正态样本统计量的抽样分布概述
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概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布
(2) X 1
~
2 (n1 ),
X2
~
2 (n2 ),
X1,
X
独
2
立
，
则
X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).
(3) X ~ 2 (n), E( X ) n, D( X ) 2n,
.
2021/3/11
20
(4). 2分布的分位点
对于给定的正数，0 1,
称满足条件
P
2 2 (n)
k 1
,
X
k 2
,,
X
k n
独立且与X
k同分布,
E
(
X
k i
)
k
k 1,2,,n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1, A2 ,, Ak ) p g(1,2 ,,k ) 其中g为连续函数.
这就是矩估计法的理论根据.
2021/3/11
18
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现 数理统计
10
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2021/3/11
11
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再由函数的性质有
lim h(t)
n
1 et2 2. 2
理论分布和抽样分布的概念
抽样分布与理论分布一、抽样分布总体分布：总体中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。
样本分布：样本中所有个体关于某个变量大的取值所形成的分布。
抽样分布：样品统计量的概率分布，由样本统计量的所有可能取值和相应的概率组成。
即从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本最多可抽取m 个样本，m 个样本统计值形成的频率分布，即为抽样分布。
样本平均数的抽样分布：设变量X 是一个研究总体，具有平均数μ和方差σ2。
那么可以从中抽取样本而得到样本平均数x ，样本平均数是一个随机变量，其概率分布叫做样本平均数的抽样分布。
由样本平均数x 所构成的总体称为样本平均数的抽样总体。
它具有参数μx 和σ2x ，其中μx 为样本平均数抽样总体的平均数，σ2x 为样本平均数抽样总体的方差，σx 为样本平均数的标准差，简称标准误。
统计学上可以证明x 总体的两个参数 μx 和σ2x 与X 总体的两个参数μ和σ2有如下关系：μx = μ σ2x = σ2 /n由中心极限定理可以证明，无论总体是什么分布，如果总体的平均值μ和σ2都存在，当样本足够大时（n>30），样本平均值x 分布总是趋近于N （μ，n2)分布。
但在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的，此时可用样本标准差S 估计σ。
于是，以nS估计σx ，记为X S ，称为样本标准误或均数标准误。
样本平均数差数的抽样分布：二、正态分布2.1 正态分布的定义：若连续型随机变量X 的概率密度函数是⎪⎭⎫ ⎝⎛--=σμπσx ex f 22121)( （-∞＜x ＜+∞）则称随机变量X 服从平均数为μ、方差为σ2的正态分布，记作X~N （μ，σ2）。
相应的随机变量X 概率分布函数为 F （x ）=⎰∞-x dx x f )(它反映了随机变量X 取值落在区间（-∞，x ）的概率。
2.2 标准正态分布当正态分布的参数μ=0，σ2=1时，称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N （0,1）。
数理统计学：统计量与抽样分布
主要内容
1.1 总体和样本 1.2 统计量与估计量 1.3 抽样分布 1.4 次序统计量 1.5 充分统计量 1.6 常用的概率分布族
数理统计学 是探讨随机现象统计规律性的一门学科, 它以概率论为理论基础,研究如何以有效的方式收集、 整理和分析受到随机因素影响的数据,从而对所研究对 象的某些特征做出判断。
1.1.2 样本
(2) 抽样, 即从总体抽取若干个个体进行检查或观察,用所 获得的数据对总体进行统计推断。 由于抽样费用低,时间 短,实际使用频繁。本书将在简单随机抽样的基础上研究各 种合理的统计推断方法,这是统计学的基本内容。应该说, 没有抽样就没有统计学
1.1.2 样本
• 从总体中抽出的部分(多数场合是小部分)个体组成的集合 称为样本。
(2)
(n 1)s2
2
~χ2(n-1);
(3) x与s2相互独立。
1.3.2 样本方差的抽样分布
例1.3.3
分别从正态总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中抽取容
量为n1和n2的两个独立样本,其样本方差分别
为
s2 1
和
s2 2
。
(1)证明:对α∈(0,1),
s s s 2 2 (1) 2
Fn(x)依概率收敛于F(x)
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
定理1.2.1(格里汶科定理)
对任给的自然数n,设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数F(x) 的一组样本观察值,Fn(x)为其经验分布函数,记
则有
Dn sup Fn x F x
x
P
lim
n
Dn
0
1
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
0
Fn x k / n
1.1 总体和样本 1.2 统计量与估计量 1.3 抽样分布 1.4 次序统计量 1.5 充分统计量 1.6 常用的概率分布族
数理统计学 是探讨随机现象统计规律性的一门学科, 它以概率论为理论基础,研究如何以有效的方式收集、 整理和分析受到随机因素影响的数据,从而对所研究对 象的某些特征做出判断。
1.1.2 样本
(2) 抽样, 即从总体抽取若干个个体进行检查或观察,用所 获得的数据对总体进行统计推断。 由于抽样费用低,时间 短,实际使用频繁。本书将在简单随机抽样的基础上研究各 种合理的统计推断方法,这是统计学的基本内容。应该说, 没有抽样就没有统计学
1.1.2 样本
• 从总体中抽出的部分(多数场合是小部分)个体组成的集合 称为样本。
(2)
(n 1)s2
2
~χ2(n-1);
(3) x与s2相互独立。
1.3.2 样本方差的抽样分布
例1.3.3
分别从正态总体N(μ1,σ2)和N(μ2,σ2)中抽取容
量为n1和n2的两个独立样本,其样本方差分别
为
s2 1
和
s2 2
。
(1)证明:对α∈(0,1),
s s s 2 2 (1) 2
Fn(x)依概率收敛于F(x)
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
定理1.2.1(格里汶科定理)
对任给的自然数n,设x1,x2,…,xn是取自总体分布函数F(x) 的一组样本观察值,Fn(x)为其经验分布函数,记
则有
Dn sup Fn x F x
x
P
lim
n
Dn
0
1
1.2.3 样本的经验分布函数及样本矩
0
Fn x k / n
概率论 第六章 样本及抽样分布
函数Fn(x)为 Fn(x)=S(x)/n , -∞<x< +∞。
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
第十六讲(数理统计中常用的分布、抽样分布定理)
2 1 2 2
3 n足够大 时， (n)近似服从• (n,2n) N
2
证
1设
2 (n) X i2
i 1
n
X i ~ N (0,1) i 1,2, , n
X 1 , X 2 , , X n
相互独立,
2 i
则 E ( X i ) 0, D( X i ) 1, E ( X ) 1
•2
P{ X z } 1
-z= z1-
例1 求
z0.05 , z0.025 , z0.005 , z0.95 .
