勾股定理综合难题附答案超好打印版
勾股定理中考难题（有答案详解）
勾股定理中考难题（有答案详解）勾股定理中考难题2、如图，在平⾯直⾓坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的⼀个动点，则PA+PC 的最⼩值为（）3、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找⼀点M，在直线b 上找⼀点N ，满⾜MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时4、已知：如图在△ABC ，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同⼀条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD 2+AB 2），1题 2题 3题 4题 6题 6、如图，有两颗树，⼀颗⾼10⽶，另⼀颗⾼4⽶，两树相距8⽶．⼀只鸟从⼀颗树的树梢飞到另⼀颗树的树梢，问⼩鸟⾄少飞⾏（） A ．8⽶ B ．10⽶ C ．12⽶ D ．14⽶7、如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC ⼤约是(结果精确到0.1m)( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m8、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（）A ．10B ．11C ．12D ．139、如图，圆柱形容器中，⾼为1.2m ，底⾯周长为1m ，在容器内壁．．离容器底部0.3m 的点ACB第7题图B处有⼀蚊⼦，此时⼀只壁虎正好在容器外壁．．的点A处，则壁虎捕捉蚊⼦的．．，离容器上沿0.3m与蚊⼦相对最短距离为 m（容器厚度忽略不计）.10、（2013?滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．11、（2013⼭西，1，2分）如图，在矩形纸⽚ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对⾓线BD上的点A′处，则AE的长为______.12、（2013?黄冈）已知△ABC为等边三⾓形，BD为中线，延长BC⾄E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．13、（2013?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；⼜过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．14、（2013?包头）如图，点E是正⽅形ABCD内的⼀点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．15、（2013?巴中）若直⾓三⾓形的两直⾓边长为a、b，且满⾜，则该直⾓三⾓形的斜边长为．16、（2013?雅安）在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满⾜条件的所有点C的坐标．17、（2013哈尔滨）在△ABC中，AB=，BC=1，∠ ABC=450，以AB为⼀边作等腰直⾓三⾓形ABD，使∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．18、（2013哈尔滨）如图。
勾股定理专题附答案全面精选
257勾股定理一、探索勾股定理知识点1勾股定理定理内容：在RT △中, 勾股定理的应用：在RT △中,知两边求第三边,关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解1已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长c,则下列关于a,b,c 的关系不成立的是 A 、c2- a2=b2 B 、c2- b2=a2 C 、a2- c2=b2 D 、 a2+b2= c22在直角三角形中,∠A=90°,则下列各式中不成立的是 A 、BC2- AB2=AC2 B 、BC2- AC2=AB2 C 、AB2+AC2= BC2 D 、AC2+BC2= AB22、应用勾股定理求边长3已知在直角三角形ABC 中,AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC 的长.4在直角△中,若两直角边长为a 、b,且满足√α2−6α+9+|b −4|=0,则该直角三角形的斜边长为 ．3、利用勾股定理求面积5已知以直角△的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积为25π,16π,求另一个半圆的面积;6如图1,图中的数字代表正方形的面积,则正方形A 的面积为 ;7如图2,三角形中未知边x 与y 的长度分别是x= ,y= ;8在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若AC ＝6,BC ＝8,则AB 的长为A 、6B 、8C 、10D 、129在直线l 上依次摆放着七个正方形如图4所示;已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________;知识点2勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等,由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导;等积法拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理;10用四个相同的直角三角形直角边为a 、b,斜边为c 按图拼法;问题：你能用两种方法表示下图的面积吗对比两种不同的表示方法,你发现了什么11用两个完全相同的直角三角形直角边为a 、b,斜边为c 按下图拼法,论证勾股定理：222c b a=+3、运用勾股定理进行计算重难点12如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高 13两棵之间的距离为8m,两棵树的高度分别为8m 、2m,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,这只小鸟至少要飞多少米基础检测1、在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若AB ＝13,BC ＝5,则AC 的长为2、已知Rt △ABC 中,∠C ＝90°,若14=+ba cm,10=c cm,则Rt △ABC 的面积为A . 24cm 2 B. 36cm 2 C. 48cm 2 D. 60cm 23、若△ABC 中,∠C=90°,1若a = 5,b =12,则c = ；2若a =6,c =10,则b = ；3若a ∶b =3∶4,c =10,则a = ,b = ;4、如图,阴影部分是一个半圆,则阴影部分的面积为 ;π不取近似值5、一个直角三角形的斜边为20cm,且两直角边长度比为3 : 4,求两直角边的长;6、一个长为10m 为梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直高度为8m,梯子的顶端下滑2m 后,底端向外滑动了多少米培优突破 1、折叠问题1如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6cm 、BC=8cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为A、4cmB、5cmC、6cmD、10cm2 如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边上的点F 处,已知AB=8cm,BC=10cm,求线段EC的值2、运用勾股定理解决生活中的实际问题3如图,为了测得小水坑两边A点和B点之间的距离,一个观测者在C点设桩,使∠ABC=90°,并测得AC=20m,BC=16m,则A、B两点之间的距离是对少3、分类讨论已知直角△的两边,求第三边4在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的值为A、25B、7C、25或7D、不能确定5已知3, 4,a是一个三角形的三边长,若三角形为直角三角形,则2a的值是多少6在直角△ABC中,AB=15, AC=20,BC边上的高AD=12,则BC的值为多少4、利用方程解题7如图,△ABC中,∠C=90°,D是BC上的一点,已知BD=7,AB=20,AD=15, 求AC的长.8如图,已知△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,且AD⊥AC,求BD的长;培优训练一、选择题1．在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=9,BC=12,则点C到AB的距离是A、365B、1225C 、94D、3√342．若三角形ABC中,∠A：∠B：∠C=2：1：1,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列等式中,成立的是A．a2+b2=c2B．a2=2c2C．c2=2a2D．c2=2b2 3．如图,∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA于点D,PE ⊥OB于点E．若OD=8,OP=10,则PE的长为A、5B、6C、7D、84．如图在直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=8,AC=6,DE是AB边的垂直平分线,垂足为D,交边BC于点E,连接AE,则△ACE的周长为A、16B、15C、14D、135．如图,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为A、1B、34C、23D、26．已知△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC 的长为A、21B、15C、6D、以上答案都不对7．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,已知BC=8,AC=6,则斜边AB上的高是A、10B、5C、524D、5128．如图,阴影部分是一个矩形,它的面积是A、25cmB、23cmC、24cm D、25cm9．张大爷离家出门散步,他先向正东走了30m,接着又向正南走了40m,此时他离家的距离为mA．30 B．40 C．50 D． 7010．如图在△ABC中∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=64,且BD：CD=9：7,则点D到AB边的距离为A、18B、32C、28D、2411．如图所示,是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边x＞y,下列四个说法：①x2+y2=49, ②x﹣y = 2,③2xy+4=49, ④x+y=9．其中说法正确的是A、①②B、①②③C、①②④D、①②③④二．填空题共2小题12．如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若AB=5cm,BC=6cm,则AD=_____cm．13．如图,直线L过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线L的距离分别是1和2,则正方形的边长是_________．14、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5．求线段EF的长;二、勾股定理的逆定理知识点3勾股定理的逆定理1如果△的三边α，b,c 满足关系满足,则该△为直角三角形;2△的三边α，b,c,假设c为最长边①a2+b2>c2,则该△为三角形②a2+b2<c2,则该△为三角形3勾股定理逆定理的用途典型题1下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是A. 4,5,6B. 2,3,4C. 11,12,13D. 8,15,172若线段a,b,c组成直角三角形,则它们的比为A、2∶3∶4B、3∶4∶6C、5∶12∶13D、4∶6∶73下面的三角形中：①△ABC中,∠C=∠A－∠B；②△ABC中,∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中,a：b：c=3：4：5；④△ABC中,三边长分别为8,15,17．其中是直角三角形的个数有个．A．1 B．2 C．3 D．44若三角形的三边之比为√22：1√2：1,则这个三角形一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C .等腰直角三角形 D. 不等边三角形5 已知a,b,c为△ABC三边,且满足（a2−b2）（a2+ b2−c2）=0则它的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是A．钝角三角形 B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形7若△ABC的三边长分别长a,b,c,且满足a2+b2+ c2+200=12α+16b+20c ,试判断△ABC的形状; 8△ABC的两边分别为5, 12,另一边为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为,此三角形为 ;9求：①若三角形三条边的长分别是7, 24, 25,则这个三角形的最大内角是度;②已知三角形三边的比为1：3：2,则其最小角为;知识点4勾股数1勾股数是正整数2满足的关系条件a2+b2=c23勾股数的n倍n≠0,仍然满足a2+b2=c24常见勾股数三、勾股定理的应用1、与图形展开的有关计算注意展开方式1某楼梯的侧面视图如图3所示,其中米,,,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．2如图,在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上,求从顶点A到顶点C’的最短距离．3如图一个圆柱,底圆周长6cm,高4cm,一只蚂蚁沿外壁爬行,要从A点爬到B点,则最少要爬行cm4国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分．请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线．2、航海问题1一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行,另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行,经过小时后,它们相距________海里2如图,某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M处,在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上;该货船航行30分钟到达B处,此时又测得该岛在北偏东30°的方向上,已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁,若继续向正东方向航行,该货船有无暗礁危险试说明理由;3如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向260km的B处有一台风中心,沿BC方向以15km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=100km.①那么台风中心经过多长时间从B点移到D点②如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险3、网格问题1如图1,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC 中,边长为无理数的边数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2如图2,正方形网格中的 △ABC, 若小方格边长为1,则△ABC 是A.、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上答案都不对 3如图,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 A ． 25B.C. 9D.4如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形：①使三角形的三边长分别为3、√8、√5在图甲中画一个即可；②使三角形为钝角三角形且面积为4在图乙中画一个即可．4、折叠问题1如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,将△ABC 折叠,使点B 与点A 重合,折痕为DE,则CD 等于 A. 425 B. 322C.47 D. 35 2如图所示,已知△ABC 中,∠C=90°,AB 的垂直平分线交BC 于M,交AB 于N,若AC=4,MB=2MC,求AB 的长． 3如图,在长方形ABCD 中,DC=5,在DC 边上存在一点E,沿直线AE 把△ABC 折叠,使点D 恰好在BC 边上,设此点为F,若△ABF 的面积为30,求折叠的△AED 的面积 4如图,在长方形ABCD 中,将△ABC 沿AC 对折至△AEC 位置,CE 与AD 交于点F; ①试说明：AF=FC ； ②如果AB=3,BC=4,求AF 的长5如图2所示,将长方形ABCD 沿直线AE 折叠,顶点D 正好落在BC 边上F 点处,已知CE=3cm,AB=8cm,则图中阴影部分面积为_______．