2020-2021学年高考数学(理)基本初等函数尖子生同步培优题典
专题2.2 解三角形-2021年高考数学(理)尖子生培优题典(解析版)
2021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典专题2.2 解三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·广东禅城高三月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos (2)cos c a B a b A -=-，则ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形【答案】D 【解析】余弦定理得222222cos ,cos 22c b a c a b A B bc ac +-+-==代入原式得2222222222222222,22222c a b c b a c b a c a b c b a a c bc c ac bc-++-+--++-=-=解得2220a b c a b 或=-+= 则形状为等腰或直角三角形,选D.2．（2020·全国高三其他（理））在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sin c A =，λ=b a ，则实数λ的最大值是（ ）AB．32+C．D．2【答案】D【解析】解：由余弦定理，得2222cos a c b b A =+-，结合sin c A =，得222212sin 2sin cos a b A b b A A =+-⋅，解得22212sin 12a A A b=+-，即22723a A b π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 则当12A π=时，222max (2b a ⎛⎫== ⎪⎝⎭．max max ()2b aλ==+故选：D ．3．（2020·全国高三一模（理））已知左、右焦点分别为1F ，2F 的双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）上有一点P ，2112PF PF =，若12sin F PF ∠=，则该双曲线的离心率是（ ） A．e =B．e =C．e =D．e =e =【答案】D【解析】由双曲线的定义有122PF PF a -=，又122PF PF =，故22PF a =，14PFa =.又12sin 2F PF ∠=，所以121cos 2F PF ∠==±， 在焦点三角形12F PF 中，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222142424621a a a ca ⎛⎫+-⋅⋅⋅± ⎪⎝⎭=，化简得223c a =或227c a =，即e =或e =故选：D .4．（2019·上海市七宝中学高三期末）在△ABC 中，a 2tanB =b 2tanA ，则△ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形【答案】D【解析】22tan tan a B b A =，故22tan ta in n s sin B B A A =⋅⋅，即sin 2sin 2A B =. 故22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=.故选：D .5．（2019·安徽省怀宁中学高三月考（理））阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）ABC ．43D ．53【答案】C【解析】依题意，sin 2sin A B =，得2BC AC =，222222cos cos 222a c b b c a a B b A c c c+-+-+=+==即2AB =，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴 建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,),0C x y x，由2BC AC =，则C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为22516(),039xy x ，边AB 高的最大值为43， ∴max 4()3ABC S ∆=. 故选:C6．（2020·全国高三三模（理））已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin 3a B C c A BA c+=，则角B 的最大值为（ ）A ．3π B ．23π C ．6π D ．556π【答案】B【解析】因为sin cos cos sin sin 3a B C c A BA c+=，可得()sin sin cos cos sin 3sin sin B A C A C C A +=，即sin sin()3sin sin B A C C A +=，所以2sin 3sin sin B A C =， 由正弦定理，可得23b ac =，由余弦定理，可得2222231cos 222a cb ac ac B ac ac +-+-==≥-，又因为()0,B π∈，故20,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则B 的最大值为23π.故选：B .7．（2020·河北桃城衡水中学高三其他（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且23C π=，212a b +=.若D 是边AB 上一点，且2BD AD =，3CD =，则ABC 的面积为（ ）A ．218B ．8C ．8D ．12【答案】B【解析】如图，过点D 作//DE AC 交BC 于点E ，则3CED π∠=.由2BD AD =，得3a CE =，23bDE =. 在CDE △中，由余弦定理，得222292cos 33333a b a b π⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得()22681a b ab =-+，结合212a b +=，解得212ab =， 所以ABC的面积1sin 2S ab C ==. 故选：B.8．（2020·江西东湖南昌十中高三其他（理））在ABC ∆中，角A ，B ，C所对的边分别为,,,3,sin a b c a c b A === cos ,6a B b π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则( )A ．1 BCD【答案】C【解析】因为sin b A = cos 6a B π⎛⎫+⎪⎝⎭，展开得 sin b A =1?cos sin 22a B a B -，由正弦定理化简得sin sinB A =1?cos sin 2B sinA B -= cos B即tanB =，而三角形中0<B<π，所以π 6B =由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ，代入(2223236b π=+-⨯⨯解得b =所以选C9．（2017·湖北武昌高三一模（理））在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值是（ ）A ．4 B．C ．8D．【答案】C 【解析】2sin a b C =,sin 2sin sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C B C ∴==+=+,两边同除cos cos B C ，2tan tan tan tan B C B C ∴=+,又tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++,tan tan tan tan tan tan A B C A B C ∴=++,2tan 4tan tan tan tan tan 248,tan 2tan 2A ABC A A A A ∴++=+=-++≥--当tan 4A =时取等.10．（2020·全国高三其他（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等差数列，设ABC 的面积为S，若cos ac B S =，则ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】由已知得cos sin 3ac B ac B =，得tan B =， 因为0B π<<，所以3B π=.因为,,a b c 成等差数列，所以2a c b +=， 由余弦定理，得2222cos 3=+-b a c ac π，所以2223b a c ac =+-， 得()20a c -=，所以a c b ==，所以ABC 是等边三角形. 故选：C.11．（2020·河南高三三模（理））已知三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面ABC ，2AB AD ==，BC =，则三棱锥D ABC -体积最大时，其外接球的体积为（ ）A．3B．3CD．3【答案】D【解析】如图所示：因为DA ⊥平面ABC ，2AB AD ==，所以当ABC 的面积最大时，此时三棱锥D ABC -的体积最大. 设AC m =，则BC ==，2224cos m ACB +-∠==， 所以22422484sin 13m m ACB m ⎛⎫-+-∠=-=. 所以()42222241841343434ABCm m S m m m m -+-=⨯⨯⨯=--+△， 当24m =，即2m =时，ABCS最大.当2m =时，(222221cos 2222BAC +-∠==-⨯⨯，则cos 120BAC ∠=.将三棱锥D ABC -放入直三棱柱11DB C ABC -中，1O ，2O 分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为r ，则12O O 的中点O 为直三棱柱11DBC ABC -外接球球心，设外接球半径为R ，如图所示：2sin120r =，解得2r，所以R ==故外接球体积343V π==. 故选：D12．（2020·河南高三其他（理））已知双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是双曲线右支上一点，点A 是线段12F F 上一点，且121223F PF F PA π∠=∠=，5PA =，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．2 CD【答案】B【解析】设11PF r =，22PF r =，则1222r r a-==，如图所示：由余弦定理得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-， 即()222212121212124343c r r rr r r rr rr =++=-+=+，所以212443c r r -=，从而12r r +===因为1212F PF F PA APF S S S =+△△△，所以1212111sin sin s 2in 223233r r r PA r PA πππ⋅⋅+⋅⋅=， 整理得：()1212rr r r PA =+⋅，即2443c -=，整理得4252280c c -+=， 解得24c =或225c =（舍去）， 所以2c =，1a =，2ce a==. 故选：B13．（2020·河南洛阳高三三模（理））已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且2sin b a B =， 则cos sin B C +的取值范围为（ ）A． B．C．32⎫⎪⎪⎝⎭D．1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】依题意2sin b a B =， 由正弦定理得sin 2sin sin B A B =，所以1sin 2A =，cos 2A = 由于三角形ABC 是锐角三角形，所以6A π=.由23202A B B B ππππ⎧+>⎪⎪⇒<<⎨⎪<<⎪⎩. 所以5cos sin cos sin 6B C B B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭13cos cos cos 22B B B B B =++=3B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于25336B πππ<+<，所以1sin 32B π⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，3322B π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C14．（2020·河北石家庄高三其他（理））已知ABC 的三条边a ，b ，c 满足2b =，4ac =，分别以边a ，c 为一边向外作正方形ABEF ，BCGH .如图1C ，2C 分别为两个正方形的中心（其中1C ，2C ，B 三点不共线），则当12C C 的值最大时，ABC 的面积为（ ）ABC ．2D【答案】A【解析】解：如图，连接1BC 、2BC，由题意可知12BC =，22BC a =，124C BA C BC π∠=∠=.在△21BC C 中，222121212122cos C C BC BC BC BC C BC =+-∠ ()2214cos()22a c ABC π=+-+∠ ()2214sin 2a c ABC =++∠()2212a c =++()2212a c =++()2212a c =++设()22114t a c =+-，则由基本不等式，可知1112t ac ≥-=（当且仅当a c =时取等号）.2122222C C t t ∴=++=++，设()221)f t t t =++≥，则()22)f t t '=+=，令()0f t '=且1t≥，解得t =，1t ∴<<()0f t '>，f t单调递增；t >()0f t '<，f t 单调递减.12CC ∴的值最大时，t=，此时sin 2ABC ∠=.11sin 422ABCSac ABC ∴=∠=⨯=. 故选：A.15．（2020·岳麓湖南师大附中高三三模（理））设a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，设D 是BC 边的中点，且ABC()AB DA DB ⋅+等于( )A ．2B ．4C ．4-D ．2-【答案】A【解析】∵()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，，∵由正弦定理可得：()()b a c b c a c +=+-（），整理可得：b 2+c 2∵a 2=-bc∵ ∵由余弦定理可得：cosA=12-∵∵由A∵（0，π），可得：A=23π，又ABC1223bcsin π=∵bc=4, 又()()()••AB DA DB DB DA DA DB +=-+=2DB -2DA =24CB -()24AB AC +=()24AB AC--()24AB AC +=4?4AB AC-=•AB AC -=-bccosA=2. 故选A.二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）16．（2019·岳麓湖南师大附中高三月考（理））在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值范围是_______;【答案】⎭【解析】设,AB c AC b ==，2BC a ==，对sin sin 2sin B C A +=运用正弦定理，得到24b c a +==，解得4c b =-，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组()()()22222222224444444b c b b c b b b c b ⎧+=+->⎪⎪+=-+>⎨⎪+>=-⎪⎩，解得3522b <<，故()244bc b b b b =-=-+，结合二次函数性质，得到1544bc <≤，运用向量得到()12AD AB AC =+， 所以2212cos 22AD AB AC AB AC θ=++⋅⋅=2212242842b c bc =+-=-，结合bc 的范围，代入，得到AD 的范围为2⎫⎪⎪⎭17．（2020·河南高三月考（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且()()1sin sin sin 2ab Ac b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，则当ab 取最大值时ABC 的周长为_________．【解析】如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-．在CDA 和CDB △中，分别由余弦定理可得2214cos c b c θ+-=，()2214cos c a cπθ+--=，又cos()cos πθθ-=-所以()222202c a b +-+=，所以()22224c a b=+-，①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得 ()()12a b a c b c b ⎛⎫-=+-⎪⎝⎭， 整理得2222aba b c +-=，② 由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin C =把①代入②整理得2242aba b ++=， 又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， 所以54222ab ab ab ≥+=， 所以85ab ≤，即a b ==时等号成立． 此时2881224555c ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭，即c =，所以当ab 取最大值时ABC18．（2019·安徽庐阳合肥一中高三其他（理））角A 为60︒的锐角ABC2b c +的取值范围为________．【答案】【解析】sin 2aA R=，603a ∴=︒=． 22sin 4sin 2(sin 2sin )b c R B R C R B C ∴+=+=+ 22sin 2sin 3R B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2(2sin )R B B =()0B θ=+．其中锐角0θ满足：0tan 2θ=． 又ABC 为锐角三角形，62B ππ∴<<，00062B ππθθθ∴+<+<+，由064ππθ<<，知：000262πππθθ<-<+<，000sin sin sin 226πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00sin sin 12B πθθ⎛⎫∴+<+≤ ⎪⎝⎭，又00sin cos 2πθθ⎛⎫+==⎪⎝⎭．()0sin 1B θ<+≤，2b c ∴<+≤． 故答案为:.19．（2019·西夏宁夏育才中学高二月考（理））在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC ∆的顶点(4,0),(4,0)A C -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，sin sin sin A C B +=_____________ 【答案】54【解析】由题意椭圆221259x y +=中．534a b c ===，，，故()()4,0,4,0A C -是椭圆的两个焦点，2108AB BC a AC ，∴+=== ，由正弦定理得2sin sin sin a b cr A B C===， sin sin ? 105sin 84A C a c AB BC B b AC +++∴====20．（2019·广东汕头高三期末（理））ABC中，BC =3AC =，2A B =，D 是BC 上一点且AD AC ⊥，则ABD 的面积为______．【解析】2BC =3AC =，2A B =，∴在ABC 中，由正弦定理sin sin BC AC A B =，可得：3sin sin 2sin cos A B B B==， ∴解得：cos B =，可得：sin B ==， 21cos cos22cos 13A B B ∴==-=-，AD AC ⊥，1sin sin cos 23BAD A A π⎛⎫∴∠=-=-= ⎪⎝⎭，可得：cos BAD ∠==，()1sin sin 33339ADB BAD B ∴∠=∠+=⨯+=， 在ABC中，由余弦定理可得：22232AB AB =+-⋅， 解得：1AB =，或3．3AB AC ==，2A B =，可得：124B C A π===，可得：BC ==与BC =矛盾， 1AB ∴=，∴在ABD 中，由正弦定理sin sin AB AD ADB B =∠，可得：sin sin AB B AD ADB ⋅==∠，111sin 22310ABDSAB AD BAD AB AD ∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=．故答案为10． 21．（2019·安徽马鞍山高三二模（理））在ABC 中，60,BAC ∠=︒点D 在线段BC 上，且3BC BD =，2AD =，则ABC 面积的最大值为__________．【解析】设,,AB c AC b BD x ===，3BC BD = 所以2CD x =,在ABD ∆中，由余弦定理可知：224cos 4x c ADB x +-∠=，在ADC ∆中，由余弦定理可知：2244cos 8x b ADC x+-∠=，cos ADB ADC π∠+∠=∴ cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，()22212126x c b ∴=+-① 在ABC ∆中，由余弦定理可知：()22232cos x b c bc BAC =+-⋅∠， ()22219x b c bc =+-②, 由①②可得 ()()222242362236b c bc b c c b ++=⇒++⋅=，③因为()222224b c b c bc +≥⋅=④（当且仅当"2"b c =等号成立），把③代入④中得6bc ≤，ABC ∆面积1sin 2S bc BAC =⋅∠=≤.三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22．（2020·雅安市教育科学研究所高三一模（理））在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的大小； （2）若a =b c +的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）【解析】（1）由1cos 2a C cb +=，根据正弦定理有：1sin cos sin sin 2A C C B +=.所以()1sin cos sin sin sin cos cos sin 2A C C A C A C A C +=+=+，所以1sin cos sin 2C A C =.因为C 为三角形内角，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，因为A 为三角形内角，所以3A π=. （2）由a =3A π=，根据正弦定理有：2sin sin sin b c a B C A===， 所以2sin b B =，2sin c C =.所以22sin 2sin 2sin 2sin 3b c B C C C π⎛⎫+=+=-+ ⎪⎝⎭3sin C C =+236C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当3Cπ=时，等号成立.所以b c +的最大值为另解：（2）由a =3A π=，根据余弦定理有：2222cos3b c bc π=+-，即223b c bc =+-.因为()2223b c bc b c bc+-=+-()()222324b c b c b c ++⎛⎫+-=⎪⎝⎭， 所以()234b c +.即23b c +，当且仅当bc ==.所以b c +的最大值为23．（2020·福建福州（理））如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，交AB 于点E ，且2BC =，DE =.（1）求B ；（2）求ABC △的面积.【答案】(1) 60B ︒=【解析】()sin sin sin a A c a C b B +-=，由sin sin sin a b c A B C==得222a c ac b +-=， 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，0B π<<，60B ︒∴=:（2）连接CE ，如下图：D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE CE ∴=，sin DE CE AE A ∴===在BCE 中，由正弦定理得sin sin sin2CE BC BCB BEC A==∠，22sin sin602sin cos A A A ︒∴=，cos 2A ∴=，0A π<<，45A ︒∴=，75ACB ︒∴∠=，30BCE ACB ACE ︒∴∠=∠-∠=，90BEC ︒∠=，CE AE ∴==1AB AE BE =+=，13·22ABC S AB CE ∆∴==， 24．（2020·河南开封高三二模（理））如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，33CD AB ==．（1）若CA CD =，且tan ABC ∠=ABC 的面积S ；（2）若cos DAC ∠=3cos 4ACD ∠=，求BD 的长．【答案】（1（2）BD =【解析】（1）由tan ABC ∠=cos 6ABC ∠=-，sin 6ABC ∠=， 在ABC 中，1AB =，3AC CD ==，由余弦定理，知2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，所以291BC =++，即23240BC +-=，解得=BC3BC =-（舍）， 所以ABC的面积11sin 122S AB BC ABC =⋅⋅∠=⨯=． （2）在ADC中，因为cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，所以sin DAC ∠==sin ACD ∠=， 由正弦定理sin sin CD ADDAC ACD=∠∠，所以32AD ==，又()cos cos cos cos sin sin BAD DAC ACD DAC ACD DAC ACD ∠=∠+∠=∠∠-∠∠16164=-=-， 在ABD △中，由余弦定理，知22292cos 127224BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=++⨯=所以BD =.25．（2019·湖南师大附中高三月考（理））在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1） 求sin sin CA的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）sin 2sin C A = （2【解析】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===，所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A =所以sin 2sin CA= （2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin B =， 故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯.26．