初中数学教程一次函数的应用——分段函数
一次函数的应用—分段函数课件全文
2、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着 时间的增加而减少.干旱持续时间t(天)与蓄水量V(万 米3 )的关系如图所示,回答下列问题：
V/万米
3 1200
A
1000
(1)干旱持续10天，蓄水量为 多少？连续干旱23天呢？
800
600
400
200
B
0 10 20 30 40 50 60 70 t/天
间之间的关系？
当t=0时,s=0,所以L1表示B到海岸的距离
与追赶时间之间的关系.
（2）A、B哪个速度快？B的速度快
s (海里) L1 L2
12
（3）15分内B能否追上A？不能
10
P
（4）如果一直追下去，那么B能否追上A？能 5
（5）当A逃到离海岸12海里的公海时，B 将无法对其进行检查。照此速度，B能否在
y与x的函数表达式也可以合起来表示为
0.6x （0≤x≤160）， y=
0.7x-16 （x＞160）.
（2） 该函数的图象如图4-16.
该函数图象由两个 一次函数的图象拼接在 一起.
图4-16
（3）当x = 150时， y = 0.6×150=90， 即3月份的 电费为90元.
当x = 200时，y = 0.7×200-16=124， 即4月份的电费为124元.
10 5
O 5 10 15 t
1
●
O1
●
2 3t
（3）当t=300时，
A方案： y = 25+0.36t=25+0.36×300=133（元）；
B方案： y = 0.5t=0.5×300=150（元）.
所以此时采用A方案比较合算.
一次函数应用——分段问题
某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2后血液中的含药量最高，达每升6，接着逐步衰减，10后血液中的含药量为每升3，每升血液中的含药量随时间的变化情况如图所示．当成人按规定剂量服药后：(1)分别求出≤2和≥2时，与之间的函数关系式；(2)如果每升血液中的含药量为4或4以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有效时间是多长?【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令≥4，分别求出的取值范围，便可得出这个药的有效时间． 【答案与解析】解：(1)由图知，≤2时是正比例函数，≥2时是一次函数．设≤2时，，把(2，6)代入，解得＝3， ∴ 当0≤≤2时，．设≥2时，，把(2，6)，(10，3)代入中，得，解得，即．当＝0时，有，． ∴ 当2≤≤18时，．(2)由于≥4时在治疗疾病是有效的，∴ ，解得． 即服药后得到为治病的有效时间， 这段时间为．【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．h mg h mg y mg x h x x y x mg mg y x x x x y kx =y kx =k x 3y x =x y k x b '=+y k x b '=+26103k b k b '+=⎧⎨'+=⎩38274k b ⎧'=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩32784y x =-+y 327084x =-+18x =x 32784y x =-+y 34327484x x ≥⎧⎪⎨-+≥⎪⎩42233x ≤≤43h 223h 224186()333h -==24．（2013•荆州）如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售完毕．他将本次销售情况进行了跟踪记录，根据所记录的数据可绘制的函数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图乙所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）分别求出第10天和第15天的销售金额；（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多少元？考点：一次函数的应用分析：（1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20，针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．由于第10天和第15天在第10天和第20天之间，当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式为p=mx+n，由点（10，10），（20，8）在p=mx+n的图象上，利用待定系数法求得p与x的函数解析式，继而求得10天与第15天的销售金额；（3）日销售量不低于24千克，即y≥24．先解不等式2x≥24，得x≥12，再解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有5天；然后根据p=﹣x+12（10≤x≤20），利用一次函数的性质，即可求出在此期间销售时单价的最高值．