量子力学试卷

量子力学试卷

1、考虑单粒子的薛定谔方程，

()()()()()

2

2

12,,,2i r t r t V r iV r r t t

m

ψψψ∂=-

∇++⎡⎤⎣⎦∂

1

V 与2

V 为实函数。

证明粒子的概率（粒子数）不守恒。

证明粒子在空间体积τ内的概率随时间的变化为

()()3

3

22

****2s

d d r dS d

rV r dt

im

τ

τ

ψψψ

ψψψψψ

=-

∇-∇∙+

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

2、证明：量子力学的基本对易式

,.x p i αβαβδ⎡⎤=⎣⎦ 其中,,,x y z

αβ=

3、证明厄米算符的本征值必为实数，并属于不同本征值的本征函数彼此正交。

4、如果体系有一个守恒量F ，而体系的某条能级不简并（即对应于某能量本征值E 只有一个本征态E

ψ），则E

ψ必为F 的本征态。

5、在z

s 本征态1210χ⎛⎫

= ⎪

⎝⎭下，求n

σ∙

的可能测值及相应的几率，其

中

()

sin cos ,sin sin ,cos n θϕθϕθ=

。

6．（共25分）在坐标表象中本征态矢量x

完备正交归一化条件

为

1

=⎰

dx x x

与

()

'

'

x

x x

x -=δ

波函数为

ψ

ψx x =)(。在动量表象中完备正交归一化条件

为

1

=⎰

dp p p

与

(

)'

'

p

p p

p -=δ

波函数为

ψ

ϕp p =)(

（1）. 证明 dp

e

p x ipx

/2

1)()

2(1)(⎰=

ϕπψ

dx

e

x p ipx

/2

1)()

2(1)(-⎰=

ψπϕ

（2）. 在坐标表象中，能量本征方程为ψψE x V m p =⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡+)(22，

试建立动量表象中的能量本征方程。

7．Pauli 算符为

⎪⎭

⎫

⎝⎛=0110

x

σ

，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=00i i y

σ，⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1001

z

σ，

给定()ϕθ方向单位矢量

()()θϕ

θϕθcos sin sin cos sin ==z y x n n n n

求n n

⋅=σσ的本征值和本征函数 8.(1).证明λσλλσ

sin cos n i i e n

+=

(2).在0

=θ

时，λσ

λσ

λ

sin c os z

i i e z

+=。利用该式证明

λ

σλσσλσ

λσ

2sin 2sin y x i x i z

z

e

e

-=-

λ

σλσσλσ

λσ

2cos 2sin y x i y i z

z

e

e

+=-