纳什均衡的应用

纳什均衡的应用

1．考虑不对称的古诺双头垄断，市场反需求函数为Q p -=115，A 企业生产的固定成本

为1000，B 企业没有固定成本，A 和B 两个企业的可变成本分别为2a q 和2b q 。

（1）请写出A 公司的古诺反应函数的表达式。

（2）请写出B 公司的古诺反应函数的表达式。

（3）请求出纳什均衡时两个企业的产量和利润。

2．在贝特兰德模型中，假定每个企业的最大生产能力是K ，单位生产成本为c ＝10，需求为100，如果两个企业的价格相同，市场需求在二者之间平分；如果j i P P < (i ，j ＝1，2，i ≠j)，企业i 产量为Min{100-P i ，K}，企业j 的产量为Min[Max(0，100-P i -K)，K](即只有低价企业不能满足需求时，高价企业才生产，并且产量不超过生产能力)。

(1)求企业的得益函数；

(2)假定30

3．考虑伯特兰德寡头模型。假设需求函数为

{}),2,1,(,,0),(21j i j i bq q M Max q q P j i i ≠=--=，

其中商品是部分可替代的，即10<

证明：两商品的替代性越高，厂商获得的利润越少。

4．若企业1的需求函数为21211),(p p a p p q +-=，企业2的需求函数为12212),(p p a p p q +-=。

若假设两个企业的生产成本都为0，求纳什均衡。

5．如果在一条1千米长的长街上均匀居住着许多居民，有两个人同时想在该厂街开便利店。

（1）如果假设所有居民都是到最近的便利店购买商品，问这两个人会如何选择店面位置？

（2）如果每户居民仍然到离得最近的便利店购买，但购买数量与他们到便利店的距离有关，如Q=1-D ，其中D 是购买量，D 是居民到便利店的距离，此时两个人会怎样选择店面的位置？

6．假设两国间通过税收优惠吸引资本进入。两国之间在税收制度上的差别不仅体现在税率的高低不同，而征收管理情况也有差异，如A 国纳税程序简便，而B 国可能相对要复杂一些。这样，在资本的流向上，A 、B 两国具有很强的替代性，但不是完全可替代，即税率不同时，税率较高的不完全失去资本。当A 、B 两国的税率分别为t 1和t 2时，它们各自的资本需求函数为q 1(t 1，t 2)＝a 1-b 1t 1+d 1t 2，q 2(t 1，t 2)＝a 2-b 2t 2+d 2t 1，其中d 1，d 2>0，即两国税收的替代系数。假定两国是同时决策，征税的边际成本为c 1，c 2>0，无固定成本。试求解该博弈问题的纳什均衡。

7．五户居民都可以在一个公共的池塘里放养鸭子。每只鸭子的收益v 是鸭子总数N 的函数，并取决于N 是否超过某个临界值N ；如果N N <，收益N N v v -==50)(；如果N N ≥时，0)(=N v 。再假设每只鸭子的成本为c ＝2元。若所有居民同时决定养鸭的数量，问该博弈的纳什均衡是什么？

8．一群渔夫在一个特定有限的区域内集体作业。该区域捕鱼的回报依赖于整体的总作业时

间。因此，令h i 表示每个渔夫i=1，2，…，n 的工作小时数，∑=≡n i i

h H 1H ≡∑n i =1h i 表示群

体的总工作小时数。假定每个人每小时的回报由关于H 的凹函数)(H ρρ=给定，且0)(lim ='∞→H H ρ。

另一方面，每个工人i 每小时的个人成本(或无效)由某个关于h i 的函数)(i h c c =确定，假定该函数对每个个体都一样。同时还假设c(·)是凸的、递增的，满足对某个给定的T ≢24，∞='→)(lim i T

h h c i 。每个渔夫i 的得益由函数U i (·)给出，该函数定义如下： )()(),,(1i i n i h c h H h h U -=ρ (i=1,2,⋅⋅⋅,n)

（1）陈述计划者要解决的最优化问题，他的目标是最大化个人效用的总和，并且描述解的性质。

（2）准确的计算策略式博弈，其中渔夫独立决定他们的工作时间。描述它的纳什均衡特性，并且画出与计划者问题的解的比较图。

9．假如小张和小红边看电视剧边吃爆玉米花。设他们吃爆玉米花的速度为i r 。每人的效用函数决定于吃的饱玉米花的数量和吃的时间（等于i

i r Q ），效用函数为 2)100(--=i

i i i r Q Q U 效用函数第二项表示吃爆玉米花的总时间是100分钟（电视剧长100分钟）。

（1）假如给每个人的钵里放1800颗爆玉米花。求最优消费速度和达到的最大效用。

（2）现在假设有3600颗爆玉米花放在一共用的钵里，小张或小红吃的爆玉米花的数量与他们吃的速度成比例。因此，3600⋅+=hong

zhang i i r r r Q 。请把他们每人的得益表示成zhang r 和hong r 的函数，并求此博弈的纳什均衡和每个人的效用。

（3）（2）中找到的均衡哪个是“公共地的悲剧”的最好例子？