Laplace变换和幂级数解法
超越方程的五种解法
超越方程的五种解法
超越方程是一种数学概念，它是一种非线性方程，其解决的是超出了线性方程的情况。
超越方程的解决方案包括五种：线性化法、积分法、幂级数法、Laplace变换法和Fourier变换法。
首先，线性化法是最常用的解决方案，它的思想是把超越方程展开成一系列线性方程，然后求解这些线性方程。
这是一种简单实用的解决方案，但存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么线性化法就无法有效解决。
其次，积分法也是一种常用的解决方案，它的目的是通过积分的方式来求解超越方程，但存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么积分法就无法有效解决。
三，幂级数法也是解决超越方程的常用方法，它是利用幂级数来求解超越方程，但也存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么幂级数法也无法有效解决。
四，Laplace变换法是一种较为复杂的解决方案，它是利用Laplace变换来求解超越方程，这种方法可以有效解决复杂的非线性方程，但也存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么Laplace变换法也无法有效解决。
最后，Fourier变换法也是解决超越方程的常用方法，它是利用Fourier变换来求解超越方程，这种方法可以有效解决
复杂的非线性方程，但也存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么Fourier变换法也无法有效解决。
总而言之，超越方程的解决方案有五种：线性化法、积分法、幂级数法、Laplace变换法和Fourier变换法。
每种方法都有自己的优点和缺点，需要根据实际应用情况，选择最合适的解决方案。
不过，无论哪种方法，在解决超越方程时，都需要充分考虑其非线性性，以便获得最佳的解决结果。
《高等数学教学资料》第四节.laplace变换的性质小结
目
CONTENCT
录
• Laplace变换的定义与性质 • Laplace变换的收敛域 • Laplace逆变换的性质 • Laplace变换的应用 • 总结与展望
01
Laplace变换的定义与性质
定义
80%
定义
Laplace变换是函数f(t)到F(s)的 一种积分变换，记作L[f(t)]。
THANK YOU
感谢聆听
定义与公式
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace变换的函数进行反演，得到原函数的表示形式。
公式
Laplace逆变换的公式为 (f(t) = frac{1}{2pi i} int_{c - iinfty}^{c + iinfty} F(s)e^{st} ds) ，其中 (F(s)) 是 Laplace变换的函数，(f(t)) 是原函数。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
100%
定义域
Laplace变换的函数f(t)需要满足 一定的条件，例如在某个区间内 单调、有界等。
80%
存在定理
对于满足一定条件的函数f(t)，其 Laplace变换存在。
线性性质
线性性质
Laplace变换具有线性性质，即对于 任意常数a和b，有 L[af(t)+bf(t)]=aL[f(t)]+bL[f(t)]。
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
微分方程的Laplace变换解法
微分方程的Laplace变换解法微分方程在数学和工程领域中是一种常见的数学工具，用来描述物理现象和自然规律。
在解微分方程时，Laplace变换是一种非常有用的转换方法。
通过将微分方程转换为代数方程，我们可以更容易地求解微分方程的解。
Laplace变换的定义Laplace变换是一种线性积分变换，用来将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)。
其定义如下： \[F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)dt\]其中，s是一个复变量，t是实数。
Laplace变换在工程中的应用非常广泛，能够有效地解决很多常见的微分方程问题。
Laplace变换的性质在求解微分方程时，我们需要了解一些Laplace变换的基本性质：1.线性性质：\[L(a_1f_1(t) + a_2f_2(t)) = a_1F_1(s) + a_2F_2(s)\]2.积分性质：\[L\left(\int_0^t f(u)du\right) = \frac{F(s)}{s}\]3.微分性质：\[L\left(\frac{d n}{dt n}f(t)\right) = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) -s^{n-2}f’(0) - \ldots - f^{(n-1)}(0)\]掌握这些性质对于有效地应用Laplace变换解微分方程至关重要。
