矩阵的左逆与右逆

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第4章矩阵的广义逆

例题1 设W是C n 的子空间，证明存在到W的投影变换，使R（）=W。
3、正交投影的性质
定理4.16（P . 104）设W是C n的子空间，x0C n， x 0 W，如果是空间C n向空间W的正交投影，则
( x0 ) x0 y x0
y W
含义：点（x0）是空间 W 中与点x 0距离最近的点。
讨论：对任何满足式( ¤) 的左逆B，X=Bb都是方程组的
解，如何解释方程组的解是惟一的？
§ 4. 2 广义逆矩阵
思想：用公理来定义广义逆。一、减号广义逆定义4 . 2 (P . 95) A C m n ，如果，G C n m使得，
AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1，， Ak–1} 例题1 A C nn可逆，则A–1 A{1}； A单侧可逆，则A –1LA{1}；A–1RA{1}。减号逆的求法：定理4.5（P . 95）减号逆的性质：定理4.6 (P . 96)
• 设A满秩分解A=BC，则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。 • （定理4.9）设A奇异值分解：
H A U V ，则 0 0

1 0 H A V U 0 0
例题1 求下列特殊矩阵的广义逆；
零矩阵0； 1阶矩阵( 数) a； a1 对角矩阵
4、A + A与AA +的性质定理4.15（P . 104）
A + A的性质：
• （A + A）2 = A + A，（A + A）H = A + A • C n =R（A + ） N（A） • R （A + ）= N（A）