解答：解：（1）分两种情况：①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k1x，∵直线y=k1x过点（15，30），∴15k1=30，解得k1=2，∴y=2x（0≤x≤15）；②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k2x+b，∵点（15，30），（20，0）在y=k2x+b的图象上，∴，解得：，∴y=﹣6x+120（15＜x≤20）；综上，可知y与x之间的函数关系式为：y=；（2）∵第10天和第15天在第10天和第20天之间，∴当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，∵点（10，10），（20，8）在z=mx+n的图象上，∴，解得：，∴p=﹣x+12（10≤x≤20），当x=10时，p=10，y=2×10=20，销售金额为：10×20=200（元），当x=15时，p=﹣×15+12=9，y=30，销售金额为：9×30=270（元）．故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元；（3）若日销售量不低于24千克，则y≥24．当0≤x≤15时，y=2x，解不等式2x≥24，得x≥12；当15＜x≤20时，y=﹣6x+120，解不等式﹣6x+120≥24，得x≤16，∴12≤x≤16，∴“最佳销售期”共有：16﹣12+1=5（天）；∵p=﹣x+12（10≤x≤20），﹣＜0，∴p随x的增大而减小，∴当12≤x≤16时，x取12时，p有最大值，此时p=﹣×12+12=9.6（元/千克）．故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高为9.6元．点评：此题考查了一次函数的应用，有一定难度．解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．23.（本小题满分8分）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）.商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元.已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）.方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）⑴请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式.⑵小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？⑶有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法.23.（8分）解：（1）1o当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x）×20=20x＋2840 (元／平方米)2O当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000+（x－8）·40=40x＋2680(元／平方米) ∴{8)x (22840,20x 23)x (92680,40x ≤≤+≤≤+=y , x 为正整数 ………………………２分（2）由（1）知：1o 当2≤x ≤8时，小张首付款为 （20x ＋2840）·120·30%=36（20x ＋2840）≤36（20·8＋2840）=108000元＜120000元∴2～8层可任选 …………………………１分 2o当9≤x ≤23时，小张首付款为（40x ＋2680）·120·30%=36（40x ＋2680）元36（40x ＋2680）≤120000，解得：x ≤3116349= ∵x 为正整数，∴9≤x ≤16 …………………………１分综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。
人教版初中数学八下 小专题(十八) 一次函数的应用——分段函数问题
（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？
2.随着信息技术的快速发展，“互联网＋”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在 线学习交流已不再是梦.现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 费/元
7 m
包时上 网时间/h
25 n
超时费/ （元·min－1）
0.01
0.01
小专题（十八） 一次函数的应 用——分段函数问题
1.为工作需要，一辆货车先从甲地出发运送物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送 专家到乙地.已知甲、乙两地间的路程是330 km，货车行驶时的速度是60 km/h.两 车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数图象如图. （1）求出a的值；
（2）求轿车离甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数解析式；（不要求写出自 变量的取值范围）
设每月上网学习时间为x h，A，B两种方式的收费金额分别为yA，yB.