6如图,将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的点M 重合,折痕交AD 于E,交BC 于F,边AB 折叠后与BC 边交于点G;如果M 为CD 边的中点, 求证：DE ：DM ：EM=3：4：5勾股定理 参考答案一、探索勾股定理1C 2D3没有确定斜边的情况下,需要先确定斜边;6或4124根据非负数的性质,b=4和0962=+-a a ,解得a=3,根据勾股定理,斜边=55这类型题目分别以直角三角形三边所作的同类型图形,如正多边形、半圆等,均满足如图中所示S1=S2+S3,S3=9π625 710, 12 8C,斜边AB=10 94,根据全等三角形和勾股定理,S1+S2=1,S2+S3=2,S3+S4=3,S1+S2+S3+S4=1+3=4 10s =（a +b ）2=4×12ab +c 2,结论： a 2+b 2=c 211S =12(a +b )(a +b )=2×12ab +c 2结论： a 2+b 2=c 212h=9+√92+122=9+15=24 m 1310 m基础检测1、B2、A,解：(a +b)2=a 2+b 2+2ab ,解得：12ab =243、113, 28, 36, 84、72π5、12,16解：根据题意,本题中直角三角形三边关系为3: 4: 5,三边分别为3x, 4x, 5x,5x=206、作如下辅助图：BD=CE=10,AB=8,BC=2,AC=6根据勾股定理：AD=6, AE=8DE=AE-AD=8-6=2 m 培优突破1B23 cm,注意翻折构造全等,勾股定理 312 m 4C,如右图 525或7,在没有确定直角或斜边的情况下,需要讨论确定斜边;625 ,AB 一定是直角边,想想：BC 是否一定是斜边呢BC 边上的高为12,不是15,所以BC 一定是斜边712, 解：设DC=y,根据勾股定理有：AC2=AB2−(BD+y)2=AD2−y2,即202−(7+y)2=152−y2解得：y=9AC=1287, 解：作AE⊥BC与E,设BD=X则AE=12DE=16-xDC=32-x如图,根据勾股定理有：AD2=AE2+DE2=DC2−AC2即AD2=122+（16−x）2=(32−x)2−202解得：x = 7培优训练1、A,三角形的面积计算2、B3、B,4、A,5、C6、D,如右图,BC的长21或97、C 8、A 9、C 10、C11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明12、4 13、√514、连接AD, 则△BDE≌△ADF, 则△ADE ≌△CDF,则AE=CF=5,AF=BE=12,∴EF=13二、勾股定理的逆定理典型题答案1D 2C 3 D 4C5C 6C7直角三角形解：a2+b2+c2+200=12α+16b+20c（a2−12α+36）+（b2−16b+64）+c2−20c+100=0（α−6）2+（b−8）2+(c−10)2=0所以：a=6, b=8, c=108直角三角形;分析：设三边分别为a,b,c,有a+b+c=5+12+c=17+c,根据条件有：{17+c是3的倍数c为奇数12−5＜c＜12+5（三边关系）解得：c=13,所以根据勾股定理的逆定理,为Rt△9 ①90°,②30°三、勾股定理的应用1、与图形有关的计算1 2+2√32 √5354设：正方形的边长为a方案一：S=3a方案二：S=3a方案三：S=2√2a方案四：S=1+√3a ,分析：FH=√36a , BF=√33,EF=a−√33,所以：方案四最节省电线2、航海问题130 2CD=6√3,无暗礁风险3①台风中心经过16h从B点移动到D点②14h内撤离才可脱离危险3、网格问题1D2A 3B 4如图：不唯一4、折叠问题1C 283DE=X,则在直角△EFC中：FG=1,EF=X, EC=5-X,有：x2=12+(5−x)c2解得：x=135, S△AED=4①提示：角平分线+平行线,构造等腰模型②设AF=X,则x2=(4−x)2+32,解得：x=25/85306证明提示：设：DM=X, DE=y,则：正方形边长为2x,AE=2x—y,满足：x2+y2=(2x−y)2,解得：3x=4y., 则可设：y=3k,x=4x,则正方形变成为8k,则AE=5k,所以：DE:DM:EM=3K:4K:5K ,即：DE:DM:EM=3:4:5。
(完整版)《勾股定理》历年中考难题
(完整版)《勾股定理》历年中考难题勾股定理1. 直角三角形的三边为a-b ，a ，a+b 且a 、b 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）A 、61B 、71C 、81D 、912.在平面直角坐标系中，已知点A （-4，0),B （2，0），若点C 在一次函数y=-21x+2的图象上，且△ABC 为直角三角形，则满足条件的点C 有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3.如图，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2是等腰直角三角形，点P 1，P 2在函数xy 4 （x ＞0)的图象上，斜边OA 1，A 1A 2都在x 轴上，则点A 2的坐标是 ( )4、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10,0)、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 ____________．5、如图,EF 为正方形ABCD 的对角线，将∠A 沿DK 折叠,使它的顶点A 落在EF 上的G 点，则∠DKG=_______．6、以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形,以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（ ）A 、2×（22)10厘米 B 、2×(21）9厘米 C 、2×(23）10厘米 D 、2×（23）9厘米 7、在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8,则△ABC 的面积为_____________．8、如图,所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm,正方形B 的边长为5cm ，正方形C 的边长为5cm,则正方形D 的面积是_______cm 2.9、如图，直线l 上有三个正方形a,b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为___________.10、如图所示,在边长为2的正三角形ABC 中，已知点P 是三角形内任意一点，则点P 到三角形的三边距离之和PD+PE+PF 等于( ）A 、3B 、23C 、43D 、无法确定11、如图Rt △ABC 中，AB=BC=4，D 为BC 的中点，在AC 边上存在一点E ，连接ED ，EB ，则△BDE 周长的最小值为（ ）A 、25B 、23C 、25+2D 、23+2。
勾股定理难题50道
勾股定理难题50道1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对3．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留)π4．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表：若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出Sl= （用含m 的代数式表示） 6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正方形ABCD的面积AE=；则正方形EFGH的面积=．16=，19．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树米才是安全的．10．如图，长方体的底面是边长为1cm的正方形，高为3cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为2cm．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC∆中BC边上的高是．∆，则ABC13．如图，在ABC∠=︒，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分∆中，90ABC别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = ．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是 ．15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 ．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于 ．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD = ．19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是cm ．（结果保留根号）20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =，6DE =，则EB = ．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为m．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为尺．23．如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．24．如图，Rt ABC∆的斜边AC为一直角边，另一直角∆的两直角边分别为1，2，以Rt ABC边为1画第二个ACD∆；在以ACD∆的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个∆；⋯，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是．ADE25．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610cm，在上盖中⨯⨯（单位：)开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：2 1.4≈．≈，3 1.7≈，5 2.2)26．如图，有一圆柱体，它的高为20cm，底面半径为7cm．在圆柱的下底面A点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是cm （结果用带根号和π的式子表示）．评卷人得分三．解答题（共24小题）27．已知ABC∆中，AB AC=．（1）如图1，在ADE∆中，若AD AE=，且DAE BAC∠=∠，求证：CD BE=；（2）如图2，在ADE∆中，若60DAE BAC∠=∠=︒，且CD垂直平分AE，3AD=，4CD=，求BD的长；（3）如图3，在ADE∆中，当BD垂直平分AE于H，且2BAC ADB∠=∠时，试探究2CD，2BD，2AH之间的数量关系，并证明．28．我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．事实上，勾是三时，股和弦的算式分别是11(91),(91)22-+；勾是五时，股和弦的算式分别是11(251),(251)22-+．根据你发现的规律，分别写出勾是七时，股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，请用含(n n为奇数，且3)n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想它们之间的相等关系（请写出两种），并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m为偶数，且4)m>的代数式来表示股和弦．29．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC 中，AB AC =，其一腰上的高为h ，M 是底边BC 上的任意一点，M 到腰AB 、AC 的距离分别为1h 、2h ．（1）请你结合图形来证明：12h h h +=；（2）当点M 在BC 延长线上时，1h 、2h 、h 之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线13:34l y x =+，2:33l y x =-+，若2l 上的一点M 到1l 的距离是32．求点M 的坐标．30．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线，动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边且在CD 的下方作等边CDE ∆，连接BE ． （1）填空：ACB ∠= 度；（2）当点D 在线段AM 上（点D 不运动到点)A 时，试求出ADBE的值； （3）若8AB =，以点C 为圆心，以5为半径作C 与直线BE 相交于点P 、Q 两点，在点D 运动的过程中（点D 与点A 重合除外），试求PQ 的长．31．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题， 请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长 ． （1） 如图 1 ，正方体的棱长为5cm 一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 沿着正方体表面爬到点1C 处；（2） 如图 2 ，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为6cm ，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A 沿着棱柱表面爬到1C 处；（3） 如图 3 ，圆锥的母线长为4cm ，圆锥的侧面展开图如图 4 所示， 且1120AOA ∠=︒，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A 出发， 沿圆锥侧面爬行一周回到点A ．32．在学习勾股定理时，我们学会运用图()I 验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：2()a b +，也可表示为：214()2c ab +，即221()4()2a b c ab +=+由此推出勾股定理222a b c +=，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图()(2002II 年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用()III 提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证222()2x y x xy y +=++； （3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：22()()()x p x q x px qx pq x p q x pq ++=+++=+++．33．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱1BB 的中点E ，再连接AE 、1EC ．虫乙如果沿路径1A E C --爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）34．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =，设c 为最长边，当222a b c +=时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为 三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为 三角形．（2）猜想，当22a b + 2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b + 2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围． 35．一、阅读理解：在ABC ∆中，BC a =，CA b =，AB c =； （1）若C ∠为直角，则222a b c +=；（2）若C ∠为锐角，则22a b +与2c 的关系为：222a b c +> 证明：如图过A 作AD BC ⊥于D ，则BD BC CD a CD =-=- 在ABD ∆中：222AD AB BD =- 在ACD ∆中：222AD AC CD =- 2222AB BD AC CD -=-2222()c a CD b CD --=- 2222a b c a CD ∴+-= 0a >，0CD >2220a b c ∴+->，所以：222a b c +>（3）若C ∠为钝角，试推导22a b +与2c 的关系．二、探究问题：在ABC ∆中，3BC a ==，4CA b ==，AB c =；若ABC ∆是钝角三角形，求第三边c 的取值范围．36．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足422422a b c b a c +=+，试判断ABC ∆的形状．阅读下面解题过程：解：由422422a b c b a c +=+得： 442222a b a c b c -=-①2222222()()()a b a b c a b +-=-② 即222a b c +=③ABC ∴∆为Rt △． ④试问：以上解题过程是否正确：若不正确，请指出错在哪一步？（填代号） 错误原因是 本题的结论应为 ．37．如图a ，90EBF ∠=︒，请按下列要求准确画图：1：在射线BE 、BF 上分别取点A 、C ，使2BC AB BC <<，连接AC 得直角ABC ∆； 2：在AB 边上取一点M ，使AM BC =，在射线CB 边上取一点N ，使CN BM =，直线AN 、CM 相交于点P ．（1）请用量角器度量APM ∠的度数为 ；（精确到1)︒ （2）请用说理的方法求出APM ∠的度数；（3）若将①中的条件“2BC AB BC <<”改为“2AB BC >”，其他条件不变，你能自己在图b 中画出图形，求出APM ∠的度数吗？38．如图，D 、E 分别是ABC ∆的边BC 和AB 上的点，ABD ∆与ACD ∆的周长相等，CAE ∆与CBE ∆的周长相等．设BC a =，AC b =，AB c =． （1）求AE 和BD 的长；（2）若90BAC ∠=︒，ABC ∆的面积为S ，求证：S AE BD =．39．