立体几何截面问题
立体几何截面问题的十种题型(原卷版)
第21讲 立体几何截面问题10类【题型一】 做截面的基本功：补全截面方法【典例分析】在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2,AD=3,点E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，点E 、F 、C 1∈平面α，直线A 1D 1⋂平面α=P ，则直线BP 与直线CD 1所成角的余弦值是3378 A 22 C B 3 D 、、、、【变式演练】1.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（ ）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D1、E 的截面过（ ）A ．AB 中点 B ．BC 中点 C ．CD 中点 D ．BB1中点3.如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（ ）A．当12λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B．当12λ=时，Ω为等腰梯形C．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D．当1λ=时，Ω6【题型二】截面形状的判断【典例分析】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A．B．C．D．【变式演练】1.如图，正四棱锥P ABCD-的高为12，2AB=E，F分别为PA，PC的中点，过点B，E，F的截面交PD于点M，截面EBFM将四棱锥分成上下两个部分，规定BD为主视图方向，则几何体CDAB FME-的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．2.用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（ ） A ．直角三角形 B ．直角梯形 C ．正五边形 D ．正六边形3.在正方体1AC 中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段1CC 上一动点（不含C ）过M 、N 、P 与正方体的截面记为α，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______． ①当P 为1CC 中点时，截面α为六边形；①当112CP CC <时，截面α为五边形； ①当截面α为四边形时，它一定是等腰梯形；【题型三】 平行关系确定截面【典例分析】在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（ ） A ．2a B ．4aC ．aD ．无法确定【变式演练】1.在正方体1111ABCD A B C D -中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．4条3.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC ．已知AA 1=4，BB 1=2，CC 1=3.在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ①平面A 1B 1C 1.【题型四】 垂直关系确定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)111ABC A B C -的体积为6323AB =D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥P BCE -的体积的最小值为 A 3B ．32C ．2D ．52【变式演练】1.如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值2.正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为4，已知1AC ⊥平面α，1AC β⊂，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．α截得的截面形状可能为正三角形B ．1AA 与截面α6C ．α截得的截面形状可能为正六边形D ．β截得的截面形状可能为正方形3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1AA 的中点，平面α过点1D 且与CM 垂直，则（ ） A ．CM BD ⊥ B ．//BD 平面αC ．平面1//C BD 平面α D ．平面α截正方体所得的截面面积为92【题型五】 求截面周长【典例分析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 的四等分点（靠近点1D ），过点,,A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.【变式演练】1.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）A ．2+25B ．225133+C ．2513+D ．13252+2.已知在棱长为6的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．3.已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，AB BC ⊥，2AB BC ==.过AB 、1BB 的中点E 、F 作平面α与平面11AAC C 垂直，则所得截面周长为（ ） A ．26B 26C ．326D ．3226【题型六】 求截面面积【典例分析】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.【变式演练】1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（ ） A ．5 B ．25C ．46D ．62.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（ ）A 2310 B ．298aC 232 D 2103.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面为___________，其面积为___________.【题型七】 球截面【典例分析】正三棱锥P ABC -242PA AB ==E 在棱PA 上，且3PE EA =，已知点P A B C 、、、都在球O 的表面上，过点E 作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为___________.【变式演练】1.已知三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，四个顶点在球O 的球面上，平面α经过棱AB ，AC ，AD 的中点，若平面α截三棱锥A BCD -和球O 所得的截面面积分别为1S ，2S ，则12S S =（ ） A 33B 33C ．38πD ．364π2.某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥所有顶点都在半径为3的球O 上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球O 的截面面积是（ ） A ．π B ．4πC ．8πD ．9π3.已知球O 是正三棱锥A -BCD （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC =3，AB =23点E 在线段BD 上，且BD =3BE ．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A ．2π B ．3πC ．4πD ．5π【题型八】 截面分体积【典例分析】已知正四棱柱中11A C 、11B D 的交点为1O ，AC 、BD 的交点为2O ，连接12O O ，点O 为12O O 的中点.过点O 且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1101111ABCD A B C D -的体积为______________.【变式演练】1.正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱11B C ，11C D 的中点，则正方体被截面BEFD 分成两部分的体积之比为___________.2.如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD '''-则棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为（ ）A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：23.三棱锥D ABC -中，E 、F 、G 、H 分别是棱DA 、DB 、BC 、AC 的中点，截面EFGH 将三棱锥分成两个几何体：AB EFGH -、CD EFGH -，其体积分别为1V 、2V ，则12:V V =（ ） A ．1：1 B ．1：2C ．1：3D ．1：4【题型九】 不规则截面（曲线形截面）【典例分析】如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为()090θθ︒<<︒的平面所截，截面是一个椭圆，当θ为30时，这个椭圆的离心率为（ ）A ．12B 3C ．13D 3【变式演练】1.古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，如图①，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.图①，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，F 是线段EO 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为____________，,M N 是该曲线上的两点且//MN CD ，若MN 经过点F ，则MN =__________.2.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球相切于椭圆的两个焦点1F ，2F .过椭圆上一点P 作圆锥的母线，分别与两个球相切于点,M N .由球和圆的几何性质可知，1PN PF =，2PM PF =.已知两球半径分为别1和3，椭圆的离心率2，则两球的球心距离为_______________.3.如图①，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Ger min al dandelin （1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于E ，F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于C ，B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE =AC ，AF =AB ，于是AE +AF =AB +AC =BC ．由B ，C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以E ，F 为焦点的椭圆．如图①，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆．已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的离心率为__________．【题型十】 截面最值【典例分析】已知长方体1111ABCD A B C D -中，12BB AB BC ==，点E 在线段1CC 上，()101EC CC λλ=≤≤，平面α过线段1AA 的中点以及点1,B E ，若平面α截长方体所得截面为平行四边形，则实数λ的取值范围是（ ） A ．[]0,1 B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【变式演练】1.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直，当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积的最小值是（ ）A ．1B ．54C 6D 22.在如图所示的直三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，AB AC ⊥，过点1A 作平面α分别交棱AB ，AC 于点D ，E ，且AF DE ⊥，160AA F ∠=°，则截面1A DE △面积的最小值为（ ）A ．163B ．323C ．363D ．4833.如图所示，在长方1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，则四棱锥11B BED F -的体积为___________，截面四边形1BED F 的周长的最小值为___________.【课后练习】1（宁夏银川市第六中学上学期第一次8月考）.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的为（ ）A ．AC BD =B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD ⊥ D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°2.如图：PAB △为圆锥的轴截面，2AB =，60PAB ∠=︒，点E 为PA 的中点，过点E 作既与直线PB 平行又与平面PAB 垂直的截面，该平面与圆锥底面上的圆周交于F ，G 两点，记直线EF 与圆锥底面所成的角为α，记直线PA 与截面所成的角为β，则α与β的关系为（ ）A ．αβ<B ．αβ=C ．αβ>D ．以上都有可能3.（北京数学高考）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 、Q 分别是所在棱的中点，则下列结论不正确的是（ ）A ．点1C 、1D 到平面PMN 的距离相等B ．PN 与QM 为异面直线C ．90PNM ∠=D ．平面PMN 截该正方体的截面为正六边形4.（安徽省六安市第一中学上学期开学考）如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形且//PQ AC ，则在下列说法中，错误的为（ ）A ．AC BD ⊥B ．//AC 截面PQMNC ．AC BD = D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°5.（北京市北京二中高三12月份月考）如图，正方体111ABCD A B C D-的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ． ①当102CQ 时，S 为四边形；①当34CQ 时，S 与11C D 的交点R 满足113C R ； ①当314CQ时，S 为六边形；①当1CQ =时，S 6 则下列选项正确的是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①6.（百师联盟高三上学期开学摸底联考（全国1卷））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段11A C 上的动点（点P 与1A ，1C 不重合），则下列说法不正确的是（ ）A ．BD CP ⊥B ．三棱锥C BPD -的体积为定值C ．过P ，C ，1D 三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 D ．DP 与平面1111D C B A 所成角的正弦值最大为137.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为()1212,V V V V <，则12:V V =（ ）A ．13B ．35C ．2547 D ．798.用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角.已知过圆锥SO 的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO 的轴截面，则圆锥SO 的顶角的取值范围是（ ）A ．()0,πB ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦C ．（π2,π)D ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭9.（重庆市西南大学附属中学高三下学期第四次月考）已知圆锥体积为163π，高为4，过顶点P 作截面α，若平面α与底面所成的锐二面角的余弦值为13，圆锥被平面α截得的两个几何体设为,S Q .若,S Q 的体积为12,V V （其中12V V <），则12:V V =___________.10.已知四面体ABCD ，分别在棱AD ，BD ，BC 上取()*1,3n n N n +∈≥等分点，形成点列{}n A ，{}n B ，{}n C ，过k A ，k B ，()1,2,,k C k n =⋅⋅⋅作四面体的截面，记该截面的面积为k M ，则（ ）A ．数列{}k M 为等差数列B ．数列{}k M 为等比数列C ．数列k M k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列D ．数列k M k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列。