（2020·辽宁沈阳高三期末（理））函数()()cos 0f x x x ωωω=->的最小正周期为π. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 对应边分别为a ，b ，c ，若()2f B =，b =2ca -的取值范围.【答案】（1）,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）30,2⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】（1）()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭， ∵2T ππω==，∴2ω=，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 由正弦函数性质令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z∴63k x k ππππ.故()f x 增区间为,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）()2si 2n 26f B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=， ∵02B π<<，∴52666B πππ-<-<， ∴262B ππ-=，∴3B π=.由正弦定理2sin sin sin a c bA C B===得2sin a A =，()2sin 2sin c C A B ==+，所以32sin sin sin 232c a A A A A π⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭6A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.∵锐角三角形，∴02A π<<，2032C A ππ<=-<， ∴,62A ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ∴0,63A ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴30,22c a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭27．（2019·辽宁鞍山一中高三一模（理））已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，S 为ABC 的面积，()222sin SB C a c +=-．（1）证明：2A C =；（2）若2b =，且ABC 为锐角三角形，求S 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】(1)证明：由()222sin S B C a c +=-，即222sin SA a c=-， 22sin sin bc AA a c∴=-，sin 0A ≠，22a c bc ∴-=， 2222cos a b c bc A =+-，2222cos a c b bc A ∴-=-， 22cos b bc A bc ∴-=，2cos b c A c ∴-=，sin 2sin cos sin B C A C ∴-=，()sin 2sin cos sin A C C A C ∴+-=，sin cos cos sin sin A C A C C ∴-=，()sin sin A C C ∴-=，A ，B ，()0,C π∈，2A C ∴=．(2)解：2A C =，3B C π∴=-，sin sin3B C ∴=．sin sin a b A B =且2b =， 2sin2sin3Ca C∴=，()212sin2sin 2sin2sin 2tan2tan 4tan 4sin 32sin 2sin2cos cos2sin tan2tan 3tan tan tan C C C C C C C S ab C C C C C C C C C CC C∴======+++--，ABC 为锐角三角形，20,230,20,2A C B C C ππππ⎧⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∴=-∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，,64C ππ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭，tan ,13C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 43tan tan S C C=-为增函数，2S ⎫∴∈⎪⎪⎝⎭．28．（2020·河南南阳中学高三月考（理））已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3B b ABC π==，的面积2S =，求a +c 值；（2）若2cos C （BA BC ⋅+AB AC ⋅）=c 2，求角C ．【答案】（1）5（2）3π【解析】解：（1）∵3B b ABC π==，的面积2S =，=12ac sin B，可得：ac =6， ∵由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，可得：7=a 2+c 2-ac =（a +c ）2-3ac =（a +c ）2-18， 解得：a +c =5．（2）∵2cos C （BA BC ⋅+AB AC ⋅）=c 2，∴2cos C （ac cos B +bc cos A ）=c 2，可得：2cos C （a cos B +b cos A ）=c ，∴由正弦定理可得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）=sin C ，即2cos C sinC=sin C ， ∵sin C ≠0， ∴cos C =12， ∵C ∈（0，π）， ∴C =3π．。
专题1.5函数的综合应用-2021年高考数学(理)尖子生培优题典(原卷版)
1 / 72021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典专题1.4导数的综合应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·全国高三课时练习（理））当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--2．（2019·湖北东西湖华中师大一附中高三其他（理））已知函数()2ln 2,0,3,0,2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()1g x kx =-，()f x 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在()g x 的图像上，则k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04．（2020·河南南阳高三二模（理））已知函数()x xf x e =，关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ）2 / 7A ．1(,)e e-+∞B ．1(,)e e-+∞C ．1(,)e e-∞-D ．1(,)e e-∞-5．（2020·安徽屯溪一中高二期中（理））函数()ln xf x x e=-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 7．（2020·甘肃城关兰州一中高三三模（理））已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-，0m >，，若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．21[3,]3e --B ．2[,)e +∞C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞8．（2020·吉化第一高级中学校高三其他（理））已知函数18ln (,)y a x x e e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（ ）A ．2[68ln 2,6]e --B ．2[6,)e -+∞C ．2110,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭D ．2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9．（2020·安徽金安六安一中高三其他（理））若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞3 / 710．（2020·陕西高三其他（理））已知函数1()1,0x x f x xe x -≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π11．（2020·甘肃靖远高三其他（理））设函数()f x 是定义在[)1,+∞上的单调函数，且[)1,x ∀∈+∞，()()ln 0f f x x x +-=．若不等式()()()1f x f x a x '-≤-对[)1,x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],1-∞D ．[)1,+∞ 12．（2020·湖南衡阳高三三模（理））设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．（2020·四川宜宾，高三其他（理））对x R ∀∈，不等式2()x x e m e m x -≥恒成立，则实数m 的取值范围是_______4 / 714．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()xe f x x =，22()(1)g x x a =--+，若当0x >时，存在1x ，2x R ∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是_____________.15．（2020·岳麓湖南师大附中高三其他（理））已知函数2()f x x m =+与函数11()ln 3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是________.16．（2020·安徽金安六安一中高三月考（理））已知函数()ln 2xf x e x =--.下列说法正确的是___________.①()f x 有且仅有一个极值点； ②()f x 有零点；③若()f x 极小值点为0x ，则010()2f x <<； ④若()f x 极小值点为0x ，则01()12f x <<. 17．（2020·四川达州，高三三模（理））已知32()31f x x a x b =-++是奇函数，(),0,()ln(),0,f x xg x x b x ≤⎧=⎨-->⎩若4()2g x a ≤恒成立，则实数a 的取值范围是______．18．（2020·全国高三其他（理））已知函数()|ln |f x x =，20,01()42,1x g x x x <≤⎧⎪=⎨-->⎪⎩，若关于x 的方程()()f x m g x +=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围为______________.三、解答题（请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2019·河北辛集中学高三月考（理））已知函数()()ln 1f x x a x =+-， a R ∈. （1）讨论()f x 的单调性；5 / 7（2）当12a =-时，令()()212g x x f x =--，其导函数为()'g x ，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()'g x 的零点？并说明理由.20．（2020·浙江高三期末）已知函数()()1ln f x a x a x=+∈R . （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）若存在两个不等正实数1x 、2x ，满足()()12f x f x =，且122x x +=，求实数a 的取值范围. 21．（2020·黑山县黑山中学高三月考（理））已知函数()211x x e f x =---． （Ⅰ）不需证明，直接写出()f x 的奇偶性：（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点：（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线xy e =在点()00,x A x e处的切线也是曲线ln y x =的切线．23．（2020·安徽芜湖高三一模（理））已知函数()()22xxf x ae ea x -=++-.（1）若()y f x =存在极值，求实数a 的取值范围；（2）设12a ≤≤，设()()()2cos g x f x a x =-+是定义在π,2⎛∞⎤- ⎥⎝⎦上的函数.（，）证明：()y g x '=在π,2⎛∞⎤- ⎥⎝⎦上为单调递增函数(()g x '是()y g x =的导函数)；（，）讨论()y g x =的零点个数.24．（2020·安徽相山淮北一中高三月考（理））已知函数()||ln (0)f x x a x a =-->. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；6 / 7（Ⅱ）比较222222ln 2ln 3ln 23n n++⋯+ 与(1)(21)2(1)n n n -++的大小(n N +∈且)2n >，并证明你的结论.25．（2020·沙坪坝，重庆南开中学高三月考（理））我们平时的导数学习中，见到过很多形形色色的函数，其实很多函数的形态是具有共性的，比如x e x与2xe x ，ln x x 与2ln x x 等等.（1）已知()xk e f x x=，()ln k x g x x =，k 为正常数，分别求这两个函数在()0,∞+的最值.（2）证明：23ln 10ex x e x -->.26．（2020·河南高三月考（理））已知函数()()ln xf x ae b x b a b R =-+∈，，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()2120e x y --+=．（1）求a ，b 的值；（2）证明：()3ln 2f x >+．27．（2020·江西高三月考（理））已知函数()12ln f x x a x x=--有两个不同的极值点1x 、()212x x x >. （1）求实数a 的取值范围；（2）若3a >，求证：11x >，且()()121242ln 23f x f x x x -<-+.28．（2020·江苏南通高三其他）已知函数()1ln xf x x+=. （1）求函数()f x 的图象在x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程；（2）若对任意的x D ∈，均有()()m x n x ≤，则称()m x 为()n x 在区间D 上的下界函数，()n x 为()m x 在区间D 上的上界函数.7 / 7①若()1xe g x x =+，求证：()g x 为()f x 在()0,∞+上的上界函数；②若()1kg x x =+，()g x 为()f x 在[)1,+∞上的下界函数，求实数k 的取值范围. 29．（2020·北京西城高三二模）设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈． （，）已知函数()f x 为偶函数，求a 的值； （，）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（，）若()f x 在区间[]0,π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．30．（2019·天津河西高三三模（理））已知函数()xf x e =，()lng x x =，()h x kx b =+.（1）当0b =时，若对任意()0,x ∈+∞均有()()()f x h x g x ≥≥成立，求实数k 的取值范围；（2）设直线()h x 与曲线()f x 和曲线()g x 相切，切点分别为()()11,A x f x ，()()22,B x g x ，其中10x <. ①求证：2x e >；②当2x x ≥时，关于x 的不等式()11ln 0x x x x a -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围.。
数列-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)
1数列一、选择题A ．﹣5B ．﹣7C ．﹣9D ．﹣11【答案】B【解析】数列{a n }为等差数列，设首项为 a 1，公差为 d ，∵a 3＝5，S 4＝24，∴a 1+2d ＝5，4a 1+4 3 d ＝24，2联立解得 a 1＝9，d ＝﹣2，则 a 9＝9﹣2×8＝﹣7．A ．7B ．8C ．15D ．162a 2 ，a 3 成等【答案】C【解析】由数列因为，所以为等比数列，且，解得：成等差数列，所以，根据等比数列前 n 项和公式，即，．A ． 第 2 天B ． 第 3 天C ． 第 4 天D ． 第 5 天【解析】第一天共挖1 + 1 = 2 ，前二天共挖2 + 2 + 0.5 = 4.5 ，故前3天挖通，故两鼠相遇在第3天.A．7 B．10 C．63 D．18【答案】C【解析】等差数列{a n }的首项为a1 ，公差为d所以S= 3a +3⨯ 2d = 3a + 3d ，a =a + 5d ，3 1 2 1 6 1所以3a1 + 3d - 2a1 +a1 + 5d = 2a1 + 8d = 14 ，所以a1 + 4d = 7，即a5 =7 ，所以S=(a1 +a9 ) ⨯ 9 = 9a= 63..9 2 5差中项是（）n 1 2 2 65 7 11A．2 B．2C．2D．6【答案】A【解析】 a 与a 的等差中项是 a =-2 + 3⨯3=5.2 6 4 2 2n 2 5 4A．-12B．-21C．2 D．218(a 1 + a )【解析】由等比数列的性质可得： a = a q 3 ，即： 1 = 2 ⨯ q 3，解得： q = 1.5242A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】由 S 8 < S 10 < S 9 得， a 9 > 0 ， a 10 < 0， a 9 + a 10 > 0，所以公差大于零.又 S 17 = 17 (a 1 + a 17 ) 2= 17a 9 > 0 ， S 19 =19(a 1 + a 19 ) 2=19a 10 < 0 ，S 18 = = 9 (a 9 + a 10 ) > 0，2= （ ）A ．1B ． -1n n35C ．2D ． 12【答案】A(a 1 + a 9 ) ⋅ 9 【解析】 S 9 = 2 = 5 ⋅ 9= 1，故选 A.S 5(a 1 + a 5 ) ⋅ 59 52A ． 9B ． 8C ． 6D ． 4【答案】B6 3 3 9 6∴ S 3 , S 6 - S 3 , S 9 - S 6 也是等比数列，且 S 9 - S 6 = a 7 + a 8 + a 9 ，∴(S - S )2= S ⋅ (S - S )，(S + 2)2S 2 + 4S + 4 4可得： S 9 - S 6 =3= 3 3 = S SS 3 + + 4S 333≥ 4 = 8 ，当且仅当 S 3 = 2 时取等号，∴ a 7 + a 8 + a 9 的最小值为8.A ．4040B ．4041C ．4042D ．4043【答案】A【解析】∵ a 2020 ⋅ a 2021 < 0，∴ a 2020 和 a 2021 异号，又数列{a n }是等差数列，首项 a 1 > 0 ，∴{a n }是递减的数列， a 2020 > 0, a 2021 < 0 ，a+ a> 0，∴ S= 4040(a 1 + a 4040 ) = 2020(a + a ) > 0，20202021404022020 2021S = 4041(a 1 + a 4041 ) = 4041a< 0 ，4041 22021∴满足 S n > 0 的最大自然数 n 为 4040．n+n和最大项分别是（）S ⎭ ⎩ n【答案】C【解析】因为 y ==1+在(-∞, 80）上单调减，在( 80, +∞) 单调减，所以当 x ∈ (-∞, 80）时 y ∈ (-∞,1) ，此时a n ∈[a 8 , a 1 ] ⊂ (-∞,1) ，当 x ∈ ( 80, +∞) 时 y ∈ (1, +∞) ，此时a n ∈[a 50 , a 9 ] ⊂ (1, +∞) ，因此数列｛ a n ｝的前 50 项中最小项和最大项分别为 a 8 , a 9 ，选 C.S n = 2n -1 ，则 a 5= （）T n n +1b 5191737A ．11 B ．10 C ．2D ． 5【答案】B【解析】解：∵ S 是等差数列{a }的前 n 项和，∴S = 9(a 1 + a 9 ) = 9 ⨯ 2a 5 = 9a ， 即 a = S 9 ，n n 9 2 2 5 59∵ T 是等差数列{b }的前 n 项和，∴ T= 9(b 1 + b 9 ) = 9 ⨯ 2b 5 = 9b ，即b = T 9 ，nn∴a 5 = S 9 = 2 ⨯ 9 -1 = 17 ，92 25 59 b 5 T 9 9 +1 10a =S n + 2(n -1)(n ∈ N *) ，则数列⎧ 1 ⎫的前 10 项的和是（ ）⎨ + 3n ⎬9510 A ．290B ．C ．D ．201111【答案】Cx - 79 x - 80 80 - 79x - 80nnn( 1 ) 2n ⎝ ⎭ ( )【解析】由a n =S n+ 2(n -1) (n ∈ N * )得 S n = na n - 2n (n -1) ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = na n - (n - 1)a n -1 - 4(n - 1) ，整理得 a n - a n -1 = 4 ，所以{a n }是公差为 4 的等差数列，又a 1 = 1， 所以 a n = 4n -3(n ∈ N * )，从而 S n a + a + 3n = + 3n = 2n + 2n = 2n (n +1) ，2所以1 =1= 1 ⎛ 1 - 1 ⎫ ，⎪ S n + 3n 2n (n +1) 2n n +1数列 ⎧ 1 ⎫ 的前 10 项的和S = 1 ⎛1- 1 ⎫ = 5 . ⎨ S + 3n ⎬ 2 11 ⎪ 11⎩ n ⎭⎝ ⎭n n n nB n2n +1则使a n ≥ λ恒成立的实数λ的最大值为（）b nA ．1B ． 123C ．1D ．2【答案】Ba 1 + a 2 n -1a 1+ a2 n -1⋅ (2n -1)【解析】由题意可得a n= 2 = 2 b n b 1 + b 2 n -1 b 1 + b2 n -1 ⋅ (2n -1) 2 2=A 2n -1 = 2n -1 = 1 - 1 ．B 2n -1 2(2n -1)+1 2 2(4n -1)设 f (n ) = 1 - 1 2 2 4n -1 ， n ∈ N * ，因为函数 f (n ) 是增函数，n所以当 n = 1时，函数 f (n ) 取最小值，所以 f (n )≥ f (1) = 1． 31 故实数λ的最大值为 ．3则 1 + 1 + + 1 等于（ ）b 1 b 2 b nnA ．n -1n -1 B ．nn +1 C ．nnD ．n +1【答案】D【解析】已知{a n }是等差数列，且a 2 + a 4 = 6,a 5 = 5 ，所以 2a 1 + 4d = 6, a 1 + 4d = 5 ，解得 a 1 = 1, d = 1，所以 a n = a 1 + (n -1)d = n ， 所以b n = n (n +1)，所以1=1= 1 - 1 ，b nn (n +1) n n +1所 以 1 +1 + + 1 ， b 1 b2 b n= 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1 ，1 2 2 3 3 4n n +1= 1 -1 = n + 1 nn + 1n n a ⎩ n (n -1)d 2 =A ． S = 2n 2- 6nB ． S = n 2- 3nC ． a n = 4n - 8D ．a n = 2n【答案】AC【解析】设等差数列{a }的公差为 d ，则⎧S 3 = 3a 1 + 3d = 0，解得⎧a 1 = -4 ，n⎨ ⎩ 4 a 1 + 3d = 8⎨d = 4∴a n = a 1 + (n -1)d = -4 + 4(n -1) = 4n - 8， S = na 1 += -4n + 2n (n - 1)= 2n- 6n .2(a n - a n -1 - 2)(a n - 2a n -1) = 0，下面选项中关于数列{a n }的命题正确的是（）A ．{a n }可以是等差数列B ．{a n }可以是等比数列C ．{a n }可以既是等差又是等比数列D ．{a n }可以既不是等差又不是等比数列【答案】ABD【解析】解：因为(a n - a n -1 - 2)(a n - 2a n -1) = 0,所以 a n - a n -1 - 2 = 0 或 a n - 2a n -1 = 0 ,即： a n - a n -1 = 2 或 a n = 2a n -1①当 a n ≠ 0, a n -1 ≠ 0 时,{a n }是等差数列或是等比数列.② a n = 0或 a n -1 = 0时,{a n }可以既不是等差又不是等比数列C．当 d > 0 时， a10 +a22 > 0D．当d < 0 时，a10>a22【答案】BC【解析】因为S =S ，所以10a+10 ⨯ 9d = 20a +20 ⨯19d ，解得a =-29d .10 20 1 2 1 2 1 2对选项A，因为无法确定a1 和d 的正负性，所以无法确定S n 是否有最大值，故A 错误.对选项B，S= 30a +30 ⨯ 29d = 30 ⨯⎛-29d⎫+15⨯ 29d = 0 ，30 1 2 2 ⎪⎝⎭故 B 正确.对选项C，a +a =2a = 2 (a+15d )= 2 ⎛-29d +15d⎫=d > 0 ，10 22 16 1 2 ⎪⎝⎭故 C 正确.对选项D，a =a + 9d =-29d +18d =-11d ，10 1 2 2 2a 22 =a1+ 21d =-29d +42d =13d ，2 2 2因为d < 0 ，所以a10=-11d ，a2 22=-13d ，2a 10 <a22，故D 错误.A．q = 2B． a = 2n C． S10 = 2047D．a n+a n +1<a n +2n 2n 2n 2n -1 2n【解析】由题意2q 3 = 4q + 2q 2 ，得 q 2 - q - 2 = 0，解得q = 2 （负值舍去），选项 A 正确；a = 2 ⨯ 2n -1= 2n ，选项 B 正确；2 ⨯ (2n -1) S = = 2n +1 - 2 ，所以 S 10 = 2046 ，选项 C 错误； n2 -1a n + a n +1 = 3a n ，而 a n +2 = 4a n > 3a n ，选项 D 正确．