小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）40．ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =．若90C ∠=︒，如图1，根据勾股定理，则222a b c +=．若ABC ∆不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论．41．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n 2 3 4 5 ⋯ a221-231-241-251-⋯ b46 810 ⋯ c221+ 231+241+251+⋯（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数(1)n n >的代数式表示：a = ，b = ，c = ；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．42．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算1(91)2-、1(91)2+与1(251)2-、1(251)2+，并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用(n n 为奇数且3)n 的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；⋯，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用(m m 为偶数且4)m >的代数式来表示他们的股和弦．43．如图，梯子AB 斜靠在墙上，90ACB ∠=︒，5AB =米，4BC =米，当点B 下滑到点B '时，点A 向左平移到点A '．设BB x '=米(04)x <<，AA y '=米． （1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 为何值时，点B 下滑的距离与点A 向左平移的距离相等？（3）请你对x 再取几个值，计算出对应的y 值，并比较对应的y 值与x 值的大小(y 值可以用精确到0.01的近似数表示，也可用无理数表示）．（4）根据第（1）~（3）题的计算，还可以结合画图、观察，推测y 与x 的大小关系及对应的x 的取值范围．44．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量90A ∠=︒，3AB m =，12BC m =，13CD m =，4DA m =，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？45．如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点1C 处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A 处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点1C 处静止不动，在图①画出一条路径，使昆虫乙从顶点A 沿这条路径爬行，可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲静止不动，昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（3）如图②，假设昆虫甲从顶点1C ，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱1C C 向下爬行，同时昆虫乙从顶点A 以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1)s 19 4.4≈21 4.6．46．在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD 长20米，在楼梯水平长度()BC 不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30︒增大到45︒，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：2 1.414≈，3 1.732)≈47．如图，小强在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30︒，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线AC 与江岸所成的夹角60ACE ∠=︒．根据小强提供的信息，你能测出江宽吗？若能，写出求解过程（结果可保留根号）；若不能，请说明理由．48．在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，D 、E 是直线AB 上两点．45DCE ∠=︒ （1）当CE AB ⊥时，点D 与点A 重合，显然222DE AD BE =+（不必证明）； （2）如图，当点D 不与点A 重合时，求证：222DE AD BE =+；（3）当点D 在BA 的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．49．如图，四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD AB ⊥，1AB =，2BC CD ==．求四边形ABCD 的周长和面积．50．定义： 三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形” ．数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒 （每 根长度记为 1 个单位） 中取出若干根， 首尾依次相接组成三角形， 进行探究活动 ． 小亮用 12 根火柴棒， 摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、 小颖的启发， 分别摆出三个不同的等腰“整数三角形” ． （1） 请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2） 你能否也从中取出若干根， 按下列要求摆出“整数三角形”， 如果能， 请画出示意图；如果不能， 请说明理由 ． ①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊 （既 非直角三角形， 也非等腰三角形） “整数三角形” ．勾股定理难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD EFGH-，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且2FP PB=，12GQ QC=，若将这个正方体纸盒沿折线AP PQ QH--裁剪并展开，得到的平面图形是()A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【解答】解：依题意可知，1133BP BF DH==，2233CQ CG DH==，又////PB CQ DH，APB AQC AHD∴∆∆∆∽∽，A∴、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．2．已知ABC∆中，17AB=，10AC=，BC边上的高8AD=，则边BC的长为() A．21B．15C．6D．以上答案都不对【解答】解：在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得15BD=；在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得6CD=．当AD在三角形的内部时，15621BC=+=；当AD在三角形的外部时，1569BC=-=．则BC的长是21或9．故选：D ．二．填空题（共24小题）3．在底面直径为2cm ，高为3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 231π+ cm ．（结果保留)π【解答】解：如图所示，无弹性的丝带从A 至C ，绕了1.5圈，∴展开后 1.523AB cm ππ=⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：22229931AC AB BC cm ππ=+=+=+． 故答案为：231π+．4．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 10 cm ．【解答】解：将长方体展开，连接A 、B '，13138()AA cm '=+++=，6A B cm ''=，根据两点之间线段最短，228610AB cm '=+=． 故答案为：10．5．直角三角形是一个奇妙的三角形，除了有勾股定理这样著名的定理外，它还有许多奇妙的特性值得我们去探索，例如，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．设ABC S S ∆=，a b c l ++=，则S 与l 的比Sl蕴含着一个奇妙的规律，这个规律与a b c +-的值有关，观察下面a 、b 、c 取具体勾股数的表： 三边a 、b 、ca b c +- l S /S l345 2 12 6 1/26810 4 24 24 1 51213 4 30 30 1 81517 6 40 60 3/2121620848962⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯若a b c m +-=，则观察上表我们可以猜想出S l =4m（用含m 的代数式表示） 【解答】解：3452m a b c =+-=+-=时，1224S l ==； 6810512134m a b c =+-=+-=+-=时，414S l ==； 815176m a b c =+-=+-=时，3624S l ==； 1216208m a b c =+-=+-=时，824S l ==； ⋯∴我们可以猜想出4S ml =． 故答案为4m．6．等腰ABC ∆的底边8BC cm =，腰长5AB cm =，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25/cm 秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P 运动的时间应为 7或25 秒．【解答】解：如图，作AD BC ⊥，交BC 于点D ， 8BC cm =，142BD CD BC cm ∴===， 223AD AB BD ∴=-=，分两种情况：当点P 运动t 秒后有PA AC ⊥时，22222AP PD AD PC AC =+=-，2222PD AD PC AC ∴+=-，22223(4)5 2.25PD PD PD ∴+=+-∴=， 4 2.25 1.750.25BP t ∴=-==， 7t ∴=秒，当点P 运动t 秒后有PA AB ⊥时，同理可证得 2.25PD =， 4 2.25 6.250.25BP t ∴=+==， 25t ∴=秒，∴点P 运动的时间为7秒或25秒．7．阅读以下解题过程：已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状． 错解：222244a c b c a b -=-⋯（1），2222222()()()c a b a b a b ∴-=-+⋯（2）， 222c a b ∴=+⋯（3）问：（1）上述解题过程，从哪一步开始发现错误请写出该步的代号 ③ ． （2）错误的原因是 ． （3）本题正确的结论是 ．【解答】解：2222222()()()c a b a b a b -=-+∴应有2222222()()()0c a b a b a b ---+=得到22222()[()]0a b c a b --+=，22()0a b ∴-=或222[()]0c a b -+=，即a b =或222a b c +=，∴根据等腰三角形得定义和勾股定理的逆定理，三角形为等腰三角形或直角三角形．故填③，不能确定22a b -是否为0，等腰三角形或直角三角形．8．勾股定理是初等几何中的一个基本定理．这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理．在如图的弦图中，已知：正方形EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边DA 、AB 、BC 、CD 上．若正方形ABCD 的面积16=，1AE =；则正方形EFGH 的面积= 10 ．【解答】解：四边形EFGH 是正方形，EH FE ∴=，90FEH ∠=︒，90AEF AFE ∠+∠=︒，90AEF DEH ∠+∠=︒，AFE DEH ∴∠=∠，在AEF ∆和DHE ∆中， A D AFE DEH EF HE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF DHE ∴∆≅∆， AF DE ∴=，正方形ABCD 的面积为16， 4AB BC CD DE ∴====， 413AF DE AD AE ∴==-=-=，在Rt AEF ∆中，2210EF AE AF + 故正方形EFGH 的面积101010=．故答案为：10．9．一棵高9米的树从离地面4米处折断，树旁有一个身高为1米的小孩，则小孩至少离开这棵树 4 米才是安全的． 【解答】解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则413BC m =-=，945AB m =-=，在Rt ABC ∆中，2222534AC AB BC =-=-=米． 即小孩至少离开这棵树4米才是安全的． 故答案为：4．10．如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm ．如果从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，那么所用细线最短需要73 cm ．【解答】解：如图所示，从点A 开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B ，∴展开后188AC cm cm =⨯=，3BC cm =，由勾股定理得：2273AB AC BC cm =+．故答案为：73．11．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为12cm ，则A 、B 、C 、D 四个小正方形的面积之和为 144 2cm ．【解答】解：如右图所示， 根据勾股定理可知，231S S S +=正方形正方形正方形， 2C D S S S +=正方形正方形正方形， 3A B S S S +=正方形正方形正方形，2112144C D A B S S S S S ∴+++===正方形正方形正方形正方形正方形．故答案是144．12．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到ABC ∆，则ABC ∆中BC 边上的高是322．【解答】解：由题意知，小四边形分别为小正方形，所以B 、C 为EF 、FD 的中点，ABC AEB BFC CDA AEFD S S S S S ∆∆∆∆=---正方形 11122121112222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯，32=． 22112BC =+=．ABC ∴∆中BC 边上的高是3322222⨯÷=． 故答案为：322．13．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，分别以BC 、AB 、AC 为边向外作正方形，面积分别记为1S 、2S 、3S ，若24S =，36S =，则1S = 2 ．【解答】解：ABC ∆中，90ABC ∠=︒， 222AB BC AC ∴+=， 222BC AC AB ∴=-，21BC S =、224AB S ==，236AC S ==， 132642S S S ∴=-=-=．故答案为：2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1)．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是103．【解答】解：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=， ∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=， 所以21043S x y =+=， 故答案为：103． 15．某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 5 米．【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 圆柱高4米，底面周长1米222(13)491625x =⨯+=+= 所以，花圈长至少是5m ．16．Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==．以AC 为一边，在ABC ∆外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为 4或25或10 ．【解答】解：①以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC ，90DAC ∠=︒，且AD AC =，224BD BA AD ∴=+=+=；②以C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于E ． ABC ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=︒， 45DCE ∴∠=︒，又DE CE ⊥，90DEC ∴∠=︒， 45CDE ∴∠=︒，222CE DE ∴=== 在Rt BAC ∆中，222222BC +=，2222(222)(2)25BD BE DE ∴=+=++=； ③以AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC ，90ADC ∠=︒，AD DC =，且2AC =，2sin 45222AD DC AC ∴==︒=⨯=， 又ABC ∆、ADC ∆是等腰直角三角形， 45ACB ACD ∴∠=∠=︒， 90BCD ∴∠=︒，又在Rt ABC ∆中，222222BC =+=，2222(22)(2)10BD BC CD ∴=+=+=． 