动态最优化第2讲 基础知识简介

第二讲 基础知识——微分方程简介

（三）具有常系数和常数项的二阶线性微分方程

一种简单形式 yt a1 yt a2 yt b
1）特别积分 y p 的求解
解由两部分构成： yt yc y p
b 若 a2 0，则y p a2
b 若 a2 0，a1 0，则y p t a1 b 2 若 a2 0，a1 0，则y p t 2
t
4）代入初始条件 y0 ，得定解
b b t yt y0 （ , a 1时） a 1 a 1 a yt y0 bt（ , a 1时）
第二讲 基础知识——差分方程简介

（二）具有常系数和常数项的二阶线性差分方程
一般形式：
2 yt 2 a1 yt 1 a1 a2 yt b 其中：yt yt 1 yt , 2 yt yt 1 yt yt 2 2 yt 1 yt yt 2 a1 yt 1 a2 yt b

（二）具有常系数和常数项的二阶线性差分方程
2）余函数 yc 的求解
2 若 a1 4a2，（不同的实根） 2 a a 1 1 4 a2 t t 则yc C1r1 C2 r2，其中 : r1 , r2 2 若 a12 4a2，（重实根）
a1 则yc Cr ，其中：r 2 若 a12 4a2，（复根）
第二讲 基础知识——微分方程简介

（二）可变系数和可变项的一阶微分方程

（1）一般形式
dy u t y wt dt

（2）齐次方程情况 dy u t y 0 dt 1 dy u t dt 变换得： y 1 左边积分，得： dy ln y A y 右边积分： ut dt ut dt
t
a1 则yc R C1 cos t C2 sin t , 其中：R a 2 , cos 2 a2
t
第二讲 基础知识——差分方程简介

（三）算例 （1）求定解
yt 2 yt 1 2 yt 12, y0 4, y1 5
第二讲 基础知识——数学规划简介
f x x, y, f y x, y, 0
两个等式隐含着：
x* x* ,
y* y*
第二讲 基础知识——数学规划简介

（三）包络定理

（1）无约束最优化问题的包络定理
3. 把最优解代入目标函数，得到最优值函数：
V f x* , y*来自百度文库 ,
第二讲 基础知识——数学规划简介

（二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件

例子
Min S .T .
拉格朗日函数：
2 x1 x2 ux1 x2
y x1 x2
2 x1 x2
第二讲 基础知识——数学规划简介

（二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件
最优解满足库恩-塔克条件： x 1 u 0 1 1 2ux2 0 x2 2 2 x x 0 , u 0 , x x u0 1 2 1 2 u
（2）求通解：
dy 2ty t dt
第二讲 基础知识——差分方程简介

（一）一阶差分方程
一般形式： yt 1 ayt b
解由两部分构成：yt yc y p 1）特别积分 y p 的求解
yt 1 a yt b, 其中：yt yt 1 yt
第二讲 基础知识——微分方程简介

（二）可变系数和可变项的一阶微分方程

（2）齐次方程情况
两边相等，有：
ln y A ut dt
通解（余函数）：y e Ae u t dt Ce u t dt c
（3）非齐次方程情况： dy u t y wt dt 通解： yt e u t dt C wt e u t dt dt
j 1,, n
第二讲 基础知识——数学规划简介

（一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法

例子：
Min S .T .
拉格朗日函数：
y x1 x2 x1 x 2 6
L x1 x2 6 x1 x2
第二讲 基础知识——数学规划简介

（一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法
最优解满足拉格朗日条件： L x x2 0 1 L x1 0 x2 L 6 x1 x2 0
* * * x 3 , x 3 , 3 2 解得： 1 * * 代入目标函数得最优值： z * x1 x2 9
解由两部分构成： 1）特别积分 y p 的求解
b 若 a1 a2 1，则y p 1 a a 1 2 b t 若 a1 a2 1且a1 2，则y p a1 2 若 a1 2且a2 1，则y p b t 2 2
第二讲 基础知识——差分方程简介

（一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法
1. 具有等式约束的最优化问题： n个变量，m个等式约束条件
Min S .T .
f x ,
x En i 1,2,, m
x x1 , x2 ,, xn 为自变量向量
T
hi x 0,
2.构造拉格朗日函数：
Lx, f x i hi x
1 * x , 解得： 1 4 1 * x2 , 2 1 * 最优解： y * x1* x2 4 u* 1
第二讲 基础知识——数学规划简介