18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（）A ．此数列的第 20 项是 200B ．此数列的第 19 项是 182C ．此数列偶数项的通项公式为 a = 2n2D ．此数列的前n 项和为 S n = n ⋅ (n -1)【答案】AC【解析】观察此数列，偶数项通项公式为 a = 2n 2，奇数项是后一项减去后一项的项数，a = a - 2n，由此可得a = 2 ⨯102 = 200 ，A 正确； a = a - 20 = 180 ，B 错误；C 正确； S = n (n -1) = n 2 - n 是 201920n一个等差数列的前 n 项，而题中数列不是等差数列，不可能有 S n = n ⋅ (n -1) ，D 错．二、 解答题（1）求{a n }的通项公式；n n n n1- (-2) n m n【解析】（1）设{a } 的公比为q ，由题设得 a = qn -1．由已知得 q 4 = 4q 2 ，解得q = 0 （舍去）， q = -2 或q = 2 ．故a = (-2)n -1 或 a = 2n -1．（2）若 a n = (-2)n -1，则 S n n= ．由 S m= 63得(-2) 3= -188 ，此方程没有正整数解．若 a = 2n -1，则 S = 2n-1．由 S = 63得2m = 64，解得 m = 6． 综上， m = 6．a 1 =b 1 = 1, a 2 + a 4 = 10,b 3 = a 5 ．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{b n }的前 n 项和．【解析】（1）设等差数列{a n }公差为 d ，正项等比数列{b n }公比为q ，因为 a 1 = b 1 = 1, a 2 + a 4 = 10,b 3 = a 5 ，所以1+ d +1+ 3d = 10, q 2 = 1+ 4d ∴ d = 2, q > 0∴ q = 3因此 a n = 1+ (n -1) ⨯ 2 = 2n -1, b n = 1⨯ 3n -1= 3n -1 ；（2）数列{b n }的前 n 项和S n = 1 - 3n= 1 (3n - 1) 1 - 3 2= (n +1)a (n ∈ N * )．mn n（2）令b =4，求数列{b }的前 n 项和T ．n(a + 2)(a+ 2)n nnn +1【解析】解：（1）因为 2S = (n +1)a (n ∈ N *)，所以 2S n -1 = na n -1 (n ≥ 2)，两式作差可得2a n = (n +1)a n - na n -1 (n ≥ 2)，整理得(n -1)a= na(n ≥ 2)，则a n=n(n ≥ 2)，nn -1a n -1n -1故a = a ⨯ a 2 ⨯ a 3 ⨯ ⨯ a n= 2 ⨯ 2 ⨯ 3 ⨯ ⨯ n= 2n (n ≥ 2)，a 1 a 2a n -11 2n -1当 n = 1时， a 1 = 2 满足上式，故 a n = 2n ．（2）由（1）可知b =4 = 4 = 1 = 1 - 1 ，n(a + 2)(a + 2) (2n + 2)(2n + 4) (n +1)(n + 2) n +1 n + 2n n +1则T = b + b + b + + b = ⎛1 - 1 ⎫ + ⎛ 1 - 1 ⎫ + ⎛ 1 - 1 ⎫ + + ⎛ 1 - 1 ⎫ ． n 1 2 3n 2 3 ⎪ 3 4 ⎪ 4 5 ⎪ n +1 n + 2 ⎪ = 1 - 1 = n． ⎝⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭2 n + 2 2n + 4(n ∈ N *).（1）证明：数列{a n - 2}为等比数列；（2）若b n = a n ⋅ l og 2 (a n - 2)，数列{b n }的前项和为T n ，求T n .n1n n n n 2 n 1 2 3两式相减得： a n = 2a n - 2a n -1 + 2 ，∴a n = 2a n -1 - 2 ，即： a n - 2 = 2(a n -1 - 2)，又 n = 1时， S 1 = a 1 = 2a 1 + 2 - 6 ，解得： a 1 = 4 ，∴ a 1 - 2 = 2 ≠ 0 ， a n - 2 ≠ 0a n - 2a n -1 - 2= 2 ，∴数列{a n - 2}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.（2）由（1）得： a - 2 = 2 ⨯ 2n -1= 2n ，∴ a = 2n+ 2 ，又b = a ⋅ log (a - 2)，∴ b = n (2n+ 2)，∴ T = b + b + b + ⋅⋅⋅b = (1⨯ 2 + 2⨯ 22 + 3⨯ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⨯ 2n)+ 2(1+ 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n )，设 A n = 1⨯ 2 + 2⨯ 22+ 3⨯ 23+ ⋅⋅⋅ + (n -1)⋅ 2n -1+ n ⋅ 2n ，则2A n = 1⨯ 2 + 2⨯ 2 + ⋅⋅⋅ + (n -1)⨯ 2 + n ⨯ 2 ， 2 3 n n +12 (1 - 2n ) 两式相减可得： - A n = 2 + 22 + 23 + ⋅⋅⋅ + 2n - n ⨯ 2n +1=- n ⨯ 2n +1 ， 1- 2∴A n= (n -1)⋅ 2n +1+ 2，又1+ 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n = n (n +1)，2∴T n = (n -1)⋅ 2n +1+ 2 + n (n +1).n n n ∴nnb 列，数列{b }满足∑a b = (n -1)2n+1．ni i i =1（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：数列{b n }是等比数列；（3）若数列{c }满足c = a n ，且c (m ∈ N *)为整数，求 m 的值．nn mn【解析】（1）因为 a 1 = 1， a 4 ， a 6 ， a 9 成等比数列，所 以 a 2= a ⋅ a649即(1+ 5d )2= (1+ 3d )(1+ 8d ),解得： d = 1或 d = 0 （舍去） 所以 a n = 1+ n -1 = n ，（2）因为∑a i b i= (n -1)2 +1，ni =1所以 a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n= (n -1)⋅2n+1，①a 1b 1 + a 2b 2 + + a n -1b n -1 = (n - 2)⋅ 2n -1 +1 (n ≥ 2) ②① -②得： a n b n = (n -1)⋅ 2n- (n - 2)⋅ 2n -1= n ⋅ 2n -1 (n ≥ 2) ,又a n = n ，所以b n = 2n -1(n 2)，n当 n = 1时， a b = 1，即b = 1，也适合b = 2n -1 ，1 1 1 nn -1 *所以b n = 2 (n ∈ N ) ,b 2n由n +1 = = 2 知数列{b n }是公比为 2 的等比数列.b 2n -1（3）c n = a n b n = n ，2n -1当 n = 1时， c 1 =1， n = 2 时， c 2 = 1，当n ≥ 3时，由 n < 2n -1 知c n < 1，不是整数，所以c m (m ∈ N*)为整数则 m = 1或 m = 2 .。
2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典2(人教A版)(解析版)
2020-2021 学年高一数学尖子生同步培优题典
D
、当
x
3
时，函数
f
(x)
2 sin(2 x
6
)
，
x
R
，
f
3
2
sin
2
3
6
2
所以 x 为 f (x) 图象的一条对称轴，正确． 3
2 sin(2 x
6
)
，
x
R
，
则 A 、 2 f (x) 2 正确，
B 、当 2x k ，k Z ，即 x k ，k Z ，f (x) 在区间 (0, ) 上只有 2 个零点，则 f (x)
6
2 12
在区间 (0, ) 上只有 1 个零点错误，
C 、 f (x) 的最小正周期为 ，正确
【解析】
cos(
2
)
cos[(
4
)
( 4
2
)]
cos(
4
)
cos
4
2
sin( 4
) sin( 4
2
)
，
而
(
,
3
)
，
(
,
)
，因此
sin(
)
2
2
，
sin(
)
6，
4
4 4 4 2 42
4
3
42 3
则 cos( ) 1 3 2 2 6 5 3 ．故选：C 2 33 3 3 9
4 5
，
故
cos
3
2
2
cos
2
3
2
1
2
16 1 25
7 25
2020版高考数学总复习同步测试卷(三)基本初等函数Ⅰ理(含解析)
同步测试卷理科数学(三) 【p289】（基本初等函数Ⅰ）时间：60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知幂函数y＝f(x）的图象经过点错误!，则满足f（x）＝27的x的值为( )A．3 B.错误!C．27 D.错误!【解析】因为幂函数y＝xα的图象经过点错误!，所以（－2)α＝－错误!，所以α＝－3.又因为f(x）＝27，所以x－3＝27，所以x＝错误!。
【答案】D2．函数y＝错误!（a〉1）的图象的大致形状是（)【解析】由题意得y＝错误!（a〉1)＝错误!∵a〉1，∴当x>0时，函数为增函数；当x〈0时，函数为减函数，结合各选项可得B满足题意．【答案】B3．已知a＝20.2,b＝0。
40。
2，c＝0.40。
6，则（)A．a>b〉c B．a>c>bC．c〉a>b D．b〉c〉a【解析】因为函数f(x）＝0。
4x在R上为减函数，且0.2〈0。
6,所以0。
40.6〈0。
40。
2〈0。
40＝1.因为a＝20.2〉20＝1,所以20。
2>0.40。
2〉0.40。
6。
【答案】A4．为了得到函数y＝log2错误!的图象,可将函数y＝log2x的图象上所有的点的( )A．纵坐标缩短到原来的错误!倍，横坐标不变,再向左平移1个单位长度B．纵坐标缩短到原来的错误!倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再向右平移1个单位长度【解析】y＝log2x－1＝错误!log2错误!所以y＝log2x纵坐标缩短到原来的错误!倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度得到y＝log2x－1的图象．【答案】B5．已知二次函数y＝f(x）满足f（2＋x)＝f（2－x），且函数图象截x轴所得的线段长为8，则函数y＝f(x)的零点为（) A．2，6 B．2，－6C．－2，6 D．－2,－6【解析】由于函数y＝f(x）满足f(2＋x）＝f(2－x），所以x＝2为二次函数y＝f（x）的对称轴，根据二次函数图象的性质,图象与x 轴的交点必关于x＝2对称．而两交点间的距离为8,则必有x1＝2＋4＝6，x2＝2－4＝－2.故交点坐标为(6，0)和(－2，0）,则函数的零点为－2，6。
2020-2021学年高考总复习数学(理)高三尖子生第一次联考试题及答案解析
最新高三下学期尖子生第一次联考理科数学试卷解析一、选择题1. 若非空集合{|135},{|116}A x a x a B x x =+≤≤-=≤≤则满足(A )A B ⊆I 的所有实数a 的集合是（）A.[0,7]B.C. [3,7]D.答案：C解析：(A )A B ⊆I 等价于A 是B 的子集A 集合非空等价于135a a +≤-综上解得37a ≤≤2. 设复数2()1a i z i+=+其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为 A.-32 B.-32i C.-12 D.-12i 答案：A 解析：22212(1)22a ai a a i z i +-+-==3. 如果圆222x y n +=至少覆盖曲线()()x f x x R n π=∈的一个最高点和一个最低点，则正整数n 的最小值为A.1B.2C.3D.4答案：B解析：最小范围内的至高点坐标为(2n 原点到至高点距离为半径22/432n n n =+⇒=4. 双曲线C 的中心在原点，焦点在y双曲线C 与抛物线24y x =的准线交于A,B 两点，若AB=4，则双曲线C 的实轴长为（）A. B.2 C. D.4答案：C 解析：此乃等轴双曲线22221y x a a-= 抛物线准线方程x=-1，因此交点为(1,2)-±代入坐标解得2a=2 35. 在ABC ∆中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，且cos2B+3cos(A+C)+2=0,b =ABC ∆周长的最大值是B. C. D.答案：C解析：化简为22cos 3cos 10B B -+=因此1cos ,23B B π== 由余弦定理得223233a c ac ac ac +-=≥-⇒≤从而周长32333a c ac ++≤+≤6. 已知52345012345(21)x a a x a x a x a x a x -=+++++则23452345a a a a +++=（）A.10B.5C.1D.0答案：D解析：看似二项式展开，实则是导数题目求导得42341234510(21)2345x a a x a x a x a x -=++++令x=0得110a =令x=1得234523450a a a a +++=7. 设函数|lg |1||,1()0,1x x f x x -≠⎧=⎨=⎩ 则关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有7个不同的实数解的充要条件是A. b<0且c>0B.b>0且c<0C.b<0且c=0D.b>0且c=0答案：C解析：二次方程有最多有两个解如图所示，12()0()0f x f x =>且从而两根和-b>0且两根积c=08. 将曲线C:7sin()cos()88y x x ππ=-+上每一点向右平移a>0个单位，得到曲线C ’，若曲线C ’的一个最低点横坐标为π/4，且当2132[,],b N*88b b x ππ++∈∈时，曲线C ’上任意两点连线斜率恒大于0，则b 值为（）A.1B.2C.3D.4答案：A解析：化简曲线C:1sin(2)24y x π=+平移得到C ’:1sin(2())24y x a π=-+ 把最低点坐标1(,)42π-代入C ’得到58a π=，即1sin 22y x =- 函数在给定区间单调递增，因此21323[,][,]8844b b ππππ++⊆ 解得1423b ≤≤故选A 9. 在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组,01x y x y ≥⎧⎨+≥⎩所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x+y=0上任意一点，O 为坐标原点，则||OP OQ +u u u r u u u r 的最小值为A.55B.23C.22D.1 答案：A解析：考查向量加法几何意义即平行线间距的最小值10.执行如图所示的程序框图，若f(x)在[-1,a]上的值域为[0,2]，则实数a的取值范围是A. (0,1]B.[1,3] C.[1,2] D.[3,2]答案：B解析：流程图转化为分段函数找到临界点(1,0)和(3,2)11.数列{}na满足112(2)2,(*)1n nna a a n Nn++==∈+则2015122014...aa a a=+++A.10081007B.20151007C.20162015D.20152014答案：A解析：考查数列递推公式12(1)nna na n-+=因此11211212(1)223......2(1)212nn nnn na a a n na a na a a n n----+⨯=⋅=⨯=+-使用错差法得2nnS n=因此目标函数等于20142014201621008201421007⨯=⨯12.已知函数1()e,()ln22xxf xg x==+，,(0,)a R b∀∈∃∈+∞使()()f ag b=则b-a的最小值为A. 21e- B.212e- C.2ln2- D.2ln2+答案：D解析：令1e ln022abx=+=>，则1/2ln,2xa xb e-==，从而1/22lnxb a e x--=-构造函数1/2()2lnxh x e x-=-，求导得1/21'()2xh x ex-=-，解得极值点12x=因此b-a的最小值为h(1/2)=2+ln2二、填空题13.在同一平面直角坐标系中，函数()y g x=的图像与xy e=的图像关于直线y=x对称，函数f(x)的图像与g(x)的图像关于y轴对称，若f(m)=-1，则m的值为___答案：－1/e解析：()lng x x=14.设椭圆C的左右焦点分别为F1F2，过F1的直线与C相交于P,Q，若PF2=F1F2，3|PF1|=4|QF1|，则椭圆C 的短轴与长轴长度之比为___ 答案：26/7 解析：12212,222PF PF a PF c PF a c +==⇒=-由余弦定理得222(22)(2)(2)1cos 4(22)22a c c c a c e c a c c eθ-+---===⨯- 由焦点弦分成比例得22341cos (1cos )(1cos )7b b e a e a e θθθ=⇒=-- 综上得到222526177b e e a =⇒=-=15. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为___答案：36π解析：几何体的直观图如图所示AE=3,EF=2,FB=1,EF=5,EC=3平面ABD ⊥平面ABC易证，标记两角均为直角，故E 为外接球球心R=3，故2436S R ππ==16. 如图所示，作一个边长为1的正△ABC ，且AB 与x 轴的夹角为5°，易知向量和0AB BC CA ++=，令与x 轴同向的单位向量为i ，则有()cos5cos125cos2450i AB BC CA ⋅++=︒+︒+︒=，仿照以上方法，推广以上结论可得12cos cos ...cos 0n a a a +++=，若1a a =则n a =___答案：略解析：观察正三边形有三项，角度呈等差数列，公差为120°公差与多边形内角的补角一一对应，即(2)2n d n nπππ-=-= 推广后得到正n 边形有n 项，角度依旧等差，12(1)(1)n n a a n d nπα-=+-=+ 三、解答题17. 已知正项数列{}n a 的前6项和为Sn ，满足2(1)S (0,1)n n p p a p p -=->≠，设1(*)2log n p nb n N a =∈- (1)求数列{}n a 的通项公式(2)设数列1{}n n b b +的前n 项和为Tn ，是否存在正整数m ，使得11,*n m m T n N b b +<∈恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由.解析：2111n 1,(1)p a p a a p =-=-⇒=错差法211(1)S n n p p a ---=-，得到11(1)/1/n n n n n p a a a a a p ---=-⇒=等比数列{}n a 的通项公式2n n a p -=11111n n n b b b n n n +=⇒=-+，因此1111n n T n n =-=++ 111m m n n b b +<+恒成立等价于11(1)m m ≥+ 令1()(1)f x x x =+，则2221'()(1)x f x x x +=-+ 注意f(1)=1/2，且x ≥1函数单调递减，因此不存在符题意的m 最小值18. 一个袋中装有黑球、白球和红球共n 个，这些球除颜色外完全相同，已知从袋中任意摸出一个球，得到黑球的概率是2/5，现从中任意摸出2个球.(1)当n 取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大？最大概率是多少？(2)当n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率为4/7，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列及数学期望.解析：设n 个球中黑球i 个，白球j 个，则红球有n-i-j 个摸1个得黑球概率是2/5，则i=2n/5(1) 摸2个至少有1个黑球概率为1122()(1)/21610(1)/22525i n i i n C C C i n i i i n P C n n n -+-+--===-- 求导为负，因此随着n 的增大，概率在减小，故最大概率P(5)=0.7(2)依题意得11215152154(15)5247j j C C C P j or C -+==⇒=，取j=5 此时黑球个数i=6，故红球有15-5-6=4个因此随机变量X 可能的取值为0,1,221121555(0)105C P X C ===1111421544(1)105C C P X C ===242156(2)105C P X C === X0 1 2 P 55/105 44/105 6/10512105105105EX =⨯+⨯= 19. 如图，四棱锥P-ABCD 底面为等腰梯形，AB//CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点.(1)求证：BC ⊥PE ；(2)若60APB ADB ∠=∠=︒ 求二面角H-PE-D 的余弦值.解析：PH ⊥底面ABCD ，PH ⊥BCRT △ADH 中，斜边中线HE=DE ，对顶角代换得到两角互余，因此EH ⊥BCBC ⊥平面PEH 上的直线PE(2)等边△EDH 中，边长＝13以H 为原点建系，则1(0,0,0),(0,0,1),(,,0),(0,,0)2233H P E D -- 平面HPE 法向量m 满足00m HE m HP ⋅=⎧⎨⋅=⎩解得(2,23,0)m = 平面DPE 法向量n 满足00n DE n DP ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得(2,23,2)n =-- cos ,4128125m n <>==++ 20. 已知直线l 与椭圆221:14y C x +=交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，向量1122(2,),b (2,)a x y x y ==且a b ⊥.(1)若直线l 过点(0,3)-，求直线l 的斜率；(2)AOB ∆的面积是否为定值，若是，求出定值，若不是，试说明理由.解析：(1)设直线方程为3y kx =-，11223,3y kx y kx =-=-联立椭圆方程2244x y +=得22(4)2310k x kx +--=12122231,4k x x x x k -+==+ 两向量数量积为零121240x x y y +=解得22k = (2)由(1)知，设定直线方程是解题关键，因此可设截距式直线方程y kx m =+，联立方程得到222(4)240k x kmx m +++-=212122224,44km m x x x x k k--+==++ 两向量数量积为零12124()()0x x kx m kx m +++=解得2224k m =-AOB ∆的面积可表示为2121212||||||()422m m S x x x x x x =⨯-=+- 综上可得S=1，故面积为定值21. 已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+ (1)求函数的单调区间；(2)若不等式1(1)n a e n++≤对任意的*n N ∈都成立，求a 的最大值. 解析：无参函数求单调区间，要多次求导222(1)ln(1)2'()(1)x x x x f x x ++--=+，令2()2(1)ln(1)2g x x x x x =++-- '()2ln(1)2g x x x =+-，令()2ln(1)2h x x x =+-2'()1x h x x-=+注意：'(0)'(0)'(0)0h g f ===当10x -<<时'()0,'()'(0)0,'()'(0)0h x g x g f x f ><=>=，故f(x)单调递增当0x ≥时'()0,'()'(0)0,'()'(0)0h x g x g f x f <>=<=，故f(x)单调递减综上，函数f(x)的单调区间为(1,0),(0,)-↑+∞↓23.选修4-4：参数方程极坐标在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>已知过点P(-2,-4)的直线l 的参数方程为：2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩直线l 与曲线C 分别交于M,N 两点. (1)写出曲线C 的直角方程和直线l 极坐标方程；(2)若PM,MN,PN 成等比数列，求a 的值.解析：222sin 2cos 2a y ax ρθρθ=⇒=直线方程24(cos sin )2x y ρθθ+=+⇒-=等比中项2MN PM PN =⋅，由直线参数方程参数意义可知21212()||t t t t -=因此联立直线与曲线方程得2)3280t t a -++=1212328t t t t a ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩由等比中项解得23401a a a +-=⇒=。
2021年高考数学(理)清北尖子生培优最新最全典题剖析：函数的综合应用(试卷+答案+全解全析)
