离散时间系统及响应
实验一 离散时间信号与系统响应
班 级 学号 姓 名 同组人 实验日期 室温 大气压 成 绩实验题目： 实验一 离散时间信号与系统响应 一、实验目的1.观察离散系统的频率响应和单位脉冲响应并学会其应用。
2.掌握用MATLAB 实现线性卷积的方法及差分方程的求解方法。
3.了解数字信号采样率转换过程中的频谱特征。
4.通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。
二、实验仪器计算机一台 MATLAB7.0软件三、实验原理在数字信号处理中，离散时间信号通常用序列{x(n)}表示。
离散时间系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算，亦即将一个序列变换成另一个序列的系统。
记为y(n)=T[x(n)],通常将上式表示成图()()[]x n y n T −−−→∙−−−→所示的框图。
算子T[∙]表示变换，对T[∙]加上种种约束条件，就可以定义出各类离散时间系统。
1.频率响应：在工程上进行时域分析和轨迹分析用频率响应法，它是分析和设计系统的一中有效经典的方法。
线性时不变系统输入输出关系y(n)=x(n)*h(n)。
H(ejw)是频率响应，离散时间系统的线性卷积，由理论学习我们可知，对于线性时不变离散系统，任意的输入信号()()()...(1)(1)(0)()(1)(1)...k x n x k n k x n n x n x n δδδδ∞=-∞=-=+-+++-+∑x （n ）可以用δ（n ）及其位移的线性组合来表示，即，当输入δ（n ）时，系统的输出y(n)=h(n)。
2.卷积：y=conv(h,x),计算向量h 和x 的卷积，结果放在y 中。
由系统的线性移不变性质可以得到系统对x(n)的响应y(n)为()()()k y n x k h n k ∞=-∞=-∑，称为离散系统的线性卷积，简记为y(n)=x(n)*h(n),也就是说，通过系统的冲激响应，可以将输入信号与系统的冲激响应进行卷积运算，可求得系统的响应。
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
系统分析和设计
通过单位脉冲响应可以分析系统 的稳定性、频率响应和因果性等 特性，用于系统的设计和优化。
信号处理
单位脉冲响应可以用于信号的滤 波、预测和合成等处理，提高信 号的质量和性能。
控制工程
单位脉冲响应可以用于控制系统 的分析和设计，优化控制性能和 稳定性。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
IIR系统
系统的输出不仅与当前的输入有关， 还与过去的输入有关，因此其单位脉 冲响应在时间上是无限的。
系统的表示方法
差分方程
离散时间LTI系统的动态行为通常由差分方 程描述，如 $y(n) = f(n) + g(n)u(n)$。
传递函数
通过将差分方程转换为传递函数的形式，可以更方 便地分析系统的频率响应和稳定性。
仿真分析的步骤与过程
建立数学模型
根据系统定义，建立离散时间LTI系统的数学模型，包括差分方程或传递函数。
生成单位脉冲信号
在仿真中，生成一个单位脉冲信号，用于输入到离散时间LTI系统中。
计算单位脉冲响应
将单位脉冲信号输入到系统中，并记录系统的输出，即单位脉冲响应。
分析单位脉冲响应
对单位脉冲响应进行分析，包括幅度和相位特性，以及稳定性等。
性质
单位脉冲响应是线性时不变系统的内 部动态特性，具有稳定性、因果性和 可预测性。
单位脉冲响应的求解方法
直接法
根据系统函数或差分方程，直接计算单位脉冲响 应的数值解。
迭代法
根据系统函数或差分方程，通过迭代计算单位脉 冲响应的数值解。
逆系统法
通过求解系统的逆系统，得到单位脉冲响应的数 值解。
单位脉冲响应的应用
§ 离散时间系统的频率响应特性
通过几何方法可以大致估计
出频率响应的形状，如图(d)
所示。
o
此例给出的二阶离散
π
ωs 2 (d)
系统与RLC二阶模拟电路
有“相仿”的特性。
2π
ωs ω
返回
• H(ej)即h(n)的DTFT • ej为周期函数，所以H(ej)为周期函数， 其周期为2p 。
例8-10-1
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入x(n)=ejn 为本征函数
xn hn yn
h(n)为稳定的因果系统
ynh nxn hmejω nm ej n
h m ejωm
m
m
Hz h(m)zm单位圆上 m
hnArnejnθrnejnθun
2jAnsrin n θunb1rn1sin n θun （c)
siθn
如图(c)所示,若r<1极点位于单位圆内， h(n)为衰减型，此系统是稳定的。
系统的频率响应为 Hejω 1a1eb1jω ejω a2e2jω
根据H(z)的零极点分布， H ejω
H ejωH zz ejω
H(ej) 则对输入序列的加权， 体现了系统对信号的处理功能。 H(ej) 是H(z) 在单位圆上的动态 变化，取决于系统的特性。
ynej n Hejω
离散系统（数字滤波器）的分类
H e j ω
低通
O ωc
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
带通
O
ωs 2
ωs
ω
H e j ω
例8-10-2
例8-10-3
返回
例8-10-1 已知离散时间系统的框图如图所示，求系
统频率响应特性。
数字信号处理实验报告一二