故BD 的长等于4或25或10．17．勾股定理有着悠久的历史， 它曾引起很多人的兴趣 ． 1955 年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票 ． 所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成， 它可以验证勾股定理 ． 在右图的勾股图中， 已知90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =．作PQR ∆使得90R ∠=︒，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上， 点G ，F 在边PQ 上， 那么PQR ∆的周长等于27133+ ．【解答】解： 延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．AC GC =，BC FC =，ACB GCF ∠=∠， ABC GFC ∴∆≅∆，30CGF BAC ∴∠=∠=︒，60HGQ ∴∠=︒，90HAC BAD ∠=∠=︒， 180BAC DAH ∴∠+∠=︒， 又//AD QR ，180RHA DAH ∴∠+∠=︒， 30RHA BAC ∴∠=∠=︒，60QHG ∴∠=︒，60Q QHG QGH ∴∠=∠=∠=︒， QHG ∴∆是等边三角形 ．3cos304232AC AB =︒=⨯=． 则23QH HA HG AC ====．在直角HMA ∆中，3sin 602332HM AH =︒=⨯=．cos 603AM HA =︒=． 在直角AMR ∆中，4MR AD AB ===．2334723QR ∴=++=+． 21443QP QR ∴==+． 3736PR QR==+．PQR ∴∆的周长等于27133RP QP QR ++=+．故答案为：27133+．18．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 是BC 上一点，AD BD =，若8AB =，5BD =，则CD =75．【解答】解：设AC x =，CD y =，由勾股定理得： 2222(5)6425x y x y ⎧++=⎨+=⎩， 消去x ，得：22(5)39y y +-=， 整理，得： 1014y =，即75y =， 故CD 的长为75． 19．如图，有一个圆柱，它的高等于4cm ，底面半径等干4cm π，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是 42cm ．（结果保留根号）【解答】解：将圆柱体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，224442AB cm =+=．20．将一个含30︒角的三角板和一个含45︒角的三角板如图摆放，ACB ∠与DCE ∠完全重合，90C ∠=︒，45A ∠=︒，60EDC ∠=︒，42AB =6DE =，则EB =334 ．【解答】解：在Rt ABC ∆中，42AB =，45A ∠=︒，24242BC ∴=⨯= 在Rt EDC ∆中，60EDC ∠=︒，6DE =，3sin 6332CE DE EDC ∴=∠=⨯= 334BE CE BC ∴=-=-．故填空答案：334-．21．某小区有一块等腰三角形的草地，它的一边长为20m ，面积为2160m ，为美化小区环境，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则需要栅栏的长度为 20489+或40165+或4085+ m ．【解答】解：（1）当20是等腰三角形的底边时，根据面积求得底边上的高AD 是16，再根据等腰三角形的三线合一，知：底边上的高也是底边上的中线，即底边的一半10BD =， 根据勾股定理即可求得其腰长22100256289AB AD BD =++，此时三角形的周长是20489+；（2）当20是腰时，由于高可以在三角形的内部，也可在三角形的外部，又应分两种情况． 根据面积求得腰上的高是16；①当高在三角形的外部时，在RT ADC ∆中，2212AD AC CD =-=，从而可得32BD =，进一步根据勾股定理求得其底边是22221632165BC CD BD =+=+=，此时三角形的周长是40165+；②当高在三角形的内部时，根据勾股定理求得2212AD AC CD =-=，8BD AB AD =-=， 在RT CDB ∆中，22BC CD BD =+2216885+=，此时三角形的周长是4085+； 故本题答案为：20489+或40165+或4085+．22．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃()kun 一尺，不合二寸，问门广几何．”大意是说：今推开双门，门框距离门槛1尺，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度（两扇门的和）为 10.1 尺．【解答】解：设单门的宽度是x 米，根据勾股定理，得221(0.1)x x =+-， 5.05x =，则210.1x =尺．23．如图是一个长8m 、宽6m 、高5m 的仓库，在其内壁的点A （长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 85 ．。
八年级数学上第一章勾股定理综合难题
八年级数学上第一章勾股定理综合难题1一、用面积证明勾股定理（写出每种证明方法）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
二、勾股定理的应用，A组：1．如下图1，圆柱的高为10 cm，底面半径为2 cm.，在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是 ?2、如下展开图2，长方体的高为3 cm，底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为厘米?3．如上图3，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．此时EC有？4．如上图4，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长为。
5．已知：如下图1，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．则AC的长为．6、如下图2，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为。
7、如上图3，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕EF 的长为 。
8．如下图1，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB∶CE＝_________．9、如下图2，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．10．如上图3，有一块塑料矩形模板ABCD ，长为10cm ，宽为4cm ，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在AD 边上(不与A 、D 重合)，在AD 上适当移动三角板顶点P ：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B 与点C ？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点P 在AD 上移动，直角边PH 始终通过点B ，另一直角边PF 与DC 的延长线交于点Q ，与BC 交于点E ，自己做出图形，能否使CE ＝2cm ？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由．11、如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.EFBC ′BACD AC D12、如图，在△ABC 中，AB=AC=6，P 为BC 上任意一点，请用学过的知识试求PC ·PB+PA 2的值。
(完整word版)勾股定理经典例题含答案资料
勾股定理经典例题含答案11页勾股定理是一个基本的初等几何定理,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a²+b²=c²,若a、b、c都是正整数,（a，b，c)叫做勾股数组。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.“勾三，股四，弦五"是勾股定理的一个最著名的例子。
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,还知道许多勾股数组。
古埃及人也应用过勾股定理。
在中国，西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
类型一:勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1）已知a=6，c=10，求b，(2）已知a=40，b=9，求c; (3)已知c=25，b=15，求a。
思路点拨：写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：（1）在△ABC中，∠C=90°,a=6，c=10,b=（2）在△ABC中，∠C=90°,a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°，AD=13,CD=12，BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4。
类型二：勾股定理的构造应用2、如图,已知：在中，，,. 求:BC的长。
(完整版)勾股定理专题(附答案,全面、精选)
(6) 如图(1),图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为。
3、运用勾股定理进行计算(重难点)(12)如图，一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，__________________________ 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型(7)如图(2),三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。
(8)在RtAABC 中，/ C= 90°,若AC= 6, BO 8,则AB的长为( )A、6B、8C、10(9)在直线l上依次摆放着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是D、12(如图4所示)。
1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S I S2 S3 S4= ------------------------ 。
1、对勾股定理的理解(1)已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长c,则下列关于a,b,c的关系不成立的是( )A、c2- a2=b2C、a2- c2=b2(2) 在直角三角形中，/ 立的是( )A、BC2- AB2=AC2C、AB2+AC2= BC22、应用勾股定理求边长(3) 已知在直角三角形求AC的长.B、c2- b2=a2D、a2+b2= c2A=90°,则下列各式中不成B、BC2- AC2=AB2D、AC2+BC2= AB2AB=10 cm, BC=8 cm ABC中,(4)在直角△中，若两直角边长为a、b,且满足Va- 6a +9 + |b- 4| = 0,则该直角三角形的斜边长为__________3、利用勾股定理求面积(5)已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25兀，16兀，求另一个半圆的面积。
【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。
(完整word版)勾股定理习题(附答案)
C勾股定理评估试卷(1）一、选择题（每小题3分，共30分）1。
直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). (A ）30 (B)28 （C ）56 （D ）不能确定2。
直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm （B ）8 cm（C ）10 cm(D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14(C)7（D ）7或254。
等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ） （A ）13 (B ）8 （C)25 (D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ )715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数， 得到的三角形是（ ）（A) 钝角三角形 (B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7。
如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD 的面积是 （ ） （A ） 25 （B ） 12.5 （C) 9 （D ） 88. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是（(A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形。
9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米,AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮a 元计算,那么共需要资金（ ）.(A ）50a 元 （B ）600a 元 (C ）1200a 元 （D ）1500a 元10.如图,AB ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5，那么AC 的长为（ ）。
勾股定理综合性难题(习题)
勾股定理复习1、直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，那么这个三角形周长为〔 〕〔A 〕22d S d ++ 〔B 〕2d S d -- 〔C 〕222d S d ++ 〔D 〕22d S d ++2．如图，A 、B 两个村子在河CD 的同侧，A 、B 两村到河的距离分别为AC=1km ，BD=3km ，CD=3km ，现在河边CD 上建一水厂向A 、B 两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD 选择水厂位置O ，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F 。
3.△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，假设∠C=90°，如图〔1〕，根据勾股定理，那么222c b a =+，假设△ABC 不是直角三角形，如图〔2〕和图〔3〕，请你类比勾股定理，试猜测22b a +与2c 的关系，并证明你的结论.4．如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． 〔1〕A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； 〔2〕如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？课堂练习：1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如下图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，那么h的取值范围是〔〕．A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm2 如图，：，，于P. 求证：.3 ：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD的面积。
4．一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如下图，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．解：OC＝1米(大门宽度一半)，OD＝0.8米〔卡车宽度一半〕在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝０.６米，CＨ＝０.６＋２.３＝２.９〔米〕＞２.５〔米〕．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
(完整版)勾股定理经典题目及答案
勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2⇔3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。
212-k 212+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。
122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____ 依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段 a5分析一：a ＝＝525a 224a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。
勾股定理综合难题
