动态最优化第2讲 基础知识简介
经典算法——动态规划教程
动态规划是对最优化问题的一种新的算法设计方法。
由于各种问题的性质不同，确定最优解的条件也互不相同，因而动态规划的没计法对不同的问题，有各具特色的表示方式。
不存在一种万能的动态规划算法。
但是可以通过对若干有代表性的问题的动态规划算法进行讨论，学会这一设计方法。
多阶段决策过程最优化问题——动态规划的基本模型在现实生活中，有一类活动的过程，由于它的特殊性，可将过程分成若干个互相联系的阶段，在它的每一阶段都需要作出决策，从而使整个过程达到最好的活动效果。
因此各个阶段决策的选取不能任意确定，它依赖于当前面临的状态，又影响以后的发展。
当各个阶段决策确定后，就组成一个决策序列，因而也就确定了整个过程的一条活动路线。
这种把一个问题看做是一个前后关联具有链状结构的多阶段过程就称为多阶段决策过程，这种问题称为多阶段决策最优化问题。
【例题1】最短路径问题。
图中给出了一个地图，地图中每个顶点代表一个城市，两个城市间的连线代表道路，连线上的数值代表道路的长度。
现在，想从城市A到达城市E，怎样走路程最短，最短路程的长度是多少?【分析】把从A到E的全过程分成四个阶段，用k表示阶段变量，第1阶段有一个初始状态A，两条可供选择的支路ABl、AB2；第2阶段有两个初始状态B1、 B2，B1有三条可供选择的支路，B2有两条可供选择的支路……。
用dk(x k，x k+1)表示在第k阶段由初始状态x k到下阶段的初始状态x k+1的路径距离，Fk(x k)表示从第k阶段的x k到终点E的最短距离，利用倒推方法求解A到E的最短距离。
具体计算过程如下：S1：K=4，有：F4(D1)=3，F4(D2)=4，F4(D3)=3S2: K=3，有：F3(C1)=min{d3(C1,D1)+F4(D1),d3(C1,D2)+F4(d2)}=min{8,10}=8F3(C2)=d3(C2,D1)+f4(D1)=5+3=8F3(C3)=d3(C3,D3)+f4(D3)=8+3=11F3(C4)=d3(C4,D3)+f4(D3)=3+3=6S2: K=2，有：F2(B1)=min{d2(B1,C1)+F3(C1),d2(B1,C2)+f3(C2),d2(B1,C3)+F3(C3)}=min {9,12,14}=9F2(m)=min{d2(B2,c2)+f3(C2),d2(B2,C4)+F3(C4)}=min{16,10}=10S4：k=1，有：F1(A)=min{d1(A,B1)+F2(B1),d1(A,B2)+F2(B2)}=min{13,13}=13因此由A点到E点的全过程的最短路径为A—>B2一>C4—>D3—>E。
最优化理论与方法概述
1. 最优化问题
最优化问题：求一个一元函数或多元函数的极 值。 在微积分中，我们曾经接触过一些比较简单 的极值问题。下面通过具体例子来看看什么是最 优化问题。
第二页，编辑于星期五：十点 四分。
1.1 最优化问题的例子
例1 对边长为a的正方形铁板，在四个角处剪去相等
、大豆粉的量（磅）。
min Z 0.0164x1 0.0463x2 0.1250x3 s.t. x1 x2 x3 100
0.380 0.380
x1 x1
0.001x2 0.001x2
Байду номын сангаас
0.002x3 0.002x3
0.012 100 0.008100
0.09x2 0.50x3 0.22100
例：求目标函数 f (x) x12 x22 x32 2x1x2 2x2x3 3x3 的梯度和Hesse矩阵。
解：因为
则 又因为：
f X
x1
2
x1
2
x2
f X
x2
2x2
2
x1
2 x3
3
f X 2x1 2x2, 2x2 2x1 2x3 3, 2x3 2x2 T
f X
x3
2
x3
恒有 f x* f x 则称 x*是最优化问题的整体最优解。
定义2：局部最优解：若 x* D，存在某邻域 N ( x*，) 使得对于
一切 x N ( x* ) D ，恒有 f x* f x 则称 x *是最优化问题
的局部最优解。其中 N ( x* ) { x | x x* , 0}
配料
每磅配料中的营养含量
钙
蛋白质
纤维
最优化理论-教学大纲
