)(n X 的自相关函数是一离散函数，故由离散傅立叶变换可得： ∑∞
-∞
=-=k k j X
X e k R
G ωω)()(
(11)
由此推得：
)()()()(2
ωωωωX k k j Y
Y G H e k R
G ==∑∞
-∞
=-
(12)
2.5 随机序列通过离散线性系统
对于在区间[0,1]上均匀分布的独立随即序列j X ，通过q 阶FIR 滤波器有： ∑=---=+++=q
i i
j i q j q j j j X
b X b X b X b Y 0
110 (13)
其自相关函数满足
⎪⎩
⎪⎨⎧>==∑-=+q k q k b b k R k q i k i i x
Y ||,0,...,1,0||,)(02σ
(14)
3. 伪随机序列在通信加密中的应用
加密的基本思想是：用m 序列将携带信息的数字信号在统计结构上随机化，即“白化”，以达到隐藏信息的目的，对于0，1序列，在实现时只要用m 序列与元信号进行异或，得到的密文是类似于白噪声的伪随机序列。

将这种加密序列在信道里传输，被他人窃听也无法理解其容。

解密时只有用完全相同的m 序列对密文再次进行异或，才能还原出原信号。

图1 加密的原理框图
3.1 m 序列产生器
用线性反馈移位寄存器构成m 序列产生器，关键是由特征多项式来确定反馈线的状态。

图
2为4级m 序列产生的逻辑框图。

图2 m 序列产生器 对应的本原多项式为：
给寄存器赋除全零外的任何二进制序列作为初始值，当移位时钟脉冲上升沿到来时，每级寄存器的输出作为近邻寄存器的输入，实现数值的右移。

其中，第4级与第3级的输出模二加（异或）后移入第1级寄存器。

产生一个长度为15个时钟脉冲周期的二进制伪随机序列。

3.1.3利用中心极限定理确定投注数字和的围
统计市体育彩票中间号数据，得到0到9各数字出现的次数和频率，除数字9外，各数字出现的频率有向0.1靠近的趋势，为方便起见，不妨设0到9各数字出现的概率均为0.1。

记随机变量{} ,2,1,=i X i 为第i 次确定的数字，易见{} ,2,1,=i X i 相互独立同分布，
{} ,2,1,=i X i 的数学期望和方差为25.8,5.4==DX
EX i ，令n n X X 717++= ξ是连续n
期中奖号各位数字总和，由和式和独立性，可得n D n E n n 75.57)(,5.31)(77==ξξ，由中心极限定理，当7n 充分大时，有
)1,0(~75.575.317N n
n
n -ξ，那么n 7ξ的保证概率为0.6827的估计区间
是)75.575.31,75.575.31(n n n n +-，在第n+1期投注时，应考虑把区间[24.39]的上下限增大。

策略三： 若连续n 期中奖号的7n 个数字之和n 7ξ靠近n n 75.575.31+或
n n 75.575.31-，就适当下调或上调区间[24,39]的上下限，所得区间作为第n+1期投注的七
个数字之和的围。

3.2 结果说明
文中用极限定理观察中奖的运动趋势，要求观察次数足够多。

在策略二中，n 的围以
5030≤≤n 为宜；在策略三中，最好75≤≤n ，即连续观察5至7期中奖号的数字。

由于煤
气彩票特等奖只有一个，备选数字配置的所有有可能不包括特等奖，不过它覆盖部分中奖的概率非常大，对于仅期望能中奖的彩民，可以按文中介绍的三个策略有节制地购买彩票。

参考文献
[1] 王永德，王军 随机信号分析基础，，电子工业，2013：11-110
[2] 封希媛，大数定律与中心极限定理在实际中的应用[J]，师大学学报第二版，2006 [3] 恒，概率论与数理统计教程，高等教育，2010：111-115
[4] 唐莉，雁如，大数定律与中心极限定理的实际应用，，技术师学院学报，2005-08-20。