高考数学：立体几何截面问题
高考数学：立体几何截面问题一、引言立体几何是高考数学的重要组成部分，其中截面问题是一个重要的考点。
截面问题涉及到三维空间中的几何形状、位置关系以及函数关系等多个方面，需要学生具备较高的空间想象能力和逻辑推理能力。
本文将从多个方面介绍截面问题的相关知识，以帮助考生更好地理解和掌握该知识点。
二、截面的定义与性质1.截面的定义：截面是指通过一个平面与三维空间中的几何体相交，所得到的交线或交面的几何形状。
2.截面的性质：截面具有与原几何体相同的形状和大小，但位置关系可能不同。
截面的形状和大小取决于平面与几何体的相对位置和方向。
三、截面与平面几何的关系1.平面几何的基本图形在三维空间中仍然适用，如线段、三角形、四边形等。
2.截面是平面几何图形在三维空间中的表现形式，可以通过平面的移动和旋转来改变截面的形状和大小。
四、截面与立体几何的关联1.立体几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如平行、垂直、平行四边形等。
2.截面问题是立体几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
五、截面的形状与大小1.截面的形状取决于平面与几何体的相对位置和方向。
不同的位置关系可以得到不同的截面形状，如圆形、椭圆形、长方形等。
2.截面的大小取决于平面与几何体的交线长度或交面积大小。
不同的平面位置可以得到不同的截面大小。
六、截面与空间几何的关系1.空间几何的基本概念和定理在解决截面问题时同样适用，如距离、角度、面积等。
2.截面问题是空间几何中的一个特殊情况，可以通过特殊情况来推导一般情况，也可以通过一般情况来推导特殊情况。
3.截面问题可以转化为空间几何问题来解决，也可以通过空间几何问题来推导截面问题的解决方法。
七、截面的对称性1.截面问题中常常涉及到对称性，如轴对称、中心对称等。
2.对称性可以帮助我们简化问题，找到解决问题的关键点。
3.对称性也可以帮助我们判断截面的形状和大小，以及确定平面与几何体的相对位置和方向。
高考数学立体几何截面问题
高考数学立体几何截面问题在高考数学立体几何中，截面问题是一个重要的考点。
本文将从以下几个方面对截面问题进行讲解：截面的形状和性质、截面与几何体的关系、截面与投影的关系以及截面与面积的关系。
一、截面的形状和性质1.截面的形状截面是指通过一个平面与一个几何体相交，所得的交线。
截面的形状可能是一个点、一条直线、一个平面多边形或一个圆。
在解决立体几何问题时，我们需要根据题目所给的条件，判断出截面的形状，并进一步解决问题。
2.截面的性质截面的性质包括以下几点：（1）截面是平面图形，其形状取决于几何体和截面的位置关系。
（2）截面与几何体的边界相交，但不穿过几何体的内部。
（3）截面与几何体的表面平行，因此可以运用平行投影的知识来研究截面的性质。
二、截面与几何体的关系1.截面与正方体的关系正方体的截面有三种情况：三角形、矩形和五边形。
当截面与正方体的中心轴平行时，可以得到一个正方形；当截面与正方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与正方体的中心轴斜交时，可以得到一个矩形或五边形。
长方体的截面也有三种情况：三角形、矩形和五边形。
当截面与长方体的中心轴平行时，可以得到一个矩形；当截面与长方体的中心轴垂直时，可以得到一个三角形；当截面与长方体的中心轴斜交时，可以得到一个梯形或不规则四边形。
三、截面与投影的关系1.投影的定义及性质投影是指将一个几何体投射到一个平面上的结果。
投影的性质包括以下几点：（1）投影是直线与平面相交的结果。
（2）投影的长度等于被投影线段的长度。
（3）投影的方向与被投影线段的方向相同或相反。
2.截面与投影的关系截面与投影之间存在一定的关系。
如果一个几何体在一个平面上的投影是一个多边形，那么这个多边形的形状就取决于该几何体的形状以及它与平面的相对位置。
因此，在解决立体几何问题时，我们需要通过判断几何体在某一平面上的投影来推断出它的形状和性质。
四、截面与面积的关系1.面积的定义及计算方法面积是指一个平面图形所占的面积大小。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈引言立体几何是研究空间之中各种几何体的形态、位置、运动和性质的数学学科。
在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。
本文将介绍截面问题的基本概念、解题方法以及应用领域。
⒉基本概念⑴截面的定义截面是指将一个立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
⑵截面的种类常见的截面包括平行截面、垂直截面、倾斜截面等。
平行截面是指与立体体积的底面平行的截面，垂直截面是指与立体体积的底面垂直的截面，倾斜截面是指与立体体积的底面既不平行也不垂直的截面。
⒊解题方法⑴平行截面的求解方法平行截面与底面平行，因此可以通过计算底面的面积和位于底面高度上的平行截面与底面的比例关系来求解平行截面的面积。
⑵垂直截面的求解方法垂直截面与底面垂直，因此可以通过计算底面的面积和垂直截面的高度来求解垂直截面的面积。
⑶倾斜截面的求解方法倾斜截面与底面既不平行也不垂直，因此求解倾斜截面的面积需要考虑其与底面的夹角以及截面的形状。
可以通过投影的方法或截面形状的几何关系来求解倾斜截面的面积。
⒋应用领域⑴建筑设计在建筑设计中，截面问题常常用于计算建筑物的横截面积，从而确定建筑物的结构稳定性和负荷承受能力。
⑵工程力学在工程力学中，截面问题常常用于计算结构件的截面形状和尺寸，从而确定结构件的刚度和强度。
⑶生物学在生物学中，截面问题常常用于计算生物体的截面积，从而确定生物体的体积和表面积，进而研究生物体的生理功能和生物学特性。
附件：本文档涉及的附件包括：⒈示例图片：包括平行截面、垂直截面和倾斜截面的示意图。
⒉计算表格：包括计算平行截面、垂直截面和倾斜截面面积的示例表格。
法律名词及注释：⒈立体几何：是数学学科中研究空间中各种几何体的形态、位置、运动和性质的学科。
⒉截面：把立体体积由一个或多个平面切割所得到的平面图形。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题本文档旨在介绍立体几何中的截面问题，包括截面的定义、性质、计算方法等方面的内容。
通过对截面问题的介绍和详细解析，读者可以更好地理解和应用相关知识。
1、截面的定义在立体几何中，截面是指一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
截面可以是二维的曲线，也可以是三维的平面。
截面问题主要研究在不同情况下的截面形状、面积、体积等性质。
2、截面的性质截面的性质取决于所截图形的性质以及截面的位置和方向。
主要包括以下几个方面：2.1 几何形状：截面可以是点、线段、圆、椭圆、抛物线等各种几何形状。
2.2 面积：截面的面积可能是有限的，也可能是无限的。
2.3 体积：截面可以用来计算图形的体积，从而解决与立体几何有关的问题。
2.4 位置和方向：不同位置和方向的截面可以得到不同的结果，需要根据具体问题进行分析和计算。
3、截面的计算方法根据截面的性质和具体问题的要求，有多种不同的计算方法可以用来求解截面问题。
常用的计算方法包括以下几种：3.1 几何分析法：通过几何分析截面的形状和性质，利用几何定理和方法计算截面的面积、体积等。
3.2 数学建模法：将截面问题转化为数学模型，利用数学方法和计算机技术进行计算和求解。
3.3 数值模拟法：通过数值模拟和计算机仿真，模拟和计算截面问题的解答。
3.4 实验测量法：通过实际测量和实验，获取截面的相关数据和性质进行计算和分析。
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法律名词及注释：1、立体几何：研究三维空间中点、线、面等几何图形的性质和变换的数学学科。
2、截面：一个平面和立体图形相交而形成的曲线或平面部分。
立体几何截面问题
立体几何截面问题立体几何截面问题是指在三维空间中，分析和解决物体的表面形状及其横截面以及相应交点的问题。
这一问题与传统的几何学有很大的不同，它是一种更加复杂的几何问题，具有较强的实际应用性。
在三维空间中，立体几何截面问题可以概括为如下几个方面：1、立体几何截面中各种物体形状的表面积、体积及曲率的计算。
可以看到，物体的表面积、体积及曲率都是立体几何截面中重要的概念。
物体的表面积可以表示物体的大小，而体积则可以表示物体的体积，曲率则可以表示物体的表面形状。
2、立体几何截面中物体的位置关系及相应交点的求解。
在立体几何截面中，物体的位置关系及相应的交点是关键的概念，因此，对于物体的位置关系及相应的交点的求解也是重要的工作。
3、立体几何截面中物体的对称性及其属性的分析。
物体的对称性及其属性的分析也是立体几何截面中重要的内容，可以帮助我们更好地理解物体的外观特征。
4、立体几何截面中物体的多边形化及其格式化。
物体的多边形化是指将物体表面上的所有点通过直线连接起来，形成一个简单的多边形，以便更加直观地表示物体的形状。
格式化则是指将物体的多边形表示法转换为更加精确的数学表达式，以便更加方便地分析物体的特征。
通过以上几点，我们可以清楚地看到，立体几何截面问题的研究非常复杂，其中涉及到的概念也是十分广泛的，因此，解决这一问题需要综合运用几何学、代数学及其他学科的知识。
立体几何截面的研究有着重要的实际意义。
它可以被应用于工程设计、建筑设计、机械设计等多个领域。
例如，在工程设计中，立体几何截面可以帮助我们更加清晰地了解物体的表面形状，从而使我们能够更好地设计出合理的工程结构；在建筑设计中，立体几何截面可以帮助我们更清楚地认识建筑物的外形，从而使我们得以更好地设计出更加美观的建筑；在机械设计中，立体几何截面可以帮助我们更清楚地认识机械部件的形状，从而能够更加精确地设计出符合要求的机械部件。
总之，立体几何截面问题是一个非常复杂的问题，它既能够提高我们对物体形状的理解，又能够为工程设计、建筑设计、机械设计等提供有效的指导。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题⒈简介立体几何是研究物体的形状、尺寸和空间关系的一门学科。
在立体几何中，截面问题是一个重要的研究方向。
截面问题指的是在一个立体物体中，通过给定的切割平面，研究切割所得的平面图形与原立体物体的关系。
⒉切割平面的表示方法在研究截面问题时，我们通常将切割所用的平面表示为一个方程。
常见的表示方法有点法式、一般式和截距式等。
⑴点法式点法式是通过给定平面上的一点和法向量来表示平面的方程。
设平面上一点为P(x0, y0, z0)，法向量为n(n1, n2, n3)，则平面的点法式为：n1(x ●x0) + n2(y ●y0) + n3(z ●z0) = 0⑵一般式一般式将平面的方程表示为一个二次齐次方程，形式为Ax +By + Cz + D = 0。
其中A、B、C是平面的法向量的坐标，D是一个与平面有关的常数。
⑶截距式截距式是通过平面与坐标轴交点的位置来表示平面的方程。
设平面与x轴、y轴、z轴的交点分别为(x0, 0, 0)，(0, y0, 0)，(0, 0, z0)，则平面的截距式为：x/x0 + y/y0 + z/z0 = 1⒊平面与立体物体的相交及分类当给定切割平面后，它可能与立体物体相交于不同的方式。
根据相交情况的不同，我们将平面与立体物体的相交分为以下几类：⑴完全相交当切割平面与立体物体完全相交时，即切割平面穿过了立体物体的内部，并将其分成两个或多个部分。
⑵部分相交当切割平面与立体物体部分相交时，即切割平面与立体物体的边界相交。
⑶不相交当切割平面与立体物体不相交时，即切割平面与立体物体没有交点。
⒋截面图形的性质通过研究切割平面与立体物体的相交情况，可以得到截面图形的一些性质。
⑴形状截面图形的形状与切割平面的位置和方向有关。
在同一个立体物体中，不同位置和方向的切割平面可能得到不同形状的截面图形。
⑵面积截面图形的面积可以通过计算得到。
对于平面图形，常用的计算方法有面积公式和积分法。
强基专题--立体几何中的截面问题
强基专题3 立体几何中的截面问题
[跟进训练]
1．(2021·重庆模拟)在三棱锥 P-ABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，
PA＝3，PB＝4，PC＝5，点 E 为线段 PC 的中点，过点 E 作该三棱
锥外接球的截面，则所得截面圆的面积不可能为( )
A．6π
B．8π
C．10π
D．12π
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(2)当π2＜θ＜π时，0＜α＜θ＜π，此时sin θ＜1，sin α可以取到最 大值1，
此时过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
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强基专题3 立体几何中的截面问题
综上所述，过圆锥母线的截面面积的最大值与轴截面顶角θ的范 围有关，
当0＜θ≤π2时，轴截面面积最大，最大值为S＝12l2sin θ. 当π2＜θ＜π时，过圆锥母线的截面面积最大，最大值为S＝12l2.
同理 FG∥EH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 AD⊥BC， 所以四边形 EFGH 为矩形．
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强基专题3 立体几何中的截面问题
由相似三角形的性质得BECF＝AACF，FACC＝AFDG， 所以BECF＋FAGD＝AACF＋FACC，BC＝AD＝2， 所以 EF＋FG＝2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，S 四边形 EFGH ＝EF×FG≤EF＋2 FG2＝1， 所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1.故选 B．]
1 2
l2sin θ.截面VCD的面积S′＝12l2sin α.在△V强基专题3 立体几何中的截面问题
(1)当0＜θ≤π2时，0＜α＜θ≤π2，sin α＜sin θ⇒S′＜S，此时过圆 锥母线的截面面积最大为轴截面面积S＝12l2sin θ.