解： P{ X 1.645} 0.05, P{ X 1.96} 0.05, P{ X 2.575} 0.005.
z0.05 1.645 , z0.025 1.96 , z0.005 2.575
0.4 0.3 0.2 0.1
n= 1 n=20
-3
-1
1
2
3
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t分布的性质： 1. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形， 1 t 2 2 再 由函数的性质有 lim f (t ) 2 e . n
~ ( n2 ), U
2
与V 相互
U n1 F V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为 第 一自由度，n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2) . 由定义可见，
1 V n2 ~F(n2,n1) F U n1
若F~F(n1,n2)， F的概率密度为
( n1 n2 ) n n1 n21 1 n n 2 n ( n1 ) 2 ( y ) 1 n1 y 2 ( y ) ( 1 ) ( 2 ) 2 2 2 0
3 n足够大 时， (n)近似服从• (n,2n) N
2
证
1设
2 (n) X i2
i 1
n
X i ~ N (0,1) i 1,2, , n
X 1 , X 2 , , X n
相互独立,
2 i
则 E ( X i ) 0, D( X i ) 1, E ( X ) 1
•2
P{ X z } 1
-z= z1-
例1 求
z0.05 , z0.025 , z0.005 , z0.95 .
解： P{ X 1.645} 0.05, P{ X 1.96} 0.05, P{ X 2.575} 0.005.
z0.05 1.645 , z0.025 1.96 , z0.005 2.575
0.4 0.3 0.2 0.1
n= 1 n=20
-3
-1
1
2
3
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t分布的性质： 1. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形， 1 t 2 2 再 由函数的性质有 lim f (t ) 2 e . n
~ ( n2 ), U
2
与V 相互
U n1 F V n2
服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为 第 一自由度，n2称为第二自由度，记作
F~F(n1,n2) . 由定义可见，
1 V n2 ~F(n2,n1) F U n1
若F~F(n1,n2)， F的概率密度为
( n1 n2 ) n n1 n21 1 n n 2 n ( n1 ) 2 ( y ) 1 n1 y 2 ( y ) ( 1 ) ( 2 ) 2 2 2 0
统计学之抽样与抽样估计概述
重复抽样：
（1）总体是正态分布，样本必然是正态分布
（2）样本平均数的平均数等于总体平均数
（3）样本平均数的方差等于总体方差除以样本
容量n
2 x
2
n
（4）n越大，样本平均数越趋近于正态分布
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为X1=1、X2=2、X3=3 、X4=4 。 总体的均值、方差及分布如下
.2
.1 0
1
234
= 2.5
σ2 =1.25
.3 P ( X ) 抽样分布
.2
.1
0
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 X
X 2.5
2 X
1.25 2
0.625
不重复抽样：
（1）总体是正态分布，样本必然是正态分布
（2）样本平均数的平均数等于总体平均数
（3）样本平均数的方差等于总体方差除以样本
对于给定置信度，有
P(1 P)
P { p z / 2
n
P p z / 2
x
z / 2 p
z / 2
P(1 P) n
P(1 P) } 1
n
总体比例的置信区间为
P(1 P)
P(1 P)
( p z / 2
n
, p z / 2
) n
小样本条件下，不作介绍。
【例】某城市想 要估计下岗职工 中女性所占的比 例，随机抽取了 100 个 下 岗 职 工 ， 其 中 65 人 为 女 性职工。试以 95% 的 置 信 水 平 估计该城市下岗 职工中女性比例 的置信区间
p
P(1 P) n
0.95 0.05 100
正态总体的常用抽样分布
特点
卡方分布在正态分布两侧有更多的面 积，即其尾部比正态分布更重。随着 自由度n的增加，卡方分布趋近于正 态分布。
04
抽样分布的应用
参数估计
1 2
参数估计
通过抽样分布，我们可以估计总体参数，如均值 和方差。常用的估计方法有矩估计和最大似然估 计。
置信区间
基于抽样分布，我们可以构建总体参数的置信区 间，从而对总体参数进行区间估计。
03
样本方差的数学期望等于总体方差，其方差随 着样本量的增加而减小。
样本偏度与峰度
样本偏度是总体偏度的无偏估计，用于衡量数据的对称性。 样本峰度是总体峰度的无偏估计，用于衡量数据分布的尖锐程度。 在正态分布中，偏度和峰度均为0，但在非正态分布中，偏度和峰度可能不为0。
03
其他常用抽样分布
t分布
中心极限定理
中心极限定理的基本思想
中心极限定理表明，无论总体分布是什么类型，只要样本量足够大，从该总体中随机抽取的样本均值将趋近于正 态分布。这意味着我们可以利用正态分布的性质来分析和推断样本均值。
中心极限定理的应用
中心极限定理在统计学中具有广泛的应用价值。例如，在制定置信区间、假设检验和回归分析等统计方法时，都 需要利用中心极限定理来处理样本数据和推断总体参数。因此，正确理解和应用中心极限定理对于统计推断的准 确性和可靠性至关重要。
THANKS
样本量大小的影响
样本量大小
样本量的大小对抽样分布的形状和稳 定性有显著影响。随着样本量增加， 抽样分布的形状逐渐接近正态分布， 且分布的离散程度逐渐减小。
样本量与精度
样本量越大，估计的精度越高，即估 计的参数值越接近真实值。因此，在 制定抽样计划时，应充分考虑样本量 的大小，以确保估计的精度满足要求。
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别
关于对统计推断中抽样分布的总结及判别统计推断是统计学的重要分支，用于从一个样本中推断总体的性质。
在进行统计推断时，我们需要对样本进行抽样，并利用抽样数据来进行分析。
抽样分布是统计推断的基础，它是由样本数据的一个统计量构成的分布。
本文将对抽样分布的概念、属性以及判别进行总结，并阐述其在统计推断中的作用。