Laplace变换解微分方程的步骤利用Laplace变换解微分方程的一般步骤如下：1.应用Laplace变换将微分方程转换为代数方程。
2.解代数方程得到F(s)。
3.对F(s)进行逆变换，得到原方程的解f(t)。
在解微分方程时，我们通常遵循这些步骤，并注意一些常见的Laplace变换对应表。
实例分析让我们以一个示例来说明Laplace变换解微分方程的过程。
考虑一个简单的线性微分方程： \[ \frac{d}{dt}y(t) + 2y(t) = 3e^{-t}, \quad y(0) = 1\]我们首先应用Laplace变换将方程转换为代数方程： \[ sY(s) - y(0) + 2Y(s) =\frac{3}{s+1}\] \[ (s+2)Y(s) = 1 + \frac{3}{s+1}\]解出Y(s)为： \[ Y(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{3}{(s+2)(s+1)}\]进一步求解反变换，我们得到微分方程的解为： \[ y(t) = e^{-2t} + 2e^{-t}\] 通过以上实例，我们展示了如何利用Laplace变换解一个简单的微分方程。
考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)
A 1 A L [ f ( t )] s s s 1 e s 2 1 e
1 s 2 1 e
A s 1 coth 2s 2
(Re( s ) 0)
一般地, 若L [f (t)]=F (s), 则对于任何
可得:
L [e
at
k sin kt ] ( s a )2 k 2
五、延迟性质
若L [f (t)]= F( s), 又t<0时f (t)=0, 则对于任 一非负数t0, 有
st L [ f ( t )] e F s -1 st e F s f (t ) L
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s
t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L [e f ( t )]
0
e at f ( t ) e st d t
0
f (t )e
( s a )t
dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、位移性质
上式右边只是在F ( s)中将s换为s-a, 得
L [e at f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
性质表明了一个象原函数乘以指数函数 eat的Laplace变换等于其象函数做位移a.
2 由于 f (0) 1, f (0) 1, f (t ) k cos kt , 则
2 L k cos kt L 2 f ( t ) s L
拉普拉斯(Laplace)变换.
p1 )(s
p2 )] s p1
用拉氏变换解线性微分方程的步骤
1. 对线性微分方程中的每一项进行拉氏变 换，使微分方程变为S的代数方程；
2. 解该代数方程，得到有关变量的拉氏变 换表达式；
3. 用拉氏反变换得到微分方程复数
复变量 s j 其中σ为实部，ω为虚部
复变函数 G(s) Gx jGy 其中Gx、Gy均为实数 Gx jGy 与 Gx jGy 互为共轭复数
复变函数的一般形式
G(s) K (s z1)(s z2) (s p1)(s p2)
其中 z1、z2、…为零点，p1、p2 …为极点
F s Lut 1
s
f
t
L1
1 s
1t
典型时间函数的拉氏变换
3. 单位斜坡函数 r(t)
r t
0 t
t 0 t 0
F s
Lrt
1 s2
f
t
L1
1 s2
t
典型时间函数的拉氏变换
4. 幂函数 f(t)=tn (n>-1)
F s L t n
n 1
s n1
当n是正整数时，n 1 n!，因此
6. 正弦函数 f(t)=sinωt (ω为实数)
Fs Lsin t
s2 2
f
t
L1
s2
2
sin
t
典型时间函数的拉氏变换
7. 余弦函数 f(t)=cosωt (ω为实数)
F s
Lcost
s2
s
2
f
t
L1
s2
s
2
c ost
拉氏变换的基本定理
1. 线性定理
设a和b为常数，则有
拉氏(laplace)逆变换的几种适用解法
拉氏(laplace)逆变换的几种适用解
法
拉氏(laplace)逆变换是一种常用的数学工具，用于求解常微分方程的解析解。
它可以将一个复杂的微分方程转换为一个简单的拉氏变换，从而解决复杂的微分方程。
拉氏逆变换的解法有很多，其中最常用的有四种：
1. 分部积分法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行积分，最后将结果组合起来，得到最终的解。