数字信号处理课程实验报告实验一 离散时间信号和系统响应一. 实验目的1. 熟悉连续信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解2. 掌握时域离散系统的时域特性3. 利用卷积方法观察分析系统的时域特性4. 掌握序列傅里叶变换的计算机实现方法，利用序列的傅里叶变换对离散信号及系统响应进行频域分析二、实验原理1. 采样是连续信号数字化处理的第一个关键环节。
对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对离散傅里叶变换、Z 变换和序列傅里叶变换之间关系式的理解。
对连续信号()a x t 以T 为采样间隔进行时域等间隔理想采样，形成采样信号： 式中()p t 为周期冲激脉冲，()a x t 为()a x t 的理想采样。
()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω：上式表明将连续信号()a x t 采样后其频谱将变为周期的，周期为Ωs=2π/T 。
也即采样信号的频谱()a X j Ω是原连续信号xa(t)的频谱Xa(jΩ)在频率轴上以Ωs 为周期，周期延拓而成的。
因此，若对连续信号()a x t 进行采样，要保证采样频率fs ≥2fm ，fm 为信号的最高频率，才可能由采样信号无失真地恢复出原模拟信号ˆ()()()a a xt x t p t =1()()*()21()n a a a s X j X j P j X j jn T π∞=-∞Ω=ΩΩ=Ω-Ω∑()()n P t t nT δ∞=-∞=-∑计算机实现时，利用计算机计算上式并不方便，因此我们利用采样序列的傅里叶变换来实现，即而()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑为采样序列的傅里叶变换2. 时域中，描述系统特性的方法是差分方程和单位脉冲响应，频域中可用系统函数描述系统特性。
已知输入信号，可以由差分方程、单位脉冲响应或系统函数求出系统对于该输入信号的响应。
离散时间系统的零状态响应
离散时间系统的零状态响应
重点：零输入响应；卷积和; 因果和稳定性
1）经典法:分通解和特解两部分分别求解。 2）时域卷积和法:类似与连续时间系统中的卷积积 分方法。 3）变换域法:Z.T. ，类似于L.T.
充分条件
n
h(k )
例4：h(k ) 14 (k ) (2k 1 12 5k 1 ) (k 1)
此系统为不稳定系统
七 离散系统的全响应 例4：已知一离散因果系统
y(k 2) 0.7 y(k 1) 0.1 y(k ) 7e(k 2) 2e(k 1)
r(0) =0
r(1) =A
r(1)= r(0)+ A(0)
r(k+1) - r(k)= 0 k>=1
r(k+1) = r(k)
k>=1
1 若H ( S ) ( S )2
h(k ) (k 1) k 2 (k 1)
bm S bm1S bm2 S ... b1S b0 H (S ) n n 1 n2 S an1S an2 S ... a1S a0
离散系统的描述与模拟
S y(k ) y(k 1)
e (t)
1/S
x ( n)
D
x(n 1)
∑ -a
e (k)
y(t) y'(t)＋ay(t)＝e(t)
∑ -a
D
y(k)
y(k+1)＋ay(k)＝e(k)
一、离散信号的时域分解
(k )
离散时间系统的频率响应特性
差分方程的Z 域解序言描述离散时间系统的数学模型为差分方程。
求解差分方程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法：• 时域方法——第七章中介绍，烦琐 • z 变换方法• 差分方程经z 变换→代数方程； • 可以将时域卷积→频域（z 域）乘积； • 部分分式分解后将求解过程变为查表；• 求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的条件）。
一．应用z 变换求解差分方程步骤一．步骤(1)对差分方程进行单边z 变换（移位性质 ）；(2)由z 变换方程求出响应Y (z ) ； (3) 求Y (z ) 的反变换，得到y (n ) 。
例8-7-1(原教材例7-10(2))解：方程两端取z 变换()0.9(1)0.05()(1)1,y n y n u n y --=-=已知系统的差分方程表达式为若边界条件求系统的完全响应。
()()()10.910.051zY z z Y z y z -⎡⎤-+-=⎣⎦-例8-7-2 已知系统框图列出系统的差分方程。
求系统的响应 y (n )。
解：（1） 列差分方程，从加法器入手（2）（3）差分方程两端取z 变换，利用右移位性质()()()()20.910.0510.90.9y z z Y z z z z -=+---()1210.9Y z A z A zz z z =+--()1210.9Y z A z A z zz z =+--120.5 0.45A A ==()0.50.4510.9Y z z z z z z =+--()()()0.50.450.9 0n y n n =+⨯≥()()()()⎩⎨⎧==<≥-=010,0002y y n n n x n ()()()()()13122x n x n y n y n y n +-----=()()()()()12213 -+=-+-+n x n x n y n y n y 所以()()151,224y y -=--=()()()()1,2,1,0z y y y y --用变换求解需要用由方程迭代出()()()()()()12131212Y z z Y z y z Y z z y y ---⎡⎤⎡⎤++-++-+-⎣⎦⎣⎦a.由激励引起的零状态响应即零状态响应为b.由储能引起的零输入响应即零输入响应为c.