抽样分布的概念：抽样分布是由样本统计量的取值构成的概率分布。
在统计推断中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样来获取一部分数据。
我们需要对样本数据进行抽样，得到一个样本统计量，如均值、方差等。
样本统计量的分布即为抽样分布。
抽样分布的属性：1. 中心性质：抽样分布的中心通常与总体相同或近似相同。
当样本容量足够大时，抽样分布的均值接近总体均值。
2. 精确性质：抽样分布的方差通常比总体方差小。
样本容量越大，抽样分布越接近总体分布。
3. 形态性质：抽样分布的形态通常与总体分布有关。
当总体分布近似于正态分布时，抽样分布也近似于正态分布。
抽样分布的判别：在进行统计推断时，我们通常需要判断一个样本统计量是否来自某个已知分布。
为此，我们可以利用分布的特征进行判别。
1. 直方图：可以通过绘制样本统计量的直方图来观察其分布情况。
如果直方图呈现对称分布且近似于正态分布，那么我们可以判定样本统计量来自正态分布。
2. 正态概率图：正态概率图是一种用于判断数据是否来自正态分布的图形方法。
如果数据点近似位于一条直线上，那么可以判定数据来自正态分布。
3. 假设检验：通过设立假设并进行统计检验，可以判断样本统计量是否来自某个特定的分布。
常用的假设检验方法包括Z检验、t检验等。
抽样分布在统计推断中的作用：抽样分布在统计推断中起着重要的作用，它为我们提供了从样本推断总体性质的基础。
1. 参数估计：通过样本的抽样分布，可以进行总体参数的点估计和区间估计。
通过样本均值的抽样分布，可以推断总体的平均值。
2. 假设检验：抽样分布是进行假设检验的基础。
抽样分布
第一章 统计量与抽样分布 第三节 抽样分布
1. 抽样分布 2. 样本均值的抽样分布 3、样本方差的抽样分布 4、样本均值与样本标准差之比的抽 样分布
1.3.1抽样分布
1、定义：统计量的概率分布称为抽样分布。 2、抽样分布的类型： （1）精确（抽样）分布：即当总体X的分布已知时， 如果对任一自然数n都能导出统计量T（ x1, x2 ,, xn ） 的分布显示表达式。（这是在小样本问题中使用， 大多是在正态总体下得到。） （2）渐近（抽样）分布：即在大多数场合，精确 抽样分布不容易导出，或者导出的精确分布过于复 杂而难以应用，这时人们借助于极限工具，寻求在 样本量n无限大时统计量T（ x1, x2 ,, xn ）的极限分 布。（这是在大样本问题中使用）
X n 1
i 1
i
X
1.3、3样本均值与样本标准差之比的 抽样分布：
0 1, Pt n 则 称为n个自由度的t分布 水平上侧分位数。记为 t n
4、t分布的上侧分位数 设随机变量 t(n) 服从自由度为n的 t分布，
1.3、3样本均值与样本标准差之比的 抽样分布：
0-1分布
二项分布 泊松分布
p np
pq npq
均匀分布 正态分布
ab 2
1
(b a ) 2 12
2
1 2
指数分布
1.3、1样本均值的抽样分布
结论：有了渐近分布就可作出一些统计推断。 例如：在总体为均匀分布 的场合，若 U 1,5 ，试问样本 要以0.99的概率保证 量n至少取多少？ x 3 0.5 同样 ，类似于上述的问题可对另外两个分布 提出。
例题：
设
x1 , x2 ,, x17
1. 抽样分布 2. 样本均值的抽样分布 3、样本方差的抽样分布 4、样本均值与样本标准差之比的抽 样分布
1.3.1抽样分布
1、定义：统计量的概率分布称为抽样分布。 2、抽样分布的类型： （1）精确（抽样）分布：即当总体X的分布已知时， 如果对任一自然数n都能导出统计量T（ x1, x2 ,, xn ） 的分布显示表达式。（这是在小样本问题中使用， 大多是在正态总体下得到。） （2）渐近（抽样）分布：即在大多数场合，精确 抽样分布不容易导出，或者导出的精确分布过于复 杂而难以应用，这时人们借助于极限工具，寻求在 样本量n无限大时统计量T（ x1, x2 ,, xn ）的极限分 布。（这是在大样本问题中使用）
X n 1
i 1
i
X
1.3、3样本均值与样本标准差之比的 抽样分布：
0 1, Pt n 则 称为n个自由度的t分布 水平上侧分位数。记为 t n
4、t分布的上侧分位数 设随机变量 t(n) 服从自由度为n的 t分布，
1.3、3样本均值与样本标准差之比的 抽样分布：
0-1分布
二项分布 泊松分布
p np
pq npq
均匀分布 正态分布
ab 2
1
(b a ) 2 12
2
1 2
指数分布
1.3、1样本均值的抽样分布
结论：有了渐近分布就可作出一些统计推断。 例如：在总体为均匀分布 的场合，若 U 1,5 ，试问样本 要以0.99的概率保证 量n至少取多少？ x 3 0.5 同样 ，类似于上述的问题可对另外两个分布 提出。
例题：
设
x1 , x2 ,, x17
常用的三种抽样分布
常用的三种抽样分布
概述
在统计学中，抽样分布是指从总体中抽取一定数量的样本，并计算样本统计量的分布。
根据中心极限定理，当样本数足够大时，样本的均值和标准差会呈正态分布。
然而，并非所有的抽样分布都符合正态分布。
本文将介绍统计学中常用的三种抽样分布，包括正态分布、t分布和χ²（卡方）分布。
1. 正态分布（Normal Distribution）
正态分布是最常见的一种抽样分布，也被称为高斯分布。
它具有以下特点： - 均值为μ，标准差为σ； - 对称分布，其曲线呈钟型，两侧尾部逐渐下降； - 总体分布和抽样分布均为正态分布； - 标准正态分布
的均值为 0，标准差为 1。
可以通过标准化计算将任意正态分布转换为标准正态分布。
正态分布在实际应用中非常重要，尤其是在假设检验和置信区间计算中的应用广泛。
2. t分布（Student’s t-Distribution）
t分布是由英国统计学家William Sealy Gosset（也被称为。
4.3抽样分布
(3) X与S2相互独立
(4) X ~ t(n 1)
Sn
已知， 2未知
(5) n ( Xi )2 ~ 2 (n)
i1
已知
LOGO
例1 设总体X 服从正态分布N (12, 2 ), 抽取容量为
25的样本,求样本均值X大于12.5的概率.如果(1)已
知 12；（2）未知，但已知样本方差S2 3.6.
n1 n2
服
从
F（n1,
n
）
2
分
布
.
LOGO
4.3.2 正态总体的抽样分布
由于要求具体抽样分布是困难的，有时甚至是不可 能的。正态总体的抽样分布有详尽的研究，本节主要 学习正态总体的抽样分布。
掌握正态分布、 2分布、t分布、F分布的一些结论
对于正态总体抽样分布的学习非常有用. 主要学习单个正态总体的抽样分布以及多个正态总
i1
于是P
10
i1
Xi 2
4
P
1 0.52
10 i1
Xi2
16
查表求02.10(10) 16.由此可得
P
10 i1
Xi
2
4
0.10.