练习题1如图，圆柱的高为10，底面半径为2 •，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少 ？ 2如图，长方体的高为 3，底面是边长为2的正方形.现有一小虫从顶点 A 出发，沿长方体侧面到达顶点 C 处，小虫走的路程最短为多少厘米 ？ 答案53、 一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B'点沿纸箱爬到D 点，那么它所行 的最短路线的长是。
4、 如图，小红用一张长方形纸片进行折纸， 已知该纸片宽为8, ?长？为10.当小红折叠时，顶点D 落在边上的点F 处（折痕为）?如图，将一个边长分别为 4、8的长方形纸片折叠， 使C 点与A 点重合，则的长是（ A . 3 B . 4 C .56. 已知：如图，在△中，/ 90°, 30°，的垂直平分线交于D,垂足为E, 4.5. .想一想，此时有多）长?求的长.7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 6, 8,现将直角边沿直线折叠，使其落在斜边上，且 与重合，则的长为9、如图，已知：点E 是正方形的边上的点，现将△沿折痕向上翻折，使落在 对角线上，贝V ：=.10、如图，是△的中线，/= 45°,把△沿对折，点C 落在C 的位置，若=2, 则—痕EF 的长为11.如图1,有一块直角三角形纸片，两直角边= 6, 折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（&如图，在矩形 点B 与点D 重合, C图1=8，现将直角边沿直线使它落在斜边上，且与重合，你能求出的长吗?13、如图，在△中，/ 90 , 6,把△进行折叠，使点A 与点D 重合，1:2，折痕为， 点E 在上，点F 在上，求的长。
J14.已知，如图长方形中，3，9,将此长方形折叠，使点 B^-D c 与点D 重合，折痕为，则△的面积为（ ）A 、62B 、82C 102D 12215. 如图，将矩形沿折叠，使点 D 与点B 重合，已知=3,= 9,求的长.B16、如图，每个小方格的边长都为 1.求图中格点四边形的面积。
勾股定理中等难度题集(50道含答案)
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AN上一动点（且点P 不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM 的最小值为（）A．B．C．D．2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．14S B．13S C．12S D．11S3．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，则DC的长（）A．7B．C．D．25．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．13B．14C．15D．166．如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，则PE+PF 的长是（）A．B．6C．D．7．如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为（）A．4+2+2B．2+2+2C．4+2+4D．2+2+48．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10B．5C．2D．29．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE 的面积是7时，BD与DC的比值是（）A．3：4B．3：5C．1：2D．2：310．已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连结OC，则线段OC长的最小值是．11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E 运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为．12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，连接BD，若AB=2，BD=，则BC的长为．13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D、E分别是BC、AD 的中点，AF∥BC交CE的延长线于F，则△AFC的面积为．14．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以AB、BC、AC为边作正方ABED、BCFK、ACGH，再作Rt△PQR，使∠R=90°，点H 在边QR上，点D、E在边PR上，点G、F在边PQ上，则PQ的长为．15．如图，水平距离为80米（BC=80米）的A，B两村庄隔着一条小河，并且河宽15米，A与河l1的距离为40米，B与河l2的距离为20米，为了方便行人之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么A，B两村庄来往的最短路程是米．16．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=．17．四边形ACBD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7，则BD=．18．如图，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．19．如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球经过C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是．20．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=4，BC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是．21．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分别以AB，AC，BC 为边，向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，连接GE，DN．则图中阴影的总面积是．22．如图，△ABC是直角三角形，记BC=a，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，正方形BCMN，过点C作BA边上的高CH并延长交正方形ABDE的边DE于K，则四边形BDKH的面积为．（用含a的式子表示）23．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于点E，EF⊥AC，交其延长线于点F，则AF的最大值为．24．如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=2，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，连接BD，则BD=．25．如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150°；④∠APC=105°．其中一定正确的是．（把所有正确答案的序号都填在横线上）26．如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S2+S3=．27．如图所示，在等边三角形ABC中，BC边上的高AD=10，E是AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE 上的速度是2单位/秒，则点P从A到C的运动过程中至少需秒．28．在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的四边形，则原直角三角形纸片的斜边长是．29．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．30．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，平板车的长不能超过米．31．如图，在△ABC中，AB=AC=2，点P在BC上．若点P为BC的中点，则m=AP2+BP•PC的值为；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，且m i=AP i2+BP i•P i C（i=1，2，…，100），则m=m1+m2+…+m100的值为．32．图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC=6cm，BC=5cm，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”．则①图中小正方形的面积为；②若给这个“数学风车”的外围装饰彩带，则需要彩带的长度至少是．33．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边PQ上，那么△PQR的周长等于．34．如图平面直角坐标系中，已知三点A（0，7），B（8，1），C（x，0）．（1）求线段AB的长；（2）请用含x的代数式表示AC+BC的值；（3）根据（2）中得出的规律和结论，直接写出代数式﹣的最大值．35．如图，AD∥BC，AC⊥AB，AB=3，AC=CD=2．（1）求BC的长；（2）求BD的长．36．如图，△ABC中，D是BC的中点，AB=，AC=，AD=3，求BC 的长及△ABC的面积．37．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O为坐标原点，点C在x轴的正半轴上，且BC⊥OC于点C，点A的坐标为（2，2），AB=4，∠B=60°，点D是线段OC上一点，且OD=4，连接AD．（1）求证：△AOD是等边三角形；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上求一点P，使△OBP为等腰三角形．38．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）△ABC的面积为．（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为，，，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为．（3）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD （D与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为．39．如图，在等腰△ACE中，已知CA=CE=2，AE=2c，点B、D、M分别是边AC、CE、AE的中点，以BC、CD为边长分别作正方形BCGF和CDHN，连结FM、FH、MH．（1）求△ACE的面积；（2）试探究△FMH是否是等腰直角三角形？并对结论给予证明；（3）当∠GCN=30°时，求△FMH的面积．40．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB 于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，求AM的最小值．41．阅读下列材料：小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算①中△DEF的面积为；（直接写出答案）（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．②若PQ=，PR=，QR=3，直接．．写出六边形AQRDEF的面积为．42．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．43．探究下列几何题：（1）如图（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证：AC2﹣BC2=AP2﹣BP2；（2）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点P，猜一猜AB，BC，CD，DA之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；（3）如图（3）所示，在矩形ABCD中，P是其内部任意一点，试猜想AP，BP，CP，DP之间的数量关系，并给出证明．44．设a，b，c，d都是正数．求证：+＞．45．如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．46．已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，DE、DF分别交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．（1）如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；（2）如图2，如果CA＜CB，（1）中结论AE2+BF2=EF2还能成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．47．（1）如图1，AD是△ABC边BC上的高．①求证：AB2﹣AC2=BD2﹣CD2；②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一点，求BM2﹣CM2的值；（2）如图2，P是矩形ABCD内的一点，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．48．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC=5km，B厂距离河边BD=1km，经测量CD=8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．（1）设ED=x，请用x的代数式表示AE+BE的长；（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想的最小值为．49．阅读下面材料，并解决问题：（1）如图（1），等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．50．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算△DEF的面积为．（3）如图3，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG．若AB=，BC=，AC=，则六边形BCFGED的面积为．一．选择题（共9小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点P为边AN上一动点（且点P 不与点A，B重合），PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，点M为EF中点，则PM 的最小值为（）A．B．C．D．【分析】首先证明四边形CEPF是矩形，因为M是EF的中点，推出延长PM经过点C，推出EF=CP，可得PM=EF=PC，求出PC的最小值可得PM的最小值．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=5，AC=3，∴BC==4，∵PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，∴∠PEC=∠PFC=∠EPF=90°，∴四边形CEPF是矩形，∵M是EF的中点，∴延长PM经过点C，∴EF=CP，PM=EF=PC，当PC⊥AB时，PC=，∴PM的最小值为，故选：D．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的斜边上的高的求法，注意当CP⊥AB时，CP最小．2．四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为（）A．14S B．13S C．12S D．11S【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，由此即可解决问题．【解答】解：设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2由题意可知EF=（2a﹣b）﹣2（a﹣b）=2a﹣b﹣2a+2b=b，∵AM=2EF，∴2a=2b，∴a=b，∵正方形EFGH的面积为S，∴b2=S，∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=13b2=13S，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中AC边上的高是（）A．B．C．D．【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式求出△ABC中AC边上的高即可．【解答】解：作BD⊥AC于D，如图所示：∵小正方形的边长为1，∴AC==，=2×2﹣×1×1﹣×2×1﹣×2×1=1.5，∵S△ABC∴S=×AC×BD=××CD=1.5，△ABC解得：CD=．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及三角形的面积；根据题意得出△ABC的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解决问题的关键．4．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=BD，AC⊥BD，若AB=4，AD=5，则DC的长（）A．7B．C．D．2【分析】如图作DH⊥BA交BA的延长线于H．首先证明△ABC≌△DHB，推出DH=AB=4，利用勾股定理求出AH、BD，即可解决问题；【解答】解：如图作DH⊥BA交BA的延长线于H．∵AC⊥BD，∴∠BEC=∠ABC=∠H=90°，∵∠BDH+∠HBD=90°，∠CAB+∠ABD=90°，∴∠CAB=∠HDB，∵AC=BD，∴△ABC≌△DHB，∴AB=DH=4，在Rt△BDH中，∵DH=4，AD=5，∴AH==3，∴AC=BD===，BC==7，∴BE==，DE=，EC==，在Rt△EDC中，DC==，故选：B．