截面形状及相应面积的求法 (1)结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题； (2)结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题； (3)猜想法求最值问题：“要灵活运用一些特殊图形与几何体的 特征，“动中找静”，如正三角形、正六边形、正三棱锥等； (4)建立函数模型求最值问题：①设元；②建立二次函数模型； ③求最值．
立体几何中截面问题重难考点归纳总结
高三二轮专题复习立体几何中截面问题重难考点归纳总结作空间几何体截面的常见方法：（1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程；（2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线；（3） 作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线；（4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面.考点一：截面形状的判断1．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（） A ．等腰梯形B ．非矩形的平行四边形C ．正五边形D ．正六边形2．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱B 1B 、B 1C 中点，点G 是棱CC 1的中点，则过线段AG 且平行于平面A 1EF 的截面图形为（ ）A ．矩形B ．三角形C ．正方形D ．等腰梯形3．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．4．（多选题）一个正方体内有一个内切球，用一个平面去截，所得截面图形可能是图中的（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D5．在正方体中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是（） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形考点二：求截面面积6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则该圆柱的表面积为（） A ． B ． C ． D ． 7．已知球O 的表面积为，则过球Q 一条半径的中点，且与该半径垂直的截面圆的面积为___________. 8．已知圆锥的侧面积为，若其过轴的截面为正三角形，则该圆锥的母线的长为___________. 9．已知正四棱柱中、的交点为，AC 、BD 的交点为，连接，点为的中点.过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，则正四棱柱的体积为______________.111-ABCD A B CD 111,B B C D 1O 2O 12O O 24π20π8π29π11A C 11B D 1O 2O 12O O O 12O O O 1111ABCD A B C D -10．已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，C ，E 的平面截得的截面面积为______. 11．已知圆锥的侧面积为20π，底面圆O 的直径为8，当过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面面积最大时，则点O 到截面的距离为______________.12．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，点是棱的中点，则过线段且平行于平面的截面的面积为A ． B． C ． D13．已知棱长为的正四面体，，，分别是棱，，的中点，则正四面体的外接球被三角形所在的平面截得的截面面积是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．已知三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过棱，，的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为，，则（ ） ABC ．D ． 15．已知正方体的长为2，直线平面，下列有关平面截此正方体所得截面的结论中，说法正确的序号为______．①截面形状一定是等边三角形：②截面形状可能为五边形；③截面面积的最大值为④存在唯一截面，使得正方体的体积被分成相等的两部分．16．已知某圆锥轴截面的顶角为，过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，则该圆锥的1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1A 1111ABCD A B C D -,E F 111,B B B C G 1CC AG 1A EF 198894ABCD E F N AB AC AD ABCD EFN 73π83π103π163πA BCD -O αAB AC AD αA BCD -O 1S 2S 12S S =38π364π1111ABCD A B C D -1AC ⊥αα120 2底面半径为（） ABC ．D ．17．在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为___________.考点三：求截面周长18．如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.19．已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．20．正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（ ）1111ABCD A B C D -122AA AB AD ===E F 1BB 11D C 11A BCD 1C CEF -1111ABCD A B C D -4AB =E BC F 11A D 1D ,,A E FA ．B ．C ．D ．21．在三棱锥中，，截面与，都平行，则截面的周长等于（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定考点四：截面最值问题22．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 23．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 24．已知球O 是正三棱锥A -BCD （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC =3，AB =E 在线段BD 上，且BD =3BE ．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A ． B． C ． D ．25．如图，四边形为四面体的一个截面，若四边形为平行四边形，，，则四边形的周长的取值范围是___________.26．如图，设正三棱锥的侧棱长为，，分别是上的点，过作三棱锥的截面，则截面周长的最小值为________.+A BCD -AB CD a ==MNPQ AB CD MNPQ 2a 4a a P ABC -O PA PB PC ==ABC ∆P ABC -16Q BC Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]46ππ，[]412ππ，[]4ππ，[]6ππ，2π3π4π5πEFGH ABCD EFGH 4AB =6CD =EFGH P ABC -240APB ∠=︒,E F ,BP CP ,,A E F AEF27．正三棱锥，点在棱上，且，已知点都在球的表面上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为___________.考点五：有关截面的综合问题28．如图，在正方体中，点P 为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法不正确的是（ ）A ．B ．三棱锥的体积为定值C ．过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形或梯形D ．DP 与平面所成角的正弦值最大为 29．（多选题）在棱长为2的正方体中，以下结论正确的有（）A ．三棱锥外接球的体积是B ．当点在直线上运动时，的最小值是P ABC -AB ==E PA 3PE EA =P A B C 、、、O E O ααO 1111ABCD A B C D -11A C P 1A 1C BD CP ⊥C BPD -P C 1D 1111D C B A 131111ABCD A B C D -11B A DC -Q 1BC 1A Q QC +8+C ．若棱，，的中点分别是，，，过，，三点作正方体的截面，则所得截面面积为D ．若点是平面上到点和距离相等的点，则点的轨迹是直线30．（多选题）如图，正方体的棱长为1，P 为的中点，Q 为线段上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面多边形记为S ，则下列命题正确的是（ ）A ．当时，S 为等腰梯形B ．当时，S 与的交点R 满足C ．当时，S 为六边形D ．当时，S31．（多选题）在正方体中，，点E ，F 分别为，中点，点P 满足，，则（ ）A ．当时，平面截正方体的截面面积为B ．三棱锥体积为定值 AB 1AA 11CDEFG E F G M 1111D C B A D 1C M 11A D 1111ABCD A B C D -BC 1CC 12CQ =34CQ =11C D 113C R =314CQ <<1CQ =1111ABCD A B C D -2AB =AB BC 1AP AA λ= [0,1]λ∈1λ=PEF 941P ECC -C ．当时，平面截正方体的截面形状为五边形D ．存在点P ，二面角为45°10,3λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦PEF P EF A --Word 版见：高考高中资料无水印无广告word 群559164877详细解析1．C 【详解】画出截面图形如图：可以画出等腰梯形，故A 正确；在正方体中，作截面（如图所示）交，，，分别于点，，，，根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且，故四边形是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B 正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C 错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D 正确． 故选：C1111ABCD A B C D EFGH 11C D 11A B AB CD E F G H EFGH //EF HG //EH FGEFGH高中数学教研群 QQ 群号929518278 精品资料每天更新2．D 【详解】取的中点，如图连接、、、，由题意得：，， 不在平面内，平面内，∴平面.不在平面内，平面内，∴平面.，平面，平面平面，过线段且平行于平面的截面图形为等腰梯形．故选：．3．①⑤【详解】由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件； 当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件， 综上可知截面的图形可能是①⑤.故答案为：①⑤4．AB 【详解】由组合体的结构特征可知：当截面过球与正方体切点时可知A 正确、C 错误；当截面过正方体的对角面时可知B 正确；此题是正方体的内切球，可知D 错误.故选：AB5．D 【详解】如图所示：分别为中点，M ，N ，Q 确定平面， 且，故，，故，同理可得，，，故截面为六边形.故选：D. BC H AH GH 1D G 1AD //GH EF 1//AH A F GH 1A EF EF ⊆1A EF ||GH 1A EF AH 1A EF 1A F ⊆1A EF ||AH 1A EF GH AH H = ,GH AH ⊆1AHGD ∴1//AHGD 1A EF AG AEF 1AHGDD ,,EF H 111,,AD DD B C αNH MQ ∥N α∈NH α⊂,Q H αα∈∈QH α⊂FQ α⊂EF α⊂EM α⊂6．B 【详解】根据题意，所得截面是边长为4的正方形，结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面是半径为的圆，且高为4，所以其表面积.故选：B. 7．【详解】 设球的半径为，则，解得.设截面圆的半径为，由题知：， 所以截面圆的面积.故答案为： 8．【详解】 设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线为l ,又圆锥过轴的截面为正三角形，圆锥的侧面积为， ∴， ∴.故答案为：. 9．3【详解】设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，由题知当截面平行于平面时，截面面积最小；当截面为平面时，截面面积最大，2()22222424S =⨯+⨯⨯=πππ32ππR 248R ππ=R =r r ==232S ππ==32π2329π22,9l r rl ππ==23l =23ABCD 11A B CD因为过点且与直线AB 平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为1，所以， 于是正四棱柱的体积为.故答案为：3.10．由题意，正四棱柱中，，， 可得，在上取点，使得，连接，则有， 所以四边形是平行四边形，由勾股定理可得，所以所以， 所以四边形是平行四边形的面积为， 故答案为：O 21a ⎧=⎪⎨=⎪⎩13a h =⎧⎨=⎩1111ABCD A B C D -23a h =1111ABCD A B C D -1124BE BB ==143AB AA =1118,2AA BB CC BE ====1DD F 12D F =1,A F CF 11,//A F CE A F CE =1A ECF 11A E CE A C ====2221111cos 2A E CE A C A EC A E CE +-∠===⨯1sin A EC ∠=1A ECF 11sin A E EC A EC ⨯⨯∠==11设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ,母线长为l ,则，∴，h =3,由于h<r ,所以圆锥的轴截面为钝角三角形，所以过圆锥顶点的平面截该圆锥所得的截面为直角三角形时面积最大，如图，△SAB 为截面三角形，SO 为圆锥的高，设点O 到截面的距离为d ，则∴，即， ∴，即点O. 12．B 【详解】取BC 的中点H ，连接，4,20r rl ππ==5l =25,2SAB AB S == 14,2AOB OA OB S ===⨯= 1133SAB AOB S d S h ⋅=⋅ 12513323d ⨯⋅=d =,AH GH因为面AHGD1，面AHGD1，面AHGD1，同理，面AHGD1，又，则平面AHGD1∥平面A1EF，等腰梯形AHGD1，，故选B．13．D【详解】过点作平面的垂线，垂足为，交平面于点，设该四面体外接球球心为，连接，作图如下所示：因为四面体为正四面体，且面，故点为△的外心，则该四面体的球心一定在上，不妨设外接球球心为；因为分别为的中点，则//，//，又，且面，面，故平面//平面，故面，又为中点，故也为中点.因为正四面体的所有棱长为，故1,EF BC GH EF⊄GH⊂EF∴∥1A E∥1A E EF E⋂=98A BCD H EFN'O O,OB BHABCD AH⊥BCDH BCD AH O,,E F N,,AB AC AD EF BC FN CD,EF FN F BC CD C⋂=⋂= ,EF FN⊂EFN,BC CD⊂BCD EFN BCDAO'⊥EFN E AB'O AHABCD4243BH==则设该四面体的外接球半径为，即，则， 在△中，，即， 解得即外接球球心到平面， 设平面截外接球所得圆的半径为，则，解得，故截面圆的面积为.故选：D. 14．B 【详解】设平面截三棱锥所得正三角边长为a ，截面圆的半径为r ，则， 由正弦定理可得， ，故选：B15．④【详解】如图可知，截面形状可以是等边三角形、六边形、正六边形，∴①②明显错误；截面面积的最小值可以趋向于零，故③错误；当截面为正六边形时，截面过正方体的中心，此时正方体的体积被分成相等的两部分．故④正确.