2. 分部级数法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行级数展开，最后将结果组合起来，得到最终的解。
3. 分部函数法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行函数求解，最后将结果组合起来，得到最终的解。
4. 分部积分变换法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每
个部分进行积分变换，最后将结果组合起来，得到最终的解。
以上就是拉氏逆变换的几种适用解法，它们都可以有效地解决复杂的微分方程，但是每种方法都有其优缺点，因此在实际应用中，应根据具体情况选择最合适的解法。
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
《高等数学下教学资料》第四节.laplace变换的性质
反变换的求解方法
01
02
03
04
表格法
通过查阅Laplace反变换的表 格，找到相应的反变换结果。
间接法
利用已知的Laplace反变换的 性质和公式，通过代数运算求 解反变换。
直接法
对于简单的Laplace变换，可 以通过直接求解微分方程得到 原函数。
数值法
对于无法通过直接法或间接法 求解的反变换，可以使用数值 方法近似求解。
《高等数学下教学资料》第四 节.laplace变换的性质
目
CONTENCT
录
• Laplace变换的定义与性质 • Laplace变换的收敛域 • Laplace反变换 • Laplace变换的应用 • 习题与解答
01
Laplace变换的定义与性质
定义
80%
定义
Laplace变换是对于一定条件下的 实变量函数f(t)，在复平面上的一 个复变量s的函数F(s)的一种变换。
3、题目
已知 F(s) = (s + 1)^2，求 f(t) = t^2e^(-t)。
解答
1、答案
f(t) = t + 1，其 Laplace 变换为 F(s) = 1/(s - 1)^2。
01
2、答案
f(t) = (2t + 3)e^(-2t)，其 Laplace 变 换为 F(s) = (s^2 + 4s + 3)e^(-s)。
频移性质
频移性质
对于任意实数ω，有L[f(ω*t)]=F(s*ω)， 其中F(s)是f(t)的Laplace变换。
频移性质的应用
频移性质在处理与频率有关的函数时 非常有用，可以用来将频率域的函数 转换为时间域的函数。
Laplace变换
1 2 3
拉氏变换的定义 拉氏变换的计算 拉氏变换求解方程
拉氏变换 拉氏反变换
从傅氏变换到拉氏变换
有几种情况不满足 Dirichlet条件： Dirichlet条件： 若乘一衰减因子 e σ 为任意实数，则 σt 收敛， f ( t ). e 满足Dirichlet条件 满足Dirichlet条件
0
∞
终值定理
原函数f(t)的稳态性质 原函数f(t)的稳态性质 sF(s)在s=0邻域内的性质 sF(s)在s=0邻域内的性质
初值定理
3
拉氏反变换方法
部分分式法的求取拉氏反变换
B( s) b0 s m + b1s m 1 + .... + bm 1s + bm ,m < n F (s) = = n n 1 A( s) a0 s + a1s + .... + an 1s + bn
s1t
( t ≥ 0)
例1
k1 k2 2s + 5 = + F ( s) = 2 ( S + 1) ( S + 1) 2 ( s + 1) 2s + 5 k2 = ( s + 1) 2 S = 1 = 3 ( s + 1) 2
d k1 = ( 2 s + 5 ) S = 1 = 2 ds
f ( t ) = 2e t + 3te t
s2 s + 5 k3 k1 k2 = = + + s( s + 1)( s + 2) s s +1 s + 2
k1 = F ( s ) s
经典：Laplace变换和幂级数解法
解 将方程改写为
d2y dx2
1 x
dy dx
x2 n2 x2
y
0
易见,它满足定理2条件,且
xp(x) 1, x2q(x) x2 n2
按x展成的幂级数收敛区间为 x ,
由定理11方程有形如
16
y an xk ,
(4.75)
k 0
的解,这里a0 0,是一个待定常数,
y'(0)=1的解.
解 设级数 y=a0 a1x an xn
为方程的解, 这里ai(i 1, 2, )是一个待定常数,
由初始条件得: a0 0, a1 1; 因而 y=x a2 x2 an xn
y=1 2a2 x nan xn1 y=2a2 3 • 2a3x n(n 1)an xn2
, (n k)
k 1, 2,
20
若取
a0
1 2n (n
1)
则可得(4.74)的另一个特解
y2
(1)k
k 0
1 k !(n k
1)
( x)2kn 2
Jn (x),
(4.78)
Jn (x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
为-n阶Bessel函数.
由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.