（1）如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m＝ 10 ，n＝ 50 ； （2）写出yA与x之间的函数关系式；
（3）选择哪种方式上网学习划算，为什么？
解：（3）当0≤x≤50时，yB＝10； 当x＞50时，yB＝10＋（x－50）×0.01×60＝0.6x－20. 令yA＝10，则有0.6x－8＝10， 解得x＝30. 画图易得当0≤x＜30时，选择A种方式上网学习划算； 当x＝30时，选择A，B两种方式上网学习费用相同； 当x＞30时，选择B种方式上网学习划算.
一次函数的应用(分段函数)
交通流量的分段函数模型
总结词
交通流量的分段函数模型能够根据交通流量的变化规 律，优化交通管理，提高道路通行效率。
详细描述
交通流量在不同时间段和不同路段的分布是不均匀的。 分段函数可以根据交通流量的变化规律，将流量数据划 分为几个不同的区间，每个区间用一次函数表示。这种 模型可以帮助交通管理部门更好地了解交通流量的分布 情况，预测未来的交通流量，从而制定合理的交通管理 措施，缓解交通拥堵，提高道路通行效率。同时，分段 函数模型还可以用于交通信号灯的控制、停车场的泊位 分配等方面，提高整个交通系统的运行效率。
分段函数与极限的结合
01
02
03
极限的定义
分段函数在某点的极限是 指当自变量趋近于该点时， 函数值的趋近值。
极限的性质
分段函数在某点的极限存 在，则该点的左右极限相 等且等于该点的函数值。
极限的计算
通过求分段函数在某点的 左右极限，可以确定该点 的极限值。
分段函数与导数的结合
导数的定义
分段函数在某点的导数表 示该点附近函数值的切线 斜率。
总结词
分段函数在计算机科学中常被用于实现一些特定的算法和数据结构。
详细描述
例如，在一些排序算法中，分段函数可以用来实现快速查找和定位数据元素的功能。此外，在一些数据压缩算法 中，分段函数也被用来实现高效的数据压缩和解压缩。同时，在一些人工智能算法中，分段函数也被用来实现分 类和预测等功能。
04 分段函数与其他数学知识 的结合
03 分段函数在生活中的应用
经济学中的分段函数应用
总结词
分段函数在经济学中有着广泛的应用，主要用于描述和分析各种经济现象和规 律。
详细描述
八年级数学：一次函数的应用——分段函数 练习(含答案)
八年级数学：一次函数的应用——分段函数练习（含答案）练1. 已知一次函数y=2x+4的图象上有两点A（3,a）,B（4,b）,则a与b的大小关系为_________练2 一次函数y=(m2+3)x-2,y随x的增大而_________练3 函数y=(m – 1)x+1是一次函数,且y随自变量x增大而减小,那么m的取值为______.练 4 如图,点A(x1,y2)与点B(x2,y2)都是直线y=kx+b上的点,且x1<x2,试比较y1 y2练2：为缓解用电紧张,某电力公司特制定了新的用电收费标准,每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.（1）根据图象,请分别求出当0≤x≤50和x＞50时,y与x的函数解析式.（2）请回答：当每月用电量不超过50度时,收费标准是；当每月用电量超过50度时,收费标准是练3 小芳以200米/分的速度起跑后,先匀加速跑5分,每分提高速度20米/分,又匀速跑10分。
试写出这段时间里她的跑步速度y （米/分）随跑步时间x (分）变化的函数关系式,并画同函数图象.练4 学校组织学生到距离6千米的展览馆参观,学生王军因故未能乘上学校的包车,于是在校门口乘出租车,出租车收费标准如下：（1）写出费用y与行驶里程x之间的函数关系式,并画出函数图象（2）王军仅有14元钱,他到展览馆的车费是否足够？春、秋季节,由于冷空气的入侵,地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”．由霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害．某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时,即遭受霜冻灾害,需采取预防措施．右图是气象台某天发布的该地区气象信息,预报了次日0时～8时气温随时间变化情况,其中0时～5时,5时～8时的图象分别满足一次函数关系．请你根据图中信息,针对这种植物判断次日是否需要采取防霜冻措施,并说明理由．y/ oCO x/时参考答案。
一次函数的应用(分段函数)教学实录
一次函数的应用（分段函数）教学实录设计说明：本文是人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》八年级上第十一章的内容．本节内容是中考的一个热点，因此我特设计了一节课的教学．我以问题的形式将学习内容展现给学生，让学生的思维在问题的牵动之下实质性的动起来．通过学生的自主探究、合作交流，培养学生的合作精神和创新能力；通过教师的引导与点拨，形成热烈而有序的师生互动场面．1创设情景，导入新课师：同学们，你们还记得龟兔赛跑的故事吗？生：（齐答）记得．师：谁来讲给大家听听？生1：（上讲台讲）一天，乌龟和兔子赛跑，他们来到了同一个地方同时起跑，不多一会，兔子将乌龟甩下很远，它想，乌龟跑得也太慢了吧，我来睡一觉它也跑不赢我，于是就呼呼的睡了起来．但乌龟仍然坚持不懈，等兔子一觉醒来后，发现乌龟马上就要到终点了，它赶快追也来不及了，最终乌龟先达到了终点．师：这个故事告诉我们一个什么道理？生2：我们不管做什么事都不要骄傲，要有危机感，应该不断进取．