故答案为：④AH ===12O H AH ='=R OA OB R ==OH AH R R =-=Rt OHB 222OH BH OB +=222R R ⎫+=⎪⎪⎭R =OO R AO =-==''O EFN EFN r 222r +=2163r =163παA BCD -21S =sin 60a r ==︒22243πa S πr ∴==12S S =∴16．A 【详解】如图，由题可知，，又过圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为，∴，即， 在中，.故选：A. 17．【详解】 以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：120APB ∠= 30ABP ∠= 22122l =2l =Rt POB cos302r l === 98πD依题意得：，，，则，，所以，则；设为中点，因为则，所以点为三棱锥外接球的球心，则设球心到平面的距离为，又因为为中点，所以点到平面的距离为，由于，所以故截面圆的半径为，所以截面圆面积为. 故答案为：18如图，取的中点，取上靠近点的三等分点，()0,2,0C ()1,2,1E ()0,1,2F ()1,0,1EC =-- ()111EF ,,=-- 1010EC EF ⋅=+-= EF EC ⊥O CF EF EC ⊥1EO OC FO C O ===O 1C CEF -12R CF ==O 11A BCD h O CF F 11A BCD 2h 111244h C D ==⨯=h =r ==98π98π11C D H 1CC 1C G连接，易证，则五边形为所求截面.因为，所以， 则， 故该截面的周长是.19．如图，延长EF ，A 1B 1，相交于点M ，连接AM ，交BB 1于点H ，延长FE ，A 1D1，相交于点N ，连接AN，交DD 1于点G ，连接FH，EG，可得截面为五边形AHFEG .因为ABCD-A 1B 1C 1D1是棱长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，由中位线定理易得：EF ＝：AG ＝AH ＝EG ＝FH AH ＋HF ＋EF ＋EG ＋AG ＝故答案为：20．B 【详解】如图，在正三棱柱中，延长AF 与CC 1的延长线交于M ，连接EM 交B 1C 1于P ，连接FP ，则四边形AEPF 为所求截面.,,,,AE EG GH HF FA //,//AE HF AF EG AEGHF 4AB =111182,3,1,3BE CE C H D H A F D F CG =======143C G =103AE EG ==5,GH HF AF ===AE EG GH HF AF ++++=+111ABC A B C -过E 作EN 平行于BC 交CC 1于N ，则N 为线段CC 1的中点，由相似于可得MC 1=2，由相似于可得：， 在中，，则，在中，，则在中，，则在中，， 由余弦定理：，则故选：B.21．A 【详解】 设，因为平面，平面平面，平面，所以，同理可得，，，故四边形为平行四边形， 所以，. 因为，所以，， 1MFC MAC △1MPC △MEN 111242,2333PC PC B P =⇒==1Rt AA F 112,1AA A F ==AF ==Rt ABE △2,1AB BE ==AE ==1Rt B EP 1121,3B E B P ==PE ==1C FP 11141,,603C F C P FC P ==∠=︒2224413121cos 60339PF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭PF ==AM k CM=//AB MNPQ ABC MNPQ MN =AB ÌABC //MN AB //PQ AB //MQ CD //NP CD MNPQ 11MN PQ AB AB k ==+1MQ NP k CD CD k==+AB CD a ==1a MN PQ k ==+1ak MQ NP k==+所以四边形的周长为. 故选：A.22．A 【详解】设在底面上的射影为，因为，所以为的中心，由题可知，，由，解得 在正中，可得.从而直角在中解得. 进而可得，，，因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则所以过的平面截球所得截面的面积最大为； 又为中点，由正方体结构特征可得 由球的结构特征可知，当垂直于过的截面时， MNPQ 2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭P ABC M PA PB PC ==M ABC ∆ABC S ∆1136P ABC ABC V PM S -∆=⨯⨯=PM =ABC ∆AM =ABC 1PA =PA PB ⊥PB PC ⊥PC PA ⊥P ABC -P ABC -O R R Q O 2max 34S R ππ==Q BC 1122OQ PA ==OQ Q截面圆半径最小为. 因此，过的平面截球所得截面的面积范围为. 故选：A.23．A 【详解】如图，将正四面体补为边长是ABCD 的外接球为正方体 的外接球，球心O在体对角线的中点，且球的半径；当OE 垂直于截面时，截面面积最小，截面圆的半径为面积为；当截面过球心O 时，截面面积最大，截面圆的半径为，面积为故选:A24．A【详解】解：如图，O 1是A 在底面的射影，由正弦定理得，△BCD 的外接圆半径r ==2min 12S r ππ==Q O 13,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦R =12r ==4π1r R =6π1031sin 602r =⨯=由勾股定理得棱锥的高AO 1；设球O 的半径为R ，则，解得，所以OO 1=1；在△BO 1E 中，由余弦定理得 所以O 1E =1；所以在△OEO 1中，OE；当截面垂直于OE. 故选：A25．【详解】解：四边形为平行四边形，；平面，平面， 平面；又平面，平面平面，，同理可得；设，， ，， ； 又，，， ，且； 四边形的周长为 ，；四边形周长的取值范围是．故答案为：26．将正三棱锥的三个侧面展开如图，由图可知，为使的周长最小，只需让四点共线即可，则当为与交点时，的周长最小，由题意，，∴，得的周长3==()223R R =-2R =2113211,O E =+-⨯==2π(8,12) EFGH //EH FG ∴EH ⊂/ ABD FG ⊂ABD //EH ∴ABD EH ⊂ ABC ABC ABD AB =//EH AB ∴//EF CD EH x =EF y =∴EH CE AB CA =EF AE CD AC =∴1EH EF CE AE AC AB CD CA AC AC+=+==4AB =Q 6CD =∴146x y +=614x y ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭04x <<∴EFGH 2()2[6(1)]4xl x y x =+=+-12x =-81212x ∴<-<∴EFGH (8,12)(8,12)AEF 1,,,A E F A ,E F 1AA ,BP CP AEF 140BPC CPA APB ∠=∠=∠=︒1120APA ∠=︒1AA ===AEF的最小值为故答案为：27．【详解】，，， 同理，故可把正三棱锥补成正方体（如图所示），其外接球即为球，直径为正方体的体对角线，故，设的中点为，连接，则.所以，当平面时，平面截球O 的截面面积最小，，故截面的面积为.故答案为：28．D 【详解】由题可知平面，所以，故A 正确； 由等体积法得为定值，故B 正确； 设的中点为，当时，如下图所示：3π4PA PC PB === AB AC BC ===222PA PC AC ∴+=2CPA π∴∠=2CPB BPA π∠=∠=O 2R =PA F OF OF =OF PA ⊥3OE ==OE ⊥αα=3π3πBD ⊥11ACC A BD CP ⊥113C BPD P BCD BCD V V S AA --==⋅⋅ 11A C M 1P MC ∈此时截面是三角形，当时，如下图所示：此时截面是梯形，故C 正确；选项D ，在正方体中，连接，则为在平面上的射影，则为与平面所成的角，设正方体的棱长为1，，则当取得最小值时，的值最大，即时，， 所以D 不正确. 故选：D.29．ACD 【详解】对于A ：三棱锥的外接球即为正方体的外接球，因为正方体的外接球的直径即为正方体的体对角线，即所以外接球的体积是，故选项A 正确；1D QC 1PMA ∈1D QRC 1D P 1D P DP 1111D C B A 1D PD ∠DP 1111D C B A 1PD x =DP =1sin D PD ∠x 1sin D PD ∠111D P A C ⊥x 1sin D PD ∠11B A DC -1111ABCD A B C D -2R =R 34π3V =´=对于B ：把沿翻折到与在同一个平面（如图所示），连接，则是的最小值，其中是边长为的等边三角形，是直角边为的等腰直角三角形，所以， 即故选项B 错误；对于C ：分别取棱，，的中点，，，连接，，，，，，则易知过，，三点的截面是正六边形，1BCC 1BC 11A C B △1A C 1A C 1A Q QC +11A C B △1BCC 211A C A Q QC =+==1A Q QC +11A D 1CC BC H M N EF FH HG GM MN NE E F G EFHGMN所以截面面积为故选项C 正确；对于D ：因为是平面上到点和距离相等的点，所以点的轨迹是平面与线段的垂直平分平面的交线，即点的轨迹是平面与平面的交线，所以点的轨迹是直线，即选项D 正确．故选：ACD.30．ABD 【详解】解：过点A ，P ，Q 的平面截正方体，当时，其截面形状为梯形如图1，特别地当时，截面形状为等腰梯形， 当时，其截面形状为五边形如图2． 若，则，所以． 当时，与重合，其截面形状为四边形如图3，此时，因为P 为的中点，且，所以为的中点，所以，同理，所以四边形为平行四边形，所以四边形为菱形，其面积为ABD 正确． 故选：ABD.31．BCD 【详解】A 选项中，当时，与重合，则截面为等腰梯形，其面积为，故A 选项错误； 1(62⨯=M 1111D C B A D 1C M 1111D C B A 1DC 11A BCD M 1111D C B A 11A BCD 11A D M 11A D 102CQ <≤12CQ =112CQ <<34CQ =1113C Q C R QC CM ==113C R =1CQ =Q 1C PQ AP =BC CP AD ∕∕Q MN PC AE ∕∕QE AP ∕∕APQE APQE 112AC PE ⋅==1λ=P 1A 92B 选项中，因为平面，故P 到平面的距离不变，故三棱锥体积为定值．故B 选项正确：C 选项中，当时，其截面刚好为五边形，时，截面为五边形；故C 选项正确；D 选项中，当点P 与重合时，其二面角正切值为，此时二面角大于45°， 所以存在点P ，二面角为45°，D 选项正确；故选：BCD ．1//AA 1ECC 1ECC 1P ECC -13λ=103λ<<1A P EF A --。
【数学】立体几何中的截面问题(六大题型) 2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第二册
【答案】 3
【解析】设正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 2 ，体积为 ，
则 = 2 × 2 × 2 = 8 3 ，
因为 E 是棱 1 1 的中点，所以 1 = ，
（ 2 ） 过 M ， N ， P 三 点作 正方 体的 截面 为 ， 如图 所示 ：
则 截 面 的 周 长 为： + + + + = + + ，
因 为 正 方 体 棱 长为 1 ， 则
= =
=
故选：ACD．
3
2
3
2
(2 − )2，ℎ2 =
( 2)2 − [
2 = − 3 2 + 2 3 + 2 3
2 ( 2 − ) − 2 2 2
]
2
=
3 2 ，
2
题型二：截面周长
【例 2 】（ 2024·高三 ·四川成都 ·开学考试）如图，正方体 − 1 1 1 1 的棱长为 4 ， E 是侧棱 1 的中
A．1∶ 2
B．1∶4
C．1∶（ 2+1）
D．1∶（ 2﹣1）
【答案】 D
【解析】设截后棱锥的高为 h ，原棱锥的高为 H ，
由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截，
若截得的截面面积与底面面积的比为 1 ∶ 2 ， ℎ =
则此正棱锥的高被分成的两段之比：
故选：D
ℎ
−ℎ
=
1
.
2−1
设 1 = ， 则 0 ≤ ≤ 1，
立体几何中的截面问题
立体几何中的截面问题一．基本原理：过正方体（长方体）上三点做截面.1.三点中有两点共面例1.如图，在正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E，F，G 分别在AB，BC，DD 1上，求作过E，F，G 三点的截面．思路：当三点中有两点共面时，做截面的思路就是先找共面两点所在直线与该平面所有的棱交点，而这些交点由同时在另外一个平面中，即该截面和正方体某个侧面的交点，这样利用公理1，逐次相连找到所有的交点，即可得到截面.解析：作法：①.由于F E ,共面，在底面AC 内，过F E ,作直线EF ，与DA 于L ，显然，此时L 即在侧面D A 1内，又在欲求截面内，而该截面与侧面D A 1又交于点G ，根据公理1，截面与侧面D A 1交于L .同理，过F E ,作直线EF 与DC 的延长线交于M ，此时M 即在侧面1DC 内，又在欲求截面内，根据公理1，截面与侧面1DC 交于M .②在侧面D A 1内，连接LG 交1AA 于K .③在侧面1DC 内，连接GM 交1CC 于H .④连接FH KE ,.则五边形EFHGK EFHGK 即为所求的截面．练习1.（三点两两共面）P，Q，R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1，CC 1和DD 1上，试画出过P，Q，R 三点的截面作法．解析：作法：（1）连接QP，QR 并延长，分别交CB，CD 的延长线于E，F.（2）连接EF 交AB 于T，交AD 于S.（3）连接RS，TP.则五边形PQRST 即为所求截面．例2.（三点所在的棱两两异面）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，R Q P ,,分别为111,,CC AB D A 上三点，求过这三点的截面.分析：此题的难点在于R Q P ,,三点均不在同一个侧面（底面）中，这样我们就暂时无法通过侧面（底面）中连线与棱的交点来找到截面的边界点，于是需要先做出一个平面来，让上面三点RQ P ,,中有两点共面，这就转化成例1的情形，从而解决问题.解：如图，作1//BB QE 交11B A 与E ，则1,RC QE 确定一个平面，转化为例1的情形.连接QR EC ,1,交于点F ；连接PF 交1111,B A D C 延长线于H G ,；连接HQ 交11,BB AA 延长线于J I ,；连接JR 交BC 于K .则KRGPIQK 为所作截面.例3.利用平行关系确定截面在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A．2a B．4a C．a D．无法确定解析：设AM k CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k ==+.因为AB CD a ==，所以1a MN PQ k==+，1ak MQ NP k ==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211a ak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.二．截面的的画法小结1.确定截面的主要依据有（1）平面的四个公理及推论．（2）直线和平面平行的判定和性质．（3）两个平面平行的性质．2.作截面的几种方法（1）直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。
立体几何截面问题专题总结
立体几何截面问题专题总结前言在立体几何截面问题专题的学习中，我深入研究了这一领域的知识，积累了丰富的经验。
在本文中，我将总结我对立体几何截面问题的理解和方法，并分享一些解决这类问题的技巧。
正文什么是立体几何截面问题立体几何截面问题是指在三维空间中，通过一个封闭曲面与另一个几何体相交，求得相交部分的形状、面积、体积等相关问题。
常见的立体几何截面问题包括求圆柱与平面的截面、球与平面的截面等。
解决立体几何截面问题的方法解决立体几何截面问题可以采用以下方法：1.几何推导法：通过几何知识进行推导，得到截面形状和相关参数。
可以使用几何证明、相似三角形等方法来推导。
2.代数方程法：将截面问题转化为几何方程，通过代数方法解方程得到结果。
常用的代数方程包括二元一次方程、二次方程等。
3.平面几何投影法：将立体物体投影到一个平面上，通过对投影图形的分析得出截面形状和相关参数。
4.立体几何体积法：通过计算立体几何体积的方法得到截面的面积或体积。
常见的计算公式包括圆柱的体积公式、球的体积公式等。