因为a0 0, 则有 2 n2 0, 从而 n,
为确定起见暂令 n, 由(4.76)得
a1
0,
ak
ak2 , k k(2n k)
2, 3,
即
a2k 1
(2k
a2k 1 1)(2n
2k
1)
,
a2k
a2k 2
,
Laplace讲解全
cm (s p)m
cm1 (s p)m1
c1
s p
cm
F
(s)
(s
p)m
s
p
cm1
1 1!
d ds
F(s)(s
p) m
s p
ck 1 (m k)
d (mk) ! d smk
F(s)(s p)m
s p
c1
1 (m 1)!
d (m1) ds m1
F(s)(s p)m
s p
f (t)
利用微分性质求 L[cos 2 t] ， 设f (t) cos2 t
则f ' (t) 2 cost( sin t) sin 2t
对上式两边取L变换：sF (s) f (0) 2 s2 22
f (t) cot2 t, f (0) 1. F(s) 1 [ 2 1] s s2 22 s2 2
0
f () Lim s
1
s0 (s 4)(s 3)
Lim
s
s0 s 2 7s 12
0
例：求
L1
(s
4 p)5
解：
L1
4 s5
？
L tn
m(m 1) m!
s n1
s n1
两边取
L1
即
L1
s
n!
n1
t
n
L1
1 s n1
tn n!
L1
1 s5
3. Laplace变换性质
一．线性性质
若 , 是常数，L[ f1(t) ]= f1 (s) ， L[ f2 (t) ]=F2 (s)
，则 L[f1 (t) f2 (t)]=F1 (s) F2 (s)
考研高数总复习Laplace变换应用(讲解)
dY ds (分离变量法) Y s2
第 9页
积分得
lnY ( s)ห้องสมุดไป่ตู้ ln 2 s ln C ,
C Y s s2
得
取逆变换得
y t Ce 2t .
下面确定 C . 令 t 0 得 1 y 0 C .
2t y t e . 得
2 s 1 Y s sX s s s 1 1 2 sY s s 1 X s 2 s s 1
第25页
1 解得 Y s 2 s s 1 X s 2s 1 2 s s 1 1 由 Y s 得 2 s s 1
t0
0
对方程的两边取Laplace变换,得
RCsU C s U C s L e t
L e t L U m sin t cos cos t sin
第17页
U m cos U m s sin 2 2 2 s s 2 Um 2 cos s sin 2 s Um cos s sin 得 RCsU C s U C s 2 2 s U m cos s sin 即 U s .
第10页
的解.其中 h t , f t 为定义在 0, 的已知函数.
求积分方程 y t h t 0 y t f d
t
设 L [ y(t )] Y ( s ), L [h( t )] H ( s ).
L [ f (t )] F ( s ). 对方程的两边取Laplace变换,得
微分方程中的Laplace变换方法应用
微分方程中的Laplace变换方法应用微分方程是数学中重要的概念之一，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
而Laplace变换作为一种常见的数学工具，能够将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。
本文将介绍微分方程中Laplace变换方法的应用。
一、Laplace变换的定义与性质Laplace变换是由Laplace提出的一种数学变换方法，它将函数f(t)转化为复变量F(s)，其中s为复平面上的变量。
Laplace变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dtLaplace变换具有线性性质、时移性质、频移性质等一系列重要性质，这些性质可以方便地应用于微分方程的求解。
二、Laplace变换方法在常微分方程中的应用常微分方程是研究函数与其导数之间关系的方程。
通过Laplace变换，常微分方程可以转化为代数方程，从而简化求解过程。
下面分别介绍三种常见的应用场景。
1. 初值问题的求解对于给定的初值条件，通过Laplace变换可以将常微分方程转化为代数方程，进而求解出初值问题的解析解。
例如，对于一阶线性常微分方程：y'(t) + a * y(t) = f(t), y(0) = y_0通过Laplace变换，可以得到方程的代数形式：s * Y(s) - y(0) + a * Y(s) = F(s)其中，Y(s)和F(s)分别表示y(t)和f(t)的Laplace变换。
