正态样本统计量的抽样分布概述

n
X
2 i
n
i1
E
(
X
4 i
)
1
x e4
x2
2
dx
3
2
D( X
2 i
)
E(X
4 i
)
E
2
(X
2 i
)
2
D 2 (n)
D
n
X
2 i
2n
i1
6.2.3 t 分布 (Student 分布)
定义 设X ~ N (0,1) , Y ~ 2 (n), X , Y 相互独立,
T
X Y
n
6.2 正态样本统计量的抽样分布
6.2.1 正态分布
6.2.2 2 (n) (卡方)分布
6.2.3 t分布(学生分布)
6.2.4 F分布 6.2.5 正态总体抽样分布的某些结论 6.2.6 Excel实现
确定统计量的分布—— 抽样分布, 是数理统计 的基本问题之一. 采用求随机向量的函数的分布的方 法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止 2 或 3 (甚至还可能是随机的), 故计算往往很复杂, 有时还 需要特殊技巧或特殊工具.
(A) X n 1
S1
(C) X n
S3
(B) X n 1
S2 (D) X n
S4
解
X
~
N (0,1)
1
2
n i1
(Xi
X )2
~
2(n
1)
n
X
n
1
2
n
(Xi X )2
i 1
n 1
n(n
n
1)( X
)
~
t(n
1)
(Xi X )2
i1
故应选(B)
例8 在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,
P
20
i1
X
i
2
7.4
P
20
i1
X
i
2
35.2
0.995 0.025 0.97
例5 设X 与Y 相互独立， X ~ N(0,16), Y ~ N(0,9) ,
X1, X2 ,…, X9 与 Y1, Y2 ,…, Y16 分别是取自 X 与 Y
的简单随机样本, 求统 计量
X1 X2 X9 Y12 Y22 Y126
PT 2.2281 0.025
P T 2.2281 0.05 t0.025(10) 2.2281
6.2.4 F 分布 (F distribution with n and m degrees)
定义 设 X ~ 2(n), Y ~ 2(m), X , Y 相互独立，
令
F X /n
则称 x /2 为X 所服从的分布的双侧 分位数
标准正态分布的上 分位数 z
z0.05 1.645 常用
z0.025 1.96
数字
z•
z0.005 2.575
/2 -z•/2
-z/2 = z1-/2
/2
z•/2
6.2.2 2 (n) 分布(Chi squared r.v.)
定义 设 X 1, X 2 ,, X n 相互独立,
m)
因而
F1
1 (n,
m)
F
(m,
n)
由于 1 ~ F (m, n) F
例2
证明：
[t1
2
(n)]2
F
(1, n)
证 设 X ~ T (n) , X G ,G ~ N (0,1)
2 (n)
n
2 (1)
令
Y
X
2
G2
2(n)
1
2(n)
~
F (1, n)
n
n
因而
P( X
|
t1
2
(n)
|)
P(
则
X
1 n
n i 1
Xi
~
N
,
2
n
上(双)侧 分位数的概念
设X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f ( x ) , 为给定常数, 0 < <1 若
P( X x )
则称 x 为X 所服从的分布的上 分位数. 如果 X 的概率密度函数为偶函数,则对于满足 0 < < 1/2 的 ,
若 P( X x /2 )
S12 S22
~
F(n 1, m 1)
设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体 X ~ N (1, 2 )
的一个简单随机样本
Y1,Y2 ,,Ym 是来自正态总体 Y ~ N (2 , 2 )
的一个简单随机样本 , 它们相互独立.