求矩阵的逆矩阵的方法

求矩阵的逆矩阵的方法矩阵的逆是一个在线性代数中非常重要的概念。

逆矩阵是一个方阵(A)的伴随矩阵(ad(A))除以该方阵的行列式(det(A))的结果，即逆矩阵(A-1) = ad(A) / det(A)。

要找到一个矩阵的逆矩阵，首先需要确保矩阵是可逆的。

矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的行列式不等于零，即det(A) ≠0。

只有当行列式不等于零时，才能找到逆矩阵。

如果行列式等于零，该矩阵就被称为奇异矩阵，它没有逆矩阵。

接下来，我将详细介绍两种常见的方法来计算矩阵的逆。

方法一：伴随矩阵法伴随矩阵法是一种直接计算矩阵的逆矩阵的方法。

首先，我们计算出原始矩阵的伴随矩阵，然后再除以矩阵的行列式即可得到逆矩阵。

步骤如下：1. 计算原始矩阵的伴随矩阵(ad(A))。

伴随矩阵的每个元素(ad(A)ij)等于原始矩阵(A)的代数余子式(Aij)的代数余子式(Aij)。

其中，代数余子式(Aij)是矩阵中去掉第i行和第j列的部分矩阵的行列式(det(Aij))乘以(-1)^(i+j)。

2. 计算原始矩阵的行列式(det(A))。

3. 计算逆矩阵(A-1)。

逆矩阵的每个元素(A-1)ij等于伴随矩阵(ad(A))的每个元素(ad(A)ij)除以原始矩阵的行列式(det(A))。

伴随矩阵法的优点是直接，可以一步得到逆矩阵。

然而，该方法在求解大型矩阵时计算量较大。

方法二：初等行变换法初等行变换法是通过一系列的初等行变换来得到一个单位矩阵，然后通过对单位矩阵进行相同的初等行变换得到逆矩阵。

步骤如下：1. 将原始矩阵(A)写在左侧，单位矩阵(I)写在右侧，构成一个增广矩阵[A I]。

2. 通过一系列的行变换，将左侧矩阵变成单位矩阵。

在每一步行变换时，同样地对右侧的单位矩阵做相同的变换。

3. 当左侧的矩阵完全变成单位矩阵时，右侧的矩阵就是原始矩阵的逆矩阵。

初等行变换法的优点是对于大型矩阵来说，计算量较小。

然而，该方法需要一定的手工计算和整数运算，可能会产生较大的误差。

反对称正交对称矩阵的左右逆特征值问题

关键词：反对称正交对称矩阵；特征值；小二乘解；佳逼近逆最最
中图分类号：０１１２５．１
文献标识码：Ａ
文章编号：０４０６（０７０ —０９０１０ — ３６２０）１０２ —５
ＴｈｆｎｄＲｉｈｎｖｒｅＥｉｅａｕｏｌｍｆＡｎｉｓｍｍｅｒｃｅＬｅｔａｇｔＩｅｓｇｎｖｌｅＰｒｂｅｏｔ— ｙｔｉ
Ｏｒｈ — ｙｍｅｒｃＭａｒｃｓｔｏｓｍｔｉｔｉｅ
ＷＵｎ—ｉｎＹａｌａｇ
（ｉｑａａｅｌｅＬｕｃｉｇＣｅｔｒｉｑａｇ７２５，Ｃｈｎ）ＪｕｕｎＳｔｌｉａｎｈｎｎｅ・Ｊｕｕｎ３７０ｔｉａ
（一１２ … ，，Ｓ一（，一，，１为反序单位矩阵．为Ｘ的Ｍｏｒ— ｅｒｓ，，）称Ｐｅ１… ｅ）ＸｏｅＰｎｏｅ逆．ａｋ）ｒｎ（表示矩阵
的秩．Ａ一（，若口）Ｂ一（。记＊Ｂ一（（ｑ，矩阵和Ｂ的Ｈａａｒ６）× ，Ｊｆ）Ｊｆ＝ａｂ）为ＪＪｄｍａｄ积．义定（，一ｆ（。Ａ）空间Ｊ上的内积，Ｂ）ｒＢ，为Ｒ由此内积导出的范数ｌｌ一（Ａ）ＩＩ，一ｒＡ）（为矩阵的Ｆｏｅｉｓ范数，尺构成完备的内积空间．ｒｂｎｕ且定义１设Ｐ是给定的ｎ阶正交对称矩阵，Ｐ∈Ｒ，即 “ Ｐ一Ｐ—Ｐ＿，。若 ∈Ｊ“ ，ＲＡ一一Ａ，ＰＡ）＝（（ＰＡ）则称为反对称正交对称矩阵．有ｎ阶反对称正交对称矩阵的集合记为ＡＳ＂，所Ｒｐ．当Ｐ—Ｓ时，反对称正交对称矩阵就变为反对称次对称矩阵．可见，反对称次对称矩阵是特殊的反对称正交对称矩阵．现就反对称正交对称矩阵的左右逆特征值问题讨论如下：问题Ｉ给定，Ｒ， Ⅵ ∈Ｒ，ｚ∈Ｊｙ，，Ｐ是给定的ｎ阶正交对称矩阵，求 ∈ＡＳｐ使得Ｒ＂，ｆＡ）ｌＸ—ｚｌ＋ｌ一（一ＩＩＩｙ问题 Ⅱ 给定 ’ ， ∈Ｒ求 ∈Ｓ，使得

左逆,右逆,正交阵

矩阵集合上定义了乘法。

以向量内积为基础的矩阵乘法非常成功。

但它是不可交换的。

即，通常有AB ≠ BA，那怕在n 阶方阵子集中也这样。

矩阵的乘法有“单位元”E（n阶方阵）。

即在可乘的条件下，AE = A 或BE = B，E在乘法中的作用，就象数1那样。

若n 阶方阵A满秩，它就应该有逆元。

即“右逆”AB = E 或“左逆”CA = E由于矩阵乘法不可易，按理“右逆”与“左逆”可能不同。

但是《线性代数》中，满秩方阵A的逆阵B 的定义就是AB = BA = E之所以有这个特殊性，原因在于A有伴随阵A*基本恒等式A*A = A A* =|A| E在A满秩时，它告诉我们，A* /|A| 就既是A的“右逆”，又是A 的“左逆”。

且按照矩阵相等的定义，满秩方阵A的逆阵唯一。

有趣的是，如果n 阶方阵A 的“列向量组”是标准正交组（单位正交组），则A′A = E你只能先说A′ 是A的“左逆”。

A′ 的行，就是A的列。

左行右列作内积，恰好用上已知条件。

但是，逆阵唯一，“左逆”就是“右逆”。

A A′ = E这样一来，A的行向量组必定也是标准正交组。

同样，如果n 阶方阵 A 的“行向量组”是标准正交组，那它的列向量组必定也是标准正交组。

实际上，很简单，A A′ = E，则|A|=±1满秩方阵A的的逆阵唯一，A′ = ±A*只有两类正交阵——要么A的每一元就等于自己的代数余子式，要么A的每一元等于自己的代数余子式的相反数。