（三）包络定理

（1）无约束最优化问题的包络定理
Max
2. 一阶条件是：
1. 无约束最优化问题（两个变量x和y，一个参数 ）
U f x, y,
b 若 a 1，则y p 1 a 若 a 1 ，则y p bt
第二讲 基础知识——差分方程简介

（一）一阶差分方程
2）余函数 yc 的求解
yc C a
3）通解
t
b （ , a 1时） 1 a t yt C a bt C bt（ , a 1时） yt C a
动态最优化方法
——第2讲 基础知识简介
第二讲 基础知识——微分方程简介

（一）具有常系数和常数项的一阶微分方程

（1）一般形式
一阶线性微分方程形式：
dy u t y wt dt
u和w为常数时一阶微分方程的形式：
dy uy w dt
第二讲 基础知识——微分方程简介

（一）具有常系数和常数项的一阶微分方程
1 1 则yc e C1 cos vt C2 sin vt , 其中：h a1 , v 4a2 a12 2 2
ht
第二讲 基础知识——微分方程简介

（四）算例
（1）求定解：
yt yt 2 yt 10, y0 12, y0 2
第二讲 基础知识——微分方程简介

（三）具有常系数和常数项的二阶线性微分方程
2）余函数 yc 的求解
2 a 若 1 4a2，（不同的实根） 2 a a r1t r2t 1 1 4 a2 则yc C1e C2 e ，其中 : r1 , r2 2 若 a12 4a2，（重实根） a1 rt 则yc Ce ，其中：r 2 2 若 a1 4a2，（复根）
T u u1 , u2 ,, un
i 1
第二讲 基础知识——数学规划简介

（二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件
3. 库恩-塔克定理： 在满足一些条件情况下（略）， 最优解满足以下的库恩-塔克条件：
KT
x, u f x m g i x ui 0, j 1,, n x x j x j i 1 j x, u g x 0, u 0, u g x 0, i 1,, m i i i i u i

（2）齐次方程情况（常数项为0） dy ay 0 dt 变换得： 1 dy adt y
两边积分得通解：
yt Ce at
把初始条件：y0 y0 代入通解，得定解：
yt y 0 e at
第二讲 基础知识——微分方程简介

（一）具有常系数和常数项的一阶微分方程
由一阶条件知： P df* w 0
dL
所以有：
* * Pf L wL L* w w


第二讲 基础知识——数学规划简介

（三）包络定理

（1）无约束最优化问题的包络定理
例子： 价格变化对最大化利润的影响：

* df L* L* df L * * f L P * w f L P * w P dL P P dL P
第二讲 基础知识——数学规划简介

（三）包络定理

（1）无约束最优化问题的包络定理
例子： * * P , w Pf L wL 利润最大化的利润函数为：

工资变化对最大化利润的的影响：
* df L* * L* df L * P * L w P w L * w dL w w dL w
例子：工资变化和商品价格变化对最大化利润的影响 假设生产函数只有一种生产要素投入： f L

假设利润函数：
（变量为劳动要入投入L，外生参数为价格P和工资w）
L Pf L wL
最大化利润，最优要素投入满足一阶条件：
d df P w 0 L* LP, w dL dL
第二讲 基础知识——数学规划简介

（二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件
1. 具有不等式约束的最优化问题： n个变量，m个不等式约束条件
Min S .T .
f x ,
x En i 1,2,, m
m
g i x 0,
2.构造拉格朗日函数：
x, u f x ui gi x


4. 包络定理：
dV x* y * fx fy f d 因为： f x 0, f y 0
从而有：
（在最优点，只有外生参数的直接效应是相关的）
dV f d
第二讲 基础知识——数学规划简介

（三）包络定理

（1）无约束最优化问题的包络定理

（3）非齐次方程情况 dy ay b dt 解由两部分构成： yt yc y p
yc Ce ;
at
b 通解：y t Ce a 把初始条件：y0 y0 代入通解，得定解：
at
b yp a
b at b yt y 0 e ，（a 0） a a
m
1 , 2 ,, m T 为拉格朗日乘子
i 1
第二讲 基础知识——数学规划简介

（一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法
3.最优解满足拉格朗日条件：
L
Lx, f x m hi x i 0, x x j x j i 1 j Lx, h x 0, i 1,, m i i