(2) 由题设及定理4.3.2， 9S 2
0.52
10
P i1
(Xi
X )2
1
2.85
P
0.52
10 i1
查表得02.25(9) 11.4,由此可求得
n
n
该定理的证明由正态分布的性质3.1.10可得。
注意：当样本来自非正态总体时，若总体均值为,方差 为 样 本量2（充有分限大且时不，X为近零似）服，从由N中(心, 极)2.限定理可以证明当
正态总体下的抽样分布
中心极限定理
中心极限定理是抽样分布的理论基础， 它表明无论总体分布是什么，只要样 本量足够大，样本均值的分布近似正 态分布。
样本均值的性质
无偏性
样本均值的数学期望等于总体均值， 即$text{E}(bar{x}) = mu$。
最小方差性
在所有可能的样本统计量中，样本均 值具有最小的方差，即 $text{Var}(bar{x}) = frac{sigma^2}{n}$。
数学表达式
正态分布的数学表达式为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
抽样分布的概念
抽样分布
抽样分布描述的是从某一总体中随机 抽取一定数量的样本后，这些样本统 计量（如均值、方差等）的分布情况。
大样本下样本方差的分布
卡方分布
在大样本下，样本方差通常呈现卡方分布。
方差的无偏估计
在大样本下，样本方差是总体方差的无偏估计。
方差的同方差性
在大样本下，来自不同总体的样本方差通常具有同方差性，即它们具有相同的 方差。
04
小样本下的抽样分布
小样本的定义
小样本是指从总体中随机抽取的样本 量较小，通常在30个样本以下。
THANKS
感谢观看
正态分布的性质
Байду номын сангаас01
02
03
集中性
正态分布的曲线关于均值 所在直线对称，数据值主 要集中在均值附近。
均匀性
正态分布的曲线在均值两 侧均匀下降，且下降速度 逐渐减缓。
平坦性
正态分布的曲线在均值的 两侧逐渐接近水平线，表 现出平坦的趋势。
中心极限定理是抽样分布的理论基础， 它表明无论总体分布是什么，只要样 本量足够大，样本均值的分布近似正 态分布。
样本均值的性质
无偏性
样本均值的数学期望等于总体均值， 即$text{E}(bar{x}) = mu$。
最小方差性
在所有可能的样本统计量中，样本均 值具有最小的方差，即 $text{Var}(bar{x}) = frac{sigma^2}{n}$。
数学表达式
正态分布的数学表达式为$f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，其中$mu$是均值， $sigma$是标准差。
抽样分布的概念
抽样分布
抽样分布描述的是从某一总体中随机 抽取一定数量的样本后，这些样本统 计量（如均值、方差等）的分布情况。
大样本下样本方差的分布
卡方分布
在大样本下，样本方差通常呈现卡方分布。
方差的无偏估计
在大样本下，样本方差是总体方差的无偏估计。
方差的同方差性
在大样本下，来自不同总体的样本方差通常具有同方差性，即它们具有相同的 方差。
04
小样本下的抽样分布
小样本的定义
小样本是指从总体中随机抽取的样本 量较小，通常在30个样本以下。
THANKS
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正态分布的性质
Байду номын сангаас01
02
03
集中性
正态分布的曲线关于均值 所在直线对称，数据值主 要集中在均值附近。
均匀性
正态分布的曲线在均值两 侧均匀下降，且下降速度 逐渐减缓。
平坦性
正态分布的曲线在均值的 两侧逐渐接近水平线，表 现出平坦的趋势。
第三章 正态分布与抽样分布
图3-5 正态分布的概率
关于正态分布，有几个概率应记住： 关于正态分布，有几个概率应记住： 一般正态分布： 一般正态分布：
P（µ－1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝0.95 1.96σ≤x＜µ+1.96σ）＝ ）＝0.95 P（µ－2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝0.99 2.58σ≤x＜µ+2.58σ）＝ ）＝0.99 P（µ－σ≤x＜µ+σ）＝0.6826 σ≤x＜µ+σ）＝ ）＝0.6826 P（µ－2σ≤x＜µ+2σ）＝0.9545 2σ≤x＜µ+2σ）＝ ）＝0.9545 P（µ－3σ≤x＜µ+3σ）＝0.9973 3σ≤x＜µ+3σ）＝ ）＝0.9973
对于大样本资料，常将样本标准差S 对于大样本资料，常将样本标准差S 与样本均数配合使用，记为 X ± S ，用 与样本均数配合使用， 以说明所考察性状或指标的优良性与稳 定性。对于小样本资料， 定性。对于小样本资料，常将样本标准 误 SX 与样本均数 X 配合使用，记 配合使用， 为 X ± S ，用以表示所考察性状或指 标的优良性与抽样误差的大小。 标的优良性与抽样误差的大小。
学上已证明 总体的两个参数与x总体的两 总体的两个参数与x 个参数有如下关系： 个参数有如下关系：
µx = µ
σx =
σ
n
表 X 的抽样分布形式与原总体X分布形式的关系 的抽样分布形式与原总体X
2.2 均数标准误
均数标准误 σx = 的大小反映样本均数 X n 抽样误差的大小 标准误大， 的大小。 的抽样误差的大小。标准误大，说明各样本均 间差异程度大；反之，亦然。 数 X 间差异程度大；反之，亦然。 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， 在实际工作中，总体标准差σ往往是未知的， σx 此时，可用样本标准差S 因而无法求得 。此时，可用样本标准差S估 S 于是， 计σ 。于是，以 估计 n 。记σx 为 n， S SX 称作样本标准误或均数标准误。 称作样本标准误或均数标准误。 是均数抽样 SX 误差的估计值。 误差的估计值。
统计学中的抽样分布和抽样误差
统计学中的抽样分布和抽样误差统计学是一门研究数据收集、处理和分析的学科，而在进行统计分析时，抽样是一项重要的技术。
抽样分布和抽样误差是统计学中关键的概念，本文将具体介绍它们的定义、特点和应用。
一、抽样分布在统计学中，抽样分布指的是从总体中抽取样本的过程中得到的样本统计量的概率分布。
样本统计量可以是样本均值、样本方差等。
抽样分布是由大量不同的样本所形成的，它们具有一定的数学特性。
抽样分布的特点有：1. 抽样分布的中心趋向于总体参数。
当样本容量足够大时，抽样分布的中心会接近总体参数的真值。
2. 抽样分布的形状可能与总体分布相同，也可能近似于正态分布。
中心极限定理是解释抽样分布接近正态分布的重要定理。
3. 样本容量越大，抽样分布的方差越小。