解出Y(s)后，再通过Laplace反变换得到y(t)。
2. 响应函数的求解对于具有外部激励的线性时不变系统，利用Laplace变换可以方便地求解其响应函数。
将系统的微分方程转化为代数方程，并使用Laplace变换表中已知的函数的变换关系，可以得到系统的传递函数H(s)。
然后，对于给定的输入信号F(s)，通过H(s)与F(s)的乘积，可以得到系统的输出信号的Laplace变换。
最后，通过Laplace反变换将输出信号转化为时域函数。
t的m次方的laplace变换
一、概述Laplace变换是一种重要的数学工具，在工程与科学领域有着广泛的应用。
它可以将一个函数转换为复平面上的另一个函数，通过这种转换，可以简化微分方程的求解过程。
在实际应用中，我们常常会遇到t的m次方的函数，对于这类函数的Laplace变换，也有着特殊的求解方法。
二、t的m次方函数的定义我们首先来定义t的m次方函数。
t的m次方函数可以表示为f(t) =t^m，其中m为非负整数。
这类函数在工程与科学领域中经常出现，例如在电路分析、控制系统、信号处理等领域都有着重要的作用。
三、t的m次方函数的Laplace变换的求解对于t的m次方函数f(t) = t^m，我们可以利用Laplace变换的定义来求解其Laplace变换。
根据Laplace变换的定义，函数f(t)的Laplace变换F(s)定义为：F(s) = ∫[0, ∞] e^(-st) * f(t) dt其中s为复变量。
将函数f(t) = t^m代入上式，可以得到：F(s) = ∫[0, ∞] e^(-st) * t^m dt接下来利用换元积分法，可以将上式化简为关于s的函数，最终得到t四、具体求解方法具体来说，对于t的m次方函数的Laplace变换，有以下几种常用的求解方法：1. 直接计算对于一些简单的t的m次方函数，可以直接利用积分的性质来计算其Laplace变换。
例如对于t的0次方函数f(t) = 1，其Laplace变换为F(s) = ∫[0, ∞] e^(-st) dt = 1/s，可以直接利用积分的计算方法得到。
2. 利用Laplace变换的性质Laplace变换有着一系列的性质，例如线性性质、平移性质、尺度变换性质等。
利用这些性质，可以将复杂的t的m次方函数转化为简单的函数，然后再求解其Laplace变换。
3. 利用微分方程的解法对于一些较为复杂的t的m次方函数，可以利用微分方程的求解方法来求解其Laplace变换。
通过建立相应的微分方程，可以将原函数转化为微分方程的初值问题，然后利用Laplace变换的性质来求解。
t的m次方的laplace变换
t的m次方的laplace变换Laplace变换是探讨信号在s域上的频率特性的一种数学工具。
在信号处理和系统分析中，Laplace变换可以将时域上复杂的微分方程转换为频域上的代数运算，从而简化问题的求解过程。
本文将讨论Laplace变换中的t的m次方函数形式。
Laplace变换是一种广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域的数学技术。
它将一个在时域上定义的函数f(t)转换为一个复变量域上的函数F(s)。
Laplace变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt其中，f(t)是定义在[0,∞]上的函数，s是复变量，F(s)是f(t)在s域上的Laplace变换。
对于t的m次方函数形式，我们将探讨它的Laplace变换表达式及其性质。
t的m次方函数可以表示为：f(t) = t^m其中，m是一个常数。
我们可以将t的m次方函数应用于Laplace变换的定义中，得到其Laplace变换的表达式如下：F(s) = L[t^m] = ∫[0,∞] t^m e^(-st) dt要计算上式中的积分，我们可以使用分部积分法。
假设m是一个非负整数（m≥0），我们可以通过多次应用分部积分来计算出该积分的解析表达式。
首先，我们将t^m分解为m次幂的乘积形式：t^m = t^m-1 * t然后，我们可以将Laplace变换定义中的指数泛化为一个泛化幂级数：e^(-st) = 1 - st + (st)^2/2! - (st)^3/3! + ...现在，我们可以进行分部积分了。
对于积分项∫ t^m e^(-st) dt，我们选择t^m-1做为u，e^(-st) dt作为dv。