生3：我们要学习乌龟奋勇拼搏、勇往直前的精神，“笨鸟先飞”“勤能补拙”嘛．图1师：同学们说得真好！这是乌龟赛跑的路程图像，你能说出哪一个是乌龟的路程图像，哪一个是兔子的路程图像吗？（出示图像），如图1生4：图像甲是乌龟的路程图像，图像乙是兔子的路程图像．生5：乌龟的路程图像是以原点为端点的线段，它是正比例函数图像的一部分；乙是以原点为起点的折线．师：兔子运动的路程图像又是什么函数的图像呢？这种函数的解析式应该怎样来表示呢？（学生疑虑，产生期待的眼神）今天我们就一起来探讨吧！（设计意图：通过讲故事来加强对学生的思想道德教育，同时复习了正比例函数的图像；通过对“兔子运动的路程图像又是什么函数的图像”这一问题的设置，激发学生的学习欲望，导入新课的学习．）2抛出问题，学生探讨小芳以200m/分钟的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分钟速度提高20m/分钟,又匀速跑了10分钟．试写出这段时间里她的跑步速度y(单位：m/分）随时间x（单位：分钟）变化的函数关系式，并画出函数图像．师：默读问题，你能从本题中获取哪些信息？生6：小芳在整个运动过程中的速度变化分两个部分：先是加速，然后匀速．生7：我接着生6的说，我觉得在写函数关系式时应该分两部分，考虑到实际情况，自变量x的取值范围应该是：0≤x≤5和5＜x≤15．师：（疑惑）我们以前都是用一个解析式来表示一个函数，他的说法对吗？生8：我觉得生7的说法是正确的，因为y在整个变化过程中分两部分，而且这两部分的意义不相同，所以，不能用同一个解析式来表示两个不同的意义，只能用两个解析式来表示．生9：能求出第一分钟的速度为220m/分，第二分钟的速度为240m/分钟，第三分钟的速度为260m/分钟……师：有这个必要把每分钟的速度分别求出来吗？生10：没有，因为在前5分钟，每分钟提高的速度都是20m，可以用含有x的代数式去表示y，即 y=200+20x (教师板书）师：在5＜x≤15这个范围内应抓住什么去理解呢？生11：我觉得“匀速”一词很关键．“匀速”则说明了速度不变，也就是说y不随时间x的变化而变化．所以在5＜x≤15这个范围内的速度为200+20×5=300m/分．师：因此，在5＜x≤15这个范围内的解析式可表示为：y=300(教师板书）生：（疑惑，纷纷议论）这不是用含x的代数式去表示y 的呀，它是一个函数的解析式吗？师：当y不随自变量的变化而变化时，y就是等于一个常数，我们把它叫做常值函数（学生的脸上顿时绽开了笑容），你会画这个函数的图像吗？生12：会，应该画两段．生13：我把生12的补充完整．因为小芳有初速度，所以第一段应该是以（0，200）为起点到（5，300）为终点的一次函数的图像的一部分；因为在5＜x≤15这个范围内速度未变，所以，第二段应该是以（5，300）为起点到（15，300）为终点的线段．师：说得太好了！我们以热烈的掌声鼓励他．（学生画出图像）通过完成本题你有什么收获？生14：今天的例题要用两个解析式来表示一个函数，它的图像是由两条线段构成的折线段．生15：我知道了常值函数的图像平行于坐标轴．（x轴）生16：做今天学习的这类题就是要找准题目中有几层意思（或者自变量几段范围），每一层意思都要用一个解析式来表示，有几层意思，就要用几个解析式来表示这个函数．师：我们把今天学习的这种函数叫分段函数．（板书课题）3及时练习，巩固知识如图2，某市出租车收费标准如下：3km以内收费6元；3km到10km部分每千米加收1．3元；10km以上的部分每千米加收1．9元．那么出租车收费y(单位：元）与行驶路程x(单位：km）的函数关系用图像表示为（）．图2生17：应该选（B）．因为所给问题向我们表达了三层意思，即0＜x＜3, 3≤x＜10,10＜x，所以应写成三个解析式，故排除了（A）、（C），又因为在10＜x这个范围内每千米加收1．9元，比在3≤x＜10这个范围内的每千米加收的多，图像应继续呈上升趋势，所以排除（D），故应选（B）．4继续练习，加深理解某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费的办法．某户居民应交水费y(单位：元）与用水量x(单位：吨）的函数关系式图3如图3：（1）分别写出当0≤x≤15和15≤x时，y与x的函数解析式；（2）某用户该月用水21吨，则应交水费多少元？师：比较此题与例题有什么不同？生18：例题是先根据题意写解析式，再画图像；此题则是先有图像，再根据图像求解析式．师：对于此类题应该认真观察图像，从图像中挖掘出条件，然后根据以前学习的知识求解．生19：从图像中我观察到了该图像分两段，即0≤x＜15和15≤x两部分，则应写出两个解析式．生20：第一段是经过原点的正比例函数图像的一部分，因此，可设y=kx (k≠0)，将点（15，20）的坐标代入y=kx 中即可求解；第二段是一次函数的图像的一部分，可设y=kx+b (k≠0)，将点（15，20）和（20，30）的坐标代入y=kx+b中即可求解．师：说得真好！你们自己在练习本上完成吧（教师巡视，指导差生）．5运用知识，深化理解师：同学们，这节课我们教室里有这么多的老师听课，你们紧张吗？（学生纷纷议论）人的紧张程度是由人的心跳次数表现出来的，如果用横轴t表示时间，纵轴y表示心跳次数，你能用函数图像大致表示出这节课你的心情变化吗？抽三名不同心情变化的学生在黑板上画，其余的同学在练习本上画，如图4．图4（三位同学画好后，其余的同学在议论并不时发出笑声）师：老师刚才观察到了有的同学在笑，我想一定有蹊跷吧，谁来告诉我．