整理（1）式得全响应注意()()()1 01221=-+++=-x z z z z z ()[]2123121zs ++=++--z z zz z Y ()()2zs 22z Y z z =+()()()()()n u n n y z Y n21zs zs-+=↔2n ≥-（对都成立）()[]()()()221312231121zi ------=++---y y y z z z z Y ()()()()1223121zi +++-=++--=z zz z z z z z z Y ()()()()1223zi zi ≥-+--=↔n n y z Y nn()()()()22112221212+++++=++=z B z B z A z z z z Y ()()()()222122d d !121221-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⋅-=z z z z z B ()()2222212 +-++-++=z z z z z Y 所以()()2222212+-+-+=z zz z z z z Y ()()()()()0 22212≥-+---=n n n y n n n 122,2A B ==-()()()2212zY z z z =++2(),2()n azna u n a z a ↔=--验证 由方程解y (n )表达式可以得出y (0)=0, y (1)=0，和已知条件一致。
实验一 时域离散信号、系统及系统响应
四、 思考题
• 1 在分析理想采样序列特性的实验中， 采样频率不同时， 相应 在分析理想采样序列特性的实验中， 采样频率不同时， 理想采样序列的傅里叶变换频谱的数字频率度量是否都相同? 理想采样序列的傅里叶变换频谱的数字频率度量是否都相同 它 们所对应的模拟频率是否相同? 为什么? 们所对应的模拟频率是否相同 为什么 • 2 在卷积定理验证的实验中， 如果选用不同的频域采样点数 值， 在卷积定理验证的实验中， 如果选用不同的频域采样点数M值 例如， 例如， 选M=10和M=20， 分别做序列的傅里叶变换， 求得 和 ， 分别做序列的傅里叶变换，
• 3 调通并运行实验程序， 完成下述实验内容： 调通并运行实验程序， 完成下述实验内容： 分析采样序列的特性。 ① 分析采样序列的特性。 a. 取采样频率 s=1 kHz, 即T=1 ms。 取采样频率f 。 b. 改变采样频率 fs=300 Hz， 观察 改变采样频率, 的变化， ， 观察|X(ejω)|的变化， 并 的变化 做记录(打印曲线 打印曲线)； 进一步降低采样频率， 做记录 打印曲线 ； 进一步降低采样频率， fs=200 Hz， ， 观察频谱混叠是否明显存在， 说明原因， 并记录(打印 打印) 观察频谱混叠是否明显存在， 说明原因， 并记录 打印 这时的|X(ejω)|曲线。 曲线。 这时的 曲线 • ② 时域离散信号、 系统和系统响应分析。 时域离散信号、 系统和系统响应分析。 a. 观察信号 b(n)和系统 b(n)的时域和频域特性； 利用 观察信号x 和系统h 的时域和频域特性； 和系统 的时域和频域特性 线性卷积求信号x 通过系统h 的响应y(n)， 比较 线性卷积求信号 b(n)通过系统 b(n)的响应 通过系统 的响应 ， 所求响应y(n)和hb(n)的时域及频域特性， 注意它们之 的时域及频域特性， 所求响应 和 的时域及频域特性 间有无差别， 绘图说明， 并用所学理论解释所得结果。 间有无差别， 绘图说明， 并用所学理论解释所得结果。 b. 观察系统 a(n)对信号 c(n)的响应特性。 观察系统h 对信号x 的响应特性。 对信号 的响应特性 ③ 卷积定理的验证
离散时间系统的响应求解与系统稳定性分析
离散时间系统的响应求解与系统稳定性分析响应求解是“信号与线性系统”课程的核心知识，据此，描述了离散时间系统的定义，对离散时间系统的响应求解提出了两种分析方法，即时域法和变换域法，对两种方法的具体求解响应过程做出了详细的说明，并给出例题分析。
最后，总结了系统的稳定性的判定方法，针对离散系统和连续系统都给出了几种分析方法。
标签：离散；系统响应；时域法；变换域法；稳定性分析1 离散时间系统当系统的各个物理量随时间变化的规律不能用连续函数表示，而只是在离散的瞬间给出瞬时值，这种系统称为离散时间系统。
离散时间系统不同于连续时间系统，连续时间系统通常用微分方程描述，而离散时间系统用差分方程：2 离散时间系统的响应求解2.1 时域法分析3 穩定性分析如果系统在有限的激励下有有限的响应，则该系统为稳定性系统。
对于连续时间系统和离散时间系统，判定其是否是稳定系统有着不同的方法。
3.1 离散时间系统稳定性分析对于离散时间系统，其稳定性判定比较简单，一般有两个方法，一是看其单位函数响应H（k）是否满足绝对可和，若是，则系统稳定；第二个方法比较常用，令D（s）=0求其特征根，若特征根的绝对值都小于1，则系统稳定。
3.2 连续时间系统稳定性分析通过这些表达式，可以计算出所有的An，从而判断系统的稳定。
4 结论经过上述分析与总结，对于离散时间系统的定义和响应求解都有了清晰的思路，求解响应的时域法和变换域法都比较简单，两者的适用情景没有明确的区别，一般两种方法都适用，无非是哪种方法更加简单而已。
如果只是单单求解零状态响应或零输入响应时，使用时域法会更加简便。
如果要求解全响应，则使用变换域分析更简单。
另外，系统的稳定性分析，离散系统和连续系统有着不同的分析方法，对应的方法也都有两三种。
参考文献[1]张永瑞.信号与系统（精编版）[M].西安：西安电子科技大学出版社，2014.[2]徐亚宁，苏启常.信号与系统（第三版）[M].北京：电子工业出版社，2011.[3]张晔.信号与系统[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010.。