由于t^m-1的导数是(m-1)t^m-2，e^(-st)的积分是-e^(-st)/s，我们可以得到：∫ t^m e^(-st) dt = -t^m-1 e^(-st)/s - ∫ (m-1)t^m-2 (-e^(-st)/s) dt化简得：∫ t^m e^(-st) dt = -t^m-1 e^(-st)/s + (m-1)/s ∫ t^m-2e^(-st) dt我们可以继续应用分部积分的思想来计算∫ t^m-2 e^(-st) dt。
laplace展开定理
laplace展开定理Laplace展开定理是数学中的一个重要定理，它是对函数进行分析的一种方法，可以将一个复杂的函数表示为简单的分段函数。
本文将详细介绍Laplace展开定理的定义、性质、证明及应用。
一、定义Laplace展开定理是指，对于任意一个实数t>0和任意一个具有有限变化区间[a,b]上连续函数f(x)，其Laplace变换F(s)可以表示为：F(s)=∫[a,b]f(x)e^{-sx}dx其中s为复平面上的复数。
如果f(x)在[a,b]上满足一定条件，那么可以通过Laplace展开定理将其表示为一个无穷级数形式：f(x)=∑_{n=0}^{∞}(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}(e^{sx}F(s))|_{s=0}其中d^n/ds^n表示对F(s)求n次导数。
二、性质1. Laplace展开定理适用于具有有限变化区间[a,b]上连续函数f(x)。
2. Laplace展开定理可以将复杂的函数表示为简单的分段函数形式，便于进行分析和计算。
3. Laplace展开定理中的无穷级数收敛性需要满足一些条件，如Dirichlet条件和Abel条件等。
4. Laplace展开定理可以用于求解微分方程、计算概率密度函数等数学问题。
三、证明Laplace展开定理的证明涉及到一些复杂的数学知识，其中包括复变函数、级数收敛性等。
下面给出一个简单的证明思路：1. 将f(x)表示为一个幂级数形式：f(x)=∑_{n=0}^{∞}a_nx^n2. 对f(x)进行Laplace变换，得到F(s)：F(s)=∫[0,∞)f(x)e^{-sx}dx=\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_n}{s^n}3. 对F(s)进行逐项求导，并将s=0代入，得到：\frac{d^n}{ds^n}(e^{sx}F(s))|_{s=0}=(-1)^na_nx^n4. 将上述结果代入Laplace展开定理中，得到：f(x)=\sum_{n=0}^{∞}(-1)^n\frac{d^n}{ds^n}(e^{sx}F(s))|_{s=0} 5. 由于幂级数具有良好的收敛性，因此可以将无穷级数和积分号交换顺序，从而得到Laplace展开定理。
[理学]第八章 Laplace变换_OK
![[理学]第八章 Laplace变换_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/2e40e2d1aaea998fcd220e8a.png)
若取 0,则上式为单边 Fourier变换.
拉氏变换是对傅氏变换 的一种改造(推广)！！
更一般地，我们定义双 边Laplace变换：
L [h(t)] f (t)est dt
其中，适当地选取 ，使得积分收敛 .
使Laplace变换积分收敛的那些复 数s的集合，称为 Lapl5ace 变换的收敛域 .
设g(t) t f (t)dt,则 0
g(t) f (t) L [g(t)] L [ f (t)]
s L [g(t)] g(0) L [ f (t)]
L [g(t)] 1 L [ f (t)]
19
s
像函数的积分性质
像函数积分等于它的像原函数除以一
个因子t的拉氏变换
若 L [ f (t)] F(s),则
引进单位阶跃函数
u(t)
1 0
t [0,) , 构造函数 t (,0)
g(t) f (t)u(t), t (,)
(2) 使定义在[0,)上的函数 g(t)满足绝对可积条件 .
引进指数衰减函数 et ( 0),构造函数
h(t) g(t)et
这极可能使 h(t)在(,)上满足绝对可积的条件 ,即
利用Laplace变换的性质可计算某些广义积分
设 F(s) L [ f (t)] 有
f (t)est dt F(s), 0
tf (t)est dt F (s), 0
定义 微分性质
f (t) est dt
F ( )d
0t
s
积分性质
若当s取某个实数k时, 上述各式左端的广义积分均收敛,则可
0
0
eikt eikt est dt 1 (eikt eikt )est dt
第二章 Laplace变换
c z
n
发散.
st
积分在 Re s 2 上处处发散.