解决立体几何截面问题的技巧解决立体几何截面问题时，可以运用以下技巧：•画图辅助：通过画图来理清问题的思路，将立体物体和截面形状清晰地表示出来，有助于理解问题和找出解决方法。
•寻找几何相似：在推导过程中，可以尝试找出几何相似的部分，通过相似三角形或相似比例来得到所需的截面形状或参数。
•利用几何关系：在立体几何中，不同几何形状之间存在着特定的关系，例如平行、垂直关系等。
利用这些关系可以简化问题的求解过程。
•积极总结经验：在解决立体几何截面问题的过程中，积累并总结经验是非常重要的。
经验的积累可以帮助我们更快地解决类似的问题，并提高解题的效率。
结尾通过学习立体几何截面问题专题，我对这一领域有了更深入的了解。
在解决立体几何截面问题时，适当地运用几何推导法、代数方程法、平面几何投影法和立体几何体积法等方法，并结合绘图和几何关系，我们可以更好地解决这类问题。
立体几何截面问题的十种题型(解析版)
第21讲立体几何截面问题10类【题型一】做截面的基本功：补全截面方法【典例分析】在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2,AD=3,点E 、F 分别是AB 、AA 1的中点，点E 、F 、C 1∈平面α，直线A 1D 1⋂平面α=P ，则直线BP 与直线CD 1所成角的余弦值是3378 A22 C B 3 D 3 99、、、、答案：B解析：如图，计算可得余弦值是3【变式演练】1.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面是一个（）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形【答案】D分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，先证明、、、H P M F 四点共面，再证明N ∈平面HPMF ，P ∈平面HPMF 可得答案.【详解】如图，分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11A C 、AC 、NE 、1A B ，且M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，所以11//A C FM 、//HP AC ，且11//A C AC ，所以//HP FM ，即、、、H P M F 四点共面，因为11//=，F BP F BP A A ，所以四边形1A FPB 是平行四边形，所以1//A B FP ，又因为1//A B NH ，得//NH FP ，且FP ⊂平面HPMF ，H ∈平面HPMF ，所以NH ⊂平面HPMF ，得N ∈平面HPMF ，因为11//=，M H MC B C BH ，所以四边形1C MHB 是平行四边形，所以1//C B MH ，又因为1//C B EP ，得//MH EP ，又MH ⊂平面HPMF ，P ∈平面HPMF ，所以PE ⊂平面HPMF ，得E ∈平面HPMF ，所以、、、、、H P E M F N 六点共面，平面六边形HPEMFN 即为经过M 、N 、P 与正方体1111ABCD A B C D -相交形成的截面，故选：D.2.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，则过三点A 、D1、E 的截面过（）A ．AB 中点B ．BC 中点C ．CD 中点D ．BB1中点【答案】B根据截面特点结合正方形结构性质求解.【详解】取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，如图，则1EF AD ∥，所以F 在截面上,故选：B3.如图正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ､P ､Q 的平面截该正方体所得的截面记为Ω.若1CQ CC λ→→=，则下列结论错误的是（）A ．当102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,时，Ω为四边形B ．当12λ=时，Ω为等腰梯形C ．当3,14λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，Ω为六边形D ．当1λ=时，Ω的面积为2【答案】C 【分析】根据题意，依次讨论各选项，作出相应的截面，再判断即可.【详解】解：当102λ<<时，如下图1，Ω是四边形，故A 正确；当12λ=时，如下图2，Ω为等腰梯形，B 正确：当314λ<<时，如下图3，Ω是五边形，C 错误；当1λ=时，Q 与1C 重合，取11A D 的中点F ，连接AF ，如下图4，由正方体的性质易得1////BM PC AF ，且=1PC AF ，截面Ω为1APC F 为菱形，其面积为112AC PF ⋅，D 正确.故选：C【题型二】截面形状的判断【典例分析】一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B 正确．【详解】如图所示：因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．故选：B ．【变式演练】1.如图，正四棱锥P ABCD -的高为12，AB =E ，F 分别为PA ，PC 的中点，过点B ，E ，F 的截面交PD 于点M ，截面EBFM 将四棱锥分成上下两个部分，规定BD为主视图方向，则几何体CDAB FME -的俯视图为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】根据主视图所给方向即可知俯视图中底面正方形，计算可知M 点投影位置，即可得出答案.【详解】研究平面DPB ，设AC 与BD 的交点为O ，BM 与EF 交点为N,,E F 为,PA PC 的中点，N ∴为PO 的中点，12PO =，6ON OB ∴==，又因为12tan 26PO PDB OD ∠===,过点M 作MG DB ⊥，设GB x =，45NBO ∠=︒ ，GB MG x ∴==，又12DB = ，12DG x ∴=-，tan 212xPDB x∠==-,8x GB ∴==,DG ∴为4个格，GB 为8个格，故选：C 2.用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（）A ．直角三角形B ．直角梯形C ．正五边形D ．正六边形【答案】ABC 【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC．3.在正方体1AC 中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段1CC 上一动点（不含C ）过M 、N 、P 与正方体的截面记为α，则下面三个判断，其中正确判断的序号有______．①当P 为1CC 中点时，截面α为六边形；②当112CP CC <时，截面α为五边形；③当截面α为四边形时，它一定是等腰梯形；【答案】①③.【分析】①延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，延长N P '交11C D 于T ，取11A D 的中点S ，连接M S '交1AA 于P '，连接11,AC A C ，结合图形即可判断；②延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，连接1N D '交1CC 于P ，连接1M D '交1AA 于P '，此时截面α为五边形，求出1CPCC 即可判断；③当截面α为四边形时，点P 与点1C 重合，判断四边形11A MNC 的形状即可.【详解】解：如图①，延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，延长N P '交11C D 于T ，取11A D 的中点S ，连接M S '交1AA 于P '，连接11,AC A C ，因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以MN AC ∕∕，同理11ST A C ∕∕，又因11AC A C ∕∕，所以ST MN ∕∕，同理,SP PN MP PT ''∕∕∕∕，所以,,,,,S T P N M P '共面，此时六边形STPNMP '为截面α，所以截面α为六边形；故①正确；如图②，延长MN 交AD 于M '，交CD 于N '，连接1N D '交1CC 于P ，连接1M D '交1AA 于P '，此时截面α为五边形因为11CD C D ∕∕，所以11CPN C PD ' ∽，所以11112CP CN C P C D '==，即113CP CC =，所以当113CP CC ≤时，截面α为五边形；故②错误；当截面α为四边形时，点P 与点1C 重合，如图，由①得，11MN A C ∕∕，所以四边形11A MNC 即为截面α，设正方体的棱长为1，则12NC =，12MA =，所以11NC MA =，所以四边形11A MNC 是等腰梯形；故③正确.故答案为：①③.【题型三】平行关系确定截面【典例分析】在三棱锥A BCD -中，AB CD a ==，截面MNPQ 与AB ，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长等于（）A ．2aB ．4aC ．aD ．无法确定【答案】A 【分析】由线面平行的性质定理确定截面MNPQ 的形状，再利用三角形相似的性质求截面MNPQ 的周长.【详解】设AMk CM=，因为//AB 平面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ MN =，AB Ì平面ABC ，所以//MN AB ，同理可得//PQ AB ，//MQ CD ，//NP CD ，故四边形MNPQ 为平行四边形，所以11MN PQ AB AB k ==+，1MQ NP k CD CD k==+.因为AB CD a ==，所以1aMN PQ k ==+，1ak MQ NP k==+，所以四边形MNPQ 的周长为2211aak MN PQ MQ NP a k k ⎛⎫+++=+= ⎪++⎝⎭.故选：A.【变式演练】1.在正方体1111ABCD A B C D -中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是___________和___________.【答案】平面11AC D 平面11A C B【分析】根据题意，结合图形，得出与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面11AC D ，平面11A C B ．【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，与AC 平行，且过正方体三个顶点的截面是平面11AC D ，平面11A C B ．11//AA CC ，11AA CC =，∴四边形11ACC A 是平行四边形；11//AC A C ∴，又AC ⊂/平面11AC D ，11AC ⊂平面11ACD ，//AC ∴平面11AC D ；同理//AC 平面11A C B ．故答案为：平面11AC D ，平面11A CB ．2.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．4条【答案】C 【分析】由平行四边形的性质有两对边平行且相等，再应用线面平行的判定可确定线面平行，由线面平行的性质、判定即可知有几条棱与平面α平行.【详解】如下图示，若平面α即为面HEGF 为平行四边形，即//HE FG 且HE FG =，//EG HF 且EG HF =，又HE ⊂面ACD ，FG ⊄面ACD ，则//FG 面ACD ，而FG ⊂面ABD ，面ABD ⋂面ACD AD =，∴//FG AD ，由线面平行判定易知：//AD 平面α；同理可得//EG BC ，易得//BC 平面α.∴该三棱锥与平面α平行的棱有AD 、BC ，共2条.故选：C3.如图是一个以 A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为 ABC ．已知AA 1=4，BB 1=2，CC 1=3.在边AB 上是否存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1.【答案】存在【分析】取AB 的中点O ，连接OC ，可证明11//,OD CC OD CC =，即四边形ODC 1C 是平行四边形，所以OC ∥C 1D ，由线线平行证明线面平行，即得证【详解】存在，取AB 的中点O ，连接OC ，作OD ∥AA 1交A 1B 1于点D ，连接C 1D ，则OD ∥BB 1∥CC 1.因为O 是AB 的中点，所以OD=12(AA 1+BB 1)=3=CC 1，则四边形ODC 1C 是平行四边形，所以OC ∥C 1D.又C 1D ⊂平面C B 1A 1，且OC ⊄平面C 1B 1A 1，所以OC ∥平面A 1B 1C 1.即在边AB 上存在一点O ，使得OC ∥平面A 1B 1C 1.【题型四】垂直关系确定的截面【典例分析】已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)111ABC A B C -的体积为AB =D 是11B C 的中点，点P 是线段1A D 上的动点，过BC 且与AP 垂直的截面α与AP 交于点E ，则三棱锥P BCE -的体积的最小值为A 2B ．32C ．2D ．52【答案】A 【分析】由正三棱柱111ABC A B C -的体积为AB =12AA =，由于P ABC P BCE A BCE V V V ---==+，所以要使三棱锥P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，可得点E 在以AF 为直径的圆上，从而可求出点E 到底面ABC 距离的最大值，进而可求得三棱锥P BCE -的体积的最小值【详解】如图所示，因为正三棱柱111ABC A B C -的体积为AB =(214AA ⨯⨯=，即12AA =，因为(21234P ABC P BCE A BCE V V V ---=⨯⨯=+，所以要使三棱锥P BCE -的体积最小，则三棱锥E ABC -的体积最大，设BC 的中点为F ，作出截面如图所示，因为AP α⊥，所以AE EF ⊥，所以点E 在以AF 为直径的圆上，所以点E 到底面ABC 1322=，所以三棱锥P BCE -的体积的最小值为(21332-⨯⨯=.故选：A.【变式演练】1.如图，ABCD A B C D ''''-为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则（）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值【答案】B【分析】将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -与'''C D B C -后，得到一个以平行平面'A BD 与''D B C 为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱''A B 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形''11A B B A ，考查'E 的位置，确定,S l【详解】解：将正方体切去两个正三棱锥'A A BD -与'''C D B C -后，得到一个以平行平面'A BD 与''D B C 为上、下底面的几何体V ，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将V 的侧面沿棱''A B 剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形''11A B B A ，如图所示而多边形W 的周界展开后便成为一条与'1A A 平行的线段（如图中'1E E ），显然，''11E E A A =，所以l 为定值，当'E 位于''A B 中点时，多边形W 为正六边形，而当'E 称到'A 时，W 为正三角形，则当周长这定值l 的正六22，所以S 不是定值，故选：B 2.正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为4，已知1AC ⊥平面α，1AC β⊂，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）A ．α截得的截面形状可能为正三角形B ．1AA 与截面αC ．α截得的截面形状可能为正六边形D ．β截得的截面形状可能为正方形【答案】ABC【分析】首先根据已知条件确定截面,αβ，然后根据选项依次判断正误即可.