信号与系统§3.3 离散系统的零输入响应与零状态响应
零状态响应
定义：不考虑原始时刻系统储能的作用（起 始状态等于零），由系统的外加激励信号产 生的响应。
系统零状态响应：是在激励作用下求系统方
程的非齐次解，由状态值Vc值
t
0iL ( )d
0iL ( )d
故电路等效为起始状
态为零的电感L和电流 iL (t)
源Vc(0) u(t)的并联。
t0
v L (t )
L
iL (0 )
零输入响应
定义：没有外加激励信号的作用，只由起始 状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。
系统零输入响应：实际上是求Vc(0和) il系(0统) 方程
电容器的等效电路
iC (t ) C
vC (t )
vc (0 ) 0, t 0
1
vc (t) C
t
iC ( )d
电路等效C1为vc起0(0始iC)状()态dC1为C零1t0的t0iC电iC((容 ))d与d电压源t V0c(0) u(t) 的
电容的等效电路电感的等效电路系统的完全响应可以看做?????????系统的完全响应零输入响应?零状态响应?共同作用的结果外加激励源起始状态激励源电容器的等效电路c??tvctic电路等效为起始状态为零的电容与电压源的串联c?tvctic?0?cv等效电路中的电容器的起始状态为零0?cvut00t0cv???1cctvtidc??????0110cctididcc????????????100cctvidc???????t0?电感的等效电路til???tvll故电路等效为起始状态为零的电感l和电流源的并联
串联
iC (t ) C
vC (t)
《自动控制原理》离散系统的动态性能分析
7-6 离散系统的动态性能分析线性定常离散系统的动态性能分析方法：时域法 ，根轨迹法， 频域法本节主要内容（1）在时域中求取离散系统的时间响应，指出采样器和保持器对系统动态性能的影响。
（2）在z平面上离散系统闭环极点与其动态性能之间的关系。
（3）离散系统的根轨迹分析（讲义没有，增加的）一.离散系统的时间响应及性能指标● 分析系统动态性能时，通常假定外作用输入为单位阶跃函数)(1t 。
● 如果可以求出离散系统的闭环脉冲传递函数由)(/)()(z R z C z =φ， 输入为单位阶跃函数)1/()(-=z z z R ，则系统输出的z 变换函数)(1)(z z z z C φ-= ● 通过z 反变换，可以求出输出信号的脉冲序列)(*t c。
● )(*t c 代表线性定常离散系统在单位阶跃输入作用下的响应过程。
● 离散系统时域指标的定义与连续系统相同。
● 根据单位阶跃响应)(*t c 可以方便地分析离散系统的动态性能。
例7-28 设有零阶保持器的离散系统如图7-41所示，其中)(1)(t t r =，s T 1=，1=K 。
试分析该系统的动态性能。
（注Word 与PPT 中编号不同） 解 先求开环脉冲传递函数)(z G 。
因为)1()1(1)(2s e s s s G --+= 对上式z 变换，可得 ])1(1[)1()(21+-=-s s Z z Z G查z 变换表，求出 )368.0)(1(264.0368.0)(--+=z z z Z G 再求闭环脉冲传递函数632.0264.0368.0)(1)()(2+-+=+=z z z z G z G z φ 单位阶跃输入时：321632.0632.121264.0368.0)()()(----+-+==zz z z z R z z C φ 展开得：+++++++++=---------887654321868.0868.0802.0895.0147.14.14.1368.0)(z z z z zz z z z z C 由上式求得系统在单位阶跃作用下的输出序列)(nT c 为：单位阶跃响应曲线：根据,...)2,1,0)((=n nT c 数值，绘图所示。
第三章 LTI离散系统的响应
f (k ) (k i) f (i)
3.2 单位序列响应和阶跃响应
( 2)单 位 阶跃 序 列 1 k 0 (k ) 0 k 0 (k )
移位单位阶跃序列 (k i ) 1 k i 0 k i
(k 2)
11Fra bibliotek0
1 2 3
k
k
0
1 2 3 4 5
3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程
包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。 将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
例1：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0, y(1)=2, 激励f(k)=2kε(k), 求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。
Czi1=1 , Czi2= – 2
所以 yzi(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