2021学年高考数学（理）清北尖子生培优最新典型剖析：导数的综合应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·全国高三课时练习（理））当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]--B ．9[6,]8--C ．[6,2]--D ．[4,3]--2．（2019·湖北东西湖华中师大一附中高三其他（理））已知函数()2ln 2,0,3,0,2x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()1g x kx =-，()f x 的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在()g x 的图像上，则k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2020·嘉祥县第一中学高三其他）设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．04．（2020·河南南阳高三二模（理））已知函数()x xf x e =，关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,)e e-+∞B ．1(,)e e-+∞C ．1(,)e e-∞-D ．1(,)e e-∞-5．（2020·安徽屯溪一中高二期中（理））函数()ln xf x x e=-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 7．（2020·甘肃城关兰州一中高三三模（理））已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A ．21[3,]3e --B ．2[,)e +∞C ．21[,]3eD ．1[,)3+∞8．（2020·吉化第一高级中学校高三其他（理））已知函数18ln (,)y a x x e e ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的图象上存在点P ，函数22y x =--的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（ ）A ．2[68ln 2,6]e --B ．2[6,)e -+∞C ．2110,e⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ D ．2168ln 2,10e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦9．（2020·安徽金安六安一中高三其他（理））若函数()ln f x x x h =-++，在区间1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任取三个实数a ，b ，c 均存在以()f a ，f b ，()f c 为边长的三角形，则实数h 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．11,3e e ⎛⎫--⎪⎝⎭C ．11,e ⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D ．()3,e -+∞10．（2020·陕西高三其他（理））已知函数1()1,0x x f x xe x -≤=+>，点,A B 是函数()f x 图象上不同 两点，则AOB ∠（O 为坐标原点）的取值范围是（ ） A ．(0,)4π B ．(0,]4πC ．(0,)3πD ．(0,]3π11．（2020·甘肃靖远高三其他（理））设函数()f x 是定义在[)1,+∞上的单调函数，且[)1,x ∀∈+∞，()()ln 0f f x x x +-=．若不等式()()()1f x f x a x '-≤-对[)1,x ∈+∞恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],1-∞D ．[)1,+∞ 12．（2020·湖南衡阳高三三模（理））设()f x ，()g x 分别为定义在[],ππ-上的奇函数和偶函数，且()()2cos x f x g x e x +=（e 为自然对数的底数），则函数()()y f x g x =-的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．（2020·四川宜宾�高三其他（理））对x R ∀∈，不等式2()x x e m e m x -≥恒成立，则实数m 的取值范围是_______14．（2020·全国高三课时练习（理））已知函数()x e f x x =，22()(1)g x x a =--+，若当0x >时，存在1x ，2x R ∈，使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是_____________.15．（2020·岳麓湖南师大附中高三其他（理））已知函数2()f x x m =+与函数11()ln 3,22g x x x x ⎛⎫⎡⎤=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象上至少存在一对关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是________.。
2020-2021学年高考数学(理)函数及其性质尖子生同步培优题典答案详解(19页)
2020-2021学年高考数学（理）函数及其性质尖子生同步培优题典专题12函数及其性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2019·浙江高三月考）已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4][2,)-∞-+∞ B ．[1,2]- C ．[4,0)(0,2]- D ．[4,2]-【答案】D 【解析】 【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a的取值范围. 【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩，解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.2．（2020·武威第六中学高三其他（理））函数()()311x x e f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x x x e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ；又因为()()()33311211x x xe f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →,故选：D3．（2020·安徽庐阳合肥一中高三其他（理））设正实数a ，b ，c 满足222sin 2log 1b e a a b c c -=⋅==，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ． c a b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．a b c >>【答案】C 【解析】 【分析】由题意作函数()221,0y e x x =-≥、()sin ,0y x x =≥的图象，结合当12x =时，2211sin 2e x ->可得102a <<；由函数()2,0x x y x ⋅>=的单调性可得112b <<；再由21log 0c c=>结合对数函数的性质可得1c >；即可得解.【详解】由222sin 2log 1be a a b c c -=⋅==可得：221sin e a a -=，21log c c=，在同一坐标系中分别作函数()221,0y e x x =-≥、()sin ,0y x x =≥的图象如图：当12x =时，22211142e e x -=->，11sin sin 262π<=，此时2211sin 2e x ->， 所以当221sin e x x -=时，102x <<即102a <<；由函数()2,0xx y x ⋅>=单调递增且1212122⋅=<、1221⋅=>可得112b <<；由21log 0c c=>可得1c >； 所以112c b a >>>>. 故选：C.4．（2020·湖南雨花雅礼中学高三月考（理））已知函数()cos(2)f x x ϕ=+(π||2ϕ<)，()()()F x f x f x '=+为奇函数，则下述四个结论中说法正确的编号是（ ）①tan ϕ=②()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭有且仅有一个极大值点； ③()f x 在[,]a a -上存在零点，则a 的最小值为π6；④()F x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； A ．①② B ．①③④ C ．③④ D ．②③④【答案】C 【解析】 【分析】根据()F x 为奇函数，求出π6ϕ=，可知①错误；当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当5ππ,122x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，可知②错误；根据函数()f x 的零点为ππ26k +，k ∈Z ,可知③正确；当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2y x =为单调递减函数，可知④正确.【详解】因为()cos(2)f x x ϕ=+，所以()2sin(2)f x x ϕ'=-+，所以π()()()cos(2))2cos 223F x f x f x x x x ϕϕϕ⎛⎫'=+=+-+=++ ⎪⎝⎭ 因为()F x 为奇函数，则(0)0F =，即πcos 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈，因为π||2ϕ<，所以π6ϕ=，对于①，tan tan63πϕ==，故①错误； 对于②，因为π()2sin 26f x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当5ππ,122x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在一个极小值点，没有极大值点，故②错误； 对于③，令()cos 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得ππ26k x =+，k ∈Z ，若()f x 在[,]a a -上存在零点，则0a >且a 的最小值为π6，故③正确；对于④，()2cos 22sin263F x x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，当3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,232x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()F x 在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故④正确； 故选：C.5．（2020·福建高三其他（理））若{},,min ,,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，()()(){}min ,h x f x g x =，关于函数()h x 的以下结论：①T π= ①对称轴方程为212k x π+=，k Z ∈ ①值域为⎡⎤⎣⎦①在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 其中正确的是（ ） A ．①① B ．①① C ．①①① D ．①①①【答案】D 【解析】 【分析】根据()()(){}min ,h x f x g x =定义求出函数()h x 的解析式，然后画出()h x 的图象，结合图像即可判断()h x 的结论. 【详解】解:()()(){}sin cos ,cos 0,min ,sin cos ,cos 0,x x x h x f x g x x x x +≤⎧==⎨->⎩3,22,422,22,422x k x k x k x k ππππππππππ⎛⎫++≤≤+ ⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪--<<+ ⎪⎪⎝⎭⎩()k Z ∈. 因为()(),f x g x 都是周期为2π的函数，所以()h x 的周期为2π，①错误； 如下图所示（一个周期内图象）：()h x 的对称轴方程为：2122k x k πππ+=+=，k Z ∈，①正确； 由图直接得知①正确；当3,(,)35,,()44442x x x f x ππππππ⎛⎛⎫++∈ ⎪⎫∈=⎝⎭⎪⎝⎭， ()f x ∴在区间35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，①正确. 故选：D.6．（2020·河南开封高三二模（理））已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意实数x ，恒有()()3f x f x +=-，且当30,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()268f x x x =-+，则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．6B ．3C ．0D ．3-【答案】B 【解析】由题得()()6[(3)3]3[()]()f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以函数的周期为6.由题得(0)0,(1)1683,f f ==-+=(2)(2)(23)(1)3f f f f =--=-+==， (3)(3)(33)(0)f f f f =--=-+=，(4)(4)(43)(1)(1)3f f f f f =--=-+=-=-=-， (5)(5)(53)(2)(2)3f f f f f =--=-+=-=-=-所以(0)(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f f +++++=， 所以()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=336[(0)(1)(2)(3)(4)(5)](0)(1)(2)(3)(4)3f f f f f f f f f f f ++++++++++=.故选：B.7．已知函数2ln ,1()13,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若实数12,x x 满足12x x ≠，12()()4f x f x +=，则12x x +的取值范围为（ ） A ．[)3,+∞ B ．()32ln 2,-+∞ C ．[)32ln 2,-+∞ D ．[)32ln 2,++∞【答案】C 【解析】【详解】画出()f x 的图像如图所示，可知()f x 为R 上的单调递增函数，由于(1)2f =，不妨设12x x <，可知121x x ， 故112213(),()2ln 22f x x f x x =+=+ ，12132ln 422x x +++=，1212ln x x ∴=-，122212ln x x x x不妨设()12ln ,1g x x x x =-+>，22'()1,1x g x x x x-=-=> 故()g x 在(1,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增， 则min ()(2)32ln 2g x g ==-，所以12x x +的最小值为32ln 2-. 故选：C.8．函数()f x 的定义域为(32,3)a a --，若(1)f x +为偶函数，且当(2,5)x a a ∈时，()x f x a =，则（ ） A ．13(3)()()32f a f f a a << B ．31(3)()()23f a f a f a<< C ．13()(3)()32f f a f a a<< D ．13()()(3)32f f a f a a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据(1)f x +为偶函数，则(1)(1)-+=+f x f x ，得到函数()f x 的图象关于直线1x =对称．再根据(1)f x +为偶函数，()f x 的定义域关于1x =对称解得a ，然后利用指数函数的单调性求解. 【详解】因为(1)f x +为偶函数，则(1)(1)-+=+f x f x ， 故函数()f x 的图象关于直线1x =对称． 又函数()f x 的定义域为(32,3)a a --， 则32321a a -+-=⨯，解得12a =，故当5(1,)2x ∈时，()1()2xf x =单调递减， 又()33()2f a f =，1224()()(2)()3333f f f f a ==-=，3335()()(2)()2444f a f f f ==-=， 所以345()()()234f f f <<， 即13(3)()()32f a f f a a <<， 故选：A ．9．（2020·四川资阳高三其他（理））已知函数()1f x +是定义在R 上的奇函数，当1x ≤时，函数()f x 单调递增，则（ ）A ．()()222342log 4log 33(log f f f >>B ．()()222243log log 3log 4(f f f >>C ．()()222324log 4log o (l g 3f f f >>D ．()()222432log 3log 43(log f f f >> 【答案】A【解析】因为函数()1f x +是定义在R 上的奇函数，所以函数()f x 关于点()1,0对称， 又当1x ≤时，()f x 单调递增，所以()f x 在R 上单调递增，所以()2f x 的图象关于直线1x =对称，且当1x ≥时，()2f x 单调递增.因为334log 41log 3-=，44434log 31log =log 43-=，244147log 1log 1log 36-=-=，且34444487log log log log 3366>=>，所以222342log 4log 3lo ()(3)(g f f f >>. 故选：A 【点睛】本题考查函数的性质与对数函数的综合应用，考查数学抽象与逻辑推理的的核心素养.对数函数值大小比较：（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底; （2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”;（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.10．（2020·福建高三其他（理））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当[]0,2x ∈时，()()411f x x =--.对于任意不小于2的正整数n ，当122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦时，都满足()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.给出以下命题： ①()f x 的值域为[]4,4-；②当6722,22x ⎡⎤∈--⎣⎦时，()10,8f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； ③当210a <<时，方程()log 0a f x x -=有且只有三个实根. 以上三个命题中，所有真命题的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③【答案】A【解析】因为当122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦时，都满足()1122x f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当[]2322,22,10,22xx ⎡⎤∈---∈⎣⎦时，()112111=2122222x x x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当[]3422,22,12,62x x ⎡⎤∈---∈⎣⎦时，()111122242x x f x f ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而类推可得当122,22n n x +⎡⎤∈--⎣⎦时，()3123312111111121322222222n n n n n n n x x f x -------⎛⎫⎛⎫=------=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11231131()[0,22,221]222n n n n n x xf x +---⎡⎤∈--∴-≤⎣⎦-+≤∴∈当6722,22x ⎡⎤∈--⎣⎦时，()3541111322,820x f x ⎛⎫=--+ ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎝⎭⎦⎪，即②正确； 当[0,)x ∈+∞时，311[0,4][0,2][0,1][0,][0,][0,4]()[0,4]22n f x -=∴∈因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()[4,4]f x ∈-，即①正确； 当210a <<时，由图可知 (),log a y f x y x ==不止三个交点，所以③错误；故选：A二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2020·全国高三课时练习（理））设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且g (x )≠0，当x <0时，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (－3)＝0，则不等式()()0f xg x <的解集是___________. 【答案】()(),30,3-∞- 【解析】 【分析】 设()()g()f x h x x =，求导后，利用已知条件确定导数的正负，从而得()h x 在(,0)-∞上的单调性．确定()h x 的奇偶性，得()h x 在(0,)+∞上的单调性，由单调性可得不等式的解． 【详解】因为f (x )和g (x )(g (x )≠0)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x ).因为当x <0时，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0，当x <0时，2()()()()()0()()f x f x g x f x g x g x g x '''⎡⎤-=>⎢⎥⎣⎦， 令h (x )＝()()f x g x ,则h (x )在(－∞，0)上单调递增，因为h (－x )＝()()()()f x f x g x g x --=-＝－h (x )，所以h (x )为奇函数，根据奇函数的性质可得函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为f (－3)＝－f (3)＝0，所以h (－3)＝－h (3)＝0， h (x )<0的解集为(－∞,－3)∪(0,3). 故答案为：(－∞,－3)∪(0,3).12．（2020·安徽定远高三其他（理））已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________． 【答案】4 【解析】∵函数()1f x +是奇函数∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则()()2f x f x -=-.又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=--∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+= ∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称. 画出函数()f x 的图象如图所示①∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为12442⨯⨯=. 故答案为4.【点睛】：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．（2020·河南新乡高三三模（理））函数f （x ）＝22,01,0x x x nx x ⎧+⎨>⎩，则f （f （1e ））＝_____． 【答案】﹣1【解析】 【分析】先计算出11e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算()1f -得值，由此得出结果. 【详解】依题意得1(1)1e f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1-14．（2020·全国高三课时练习（理））设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨-≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a ≤【解析】 【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可. 【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a -+≤， 解得()21f a -≤≤，所以()20f a -≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a -≤，因为2()2f a ≥-恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则22a a a <⎧⎨+≥-⎩或 22a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得a ≤故答案为：a ≤15．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））对于函数()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩．现有下列结论：①任取1x ，[)22,x ∈+∞，都有()()121f x f x -≤；②函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；③函数()y f x =在[]4,5上单调递增；④若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则123x x +=．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）【答案】①②④ 【解析】 【分析】作出函数()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图象，求出[)2,x ∈+∞时的最大值和最小值，可判断①；由图可直接判断②③④，进而可得答案. 【详解】()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩的图象如图所示：①当[)2,x ∈+∞时，()f x 的最大值为12，最小值为12-，∴任取1x ，[)22,x ∈+∞，都有()()121f x f x -≤恒成立，故①正确；②如图所示，函数()y f x =和()ln 1y x =-的图象有3个交点，即()()ln 1y f x x =--有3个零点，故②正确；③函数在区间[]4,5上的单调性和[0]1，上的单调性相同，则函数()y f x =在区间[]4,5上不单调，故③错误；④当12x ≤≤时，函数()f x 关于32x =对称，若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同实根1x ，2x ，则12322x x +=，则123x x +=成立，故④正确； 故答案为：①②④.。
专题6.2立体几何综合应用-2021年高考数学(理)尖子生培优题典(解析版)