《最优化理论》教学大纲课程编号：112302A课程类型：专业选修课总学时：32 讲课学时：26 实验学时：6学分：2适用对象：金融工程专业先修课程：数学分析、线性代数、经济学、金融学一、教学目标最优化问题即在有限种或无限种可行方案（决策）中选择最优的方案（决策），与之相对应的最优化理论是数学领域的一个重要分支，也是金融工程专业学生需要掌握的必备工具之一。
现代金融学研究的技术化程度日益增加，金融工程的许多问题都与最优化理论与方法密切相关，例如：投资组合选择与资产配置、期权的定价与对冲、金融风险的度量与管理、资产和负债的现金流管理等等。
本课程拟对最优化的基础理论和求解方法进行一个比较全面和系统的介绍，其中涉及到的方法包括：线性规划、非线性规划、二次规划、锥优化、整数规划、动态规划、随机规划等等。
通过本课程的学习，实现以下几个教学目标：目标1：帮助学生了解各类最优化模型的数学理论与求解方法；目标2：使学生理解如何应用这些优化模型分析经济学和金融学相关问题。
二、教学内容及其与毕业要求的对应关系本课程主要介绍几种主要的最优化模型的理论与方法，根据最优化模型的类别进行划分，分为无约束最优化和有约束最优化两大类别。
其中，无约束最优化问题的子类别较少、难度相对较低，主要从理论方法和数值方法两方面进行讲解；有约束最优化重点讲解线性规划的单纯形法和非线性规划的库恩塔克条件，在时间允许的情况适当介绍其他类别的高级规划课题。
基本教学内容的框架图如下：本课以课堂讲授为主，间之以案例教学、随堂练习和课后作业，针对适当的问题讲解其计算机程序实现，使学生既能掌握理论，也能动手操作，切实做到理论与实践相结合。
该课程旨在进一步完善金融工程专业学生的数理知识，一方面有利于强化与完善了金融专业学生的数理知识体系，同时结合经济学和金融学实际问题进行讲解学习，锻炼了学生们思考学习的能力，更训练了学生应用数理思维分析经济金融问题的能力，与金融工程专业学生的毕业要求相呼应。
最优化理论课程教学大纲
《最优化理论》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程目标及对毕业要求指标点的支撑
三、教学内容及进度安排
四、课程考核
五、教材及参考资料
教材：《最优化理论与算法（第2版）》,陈宝林著，清华大学出版社，2005年，ISBN：97873021137680
参考书：
1、《最优化方法》，孙文瑜、徐成贤、朱德通主编，高等教育出版社，2004年第一版,ISBN：9787040143751o
2、《最优化理论与方法》，袁亚湘，孙文瑜著，科技出版社，2010年（第二版），ISBN：9787030054135o
3、《最优化计算方法》，黄正海，苗新河著，科技出版社，2015年（第二版），ISBN：9787030433053o
六、教学条件
本课程属于基础理论与应用型课程，对实验条件要求不是很高。
学校实验大楼拥有的计算机软硬件资源，高性能计算机，投影仪等设备，基本能够完成所需的理论计算任务、数值模拟试验以及程序测试等。
需要使用多媒体教室授课，授课电脑安装了WindoWS7、
OffiCe2010、1ingo11Python>Mat1ab2015>Mathematica11>MathTyPe6.9以上版本的正版软件。
附录：各类考核评分标准表。
动态最优化 徐高的笔记
[
]
(2.1.3)
又由分部积分法可得
∫
T
0
Fy′ p ′(t )dt = Fy′ p (t ) 0 − ∫ p (t )
T 0
[
]
T
T d d Fy′ dt = − ∫ p (t ) Fy′ dt 0 dt dt
]
(2.2.13)
此式可以通过画一个图看出。详见蒋中一《动态最优化基础》76 页图 3.1 4
XG’s 动态最优化笔记
由于 ∆T 是任意的，可得横截条件为
[F + (φ ′ − y ′)F ]
y ′ t =T
=0
(2.2.14)
再加上 yT = φ (T ) 可确定曲线。 情形 IV：截断垂直（水平）终结线： 。做法是，先按照垂直终结线（水平终结线）方法 有终结约束 yT ≥ y min （或 T ≤ Tmax ） 求出最优曲线。检查是否符合约束，若是，则结束。否则按照固定终点问题 (T , y min ) （或
(2.1.4)
T dV (ε ) d = ∫ p (t ) Fy − Fy′ dt = 0 0 dε dt
(2.1.5)
由于 p (t ) 是任意函数，要上式成立，则必须有
Fy −
d Fy′ = 0 ，对于所有 t ∈ [0, T ] dt
y′
[欧拉方程]
(2.1.6)
欧拉方程的其它形式
s.t.