2.1.2 Laplace变换存在定理
根据定理 ，存在实数s (或是)使得在
Re s s 上, 积分
上，积分
0
0
f ( t )e st dt 收敛, 而在 Re s s
f ( t )e st dt 处处发散. 在收敛区域内，
symsbetapositive象原函数微分性质p54证明根据laplace变换的定义和分部积分公式dfdvvduuvudvst推论对正整数n存在且满足laplace变换存在定理的条件参见前面例3与这里方法不同根据和线性性质微分性质对正整数n用微分性质算三角函数的laplace变换利用也可以求出当m是正整数时微分性质对正整数n像函数的微分性质p36证明对解析函数求导右端求导时可在积分号下进行即得
s 收敛，则由这个积分确定的函数
F ( s)
0
f ( t )e dt ,
st
称为函数 f ( t ) 的Laplace变换, 并记做 L [ f ( t )], 即
L [ f ( t )] F ( s )
0
f ( t )e st dt .
2.1.1 Laplace变换的定义
像函数的微分性质 4 像函数的积分性质 6
7
9
延迟性质
初值和终值定理
8 10
Laplace变换的性质 以下假定所考虑的 Laplace 变换的像原函数 都满足存在定理的条件. (1) 线性性质 (P34) 设, 是常数，F1 ( s ) L [ f1 (t )],
F2 ( s ) L [ f 2 ( t )], 则 L [ f1 ( t ) f 2 ( t )] F1 ( s ) F2 ( s )
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为n阶Bessel函数.
当 n时, 完全类可得
a0 a2 k (1) 2 k 2 k !(n 1)(n 2)
k
a2k 1 0, k 1, 2,
( n k )
,
k 1, 2,
若取
1 a0 n 2 (n 1)
则可得(4.74)的另一个特解
k 0
(4.75)
的解,这里a0 0,是一个待定常数,
将(4.75)代入(4.74)中,得
x
2
( +k)( +k-1)a x
k k 0
k 2
x( +k)ak x
k 0
k 1
( x 2 n2 ) ak x k 0
k 0
比较x的同次幂系数得
则对方程(4.32)两端施行拉普拉斯变换,得
(1) ( n1) s n X (s) s n1x0 s n2 x0 x0
a1[s
F ( s)
n1
X (s) s
n 2
x0 s
n3 (1) 0
x x
( n 2 ) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s)
称f (t )为原函数 , F (s)为像函数 . 例1 求L[t n ],其n是正整数 .
解
1 n st n st n 1 L[t ] e t dt t e |0 e t dt 0 s s 0 n n 1 n2 n n 1 L[t ] L[t ] s s s
25
解 引入新变量t 2 x我们有
dy dy dt dy 2 dx dt dx dt d 2 y d dy dt d2y (2 ) 4 2 2 dx dt dt dx dt
代入方程得
2 d y dy 9 2 2 t t (t ) y 0 2 dt dt 25 3 这是n 的Bessel方程, 故方程的通解为 5
查拉普拉斯变换表得
x(t ) 2 sin t cos2t ,
这就是所求的解.
（二）二阶线性方程的幂级数解法
对二阶变系数齐线性方程
d2y dy p( x) q ( x) y 0 2 dx dx
用级数表示解? 下面考虑该方程及初始条件
(4.72)
其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.
故方程的解为
x x y=x x 2! k! 4 2k x x x(1 x 2 2! k! x2 xe
3
5
2 k 1
)
例6 求解n阶Bessel方程
2 d y dy 2 2 2 x x ( x n ) y 0 (4.74) 2 dx dx 这里n为非负常数.
at st at 0 0
1 1 ( s a )t e |0 s a sa
sa sa
2 拉普拉斯变换的性质
1 L[ f
n
0
( n)
(t )]
n1
s L[ f (t )] s
2
0
f (0) s
n 2
f (0) f
'
n k
这里( p) e- x x p 1dx,注意到时( p 1) p( p).
0
因此(4.77)变为
1 x 2k n y1 (1) ( ) J n ( x), (4.77) k !(n k 1) 2 k 0 J n ( x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
" ' '
t
令 t 1,问题变为
x 2x x e
" '
2
( 1)
, x(0) x (0) 0.