2 / 22021学年高考数学（理）尖子生同步培优题典专题6.2立体几何综合应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·浙江月考）设m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列选项中不正确的是（ ）A ．当n⊥α时，“n⊥β”是“α⊥β”成立的充要条件B ．当时，“m⊥β”是“αβ⊥”的充分不必要条件C ．当时，“n//α”是“”必要不充分条件D ．当时，“”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】A,B,D 正确；C 错误．,////m n m n m n αα⊂⇒或与异面；,////;m n m n n ααα⊂⇒⊂或所以当m α⊂时，//n α是//m n 的既不充分又不必要条件.故选C2．（2019·六盘山高级中学高三期末（理））如图正方体的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F 且2EF ，则下列结论错误的是（ ）2 / 2A ．AC 与BE 所成角为45︒B ．三棱锥A BEF -的体积为定值C ．//EF 平面ABCD D ．二面角A EF B --是定值 【答案】A【解析】选项A ，AC ⊥BD ⊥AC ⊥BB 1，且BD 1,BB B ⋂=可得AC ⊥面DD 1B 1B ，即得AC ⊥BE ，此命题错误； 选项B, 由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD 1B 1B 距离是定值，故三棱锥A ⊥BEF 的体积为定值，此命题正确；选项C ，由正方体ABCD ⊥A 1B 1C 1D 1的两个底面平行，EF 在其一面上且EF 与平面ABCD 无公共点，故EF ∥平面ABCD ，此命题正确；选项D ，由于E ⊥F 为线段B 1D 1上有两个动点，故二面角A ⊥EF ⊥B 的平面角大小始终是二面角A ⊥B 1D 1⊥B 的平面角大小，为定值，故正确； 故选A.3．（2020·长春市第八中学一模（理））如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23P P 上滑动，且22P B P C x ==，现将1APB ∆，3AP C ∆分别沿AB ，AC 折起使点13,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥P ABC -.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当,B C 分别为12PP 、23PP的中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为6π；2 / 2③x 的取值范围为(0,42)-；④三棱锥P ABC -体积的最大值为13. 则正确的结论的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题意得，折叠成的三棱锥P ﹣ABC ⊥三条侧棱满足P A ⊥PB 、P A ⊥PC ，在①中，由P A ⊥PB ，P A ⊥PC ，且PB PC P =，所以AP ⊥平面PBC 成立，故①正确；在②中，当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ﹣ABC ⊥三条侧棱两两垂直，三棱锥P ﹣ABC 的外接球直径等于以P A 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1x =，得外接球的半径R 2246x x ++=，所以外接球的表面积为2264462S R πππ⎛==⨯= ⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P 的边长为2，所以(0,2)x ∈，2BC x =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得2x -+22x x ->，解得(0,42)x ∈-，故③正确；在④中，正方形123APP P 的边长为2，且22PB PC x ==，则2PB PC x ==-， 所以()()222111sin 223263P ABCA PBCx VV CP BP CPB AP x ---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,42)-上递减，无最大值，故④错误. 故选：C4．（2020·河北衡水·月考（理））在菱形ABCD 中，4,60AB A ︒=∠=，将ABD △沿对角线BD 折起使得2 / 2二面角A BD C --的大小为60°，则折叠后所得四面体ABCD 的外接球的半径为（ ）A 213B 13C 43D 39 【答案】A【解析】：如图，取BD 的中点记为O ，连接OC ，OA ，根据题意需要找到外接球的球心， 取OC 上离O 点近的三等分点记为E ，同理取OA 上离O 点近的三等分点记为F ， 自这两点分别作平面BDC 、平面ABD 的垂线，交于点P ， 则P 就是外接球的球心，连接OP ，CP ，由菱形的性质得AOC ∠就是二面角A BD C --的平面角，所以AOC △是边长为3423=33OE =. 在POE △中，30POE ︒∠=，所以23PE =.又43CE =，2 / 2所以213PC R ==. 故选：A.5．（2020·河南月考（理））3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10 2 cm 2．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取π 3.14=，精确到0.1）A ．609.4gB ．447.3gC ．398.3gD ．357.3g【答案】C【解析】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为102cm，所以半径为52cm OB =．2 / 2因为母线与底面所成角的正切值为tan 2B =10cm PO =．设正方体的棱长为a ，2DE a =21021052aa -=，解得5a =． 所以该模型的体积为(()2331500ππ52105125cm 33V =⨯⨯-=-． 所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g 33⎛⎫-⨯=-≈⎪⎝⎭． 故选：C ．6．（2020·全国开学考试（理））在直三棱柱111ABC A B C -中，22AB =3BC =，π4ABC ∠=，若该三棱柱的外接球表面积为26π，则三棱柱的高为（ ） A ．2 B ．42C ．4D ．2【答案】C【解析】在ABC 中，222π2cos54AC AB BC AB BC =+-⋅⋅=，得5AC = 所以ABC 的外接圆半径115102sin 222AC r ABC =⨯==∠. 设该三棱柱的高为h ，则该三棱柱的外接球半径22211022h R r h ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以外接球表面积()2214π4π1026π4S R h ==⨯+=.解得4h = 故选：C2 / 27．（2020·全国月考（理））我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为（ ）图（1） 图（2）A ．9929π+B ．181829π+C ．1818218π+D ．189218π+【答案】C【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，故所求表面积()23336332321821S πππ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=+.故答案为：C.8．（2020·山西运城·月考（理））如图，正三角形ABC 为圆锥的轴截面，D 为AB 的中点，E 为弧BC 的中点，则直线DE与AC 所成角的余弦值为（）2 / 2A ．13B ．12C ．22D ．34【答案】C【解析】如图所示，取BC 中点O ，BO 中点F ，连接,,,OD OE FE DF ，则//OD AC , 所以ODE ∠就是直线DE 与AC 所成角， 设4AB =，则2OD =，1OF =，2OE =，可得223DF OD OF -=225EF OE OF =+=则2222DE DF EF =+=因为E 为弧BC 的中点，可得OE BC ⊥,进而可得OE ⊥平面ABC ， 因为OD ⊂平面ABC ，所以OE OD ⊥,在直角ODE ∆中，可得2cos 2OD ODE DE ∠==， 即直线DE 与AC2 故选：C.2 / 29．（2020·山西运城·月考（理））在四面体ABCD 中，23AB AC ==6BC =，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 3若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是（ ）.A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π【答案】B【解析】因为23AB AC ==6BC =，所以2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅，则23sin 1cos 2BAC BAC ∠=-∠=， 则113sin 23233322ABCSAB AC BAC =⋅⋅⋅∠=⋅=， 因为AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 31333ABCS AD AD =⋅⋅=，则1AD =；设ABC 的外接圆半径为r ，记ABC 外接圆圆心为1O ，连接1AO ，由正弦定理可得，243sin 3BC r BAC ===∠，则123AO r ==设外接球的半径为R ，连接1OO ，2 / 2根据球的性质可得，1OO ⊥平面ABC ，又AD ⊥平面ABC ，所以1//AD OO ，延长1O O 到E ，使得1O E AD =，连接DE ，则四边形1AO ED 为矩形；所以1AO DE = 连接OA ，OD ，则OA OD R ==， 所以1Rt DEORt AO O ，所以11122OO OE AD ===， 因此22211114912444R OA AO OO r ==+=+=+= 因此球O 的表面积是2449S R ππ==.故选：B.10．（2020·河北石家庄·高三月考）已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ） A ．25︰1 B ．1︰25C ．1︰5D ．5︰1【答案】D2 / 2【解析】设点O 是三棱柱外接球和内切球的球心，点M 是底面等边三角形的中心，点N 是底边AB 的中点，连结OM ，MN ，AM ，OA ，设底面三角形的边长为a ，则3MN a =，23MA =， 因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以3OM MN ==，即三棱柱内切球的半径33r a =， 23AM =，所以2215OA OM AM =+=，即三棱柱外接球的半径15R =， 所以内切球的表面积为22443r a ππ=，外接球的表面积222043S R a ππ==， 所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为22204:5:133a a ππ=11．（2020·湖北高三二模（理））已知，如图正三棱锥P ABC -2，底面边长为2，D 为AC 中点，E 为AB 中点，M 是PD 上的动点，N 是平面PCE 上的动点，则AMMN+最小值是（ ）2 / 2A 26+B 13+ C 6D 3【答案】B【解析】取CB 中点F ,连接DF 交CE 于点O ,易证得DO ⊥面PCE ,要求AM MN +最小,即求MN 最小,可得MN PCE ⊥平面，又可证明//MN DF ,再把平面POD 绕PD 旋转,与面PDA 共面,又可证得90POD ∠=︒.12PD AC =，1111122242DO DF AB AB ==⨯==， 1sin 2OD OPD PD ∴∠==，即30OPD ∠=︒， 453075APN '∴∠=︒+︒=︒，可得62sin 75︒+=， ()min 31sin 752AM MN AN PA '+==⋅︒=. 故选:B.2 / 212．（2020·安徽合肥·高三三模（理））在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线长等于（ ）A ．23πB ．πC ．43π D 2π【答案】A【解析】如下图所示：当P 在面11DCC D 内时，AD ⊥面11DCC D ，CM ⊥面11DCC D ； 又APD MPC ∠=∠， 在Rt PDA △与Rt PCM 中， ∵6AD =，则3MC =，∴tan tan AD MCAPD MPC PD PC ∠==∠=，则63PD PC=， 即2PD PC =． 在平面11DCC D 中，以DC 所在直线为x 轴，以DC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()3,0D -，()3,0C ，设(),P x y ， 由2PD PC =()2222(33)2x y x y ++=-+整理得：221090x x y -++=，即()22516x y -+=．2 / 2∴点P 的轨迹是以()5,0F 为圆心，半径为4的圆．设圆F 与面11DCC D 的交点为E 、M ，作EK 垂直x 轴于点K ，则21sin 42EK EFK EF ∠===； ∴6EFK π∠=；故点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线为劣弧ME ，所以劣弧ME 的长为2463ππ⨯=. 故选：A ．二、填空题13．（2020·安徽蚌埠·高三月考（理））如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把AEF ，CBE △，CFD △折起构成一个三棱锥P CEF -（A ，B ，D 重合于P 点），则三棱锥P CEF -的外接球与内切球的半径之比是______.【答案】26【解析】因为,,PC PE PF 两两垂直，所以三棱锥PCEF-的外接球也是以,,PC PE PF 为长，宽，高的2 / 2长方体的外接球，设其外接球半径为R ，正方形边长为2，所以2PC =，1PE PF ==，即2222112R =++6R =． 因为三棱锥P CEF -的表面积S 即为正方形的面积，22=4S =⨯，设其内切球的半径为r ， 所以1111111232323P CEF V PE PF PC -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，141333P CEF V Sr r -===，即14r =．因此，622614Rr==故答案为：2614．（2020·河南月考（理））已知半径为4的球面上有两点A ，B ，且23AB =O ，若球面上的动点C 满足：OA 与ABC 所在截面所成角为60°，则四面体OABC 的体积的最大值为________. 【答案】6【解析】:设ABC 所在截面圆的圆心为1O ，AB 中点为D ，连接1O A ，OD ，1O D ，则，即160O AO ∠=︒，得123OO =，12O A =，由OA OB =，所以⊥OD AB ，同理1O D AB ⊥.因为4OA OB ==，23AB =13OD =在1Rt ODO △中，得11O D =，因为四面体OABC 的体积为1111123233232V OO AB h h =⨯⨯⨯=⨯⨯， 连接CD ，当CD 过1O 时，CD AB ⊥且最大11123CD O DO A =+=+=，2 / 2所以四面体OABC 的体积的最大值1123233632V =⨯⨯⨯⨯=. 故答案为:615．（2020·云南昆明一中其他（理））如图，正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，线段AC 1上有两个动点E 、F ，且EF 3=3，给出下列四个结论:①CE ⊥BD②三棱锥E - BCF 的体积为定值③∆BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形 ④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线 其中，正确的结论是____________ 【答案】①②③④【解析】因为BD ⊥平面1ACC ，所以BD CE ⊥，故①对；因为点C 到直线EF 的距离是定值，点B 到平面CEF 的距离也是定值，所以三棱锥B CEF -的体积为定值，故②对；线段EF 在底面ABCD 上的正投影是线段GH ，所以△BEF 在底面ABCD 内的正投影是△BGH .又因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 是定值，从而△BGH 的面积是定值，故③对；2 / 2设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故④对. 所以正确结论是①②③④．故答案为：①②③④16．（2020·河南中原·高三一模（理））在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱11B C ，11C D 的中点，过A ，M ，N 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面11ADD A 作投影，则投影图形的面积为______．【答案】214【解析】：直线MN 分别与直线11A D ，11A B 交于E ，F 两点，连接AE ，AF ，分别与棱1DD ，1BB 交于G ，H 两点，连接GN ，MH ， 得到截面五边形AGNMH ，向平面11ADD A 作投影，得到五边形111AH M D G ，由点M ，N 分别是棱11B C ，11C D 的中点，则1145C NM D NE ∠=∠=，所以在1Rt ED N △中，1123D E D N ==，2 / 2由1D EG DAG △∽△，则11D E D GAD DG=，即：131232D G DG ==，而13DG D G +=，可得122DG D G ==， 同理122BH B H ==，则11122AH A H ==，111123A M D M ==， 则1111111113212411333222AH M D G AA D D A H M ADG S S S S =--=⨯-⨯⨯-⨯⨯=.故答案为：214．17．（2020·威远中学校高二月考（理））如图，四棱锥P ABCD -中，1AP =，矩形ABCD 的周长为8，当三棱锥A PCD -的体积最大时，该三棱锥的外接球半径与内切球半径分别为R 和r ，则1R r+的值为______.253++2 / 2【解析】不妨设,AD a DC b ==，要使得棱锥A PCD -体积最大， 则三角形ADC 面积最大且AP ⊥底面ADC . 由题可知4a b +=，且AD DC ⊥， 故()21112224ADCSab a b =≤⨯+=，当且仅当2a b ==时取得最值. 综上所述：要满足题意，则需AP ⊥平面ADC ，且2AD DC ==. 在长宽高分别为2,2,1的长方体中截取满足题意的棱锥，如下图所示：故该三棱锥外接球半径和长方体外接球半径相等，即2222132R ++==.设三棱锥A PCD -的内切球球心为O ，内切球半径为r ， 则容易知P ADC O PAC O PAD O PDC O ADC V V V V V -----=+++，即()133ADC PACPADPDCADCr S AP S SSS⨯=+++则1111112212212125223232222r ⎛⎫⨯⨯⨯⨯=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得352r =++2 / 2故1R r +33522++==253++. 故答案为：2532+.三、解答题18．（2020·山西运城·月考（理））如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，120ADC =∠︒，且//DE FC ，DE ⊥平面ABCD ，22DE FC ==.（1）证明：平面FBE ⊥平面EDB ； （2）求二面角A EB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）57-.【解析】：（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，取EB 的中点H ，连接FH ，HO .2 / 2∵四边形ABCD 为菱形，点H 是EB 的中点，//DE FC ， ∴//HO FC ，12HO ED FC ==， ∴四边形CFHO 为平行四边形，∴//FH CO .∵DE ⊥平面ABCD ，CO ⊂平面ABCD ，∴DE CO ⊥. 又∵CO BD ⊥，ED BD D =，∴CO ⊥平面EDB ，∴FH ⊥平面EDB . 又FH⊂平面FBE ，∴平面FBE ⊥平面EDB .（2）连接EC ，以点O 为坐标原点，分别OB ，OC ，OH 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.由题意得()0,3,0A -，()3,0C ，()1,0,0B ，()1,0,2E -，2 / 2则()2,0,2EB =-，()1,3,0AB =，()3,0BC =-.设平面AEB 的法向量为()111,,m x y z =，则00EB m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111122030x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取31,3m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面CEB 的法向量为()222,,n x y z =，则00EB m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222222030x z x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取31,1n ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭. ()()331111335cos ,711111133m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯-+⨯- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭===-⋅++⨯++， ∴二面角A EB C --的余弦值为57-.19．（2015·宁夏银川·高三月考（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =1C H ⊥平面11AA B B ，且1 5.C H =（⊥）求异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值；（⊥）求二面角111A AC B --的正弦值；（⊥）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面111A B C ，求线段BM 的长．2 / 2【答案】（⊥2；（⊥35；（⊥10【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B 为坐标原点，BA 所在直线为x 轴，1BB 所在直线为y 轴， 由题意，111(0,0,0),(22,0,0),(2,2,5),(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)B A C A B C -，（⊥）11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-，所以1111112cos ,||||322AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉===⨯，设异面直线AC 与11A B 所成角为α，则cos α=112|cos ,|3AC A B 〈〉=， 所以异面直线AC 与11A B 所成角的余弦值为23. （⊥）易知111(0,22,0),(2,2,5)AA AC ==--， 设平面11AA C 的法向量(,,)m x y z =，2 / 2则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即225020x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令5x =，则2z =，所以(5,0,2)m =，同理，设平面111B AC 的法向量(,,)n x y z =，则111100n A C n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即225020x y z x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 令5y =，则2z =，所以(0,5,2)n =，所以2cos ,7||||77m n m n m n ⋅〈〉===⋅⋅，设二面角111A AC B --的大小为θ，则2235sin 1()77θ=-=， 所以二面角111A AC B --35. （⊥）由N 为棱11B C 的中点，得2325N ⎝⎭， 设(,,0)M a b ，则2325,,222MN a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 由MN ⊥平面111A B C ，得111100MN A B MN A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2 / 22(22)022325(2)(2)50a a b ⎧⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎫⎫⎪-⋅-+-⋅-+=⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得2224a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2224M ⎛⎫⎪⎝⎭，因此2224BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以线段BM 的长为10||BM =.20．（2020·江苏海安高级中学高三月考）如图，在空间之间坐标系O xyz -中，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上，其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ，顶点P 在z轴上，且2PA AD CD ===，3BC =.（1）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小；2 / 2（2）设E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，求二面角F AE P --的正弦值. 【答案】（1）45；（26. 【解析】因为四棱锥P ABCD -的底面ABCD 在平面xOy 上， 其中点A 与坐标原点O 重合，点D 在y 轴上，CD AD ⊥，//BC AD ， 顶点P 在z 轴上，且2PA AD CD ===，3BC =， 所以()0,0,0A ，()2,1,0B -，()2,2,0C ，()0,2,0D，()002P ,,.（1）()2,1,2PB =--，()2,2,2PC =-，()0,2,2PD =-，设平面PCD 的一个法向量为(),,u x y z =，则00u PC u PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1z =，则0x =，1y =，得()0,1,1u =.