m
g (t , y1 ,L, y n ) ≤ c m
F = F + ∑ λi (t ) ci − g i
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
最优化及最优化方法讲稿
最优化的发展简史
最优化是一个古老的课题。长期以来， 人们对最优化问题进行着探讨和研究。
公元前 500年古希腊在讨论建筑美学中就已 发现了长方形长与宽的最佳比例为1. 618,称为 黄金分割比。其倒数至今在优选法中仍得到广泛 应用。在微积分出现以前，已有许多学者开始研 究用数学方法解决最优化问题。例如阿基米德证 明：给定周长，圆所包围的面积为最大。这就是 欧洲古代城堡几乎都建成圆形的原因。
组合最优化
在给定有限集的所有具备某些条件的子集中，按某种目 标找出一个最优子集的一类数学规划。又称组合规划。 从最广泛的意义上说，组合规划与整数规划这两者的领 域是一致的，都是指在有限个可供选择的方案的组成集 合中，选择使目标函数达到极值的最优子集。
组合最优化发展的初期，研究一些比较实用的基本上属 于网络极值方面的问题 ，如广播网的设计 、开关电路设 计、航船运输路线的计划、工作指派、货物装箱方案等。 自从拟阵概念进入图论领域之后，对拟阵中的一些理论 问题的研究成为组合规划研究的新课题，并得到应用。 现在应用的主要方面仍是网络上的最优化问题，如最短 路问题、最大（小）支撑树问题、最优边无关集问题、 最小截集问题、推销员问题等。
学习该课程的需要具备的基本知识
高等数学 线性代数
学习该课程的要求
态度决定一切 正确理解基本概念和原理 掌握最优化方法的思想 能够运用最优化方法分析解决实际问题
最优化问题
最优化问题的数学模型一般形式 minf((x) max) (1 .1 )（目标函数）
s .t. g ix 0 ,i 1 ,2 ,L m , 1 .2 （不等式约束）
D x g i x 0 , i 1 , 2 , L m , h j x 0 , j 1 , L , p , x R n
动态最优化基础 重点汇总
问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的 T 个一阶条件不能分别确定， 而是要同时确定，也就是我们实际上要“．一．次．性．”．确．定．一．条．最．优．路．径．。每产出一
路径对应一个利润（目标值），这种路径（而不是单个值）与到实数之间的映射 关系叫泛．函．。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为 目．标．泛．函．。简而言之，函数是值到值的对应关系，而泛函是路径到值的对应关系。
max
V
[
y
]
=
T
∫0
F
[t,
y,
u
]dt
（7）
st y = f (t, y,u) y(0) = A y(t) 自由 (A,T给定 ）
（7）与（6）不同：①进入目标函数的不是 y ，而是= f 叫运动（转移状态）方程。②基本形式中 y(T ) 自由，
第一章 变分法
第一节 问题的性质（动态优化简介）
一、静态优化问题
如果一个企业要确定一个最优产出水平 x∗ 以最大利润 F（ x ）：
max x≥0 F (x)
（1）
这样的问题的解是一数，即确定选择变量的单个最优值。通常有一阶条件
F′(x∗) = 0 。 并．不．是．有．多．期．的．时．间．就．是．动．态．问．题．。考虑企业的多期（multiperiod）问题：
问题（3）中，我们假设了一个给定的初始点，即初始时间给定，且初始时 刻的产出（状态）已知。注意初始点有两．个．维．度．：时．间．与．状．态．。有时终结点也给 定的，即已知结束的时间与状态。
三、连续时间情形
问题（2）与（3）的连续时间对应物分别是问题（4）与（5）：
T
max ∫0 F (t, x(t))dt st x(t) ≥ 0
(完整版)经济数学CH7动态最优化：最大值原理
为了求解这个最优化问题，建立现值汉密尔顿函数： H(c,k,t,μ)=e-ρtlog(c)+μ(kα-c-δk)
2020/8/20
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最优化的一阶条件为:
(1)Hc e-t (1/ c）-=0和(2)Hk ( k1 ) 横截性条件为：lim[(t)k(t)] 0
t
取式（1）的对数然后对时间求导，得到：
如果令ρ=0.06，δ=0且α=0.3，那么这个系统就是以前研
2020/8/20 究过的非线性系统。
11
四、多变量的动态最优化
❖ 现在考虑一个具有n个控制变量和m个状态变量的 更一般的动态问题。选择控制变量最大化：
T 0
u[k1
(t
),
...,
km
(t
);
c1
(t
),
...,
cn
(t
);
t
]dt,
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6
充分条件
如果函数f(k,c,t)和g(k,c,t)是凹函数，那么 满足上述四个条件的（k*,c*）和λ*>0，是最 优化问题的极大值。
如果是凸函数，则是极小值。 经济学中的生产函数和效用函数都是严格凹函
数，因此满足充分条件。
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三、现值和当期汉密尔顿函数
❖ 1、现值汉密尔顿函数
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当一国的资本发展变成了一 种赌博活动的副产品时，这项 活动可能是错误的。
—— 凯恩斯
1
导论
❖ 古典数学家使用的动态问题的解法是变分法。
❖ 这种方法从两条途径得以一般化： ❖ 第一条是美国数学家贝尔曼在20世纪50年代所
发展的动态规划方法。主要适用于离散时间和 随机模型。 ❖ 第二条是俄罗斯数学家庞特里亚金在50年代所 发展的最优控制的极大值原理。
3连续时间动态最优化问题
第三讲连续时间动态最优化问题一、预备知识动态最优化问题历来是数学家们关注的热点和难点问题。
从17世纪末的伯努利，到20世纪50年代的贝尔曼和庞特里亚金，中间经过拉格朗日、欧拉等一大批数学家的努力，才使动态最优化理论日臻完善。
20世纪初，在拉姆齐（1928）的工作之后，动态数学技巧才被广泛地引入到经济学中来，目前，这些技巧已是大多数现代经济学家不可或缺的工具。
上一节，我们探讨了离散时间的动态优化问题，介绍了古典的拉格朗日乘数法和比较现代的贝尔曼方程法。