【点评】本题考查勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A．13B．14C．15D．16【分析】过F作AM的垂线交AM于G，通过证明S1+S2+S3+S4=Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．【解答】解：∵图中S4=S Rt△ABC．S3=S△FPT，∴S1+S3=S Rt△ABC．S2的左上方的顶点为F，过F作AM的垂线交AM于G，可证明Rt△AGF≌Rt △ABC，而图中Rt△GFK全等于①，∴S2=S Rt△ABC．S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积=Rt△ABC的面积×3=2×5÷2×3=15．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．6．如图，在△ABC中，∠A=90°，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=，则PE+PF 的长是（）A．B．6C．D．【分析】作PM⊥AC于点M可得矩形AEPM，易证△PFC≌△CMP，得到PE+PF=AC，在直角△ABC中，根据勾股定理就可以求得．【解答】解：（1）作PM⊥AC于点M，可得矩形AEPM∴PE=AM，利用DB=DC得到∠B=∠DCB∵PM∥AB．∴∠B=∠MPC∴∠DCB=∠MPC又∵PC=PC．∠PFC=∠PMC=90°∴△PFC≌△CMP∴PF=CM∴PE+PF=AC∵AD：DB=1：3∴可设AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2x，BC=2x∵BC=∴x=2∴PE+PF=AC=2×2=4．（2）连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，S△PBD=BD•PE，S△PCD=DC•PF，S△BCD=B D•AC，所以PE+PF=AC=2×2=4．故选：C．【点评】解决本题的关键是作出辅助线，把所求的线段转移到一条线段求解．7．如图，正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为（）A．4+2+2B．2+2+2C．4+2+4D．2+2+4【分析】连接AG，分别求出∠ABF和∠FCG的度数，再根据AB=BC=FC，求证△ABF≌△FCG，可得AF=FG，同理AF=AG，设AB中点为K，连GK，可得△AKG为直角三角形，再利用由勾股定理求得AG，然后即可求得四边形AFGD的周长．【解答】解：连接AG，那么等腰三角形ABF顶角∠ABF=90°+60°=150°，等腰三角形FCG顶角∠FCG=360°﹣90°﹣2×60°=150°又AB=BC=FC，所以△ABF≌△FCG，∴AF=FG．同理AF=AG，设AB中点为K，连GK，可得△AKG为直角三角形，∴AK=1，KG=2+，由勾股定理得AG====+．四边形AFGD的周长为：AF+FG+GD+DA=2（+）+2×2=4+2+2．故选：A．【点评】此题主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识点，此题有一定难度，属于难题．8．如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则AB的长为（）A．10B．5C．2D．2【分析】设EC=x，DC=y，则直角△BCE中，x2+4y2=BE2=16，在直角△ADC中，4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得x、y，在直角△ABC中，AB=．【解答】解：设EC=x，DC=y，∠ACB=90°，∴在直角△BCE中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角△ADC中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，解得x=，y=1．在直角△ABC中，AB===2，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE和直角△ADC求DC．BC的长度是解题的关键．9．如图△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，且BD＜DC，以AD为边作正三角形ADE，当△ABC的面积是25，△ADE 的面积是7时，BD与DC的比值是（）A．3：4B．3：5C．1：2D．2：3【分析】根据△ABC的面积，可以计算AF，BF，设DF=x，根据△ADE的面积计算x的值，根据BD=BF﹣DF，CD=CF+DF即可计算BD，CD长度，即可计算BD：CD．【解答】解：作AF⊥BC，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=30°，即AB=2AF．BF=AF=AF．△ABC的面积为×BC×AF=25，计算得：AF=5，BF=5．设DF=x，则AD=，根据正三角形面积计算公式S=AD×（）=AD2=7，计算得：x=，∴BD=BF﹣DF=4，CD=CF+FD=6，故BD：CD=2；3，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的运用，考查了三角形面积的计算，本题中根据正三角形ADE计算DF是解题的关键．二．填空题（共24小题）10．已知等边三角形ABC边长为2，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连结OC，则线段OC长的最小值是﹣1．【分析】利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长．【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，∴△ABC是等边三角形，∴CE过点O，E为BD中点，则此时EO=AB=1，故OC的最小值为：OC=CE﹣EO=BCsin60°﹣×AB=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了勾股定理以及等边三角形的性质，得出当点C，O，E 在一条直线上，此时OC最短是解题关键．11．如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=7，E是BC上的一个动点（不与点B，C重合），△DEF≌△ABC，其中点A，B的对应点分别是点D，E．当点E 运动时DE边始终经过点A．设EF与AC相交于点G，当△AEG是等腰三角形时，BE的长为1或．【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，可得AE≠AG，然后分别从AE=EG与AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE＞∠C，∴∠AGE＞∠AEF，∴AE≠AG；当AE=EG时，则△ABE≌△ECG，∴CE=AB=6，∴BE=BC﹣EC=7﹣6=1，当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴=，∴CE==，∴BE=7﹣=；∴BE=1或．故答案为：1或．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．12．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=CD，连接BD，若AB=2，BD=，则BC的长为．【分析】将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，根据旋转的性质得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得△DBE为等边三角形，则DB=BE，根据周角的定义和四边形内角和定理得∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE=360°﹣∠BCD﹣∠A=360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）=60°+30°=90°，则△ECB为直角三角形，根据勾股定理得EC2+BC2=BE2，利用等线段代换可得BD2=AB2+BC2，再代入计算即可求解．【解答】解：如图，将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，又∵∠ADC=60°，∴∠BDE=60°，∴△DBE为等边三角形，∴DB=BE，又∴∠ECB=360°﹣∠BCD﹣∠DCE=360°﹣∠BCD﹣∠A=360°﹣（360°﹣∠ADC﹣∠ABC）=60°+30°=90°，∴△ECB为直角三角形，∴EC2+BC2=BE2，∴BD2=AB2+BC2．∴BC==．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．13．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点D 、E 分别是BC 、AD 的中点，AF ∥BC 交CE 的延长线于F ，则△AFC 的面积为 6 ．【分析】由于AF ∥BC ，从而易证△AEF ≌△DEC （AAS ），所以AF=CD ，从而可证四边形AFBD 是平行四边形，所以S 四边形AFBD =2S △ABD ，又因为BD=DC ，所以S △ABC =2S △ABD ，所以S 四边形AFBD =S △ABC ，再根据等底等高的三角形面积等于平行四边形面积的一半即可求出答案． 【解答】解：∵AF ∥BC ， ∴∠AFC=∠FCD ， 在△AEF 与△DEC 中，，∴△AEF ≌△DEC （AAS ）． ∴AF=DC ， ∵BD=DC ，∴AF=BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∴S 四边形AFBD =2S △ABD ，又∵BD=DC ，∴S △ABC =2S △ABD ，∴S 四边形AFBD =S △ABC ，∵∠BAC=90°，AB=4，AC=6，∴S △ABC =AB•AC=×4×6=12，∴S 四边形AFBD =12，∴△AFC 的面积为12÷2=6．故答案为：6．【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，综合程度较高．14．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，分别以AB 、BC 、AC 为边作正方ABED 、BCFK 、ACGH ，再作Rt △PQR ，使∠R=90°，点H 在边QR 上，点D 、E 在边PR 上，点G 、F 在边PQ 上，则PQ 的长为 2+7 ．【分析】首先证明△ABC ≌△GFC （SAS ），利用全等三角形的性质可得：∠CGF=∠BAC=30°，在直角△ABC 中，根据三角函数即可求得AC ，进而由等边三角形的性质和正方形的性质及三角函数就可求得QR 的长，在直角△QRP 中运用三角函数即可得到RP 、进而可求出PQ 的长．【解答】解：延长BA 交QR 于点M ，连接AR ，AP ．在△ABC 和△GFC 中，∴△ABC≌△GFC（SAS），∴∠CGF=∠BAC=30°，∴∠HGQ=60°，∵∠HAC=∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAH=180°，又∵AD∥QR，∴∠RHA+∠DAH=180°，∴∠RHA=∠BAC=30°，∴∠QHG=60°，∴∠Q=∠QHG=∠QGH=60°，∴△QHG是等边三角形．AC=BC•tan60°=，则QH=HA=HG=AC=，在直角△HMA中，HM=AH•sin60°=×=，AM=HA•cos60°=，在直角△AMR中，MR=AD=AB=2．∴QR=++2=+，∴QP=2QR=2+7．故答案为：2+7．【点评】本题考查了勾股定理和含30度角的直角三角形以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度较大，正确运用三角函数以及勾股定理是解决本题的关键．15．如图，水平距离为80米（BC=80米）的A，B两村庄隔着一条小河，并且河宽15米，A与河l1的距离为40米，B与河l2的距离为20米，为了方便行人之间来往，现在要在两条小河上各建一条垂直于河岸的桥，那么A，B两村庄来往的最短路程是115米．【分析】在AC上取一点A′，使得AA′=15，连接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足为E，连接AE．则AE+EF+FB的值最小．【解答】解：在AC上取一点A′，使得AA′=15，连接BA′交l2于F，作EF⊥l1垂足为E，连接AE．则AE+EF+FB的值最小．∵AA′=EF，AA′∥EF，∴四边形AA′FE是平行四边形，∴AE=A′F，在Rt△A′BC中，BA′===100米，∴AE+EF+FB=BA′+AA′=115米．故答案为115．【点评】本题考查勾股定理的应用、两点之间线段最短、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，若CD=6，BD=6.5，则AD=．【分析】在CD外侧作等边△CDE，连接AE，易证∠ACE=∠BCD，进而可以证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，在Rt△ADE中根据勾股定理可以求得DE 的长，即可解题．【解答】解：在CD外侧作等边△CDE，连接AE，则∠ADE=90°，DE=DC，∠DCE=60°，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE=BD=6.5，∵在Rt△ADE中，DE2=AE2﹣AD2=BD2﹣AD2=6.52﹣AD2=62，∴AD=，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACE≌△BCD是解题的关键．17．四边形ACBD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADB=30°，AD=6，CD=7，则BD=10．【分析】作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN 是矩形．首先证明△BCN≌△ACM，四边形CMHN是正方形，设CN=a．构建方程求出a即可解决问题；【解答】解：作AH⊥BD于H，CN⊥BD于N，CM⊥HA于M，则四边形CMHN 是矩形．∵∠BCA=∠MCN=90°，∴∠BCN=∠MCA，∵∠CNB=∠M=90°，BC=CA，∴△BCN≌△ACM，∴CM=CN，BN=AM，∴四边形CMHN是正方形，设CN=a．在Rt△AHD中，AD=6，∠ADH=30°，∴AH=3，DH=3，在Rt△CND中，∵CN2+DN2=CD2，∴a2+（a+3）2=（7）2，整理得：2a2+6a﹣71=0，解得a=或（舍弃），∴AM=BN=，∴BD=BN+NH+DH=++3=10，【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．如图，在△ABC中，AB=BC=6，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为3或3或3．【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=6，∴AP=AB•sin60°=6×=3；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===3，在直角三角形ABP中，AP==3；如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=3，故答案为3或3或3．【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．19．如图，A（1，0），B（0，1），若△ABO是一个三角形台球桌，从O点击出的球经过C、D两处反弹正好落在A洞，则C的坐标是（，）．【分析】应先作出点O及点A的对称点，过两个点的直线与直线AB的交点即为所求点．【解答】解：如图所示，∵点O关于AB的对称点是O′（1，1），点A关于y轴的对称点是A′（﹣1，0）设AB的解析式为y=kx+b，∵（1，0），（0，1）在直线上，∴，解得k=﹣1，∴AB的表达式是y=1﹣x，同理可得O′A′的表达式是y=+，两个表达式联立，解得x=，y=．故答案为：（，）．【点评】考查对称的知识；根据作相关点的对称点得到点D的位置是解决本题的关键．20．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=4，BC=6，现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是100．【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由BC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．【解答】解：在直角三角形ACB中，AB=62+42=213，中间小正方形的面积：213×213﹣6×4÷2×4=52﹣48=4，4+（6+6）×4÷2×4=4+96=100．故答案为：100【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．21．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=2，BC=．分别以AB ，AC ，BC为边，向外作正方形ABDE ，正方形ACFG ，正方形BCMN ，连接GE ，DN ．则图中阴影的总面积是 2 ．【分析】如图将△GAE 绕点A 顺时针旋转90°得到△KAB ．首先证明S △ABK =S △ABC =S △AGE ，同理可证S △BDN =S △ABC ，推出S △AEG +S △BDN =2•S △ABC ，由此即可解决问题．【解答】解：如图将△GAE 绕点A 顺时针旋转90°得到△KAB ．∵∠GAC=∠EAB=90°，∴∠GAE +∠CAB=180°，∵∠GAE=∠KAB ，∴∠KAB +∠CAB=180°，∴C 、A 、K 共线，∵AG=AK=AC ，∴S △ABK =S △ABC =S △AGE ，同理可证S △BDN =S △ABC ，∴S △AEG +S △BDN =2•S △ABC =2××2×=2．故答案为2． 【点评】本题考查的是勾股定理、正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．22．如图，△ABC 是直角三角形，记BC=a ，分别以直角三角形的三边向外作正方形ABDE ，正方形ACFG ，正方形BCMN ，过点C 作BA 边上的高CH 并延长交正方形ABDE 的边DE 于K ，则四边形BDKH 的面积为 a 2 ．（用含a 的式子表示）【分析】由射影定理得到BC 2=BH•BA ，即BH•BA=a 2，再由矩形面积公式即可得到结论．【解答】解：∵BC ⊥AC ，CH ⊥BA ，∴BC 2=BH•BA ，即BH•BA=a 2，∵四边形ABDE 是正方形，∴BD=BA ，∴四边形BDKH 的面积=BH•BD=BH•BA=a 2，故答案为：a 2．【点评】本题主要考查了射影定理，正方形的性质，矩形面积，由射影定理得到BC2=BH•BA是解题的关键．23．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，D是BC边上一动点，BE⊥AD，交其延长线于点E，EF⊥AC，交其延长线于点F，则AF的最大值为4．【分析】由AB=5、AC=3、BC=4可得出∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，则点C、E在圆上，作BC的平行线切⊙O于点E，过点E作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC于点M，根据OE⊥EF、OE⊥EF、EF⊥AF可得出四边形OEFM为矩形，进而可得出MF的长度，再根据点O为AB的中点利用三角形中位线的性质可得出AM的长度，由AF=AM+MF可求出AF的最大值．【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，∴AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°．以AB为直径作⊙O，则点C、E在圆上，作BC的平行线切⊙O于点E，过点E 作EF⊥AC的延长线于点F，此时AF最长，连接OE，过点O作OM⊥AC 于点M，如图所示．∵OM⊥AC，∠ACB=90°，∴OM∥BC．∵点O为AB的中点，∴点M为AC的中点，∴AM=AC=．∵EF切⊙O为点E，∴OE⊥EF，。