生24：生22画错了，y轴表示心跳次数，函数图像不能从（0，0）开始，若从（0，0）开始表示以前没有心跳（此时师生笑开了），应该从y轴的正半轴某个点开始．此时生22很不好意思．师：我知道，大家的笑声中不是对该同学的嘲讽，而是在提醒他在以后的作业中要细心．从这个错例也给我们每位同学警示，在画函数图像时要考虑到自变量的实际情况，不要只为画图而画图，否则就容易闹出笑话．（设计意图：通过这个环节的设置，让学生明白数学知识能解决生活实际问题，通过对生22的评析更让学生深刻体会到学习数学来不得半点马虎，必须事实求是，尊重事实，养成理论联系实际去分析问题的习惯．）图5师：听语文老师说，我们班的同学想象很丰富，能自己编故事，你能看着这个图像编一个故事吗？图5反映了一个人离家的距离y(单位：km)与时间（单位：x)的关系，请你根据图像编一个故事．此时课堂又热闹起来了……（设计意图：对这个环节的设置旨意在于培养学生的创新意识和口头表达能力，同时使整节课首尾呼应，浑然一体．）（在写稿过程中得到了陶兴模老师的指导，在此表示感谢！）“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。
一次函数之分段函数的实际应用导学案
. 2.一次函数的图象是一条一次函数的图象是一条 . 3.正比例函数的表达式是：正比例函数的表达式是： . 4.正比例函数的图象是过正比例函数的图象是过 的 . 二 、探究交流探究（一） 下面的图象反映的过程是，张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后散步走回家。
图中x 表示时间，y 表示张强离家的距离。
表示张强离家的距离。
根据图象口答下列问题：根据图象口答下列问题：（1）体育场离张强家多远？）体育场离张强家多远？（2）张强从家到体育场用了多少时间？）张强从家到体育场用了多少时间？（3）体育场离文具店多远？）体育场离文具店多远？（4）张强在文具店停留了多少时间？）张强在文具店停留了多少时间？y/千米千米 x/分钟分钟 2.5 1.5 0 15 30 45 65 90 一次函数——分段函数的实际应用教学目标知识与技能：1、理解一次函数之分段函数的实际意义。
、理解一次函数之分段函数的实际意义。
2、能将简单的实际问题转化为数学问题能将简单的实际问题转化为数学问题（建立（建立一次函数模型），会从图像中获取数学信息，根据已知条件确定其解析式，明确自变量取值围。
值围。
3、能灵活应用一次函数的图像和性质及数形结合的思想解决实际问题合的思想解决实际问题过程与方法：经历看图、识图、解决问题的过程，提高学生的应用能力，在解决问题中培养学生的用数学意识。
，。
意识。
，。
情感态度价值观：通过探究学习，培养合作交流精神．教学重点：识图、获取信息用一次函数的知识解决实际问题。
：识图、获取信息用一次函数的知识解决实际问题。
教学难点：建立一次函数模型解决实际问题。
教学方法：观察法、引导发现法、自主探究、合作交流，。
：观察法、引导发现法、自主探究、合作交流，。
教学过程：一、预习检测1.一次函数的表达式是：一次函数的表达式是：（5）张强从文具店回家的平均速度是多少？）张强从文具店回家的平均速度是多少？练习：梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子，如果一次购买10千克以上（不含10千克）的种子，超过10千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y （元）与一次购买种子数量x （千克）之间的函数关系如图所示.下列四种说法：下列四种说法：①一次购买种子不超过10千克时，销售价格为5元/千克. ②一次购买50千克种子时，付款金额为150元. ③一次购买5千克种子时，付款金额为12.5元④一次购买20千克种子和分两次购买且每次购买10千克种子花的钱一样多. 其中正确的是其中正确的是 （填序号）. 探究（二）：【陕西2013副题】某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费，如图是居民每户每月的水（自来水）费y （元）与所用的水（自来水）量x （吨）之间的函数图象。
一次函数的综合应用分段函数
0.5 2.5
1 5
1.5 7.5
2 10
2.5 12
3 14
3.5 16
4 18
… …
（2）写出购买种子数量与付款金额之间的函数解析式，并画出函数图象。 解：设购买种子数量为x千克，付款金额为y元。
当0≤x ≤2时，y=5x。 当x ＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2
y（元）
14 10
y=4x+2
则他在该月份的上网时间__________．
解：（1）由图像得当0≤x≤30时，y=60 所以4月份上网20小时，应付上网费60元
Page 6
(2) 当x≥30时，设函数解析式为y=kx+b，
k=3 b= -30
∵函数图像经过 A(30，60), C(40，90)两点， 30k+b=60 40k+b=90
20k+b =1000 30k+b =4000 (2)设函数解析式为y=kx+b,由图像知 4000 3000 2000
解得:
k=300 b=-5000
1000
10 20 30 x(t)
0 ∴当x≥20时，y与x之间的函数解析式是y=300x-5000.