3.1 LTI离散系统的响应 （2）零状态响应yzs(k) 满足 yzs(k) + 3yzs(k –1) + 2yzs(k –2) = f(k) yzs(–1)= yzs(–2) = 0 递推求初始值 yzs(0), yzs(1)， yzs(k) = – 3yzs(k –1) – 2yzs(k –2) + 2k , k≥0 yzs(0) = – 3yzs(–1) – 2yzs(–2) + 1 = 1 yzs(1) = – 3yzs(0) – 2yzs(–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解，得 yzs(k) = Czs1(–1)k + Czs2(–2)k + yp(k) = Czs1(– 1)k + Czs2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Czs1= – 1/3 , Czs2=1 所以 yzs(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0
离散时间系统及响应
3、利用卷积方法观察分析系统的时域特性。
实验内容：1、时域离散系统和系统响应分析。输入下列程序，观察实验结果，仿照此程序，完成下面问题的编程。
N=16; n=0:N-1; x=sin(2*pi*n/64)+sin(20*pi*n/64);
a=[1 -0.25]; b=[0.5 0.45 0.35];
a=[1 -0.25]; b=[0.5 0.45 0.35]; ;
subplot(221); zplane(b,a);
y=filter(b,a,x);
subplot(222 );stem(n,y) ;
[H,w]=freqz(b,a) ;
PhaseH=angle(H);
Subplot(223);plot(w/pi, PhaseH);
编写程序为：
n=[0:6];k=0:6;M=7;
x=[4,3,2,1,2,3,4];
X=x*(exp(-j*2*pi/M).^(n'*k));
PhaseX=angle(X);
Subplot(221);plot(PhaseX);
MagX=abs(X);
Subplot(222);plot(MagX);
思考题解答
subplot(222 );stem(n,y) ;
[H,w]=freqz(b,a) ;
PhaseH=angle(H);
Subplot(223);plot(w/pi, PhaseH);
Ma24);plot(w/pi,MagH);
求序列的离散时间傅立叶变换，求出其DTFT 。画出 的幅值和相位曲线。
提示：本来是 连续的，但MATLAB中本质均以离散形式处理，因此可以对角度均匀取样后利用循环语句计算DTFT函数值，实现方法:
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
（1) 确定h[k]的形式
特征方程为 特征根为
r 2 3r 2 0 r1 1, r2 2
h[k ] C1 (1) k C 2 (2) k , k 0
2. 单位脉冲响应的求解
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
谢 谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来
源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
解：h[k]满足方程 h[k ] 3h[k 1] 2h[k 2] d [k ] (3) 确定齐次解的待定系数 代入初始条件
h[0] C1 C2 1, h[1] C1 2C2 3
C1=－1，C2= 2
h[k ] [(1) k 2(2) k ]u[k ]
h [k]
1. 单位脉冲响应的定义
若描述离散时间LTI系统的常系数线性差分方程为
a y[k i] b x[k j ]
i 0 i j 0 j
n
m
则离散时间LTI系统的单位脉冲响应h[k]应满足
i 0
n
ai h[k i] b jd [k j ]
j 0
m
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k ] 3 y[k 1] 2 y[k 2] x[k ] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
选择初始条件基本原则是必须将d[k]的作用体现在初始条件中 解：h[k]满足方程 h[k ] 3h[k 1] 2h[k 2] d [k ] (2) 求等效初始条件 对于因果系统有h[－1] = h[－2] = 0，代入上面方程可推出 h[0] d [0] 3h[1] 2h[2] 1
离散时间信号和系统理论知识介绍
离散时间信号和系统理论知识介绍离散时间信号和系统是数字信号处理领域中的重要分支，其研究对象是以离散时间为变量的信号和系统。
在离散时间信号和系统理论中，信号的变量只在离散时间点上取值，而系统对信号的处理也是在离散时间点上进行的。
离散时间信号和系统的研究为数字信号处理提供了理论基础和工具。
离散时间信号可以表示为x(n)，其中n是一个整数，代表信号的时间变量。
离散时间信号可以是有限长度的序列，也可以是无限长度的序列。
离散时间信号的幅度可以是实数或复数，表示信号在不同时间点上的取值。
离散时间信号可以用图形表示，横轴表示时间变量n，纵轴表示信号的幅度。
离散时间信号有几个重要的性质。
1. 周期性：如果对于某个正整数N，有x(n) = x(n+N)，那么离散时间信号是周期性的，其最小周期是N。
2. 偶对称性：如果对于任意的n，有x(n) = x(-n)，那么离散时间信号是偶对称的。
3. 奇对称性：如果对于任意的n，有x(n) = -x(-n)，那么离散时间信号是奇对称的。
4. 单位冲激响应：单位冲激响应是一个离散时间信号h(n)，在n=0时为1，其他时间点为0。
单位冲激响应在离散时间系统中起着重要的作用，可以用来表示系统对单位冲激信号的响应。
离散时间系统是对离散时间信号进行处理的数学模型。
离散时间系统可以是线性系统或非线性系统。