本节我们将在连续时间的动态优化问题中，也介绍两种方法，他们是古典的变分法和比较现代的汉密尔顿最大值原理。
下面分别介绍这两种方法。
二、连续时间动态最优化问题的描述例1．索罗（Solow）新古典经济增长模型的一个明显缺陷是把储蓄率看成是外生给定的。
事实表明，储蓄率不是常数。
为了将储蓄率内生化，堪斯(Cass，1965)和库普曼斯(Koopmans，1965) 利用拉姆齐(Ramsey, 1928)倡导的最优化方法，将储蓄率看作是由家庭和企业在竞争市场上追求自身利益最大化的结果，以此证明储蓄率是由模型决定的内生变量。
假设经济包含两个部门，家庭和企业，家庭通过提供劳动服务从企业取得工资，通过提供资产获得利息。
家庭收入分成消费和储蓄两部分。
家庭在预算约束条件下按照消费效用最大化的原则进行消费和投资决策。
家庭生命是无限期的。
家庭大小与成年人口数量对应，成年人口按给定（外生）不变的速度增长，为方便其见，人口的变化规律由下式确定： nt e t L =)(这里，假设初期人口数量为1，然后按等比级数递增，n 为人口增长率。
C(t)表示 t 时刻的消费， c(t)=C(t)/L(t)表示人均消费。
消费者问题是： [][]na c ra w adte e t c u t c U Max t nt t c --+=⋅⋅=⎰∞- 0)()()(ρ(1)此处，u(c)是c 的增函数并满足边际效用递减规律，u(c)满足稻田条件：∞=→)(lim'0c u c , 0)(lim '=∞→c u c 即当c 趋于零时，边际效用趋于无穷大，当c 趋于无穷大时，边际效用趋于零。
数理经济学05-动态最优化基础
第四章 动态最优化基础§4.1 动态最优化的基本问题例：最短路问题图4.1给出了从城市A 到城市B 的路线图（省略了距离单位标注）。
现求一条从A 到B 的最短路线。
图4.1显然，为了从A 到B ，必须先逐步经过C1、C2、C3、C4等诸城市。
而在C1、C2、C3、C4，又都有多种选择。
而关键性的困难是当前的最优选择不一定是全局的最优。
这类问题也称为多阶段决策问题。
§4.2 动态最优化的基本概念阶段：将全过程分为若干个有相互联系的阶段，常用字母t 、k 表示；状态：系统在不同阶段性态。
一般来说，系统在一个阶段有多个状态。
系统在某一阶段的所有可能的状态构成的集合成为状态集，记为S k ；状态变量：表示系统状态的变量，记为s k 。
它与阶段有关；决策：在某一阶段的某一状态下，系统由该状态演变到下一阶段某一状态的选择。
在第k 阶段，处于状态s k 时的所有可能的决策集记为D k （s k ）；决策变量：描述决策的变量，它与阶段与系统在该阶段的状态有关。
在第k 阶段，处于状态s k 时的决策记为d k （s k ）；状态转移：从当前阶段的某一状态转移到下一阶段的某一状态。
状态转移方程：描述状态转移规律的数学方程。
它是当前状态变量与决策变量的函数，即) ,(1k k k k d s T s =+；策略：从起点到终点的每一阶段的决策所构成的决策序列，称为（全局）策略。
自某一阶段起，至终点的决策称为子策略，记为))(,),(()(11,n n k n k s d s d s p =。
指标（目标）函数：性能指标或效用指标，它用来评价决策的效果。
它可分为阶段指标与全局指标两类。
阶段指标是指衡量某一阶段在某一状态下的决策效果的指标。
它仅依赖当前状态和当前决策。
记为))(,(k k k k s d s v ；全局指标是指衡量整个全过程或自某一阶段起至终点的各阶段决策的总体效果的指标。
它是所有各阶段的状态和决策的函数，即动态最优化的主要问题是寻找一个策略，使全局指标最优。
动态规划讲解大全(含例题及答案)
一、动态规划的概念
近年来，涉及动态规划的各种竞赛题越来越多，每一年的 NOI 几乎都至少有一道题目需要用动态 规划的方法来解决；而竞赛对选手运用动态规划知识的要求也越来越高，已经不再停留于简单的递推 和建模上了。
要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。 1. 多阶段决策问题 如果一类活动过程可以分为若干个互相联系的阶段，在每一个阶段都需作出决策(采取措施)，一 个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全确定了一个过程的活动路线，则 称它为多阶段决策问题。 各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而 就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略 不同，效果也不同，多阶段决策问题，就是要在可以选择的那些策略中间，选取一个最优策略，使在 预定的标准下达到最好的效果. 2．动态规划问题中的术语 阶段：把所给求解问题的过程恰当地分成若干个相互联系的阶段，以便于求解，过程不同，阶段 数就可能不同．描述阶段的变量称为阶段变量。在多数情况下，阶段变量是离散的，用 k 表示。此外， 也有阶段变量是连续的情形。如果过程可以在任何时刻作出决策，且在任意两个不同的时刻之间允许 有无穷多个决策时，阶段变量就是连续的。
解决方法：
我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过程 : f1:=f(i-1,j+1); f2:=f(i-1,j); if f1>f2 then f:=f1+a[i,j] else f:=f2+a[i,j]; 显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为 2n，明显是会超时的。分析一下搜索 的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免浪 费，很显然，我们存放一个 opt 数组：Opt[i, j] - 每产生一个 f(i, j)，将 f(i, j)的值放入 opt 中，以 后再次调用到 f(i, j)的时候，直接从 opt[i, j]来取就可以了。于是动态规划的状态转移方程被直观地 表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，避免 了动态规划状态转移先后的问题，而且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是 非常实用的.