(3)由图知 当 y=7000 时，在函数 y=300x-5000 上，所以将
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例2.某农户种植种经济作物，总用水量y(m3)与种植时间x(天）之间的函数 关系式如图所示。
（1）第20天的总用水量为多少米3？
（2）当x≥20时，求y与x之间的函数解析式； （3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3 。 y(m3) 3 解：(1) 由图像可知，第20天的总用水量为1000米 当 x≥20 时函数经过点 （20,1000） 及 点 （30,4000），将两点代入 y=kx+b 得
八年级数学：一次函数的应用--分段函数 教案(沪科版)
八年级数学：一次函数的应用--分段函数 教案（沪科版）定义：一般地，如果有实数a 1，a 2，a 3……k 1,k,2k 3……b 1,b 2,b 3……且a 1≤a 2≤a 3……函数Y 与自变量X 之间存在k 1x+b 1 x ≤a 1y = k 2x+b 2 a 1≤x ≤a 2 ① 的函数解析式，则称该函数解析式为X 的分段函数。
K 3x+b 3 a 2≤x ≤a 3 … … … …应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K 1X+b 1 Y=K 2X+b 2……等几个不同函数的简单组合,而k 1x+b 1, k 2x+b 2 ……是函数Y 的几种不同的表达式.。
所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X 和110×80%X 是同一函数中的自变量X 在两种不同取值范围内的不同表达式。
(二),由于k 1,k 2,k 3……b 1,b 2,b 3是实数,所以函数Y 在X 的某个范围内的特殊函数,如正比例 函数和常数函数。
(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。
(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。
分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.一、话费中的分段函数例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：（１）月通话为100分钟时，应交话费元；（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？图1分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60则有4010060200k bk b=+⎧⎨=+⎩,解之得1520kb⎧=⎪⎨⎪=⎩所求函数关系式为1205y x=+..（3）把x=280代入关系式1205y x=+,得128020765y∴=⨯+=即月通话为280分钟时，应交话费76元．二、水费中的分段函数例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y (元)与用水量x (吨)的函数关系如图2. (1)分别写出当0≤x ≤15和x ≥15时,y 与x 的函数关系式; (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x ≤15时y 是x 的正比例函数; x ≥15时,y 是x 的一次函数.解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =591527=,所以y =59x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得⎩⎨⎧=+=+5.3920,2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5所以y =2.5x -10.5 图2 (2)当该用户该月用21吨水时, 三、电费中分段函数例 3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？图3分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ; 设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得⎩⎨⎧=+=+.89130,65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15 综上可得0.65(0100)0.815(100)xx y x x ⎧=⎨-⎩≤≤≥(2)用户月用电量在0度到100度之间时,每度电的收费的标准是0.65元;超出100度时,每度电的收费标准是0.80元.(3)用户月用电62度时,用户应缴费40.3元,若用户月缴费105元时,该户该月用了150度电.分段函数，是近几年中考数学中经常遇到的题型。
一次函数的应用------分段函数教学设计
一次函数的应用------分段函数教学设计教学设计：一次函数的应用（分段函数）教学目标：1.理解分段函数的概念和特点；2.掌握分段函数的图像绘制；3.能够应用分段函数解决实际问题。
教学准备：1. PowerPoint课件；2.笔记本电脑和投影仪；3.纸和铅笔；4.实际问题的案例。
教学过程：一、引入（10分钟）1.导入上节课所学的一次函数的内容，复习一次函数的定义、特点和图像；2.出示一个实际问题的案例，比如：在电商平台上购物，运费规则如下：购买金额不满50元，运费为5元；购买金额超过50元但不满100元，运费为2元；购买金额超过100元，运费免费。
请思考：如何用一次函数来表示这种运费规则？二、理论讲解（20分钟）1.提出一个问题：如何表示不同情况下的运费？引入分段函数的概念。
2.讲解分段函数的定义：一个函数由两个或多个不同的函数组成，每个函数只在一些区间内有效，并且它们的定义域互不重叠。
3.引导学生理解分段函数的图像：将每个函数的图像分别绘制在坐标轴上，形成一个整体的图像。
4.解释如何表示购买金额与运费之间的关系：a.当购买金额小于50元时，运费为5元；b.当购买金额大于等于50元且小于100元时，运费为2元；c.当购买金额大于等于100元时，运费为0元。
三、图像绘制（30分钟）1.在黑板上绘制坐标轴，并标明适当的刻度；2.通过教师讲解和示范，绘制出分段函数的图像，包括每个函数的图像和整体的分段函数图像；3.引导学生练习绘制分段函数的图像，并核对答案。
四、实际问题解决（30分钟）1.出示一个购物金额的实际问题，如：小明在电商平台上购买了不同金额的商品，请计算小明需要支付的运费。
2.引导学生根据分段函数的图像，解决实际问题，并计算出小明的运费。
3.给出几个类似的实际问题，让学生分组讨论并解决。
4.随机选择几组学生进行演示和讨论，并总结解决实际问题的方法和步骤。
五、概念巩固与拓展（10分钟）1.出示几个类似的运费问题，让学生利用分段函数的概念解决；2.引导学生思考更加复杂的实际问题，并提供辅助材料，让学生尝试解决。