另有一个应用逆阵唯一性的好例。

例A和B都是n阶方阵，且AB =A−B，试证明，A+E 可逆，且AB = BA分析要先生成A+ E ，只有在AB =A−B 上想办法。

AB+B = A+E−E ，进而有E =（A+E）（E−B）这表明A+ E可逆，且它的（右逆）为E−B如何证第二问？好象没条件了。

如果你能想到，右逆就是左逆。

那就动笔试乘一下（E−B）（A+E）= E =（A+E）（E−B）整理后恰好有AB = BA真妙啊，研考题会不会这样做文章呢？！。

矩阵求逆的方法

前言矩阵理论在《线性代数》课程中有着重要的地位,矩阵和数相仿可以运算,特别是乘法和数一样有逆运算,其定义为:对于 n 阶方阵 A,如果存在 n 个阶段 B 使得 AB=BA=E,则 n 个阶方阵 A 为可逆的,B 为 A 的逆矩阵。

掌握好求逆矩阵的方法对线性方程组、二次型、线性变换等问题的解决有很大帮助。

关于矩阵求逆问题,不同的《线性代数》教材介绍了不同的方法。

下面对求逆矩阵方法进行全面论述,并做一步探讨。

1矩阵求逆常见的几种方法 1.1 用伴随矩阵法求逆矩定理1.1.1：n 阶矩阵)(ij a A =可逆的充要条件0≠A ，而且当)2(≥n 阶矩阵A 有逆矩阵，*-=A AA 11，其中*A 伴随矩阵。

例1 矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=412112013A 是否可逆？若可逆，求1-A 解：A A ∴≠=05可逆又511=A ，421=A ，3131=A ，1012=A ，1222=A ，332-=A ，013=A ，123=A ，133=A∴*-=A AA 11 例 2 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=543022001A ，*A 是A 的伴随矩阵，求()1-*A 解：1-*=A A A ，又()kB kB 11--=，所以()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡====---*5430220011011011111A A A AA A且有规律可循。

对于三阶以上方阵用该方法逆矩阵,不仅计算量大且易出错,一般不用此种方法。

对求出逆矩阵正确与否,一般用E AA A A ==--11来检验是否正确。

1.2 用初等变换法求逆矩阵定理 1.2.1 如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，l P P P 21,使得l P P P A 21=。

如果A 可逆，则1-A 也可逆，由上述定理，存在初等矩阵l Q Q Q ,,,21 使得l Q Q Q A 211=-那么A A AA E 11--== 即A Q Q Q E l 21= E Q Q Q A l 211=-于是我们得到一个求逆矩阵的方法如下：如果n 阶方阵A 可逆，作一个n n 2⨯的矩阵E A ，然后对此矩阵施以初等行换，使A 化为单位矩阵E 同时化为1-A ，即：E A 1-−−−→−A E 初等行变换例1 用初等行变换求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=521310132A 的逆矩阵解：=E A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100132310521100010001521310132 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--201010100910310521211010100600310521⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→316161100123210103461361001316161100010310100521 故⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=-3161611232134613611A 同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个n n ⨯2的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡E A ，然后此矩阵施以初等变换，使矩阵A 化为单位阵E ，则同时E 化为1-A ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1A E E A 初等列变换。

矩阵的左逆与右逆

第二专题广义逆矩阵广义逆矩阵是于1920年首次提出来的，1955年利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。

其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的发展。

它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。

为此，我们从线性方程组m n n m b x A =⨯的解开始讨论(n m >称为超定方程；n m <称为亚定方程)。

若存在向量x ，使b Ax =成立，则称线性方程组为相容方程组，否则称为不相容方程或矛盾方程。

对于相容方程组，若A 是列满秩的，则有唯一解；否则有无穷多解{}-=A A 1。

我们要找到唯一的极小范数解{}-=m A A 4,1。

对于矛盾方程我们要找到它的近似解——最小二乘解{}-=l A A 3,1；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的最小二乘解，称为最佳的最小二乘解（或极小范数最小二乘解，或最佳逼近解），{}+=A A 4,3,2,1。