勾股定理习题(附答案)
勾股定理基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５..勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为cba H GFEDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBA三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； ②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：AB C30°D C BA ADB CC B DAC勾股定理评估试卷（1）一、选择题（每小题3分，共30分）1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其周长为( ). （A ）30 （B ）28 （C ）56 （D ）不能确定2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长（A ）4 cm （B ）8 cm（C ）10 cm（D ）12 cm3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） （A ）25（B ）14（C ）7（D ）7或254. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A ）13 （B ）8 （C ）25 （D ）645. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）72425207152024257252024257202415(A)(B)(C)(D)6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) （A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是（A ） 等边三角形 （B ） （C ） 直角三角形 （D ） 9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）. （A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元10.如图，A B ⊥CD 于B ，△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）.（A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）135米3米（第10题） （第11题） （第14题）二、填空题（每小题3分，24分）11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要____________米.12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为.14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是____________.（第15题） （第16题） （第17题） 15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米. 16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC =8，AD =5，则AC 等于______________. 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______.18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2.三、解答题（每小题8分，共40分）19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：C“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
《勾股定理》难题(含答案)
第一章勾股定理（难度题）1、如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市在医院的南偏东25°的方向，且到医院的距离为300m，公园到医院的距离为400m.若公园到超市的距离为500m，则公园在医院的(B)A．北偏东75°的方向上B．北偏东65°的方向上C．北偏东55°的方向上D．无法确定2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．【解】∵PA=2×（4+2）=12，QA=5∴PQ=13．故答案为：13．3、（潍坊）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是25尺．【解】如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长为=25（尺）．故答案为：25．4、如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（）A、25B、23C、25+2D、23+25、如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG=_______．6、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）。
已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12、、S S S S S S 341234、，则+++=_____________7、如图，点E 在DBC ∆的边DB 上，点A 在DBC ∆内部，90DAE BAC ∠=∠=，AD AE =，AB AC =．给出下列结论：①BD CE =；②45ABD ECB ∠+∠=；③BD CE ⊥；④22222BE AD AB CD =+（）﹣．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC、BD相交于点O，过A 作AE⊥BD交BD于点E，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段OD的F点处，则DF的长为（C）A．B．C．D．【解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AD=BC=4，∴BD==5，∵AE⊥BD，∴△ABD的面积=AB•AD=BD•AE，∴AE==，∴BE==，由翻折变换的性质得：EF=BE=，∴DF=BD﹣BE﹣EF=5﹣﹣=．故选：C．9、如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE 沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=135°．其中正确的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2 【解】：由题意可求得DE=2，CE=4，AB=BC=AD=6，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE=2在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正确；∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，设BG=GF=x，若BG=CG=x，在Rt△EGC中，EG=x+2，CG=x，CE=4，由勾股定理可得（x+2）2=x2+42，解得x=3，此时BG=CG=3，BG+CG=6，满足条件，∴②正确；∵GC=GF，∴∠GFC=∠GCF，且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF，∴2∠AGB=2∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴AG∥CF，∴③正确；∵S△EGC=GC•CE=×3×4=6，S△AFE=AF•EF=×6×2=6，∴S△EGC=S△AFE，∴④正确；在五边形ABGED中，∠BGE+∠GED=540°﹣90°﹣90°﹣90°=270°，即2∠AGB+2∠AED=270°，∴∠AGB+∠AED=135°，∴⑤正确；∴正确的有五个，故选：A．10、如图，P是矩形ABCD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_________. 解：过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，则AM=DN，BM=CN∵∠PMA=∠PMB=90°， ∴PA 2-PM 2=AM 2，PB 2-PM 2=BM 2.∴PA 2-PB 2=AM 2-BM 2.同理，PD 2-PC 2=DN 2-CN 2.∴PA 2-PB 2=PD 2-PC 2.又PA=1，PB=5，PC=7， ∴PD 2=PA 2-PB 2＋PC 2=12-52＋72，PD=511、如图, 已知正方形ABCD 的边长为2,△ BPC 是等边三角形,则PD 的长是( D )A ．347- B ．32- C ．23- D ．348-12、如图，在△ABC 中，AD ＝15，AC ＝12，DC ＝9，点B 是CD 延长线上一点，连接AB .若AB ＝20，求△ABD 的面积．【解】：在△ADC 中，∵AD ＝15，AC ＝12，DC ＝9，∴AC 2＋DC 2＝122＋92＝152＝AD 2，∴△ADC 是直角三角形．在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，∵AB ＝20，∴BC ＝16，∴BD ＝BC －DC ＝16－9＝7，∴S △ABD ＝12BD ×AC ＝12×7×12＝42.13、如图，∠xoy =60°，M 是∠xoy 内的一点，它到ox 的距离MA 为2，它到oy 的距离MB 为11，求OM 的长。
勾股定理难题精选
勾股定理难题精选勾股定理一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）A 、6厘米B 、8厘米 C、厘米 D 、厘米2、若等腰三角形腰长为10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为( )A. 48 cm 2B. 36 cm 2C. 24 cm 2D.12 cm 23、Rt △一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt △的周长为（ ）A 、121B 、120C 、132D 、不能确定解：设该Rt △的三边分别为a 、b 、c ，a 、b 为直角边，c 为斜边由勾股定理知：，即：112＋b 2 = c 2所以（b+c ）（c －b ）=121因为b 、c 都为自然数，所以b+c ，c －b ，都为正自然数。
又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c －b=1。
所以b=60，c=61评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。
4、如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a ，较短直角边为b ，则ab 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1013801360222a b c +=5、△ABC 中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42或32D ．37或3310、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）A 、450a 元B 、225a 元C 、150a 元D 、300a 元11．已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm2B 、8cm2C 、10cm2D 、12cm212．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里8、直角三角形的一条直角边长为12，另外两条边长均为自然数，则其周长可以为（ ）A ．36B ．28C ．56D ．不能确定9、已知a 、b 、c 是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）A ．底与边不相等的等腰三角形B 、等边三角形C 、钝角三角形D 、直角三角形10、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a ，较长直角边为b ，那么的值为（ ）．A ．13 B ．19 C ．25 D ．169二、填空题15、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有 米。
(完整版)初中数学《勾股定理》专项习题及答案
《勾股定理》专项练习18.1勾股定理考点一、已知两边求第三边1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________．2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________．3．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为( ).A ．4cmB ．4cm 或cm 34C ．cm 34D ．不存在4．在数轴上作出表示10的点．5．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？考点二、利用列方程求线段的长1．把一根长为10㎝的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9㎝2，那么还要准备一根长为____的铁丝才能把三角形做好．2．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．D ．53．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km处？4．如图，某学校（A 点）与公路（直线L ）的距离为300米，又与公路车站（D 点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校A 及车站D 的距离相等，求商店与车站之间的距离．考点三、综合其它考点的应用1．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为72cm ，82cm ，则以斜边为边长的正方形的面积为_________2cm ．2．如图一个圆柱，底圆周长6cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行 cmF E D C BA A DE B C AB3．小雨用竹杆扎了一个长80cm、宽60cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．4．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是米．5．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（取3）6 86．已知，如图在ΔABC中，AB=BC=CA=2cm，AD是边BC上的高．求①AD的长；②ΔABC的面积．7．在直角ΔABC中，斜边长为2，周长为2+，求ΔABC的面积．8．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm．求AC的长．9．