一次函数的综合应用分段函数
通过代入不同的$x$ 值，可以求得对应的 $y$值，从而在坐标 系中描点作图。
一次函数的性质
增减性
根据斜率的正负判断函数的增减性。
单调性
单调递增或递减取决于斜率的正负。
奇偶性
一次函数不具备奇偶性。
02 分段函数的基本概念
分段函数的定义
01
分段函数是由多个不同的函数段 组成，每一段都有自己的定义域 和表达式。
一次函数的综合应用与分段函数
目录
• 一次函数的基本概念 • 分段函数的基本概念 • 一次函数与分段函数的综合应用 • 分段函数在实际问题中的应用 • 一次函数与分段函数的解题技巧
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
截距
形如$y = kx + b$（$k neq 0$）的 函数，其中$x$和$y$是变量，$k$和 $b$是常数。
问题。
分段函数则可以用于建立更复杂 的数学模型，例如分段定义的函 数、具有不同变化率的函数等。
通过数学建模，我们可以利用一 次函数和分段函数的性质和特点，
更好地理解和解决实际问题。
04 分段函数在实际问题中的 应用
分段函数在经济学中的应用
01
02
03
价格策略
分段函数可以用于描述商 品在不同价格区间的销售 策略，例如打折、促销等。
当$x = -b/k$时，$y$的值即为截距， 它表示函数图像与$y$轴的交点。
斜率
一次函数图像的倾斜程度由斜率$k$ 决定，斜率$k > 0$时，函数图像为 增函数；斜率$k < 0$时，函数图像 为减函数。
一次函数的图像
一次函数图像是一条 直线，其方程为$y = kx + b$。
一次函数的应用——分段函数
75 70 50 25
O 25 50 75 100 x(度）
⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和x>50时，y与x的函数表达式；
解:当0≤x≤50 时，由图象可设 y=k1x，
∵其经过（50，25），代入得25=50k1，
∴k1=0.5，∴y=0.5x ;
100 y(元）
当x＞50时，由图象可设 y=k2x+b，75
70
∵其经过（50,25）、（100,7=0.9x-20.
25 O 25 50 75 100 x(度）
⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收 费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标 准是多少？
解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按 0.9元/度计算.
函数解析式为：
20(0≤t≤2)
T= 5t+10(2<t≤4)
T=5t+10(2<t≤4)
20 T=20(0≤t≤2)
10
(2)函数图像为：
O 1 2 3 4 t/h
2.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来 越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用 电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元） 的关系如图所示.
y=4（x-2）+10=4x+2.
10
∴y = 5x(0≤x≤2) 4x+2(x>2)
y=5x(0≤x≤2)
函数图象为:
O 123
x
思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解 决以下问题吗？ （1）一次购买1.5 kg 种子，需付款多少元？ （2）30元最多能购买多少种子？
总结归纳
一次函数之分段函数
x≥20时函数经过点（20,1000）及点 （30,4000），将两点代入y=kx+b得
1000=20k+b 4000=30k+b
解得:
k=300 b=-5000
1000
0 10 20 30 x(t)
∴当x≥20时，y与x之间的函数关系式是y=300x-5000.
(3)由图知当y=7000时，在函数y=300x-5000上，所以将y=7000代 入y=300x-5000得x=40.
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6
解：（1）当x≥30时，设函数解析式为y=kx+b，∵函 数图像经过A(30，60),C(40，90)两点， ∴ 30k+b=60 40k+b=90
解得
k=3
b= -30
∴y=3x-30 (x≥30)
(2)由图像得当0≤x≤30时，y=60 所以4月份上网20小时，应付上网费60元 （3）由函数图像 将y=75代入y=3x-30 解得x=35 所以5月份小李上网35小时。
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分析思考：(1)影响总运费的变量有哪些？ 由A城分别运往C,D乡的肥料量共有几个量？ 这些量之间有什么关系？
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A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全 部运往C,D两乡．从A城往C,D两乡运肥料的费用分别为 每吨20元和25元；从B城往C、D乡运肥料的费用分别为 每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨,D乡需要肥料 260吨，怎样调运可使总运费最小？ （2）如果从A城运往C乡x吨肥料，则你能表示出其它 C D 的变量吗？ 总计
即 y=5x (0≤x≤2） y=4x+2（x＞2)
O
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y=5x 1 2 3
一次函数的应用——分段函数
一次函数的应用——分段函数一．教学目标：1.理解分段函数的定义，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图像。
2.应用函数知识解决实际问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二．教学重难点：重点：根据题意或图像求分段函数解析式。
难点：应用函数知识解决实际问题。
三．教学过程（一）复习回顾：一次函数定义及图象特点（二）创设情景，引入新课例1 某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量未超过20吨，按每吨2元收费,每户每月用水量超过20吨，则超出的部分按每吨3元收费，设小明家某月用水量为x吨，应收水费为y元.（1）分别写出y与x间的函数关系式；（2）画出上述函数图象；（3）若小明家5月份用水22吨，应缴水费多少元；（4）六月份小明家交水费30元，则六月小明家用水多少吨。
分段函数：在自变量的不同取值范围内函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数。