样本容量增大，抽样误差减小。
抽样分布在实际应用中具有重要价值。
通过了解抽样分布的性质，我们可以进行假设检验、构建置信区间以及进行参数估计等统计推断。
二、抽样误差抽样误差是指由于从总体中抽取样本而导致的估计值与总体参数值之间的差异。
它是统计推断中常见的误差来源，也是统计分析中需要控制的重要因素。
抽样误差的大小受到多个因素的影响，包括样本容量、总体变异性以及抽样方法等。
通常情况下，样本容量越大，抽样误差越小，因为更大的样本容量能够更好地代表总体。
为了降低抽样误差，我们可以采取以下策略：1. 增加样本容量。
增大样本容量可以减小抽样误差，提高估计值的准确性。
2. 采用随机抽样方法。
随机抽样可以降低抽样误差，确保样本的代表性。
3. 控制变异性。
尽量减少总体的变异性，可以减小抽样误差。
抽样误差的存在对于统计推断的可靠性有着重要的影响。
在进行数据分析和解释时，我们需要正确理解抽样误差的概念，并将其考虑在内。
总结：统计学中的抽样分布和抽样误差是进行统计推断不可或缺的概念。
抽样分布是样本统计量的概率分布，具有一定的数学特性，可以用于进行假设检验和置信区间估计。
抽样误差是由于从总体中抽取样本而导致的估计值与总体参数值之间的差异，它的大小受到多个因素的影响。
抽样分布的名词解释
3.卡方分布：卡方分布是指卡方统计理论频数的差异是否显著。
4.F分布：F分布是指F统计量的分布情况。F分布常用于F检验，用于比较两组样本的方差差异是否显著。
抽样分布的类型和使用场景不同，但都在统计学中扮演着重要的角色。通过对抽样分布的了解，可以帮助我们更加准确地进行统计分析，更好地掌握数据的分布情况。
抽样分布是指根据总体数据的抽样结果的分布情况。在统计学中，通过对样本的观察，可以推断出总体的分布情况。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布、卡方分布、F分布等。
1.正态分布：正态分布是指数据呈现出高峰在中间，两侧逐渐递减的分布形态。正态分布常用于表示自然界中许多变量的分布情况，例如人群身高、体重等。
2.t分布：t分布是指在总体方差未知的情况下，样本方差的分布情况。t分布常用于统计分析中的t检验，用于比较两组样本的差异是否显著。
4.F分布：F分布是指F统计量的分布情况。F分布常用于F检验，用于比较两组样本的方差差异是否显著。
抽样分布的类型和使用场景不同，但都在统计学中扮演着重要的角色。通过对抽样分布的了解，可以帮助我们更加准确地进行统计分析，更好地掌握数据的分布情况。
抽样分布是指根据总体数据的抽样结果的分布情况。在统计学中，通过对样本的观察，可以推断出总体的分布情况。
常见的抽样分布包括正态分布、t分布、卡方分布、F分布等。
1.正态分布：正态分布是指数据呈现出高峰在中间，两侧逐渐递减的分布形态。正态分布常用于表示自然界中许多变量的分布情况，例如人群身高、体重等。
2.t分布：t分布是指在总体方差未知的情况下，样本方差的分布情况。t分布常用于统计分析中的t检验，用于比较两组样本的差异是否显著。
生物统计学课件-3正态分布和抽样分布
人口普查数据通常呈现 正态分布特征，通过对 人口数据进行分析，可 以了解人口数量、性别 比例、年龄结构等方面
的信息。
生物量分布
生物量在不同生物个体 之间存在差异，其生物 量通常服从正态分布。 通过对生物量分布进行 分析，可以了解生物群 落的结构和生态特征。
02
抽样分布
抽样分布的定义
抽样分布
抽样分布的特性
感谢您的观看
THANKS
实例一：人类身高数据的正态分布分析
总结词
人类身高数据呈现正态分布，即大多数人的身高集中 在平均值附近，少数人偏离平均值。
详细描述
通过对大量人群的身高数据进行统计分析，可以发现 这些数据呈现正态分布的特点。正态分布是一种常见 的概率分布，其特点是数据点呈现钟形曲线，平均值 处达到峰值，两侧逐渐降低。在人类身高数据中，平 均身高即为正态分布的均值，大多数人的身高都接近 这个平均值，只有少数人身高过高或过低。这种分布 反映了人类身高的自然变异和遗传因素。
描述样本统计量（如样本均值、样本 比例等）如何围绕总体参数（如总体 均值、总体比例等）分布的统计规律。
与总体参数密切相关，样本量越大， 抽样分布越接近总体参数。
抽样分布的形成
通过多次从总体中随机抽取样本，并 观察样本统计量的变化，可以形成抽 样分布。
抽样分布的性质
中心极限定理
无论总体分布是什么形状，当 样本量足够大时，样本统计量
实例二：人类基因频率的抽样分布分析
总结词
人类基因频率在不同人群中存在差异，通过抽样分布 分析可以了解基因频率的分布情况。
详细描述
基因频率是指某种特定基因在群体中的出现频率。由于 不同人群的遗传背景和进化历程不同，基因频率也会有 所差异。为了了解基因频率在不同人群中的分布情况， 可以采用抽样分布的方法进行分析。通过对不同人群进 行随机抽样，检测特定基因的存在与否，并计算基因频 率。通过比较不同人群的基因频率数据，可以了解基因 频率的分布特征和变异情况。
的信息。
生物量分布
生物量在不同生物个体 之间存在差异，其生物 量通常服从正态分布。 通过对生物量分布进行 分析，可以了解生物群 落的结构和生态特征。
02
抽样分布
抽样分布的定义
抽样分布
抽样分布的特性
感谢您的观看
THANKS
实例一：人类身高数据的正态分布分析
总结词
人类身高数据呈现正态分布，即大多数人的身高集中 在平均值附近，少数人偏离平均值。
详细描述
通过对大量人群的身高数据进行统计分析，可以发现 这些数据呈现正态分布的特点。正态分布是一种常见 的概率分布，其特点是数据点呈现钟形曲线，平均值 处达到峰值，两侧逐渐降低。在人类身高数据中，平 均身高即为正态分布的均值，大多数人的身高都接近 这个平均值，只有少数人身高过高或过低。这种分布 反映了人类身高的自然变异和遗传因素。
描述样本统计量（如样本均值、样本 比例等）如何围绕总体参数（如总体 均值、总体比例等）分布的统计规律。
与总体参数密切相关，样本量越大， 抽样分布越接近总体参数。
抽样分布的形成
通过多次从总体中随机抽取样本，并 观察样本统计量的变化，可以形成抽 样分布。
抽样分布的性质
中心极限定理
无论总体分布是什么形状，当 样本量足够大时，样本统计量
实例二：人类基因频率的抽样分布分析
总结词
人类基因频率在不同人群中存在差异，通过抽样分布 分析可以了解基因频率的分布情况。
详细描述
基因频率是指某种特定基因在群体中的出现频率。由于 不同人群的遗传背景和进化历程不同，基因频率也会有 所差异。为了了解基因频率在不同人群中的分布情况， 可以采用抽样分布的方法进行分析。通过对不同人群进 行随机抽样，检测特定基因的存在与否，并计算基因频 率。通过比较不同人群的基因频率数据，可以了解基因 频率的分布特征和变异情况。