则
X
1 n
n i 1
Xi
~
N
(1
,
2
n
)
Y
1 m
m
Yj
(1)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
X
2
1.76
2
(2)
求
P 0.37
2
1 20
20 i1
Xi
2
1.76
2
解 (1)
(n
1)S 2
2
~
2(n
1)
即
19S 2
2
1
2
20 i 1
Xi X
2 ~ 2 (19)
故
P
0.37
2
1 20
20
Xi
i1
X
2
1.76
2
P 7.4
1 P( X1 15,, X 5 15) 1 P( X1 15)P( X 5 15) 1[P( X 15)]5 1[(15 12)]5
则T 所服从的分布称为自由度为 n 的t 分 布其密度函数为
f (t)
Γ
n
n
2
1
Γ n
1
t2 n
n1
2
2
t
n=1
n=20
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t 分布的性质
1°f n(t)是偶函数,
n , fn (t) (t)
1
t2
e2
2
2°t分布的上 分位数 t 与双测 分位数 t/2 有表可
求下列概率:
(1)P(| X 12 | 1); (2)P(max(X1,, X 5 ) 15); (3)P(min(X1,, X 5 ) 10).
解
(1)因为
X
~
N (12,
4 ), 5
所以
X
12 4
~
N（0，1）
5
P(|
X
12 | 1)
P
X
12
1
=2Φ(1.118)-1
4 5
4 5
=0.7364
j 1
~
N
(
2
,
2
m
)
X
Y
~
N (1
2
,
2
n
2
m
)
( X Y ) (1 2 ) ~ N (0,1) 2 2
nm
(n 1)S12
2
~
2 (n 1) ,
(m
1)S
2 2
2
~
2 (m 1)
(n
1) S12
2
(m
1) S 22
2
~ 2 (n m 2)
X Y
与
(n 1)S12
2
(m
1)S
1
2
20
Xi
i1
X
2
35.2
P
1
2
20
Xi
i1
X
2
7.4
P
1
2
20
X
i1
i
X
2
35.2
查表
0.99 0.01 0.98
(P.386)
(2) 20 Xi 2 ~ 2 (20)
i1
故
P 0.37
2
1 20
20
Xi
i1
2
1.76
2
P 7.4
20
i1
XБайду номын сангаас
2
35.2
所服从的分布.
解 X1 X 2 X9 ~ N ( 0, 916)
1 3
4
(X1
X
2
X9
)
~
N
(
0, 1)
13Yi ~ N (0,1) ,i 1,2,,16
16
i1
13Yi
2
~
2 (16)
从而
X1 X2 X9
Y12 Y22 Y126
1 3 4
X1
X2
16 i 1
1 3
Yi
n = 15
2 (n) 分布的性质
1 E 2 (n) n, D 2 (n) 2n
2
若X1
2
(n1),
X2
2 (n2 ),
X1,
X
相互独立，
2
则 X1＋X 2～ 2 (n1＋n2 )
3 n 时， 2 (n) 正态分布
4 2 ( n) 分布的上 分位数有表可查
例如
02.05(10) 18.307
X
t (n))
2
P(X
2
t2
(
n))
2
P(Y
t2
12
(n))
即
t2
1
2
(n)
F
(1,
n)
6.2.5 正态总体抽样分布的某些结论
(Ⅰ) 一个正态总体
设 X ~ N(, 2) E(X ) , D(X ) 2
总体的样本为( X1, X 2 ,)，, X则n
X
~
N(,
2
)
n
X
~
N (0,1)
x)
1
n
e x ,
x 2
n 2
1
2
2
(
n 2
)
其中，
0,
(x) t e x1 t dt 0
x0 x0
在x > 0 时收敛，称为 函数，具有性质
(x 1) x(x),
(1) 1, (1/ 2)
(n 1) n! (n N )
2 (分n)布
n=2
密度函数图
n=3
n=5 n = 10
例8 在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,
求下列概率:
(1)P(| X 12 | 1); (2)P(max(X1,, X 5 ) 15); (3)P(min(X1,, X 5 ) 10).
解
(2)P(max(X1,, X 5 ) 15) 1 P(max(X1,, X 5 ) 15)
)
的一个简单随机样本
它们相互独立.
令
X
1 n
n i1
Xi
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X )2
Y
1 m
m
Yj
j 1
S
2 2
1 m 1
m
(Y j
j 1
Y )2
则
(n
1) S12
2 1
~
2(n
1)
(m 1)S22
2 2
~
2(m
1)
S12
2 1
S22
~
F (n
1, m 1)
(3)
2 2
若 1 2 则
2
X9
~ t(16)
16
例7 设 X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体N ( , 2 )
的简单随机样本, X 是样本均值,
S12
1 n 1
n i1
(Xi
X
)2,
S32
1 n 1
n i1
(Xi
)2,
S22
1 n
n i1
(Xi
X
)2,
S42
1 n
n i1
(Xi
)2,
则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为:
但
F0.95 (5, 4) ?