线性系统具有叠加性和比例性质，即对于系统的输入信号x1(n)和x2(n)，系统的输出信号y1(n)和y2(n)，有以下关系：1. 叠加性：系统对输入信号的响应是可叠加的，即y(n) = y1(n) + y2(n)。
2. 比例性：系统对输入信号的响应是可比例的，即y(n) =k1y1(n) = k2y2(n)，其中k1和k2是常数。
离散时间系统可以用差分方程表示：y(n) = a0x(n) + a1x(n-1) + ... + an-1x(1) + anx(0)，其中ai是系统的系数。
离散时间系统的输入和输出信号也可以用离散时间卷积进行描述：y(n) = x(n) * h(n)，其中*表示离散时间卷积运算，h(n)是系统的单位冲激响应。
信号与系统§3.4 离散系统的单位抽样响应与单位阶跃响应
n 为其他值时都为零。因而可便利地利用迭代法
次求依出 h(0),h(1),L h(n)；当 (n) 作为系统的输入激励信
号时，若 n 0 ，则其相当于一个零输入系统，激励
信号的作用已经转化为系统的储能状态的变化，在这 种情况下，单位抽样响应 h(n)的函数形式为
N
h(n) ci in i 1
其中 ci 为待定系数，它由冲激函数 (n) 的作用转换
为初始条件来求解。
离散系统的单位阶跃响应
定义：单位阶跃响应是单位阶跃序列u(n) 作为离
散时间系统的输入激励信号而产生的零状态响应，用
g(n) 来表示。它与连续时间系统的单位阶跃响应类似。
ห้องสมุดไป่ตู้
n
由 u(n) (m) (n m), (n) u(n) u(n 1) u(n)
m
m0
若 T[ (n)] h(n), T[u(n)] g(n),
又因为系统是线性时不变系统，有
n
g(n) h(m) h(n m)
m
m0
号与系统 信
§3.4 离散系统的单位抽样响应与 单位阶跃响应
离散系统的单位抽样响应 离散系统的单位阶跃响应
离散系统的单位抽样响应
单位抽样响应：单位抽样序列 (n)作为离散时间 系统的输入激励信号而产生的零状态响应，用h(n) 来表示。它与连续时间系统的单位冲激响应类似。
单位抽样响应解法
离散时间系统的时域特性分析
离散时间系统的时域特性分析离散时间系统是指输入和输出均为离散时间信号的系统，如数字滤波器、数字控制系统等。
时域分析是研究系统在时间上的响应特性，包括系统的稳定性、响应速度、能否达到稳态等。
在时域分析中，我们通常关注系统的单位采样响应、阶跃响应和脉冲响应。
1. 单位采样响应单位采样响应是指当输入信号为单位脉冲序列时，系统的输出响应。
在时间域上，单位脉冲序列可以表示为:$$ u[n] = \begin{cases}1 & n=0\\ 0 & n \neq 0\end{cases} $$系统的单位采样响应可以表示为:$$ h[n] = T\{ \delta[n]\} $$其中，$T\{\}$表示系统的传输函数，$\delta[n]$表示单位脉冲序列。
通常情况下，我们可以通过借助系统的差分方程求得系统的单位采样响应。
对于一种具有一阶差分方程的系统，其单位采样响应可以表示为:2. 阶跃响应其中，$\alpha$为系统的传递常数。
3. 脉冲响应脉冲响应是指当输入信号为任意离散时间信号时，系统的输出响应。
其主要思路是通过将任意输入信号拆解成单位脉冲序列的线性组合，进而求得系统的输出响应。
设输入信号为$x[n]$，系统的脉冲响应为$h[n]$，则系统的输出信号$y[n]$可以表示为:$$ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] $$在实际计算中，通常采用卷积算法实现脉冲响应的计算，即将输入信号和脉冲响应进行卷积运算。
总之，时域特性分析是对离散时间系统进行分析和设计时的基础。
对于实际工程应用中的系统，需要综合考虑其时域和频域特性，进而选择合适的滤波器结构、控制算法等来实现系统的优化设计。
信号与系统§8.10 离散时间系统的频率响应特性
3.因为 e 是j 周期为 的2周期函数，所以系统的频响
特性 H 为e j周期为 的周2期函数。
4. H e j 是关于 的 偶函数， 是关于 的奇函数。
5．小结
1. 系统的频响特性 H e j
H z
z
e j
H
e j
e j
H e j ：幅~ 频特性，输出与输入序列的幅度之比
：~ 相频特性，输出对输入序列的相移
2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，
因 而变化，影响输出的幅度与相位。
1. 三种变换的比较
2.频率的比较 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换 （DTFT）
1．三种变换的比较
变换名称 信号类型 变量
傅里叶变 拉普拉斯
换
变换
连续信号
xt
z变换
离散信号
xnT
j
s j z e sT
拉氏变换
t
图8-9-1 连续信号的理想抽样
1．理想抽样信号的拉普拉斯变换
2．理想抽样信号的z变换
3．理想抽样信号的傅里叶变换
4. 序列的傅里叶变换
1．理想抽样信号的拉普拉斯变换
根据拉普拉斯变换的定义
X s s
xt
n
t
nT
e
st
dt
n
§8.10 离散时间系统的 频率响应特性
主要内容
序列的傅里叶变换
傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系
离散时间系统的频率响应特性
DSP第1章2 离散时间系统的单位取样响应描述
2 0
为整数时
2
2）当 0 为有理数时
3）当
2 为无理数时
0
1）当 2 为整数时， 0
取k 1，x(n)即是周期为 2 的周期序列 0
如sin( n)，
4
