高中数列与高等数学的关系

高中数列与高等数学的关系

高中数学中的数列内容与高等数学学习的内容联系密切，大学数学中的极限、级数与数列内容联系紧密，所以数列的学习是高中学习与大学学习的桥梁，对学生进入高等院校的学习至关重要，起到一个良好的铺垫作用。学习好数列是使学生进一步深造和继续学习的基础。

4.1 数列与极限

1、数列典例回顾 数列的例子： 例1、11111:,,,, (3392781)

n n y =

例2、4:4,8,12,16,20,24,...n y n = 例3、11231:0,,,234

n y n =-

这三个例子都是：随着n 逐渐增大，()f n 有着变化趋势。 2、数列的极限

一般地说，对于数列{}n a ，若当n 无限增大时，n a 能无限地接近某一个常数a ，则称此数列为收敛数列，常数a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛的数列，或称为发散数列。

数列的极限的定义： 设{}n a 为数列, a 为实数,若对任给的正数ε,总存在正整数N,使得当n N >时有||n a a ε-<, 则称数列{}n a 收敛于a ,实数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim n n a a →∞

=或()n a a n →→∞。

(读作:当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a )。由于n 限于取正整数,所以在数列极限的记号中把n →+∞写成n →∞,即lim n n a a →∞

=或()n a a n →→∞.

1、函数的极限：如果对于给定的正数ε，总存在一个正数M ，使得当一切x M >时， ()f x A ε-<恒成立，则称当x 趋于无穷大时，函数()f x 以常数A 为极限。

例1、 设数列}{}{,n n a b 满足1,1,2,3,...,n n n b a a n -=-=如果010,1,a a ==且}{n b 是公比是公比为2的等比数列，又123...n n s a a a a =++++，则lim

n

n

s a 的值（ ） A 、0 B 、-1 C 、1 D 、2

解：112,1,2,3,...,n n n n b a a n n --=-==式子累加得：

1112...221,22n n n n n a s n -+=+++=-∴=--

1

222222lim

lim lim 2221

12

n n n n n n

n

s n n +-

-

--∴===--，所以选D 4.2 数列与级数

级数是大学数学的重要内容，在大一的数学学习中占有重要的地位和作用。数列是级数学习的基础，下面引入级数的定义，以及引入例题对数列与级数的关系进行概括。

1、常数项级数

如果给定一个数列 1u ,2u ,3u , …,n u ,…,则表达式 1u +2u +3u +…+n u +… 叫(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为∑∞

=1n n u 即

∑∞

=1

n n

u

=1u +2u +3u +…+n u +… 其中第n 项n u 叫做级数的一般项．

2.级数的部分和：

前n 项的和)2(121∑==+++=n

i i

n n u u u u s

部分和数列{n s }:11u s = 12u s =+2u

1u s n =+2u +3u +…+n u

3.级数的收敛与发散

定义（敛散性） 如果级数∑∞

=1n n u 的部分和数列{n s }有极限s ，即 ∞

→n lim ,s s n =

则称无穷级数∑∞

=1

n n u 收敛,极限s 为这级数的和,并写成

1u s =+2u +3u +…+n u +…

如果数列{n s }没有极限,则称无穷级数∑∞

=1

n n u 发散。

注2：若级数收敛，n s 是和S 的近似值， ++=-=++21n n n n u u s s r 叫做级数的余项,n s 代替和S 所产生的误差是该余项的绝对值，即误差是n r 。

4、数列与级数的敛散性 例1、讨论等比级数(几何级数)

∑∞

=0

n n

aq

( a ≠0,q ：级数的公比)的收敛性。

分析：若,1≠q q

aq a aq

aq a s n n n --=+++=-11

当1

→n lim ,0=n q ∞

→n lim ,1q

a s n -=

级数收敛，其和

.1q

a -当1>q 时,

∞

→n lim ,∞=n q ∞

→n lim ,∞=n s 级数发散．当1=q 时，级数发散。

即：若 1

例、设无穷等比数列}{n a 的公比为q ，若134lim(...),n a a a a =+++则q 的值是多少 考点：本题主要考察无穷等比数列的性质和考生的计算能力。

解：根据题意得：334lim(...)1n a a a a q +++=-，即2

11,

1,1a q a q q q

=<∴=

-