【详解】如图因为正方体1111ABCD A B C D -∴AC BD ⊥，1BD CC ⊥，又∵1AC CC C = ∴BD ⊥平面11ACC A 又∵1AC ⊂平面11ACC A ∴1AC BD ⊥同理：11AC A D ⊥又∵1A D BD D ⋂=∴1AC ⊥平面1A BD ∴平面α可以是平面1A BD ，又因为11A D BD A B ==∴1A BD 为等边三角形，故A 正确取111111,,,,,A D D D CD CB BB A B 的中点,,,,,E G P K H F 并依次连接易知11=2EG A D ∥，因为EG ⊄平面1A BD ，1A D ⊂平面1A BD ∴=EG ∥平面1A BD 同理：GP 平面1A BD 又因为EG GP G = 且EG ⊂平面EGPKHF ，GP ⊂平面EGPKHF ∴平面EGPKHF ∥平面1A BD ∴平面α可以是平面EGPKHF ∵=EG GP PK KH HF FE ====∴六边形EGPKHF 是正六边形，故C 正确以平面α是平面1A BD 为例计算：设A 到平面1A BD 的距离为h等体积法求距离∵11A A BD A ABD V V --=，∴111133A BD ABD h S AA S ⋅⋅=⋅⋅又因为11=2A BD S ⨯ ，1=44=82ABD S ⨯⨯∴=3h 则1AA 与平面1A BD所成角的正弦值为1=3h AAB 正确对于D 选项：由于直线1AC β⊂，在正方体上任取点但异于1,A C ，与1,A C 可构成平面β，但是截面的形状都不是正方形，故D 错误故选：ABC3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1AA 的中点，平面α过点1D 且与CM 垂直，则（）A ．CM BD⊥B ．//BD 平面αC ．平面1//C BD 平面αD ．平面α截正方体所得的截面面积为92【答案】ABD【分析】分析出BD ⊥面ACM ，可判断选项A ；取AD 的中点E ，由平面几何知识可知，1DM D E ⊥，从而判断出CM ⊥面11B D EF ，即平面α截正方体所得的截面为梯形11B D EF ，从而可判断剩余的三个选项.【详解】连接AC ，则AC BD ⊥，又因为BD AM ⊥，AC AM A ⊥=,所以BD ⊥面ACM ，又因为CM ⊂面ACM ，所以BD ⊥CM ，故选项A 正确；取AD 的中点E ，AB 的中点F ，连接1D F ，EF ，1B F ，DM ，11B D ,在正方形11ADD A 中，由平面几何知识可知，1DM D E ⊥，又因为1CD D E ⊥，CD DM D ⋂=，所以1D E ⊥面CDM ，所以1D E CM ⊥,又因为BD ⊥CM ，所以11B D CM ⊥，又因为1111D E B D D ⋂=,所以CM ⊥面11B D EF ，即平面α截正方体所得的截面为梯形11B D EF ，所以显然//BD 平面α，选项B 正确；平面1C BD 与平面α不平行，选项C 错误；在梯形11B D EF 中，11B D =EF =11B F D E ==所以梯形的高为2，所以梯形11B D EF 的面积为92，即平面α截正方体所得的截面面积为92，故选项D 正确.故选：ABD.【题型五】求截面周长【典例分析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，E 为棱BC 的中点，F 为棱11A D 的四等分点（靠近点1D ），过点,,A E F 作该正方体的截面，则该截面的周长是___________.【分析】首先根据面面平行的性质定理作出过点,,A E F 的正方体的截面，从而求截面的周长.【详解】如图，取11C D 的中点H ，取1CC 上靠近点1C 的三等分点G ，连接,,,,AE EG GH HF FA ，易证//,//AE HF AF EG ，则五边形AEGHF 为所求截面.因为4AB =，所以111182,3,1,3BE CE C H D H A F D F CG =======，143C G =则103AE EG ==，5,GH HF AF ===故该截面的周长是AE EG GH HF AF ++++【变式演练】1.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A ．B ．C ．D ．2【答案】B【分析】根据题意先作出截面，进而算出截面各边的长度，最后得到答案.【详解】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，延长AF 与CC 1的延长线交于M ，连接EM 交B 1C 1于P ，连接FP ，则四边形AEPF 为所求截面.过E 作EN 平行于BC 交CC 1于N ，则N 为线段CC 1的中点，由1MFC 相似于MAC △可得MC 1=2，由1MPC △相似于MEN 可得：111242,2333PC PC B P =⇒==，在1Rt AA F 中，112,1AA A F ==，则AF ==，在Rt ABE △中，2,1AB BE ==，则AE ==1Rt B EP 中，1121,3B E B P ==，则PE =在1C FP 中，11141,,603C F C P FC P ==∠=︒，由余弦定理：2224413121cos 60339PF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯︒= ⎪⎝⎭，则PF ==故选：B.2.已知在棱长为6的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为________．【答案】【分析】根据正方体的性质作出截面图形，进而算出周长.【详解】如图，延长EF ，A 1B 1，相交于点M ，连接AM ，交BB 1于点H ，延长FE ，A 1D 1，相交于点N ，连接AN ，交DD 1于点G ，连接FH ，EG ，可得截面为五边形AHFEG .因为ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C1D 1，B 1C 1的中点，由中位线定理易得：EF ＝AG ＝AH ＝EG＝FH AH ＋HF ＋EF ＋EG ＋AG ＝故答案为：＋3.已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2，AB BC ⊥，2AB BC ==.过AB 、1BB 的中点E 、F 作平面α与平面11AA C C 垂直，则所得截面周长为（）A ．+B C ．D ．【答案】C【分析】确定平面α与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长.【详解】如下图所示，取AC 的中点J ，连接BJ ，取AJ 的D ，连接DE ，取11A C 的中点K ，连接KJ 、1B K ，AB BC = ，J 为AC 的中点，则BJ AC ⊥，1AA ⊥ 平面ABC ，BJ ⊂平面ABC ，1BJ AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，BJ ∴⊥平面11AA C C ，D Q 、E 分别为AJ 、AB 的中点，则//DE BJ 且12DE BJ =，DE ∴⊥平面11AA C C ，DE ⊂ 平面DEF ，所以，平面DEF ⊥平面11AA C C ，所以，平面α即为平面DEF ，设平面α交11B C 于点I ，在直棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，所以，四边形11AA C C 为平行四边形，11//AC A C ∴且11AC A C =，J 、K 分别为AC 、11A C 的中点，1//AJ A K 且1AJ A K =，所以，四边形1AA KJ 为平行四边形，1//KJ AA ∴且1KJ AA =，11//BB AA 且11BB AA =，1//KJ BB ∴且1KJ BB =，所以，四边形1BB KJ 为平行四边形，//DE BJ ，DE ⊄平面1BB KJ ，BJ ⊂平面1BB KJ ，//DE ∴平面1BB KJ ，设平面α 平面1BB KJ FG =，DE ⊂ 平面α，所以，//DE FG ，//FG BJ ∴，//BF GJ ，所以，四边形BFGJ 为平行四边形，可得11122GJ BF BB KJ ===，所以，G 为KJ 的中点，延长DG 交11A C 于点H ，//DJ KH ，所以，DJG HKG ∠=∠，JDG KHG ∠=∠，又JG KG = ，所以，DJG HKG ≅△△，11122HK DJ AJ KC ∴===，H ∴为1KC 的中点，因为平面//ABC 平面111A B C ，平面α 平面ABC DE =，平面α 平面111A B C IH =，//DE IH ∴，//DE BJ ，1//BJ B K ，//DE IH ，1//IH B K ∴，I ∴为11B C 的中点，AB BC ⊥，2AB BC ==，则AC ==J 为AC的中点，12BJ AC ∴==122DE BJ ==，同理2IH =，因为直棱柱111ABC A B C -的棱长为2，F 为1BB 的中点，1112BF BB ∴==，由勾股定理可得EF ==IF =，1//KJ BB 且12KJ BB ==，1BB ⊥平面ABC ，KJ ∴⊥平面ABC ，AC ⊂ 平面ABC ，KJ AC ∴⊥，G 、D 分别为KJ 、AJ 的中点，则112GJ KJ ==，122DJ AJ ==，由勾股定理可得DG，同理GH =因此，截面的周长为22DE IH EF IF DH ++++=++.故选：C.【题型六】求截面面积【典例分析】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，则该四棱柱被过点1A ，C ，E 的平面截得的截面面积为______.【答案】【分析】在1DD 上取点F ，使得12D F =，连接1,A F CF ，则四边形1A ECF 是平行四边形，由勾股定理可得11,,A E CE A C ，再结合余弦定理与面积公式即可求解【详解】由题意，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1124BE BB ==，143AB AA =，可得1118,2AA BB CC BE ====，在1DD 上取点F ，使得12D F =，连接1,A F CF ，则有11,//A F CE A F CE =，所以四边形1A ECF是平行四边形，由勾股定理可得11A E CE A C ======所以2221111cos 210A E CE A C A EC A E CE +-∠==-⨯,所以1sin 10A EC ∠=，所以四边形1A ECF 是平行四边形的面积为11sin 1210A E EC A EC ⨯⨯∠==，故答案为：【变式演练】1.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱1DD 的中点，则平面1AC E 截该正方体所得的截面面积为（）A ．5B ．C ．D ．【答案】D【分析】作出示意图，设F 为1BB 的中点，连接1,,AF FC EF ，易得平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E ，再计算其面积.【详解】如图所示，设F 为1BB 的中点，连接1,AF FC ，设G 为1CC 的中点，连接,EG GB ，由//EG AB 且EG AB =，得ABGE 是平行四边形，则//AE BG 且AE BG =，又1//BG C F 且1BG C F =，得1//AE C F 且1AE C F =，则1,,,A E C F 共面，故平面1AC E 截该正方体所得的截面为1AFC E .又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，11AF FC EC EA ===，1AC =EF =1EF AC ⊥，故1AFC E 的面积为12S =⨯=故选：D.2.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，则过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为（）A 2B ．298aC ．24aD 2【答案】B【分析】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，证明出1//EF BC ，故四点B 、1C 、E 、F 共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，根据已知，即可求解.【详解】取11A D 中点F ，连接BE 、EF 、1C F 、1BC 、1AD ，因为11//AB C D 且11AB C D =，所以，四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，E 、F 分别为1AA 、11A D 的中点，所以，1//EF AD 且112EF AD a =，所以，1//EF BC ，故B 、1C 、E 、F 四点共面，所以过B 、1C 、E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为等腰梯形1EFC B ，其中2EF a =，1BC =，12BE C F a =，过点E 、F 在平面1BC FE 内分别作1BC 的垂线，垂足点分别为G 、H ，因为1BE C F =，1EBG FC H ∠=∠，12EGB FHC π∠=∠=，所以，1Rt EBG Rt FHC ≅△△，故1BG C H =，在平面1BC FE 内，因为1EG BC ⊥，1FH BC ⊥，1//EF BC ，所以，四边形EFHG 为矩形，则GH EF a =，所以，112BC EF BG C H a -==，所以，梯形1BC FE 的高4h a ==，梯形1B CFE 的面积2192428a S a a ⎫=⨯⨯=⎪⎪⎭.故选：B.3.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面为___________，其面积为___________.【答案】四边形1AECQ 【分析】第一空，先画出1,,A P C 所在平面，由平面11//AA DD 平面11BB CC 得出1//AQ EC ，1//AQ EC ，1A E C Q ，，，四点共面，即为所求截面；第二空由已知条件可求出11AE EC AC ==1AEC 的面积，再乘以2可得截面的面积.【详解】如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ EC ，同理1//AQ EC ，所以四边形1AEC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面.因为12B P PC =，所以112C B CE =，即1EC EB ==所以11AE EC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AE EC AC AEC AE EC +-∠==⨯，所以1sin AEC ∠，所以1AEC Q S四边形1112sin 22AE EC AEC =⨯⨯⨯∠=故答案为：四边形1AEC Q。
立体几何的截面问题
立体几何的截面问题
嘿，咱来聊聊立体几何的截面问题啊！比如说，你怎么知道一个几何体被某个平面截了之后，截面会是什么形状呢？这就好像你切一块蛋糕，你能想象出不同的切法会得到什么样的切面吗？这多有意思呀！
再想想，如何找到截面与几何体各个面的交线呢？这不就像是在一个复杂的迷宫里找特定的通道一样吗？
还有哦，截面面积怎么求呢？哇，这可不是个简单的事儿呢，就像要算出一个奇形怪状的图形有多大一样难。
比如说一个三棱锥，它的截面面积能那么容易就求出来吗？
而且呀，截面问题里还常常会有最值问题呢！哎呀呀，就好像要在一堆选择里找到那个最棒的、最特别的一样，得绞尽脑汁去思考呢！
不同的几何体，截面的情况也完全不同呢！这就像不同性格的人面对同样的事情会有不同的反应，你说神奇不神奇？咱可不能小瞧了这立体几何的截面问题呀！。
立体几何中的 截面问题
立体几何中的截面问题立体几何中的截面问题一、引言1·1 概述本文档将详细介绍立体几何中的截面问题。
截面问题是立体几何中常见的问题类型之一，涉及到在给定几何体上进行切割，求解切割平面与几何体的交线或截面的形状、性质等问题。
1·2 目的本文档的目的是为读者提供关于立体几何中截面问题的全面了解，包括截面的定义、不同几何体的截面特征、相关定理和推论的证明方法、截面问题的应用等。
1·3 适用范围本文档适用于对立体几何有一定了解的读者，特别是对截面问题感兴趣的学生、教师和研究人员。
二、截面的定义与分类2·1 截面的定义截面是指一个平面与立体几何体相交所得的曲线、线段或点集。
2·2 平行截面与垂直截面根据切割平面与几何体的相对位置，我们可以将截面分为平行截面和垂直截面两种类型。
三、不同几何体的截面特征3·1 球体的截面3·1·1 截面形状球体的截面是一个圆或一个点。
3·1·2 截面性质球体的截面是等面积的，并且与球心的连线垂直于截面。
3·2 圆柱体的截面3·2·1 截面形状圆柱体的截面可以是一个圆、一个椭圆、一条直线或两个平行线段。
3·2·2 截面性质圆柱体的截面与轴线平行或垂直，并且截面上的点到轴线的距离是恒定的。
3·3 圆锥体的截面3·3·1 截面形状圆锥体的截面可以是一个圆、一个三角形、一个直线或两个平行线段。
3·3·2 截面性质圆锥体的截面与轴线平行或垂直，并且截面上的点到轴线的距离是变化的。