所以2cos ,232u PB u PB u PB⋅===-⨯⋅.所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为45；（2）因为E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，所以()0,1,1E ，224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面AEF 的一个法向量为(),,m a b c =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即02240333b c a b c +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取1b =，则1a =，1c =-，得()1,1,1m =-.2 / 2又平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =，所以3cos ,331m n m n m n⋅===⨯⋅. 所以二面角F AE P --6. 21．（2020·天津北辰·二模）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析 【解析】（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，2 / 2所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,23)O A B C D G P --，(1,3),(3)E F --，(0,2,0),(1,2,3)EF EG =-=，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,230,y x y z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则 (3,01)m =，，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ，2 / 2所以()221cos 2311m n m nθ⋅===+⨯.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ， 使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π， 即直线GM 与平面EFG 法向量m 所成的角为3π， 设PM PA λ=，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以)()2,4,231GM λλ=--所以23coscos ,32467GM m πκλ==-+，整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M .22．（2020·河南中原·月考（理））如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点．2 / 2()1求证：AC OB ⊥；()2若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()22114. 【解析】解：()1由题意，得SO ⊥底面圆O ，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点，∴//CD SO， CD ⊥底面圆O ，OB在底面圆O 上，∴OB CD ⊥．60AOB ∠=︒，∴AOB 为正三角形，又因为D 为OB 的中点，∴OB AD ⊥， 又因为ADCD D =，且AD ⊂平面ACD ， C D ⊂平面ACD，∴OB ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，∴AC OB ⊥．()2如图，以D 为原点，DA ，DB ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，2 / 2 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！则()3,0,0A ，()0,0,2C ，()0,1,0O -，()0,1,4S -， 故()3,0,2AC =-，()3,1,4AS =--，()3,1,0OA =， 设平面SOA 的法向量为(),,n x y z =，由00n AS n OA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得34030x y z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =，得()1,3,0n =-为平面SOA 的一个法向量， 设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ， 则300321sin cos ,14133427n ACn AC n AC θ⋅-++=〈〉====+⨯+⋅，即直线AC 与平面SOA 21．。
2.1.2指数函数及其性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典(人教A版必修1)
专题2.1.2 指数函数及其性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()f x = ） A ．(2,)-+∞ B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,2)-∞-【答案】B【解析】要使函数有意义，需满足2113027x --≥，即：21333x --≥，因为3xy =为增函数，所以213x -≥-，解得：1x ≥-.2．（2020·浙江高一课时练习）函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,2]-∞D ．(0,2]【答案】D【解析】由二次函数的性质可知222(1)1[1,)x x x -=--∈-+∞，因此221(0,2]2x xy -⎛⎫=∈⎪⎝⎭，即函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,2].3．（2020·安徽高一月考）若函数xy a b =-，（0a >，且1a ≠）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（ ） A ．01a <<且1b > B ．1a >且1b > C ．01a <<且1b < D ．1a >且1b <【答案】B【解析】根据指数函数的图象和性质可知，要使函数y ＝a x ﹣（b +1）（a ＞0且a ≠1）的图象经过第一、三、四象限，则函数为增函数，∴a ＞1，且f （0）＜0，即f （0）＝1﹣b ＜0，解得b ＞1．4．（2020·上海华师大二附中高一期末）若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．5．如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【答案】C【解析】根据函数()1()2x f x =在R 是减函数，且1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10b a >>>，所以a ab a b a <<，故选C .6．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f(1)=得a 2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x -4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.7．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是 A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x ) D ．与x 有关，不确定【答案】A【解析】∵f （1+x ）＝f （1﹣x ），∴f （x ）图象的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2．又f （0）＝3，∴c ＝3． ∴f （x ）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f （3x ）≥f （2x ）． 若x ＜0，则3x ＜2x ＜1，∴f （3x ）＞f （2x ）．∴f （3x ）≥f （2x ）． 8．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当01a <<时，2x y a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值202155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以2021551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C 选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2xy a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值2021524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意.故选：D.9．（2020·河南高一月考）已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=.若存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为（ ） A ．35B ．35C ．1D ．-1【答案】A 【解析】()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且()()2x g x h x -=①，()()()()2x g x h x g x h x -∴---=+=②①②两式联立可得()222x x g x -+=，()222x x h x --=.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ----≤==-+++，∵2141xy =-+在[]1,1x ∈-为增函数，∴max231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选：A. 10．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列五个关系式：①0<b<a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b.其中，不可能成立的有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】作y ＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与y ＝13x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象．当a ＝b ＝0时， 1123a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当a<b<0时，可以使1123a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当a>b>0时，也可以1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.故选B.11．（2020·四川西昌高一期末）已知函数()228f x x x =+-，则不等式()13516x f --≤的解集是（ ）A ．[]1,3B ．[]1,9C ．[)1,∞D ．(],3-∞【答案】A【解析】函数()228f x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且()()()222828f x x x x x f x -=-+--=+-=，该函数为偶函数，当0x ≥时，()()222819f x x x x =+-=+-，该函数在区间[)0,+∞上为增函数，由()13516x f --≤，得()()1354x f f --≤，1354x -∴-≤，即14354x --≤-≤，得1139x -≤≤，可得012x ≤-≤，解得13x ≤≤.因此，不等式()13516x f --≤的解集是[]1,3.12．（2020·广东濠江金山中学高一期末）已知函数2()33x xf x -=+，则（ ）A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于y 轴对称【答案】C【解析】930,xt y t t =>=+，根据对勾函数的图像特征，9y t t=+在(0,3)单调递减，在(3,)+∞单调递增，3x t =在R 上单调递增，根据复合函数的单调性可得，当(0,3)t ∈，即(,1)x ∈-∞，函数2()33x x f x -=+单调递减，当(3,)t ∈+∞，即(1,)x ∈+∞，函数2()33x x f x -=+单调递增，所以选项A,B 错误； 由22(2)2(2)3333()xx x x f x f x -----=+=+=，()y f x =的图像关于直线1x =对称，选项C 正确；由82(1)6,(1)3f f =-=，()y f x =的图像不关于y 轴对称，选项D ，错误.故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则该函数的单调递增区间是__________.【答案】(,1]-∞-【解析】由题得函数的定义域为R .设2122,()2uu x x v =++=，函数222,u x x =++在∞(-,-1]单调递减，在[1,)-+∞单调递增，函数1()2u v =在其定义域内单调递减，所以2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在∞(-,-1]单调递增，在[1,)-+∞单调递减.14．已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________. 【答案】52【解析】设2x t =，02x ≤≤，则14t ≤≤，()12221114325353222x x y t t t -=-⨯+=-+=-+，故当1t =，即0x =时，函数有最大值为52. 15．已知函数|2|()21x f x -=-在区间[0,]m 上的值域为[0,3]，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[2,4] 【解析】函数()221x f x -=-的对称轴为2x =，且在(],2-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由函数()221x f x -=-在区间[]0,m 上的值域为[]0,3，知022,m ≤-≤ 即[]2,4m ∈。
2021学年高考数学基本初等函数(理)尖子生同步培优题典
2021学年高考数学基本初等函数（理）尖子生同步培优题典专题1.1基本初等函数姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·甘肃靖远高三其他（理））已知()13ln2a =，()13ln3b =，2log 0.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c <<D ．c b a <<2．（2019·安徽蚌山蚌埠二中高二期中（文））若1a b >>，P =，()1lg lg 2Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<3．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三月考（理））已知()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，若132a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12b f⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2019·山东德州高三二模（理））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于x=1对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞5．（2020·江西高三其他（理））已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>6．（2020·六盘山高级中学高三其他（理））已知函数()3log ,01,03xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为（ ）. A ．{|30}x x -≤≤ B ．{|30}x x x ≤-≥或 C ．{|03}x x ≤≤D ．{|03}x x x ≤≥或7．（2020·宁夏中卫（理））有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．2020B ．2021C ．2022D ．20138．（2019·四川射洪中学高三月考（理））已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92B ．9C ．5D ．529．（2019·江西省奉新县第一中学高三一模（理））若实数a 满足2log 41log a a >>，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,4B ．()2,4C ．()1,2D ．()4,+∞10．（2020·宁夏吴忠高三其他（理）） 函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[,]a b D ⊆使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()(0,1)xa f x a t a a =+>≠是“成功函数”，则t 的取值范围为A ．()0,∞+B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦11．（2020·安徽金安六安一中高三月考（理））已知函数()ln()(0)x f x e a ax a a a =--+>，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(0,]e B ．2(0,)e C ．2[1,e ] D ．2(1,)e二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）12．（2020·陕西西安高三二模（理））函数()25log 23y x x =+-的单调增区间是______.13．（2020·陕西新城西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.14．（2019·陕西汉中高考模拟（理））设b R ∈，若函数()142x x f x b +=-+在[]1,1-上的最大值是3，则()f x 在[]1,1-上的最小值是____________.15．（2020·江苏鼓楼南京师大附中高三其他）已知函数24,()2,x x a f x x x x a +<⎧=⎨-≥⎩，若对任意实数b ，总存在实数0x ，使得()0f x b =，则实数a 的取值范围是______．。
2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)专题08 直线与圆的方程-(解析版)
2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题08 直线与圆的方程姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．以点(2，－1)为半径的圆的标准方程是（ ）A ．(x ＋2)2＋(y －1)2B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －2)2＋(y ＋1)2【答案】C【解析】由题意圆标准方程是22(2)(1)2x y -++=．2．设直线1:10l kx y -+=，2:10l x ky -+=，若12l l ⊥，则k =（ ） A ．-1 B ．1C ．±1D ．0【答案】D【解析】12l l ⊥，∴当0k ≠时，11k k⋅=-，矛盾， 当0k =时，符合题意3．圆2228130+--+=x y x y 截直线10ax y +-=所得的弦长为a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2【答案】A【解析】圆2228130+--+=x y x y ，即22(1)(4)4x y -+-=22(3)1根据点到直线距离公式可知1d ==，化简可得22(3)1a a +=+解得43a =-4．直线0x a +-=的倾斜角为 ， ， A ．30 B ．150︒C ．120︒D ．与a 取值有关【答案】B【解析】直线x y ﹣a=0θ，则 又 0°≤θ，180°， ，θ=150°，5．斜率为4的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (，1，b )三点，则a ，b 的值为( ) A ．a ，72，b ，0 B ．a ，，72，b ，，11 C ．a ，72，b ，，11 D ．a ，，72，b ，11 【答案】C【解析】因为4AB AC k k ==，所以25434b a -==--，则7,112a b ==-，故选C， 6．若方程22420x y x y k +-++=表示圆，则k 的取值范围是（ ） A ．5k >B ．5k <C ．5k ≥D ．5k ≤【解析】方程22420x y x y k +-++=表示圆∴22416440D E F k +-=+->，解得：5k <7．已知3(2,)A -,(3,2)B --,直线l 过定点(1,1)P ,且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．344k -≤≤ B ．344k ≤≤ C ．12k ≠D ．4k ≤-或34k ≥【答案】D【解析】画出图像,如图:312134,21314PA PB k k ----==-==--- ∴ 结合图像可知,要保证线段AB 与直线l 相交需满足斜率k 的取值范围: 4k ≤-或34k ≥8．若实数,x y 满足224240x y x y ++-+=，则yx的取值范围是（ ） A ．4,[0,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦B ．3,[0,)4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦C ．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】实数,x y 满足224240x y x y ++-+=，即22(2)(1)1x y ++-= 故动点(),x y 是以()2,1C -为圆心，以1r =为半径的圆上的点，则yx表示点(),x y 与()2,1-连线的斜率k ，如图所示，直线0kx y 与圆有交点，相切时是临界状态，当直线0kx y1=解得0k =或43k =-，故4,03k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即4,03y x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.二、多选题9．（多选）若直线1l 的倾斜角为α，且12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角可能为（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．90α︒-D ．180α︒-【答案】ABC【解析】（1）当0α︒=时，2l 的倾斜角为90︒（如图1）；（2）当090α︒︒<<时，2l 的倾斜角为90α︒+（如图2）；（3）当90α︒=时，2l 的倾斜角为0︒（如图3）；（4）当90180α︒︒<<时，2l 的倾斜角为90α︒-（如图4）．故直线2l 的倾斜角可能为90,90,|90|ααα︒︒︒-+-，但不可能为180α︒-．10．若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A ．2-B ．C ．2D ．【答案】AC【解析】因为直线y b =+与圆221x y +=相切，1=，解得2b =±.11．直线y x b =+与曲线x =b 可取下列哪些值（ ）A ．B ．1-C ．1D【答案】AC【解析】解：曲线x =221x y +=，0x ≥， 画出直线与曲线的图象，如图，直线y x b =+与曲线x =则(1,1]{2}b ∈--12．古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O ，()3,0A ，圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有一个点P 满足2PA PO =，则r 的取值可以为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】AD【解析】设(),P x y ，由2PA PO =，得()2222344x y x y -+=+，整理得()2214x y ++=，又点P 是圆C ：()()22220y x r r +=->上有且仅有的一点，所以两圆相切. 圆()2214x y ++=的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，圆C ：()()22220y x r r +=->的圆心坐标为（2，0），半径为r ，两圆的圆心距为3， 当两圆外切时，r +2＝3，得r ＝1， 当两圆内切时，|r ﹣2|＝3，得r ＝5．三、填空题 13．直线2:sin103l x y π-+=的斜率为__．【解析】由直线2:sin103l x y π-+=，得102x y -+=，即220x +=，则该直线的斜率k ==14．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx -2y -5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 【答案】9【解析】联立23y xx y =⎧⎨+=⎩，解得1x =，2y =．把(1,2)代入250mx y --=可得：450m --=．9m ∴=．15． 若点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是________． 【答案】4【解析】因为m 2，n 2是直线4x，3y，10，0上的点(m，n)到原点距离的平方，所以其最小值就是原点到直线4x，3y，10，02=的平方．16．已知直线l ：340x y m ++=，圆C ：22420x y x +-+=，则圆C 的半径r =______；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，则实数m 的取值范围是______．