正态样本统计量的抽样分布概述
1
2
20
Xi
i1
X
2
35.2
P
1
2
20
Xi
i1
X
2
7.4
P
1
2
20
X
i1
i
X
2
35.2
查表
0.99 0.01 0.98
(P.386)
(2) 20 Xi 2 ~ 2 (20)
i1
故
P 0.37
2
1 20
20
Xi
i1
2
1.76
2
P 7.4
20
i1
Xi
2
35.2
(1)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
X
2
1.76
2
(2)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
2
1.76
2
解 (1)
(n
1)S 2
2
~
2(n
1)
即
19S 2
2
1
2
20 i 1
Xi X
2 ~ 2 (19)
故
P
0.37
2
1 20
20
Xi
i1
X
2
1.76
2
P 7.4
但
F0.95 (5, 4) ?
事实上,
F1
(n,
m)
F
1 (m,
n)
故
F0.95 (5,4)
1 F0.05 (4,5)
1 5.19
第三章 抽样分布
F分布特征及查表方法：
F分布的上侧和下侧分位点见下图。 根据df1值和df2值及α值可在附表7中查出。如F4，20，0.01=4.431 附表7给出的是上侧分位数，要求下侧分位数需将df1和df2位置 对调再求倒数。 如F4，20，0.99=1/F20，4，0.01=1/14.0=0.0714 有些自由度下的 F 值附表 7 没有给出，可用线性内插方法求出。 F12,17,0.05=F12,15,0.05+(F12,20,0.05－F12,15,0.05)/(20-15)×(17-15)=2.396
(x x )
1 2
12
n1
n2
标准化(
u
( x 1 x 2 ) ( 1 2 )
12
n1
2 2
)后的变量服从
n2
标准的正态分布，这样可以推断在标准差已
知时，两个样本平均数的差异是否显著。
二、总体标准差未知但相等时,两个样本平均数和与差 的分布---t分布
例1：查df＝9，α＝0.05的χ 2值 例2：设随机变量k服从分布χ 2(5),求λ的值使其满足 P{k≤λ}=0.05
4.2 从两个正态分布总体中抽取的样本统计量的分布
假定有两个正态总体，分别具有(μ1，σ1)和(μ2，σ2)。 从第一个总体中随机抽取含量为 n1 的样本，并独立地从第二 个总体中抽取含量为 n2的样本。求出x1,s1和x2,s2。下面我们 研究x1±x2的分布。
X 0.1 1 2 F 0.1 即， P 0.5 0.997 0.5 0.5 n n n
解：P {∣ X －μ∣<0.1｝= 0.997
生物统计学课件--3正态分布和抽样分布备课讲稿
生物统计学课件--3正态分布和 抽样分布
正态分布密度函数在直角坐标上的图象称正态曲线
x
决定正态曲线最高点横坐标的值，决定正态曲线最 高点纵坐标的值和曲线的开张程度， 越小，曲线越 陡峭，数据越整齐。
N（ ，2 ） N（156，4.82），N（15，4）
正态曲线有一组而不是一条
2、正态分布的累积函数
f (x)
1
x2
e2
2
三、标准正态分布
称=0，=1时的正态分布为标准正态分布，记为N（0，1）。
1、标准正态分布的密度函数和累积函数
密度函数：
(u)
1
u 2
e2
2
其中：-∞ u∞
累积函数：
(u)P(Uu) 1
u u2
e 2du
2
标准正态分布的分布曲线
u 标准正态分布的累积分布曲线
u
服从正态分布，且有：
x ,
2 x
2
n
即： X N(,2 )
n
将平均数标准化，则：u
x
， u服从N（0，1）
n
例：假如某总体由三个数字2、4、6组成，现在从该总体中做放回式抽样，
样本容量
样本
样本数
n=1
2
4
6
31
平均数
2
4
6
n=2
2 2 ，2 4 ，4 2，2 6，6 2， 4 4， 4 6，6 4，6 6
310=59049
n=20
5904959049
2、标准差未知时的样本平均数的分布----t 分布 若总体的方差是未知的，即标准差 未知，可以用样 本的标准差 s代替总体的标准差 ，
则变量
正态分布密度函数在直角坐标上的图象称正态曲线
x
决定正态曲线最高点横坐标的值，决定正态曲线最 高点纵坐标的值和曲线的开张程度， 越小，曲线越 陡峭，数据越整齐。
N（ ，2 ） N（156，4.82），N（15，4）
正态曲线有一组而不是一条
2、正态分布的累积函数
f (x)
1
x2
e2
2
三、标准正态分布
称=0，=1时的正态分布为标准正态分布，记为N（0，1）。
1、标准正态分布的密度函数和累积函数
密度函数：
(u)
1
u 2
e2
2
其中：-∞ u∞
累积函数：
(u)P(Uu) 1
u u2
e 2du
2
标准正态分布的分布曲线
u 标准正态分布的累积分布曲线
u
服从正态分布，且有：
x ,
2 x
2
n
即： X N(,2 )
n
将平均数标准化，则：u
x
， u服从N（0，1）
n
例：假如某总体由三个数字2、4、6组成，现在从该总体中做放回式抽样，
样本容量
样本
样本数
n=1
2
4
6
31
平均数
2
4
6
n=2
2 2 ，2 4 ，4 2，2 6，6 2， 4 4， 4 6，6 4，6 6
310=59049
n=20
5904959049
2、标准差未知时的样本平均数的分布----t 分布 若总体的方差是未知的，即标准差 未知，可以用样 本的标准差 s代替总体的标准差 ，
则变量
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j 1
~
N
(
2
,
2
m
)
X
Y
~
N (1
2
,
2
n
2
m
)
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 2 2
nm
(n 1)S12
2
~
2 (n 1) ,
(m
1)S
2 2
2
~
2 (m 1)
(n
1) S12
2
(m
1) S 22
2
~ 2 (n m 2)
X Y
与
(n 1)S12
2
(m
1)S
P
20
i1
X
i
2
7.4
P
20
i1
X
i
2
35.2
0.995 0.025 0.97
例5 设X 与Y 相互独立， X ~ N(0,16), Y ~ N(0,9) ,
X1, X2 ,…, X9 与 Y1, Y2 ,…, Y16 分别是取自 X 与 Y
的简单随机样本, 求统 计量
X1 X2 X9 Y12 Y22 Y126
求下列概率:
(1)P(| X 12 | 1); (2)P(max(X1,, X 5 ) 15); (3)P(min(X1,, X 5 ) 10).