'
对上式两端作拉普拉斯变换,得
1 1 s X ( s ) 2 sX ( s ) X ( s ) , e s 1 1 1 , 因此 X ( s ) 3 e ( s 1) 1 2 1 查拉普拉斯变换表得 x ( ) e , 2 1 从而 x(t ) (t 1) 2 e t , 这就是所求的解. 2
y( x0 ) y0 , y ( x0 ) y 的情况
' (1) 0
(不失一般性,可设x0 0)
定理1 若方程(4.72)中系数p(x)和q(x)都可展成x的
幂级数,且收敛区间为 x R, 则方程(4.72)有形如
y= an x n ,
n 0
(4.73)
的特解,也以 x R为级数的收敛区间 .
1 x 2k n y2 (1) ( ) J n ( x), (4.78) k !(n k 1) 2 k 0 J n ( x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
k
பைடு நூலகம்
为-n阶Bessel函数.
由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.
( n1)
(0).
若L[ f (t )] F (s),则
d F ( s) L[ f (t )], ds dn n n F ( s ) ( 1 ) L [ t f (t )]; n ds
L[eat f (t )] F (s a).
3 应用 给定微分方程
d nx d n 1 x a1 n 1 an x f (t ) n dt dt
例4
求解方程x" x 4sin t 5cos 2t , x(0) 1, x' (0) 2.
解
2
对方程两端作拉普拉斯变换,得
4 5s s X ( s) s 2 X ( s) 2 2 , s 1 s 4 s (这里 L[cos t ] 2 , L[sin t ] 2 ) 2 s 2 s 2 s 2 , 因此 X ( s ) 2 s 1 s 4
a0 ( n ) 0 2 2 a [( 1) n ]0 1 2 2 ak [( k ) n ] ak 2 0,
2 2
(4.76)
k 2,3,
因为a0 0, 则有 2 n2 0, 从而 n,
ak 2 , k 2,3, a1 0, ak k (2n k ) a2 k 1 , 即 a2 k 1 (2k 1)(2n 2k 1) k 1, 2, a 2k 2 a , 2k 2k (2n 2k )
解 将方程改写为 d 2 y 1 dy x 2 n 2 y0 2 2 dx x dx x 易见,它满足定理2条件,且 xp( x) 1, x2q( x) x2 n2
按x展成的幂级数收敛区间为 x , 由定理11方程有形如
y an x k ,
为确定起见暂令 n, 由(4.76)得
从而可得
a2k 1 0, k 1, 2,
a0 a2 k (1) 2 k , k 1, 2, 2 k !(n 1)(n 2) (n k ) 因此在 n 0时, 得到Bessel方程的一个解
k
a0 y1 a0 x (1) 2 k x 2 k n , (4.77) 2 k !(n 1) (n k ) k 1 若将任常数a0取为 1 a0 n 2 (n 1)
及初始条件
(4.32)
( n1) 0
x(0) x0 , x (0) x ,, x
' (1) 0
( n1)
(0) x
其中a1, a2 ,, an为常数, 而f (t )连续且满足原函数条件 .
设x(t )为(4.32)的任一解 ,记
X (s) L[ x(t )], F (s) L[ f (t )],
因此,当 不等于非负整数时, J n ( x)和J - n ( x)都是 (4.74)的解,且线性无关.
因而(4.74)的通解为
y c1J n ( x) c2 J n ( x), 这里c1, c2为任常数. 当n等于正整数,而 n,不能从(4.76)确定a2k (k n)
因此,不能象上面一样求得通解;
n st n
例2 解
n n 1 1 L[1] s s s n ! n! st n! st n 1 n e dt n 1 e |0 s s 0 s
求L[e at ].
s0 s0
L[e ] e e dt e ( s a )t dt
n n1 ( s a s an1s an ) X (s) 即 1
F ( s ) (s a1s an1 ) x0 ( n 1) n 2 n3 (1) x (s a1s an2 ) x0 0
或
n1
n 2
A(s) X (s) F (s) B(s),
n 2
y=2a2 3 2a3 x
将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得
2a2 0 3 2a3 2 4 0 4 3a4 4a2 4a2 0
n(n 1)an 2(n 2)an2 4an2 0
2 an 2 , 即 a2 0, a3 1, a4 0, , an n 1 1 1 1 因而 a5 , a 0, a7 , a 0, a9 , 6 8 2! 3! 4! 1 也即 a2 k 1 , a2k 0, k! 对一切正整数k成立;
" ' 求方程y 2 xy 4 y 0满足初始条件y(0) 0, 例5