§1 矩阵的左逆与右逆设A 是n 阶矩阵，A 可逆当且仅当存在n 阶矩阵B ，使得I BA AB ==当A 可逆时，其逆唯一，记为1-A .下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到n m ⨯矩阵上，定义一种单侧逆.一、满秩矩阵与单侧逆定义1 设n m R A ⨯∈，若存在矩阵m n R B ⨯∈，使得n I BA =则称A 是左可逆的，称B 为A 的一个左逆矩阵，记为1-L A .若存在矩阵m n R C ⨯∈，使得m I AC =则称A 是右可逆的，称C 为A 的一个右逆矩阵，记为1-R A .下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件.定理1 设n m R A ⨯∈，则下列条件是等价的：(1)A 是左可逆的； (2)A 的零空间{}0)(=A N ；(3)n A R n m =≥)(,,即A 是列满秩的；(4)A A T 是可逆的.证明)2()1(⇒，设A 是左可逆的，则存在m n R B ⨯∈，使得n I BA =，),(A N x ∈∀ 0=Ax ，于是00====B BAx x I x n ，即证A 的解空间{}0)(=A N .)3()2(⇒，由{}0)(=A N ，再根据线性方程组解的理论知，n A N n A R =-=)(dim )(，从而A 是列满秩的，当然有n m ≥.)4()3(⇒，设n A R =)(,由n A R A A A T ===)()(dim )](dim[μμ,知A A T 是可逆的.)1()4(⇒，由A A T 可逆，得n T T I A A A A =-1)(知T T A A A 1)(-是A 的一个左逆矩阵，即T T LA A A A 11)(--=。

广义逆矩阵及其应用

第七章广义逆矩阵及其应用广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组Ax=b （0 — 1）当A是ｎ阶方阵，且detA≠0时，则方程组（０－１）的解存在、唯一，并可写成x=Ab （0 — 2）但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵A往往是奇异方阵或是任意的m×n矩阵（一般m≠n），显然不存在通常的逆矩阵A，这就促使人们去想象能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G，使得其解仍可以表示为类似于式（0—2）的紧凑形式？即x=Gb （0 — 3）1920年摩尔（E. H. Moore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视，直到1955年，彭诺斯（R. Penrose）以更明确的形式给出了Moore 的广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。

本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。

§1 矩阵的几种广义逆1．11955年，彭诺斯（Penrose）指出，对任意复数矩阵Amxn，如果存在复矩阵Anxm，满足广义逆矩阵的基本概念−1−1AXA=A （1—1）XAX=X （1—2）(AX)H=AX （1—3）(XA)H=XA （1—4）则称X为A的一个Moore—Penrose广义逆，并把上面四个方程叫做Moore—Penrose方程，简称M—P方程。

由于M—P的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的X，叫做弱逆。

为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义。

定义1—1 设A∈Cmxn，若有某个X∈Cmxn，满足M—P方程（1—1）～（1—4）中的全部或其中的一部分，则称X为A的广义逆矩阵。

研究生矩阵理论课后答案第8章

线性方程组一般理论复习续
定理B:对一般线性方程组
Ax=b, ACrmn,xCn,bCm (1) ①(1)有解的充要条件是 bR(A)={Ay|yCn}(R(A)也称为A的值域) ②(1)有解的充要条件是rank(A,b)=rank A (增广矩阵(A,b)与系数矩阵A的秩相等,其意义是b是A的某些列的线性组合即bR(A)) ③(1)的通解=(1)的特解+齐次方程组通解N(A) (齐次方程组解空间N(A)={xCn|Ax=0}也称为A的核) ④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A < n dim N(A)= n-rank A= n-r > 0
①运算T,*与- 可交换(这是T,*与-1可交换的推广) AA-A=A(AA-A)T=AT即AT(A-)TAT=AT(A-)T=(AT)AA-A=A(AA-A)*=A*即A*(A-)*A*=A*(A-)*=(A*)②(A)-=+A-,其中,+=1/,当0;+=0,当=0 利用显然的等式:+= 不难验证 (A)(+A-)(A)=(+)AA-A=A(A)-=+A③ SCmmm,TCnnn ,(SAT)-=T-A-S这是(SAT)-1=T-1A-1S-1推广
3
1 0 0 1 1
3 1
0 0 5 2 0 0 1
2 1/ 2 0 P 1 0 0 3 2 1
1 0 11/ 2 5 / 2 0 1 3 Q 1 0 1
0 1 1 1
11 2 5 2
1 5 | 0 1 0 3 0 | 1 0 0 9 0 | 0 2 1 11/ 2 5 / 2 | 2 1 / 2 0 3 0 | 1 0 0 0 0 | 3 2 1