解
(1)因为
X
~
N (12,
4 ), 5
所以
X
12 4
~
N（0，1）
5
P(|
X
12 | 1)
P
X
12
1
=2Φ(1.118)-1
4 5
4 5
=0.7364
(1)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
X
2
1.76
2
(2)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
2
1.76
2
解 (1)
(n
1)S 2
2
~
2(n
1)
即
19S 2
2
1
2
20 i 1
Xi X
2 ~ 2 (19)
故
P
0.37
2
1 20
20
Xi
i1
X
2
1.76
2
P 7.4
m = 4, n =10 m = 10, n =10 m = 15, n =10
F 分布的性质
1 若F ~ F (n, m) , 则 1 ~ F (m, n) F
2 F (n, m) 的上 分位数F (n , m) 有表可查 :
P(F F (n, m))
例如 F0.05 (4,5) 5. 19
2
2 2
相互独立
( X Y ) (1 2 )
2 2
nm
(n
1) S12
2
(m
1)
S
2 2
2
nm2
( X Y ) (1 2 )
1 1
(n
1) S12
(m
1)S
2 2
~ t(n m 2)
nm
nm2
(4)
例3 设总体 X ~ N (72,100,)为使样本均值
大于70 的概率不小于 90% ,则样本容量
则称 x /2 为X 所服从的分布的双侧 分位数
标准正态分布的上 分位数 z
z0.05 1.645 常用
z0.025 1.96
数字
z•
z0.005 2.575
/2 -z•/2
-z/2 = z1-/2
/2
z•/2
6.2.2 2 (n) 分布(Chi squared r.v.)
定义 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立,
n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x e4
x2
2
dx
3
2
D( X
2 i
)
E(X
4 i
)
E
2
(X
2 i
)
2
D 2 (n)
D
n
X
2 i
2n
i1
6.2.3 t 分布 (Student 分布)
定义 设X ~ N (0,1) , Y ~ 2 (n), X , Y 相互独立,
T
X Y
n
S12 S22
~
F(n 1, m 1)
设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 X ~ N (1, 2 )
的一个简单随机样本
Y1,Y2 ,,Ym 是来自正态总体 Y ~ N (2 , 2 )
的一个简单随机样本 , 它们相互独立.
则
X
1 n
n i 1
Xi
~
N
(1
,
2
n
)
Y
1 m
m
Yj
所服从的分布.
解 X1 X 2 X9 ~ N ( 0, 916)1 34Fra bibliotek(X1
X
2
X9
)
~
N
(
0, 1)
13Yi ~ N (0,1) ,i 1,2,,16
16
i1
13Yi
2
~
2 (16)
从而
X1 X2 X9
Y12 Y22 Y126
1 3 4
X1
X2
16 i 1
1 3
Yi
由于正态总体是最常见的总体, 故本节介绍的 几个抽样分布均对正态总体而言.
6.2.1 正态分布(Normal distribution)
若
X1, X2,, Xn
i.~i.d.
N
(
i
,
2 i
)
则
n
ai X i
~ N
n
aii ,
n
ai2
2 i
i1
i1
i1
特别地,
若 X1, X 2 ,, X n i.~i.d. X i ~ N (, 2 )
查
PT t
t t1
n = 10
-t•
t•
PT 1.8125 0.05 t0.05(10) 1.8125
PT 1.8125 0.05
PT 1.8125 0.95
t0.95 (10) 1.8125
P(T
t / 2 )
2
P T t /2
/2
-t•/2
/2
•t/2
n —4—2 .
解 设样本容量为 n , 则
X ~ N (72,100) n
故 P(X 70) 1 P(X 70) 0.2 n
令 0.2 n 0.9 查表得 0.2 n 1.29
即 n 41.6025 所以取 n 42
例4 从正态总体 X ~ N (, 2 ) 中，抽取了
n = 20 的样本 X1, X 2 ,, X 20
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n
X
2 i
~
2(n)
i 1
n = 1 时,其密度函数为
f
(x)
0,
1 x e , 12
x 2
2
x0 x0
n = 2 时,其密度函数为
f
(x)
1
e
x 2
,
2
0,
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
一般地, 自由度为 n 的 2(n) 的密度函数为
f
(
P 2(10) 18.307 0.05
n = 10
•20.05(10)
n
证 1 设 2 (n)
X
2 i
X i ~ N (0,1) i 1,2,, n
i 1
X1, X 2 ,, X n 相互独立,
则
E(X i ) 0,
D(X i ) 1,
E(
X
2 i
)
1
E 2 (n)
E
2
X9
~ t(16)
16
例7 设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体N ( , 2 )
的简单随机样本, X 是样本均值,
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2,
S32
1 n 1
n i1
(Xi
)2,
S22
1 n
n i1
(Xi
X
)2,
S42
1 n
n i1
(Xi
)2,
则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为:
x)
1
n
e x ,
x 2
n 2
1
2
2
(
n 2
)
其中，
0,
(x) t e x1 t dt 0
x0 x0
在x > 0 时收敛，称为 函数，具有性质
(x 1) x(x),
(1) 1, (1/ 2)
(n 1) n! (n N )
2 (分n)布
n=2
密度函数图
n=3
n=5 n = 10
则T 所服从的分布称为自由度为 n 的t 分 布其密度函数为
f (t)
Γ
n
n
2
1
Γ n
1
t2 n
n1
2
2
t
n=1
n=20
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
~
N
(
2
,
2
m
)
X
Y
~
N (1
2
,
2
n
2
m
)
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 2 2
nm
(n 1)S12
2
~
2 (n 1) ,
(m
1)S
2 2
2
~
2 (m 1)
(n
1) S12
2
(m
1) S 22
2
~ 2 (n m 2)
X Y
与
(n 1)S12
2
(m
1)S
P
20
i1
X
i
2
7.4
P
20
i1
X
i
2
35.2
0.995 0.025 0.97
例5 设X 与Y 相互独立， X ~ N(0,16), Y ~ N(0,9) ,
X1, X2 ,…, X9 与 Y1, Y2 ,…, Y16 分别是取自 X 与 Y
的简单随机样本, 求统 计量
X1 X2 X9 Y12 Y22 Y126
求下列概率:
(1)P(| X 12 | 1); (2)P(max(X1,, X 5 ) 15); (3)P(min(X1,, X 5 ) 10).