[]16,4-【解析】圆的标准方程为22(2)2x y -+=，圆心为(2,0)C ，半径为r =若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，过P 作圆的两条切线,PM PN（,M N 为切点），则90MPN ∠≥︒，而当CP l ⊥时，MPN ∠最大，只要此最大角90≥︒即可，此时，圆心C 到直线l 的距离为65m d CP +==．所以625r m d =≥+，解得164m -≤≤．四、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点()1,0A -，()5,4B -，()1,2C ． （1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求AB 边上的高线所在直线的方程．【解析】（1）由题意得：边BC 的中点D 为()3,1-，所以直线AD 的斜率()011134AD k --==---，所以BC 边上的中线AD 所在直线方程 为()1014y x -=-+，即410x y ++=． （2）由题意得：直线AB 的斜率()042153AB k --==---，所以AB 边上的高所在直线方程为()3212y x -=-， 即3210x y -+=．18．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ． （1）求圆C 的方程；（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积． 【解析】解：（1）圆C 的半径为5OC ==，从而圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25； （2）作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ，在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD |＝3，所以4AD ==，所以|AB |＝2|AD |＝8， 所以△ABC 的面积1122S AB CD ==．19．已知圆C 与y 轴相切，圆心在射线()300x y x -=≥，且被直线y x =截得的弦长为． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，求点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值．【解析】（1）圆心在射线()300x y x -=≥上，则可设圆心为()3,a a ，其中0a ≥，圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为3a ，圆的方程为()()22239x a y a a -+-=， 设圆心到直线0x y -=的距离为d ，则d ==，由弦长的几何关系得()2223d a +=，即)()2223a +=，解得1a =，则圆C 的方程为()()22319x y -+-=；（2）圆心到直线34110x y -+=1635=>， 则直线与圆相离，点P 到直线34110x y -+=的距离的最小值为161355-=. 20．已知圆O ：228x y +=，点()012P -,，直线l 过点0P 且倾斜角为α. （1）判断点0P 与圆O 的位置关系，并说明理由；（2）若3π4α=，求直线l 被圆O 所戴得的弦AB 的长. 【解析】（1）点0P 在圆O 内,理由如下： 由已知得圆O 的圆心为()0,0O ，半径r =因为()012P -,，所以0OP ==因为0OP r <，所以点0P 在圆O 内.（2）因为3π4α=，所以直线l 的斜率为1-. 因为直线l 过点()012P -,， 所以直线l 的方程为()21y x -=-+，即10x y +-=，由圆心O 到直线l的距离2d ==，所以AB == 21．圆224x y +=，点P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若点P 的坐标为(6,2)-，求直线PA 、PB 的方程；（2）求证：直线AB 恒过定点Q ，并求出该定点Q 的坐标．【解析】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为2(6)y k x +=-，即620kx y k ---=．2=，解得34k =-或0k =． ∴所求切线方程分别为2y =-和34100x y +-=；（2）根据题意，点P 为直线40x y +-=上一动点，设(4,)P m m -，PA ，PB 是圆O 的切线，OA PA ∴⊥，OBPB ⊥，AB ∴是圆O 与以PO 为直径的两圆的公共弦，可得以PO 为直径的圆的方程为2222[(2)]()(2)()2222m m m m x y --+-=-+， 即22(4)0x m x y my --+-=，① 又圆O 的方程为：224x y +=，②，①-②，得(4)40m x my -+-=，即()440m y x x -+-=，则该直线必过点()1,1Q ．22．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，证明：AFM AFN ∠=∠.【解析】（1）设(),Q x yy a =+，化简得24x ay =， 所以动圆圆心Q 的轨迹方程为24x ay =，它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线. （2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 因为24x y a=，所以2x y a '=， 从而直线PA 的斜率为2402t a t a t a+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.设直线m 的方程为y kx a =-，代入24x ay =并整理， 得22440x akx a -+=.所以()221610a k ∆=->，解得1k <-或1k >. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则124x x ak +=，2124x x a =.()()2112121212FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=+= ()()()21121212122222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+==- 224204a ak k a ⋅=-=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠，此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-⋃+∞.。
洛阳市2020-2021学年第一学期高三尖子生考试理科数学试题(含答案)
请 考 生 在 !!!' 题 中 任 选 一 题 做 答 如 果 多 做 则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 !
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2021-2022年高三数学下学期尖子生专题训练试题 理
2021-2022年高三数学下学期尖子生专题训练试题 理试卷满分：150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．)1.为了得到函数图象，只需把函数图象上所有点 A.向右平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度2．已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象上相邻两个最高点的距离为，若将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于轴对称．则的解析式为 A ． B ． C ． D ． 3．已知,,则的面积为A. B. C. D.4、若先将函数3sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是 A ． B ． C ． D ．5、在中，，，分别为角，，的对边，且满足()274cos cos 2C 22A -B +=，若，则的面积的最大值是A.1B.C.2D.6.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 A. B.C.D.7.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为 A. . . .8. 右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2正视图和俯视图的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为 A.B. C. D.9. 已知四面体ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 在空间直角坐标系中的坐标分别为(1,0,0)，(0,1,0)， (0,0,1)，⎝ ⎛－13,－13,⎭⎪⎫－13，O 为坐标原点，则在下列命题中，正确的是A. OD ⊥平面ABCB.直线OB ∥平面ACDC.直线AD 与OB 所成的角是45°D.二面角D －OB －A 为45°10、沿边长为1的正方形的对角线进行折叠，使折后两部分所在的平面互相垂直，则折后形成的空间四边形，则它所构成的四面体内切球的半径为 A 、 B 、 C 、 D 、1122111.在平行四边形中，, ,若将其沿折成直二面角,则三棱锥的外接球的表面积为 A ． B. C. D.12、三棱锥A －BCD 的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且△ABC、△BCD 都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A －BCD 的体积是 A 、 B 、 C 、 D 、二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写到答题卡的相应位置. 13、如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为14．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥,其中底面四边形是边长为的正方形，，且平面,则球体毛坯体积的最小值应为 ．15已知某棱锥的三视图如图所示，俯视图为正方形，根据图中所给的数据，那么该棱锥外接球的体积是__________.16.的三个内角为，若3cos sin 7tan 123sin cos A AA A π+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，则的最大值为________.三、解答题：（本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分10分)设的内角所对的边长分别为,且C a A c b cos 3cos )32(=-． （1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积．18．(本小题满分12分) 已知()33cos 22sin()sin(),x 2f x x x x R ππ=++-∈ 求f(x)的最小正周期及对称轴方程；已知锐角的内角的对边分别为,且 ,,求边上的高的最大值.19. （本小题满分12分） 已知向量()()23cos ,1,sin ,cos m x n x x =-=，函数.（1）若，求的值；（2）在中，角A,B,C 对边分别是，且满足，求的取值范围.20. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面平面ABC ，是边长为2的等边三角形，和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在的平分线上. （1）求证：DE//平面ABC ； （2）求二面角的余弦值。
2021学年高考数学基本初等函数(理)尖子生同步培优题典答案解析教师版
2021学年高考数学基本初等函数（理）尖子生同步培优题典专题1.1基本初等函数姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·甘肃靖远高三其他（理））已知()13ln2a =，()13ln3b =，2log 0.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c << B ．c a b << C ．b a c << D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】结合0,1进行a,b,c 的大小比较，即可． 【详解】22log 0.7log 10c =<=,()()11330ln 21ln 3a b <=<<=,故c a b <<,故选B.【点睛】本道题考查了对数、指数比较大小，关键可以结合0,1进行大小比较，难度中等．2．（2019·安徽蚌山蚌埠二中高二期中（文））若1a b >>，P =，()1lg lg 2Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．R P Q <<B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式以及对数函数的单调性可得出三个数P 、Q 、R 的大小关系． 【详解】由于函数lg y x =在()0,∞+上是增函数，1a b >>，则lg lg 0a b >>，由基本不等式可得()()11lg lg lg lg222a bP a b ab R +=<+===， 因此，P Q R <<，故选B ．3．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三月考（理））已知()f x 是定义在R 上单调递增的奇函数，若132a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12b f⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】由题可知：函数()f x 是奇函数，所以()2⎛=-= ⎝b f f 32log 4=，3331log 3log 4log 92=<<= 22log 9log 83=>=，1302102-<=<所以1322->>所以()1 31322-⎛⎫⎛⎫>-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f f f即c b a>>故选：C【点睛】本题考查利用函数的单调性比较式子大小，对于没有明确的函数解析式，却要比较式子大小，常需要考虑使用函数单调性比较大小，考验分析能力，属中档题.4．（2019·山东德州高三二模（理））已知定义在R上的函数()f x在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x=-的图象关于1x=对称，若实数a满足()12log2f a f⎛⎫<-⎪⎝⎭，则a的取值范围是（）A．10,4⎛⎫⎪⎝⎭B．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D．()4,+∞【答案】C【解析】将函数()1y f x=-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x=的图象，由于函数()1y f x=-的图象关于直线1x=对称，则函数()y f x=的图象关于y轴对称，即函数()y f x=为偶函数，由()12log2f a f⎛⎫<-⎪⎝⎭，得()()2log2f a f<，函数()y f x=在区间[)0,+∞上单调递增，则2log2a<，得22log2-<<a，解得144a<<.因此，实数a的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.5．（2020·江西高三其他（理））已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A ．p m n >> B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【答案】A 【解析】 【分析】先转化对数式为指数式，求解,m n ，再转化2152014225612433m n ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，再利用中间值2，可比较,m p 的大小，即得解 【详解】依题意，54m =，故125542m ==；而89n =，故118493n ==，所以122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭， 所以m n >，因为0.80.8log 0.5log 0.642p =>=，2522m =<， 所以p m n >> 故选：A6．（2020·六盘山高级中学高三其他（理））已知函数()3log ,01,03xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩．那么不等式()1f x ≥的解集为（ ）. A ．{|30}x x -≤≤ B ．{|30}x x x ≤-≥或 C ．{|03}x x ≤≤ D ．{|03}x x x ≤≥或【答案】D 【解析】试题分析：由已知得，①当0x >时，有3log 13x x ⇒；①当0x 时，有1103xx ⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭，综①①得不等式的解集为{}|03x x x ≤≥或.故正确答案选D.7．（2020·宁夏中卫（理））有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2013【答案】B 【解析】 【分析】n 表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得()3400150%40040002nn⎛⎫⨯+=⨯> ⎪⎝⎭，解出满足该不等式的最小正整数n 的值，即可得出结果. 【详解】设快递行业产生的包装垃圾为y 万吨，n 表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得()3400150%4002nny ⎛⎫=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭，由于第n 年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，即340040002n⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，3102n⎛⎫∴> ⎪⎝⎭，两边取对数得3lg 12n >，即115.67863lg3lg 2lg 2n >=≈-， 因此，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨， 故选：B ．8．（2019·四川射洪中学高三月考（理））已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92B ．9C ．5D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】 ①定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+ 当且仅当4m nn m=时等号成立， 即42,33m n ==时取得最小值92.故选：A9．（2019·江西省奉新县第一中学高三一模（理））若实数a 满足2log 41log a a >>，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,4 B ．()2,4 C ．()1,2D ．()4,+∞【答案】C 【解析】 【分析】分为两部分：21log a >，log 41a >结合函数的单调性求解a 的范围. 【详解】2221log log 2log 20a a a >∴>∴>>log 411,a a >∴> log 4log 14a a a a >⇒<< 又20a >>， 所以12a << 故选：C10．（2020·宁夏吴忠高三其他（理）） 函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[,]a b D ⊆使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()(0,1)xa f x a t a a =+>≠是“成功函数”，则t 的取值范围为A ．()0,∞+B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】由()()log (0,1)xa f x a t a a =+>≠是“成功函数”，知()f x 在其定义域内为增函数，()()1log 2x a f x a t x =+=，故2xx a t a +=，由此能求出t 的取值范围. 【详解】①()()log (0,1)xa f x a t a a =+>≠是“成功函数”，①()f x 在其定义域内为增函数，()()1log 2x a f x a t x =+=① ①2xx a t a +=①20xx a a t -+=①令20xm c =>①①20m m t -+=有两个不同的正数根，①1400t t ->⎧⎨>⎩，解得10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选C.【点睛】本题考查函数的值域的求法，解题的关键是正确理解“成功函数”，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．11．（2020·安徽金安六安一中高三月考（理））已知函数()ln()(0)x f x e a ax a a a =--+>，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(0,]e B ．2(0,)e C ．2[1,e ] D ．2(1,)e【答案】B 【解析】 【分析】原不等式化为1ln()xe ax a a+>-，函数1x e y a =+与函数ln()y ax a =-互为反函数，其图象关于直线y x =对称，要使得()0f x >恒成立，只需1x ex a+>恒成立，即1xe a x <-恒成立，利用导数求出1xe x -的最小值即可得结果.【详解】函数()f x 的定义域为(1,)+∞，由()ln()0x f x e a ax a a =--+>，得1ln()xe ax a a+>-， 函数1xe y a=+与函数ln()y ax a =-互为反函数，其图象关于直线y x =对称，所以要使得()0f x >恒成立，只需1xe x a +>恒成立，即1x e a x <-恒成立，设()1xe g x x =-，则2(2)()(1)x e x g x x -'=-，()g x 在(1,2)上递减，在(2,)+∞递增， 可知当2x =时，()g x 取得最小值2e ，所以2a e <，又因为0a >，所以a 取值范围是2(0,)e ，故选B ． 【点睛】本题主要考查反函数的性质、不等式恒成立问题以及利用导数求函数的最值，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）12．（2020·陕西西安高三二模（理））函数()25log 23y x x =+-的单调增区间是______.【答案】()1,+∞ 【解析】 【分析】求得函数()25log 23y x x =+-的定义域为-∞-+∞(,3)(1,)，令()223g x x x =+-，利用二次函数的性质，求得函数的单调区间，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数()25log 23y x x =+-满足2230x x +->，解得3x <-或1x >，即函数()25log 23y x x =+-的定义域为-∞-+∞(,3)(1,)，令()223g x x x =+-，则函数()g x 在(,3)-∞-单调递减，在区间(1,)+∞单调递增，再根据复合函数的单调性，可得函数()25log 23y x x =+-的单调递增区间为(1,)+∞.故答案为：(1,)+∞.13．（2020·陕西新城西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】12a <【解析】【分析】由二次函数在1x =处的函数值小于ln1可得1是函数()f x 的零点，根据题意数形结合可知二次函数()g x 没有零点，则由22(4)16(1)0a a ∆=--<可求得a 的范围.【详解】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点，因为函数()g x 的对称轴为122a x =<， 所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a < 14．（2019·陕西汉中高考模拟（理））设b R ∈，若函数()142x x f x b +=-+在[]1,1-上的最大值是3，则()f x 在[]1,1-上的最小值是____________.【答案】2【解析】【分析】整理()f x 可得：()()2222x x f x b =-⋅+，令2x t =，将()f x 转化为：22y t t b =-+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用二次函数的性质可得：当2t =时，max 3y =，即可求得3b =，再利用二次函数的性质即可求得22y t t b =-+的最小值，问题得解．【详解】整理()f x 可得：()()2222x x f x b =-⋅+，[]1,1x ∈-令2x t =，则1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦函数()f x 可化为：22y t t b =-+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当2t =时，2max 2223y b =-⨯+=，解得：3b =当1t =时，2min 1212y b =-⨯+=所以()f x 在[]1,1-上的最小值是2.15．（2020·江苏鼓楼南京师大附中高三其他）已知函数24,()2,x x a f x x x x a +<⎧=⎨-≥⎩，若对任意实数b ，总存在实数0x ，使得()0f x b =，则实数a 的取值范围是______．【答案】[5,4]-【解析】【分析】作出函数4y x =+、22y x x =-的图象，根据分段函数、二次函数的性质数形结合分类讨论求a 的范围.【详解】作出函数4y x =+、22y x x =-的图象如图所示：根据题意，当1a ≤时，412a +≥-，解得5a ≥-； 当1a <时，242a a a +≥-，解得14a -≤≤. 综上所述，实数a 的取值范围是[5,4]-.故答案为：[5,4]-。
专题10 计数原理-2021年高考数学尖子生培优题典(新高考专版)(原卷版)