例2 小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系式如图2所示．（1）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数关系式；（2）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？（3）在开始销售的前五天，哪天销售金额最大？是多少？解（1）当0≤x≤12时，设日销售量与上市时间的函数关系式为y=kx，∵点（12，120）在y=kx的图象上，∴k=10，∴函数关系式为y=10x.当12＜x≤20时，设日销售量与上市时间的函数关系式为y=kx+b，1∵点（12，120），（20，0）在y=kx+b的图象上，1∴函数关系式为y=-15x+300，∴函数关系式为z=-2x+42.当x=10时，y=10×10=100，z=-2×10+42=22，销售金额为：100×22=2 200（元），当x=12时，y=120，z=-2×12+42=18，销售金额为：120×18=2 160（元），∵2 200＞2 160，∴第10天的销售金额多．（3）当0≤x≤5时，销售量y=10x,销售价格z=32元，则销售金额w=10x·32=320x∵k>0,y随x的增大而增大∴当x=5时，w取得最大值1600元。
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12.2一次函数
第4课时一次函数的应用——分段函数
教学目标
【知识与能力】
1．理解分段函数的特点，会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象；
2．在多变量的问题的解决中，能合理选择某个变量作为自变量，然后根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数。
【过程与方法】
通过画函数的图象，并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系。
【情感态度价值观】
体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美。
教学重难点
【教学重点】
根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象。
【教学难点】
根据问题条件寻求可以反映实际问题的函数。
课前准备
课件、教具等。
教学过程
一、情境导入
小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
二、合作探究
探究点一：对分段函数图象的理解
例 1 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车的距离y(千米)与货车行驶的时间x(小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千
米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B 的坐标为(334
，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时．
以上4个结论中正确的是________．
解析：根据题意可判断图中OA 为快递车从甲地行驶到乙地过程中两车的间距，AB 为快递车在甲地卸货时两车的间距，BC 为快递车返回甲地直至两车相遇过程两车的间距．通过分析找出各个阶段量的关系，可求出正确结论．①A 点为快递车到达乙地的时刻，快递车从甲地到乙地共用3小时，两车速度差为120÷3＝40(千米/时)，已知货车速度为60千米/时，则快递车速度为100千米/时，①正确；②甲、乙两地的距离为100×3＝300(千米)，②错
误；③B 点为快递车卸货结束的时刻，快递车卸货45分钟，因此B 点横坐标为334
，此时货车行驶距离为60×334
＝225(千米)，300－225＝75(千米)，所以B 点纵坐标为75，则点B 的坐标为(334，75)，③正确；④BC 段所用时间为414－334＝12
(小时)，在B 点时两车相距75千米，相遇时货车行驶距离为60×12
＝30(千米)，快递车行驶距离为75－30＝45(千米)，故此段快递车的速度为45÷12
＝90(千米/时)，④正确．故答案为①③④. 方法总结：要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．
探究点二：分段函数的具体应用
例2 某医药研究所开发了一种新药．在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，
那么服药2小时后血液中含药量最高，达到每毫升6微克(1微克＝10－3毫克)，接着逐步衰
减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克．若当成人按规定剂量服药后，每毫升血液中含药量y (微克)随时间x (小时)的变化如图所示．
(1)分别求出0≤x ≤2和x >2时，y 与x 之间的函数解析式；
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时药物对疾病的治疗是有效的，那么这个有效时间是多长？
解析：(1)根据图象写出函数解析式．前2小时对应的线段是正比例函数的图象，设为y ＝k 1x .把(2，6)代入即可求得k 1的值．x >2时对应的图象是一次函数，设为y ＝k 2x ＋b .把(2，6)，(10，3)代入即可求得k 2、b 的值；(2)由图象可知，有两个时刻成人血液中的含药量为4微克，这两个时刻间的时间段内含药量皆高于4微克．
解：(1)当0≤x ≤2时，设函数的解析式为y ＝k 1x (k 1≠0)．把(2，6)代入y ＝k 1x ，得k 1＝3.∴当0≤x ≤2时，y ＝3x .当x >2时，设函数的解析式为y ＝k 2x ＋b (k 2≠0)．把(2，6)，
(10，3)代入y ＝k 2x ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧2k 2＋b ＝6，10k 2＋b ＝3.解得⎩
⎪⎨⎪⎧k 2＝－38，b ＝274.∴当x >2时，y ＝－38x ＋274； (2)把y ＝4代入y ＝3x ，得x ＝43；把y ＝4代入y ＝－38x ＋274，得x ＝223.∵223－43
＝6，∴这个有效时间是6小时．
方法总结：本题主要考查根据自变量或函数的取值来确定某段函数的解析式来解决问题．
三、板书设计
分段函数⎩
⎪⎨⎪⎧对分段函数图象的理解分段函数的具体应用 教学反思
经历一般规律的探索过程，培养学生的抽象思维能力，经历从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心．体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．。