第4章 最优化方法(运筹学)
例题分析5：投资问题
例5 某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目 投资。已知： 项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回 本利110%； 项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回 本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元； 项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但 规定最大投资额不能超过80万元； 项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但 规定最大投资额不能超过100万元。 问应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥 有资金的本利金额为最大？
欧洲的古代城堡为什么建成圆形？
案例：生产计划问题
例1.
某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的 生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两 种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
Ⅰ
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 1 2 0 50 元
Ⅱ
1 1 1 100 元资源限制 300 来自时 400 千克 250 千克
问题：工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能
使工厂获利最多？
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 二、线性规划的一般模型
三、线性规划问题的计算机求解
（Excel，lingo）
第一节 线性规划
一、在管理中一些典型的线性规划应用 1、合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下， 下料最少 2、配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大 利润 3、投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报 最大 4、产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等， 使获利最大 5、劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 6、运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
多目标动态优化
小结
目标规划的基本思想是，给定若干目标以及实现 这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使 总的偏离目标值的偏差最小 1）约束条件 硬约束(绝对约束) 软约束 (目标约束)，引入d -, d + 2）目标优先级与权因子 P1 P2 … PL 同一级中可以有若干个目标：P21 , P22 ,P23 … 其重要程度用权重系数W21 ,W22 ,W23 …表示
望
权因子的数值一般需要分析者与决策者商讨 确定
例2的多目标规划模型
minZ=P1d1++P2(2d2-+d2+)+P3(d3-)
2X1+X2 11
X1 -X2 +d1- -d1+=0
X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 , X2 , di- , di+ 0
优化规则
只有完成了高级别的优化后，再考虑低级别的优 化 再进行低级别的优化时，不能破坏高级别以达到 的优化值
（4）权因子
在同一优先级中有几个不同的偏差变量要求 极小，而这几个偏差变量之间重要性又有区 别——可用“权因子”来区分同一优先级中 不同偏差变量重要性不同，如 p2 （2d 2- + d 2+） 表示d2- 的重要程度为d2+ 的两倍，表明 “充分利用设备”的愿望> “不希望加班”的愿
目标函数的实质：求一组决策变量的满意值， 使决策结果与给定目标总偏差最小。 目标函数的特点： 目标函数中只有偏差变量 目标函数总是求偏差变量最小 目标函数值的含义： Z=0：各级目标均已达到 Z>0：部分目标未达到
蒋中一动态最优化基础
T
0
d p(t ) Fy Fy dt 0 dt
（2.17)
步骤3 由于p(t ) 是任意的，因此可以得到： d Fy Fy 0 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt 欧拉方程 d 或 Fy Fy 对于所有 t [0, T ] (2.18) dt
具有边界条件：y(0) 1, yT 10, 并且T是自由的
Fy t 2 y Fy 0 d d Fy ，可得： Fy 0 根据欧拉方程 Fy dt dt Fy 常数 t 2 y 常数 1 y t c1 2 1 2 * 根据直接积分，得 y 4 t c1t c2
（2.14）
T T dV 以上推导得到： Fy p (t )dt Fy p(t )dt 0 0 0 d 步骤2
根据分部积分公式：
t b
t a
vdu vu t a udv
t a
t b
t b
（2.15）
令 v Fy 和 u p(t ) 。于是我们得到：
1 0
ty y2 y(t 2 y) 0 （在t=T处） y 2 0 y 0 1 1 2 * * y ' t c1 通解为 y t c1t 1 2 4 1 1 * y ' (T ) T c1 0 c1 T 2 2 T 6 1 2 水平终结线 yT 10, 即yT T c1T c2 10 4 c1 3
