高中数学立体几何专题证明题训练

A P

B C

F E D

立体几何专题训练

1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，

且∠

ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点．

（1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ； （2）求证：直线PB ∥平面EMC ．

2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相

等，

D 、

E 分别是CC 1和AB 1的中点，点

F 在BC 上且满

足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是

11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===

（1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积

4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∠ο

60⊥⊥⊥

4a 2a （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ；

（2）求四面体PCEF 的体积.

6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，

1AD

AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；

（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积.

7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为

11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点.

（Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B

8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为

AF 的中点。

（1）求证：1F G ∥平面11BB E E ； （2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ；

D

A

B

C

P

E

M

A B D C

E A B

C

D E

P

F A

B

C D E

F

M O

C 1

A

B

C

D

E

F A 1 B 1

（3）求四面体1EGFF 的体积。

9如图①，E ，F 分别是直角三角形ABC 边AB 和AC 的中点，90B ∠=o ，沿EF 将三角形ABC 折成如图②所示的锐二面角1A EF B --，若M 为线段1A C 中点．求证： （1）直线//FM 平面1A EB ； （2）平面1A FC ⊥平面1A BC ．

10如图所示，在直三棱柱111C B A ABC -中，⊥=11,AC BB AB 平面D BD A ,1为AC 的中点．

（Ⅰ）求证：//1C B 平面BD A 1； （Ⅱ）求证：⊥1

1C B 平面11A ABB ； （Ⅲ）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置使平面⊥BD A 1平面

BDE ，并说明理由．

11已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中

点．

(Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；

(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积

12如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，

60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是

PC

的中点．

（1）证明CD AE ⊥； （2）证明PD ⊥平面ABE ；

13如图是表示以AB =4，BC =3的矩形ABCD 为底面的长方体被一平

面斜

截所得的几何体，其中四边形EFGH 为截面．已知AE =5，BF =8，CG =12．

（1）作出截面EFGH 与底面ABCD 的交线l ；

（2）截面四边形EFGH 是否为菱形？并证明你的结论； （3）求DH 的长．

14已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点．

(1)求证：AF ⊥平面CDE ； (2)求证：AF ∥平面BCE ；

(3)求四棱锥C －ABED 的体积．

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ｅ

Ｆ 图①

Ｂ Ｃ

Ｅ

Ｆ Ｍ

图②

C 1

B

1

A 1

D

B

A

A

1

D 1

C 1

B 1

A D B

A

B

C

D E

F G

H

15如图，菱形ABCD 所在平面与矩形ACEF 所在平

面互相垂直，已知BD=2AF ，且点M 是线段EF 的中点.

(1)求证：AM ∥平面BDE ； (2)求证：平面DEF ⊥平面BEF.

16如图：正四棱柱1AC 中，

1O ABCD E DD 为棱的中点，是底面正方形中心，

且1EO AB ⊥，

（1）求证：该正四棱柱为正方体；

（2）若1-AB a A OBB E =，求四棱锥的体积．

17如图：M 、N 、K 分别是正方体ABCD —1111

A B C D 的棱

AB 、CD 、11C D 的中点，

（1）求证：AN ∥平面1;A MK

（2）求证：111.A B C A MK ⊥平面平面 18在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5，

AA 1＝

4，点D 是AB 的中点，

（1）求证：AC ⊥BC 1；（2）求证：AC 1//平面CDB 1； （3）求异面直线 AC 1与 B 1C 所成角的余弦值．

A

B

C

D

E

F

M