0
，
4
2 8 N 0
该序列是周期为8的周期序列
2）当 2 为有理数时， 0
表示成 2 P ，P，Q为互为素数的整数 0 Q
取k Q，则N P，x(n)即是周期为P的周期序列
s
数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率
序列的周期性
若对所有n存在一个最小的正整数N，满足
x(n) x(n N) n
则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。
南华大学 陈忠泽
例： x(n) sin( n) sin[ (n 8)]
4
4
因此，x(n)是周期为8的周期序列
南华大学 陈忠泽
u(n)
1 0
n0 n0
与单位抽样序列的关系
(n) u(n) u(n 1)
u(n) (n m) (n) (n 1) (n 2) ... m0
几种典型序列（3）
3）矩形序列
1 0 n N 1
RN (n) 0
其它n
与其它序列的关系
RN (n) u(n) u(n N )
j ( nN )
e6
j( n N )
e6 6
若x(n)为周期序列，则必须满足x(n) x(n N )，
即满足 N 2 k，且N，k为整数
6
而不论k取什么整数，N 12 k都是一个无理数
x(n)不是周期序列
对于离散正弦序列,随着它的频率从0增加到
，它的振荡越来越快。但是，随着它的频率从 增加到2，它的振荡越来越慢。
实验一 离散时间系统的时域响应及稳定性
实验一 离散时间系统的时域响应及稳定性1.1实验目的1）加深对离散线性移不变（LSI ）系统时域特性的认识；2）掌握MATLAB 求解离散时间系统响应的基本方法；3）了解MATLAB 中求解系统响应的函数及其应用方法；4）分析、观察及检验离散时间系统的稳定性。
1.2实验涉及的MATLAB 函数dlsim功能：求解离散系统的响应。
调用格式：y ＝dlsim(b ，a ，x )；求输入信号为x 时系统的响应。
说明：b 和a 分别表示系统函数H (z )中，由对应的分子项和分母项系数所构成的数组。
1.3实验原理1）离散LSI 系统时域响应的求解方法一个线性移不变离散系统可以用线性常系数差分方程表示，也可以用系统函数表示。
无论是差分方程还是系统函数，一旦式中的系数m b 和k a 的数据确定了，则系统的性质也就确定了。
因此，在程序编写时，往往只要将系数m b 和k a 列写成数组，然后调用相应的处理函数，就可以求出系统的响应。
对于离散LSI 系统的响应，MATLAB 提供了多种求解方法：(1) 用conv 子函数进行卷积积分，求任意输入的系统零状态响应。
(2) 用dlsim 子函数求任意输入的系统零状态响应。
(3) 用filter 和filtic 子函数求任意输入的系统完全响应。
本实验重点介绍(2)、(3)两种方法。
2）用dlsim 子函数求LSI 系统对任意输入的响应对于离散LSI 系统任意输入信号的响应，可以用MATLAB 提供的仿真dlsim 子函数来求解。
例1： 已知一个IIR 数字低通滤波器的系统函数公式为1231230.13210.39630.39630.1321()10.343190.604390.20407z z z H z z z z −−−−−−+++=−+− 输入两个正弦叠加的信号序列：1sin()sin(10)23n x n =+ 求该系统的响应。
MATLAB 程序如下：nx=0: 8*pi;x=sin(nx/2)+sin(10*nx)/3; %产生输入信号序列subplot(3, 1, 1); stem(nx, x);a=[1, -0.34319, 0.60439, -0.20407]; %输入系统函数的系数b=[0.1321, 0.3963, 0.3963, 0.1321];nh=0: 9;h=impz(b, a, nh); %求系统的单位冲激响应subplot(3, 1, 2); stem(nh, h);y=dlsim(b, a, x); %求系统的响应subplot(3, 1, 3); stem(y);从程序执行结果可见，输出响应y(n)中，原输入序列中的高频信号部分通过低通滤波器后已被滤除，仅剩下频率较低的sin(n/2)分量。
3_10离散时间LTI系统的单位脉冲响应
此方法称为等效初始条件法
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k] 3y[k 1] 2y[k 2] x[k] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
解：h[k]满足方程 h[k] 3h[k 1] 2h[k 2] d[k] （1) 确定h[k]的形式 特征方程为 r 2 3r 2 0 特征根为 r1 1, r2 2
h[k ] C1 (1) k C2 (2) k , k 0
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k] 3y[k 1] 2y[k 2] x[k] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
✓选择初始条件基本原则是必须将d[k]的作用体现在初始条件中 解：h[k]满足方程 h[k] 3h[k 1] 2h[k 2] d[k]
2. 单位脉冲响应的求解
[例] 某离散因果LTI系统的差分方程为 y[k] 3y[k 1] 2y[k 2] x[k] 求系统的单位脉冲响应h[k]。
分析： 如何确定系统的初始条件？
由于d [k]信号在k>0后函数值都为零。对于因果系统， 将d [k]对系统的瞬时作用转化为系统的等效初始条件。
北京交通大学 信号处理课程组