解
(1)因为
X
~
N (12,
4 ), 5
所以
X
12 4
~
N（0，1）
5
P(|
X
12 | 1)
P
X
12
1
=2Φ(1.118)-1
4 5
4 5
=0.7364
(1)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
X
2
1.76
2
(2)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
2
1.76
2
解 (1)
(n
1)S 2
2
~
2(n
1)
即
19S 2
2
1
2
20 i 1
Xi X
2 ~ 2 (19)
故
P
0.37
2
1 20
20
Xi
i1
X
2
1.76
2
P 7.4
m = 4, n =10 m = 10, n =10 m = 15, n =10
F 分布的性质
1 若F ~ F (n, m) , 则 1 ~ F (m, n) F
2 F (n, m) 的上 分位数F (n , m) 有表可查 :
P(F F (n, m))
例如 F0.05 (4,5) 5. 19
2
2 2
相互独立
( X Y ) (1 2 )
2 2
nm
(n
1) S12
2
(m
1)
S
2 2
2
nm2
( X Y ) (1 2 )
1 1
(n
1) S12
(m
1)S
2 2
~ t(n m 2)
nm
nm2
(4)
例3 设总体 X ~ N (72,100,)为使样本均值
大于70 的概率不小于 90% ,则样本容量
则称 x /2 为X 所服从的分布的双侧 分位数
标准正态分布的上 分位数 z
z0.05 1.645 常用
z0.025 1.96
数字
z•
z0.005 2.575
/2 -z•/2
-z/2 = z1-/2
/2
z•/2
6.2.2 2 (n) 分布(Chi squared r.v.)
定义 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立,
n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x e4
x2
2
dx
3
2
D( X
2 i
)
E(X
4 i
)
E
2
(X
2 i
)
2
D 2 (n)
D
n
X
2 i
2n
i1
6.2.3 t 分布 (Student 分布)
定义 设X ~ N (0,1) , Y ~ 2 (n), X , Y 相互独立,
T
X Y
n
S12 S22
~
F(n 1, m 1)
设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 X ~ N (1, 2 )
的一个简单随机样本
Y1,Y2 ,,Ym 是来自正态总体 Y ~ N (2 , 2 )
的一个简单随机样本 , 它们相互独立.
则
X
1 n
n i 1
Xi
~
N
(1
,
2
n
)
Y
1 m
m
Yj
所服从的分布.
解 X1 X 2 X9 ~ N ( 0, 916)1 34Fra bibliotek(X1
X
2
X9
)
~
N
(
0, 1)
13Yi ~ N (0,1) ,i 1,2,,16
16
i1
13Yi
2
~
2 (16)
从而
X1 X2 X9
Y12 Y22 Y126
1 3 4
X1
X2
16 i 1
1 3
Yi
由于正态总体是最常见的总体, 故本节介绍的 几个抽样分布均对正态总体而言.
6.2.1 正态分布(Normal distribution)
若
X1, X2,, Xn
i.~i.d.
N
(
i
,
2 i
)
则
n
ai X i
~ N
n
aii ,
n
ai2
2 i
i1
i1
i1
特别地,
若 X1, X 2 ,, X n i.~i.d. X i ~ N (, 2 )
查
PT t
t t1
n = 10
-t•
t•
PT 1.8125 0.05 t0.05(10) 1.8125
PT 1.8125 0.05
PT 1.8125 0.95
t0.95 (10) 1.8125
P(T
t / 2 )
2
P T t /2
/2
-t•/2
/2
•t/2
n —4—2 .
解 设样本容量为 n , 则
X ~ N (72,100) n
故 P(X 70) 1 P(X 70) 0.2 n
令 0.2 n 0.9 查表得 0.2 n 1.29
即 n 41.6025 所以取 n 42
例4 从正态总体 X ~ N (, 2 ) 中，抽取了
n = 20 的样本 X1, X 2 ,, X 20
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n
X
2 i
~
2(n)
i 1
n = 1 时,其密度函数为
f
(x)
0,
1 x e , 12
x 2
2
x0 x0
n = 2 时,其密度函数为
f
(x)
1
e
x 2
,
2
0,
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
一般地, 自由度为 n 的 2(n) 的密度函数为
f
(
P 2(10) 18.307 0.05
n = 10
•20.05(10)
n
证 1 设 2 (n)
X
2 i
X i ~ N (0,1) i 1,2,, n
i 1
X1, X 2 ,, X n 相互独立,
则
E(X i ) 0,
D(X i ) 1,
E(
X
2 i
)
1
E 2 (n)
E
2
X9
~ t(16)
16
例7 设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体N ( , 2 )
的简单随机样本, X 是样本均值,
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2,
S32
1 n 1
n i1
(Xi
)2,
S22
1 n
n i1
(Xi
X
)2,
S42
1 n
n i1
(Xi
)2,
则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为:
x)
1
n
e x ,
x 2
n 2
1
2
2
(
n 2
)
其中，
0,
(x) t e x1 t dt 0
x0 x0
在x > 0 时收敛，称为 函数，具有性质
(x 1) x(x),
(1) 1, (1/ 2)
(n 1) n! (n N )
2 (分n)布
n=2
密度函数图
n=3
n=5 n = 10
则T 所服从的分布称为自由度为 n 的t 分 布其密度函数为
f (t)
Γ
n
n
2
1
Γ n
1
t2 n
n1
2
2
t
n=1
n=20
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)