3·4 正多面体的截面3·4·1 截面形状正多面体的截面可以是一个正多边形、一个多边形、一个直线或两个平行线段。
3·4·2 截面性质正多面体的截面与对称轴平行或垂直，并且截面上的点到对称轴的距离是恒定的。
补上一课 立体几何中的截面问题及球的切接问题
补上一课立体几何中的截面问题及球的切接问题)1．立体几何中的截面问题 (1)平面截球：圆(圆面)．(2)平面截正方体：三角形、四边形、五边形、六边形． (3)平面截圆柱曲面：圆、椭圆、矩形． 2．球的切接问题 (1)长方体的外接球 ①球心：体对角线的交点； ②半径：r ＝a 2＋b 2＋c 22(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球 ①外接球：球心是正方体中心；半径r ＝32a (a 为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心；半径r ＝a2(a 为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝22a (a 为正方体的棱长)．(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分) ①外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝64a (a 为正四面体的棱长)； ②内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝612a (a 为正四面体的棱长)．题型一 立体几何中的截面问题【例1】 (1)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334 B.233 C.324 D.32(2)(2021·浙江新高考仿真卷三)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为( )A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π 答案 (1)A (2)D解析 (1)记该正方体为ABCD －A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′－AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，即截面EFGHIJ 为平面α截正方体所得最大截面．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×(22)2 ＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为334，故选A.(2)设球的球心为O ，由圆M 的面积为4π得圆M 的半径为2，则|OM |＝42－22＝23，又因为圆N 所在的平面β与圆M 所在的平面α所成的角为60°，则∠OMN ＝30°，且ON ⊥MN ，则sin ∠OMN ＝|ON ||OM |，即sin 30°＝|ON |23，解得|ON |＝3，则圆N的半径r ＝42－（3）2＝13，圆N 的面积为πr 2＝13π，故选D.感悟升华 此类题主要考查空间想象能力及空间几何体的结构特征，解题时可寻找特殊情况使问题得到简化．【训练1】 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π(2)(2020·名校仿真训练五)棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱C 1D 1与C 1B 1的中点，则经过点B ，E ，F 的平面截正方体所得的封闭图形的面积为( )A.92B．310 C.32D.10答案 (1)B (2)A解析 (1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.故选B.(2)如图，经过点B，E，F的平面BEF截正方体所得截面为四边形BDEF，因为E，F分别是C1D1，C1B1的中点，正方体的棱长为2，所以EF∥BD，且EF＝1 2BD，所以四边形BDEF是下底为BD＝22，上底为EF＝2的等腰梯形．在Rt△BB1F中，由勾股定理可得DE＝BF＝5，过点F在平面BDEF内作FG⊥BD于点G，由等腰梯形的性质用勾股定理可得FG＝322，即梯形BDEF的高为322，所以梯形BDEF的面积为12(22＋2)×322＝92，故选A.题型二 外接球问题【例2】(1)已知底面边长为1，侧棱长2的正四棱柱的各个顶点均在同一个球的球面上，则该球的体积为( )A.32π3B．4πC．2π D.4π3(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )A.3172B．210 C.132D．310(3)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该四棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4(4)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球的表面积为________．答案 (1)D (2)C (3)A (4)36π 解析 (1)如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，底面为边长为1，侧棱长为2，设H 、I 分别为下、上底面中心，HI 的中点为O ，所以O 为外接球的球心，所以外接球半径R ＝AO ＝AH 2＋OH 2＝1，所以外接球体积V ＝4π3R 3＝4π3. (2)如图，由题意可得棱柱上、下底面为直角三角形，所以上、下底面外接圆的圆心分别为B 1C 1、BC 的中点，设其分别为I 、H ，设HI 的中点为O ，则点O 为三棱柱外接球的球心，在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋OH 2＝132，所以外接球的半径R ＝132.(3)如图，设O 1为底面正方形ABCD 的中心，外接球球心为O ，所以PO1⊥平面ABCD，O在PO1上，设外接球O的半径为R，则R＝AO＝PO，在Rt△AOO1中，R＝AO＝AO21＋OO21＝（2）2＋（4－R）2解得R＝9 4，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝81 4π.(4)如图，∵SA⊥AC，SB⊥BC，设O为SC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得点O到A，B，C，S的距离相等，故点O为三棱锥外接球的球心，∵平面SCA⊥平面SCB，SB＝BC，∴OB⊥平面SAC.设球O的半径为R，则V S－ABC＝V B－ASC＝13·12·2R·R·R＝13R3＝9，∴R3＝27，R＝3.所以外接球表面积为S＝4πR2＝36π.感悟升华 1.常用结论(1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点．(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点．(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点．(4)正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到．(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．2．构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心(1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体．(2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体．【训练2】 (1)一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．33πD ．6π(2)已知正三棱锥P －ABC ，点P 、A 、B 、C 都在半径为3的球面上，若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离是________．(3)三棱锥P －ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，∠BAC ＝120°，PA ＝AB ＝AC ＝2，则此三棱锥外接球的体积为________． 答案 (1)A (2)33 (3)205π3 解析 (1)构造正方体，则正方体棱长为1，因此，该四面体的外接球也就是棱长为1的正方体外接球，所以外接球半径R ＝32，所以外接球表面积为S ＝4πR 2＝3π. (2)如图，构造正方体，则球心为正方体的中心O ，易求得正方体棱长为2，设点O 到平面ABC 的距离为d ，作CH 垂直MN 交MN 于H ， 由V O －ABC ＝V C －ABO ，得13S △ABC ·d ＝13S △ABO ·CH ，所以d ＝33.(3)∵PA ⊥AB ，PA ⊥AC ， ∴PA ⊥平面ABC ，构造直三棱柱PQT －ABC ，设O 1为△ABC 外心，O 为三棱锥外接球球心，所以OO 1⊥平面ABC ， 易得OO 1＝12PA ，在△ABC 由余弦定理可求得BC ＝23，再由正弦定理BCsin 120°＝2r ，可求得△ABC外接圆半径r ＝2，在Rt △AOO 1中，AO ＝AO 21＋OO 21＝5， 所以三棱锥P －ABC 外接球半径R ＝5，外接球体积V ＝205π3. 题型三 内切球问题【例3】 (一题多解)已知棱长为a 的正四面体ABCD ，证明：其内切球的半径为612a .证明 法一 如图，设AH ⊥平面BCD ，则H 为△BCD 外心， 可得外接球球心在AH 上，设外接球球心为O ， 外接球半径为R ，则AO ＝BO ＝R ， 在△BCD 中，可得BH ＝33a ，在Rt △ABH 中， AH ＝AB 2－BH 2＝63a ，在Rt △BHO 中，BO 2＝BH 2＋OH 2， ∴BO 2＝BH 2＋(AH －OA )2， ∴R 2＝(33a )2 ＋(63a －R )2 ，∴R ＝64a ， 因内切球球心与外接球球心重合，所以内切球半径r ＝OH ＝AH －AO ＝63a －64a＝612a .法二 如图，设AH ⊥平面BCD ，设外接球球心为O ，则点O 也是内切球球心， 由于内切球球心到各个面的距离相等，都为内切球半径，设为r ， ∵V A －BCD ＝V O －ABC ＋V O －ACD ＋V O －ABD ＋V O －BCD . ∴13S △BCD ·AH ＝13S △BCD ·r ·4，∴r ＝14AH ＝612a . 感悟升华 求内切球的半径常用等积法(1)正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离．(2)正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合．【训练3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．(2)(2021·金华一中月考)已知某锥体的三视图如图所示(各正方形的边长为2)，则该锥体的体积是________；该锥体的内切球的表面积是________．答案 (1)2π3 (2)83 4π3解析 (1)圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r .作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故POPB＝OEDB，即22－r3＝r1，解得r＝22，故内切球的体积为43π(22)3＝23π.(2)如图，由几何体的三视图可知该几何体是一个棱长为22的正四面体A－BCD，其可以为边长为2的正方体截去四个角而得，所以其体积为V＝23－4×1 3×1 2×23＝83.因为正四面体的棱长为22，所以其底面的三角形的高为6，该正四面体的高为433，设内切球的半径为r，则有(433－r)2＝r2＋(263)2，解得r＝33，所以该内切球的表面积为S＝4πr2＝4π3 .一、选择题1.如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )A．棱台 B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱答案 C解析 由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．2．(2021·北京东城区一模)正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．平行四边形D ．梯形 答案 A解析 如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体，很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形．3．(2021·浙江名师预测三)古希腊著名数学家阿基米德曾经研究过球的体积问题，并得出圆柱的内切球的体积是这个圆柱体积的23，并把圆柱和其内切球的图形刻到他的墓碑上．如图是将一个圆柱挖去内切球后的几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A.23π B.23C．π D.13π答案 A解析 圆柱的底面直径为2，高为2，内切球的直径为2，则该几何体的体积V＝2π－43π＝23π，故选A.4．(2021·昆明模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若此几何体的各个顶点在同一球面上，则该球的表面积为( )A．8πB．9πC．32πD．36π答案 B解析 通过三视图可知，该几何体是直三棱柱D1A1C1－DAC，其中底面是直角三角形，把它补成长方体如图所示：连接D1B，设外接球的半径为R，所以有2R＝D1D2＋DB2＝D1D2＋AD2＋AB2＝1＋4＋4＝3，球的表面积为S＝4πR2＝9π.5．(2021·安阳一模)已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的外接球体积为32π3，则h＝( )A.13 B．26 C．23 D.3答案 C解析 由三视图知几何体为三棱锥，且一条侧棱垂直底面，如图，O为AC的中点，∵正视图和俯视图都是等腰直角三角形，EO⊥底面ABC，OB＝OC＝OA＝1，E为球心．设球半径为r，则V球＝43πr3＝32π3，∴r＝2，EO＝3，∴h＝2 3.6．(2021·名校仿真训练二)在四面体ABCD中，BD＝CD＝AB＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.当四面体ABCD体积最大时，四面体ABCD外接球的表面积是( )A．2πB．3πC．4πD．5π答案 B解析 如图，将四面体ABCD置于棱长为1的正方体中，显然当AB⊥平面BCD 时，四面体ABCD的体积最大．此时四面体ABCD的外接球就是正方体的外接球，球心O即为AC的中点，而AC＝3，则外接球的半径为32，故外接球的表面积为4π(32)2＝3π，故选B.7．(2018·全国Ⅲ卷)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D－ABC体积的最大值为( ) A．123 B．183 C．243 D．543答案 B解析 设等边△ABC的边长为x，则12x2sin 60°＝93，得x＝6.设△ABC的外接圆半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，所以球心到△ABC 所在平面的距离d ＝42－（23）2＝2，则点D 到平面ABC 的最大距离d 1＝d ＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值V max ＝13S △ABC ×6＝13×93×6＝18 3.8．(2019·全国Ⅰ卷)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26π D.6π 答案 D解析 因为点E ，F 分别为PA ，AB 的中点，所以EF ∥PB ， 因为∠CEF ＝90°，所以EF ⊥CE ，所以PB ⊥CE . 取AC 的中点D ，连接BD ，PD ，易证AC ⊥平面BDP ，所以PB ⊥AC ，又AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面PAC ，所以PB ⊥平面PAC ， 所以PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，因为PA ＝PB ＝PC ，△ABC 为正三角形，所以PA ⊥PC ，即PA ，PB ，PC 两两垂直，将三棱锥P －ABC 放在正方体中如图所示．