可逆矩阵判断条件

可逆矩阵判断条件矩阵在线性代数中扮演着极为重要的角色，而可逆矩阵则是其中的一个重要概念。

在矩阵理论中，可逆矩阵是指存在一个逆矩阵，使得两者相乘得到单位矩阵。

那么，如何判断一个矩阵是否可逆呢？本文将从几个角度来解释可逆矩阵的判断条件。

判断条件一：行列式非零一个矩阵是否可逆，最简单的判断方法就是计算它的行列式。

如果一个矩阵的行列式不等于零，那么它一定是可逆的。

这是因为行列式为零意味着矩阵的行（或列）之间存在线性相关关系，从而无法通过矩阵运算得到单位矩阵。

判断条件二：满秩矩阵一个矩阵的秩是指矩阵中非零行（或列）的最大个数。

如果一个矩阵的秩等于其行（或列）的个数，那么它是一个满秩矩阵。

满秩矩阵一定是可逆的，因为它的行（或列）是线性无关的，不存在线性相关关系。

判断条件三：存在左逆矩阵和右逆矩阵一个矩阵存在左逆矩阵和右逆矩阵时，它一定是可逆的。

左逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得B与原矩阵A相乘等于单位矩阵；右逆矩阵是指存在一个矩阵C，使得原矩阵A与C相乘等于单位矩阵。

当左逆矩阵和右逆矩阵都存在时，它们一定是相等的，即B=C，这个共同的矩阵就是原矩阵A的逆矩阵，证明了矩阵A是可逆的。

判断条件四：矩阵的列向量线性无关一个矩阵的列向量是指该矩阵的列组成的向量。

如果一个矩阵的列向量线性无关，那么它是可逆的。

这是因为线性无关的列向量可以构成一个线性无关的矩阵，从而通过矩阵运算得到单位矩阵。

判断条件五：矩阵的行向量线性无关一个矩阵的行向量是指该矩阵的行组成的向量。

如果一个矩阵的行向量线性无关，那么它是可逆的。

这是因为线性无关的行向量可以构成一个线性无关的矩阵，从而通过矩阵运算得到单位矩阵。

可逆矩阵的判断条件主要有行列式非零、满秩矩阵、存在左逆矩阵和右逆矩阵、矩阵的列向量线性无关以及矩阵的行向量线性无关。

这些条件可以单独使用，也可以综合使用，来判断一个矩阵是否可逆。

在实际问题中，我们可以通过运用这些判断条件来解决矩阵相关的计算和应用问题。

R对称矩阵左右逆特征值问题的有解条件

ＡＱ（
引理２
ＱｐＴ）
其中Ａｖ＝ＰＰ ∈Ｒ，口ｖＡＱ＝ＱＡＱＥＲｒ
设Ａ是Ｒ对称矩降如果（ｚ是Ａ，）
Ａ的特征值对，（，）则Ａ也是的特征值对．如果Ａ是Ａ的一个特征值，则（Ａ）包含形如＝Ｐｘ＋的向量，中其
有如下形式
的，在本文中，Ｒ＝ＪＪ当（是次对角线上为１其他，
位置上全为０的矩阵）时，对称矩阵的左右逆特征值问题就变成了中心对称矩阵的左右逆特征值
问题．
Ａｃ三（＝ｐＰ（）ＱＱＴ）
（下转２９页）８
第２期
占德胜：类Ｌｎａ一ａｄｕ—Ｌｆｉ型泛函的极小元的零点分布ｉｈｔｓｚ
０引言
Ｒ，Ｒ分别表示所有１×ｍ实矩阵和所有Ｏ７，
８（）占（）Ｒ１，一１是 “的子空间．
记ｒｉ（），＝ｄｍ（１］贝＋＝ｄｍ［１］ｓｉ［一），０ｒ
ｓ＝凡对于Ｒ＝Ｒ＝Ｒ一 ±，ｒｓ≥ １， ≠ ，，．
＝
所研究的问题Ｒ在中有解当且仅当ｙＸ＝ｒＡＸＸＡＸ，＝ｙ＋Ｙ（）２且一般解为
＝，
Ａ＝Ｘ）ＡＸ＋（
（一髓Ｌ）
＋（一ｙｚ（＾一Ｘ， ∈Ｒ厶ｙ），Ｘ）ＶＺ（）３定理设，ｙ如（）式所示，本文所以，，１则研究的问题ＲＲ在中有解当且仅当ＳＵＸ＝Ａ，Ａ＝Ｘ，＝ｙＸＡＸｙ（）４