2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题10 计数原理姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2020·广西南宁·月考（理））()()3112x x -+展开式中2x 项的系数为（ ）A ．5B ．6C ．-6D ．-4 2．（2020·古丈县第一中学高二月考）世界华商大会的某分会场有,,A B C ，将甲，乙，丙，丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数（ ） A ．12种 B ．10种 C ．8种 D ．6种3．（2020·渝中·重庆巴蜀中学高三月考（理））自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北.重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为（ ）A ．13B ．16C ．29D ．1184．（2020·山西应县一中高三开学考试（理））有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种5．（2020·安徽合肥·高三月考（理））周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起，为安全起见，每个孩子至少有一侧有家长陪坐，则不同的坐法种数为（ ） A ．8 B ．12C ．16D ．20 6．（2020·全国高三开学考试）61ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的常数项为160-，则实数a =（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-17．（2020·永安市第一中学高三开学考试）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种8．（2020·四川仁寿一中高三月考（理））现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =（ ） A ．13 B ．47C ．23D ．34 9．（2020·浙江高三其他）()()5211x x +-的展开式中的5x 的系数为（ ）A ．1B ．-9C ．11D ．21 10．（2020·云南昆明一中其他（理））数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ）A ．40B ．30C ．20D ．1011．（2020·内蒙古集宁一中月考（理））若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．212．（2020·陕西省丹凤中学一模（理））设a 是函数()cos y x x x R =∈的最大值，则二项式6⎛ ⎝的展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．192 B ．182 C ．-192 D ．-182 13．（2020·安徽省六安中学开学考试（理））某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（ ）种选派方法A ．160B ．80C ．40D ．2014．（2020·天津静海一中高二月考）某校迎新晚会上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）A ．120种B ．156种C ．188种D ．240种15．（2020·辽宁锦州·开学考试（理））已知222(45sin )a x x dx -=-+⎰，且2a m π=.则展开式212(1)m x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中x 的系数为（ ） A ．12 B ．-12 C ．4 D ．-416．（2020·全国月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为同一片“风叶”的概率为（ ）A ．37 B ．47 C ．314 D ．1114二、多选题17．（2020·海南枫叶国际学校高二期中）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ）A ．若任意选择三门课程，选法总数为37AB ．若物理和化学至少选一门，选法总数为1225C CC ．若物理和历史不能同时选，选法总数为3175C C -D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为121255C C C -18．（2020·三亚华侨学校高二开学考试）已知()n a b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 19．（2020·福建省福州外国语学校期末）已知2((0)n ax a+>的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（ ）A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式中第6项的系数最大C ．展开式中存在常数项D ．展开式中含15x 项的系数为4520．（2020·山东临朐·高三月考）下列有关说法正确的是（ ）A ．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含23x y 项的二项式系数为20； B ．事件A B 为必然事件，则事件A 、B 是互为对立事件；C ．设随机变量ξ服从正态分布(),7N μ，若()()24P P ξξ<=>，则μ与D ξ的值分别为3μ=，7D ξ=；D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A =“4个人去的景点各不相同”，事件B =“甲独自去一个景点”，则()2|9P A B =.三、解答题21．（2020·深圳市高级中学高二期中）(1)在(1＋x)n 的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n 等于多少？(2)n ⎛ ⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项． 22．（2020·四川省仁寿第二中学高二月考（理））在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者.(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；(3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率.23．（2020·上海高三专题练习）已知n 的展开式中，第三项的系数与第五项的系数之比是1:4，且第四项等于1600-，求x 的值．24．（2020·四川省新津中学开学考试（理））已知()()2*01212,6n n n x a a x a x a x n N n +=++++∈，其中012,,,,n a a a a R ∈．（1）当6n =时，求6(12)x +的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项；（2）若n 为偶数，求246n a a a a +++⋯+的值．25．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三其他）某中学有4位学生申请A 、B 、C 三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．（1）求恰有2人申请A 大学的概率；（2）求被申请大学的个数X 的概率分布列与数学期望()E X ．。
2020-2021学年高二数学上学期第一次段考试题理尖子班
2020-2021学年高二数学上学期第一次段考试题理尖子班一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知直线1l ：(1)20k x y -++=和直线2l ：8(1)10x k y k +++-=平行，则k 的值是（ ）(A) 3 (B)3- (C)3或3- (D)7或7- 2．下列有关命题说法正确的是（ ）A. 命题“若220x y +=则0x y ==”的否命题为真命题B. 已知,,a b c 是实数，“a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件C. 0ab ≠ 是0a ≠的必要条件D. 命题“32,x N x x ∀∈>”的否定是“32,x N x x ∃∉≤”3．椭圆2221(0)4x y a a +=>与双曲线22193x y -=有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ） A.32 B. 35 C. 155D. 34 4．若圆221x y +=上每个点的横坐标不变．纵坐标缩短为原来的13，则所得曲线的方程是（ ） A. 2213y x += B. 2291x y += C. 2231x y += D. 2219y x += 5．已知点1F ， 2F 是双曲线2221(0)x y a a-=>的左、右两焦点，若双曲线左支上存在点P 与点关于直线对称，则a 的值为( )A. B. C. D. 26. 正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A B 的中点，则1A B 与1D E 所成角的余弦值 （ ） A ．510 B ．1010 C ．55 D ．1057. 已知)0(1222221>>=+b a by a x F F 分别为椭圆，的左、右焦点，P 为椭圆上的点，且212F F PF ⊥，︒=∠3021F PF ，则该椭圆的离心率为（ ）(A)66 (B) 31 (C) 21(D) 338. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 82=的准线交于B A ，两点，且，32||=AB 则C 的实轴长为（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 89. 已知圆的方程为 ()()()22119,2,2x y P -+-=是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是（ ）(A) 35 (B)45 (C)57 (D )6710. 设正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，则点1D 到平面BD A 1的距离是（ ）A ．23B ．22 C ．322 D ．33211. 已知椭圆和双曲线有共同焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则121e e 的最大值是（ ） (A)233 (B) 433(C) 2 (D) 3 12. 在直三棱柱111A B C ABC -中，1,12BAC AB AC AA π∠====．已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的取值范围为（ ） A ．1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1,25⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1,2⎡⎤⎣⎦ D ．1,25⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则实数k= ▲ .14．在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是111,BB D B 的中点，则EF 与1A D 所成角的大小为 ▲ .15．以椭圆22185x y +=的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为 ▲ .16．已知椭圆E: 22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于A 、B 两点. 若AF+BF=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、已知命题1:(0,),102xp x m ⎛⎫∀∈+∞+-< ⎪⎝⎭；命题2:(0,),410q x mx x ∃∈+∞+-=. 若“p且q ”为真命题，求实数m 的取值范围.18、设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；q ：实数x 满足302x x -<-.⑴若a=1，且p q ∨为真，求实数x 的取值范围； ⑵若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 点1A 在平面ABC 内的射影D 是AC 的中点，侧面11AAC C 是 边长为2的菱形，且1BC =，90ACB ∠=︒． （1）证明：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求锐二面角11B A C B --的大小．20、已知直线与抛物线交于,A B 两点，且， OD AB ⊥交于点， 点的坐标为，求AOB ∆的面积.xyOBF 2F 121.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，3PA =，4AD =，23AC =，60ADC ∠=︒，E 为线段PC 上一点，且PE PC λ=．（1）求证：CD AE ⊥；（2）若平面PAB ⊥平面PAD ，直线AE 与平面PBC 所成的角的正弦值为338，求λ的值．22.（本小题满分12分）设椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>，1F ，2F 分别为左、右焦点，B 为短轴的一个端点，且122BF F S ∆=，椭圆上的点到左焦点的距离的最小值为31-，O 为坐标原点.(I)求椭圆C 的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点M ，N ，且满足||||OM ON MN +=？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由．一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AAABCBDBDDAA二、填空题（每小题5分，共20分）13．－1 ； 14．90； 15. 22135x y -=； 16．30,2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦三、解答题（共70分）. 17（10分）解：18（12分）解：19.（12分） 试题解析：（1）证明：∵1A D ⊥平面ABC ，∴1A D BC ⊥， 又∵AC BC ⊥，且1ACA D D =，∴BC ⊥平面11AAC C ，∴1BC AC ⊥．∵侧面11AAC C 是菱形，∴11A C AC ⊥，∵1AC BC C =，∴1AC ⊥平面1A BC ．(4分)（2）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，建立坐标系c xyz -．∵2AC =，1BC =，∴(2,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,3)A ，1(1,0,3)C -， ∴由（1）知：1(3,0,3)AC =-是平面1A BC 的法向量．设平面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，二面角11B A C B --的大小为θ，∵11(2,1,0)A B AB ==-，1(1,0,3)CA =， ∴11120,30n A B x y n CA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令3x =，得23,1,y z ⎧=⎪⎨=-⎪⎩∴(3,23,1)n =-．∵111||1cos |cos |2||||n AC n AC n AC θ⋅=<⋅>==⋅，∴3πθ=.(12分 20. （12分） 试题解析：OD AB ⊥， ()1,2D 2OD k ∴=， 12l k ∴=-所以直线l 方程为1522y x =-+设()12{4y k x m y x=-= 由215{ 222y x y px=-+=得24100y py p +-= 12124{ 10y y p y y p+=-∴=- OA OB ⊥ 2212121212022y y x x y y y y p p ∴+=+=解得52p =， 12102y y -= 12152522AOB S y y ∆∴=⨯⨯-=21（12分）试题解析：证明：（1）在△ADC 中，4AD =，23AC =，60ADC ∠=︒，由正弦定理得：sin sin AD AC ACD ADC=∠∠，即423sin 32ACD =∠，解得sin 1ACD ∠=，∴90ACD ∠=︒，即DC AC ⊥，∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴DC PA ⊥， 又ACPA A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴CD ⊥平面PAC ，∵AE ⊂平面PAC ，∴CD AE ⊥． ……………………………………(6分) （2）∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA AB ⊥，PA AD ⊥，∴BAD ∠即为二面角B PA D --的平面角． ∵平面PAB ⊥平面PAD ，∴90BAD ∠=︒，xyOBF 2F 1以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(3,3,0)C ，(0,0,3)P ，(3,0,3)PB =-，(0,3,0)BC =，(3,3,3)PC =-，(0,0,3)AP =．∴(3,3,3)PE PC λλλλ==-，∴(3,3,33)AE AP PE λλλ=+=-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴330,30,x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩令3x =，得(3,0,1)n =．设直线AE 与平面PBC 所成的角为θ，2222|333|333sin ||8||||239(33)221189n AE n AE λλθλλλλλ⋅+-====⋅++--+∴13λ=或1121(12分)22（12分）解： (I)由题意可知1222223BF F S bc a c a b c ∆==-=-=+，1且123232222=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==∴y x C b a 的方程为椭圆 ………………………………………（4分)(II)假设存在圆心在原点的圆)0(222>=+r r y x 满足题意，||||OM ON MN += 0=⋅∴ON OM .设)()(2211y x N y x M ，，，当切线斜率存在时，设切线方程为m kx y +=，联立0636)32(12322222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x mkx y ， 则0)23(2422>+-=∆m k 且22212213263326k m x x k km x x +-=+-=+，.……………（6分) 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=2222222222326232632)63(k k m m k m k k m k +-=++-+-=032623263222222121=+-++-=+=⋅∴k k m k m y y x x ON OM 56606652222+=∴=--∴k m k m 且02322>+-m k 562≥⇒m .…………（8分)因为直线m kx y +=是圆)0(222>=+r r y x 的切线，所以56156611||222222=++=+=⇒+=k k k m r km r ， 所求圆方程为5622=+y x ……（10分) 此时圆的切线m kx y +=都满足562≥m 当直线的斜率不存在时，易知切线方程为，530±=x 与椭圆12322=+y x 的交点为 )530530(±，或)530530(±-，，均满足0=⋅ON OM .综上所述，存在圆心在原点的圆5622=+y x 满足题意. .…………………………（12分) 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
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2020-2021学年高考数学（理）基本初等函数尖子生同步培优
题典
专题1.1基本初等函数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：
_________________ 注意事项：
一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（2020·甘肃靖远高三其他（理））已知()1
3
ln2a =，()13
ln3b =，2log 0.7c =，则a ，b ，
c 的大小关系是( )
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．b a c <<
D ．c b a <<
2．（2019·安徽蚌山蚌埠二中高二期中（文））若1a b >>，
P =，
()1
lg lg 2
Q a b =+，lg 2a b R +⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则（ ） A ．R P Q << B ．P Q R << C ．Q P R << D ．P R Q <<
3．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高三月考（理））已知()f x 是定义在R 上单调递
增的奇函数，若13
2a f -⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，12b f
⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，()
c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
4．（2019·山东德州高三二模（理））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上
单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
，则
a 的取值范围是（ ）
A ．10,4
⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．1,4
⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
C ．1,44
⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()4,+∞
5．（2020·江西高三其他（理））已知log 45m =，log 98n =，0.8log 0.5p =，则m ，n ，
p 的大小关系为（ ）
A ．p m n >>
B ．m n p >>
C ．m p n >>
D ．p n m >>
6．（2020·六盘山高级中学高三其他（理））已知函数()3log ,0
1,03x x x f x x >⎧⎪
=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭
⎩．那么不等
式()1f x ≥的解集为（ ）. A ．{|30}x x -≤≤ B ．{|30}x x x ≤-≥或 C ．{|03}x x ≤≤
D ．{|03}x x x ≤≥或
7．（2020·宁夏中卫（理））有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．2020
B ．2021
C ．2022
D ．2013
8．（2019·四川射洪中学高三月考（理））已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，
若m n b +=且0,0m n >>，则41
m n
+的最小值为（ ）. A ．92
B ．9
C ．5
D ．52
9．（2019·江西省奉新县第一中学高三一模（理））若实数a 满足2log 41log a a >>，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,4
B ．()2,4
C ．()1,2
D ．()4,+∞
10．（2020·宁夏吴忠高三其他（理）） 函数()f x 定义域为D ，若满足①()f x 在
D 内是单调函数；②存在[,]a b D ⊆使()f x 在[],a b 上的值域为,22a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，那么就称
()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()(0,1)x
a f x a t a a =+>≠是“成功函数”，则t 的
取值范围为 A ．()0,∞+
B ．1,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭ C ．10,4⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
11．（2020·安徽金安六安一中高三月考（理））已知函数()ln()(0)x f x e a ax a a a =--+>，若关于x 的不等式()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(0,]e B ．2(0,)e C ．2[1,e ] D ．2(1,)e
二、填空题（不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
12．（2020·陕西西安高三二模（理））函数()25log 23y x x =+-的单调增区间是______.
13．（2020·陕西新城西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m n
m n n m n
≥⎧=⎨
<⎩函数
{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是
_________.
14．（2019·陕西汉中高考模拟（理））设b R ∈，若函数()1
42x x f x b +=-+在[]1,1-上的
最大值是3，则()f x 在[]1,1-上的最小值是____________.
15．（2020·江苏鼓楼南京师大附中高三其他）已知函数2
4,()2,x x a
f x x x x a +<⎧=⎨-≥⎩
，若对任意实数b ，总存在实数0x ，使得()0f x b =，则实数a 的取值范围是______．。