因为AB ＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P －ABC 的外接球的半径R ＝62，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π(62)3＝6π，故选D.9．(2021·重庆调研二)已知三棱锥S －ABC 各顶点均在球O 上，SB 为球O 的直径，若AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝2π3，三棱锥S －ABC 的体积为4，则球O 的表面积为( )A ．120πB ．64πC ．32πD ．16π 答案 B 解析 如图所示，由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝2π3得AC ＝23，则S △ABC ＝12AB ·BC sin 2π3＝3，设△ABC 外接圆圆心为O ′，则OO ′⊥⊙O ′， 由正弦定理可知，△ABC 外接圆半径O ′A ＝232sin2π3＝2，设S 到面ABC 距离为d ， 由SB 为球O 直径可知OO ′＝12d ，∴V S －ABC ＝13×3×d ＝4，∴d ＝43，则OO ′＝23，∴球的半径OA ＝O ′A 2＋O ′O 2＝4＋12＝4， ∴球O 的表面积S ＝4π×42＝64π.10．(2021·厦门质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是( )A ．π B.4π3C ．4πD ．16π答案 C解析 由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥P －ABC ，其中侧面PAB ⊥底面ABC ，在△ABC 和△PAB 中，∠ACB ＝∠APB ＝90°，AC ＝BC ＝AP ＝BP ＝ 2. 取AB 的中点D ，连PD ，则D 为△ABC 外接圆的圆心，且PD ⊥底面ABC，所以球心O 在PD 上，设球半径为R ，则在Rt △ODB 中，OD ＝1－R ，OB ＝R ，DB ＝1，由勾股定理得R 2＝(1－R )2＋12，解得R ＝1，所以三棱锥的外接球的表面积为S ＝4πR 2＝4π.二、填空题11．(2021·杭州三校三联)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”P －ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝2，AD ＝1，则该“阳马”的最长棱长为________；外接球表面积为________． 答案 3 9π解析 由题意得“阳马”P －ABCD 可以看作是棱长为2，2，1的长方体的一部分，则该“阳马”的最长棱为长方体的体对角线，长度为22＋22＋12＝3，该“阳马”的外接球为长方体的外接球，其表面积为4π×(32)2＝9π. 12．(2021·金华十校期末调研)一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直．其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为________，此棱柱的外接球的表面积为________．答案 363 64π解析 由题意可知该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为6的正三角形，底面积为S ＝12×62×sin 60°＝93，又因为该三棱柱的高h ＝4，所以该三棱柱的体积为V＝Sh＝93×4＝36 3.由正弦定理可知该正三棱柱底面的外接圆直径为2r＝6sin 60°＝43，则其外接球的半径为R＝（23）2＋22＝4，因此，此棱柱的外接球的表面积为4πR2＝4π×42＝64π.13．(2021·宁波适考)一个四面体的三视图如图所示(单位：cm)，则该四面体的体积(单位：cm3)为________，外接球的表面积(单位：cm2)为________．答案 6 34π解析 由图可知，该几何体是一个三棱锥，其体积V＝13×12×3×4×3＝6.该三棱锥的外接球的直径2R＝42＋32＋32＝34，所以该外接球的表面积S＝4πR2＝34π.14．(2021·西安质检三)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，且内接于球O，若正三棱柱ABC－A1B1C1的体积是23，则球O的表面积为________．答案 28π3解析 设AA1＝A1B1＝a，则正三棱柱ABC－A1B1C1的体积是34a3＝23，解得a＝2，则底面正三角形的外接圆半径r＝a2sin 60°＝23，所以球的半径R＝(22)2＋(23)2＝213，所以球O的表面积为4πR2＝28π3.15．(2021·石家庄二模)在三棱椎P－ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB 是直角三角形，且PA＝PB＝2，PA⊥AC，则该三棱锥外接球的表面积为________．答案 12π解析 由于PA＝PB，CA＝CB，PA⊥AC，则PB⊥CB，因此取PC中点O，则有OP ＝OC ＝OA ＝OB ，即O 为三棱锥P －ABC 外接球球心，又由PA ＝PB ＝2，得AC ＝AB ＝22，所以PC ＝22＋（22）2＝23，所以S ＝4π×(3)2＝12π. 16．(2021·大庆二模)已知点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，AD ⊥平面ABC ，其中△ABC 是等边三角形，AD ＝2AB ＝6，则该球的表面积为________． 答案 48π解析 由题意画出几何体的图形如图所示：把A ，B ，C ，D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点O 与A 的距离为球的半径R ，因为AD ＝2AB ＝6，所以OE ＝3，AB ＝3，又因为△ABC 是正三角形， 所以AE ＝23AB 2－(12AB)2 ＝2332－(32)2＝3，所以R ＝OA ＝AE 2＋OE 2＝（3）2＋32＝23， 所以所求的球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×(23)2＝48π.17．在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC .则截面的周长为________． 答案 8解析 过点G 作EF ∥AC 交PA ，PC 于点E ，F ，过E ，F 分别作EN ∥PB ，FM ∥PB 分别交AB ，BC 于点N ，M ，连接MN ，∴四边形EFMN 是平行四边形，∴EF 3＝23，即EF ＝MN ＝2，FM PB ＝FM 6＝13，即FM ＝EN ＝2，∴截面的周长为2×4＝8.18．已知正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，侧棱长为3，则内切球半径为________．答案 214－77解析 如图，设E为BC的中点，I为底面正方形ABCD的中心，∴SI⊥平面ABCD，则内切球球心在SI上，设为O，过O作OH⊥SE交SE于H，在Rt△SIC中，易求出SI＝7，即正四棱锥S－ABCD高为7，在△SBC中，易求出SE＝22，即正四棱锥S－ABCD斜高为22，设内切球半径为r，则OI＝OH＝r，由Rt△SIE与Rt△SHO相似，得OHSO＝IESE，∴OHSI－OI＝IESE，∴r7－r＝122，∴r＝722＋1＝214－77.。
立体几何中截面问题
立体几何中截面问题（周长、面积、体积、长度）1．在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别为棱 AB ，BC 的中点，过点 D 1 ，E ，F 作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为 （ ）2．已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2 ，直线 AC 1 ⊥ 平面α ，平面α 截此正方体所得截面中，正确的说法是（ ）A ．截面形状可能为四边形B ．截面形状可能为五边形C ．截面面积最大值为32D ．截面面积最大值为 233 3．正方体 ABCD -- A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是 AA 1 、CC 1 的中点，P 是CC 1 上的动点（包括 端点），过 E 、D 、P 作正方体的截面，若截面为四边形，则 P 的轨迹是（ ）A ．线段C 1FB ．线段CFC ．线段CF 和一点C 1D ．线段C 1F 和一点 C4．已知圆锥的高为 1，母线长为 5 ，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值（ ）5．如下图，正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，E ，F ，G 分别为棱 AB ， A 1D 1，C 1D 1 的中点，经过 E ，F ，G 三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为（ ）6．如上图，在正方体 ABCD - A `B `C `D ` 中,平面 垂直于对角线 AC ,且平面 截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为 S ,周长为l ,则（ ）A ． S 为定值, l 不为定值B ． S 不为定值, l 为定值C ． S 与l 均为定值D ． S 与l 均不为定值7．已知正方体ABCD - A1B1C1D1 棱长为4，P 是AA1中点，过点D1作面α 满足CP ⊥ 平面α ，则平面α 与正方体ABCD - A1B1C1D1的截面周长为（）第7题第8题第9题8．如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AC = BC = CC1= 6，AC ⊥ BC ，E､F 分別为BB1，A1C1中点，过点A､E､F 作三棱柱的截面交B1C1于M，则EM =9．在长方体A B C D - A1 B1C1 D1 中，AB = AD = 4, AA2 = 2 ，过点A1作平面α 与A B, A D 分别交于M,N 两点，若AA1与平面α 所成的角为45︒ ，则截面A1MN 面积的最小值是（）10．已知圆锥SO1 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8. 母线SA =12 ，点B 在SA上，且SB = 2BA ，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（）11．在直三棱柱ABC - A1B1C1 中，M 是BB1 上的点，AB = 3 ，BC = 4，AC = 5，CC1= 7 ，过三点A、M 、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的两部分的体积比为（）．12．已知正方体ABCD - A1B1C1D1 的体积为8，点M 在线段BC 上（点M 异于B、C 两点），点N 为线段CC1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD - A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM 长度的取值范围是______.13．已知正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CC1的中点，过E ，F ，G 三点作该正方体的截面，点M 为底面ABCD 内一动点.若MD1与该截面平行，则直线MD1与CC1所成角的余弦值的最大值为______.答案：1、47252、D3、C4、25 5、433 6、B 7、2654 8、13 9、24 10、32π 11、1110 12、（1,2） 13、36。
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立体几何中的截面问题剖析
用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助我们更好地认识几何体，对于一个几何体不同切截方式，所以得截面可能出现不同的情况.
以正方体为例：平面截正方体的截面图形
三角形：
四边形
五边形
六边形
类型一：与截面有关的求值问题
1、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）
A ．352
B ．358
C ．92
D ．98
2、
体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ）
A.
27172 B ．21172 C ．15172 D ．13172
正三棱柱111ABC A B C -中,所有棱长均为2,点,E F 分别为棱111,BB A C 的中点,若过点,,A E F 作一截面,则截面的周长为（ ）
A ．425133+
B ．225133
+ C ．2513+ D ．13252
+
反馈练习： 1、在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，E 是正方形C C BB 11的中心，M 为11D C 的中点，过M A 1的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111D C B A ABCD -所得的截面面积为（ ）
A ．23
B ．26
C ．225
D ．3
2、如图，在正方体````ABCD A B C D -中,平面垂直于对角线AC ,且平面截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ）
A ．S 为定值,l 不为定值
B ．S 不为定值,l 为定值
C ．S 与l 均为定值
D ．S 与l 均不为定值
类型二：与截面有关的最值问题
1、已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A ．433
B ．332
C ．423
D ．2
3
2、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为（ ）
A ．22
B ．1
C ．2
D ．2
反馈练习：
1、如图，已知四面体ABCD 为正四面体，22AB =，E ，F 分别是AD ，BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为______________
2、有一容积为33a cm 的正方体容器1111ABCD A B C D -，在棱AB 、1BB 和面对角线1BC 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ）
A ．3312a cm
B ．3378a cm
C ．331112a cm
D ．334748
a cm
类型三：与球有关的截面问题
1、已知正四面体A BCD -的棱长为62，M ，N 分别是AC ，AD 上的点，过MN 作平面α，使得AB ，CD 均与α平行，且AB ，CD 到α的距离分别为2，4，则正四面体A BCD -的外接球被α所截得的圆的面积为（ ）
A ．11π
B ．18π
C ．26π
D ．27π
2、已知圆锥1SO 的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8，母线12SA =，点B 在SA 上，且3SB BA =，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（ ） A ．27π
B ．36π
C ．54π
D ．81π
反馈练习：
1、已知正三棱锥A BCD -的外接球是球O ，正三棱锥底边3BC =，侧棱23AB =，点E 在线段BD 上，且BE DE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．9,34ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦ B ．[]2,3ππ C ．11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．9,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
2、如图所示，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为6，则以正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的中心为顶点，以平面AB 1D 1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为 ．。