( j 1,2,, n)
*
(2.27)
*
这几个方程与边界条件一起,可以确定解 y1 (t ), , yn (t )
二、高阶导数的情况
最优化原理与方法
最优化原理与方法首先讲几个问题：1>本部分以讲最优化原理和方法为主，联系金属加工工艺(轧钢)生产为辅。
因为最优化原理与方法不仅用于金属加工(轧钢生产)，而且适用于国民经济的各个部门。
2>最优化（原理）是近化应用数学的一个新的分支。
最优化主要是研究在给定的条件下，如何做出最好的决策去完成所给的任务。
本门课程的基础是微积分和线性代数，本门课程的计算工具是电子计算机。
因为用的数学知识和证明较多，我们在讲课中力求深入浅出，对有些证明我们予以省略，这一方面是由于学时有限，另一方面不要用过多的证明冲淡我们对方法的掌握，我们的重点是“实用”。
但要求对一些基本概念要有清晰的了解。
3>主要参考书是“轧制变形规程优化设计”(刘战英，冶金工业出版社)。
参考书是“最优化原理与方法”（东北工学院，薛嘉庆，冶金工业出版社）。
本书的规定学时是70学时，所以我们不能全讲，只讲其中一部分，有些内容还是这本书没有的。
另一本参考书是“最优化技术基础”（范鸣玉、张莹，清华大学出版社）4>学习方法a、认真听课，认真做笔记，基本概念和基本方法一定要掌握，要及时复习。
b、认真完成作业c、上机操作5>考核方式a、作业完成情况b、笔试（闭卷6>学习目的对优化技术入门，能编制简单的优化程序，最好能在毕业设计和论文中加以应用。
1最优化问题与数学预备知识1.1引言1.1.1什么是最优化问题做一切工作，我们总想从一切可能的方案中选出最优的方案，这就是最优化问题如1）安排生产计划方面，如何在现有人力、物力条件下，合理安排产品生产，使总产值为最高：2）产品设计方面，工字钢（截面抗弯能力，宽高比或面模量wx/f）机械零件；3）工厂布局、物资调动方面；4）配料方面，如何合理配料，在保证质量前提下使成本最低；5）自动控制中参数的设定：如轧钢自动控制系统中连轧机各架轧机压下量的设定；在坯料厚度H和成品限制条件都能满足的情况下，如何分配各架轧机的压下量，使达到最优工作状态；等等，由此可见，在各生产、科研领域中普遍存在着最优化问题。
动态最优化基础读书札记
《动态最优化基础》读书札记一、内容描述与动态最优化概念动态最优化，作为一个核心概念和主要研究领域的广泛涵盖性，涵盖了诸如决策过程、控制理论以及数理经济等诸多领域。
《动态最优化基础》这本书为读者揭示并解释了动态最优化理论的基本原理、方法和应用。
在阅读这本书的过程中，我对其中的几个关键部分进行了深入的思考和记录。
本书的内容描述清晰明了，从基础知识出发，逐步深入到复杂的动态最优化问题及其解决策略。
它不仅涉及到了线性与非线性的最优化问题，而且也讨论了离散时间和连续时间的动态最优化问题。
书中还详细阐述了约束条件下的最优化问题，这些问题在实际生活中非常常见，如资源分配、生产计划等。
动态最优化概念是本书的核心，动态最优化涉及的是一个过程，这个过程包括了一系列决策的选择与实施，其中每一个决策都与特定的时间点有关。
在这些决策下，系统的状态会随时间变化而变化，目标是寻找一个最优路径或策略，使得系统的某个性能指标达到最优。
这种概念的应用场景十分广泛，例如在金融市场预测、资源优化管理、经济决策等领域都有着广泛的应用。
在阅读过程中，我特别关注了动态最优化理论的应用方面。
这本书不仅仅局限于理论层面的探讨，而是结合了许多实例来说明这些理论在实际问题中的应用。
通过制造业的生产计划、能源管理的节能策略等实例，我对如何应用动态最优化理论解决实际问题有了更深的理解。
这种理论与实践的结合，使我对动态最优化理论有了更深入的认识和理解。
《动态最优化基础》是一本涵盖面广、内容深入的书籍，对深入理解和学习动态最优化有着重要的作用。
1. 内容描述及背景介绍《动态最优化基础》是一本专注于探讨动态最优化理论与方法的学术著作。
本书系统地介绍了动态最优化问题的基本概念、模型构建、求解方法和应用实例，深入剖析了动态最优化在实际领域中的理论框架和实践路径。
本书主要涵盖了以下内容：动态最优化问题的基本定义和分类：介绍了动态最优化问题的基本概念，包括问题的基本构成元素、特点以及分类方式。
3连续时间动态最优化问题
第三讲连续时间动态最优化问题一、预备知识动态最优化问题历来是数学家们关注的热点和难点问题。
从17世纪末的伯努利，到20世纪50年代的贝尔曼和庞特里亚金，中间经过拉格朗日、欧拉等一大批数学家的努力，才使动态最优化理论日臻完善。
20世纪初，在拉姆齐（1928）的工作之后，动态数学技巧才被广泛地引入到经济学中来，目前，这些技巧已是大多数现代经济学家不可或缺的工具。
上一节，我们探讨了离散时间的动态优化问题，介绍了古典的拉格朗日乘数法和比较现代的贝尔曼方程法。
本节我们将在连续时间的动态优化问题中，也介绍两种方法，他们是古典的变分法和比较现代的汉密尔顿最大值原理。
下面分别介绍这两种方法。
二、连续时间动态最优化问题的描述例1．索罗（Solow）新古典经济增长模型的一个明显缺陷是把储蓄率看成是外生给定的。
事实表明，储蓄率不是常数。
为了将储蓄率内生化，堪斯(Cass，1965)和库普曼斯(Koopmans，1965) 利用拉姆齐(Ramsey, 1928)倡导的最优化方法，将储蓄率看作是由家庭和企业在竞争市场上追求自身利益最大化的结果，以此证明储蓄率是由模型决定的内生变量。
假设经济包含两个部门，家庭和企业，家庭通过提供劳动服务从企业取得工资，通过提供资产获得利息。
家庭收入分成消费和储蓄两部分。
家庭在预算约束条件下按照消费效用最大化的原则进行消费和投资决策。
家庭生命是无限期的。
家庭大小与成年人口数量对应，成年人口按给定（外生）不变的速度增长，为方便其见，人口的变化规律由下式确定： nt e t L =)(这里，假设初期人口数量为1，然后按等比级数递增，n 为人口增长率。
C(t)表示 t 时刻的消费， c(t)=C(t)/L(t)表示人均消费。