离散时间LTI系统的单位脉冲响应
单位脉冲响应的定义 单位脉冲响应的求解
1.பைடு நூலகம்单位脉冲响应的定义
在系统初始状态为零的条件下，以单位脉冲序列δ [k]激 励系统所产生的输出响应，称为系统的单位脉冲响应，以符 号h[k]表示。
d [k]
离散时间
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
subplot(222 );stem(n,y) ;
[H,w]=freqz(b,a) ;
PhaseH=angle(H);
Subplot(223);plot(w/pi, PhaseH);
MagH=abs(H);
Subplot(224);plot(w/pi,Mag H);
一个特定的线性和时不变系统，描述它的差分方程如下：
Z = filtic( B, Байду номын сангаас, Y, X )
其中，B与A的用法与filter()函数相同，X和Y分别为初始条件的向量。
c.图示系统的频率特性
提示：使用freqz()函数求解系统的频率特性，幅度响应A=abs(H),相位响应P=angle(H)
2、求序列的离散时间傅立叶变换，求出其DTFT 。画出 的幅值和相位曲线。
提示：本来是 连续的，但MATLAB中本质均以离散形式处理，因此可以对角度均匀取样后利用循环语句计算DTFT函数值，实现方法:
n=[n1:n2]; k=0:M-1;
X=x*(exp(-j*2*pi/M).^(n’*k);
实验结果分析
N=16; n=0:N-1; x=sin(2*pi*n/64)+sin(20*pi*n/64);
a.确定系统的稳定性
提示：零极点是分析系统频率响应的有力工具之一，在MALAB中用zplane( )函数画出零点极点图，对于本例，利用零极点图分析系统是否稳定。
b.如果此系统的输入为 。在 间求出 的响应。
提示：对于线性差分方程的求解，在MATLAB中可以调用filtic()和filter( )两个函数完成。其中filter( )函数参照教材P77面，filtic( )函数调用格式为：
MagH=abs(H);
Subplot(224);plot(w/pi,MagH);
N=16; n=0:N-1; x=5+3*cos（0.2*pi*n）+4*sin(0.6*pi*n)];
a=[1 -0.50.25]; b=[1 2 1];
subplot(221); zplane(b,a);
y=filter(b,a,x);
实验内容：1、时域离散系统和系统响应分析。输入下列程序，观察实验结果，仿照此程序，完成下面问题的编程。
N=16; n=0:N-1; x=sin(2*pi*n/64)+sin(20*pi*n/64);
a=[1 -0.25]; b=[0.5 0.45 0.35];
subplot(221); zplane(b,a);
实验报告格式
院系：物理与电子科学学院专业：电子信息科学与技术班级：一班
实验名称：离散时间系统及响应
课程名称：
数字信号处理
实验室：
实验C楼201
成绩
实验人
学号：
指导教师：赵发勇
实验目的：1、熟悉离散时间系统的时域和频域分析方法。
2、掌握利用MATLAB求解差分方程和频率响应的方法。
3、利用卷积方法观察分析系统的时域特性。
subplot(222 );stem(n,y) ;
[H,w]=freqz(b,a) ;
PhaseH=angle(H);
Subplot(223);plot(w/pi, PhaseH);
MagH=abs(H);
Subplot(224);plot(w/pi,MagH);
求序列的离散时间傅立叶变换，求出其DTFT 。画出 的幅值和相位曲线。
a=[1 -0.25]; b=[0.5 0.45 0.35]; ;
subplot(221); zplane(b,a);
y=filter(b,a,x);
subplot(222 );stem(n,y) ;
[H,w]=freqz(b,a) ;
PhaseH=angle(H);
Subplot(223);plot(w/pi, PhaseH);
编写程序为：
n=[0:6];k=0:6;M=7;
x=[4,3,2,1,2,3,4];
X=x*(exp(-j*2*pi/M).^(n'*k));
PhaseX=angle(X);
Subplot(221);plot(PhaseX);
MagX=abs(X);
Subplot(222);plot(MagX);
思考题解答
所以，如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须进一步探索路子，建立时域离散和频域离散的对应关系。数字角频率Ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。所以，如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须进一步探索路子，建立时域离散和频域离散的对应关系。
所有实验均按些格式书写
1、离散系统的特性与零极点分布密切相关，通过求解系统极点，尤其是否在单元圆内，来判断系统的稳定性。对一个复杂系统来说将系统函数由有理分式分解为零极点形式时，并不容易。而利用MTALAB可以很方便的确定零极点并作出零极点图直接判断系统的稳定性。
2、2、离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为，在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在字角频率Ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。