第4章--矩阵的广义逆

Er 0
0 0

mn
，则
A

Er G21

Er 0
0 0

Er G21
G12 G22
nm
，
其中 G12 , G21, G22 是任意给定的．
G12 G22

nm
，
即
证明因为对任意的

Er G21
G12 G22

，都有
nm
AL1

1 0
2 1
00
9
例2
设矩阵A为
A

1 0
2 1
21
求A的一个右逆矩阵AR1.
解
1 2 1

A E3

0 1 0
1 0 1
2
0

0

0
0
1

1 0 0
0 1 2

1
2
则称G为A的广义逆矩阵,记为G A .
定理1设 A C m n , 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C m n , 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在G C nm , 使其满足 AGA A
按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆
矩阵共有 15 类，即
C41

C
2 4
C43

C
4 4
15
．
但应用较多的是以下 5 类：
A{1}， A{1, 2}， A{1, 3}， A{1, 4}， A{1, 2, 3, 4}．

矩阵论学习-(矩阵广义逆)-1

左逆 , B 是 A 的一个左逆 , 记为 AL- 1 = B .同样 , 对于 A∈ Cm× n , 若存在 C∈ Cn× m , 使得
AC = Im , 则称 A 有右逆 , C 是 A 的一个右逆 , 记为 AR- 1 = C .
定理 1 .1 A∈ Cm × n (1 ) A 有左逆 r( A ) = n( 即 A 是列满秩 )
C - 1 BL- 1 A - 1 是 ABC 的一个左逆 .
(2 ) 若 B 是一个右可逆 , r( B) = m , r ( ABC) = r( B) = m , 故 ABC 是右可逆
的,且
C-
B 1 - 1 R
A-
1是
ABC
的一个右逆
.
例 4 .1－5 A∈ Rm × n 是一个行满秩矩阵 , 证明 A 有右逆为
( I + AL- 1 B - I) - 1 AL- 1 B =
( AL- 1 B) - 1 ( AL- 1 B) = In ,
即
[(
I+
C) -
1
AL- 1 ] B =
In , 故
B 的左逆为
BL-
1
=
(
I+
C) -
A 1 - 1 L
.
§4 .2 矩阵广义逆
[内容提要]
1 . Moore－Pe nrose 广义逆 A + 定义 2 .1 设 A∈ Cm × n , 若矩阵 G∈ Cn× m , 满足下面四个条件 :
(2 ) 求 A 的一般左逆 . r ( Am × n ) = n , 则存在 P , 使得
PA =
In 0
,
第四章矩阵广义逆
131