消费者问题是： [][]na c ra w adte e t c u t c U Max t nt t c --+=⋅⋅=⎰∞- 0)()()(ρ(1)此处，u(c)是c 的增函数并满足边际效用递减规律，u(c)满足稻田条件：∞=→)(lim'0c u c , 0)(lim '=∞→c u c 即当c 趋于零时，边际效用趋于无穷大，当c 趋于无穷大时，边际效用趋于零。
动态最优化第1讲 动态最优化导论
5 0
（3）一个微观经济学的例子 ——利润最大化厂商实现五年的利润最大化
目标泛函：
V t , P, Pdt
第一讲 动态最优化导论
（二）动态最优化的本质：泛函分析
U t U C t 消费的效用： 生产函数：Q t QK t , Lt 消费： C t QK t , Lt I t QK t , Lt K t 效用函数：U C t U QK t , Lt K t 目标泛函：
（3）动态最优化问题的基本要素
1. 一个给定的初始点和一个给定的终结点 2.从初始点到终结点的一组允许路径 3. 充当表现指标（成本、利润等）的一组路径值，它 们与各种路径相联系
4.特定的目标——通过选择最优路径或者最大化或者
最小化路径值或表现指标
பைடு நூலகம்
第一讲 动态最优化的性质
（一）动态最优化的基本问题
动态最优化方法
动态最优化——经济学方法
经济学方法系统：
（1）数理经济学（数理建模）
基础方法、数学规划、动态优化、随机过程等
（2）计量经济学（实证分析）
经典计量、时间序列分析、微观计量、面板数据、贝 叶斯估计、非参计量等
（3）其它方法
1）博弈论：经典博弈、合作博弈、演化博弈、博弈 学习理论、行为博弈、网络博弈等 2）实验经济学方法 3）计算机计算及模拟：数值计算、模拟仿真等 4）投入产出、应用统计、灰色理论、系统科学等等
（4）一个宏观经济学的例子 ——实现一段时间内社会效用最大化
V U QK t , Lt K t dt
T 0
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f x x, y, f y x, y, 0
两个等式隐含着：
x* x* ,
y* y*
第二讲 基础知识——数学规划简介
（三）包络定理
（1）无约束最优化问题的包络定理
3. 把最优解代入目标函数，得到最优值函数：
V f x* , y* ,
（2）齐次方程情况（常数项为0） dy ay 0 dt 变换得： 1 dy adt y
两边积分得通解：
yt Ce at
把初始条件：y0 y0 代入通解，得定解：
yt y 0 e at
第二讲 基础知识——微分方程简介
（一）具有常系数和常数项的一阶微分方程
（3）非齐次方程情况 dy ay b dt 解由两部分构成： yt yc y p
yc Ce ;
at
b 通解：y t Ce a 把初始条件：y0 y0 代入通解，得定解：
at
b yp a
b at b yt y 0 e ，（a 0） a a
第二讲 基础知识——数学规划简介
（二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件
1. 具有不等式约束的最优化问题： n个变量，m个不等式约束条件
Min S .T .
f x ,
x En i 1,2,, m
m
g i x 0,
2.构造拉格朗日函数：
x, u f x ui gi x
t
a1 则yc R C1 cos t C2 sin t , 其中：R a 2 , cos 2 a2
t
第二讲 基础知识——差分方程简介
（三）算例 （1）求定解
yt 2 yt 1 2 yt 12, y0 4, y1 5
第二讲 基础知识——数学规划简介
第二讲 基础知识——微分方程简介
（三）具有常系数和常数项的二阶线性微分方程
一种简单形式 yt a1 yt a2 yt b
1）特别积分 y p 的求解
解由两部分构成： yt yc y p
b 若 a2 0，则y p a2
b 若 a2 0，a1 0，则y p t a1 b 2 若 a2 0，a1 0，则y p t 2
（2）求通解：
dy 2ty t dt
第二讲 基础知识——差分方程简介
（一）一阶差分方程
一般形式： yt 1 ayt b
解由两部分构成：yt yc y p 1）特别积分 y p 的求解
yt 1 a yt b, 其中：yt yt 1 yt
第二讲 基础知识——微分方程简介
（二）可变系数和可变项的一阶微分方程
（1）一般形式
dy u t y wt dt
（2）齐次方程情况 dy u t y 0 dt 1 dy u t dt 变换得： y 1 左边积分，得： dy ln y A y 右边积分： ut dt ut dt
T u u1 , u2 ,, un
i 1
第二讲 基础知识——数学规划简介
（二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件
3. 库恩-塔克定理： 在满足一些条件情况下（略）， 最优解满足以下的库恩-塔克条件：
KT
x, u f x m g i x ui 0, j 1,, n x x j x j i 1 j x, u g x 0, u 0, u g x 0, i 1,, m i i i i u i
动态最优化方法
——第2讲 基础知识简介
第二讲 基础知识——微分方程简介
（一）具有常系数和常数项的一阶微分方程
（1）一般形式
一阶线性微分方程形式：
dy u t y wt dt
u和w为常数时一阶微分方程的形式：
dy uy w dt
第二讲 基础知识——微分方程简介
（一）具有常系数和常数项的一阶微分方程
最优解满足拉格朗日条件： L x x2 0 1 L x1 0 x2 L 6 x1 x2 0
* * * x 3 , x 3 , 3 2 解得： 1 * * 代入目标函数得最优值： z * x1 x2 9
（一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法
1. 具有等式约束的最优化问题： n个变量，m个等式约束条件
Min S .T .