已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．10．已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．11．小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮它计算一下旗杆的高度．12．有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．13．如图∠B=90º，AB＝16cm，BC＝12cm，AD＝21cm,CD=29cmE C D B A 求四边形ABCD 的面积．14．如图，一个梯子AB 长2.5 米，顶端A 靠在墙AC 上，这时 梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？15．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB 间的尺寸．18.2勾股定理的逆定理考点四、判别一个三角形是否是直角三角形1．若△ABC 的三个外角的度数之比为3：4：5，最大边AB 与最小边BC 的关系是_________．2．若一个三角形的周长12c m,一边长为3c m,其他两边之差为c m,则这个三角形 是______________________．3．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )．A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不是直角三角形4．下列命题中是假命题的是( )．A ．△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形.B ．△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形.C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形.D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形.5．在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是（ ）． A ．等腰三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形6．如图，四边形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE 41=．你能说明∠AFE 是直角吗？考点五、开放型试题1．在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．l321S4S3S2S12．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.3．图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2，和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.参考答案考点一、已知两边求第三边1．cm 5 2．135或 3．A 4．略 5．13+4.6=17.6考点二、利用列方程求线段的长1．8cm ．设两直角边为acm ，bcm ，则a+b=10，ab=18，c 2=a 2+b 2=(a+b)2—2ab=64，c=82．A ．设BE=x ，则AE=8—x ，42+x 2=(8—x)2，x=33．设AE=xkm ，则x 2+152=102+(25—x)2，x=104．作AB ⊥L 于B ，则AB=300，设CD=x ，则CB=400—x ，x 2=(400—x)2+3002，x=312.5 考点三、综合其它考点的应用1．15 2．5 3．100 4．390 5．37.5 6．（1）；（2）7． c=2，a+b+c=2+，a+b=，a 2+b 2=c 2=4，a 2+2ab+b 2=6，2ab=2，2121==ab S 8．连AD ，AD=BD=4，∠DAC=300，DC=2，AC=129．AB 2—AC 2=BD 2+AD 2—（DC 2+AD 2）=BD 2—DC 2=BC （BD —DC ）10．斜边长为13，高为1360 11．设旗杆高为x 米，则(x+1)2=x 2+52，x=1212．513．AC=20，∠DAC=900，30614．AC=2，EC=1.5，AE=0.515．50考点四、判别一个三角形是否是直角三角形1．AB=2BC 2．直角三角形 3．A 4．C 5．C6．连AE ，设BC=4a ，则DF=2a ，AF 2=20a 2，EF 2=5a 2，AE 2=25a 2，AE 2=AF 2+EF 2 考点五、开放型试题1．42．（1）S 1=S 2+S 3；（2）S 1=S 2+S 3；（3）S 1=S 2+S 33．8。
初二数学勾股定理综合难题
1如图：圆柱的高为10cm，底面半径为2cm.在下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处，需要爬行的最短路程是多少
2如图：长方体的高为3cm，底面是边长为2cm的正方形.现有一小虫从顶点A出发，沿长方体侧面到达顶点C处，小虫走的路程最短为多少厘米
3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D点，那么它所行的最短路线的长是
_____________。
4、如图：小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长
BC为10cm，当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，想一想，此时EC有多长？
5、如图：将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使点C与A点重合，则EB的长是（）
A。
3B。
4
C。
√5D。
5
6、已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm，求AC的长。
7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使其落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为。
8、如图，在矩形ABCD中，AB=6，将矩形ABCD折叠，使点B与点D重合，C落在C’处，若AE:BE=1：2，则折痕EF的长为。
9、如图，已知，点E是正方形ABCD的BC边上的点，现将△DCE沿折痕DE向上翻折，使DC落在对角线DB上，则EB：CE是多少？
10、如图，AD是△ABC的中线，角ADC=45o，把△ADC沿AD对折，点C 落在C’的位置，若BC=2，则BC’=_________。
′。
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CBA D EFCD练习题1 如图，圆柱的高为10 cm ，底面半径为2 cm.，在下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处，需要爬行的最短路程是多少?2 如图，长方体的高为3 cm ，底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发，沿长方体侧面到达顶点C 处，小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5ACB3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点，那么它所行的最短路线的长是_____________。
4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽AB 为8cm ，•长BC•为10cm ．当小红折叠时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．想一想，此时EC 有多长？•5．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则EB 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．56．已知：如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB 的 垂直平分线交BC 于D ，垂足为E ，D=4cm ． 求AC 的长．7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8， 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使其落在斜边AB 上，且 与AE 重合，则CD 的长为8、如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折 痕EF 的长为 。
BCAFE DCBAB ’C ’B ′A ′C ′D9、如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折，使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．10、如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45o ，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C´的位置，若BC ＝2，则BC´＝_________．11．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ） A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm12、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？13、如图，在△ABC 中，∠B=90，AB=BC=6，把△ABC 进行折叠，使点A 与点D 重合，BD:DC=1:2，折痕为EF ， 点E 在AB 上，点F 在AC 上，求EC 的长。
14．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A 、6cm 2B 、8cm 2C 、10cm 2D 、12cm 215．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长．E题5图FBC ′BACD ACAC BE图1D AECDADB CE FAB EF DC 第11题图CBAD16、如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积。
17、如图，已知：在ABC∆中，︒=∠90ACB，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等．18．如图8，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)，在AD上适当移动三角板顶点P：①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请说明理由．②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE＝2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由．21．①能.设AP＝x米，由于BP2＝16+x2，CP2＝16+(10－x)2，而在Rt△PBC中，有BP2+ CP2＝BC2，即16+x2+16+(10－x)2＝100，所以x2－10x+16＝0，即(x－5)2＝9，所以x－5＝±3，所以x＝8，x＝2，即AP＝8或2，②能.仿照①可求得AP＝4.19.如图△ABC中，BCBMACANBCACACB====︒=∠,,5,12,90则MN= 420、※直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）（A）22d S d++（B）2d S d--（C）222d S d++（D）22d S d++图8解:设两直角边分别为,a b,斜边为c,则2c d=,12S ab=. 由勾股定理,得222ab c+=.所以()222222444ab a ab bc Sd S+=++=+=+.所以22a b d S+=+.所以a b c++=222d S d++.故选（C）21※．在ABC∆中,1AB AC==,BC边上有2006个不同的点122006,,P P P,记()21,2,2006i i i im AP BP PC i=+⋅=,则122006m m m++=_____.22※．如图所示，在Rt ABC∆中,90,,45BAC AC AB DAE∠=︒=∠=︒,且3BD=,4CE=,求DE的长..23、如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PC·PB+PA2的值。
24、※如图在Rt△ABC中,3,4,90==︒=∠BCACC，在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。
如图所示：ABPC要求：在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法，在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画出草图，确定后再用的黑色签字笔画出正确的图形）25．如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。
26．已知：如图，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于cm27．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，请说明：AB2－AP2=PB×PC。
28、如图，已知：︒=∠90C，CMAM=，ABMP⊥于P．求证：222BCAPBP+=．COA BDEF第26题图ABPC第28题图2.6m4m PMBCA29．（本题满分6分）如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？30. （本题满分6分）如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米， 请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?32．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲移到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，求这里的水深是多少米?AB 小河东北牧童小屋33．长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了______m ．34．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2．35．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝CB 41，求证：AF ⊥FE ．36．已知△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝10a ＋24b ＋26c －338，试判定△ABC 的形状，并说明你的理由．37．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4，试判断三角形的形状．38．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长?如果从点A 开始经过四个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要多长?39、a 、b 为任意正数，且a>b ，求证：边长为2ab 、 a 2－b 2、a 2+b 2的三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( ) AC（A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形. 41.（12分）如图，某沿海开放城市A 接到台风警报，在该市正南方向100km 的B 处有一台风中心，沿BC 方向以20km/h 的速度向D 移动，已知城市A 到BC 的距离AD=60km ，那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？42.（14分）△ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则222c b a =+，若△ABC 不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想22ba +与2c 的关系，并证明你的结论.. 解：若△ABC 是锐角三角形，则有a 2+b 2>c 2 若△ABC 是钝角三角形，∠C 为钝角，则有a 2+b 2<c 2 当△ABC 是锐角三角形时，证明：过点A 作AD ⊥CB ，垂足为D 。
设CD 为x ，则有DB=a －x 根据勾股定理得 b 2－x 2＝c 2―(a―x) 2即 b 2－x 2＝c 2―a 2＋2ax―x 2 ∴a 2＋b 2＝c 2＋2ax∵a>0，x>0 ∴2ax>0 ∴a 2+b 2>c 2 当△ABC 是钝角三角形时，43．（10分）如图，A 市气象站测得台风中心在A 市正东方向300千米的B 处，以107 千米/时的速度向北偏西60°的BF 方向移动，距台风中心200•千米范围内是受台风影响的区域． （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？44、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm45如图，已知：，，于P. 求证：.46【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。