矩阵左逆和右逆的关系

矩阵左逆和右逆的关系
在线性代数中，矩阵的逆是一个非常重要的概念。

对于一个可
逆矩阵A，我们可以找到一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位
矩阵。

这个矩阵B就被称为A的逆矩阵。

然而，有时候我们会遇到矩阵只有左逆或者只有右逆的情况。

矩阵A的左逆是指存在一个矩阵B，使得BA=I，而右逆是指存在一
个矩阵C，使得AC=I。

那么矩阵的左逆和右逆之间有什么关系呢？实际上，对于一个
可逆矩阵来说，左逆和右逆是相等的。

也就是说，如果一个矩阵既
有左逆又有右逆，那么它的左逆和右逆是相同的。

证明这一点并不难。

假设B是A的左逆，C是A的右逆。

那么
我们有BA=I和AC=I。

现在我们来看BA=I这个等式，我们可以在两
边同时乘以C，得到(BA)C=IC，即B(AC)=C。

由于AC=I，所以B=C。

因此，A的左逆和右逆是相等的。

这个结论告诉我们，对于可逆矩阵来说，左逆和右逆是相同的，它们都是矩阵的逆。

但是对于不可逆矩阵来说，左逆和右逆可能是
不同的，有时候甚至可能一个存在而另一个不存在。

总之，矩阵左逆和右逆的关系是非常重要的，它告诉我们在研
究矩阵逆的时候，左逆和右逆是等价的，但是在处理不可逆矩阵时，它们可能会有所不同。

对于矩阵理论和应用来说，这一点都具有重
要的意义。

矩阵的逆相关公式

矩阵的逆相关公式矩阵的逆，这可是数学里一个相当重要的概念！咱先来说说啥是矩阵的逆。

简单来讲，对于一个矩阵 A，如果存在另一个矩阵 B，使得 A 乘以 B 等于单位矩阵 I，同时 B 乘以 A 也等于单位矩阵 I，那矩阵 B 就是矩阵 A 的逆，记作 A⁻¹。

那矩阵的逆咋求呢？这就得用到一些公式啦。

比如说，对于一个2×2 的矩阵 A = [a b; c d] ，它的逆矩阵 A⁻¹ = 1/(ad - bc) * [d -b; -c a] 。

这里要注意哦，分母 ad - bc 可不能等于 0 ，要是等于 0 ，那这个矩阵就没有逆矩阵啦。

我给您讲个我以前教学时候的事儿。

有一次上课，我给学生们讲矩阵的逆，有个学生特别迷糊，怎么都理解不了。

我就给他举了个例子，说就好比咱们玩儿拼图，一个完整的拼图就是那个单位矩阵，而矩阵A 就是打乱的拼图块，矩阵B 呢，就是能把这打乱的拼图块还原成完整拼图的步骤。

这学生一下子好像有点开窍了。

再说说求逆矩阵的其他方法。

对于 n×n 的矩阵，咱们还可以用初等行变换的方法来求。

把矩阵 A 和单位矩阵 I 并排放在一起，通过一系列的初等行变换，把左边的 A 变成单位矩阵 I ，这时候右边的矩阵就变成了 A 的逆矩阵啦。

还有一种方法是用伴随矩阵来求。

先求出矩阵 A 的伴随矩阵，然后再除以矩阵 A 的行列式的值，就能得到矩阵 A 的逆矩阵。

学习矩阵的逆相关公式，可不能死记硬背哦，得多多练习，多做几道题，才能真正掌握。

就像我之前那个学生，经过多次练习，后来他对矩阵的逆那叫一个熟练！总之，矩阵的逆相关公式虽然有点复杂，但只要咱们耐心学，多琢磨，多练习，就一定能拿下它！希望您通过我的这番讲解，对矩阵的逆相关公式能有更清晰的认识和理解。