f x ,
x En i 1,2,, m
x x1 , x2 ,, xn 为自变量向量
T
hi x 0,
2.构造拉格朗日函数：
Lx, f x i hi x
b 若 a 1，则y p 1 a 若 a 1 ，则y p bt
第二讲 基础知识——差分方程简介
（一）一阶差分方程
2）余函数 yc 的求解
yc C a
3）通解
t
b （ , a 1时） 1 a t yt C a bt C bt（ , a 1时） yt C a
4. 包络定理：
dV x* y * fx fy f d 因为： f x 0, f y 0
从而有：
（在最优点，只有外生参数的直接效应是相关的）
dV f d
第二讲 基础知识——数学规划简介
（三）包络定理
（1）无约束最优化问题的包络定理
m
1 , 2 ,, m T 为拉格朗日乘子
i 1
第二讲 基础知识——数学规划简介
（一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法
3.最优解满足拉格朗日条件：
L
Lx, f x m hi x i 0, x x j x j i 1 j Lx, h x 0, i 1,, m i i
j 1,, n
第二讲 基础知识——数学规划简介
（一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法
例子：
Min S .T .
拉格朗日函数：
y x1 x2 x1 x 2 6
L x1 x2 6 x1 x2
第二讲 基础知识——数学规划简介
（一）等式约束最优化问题与拉格朗日乘数法
由一阶条件知： P df* w 0
dL
所以有：
* * Pf L wL L* w w
第二讲 基础知识——数学规划简介
（三）包络定理
（1）无约束最优化问题的包络定理
例子： 价格变化对最大化利润的影响：
* df L* L* df L * * f L P * w f L P * w P dL P P dL P
第二讲 基础知识——微分方程简介
（二）可变系数和可变项的一阶微分方程
（2）齐次方程情况
两边相等，有：
ln y A ut dt
通解（余函数）：y e Ae u t dt Ce u t dt c
（3）非齐次方程情况： dy u t y wt dt 通解： yt e u t dt C wt e u t dt dt
1 1 则yc e C1 cos vt C2 sin vt , 其中：h a1 , v 4a2 a12 2 2
ht
第二讲 基础知识——微分方程简介
（四）算例
（1）求定解：
yt yt 2 yt 10, y0 12, y0 2
1 * x , 解得： 1 4 1 * x2 , 2 1 * 最优解： y * x1* x2 4 u* 1
第二讲 基础知识——数学规划简介
（三）包络定理
（1）无约束最优化问题的包络定理
Max
2. 一阶条件是：
1. 无约束最优化问题（两个变量x和y，一个参数 ）
U f x, y,
解由两部分构成： 1）特别积分 y p 的求解
b 若 a1 a2 1，则y p 1 a a 1 2 b t 若 a1 a2 1且a1 2，则y p a1 2 若 a1 2且a2 1，则y p b t 2 2
第二讲 基础知识——差分方程简介
（二）具有常系数和常数项的二阶线性差分方程
2）余函数 yc 的求解
2 若 a1 4a2，（不同的实根） 2 a a 1 1 4 a2 t t 则yc C1r1 C2 r2，其中 : r1 , r2 2 若 a12 4a2，（重实根）
a1 则yc Cr ，其中：r 2 若 a12 4a2，（复根）
t
4）代入初始条件 y0 ，得定解
b b t yt y0 （ , a 1时） a 1 a 1 a yt y0 bt（ , a 1时）
第二讲 基础知识——差分方程简介
（二）具有常系数和常数项的二阶线性差分方程
一般形式：
2 yt 2 a1 yt 1 a1 a2 yt b 其中：yt yt 1 yt , 2 yt yt 1 yt yt 2 2 yt 1 yt yt 2 a1 yt 1 a2 yt b
第二讲 基础知识——数学规划简介
（二）不等式约束最优化问题与库恩-塔克条件