事实上,
F1
(n,
m)
F
1 (m,
n)
故
F0.95 (5,4)
1 F0.05 (4,5)
1 5.19
•
F(n,m)
例1 证明
F1
(n, m)
F
1 (m, n)
证
P(F
F1 (n, m))
P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
P
1 F
F1
1 (n,
m)
1
故
P
1 F
F1
1 (n,
n
(n
1)S 2
2
n
i1
Xi
X
2
~
2(n
1)
(n 1)S 2 与
2
X
相互独立
(1)
X
S
X
S
~ T (n 1)
(2)
n
n
( II ) 两个正态总体
设
X1, X 2 ,, X n 是来自正态总体
X
~
N
(1,
2 1
)
的一个简单随机样本
Y1,Y2 ,,Ym 是来自正态总体
Y
~
N
(
2
,
2 2
P 2(10) 18.307 0.05
n = 10
•20.05(10)
n
证 1 设 2 (n)
X
2 i
X i ~ N (0,1) i 1,2,, n
i 1
X1, X 2 ,, X n 相互独立,
则
E(X i ) 0,
D(X i ) 1,
E(
X
2 i
)
1
E 2 (n)
E
m = 4, n =10 m = 10, n =10 m = 15, n =10
F 分布的性质
1 若F ~ F (n, m) , 则 1 ~ F (m, n) F
2 F (n, m) 的上 分位数F (n , m) 有表可查 :
P(F F (n, m))
例如 F0.05 (4,5) 5. 19
查
PT t
t t1
n = 10
-t•
t•
PT 1.8125 0.05 t0.05(10) 1.8125
PT 1.8125 0.05
PT 1.8125 0.95
t0.95 (10) 1.8125
P(T
t / 2 )
2
P T t /2
/2
-t•/2
/2
•t/2
由于正态总体是最常见的总体, 故本节介绍的 几个抽样分布均对正态总体而言.
6.2.1 正态分布(Normal distribution)
若
X1, X2,, Xn
i.~i.d.
N
(
i
,
2 i
)
则
n
ai X i
~ N
n
aii ,
n
ai2
2 i
i1
i1
i1
特别地,
若 X1, X 2 ,, X n i.~i.d. X i ~ N (, 2 )
Y /m
则F 所服从的分布称为第一自由度为n ,第二自由度为
m 的F 分布,其密度函数为
Γ n m
n
f
(t,
n,
m)
Γ
n
2
2 Γ
m
2
n m
2
t
n 2
1 1
n
t
nm 2
,
m
t
0
0,
t0
m = 10, n = 4 m = 10, n = 10 m = 10, n = 15
2
2 2
相互独立
( X Y ) (1 2 )
2 2
nm
(n
1) S12
2
(m
1)
S
2 2
2
nm2
( X Y ) (1 2 )
1 1
(n
1) S12
(m
1)S
2 2
~ t(n m 2)
nm
nm2
(4)
例3 设总体 X ~ N (72,100,)为使样本均值
大于70 的概率不小于 90% ,则样本容量
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n
X
2 i
~
2(n)
i 1
n = 1 时,其密度函数为
f
(x)
0,
1 x e , 12
x 2
2
x0 x0
n = 2 时,其密度函数为
f
(x)
1
e
x 2
,
2
0,
x0 x0
为参数为1/2的指数分布.
一般地, 自由度为 n 的 2(n) 的密度函数为
f
(
n —4—2 .
解 设样本容量为 n , 则
X ~ N (72,100) n
故 P(X 70) 1 P(X 70) 0.2 n
令 0.2 n 0.9 查表得 0.2 n 1.29
即 n 41.6025 所以取 n 42
例4 从正态总体 X ~ N (, 2 ) 中，抽取了
n = 20 的样本 X1, X 2 ,, X 20