加油！。

矩阵的逆初等变换法

矩阵的逆初等变换法
矩阵的逆初等变换法是指通过一系列初等矩阵的乘法，将一个矩阵转化为单位矩阵，进而求出该矩阵的逆矩阵的方法。

步骤：
1.构造增广矩阵（即将单位矩阵并在原矩阵的右侧）。

2.对增广矩阵进行逆初等变换的操作，使左侧成为单位矩阵，右侧的矩阵则为所求的逆矩阵。

逆初等变换包括三种形式：
1.交换矩阵的两行/列：初等行列变换矩阵P。

2.将矩阵的某一行/列乘以一个非零常数k：初等缩放矩阵D。

3.将矩阵中某一行/列加上另一行/列的k倍：初等转换矩阵T。

每一种初等矩阵都有一个相应的逆矩阵。

这样，在对矩阵进行逆初等变换的操作时，我们可以对增广矩阵的左侧应用相应的初等矩阵的逆矩阵，来达到使左侧变为单位矩阵的目的。

同时，在每次对左侧应用初等矩阵的逆矩阵时，将右侧的矩阵也应用相同的初等矩阵的逆矩阵，以保证两侧的关系不变。

最终，增广矩阵左侧变为单位矩阵时，增广矩阵的右侧矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

《缺项算子矩阵的右(左)可逆补》范文

《缺项算子矩阵的右（左）可逆补》篇一一、引言在算子理论及其应用领域中，缺项算子矩阵是一个常见的问题。

此类矩阵可能因各种原因（如缺失项或对角线上的某些元素未定义）而无法直接进行逆运算。

然而，在许多实际问题中，我们往往需要找到一种方法来近似地完成这种逆运算，即所谓的“可逆补”。

本文将探讨缺项算子矩阵的右（左）可逆补问题，并介绍一种有效的解决方法。

二、问题描述设A为缺项算子矩阵，其中某些元素缺失或未定义。

我们的目标是找到一个与A相关的矩阵B，使得B在某种意义上“补全”了A的缺失部分，从而使得AB（或BA）在某些特定条件下成为右（左）可逆的。

这样的补全方法需要具备一定的理论支撑和实践价值。

三、右（左）可逆补的定义及性质为了找到缺项算子矩阵的右（左）可逆补，我们首先需要明确右（左）可逆补的定义及性质。

右（左）可逆补是指通过添加或修改矩阵元素，使得原矩阵与补全后的矩阵乘积在右侧（或左侧）具有逆矩阵。

这种补全方法必须保证补全后的矩阵在数学上是稳定的，且能够有效地近似原矩阵的逆运算。

四、缺项算子矩阵的右（左）可逆补方法针对缺项算子矩阵的右（左）可逆补问题，我们提出以下方法：1. 分析原矩阵A的缺失部分，确定需要补全的元素及其类型（如对称元素、对角线元素等）。

2. 利用已知的数学理论和计算方法，如矩阵的插值法、最优逼近法等，对缺失部分进行合理的估计和补全。

3. 验证补全后的矩阵B是否满足右（左）可逆的条件。

这通常涉及到计算AB（或BA）的行列式或通过其他方法判断其是否具有逆矩阵。

4. 如果B不满足条件，则需调整补全策略，重复上述步骤，直到找到满足条件的右（左）可逆补。

五、实例分析以一个具体的缺项算子矩阵为例，我们应用上述方法进行右（左）可逆补。

通过分析该矩阵的缺失部分，我们利用插值法和最优逼近法对缺失元素进行估计和补全。

然后计算补全后的矩阵与原矩阵的乘积，验证其是否具有右（左）可逆性。

如果满足条件，则得到有效的右（左）可逆补；如果不满足，则需调整补全策略并重新计算，直到找到满意的解。

矩阵的左逆与右逆

第二专题广义逆矩阵广义逆矩阵是E.H.Moore 于1920年首次提出来的，1955年R.Penrose 利用矩阵方程组给出它更为明确简便的定义。

其后，广义逆矩阵在理论和应用方面都得到了迅速的开展。

它在微分积分方程、数理统计、最优化、测量学等应用科学中发挥了重要作用，更是研究最小二乘等问题不可缺少的工具。

为此，我们从线性方程组m n n m b x A =⨯的解开始讨论(n m >称为超定方程；n m <称为亚定方程)。

假设存在向量x ，使b Ax =成立，那么称线性方程组为相容方程组，否那么称为不相容方程或矛盾方程。

对于相容方程组，假设A 是列满秩的，那么有唯一解；否那么有无穷多解{}-=A A 1。

我们要找到唯一的极小范数解{}-=mA A 4,1。

对于矛盾方程我们要找到它的近似解——最小二乘解{}-=l A A 3,1；如果最小二乘解不唯一，我们要找到唯一的最小二乘解，称为最正确的最小二乘解〔或极小范数最小二乘解，或最正确逼近解〕，{}+=A A 4,3,2,1。

§1 矩阵的左逆与右逆设A 是n 阶矩阵，A 可逆当且仅当存在n 阶矩阵B ，使得I BA AB ==当A 可逆时，其逆唯一，记为1-A .下面，我们把方阵的逆矩阵概念推广到n m ⨯矩阵上，定义一种单侧逆.一、满秩矩阵与单侧逆定义1 设n m R A ⨯∈，假设存在矩阵m n R B ⨯∈，使得n I BA =那么称A 是左可逆的，称B 为A 的一个左逆矩阵，记为1-L A .假设存在矩阵m n R C ⨯∈，使得m I AC =那么称A 是右可逆的，称C 为A 的一个右逆矩阵，记为1-R A .下面给出矩阵左逆与右逆的几个等价条件.定理1 设n m R A ⨯∈，那么以下条件是等价的：(1)A 是左可逆的； (2)A 的零空间{}0)(=A N ；(3)n A R n m =≥)(,,即A 是列满秩的；(4)A A T 是可逆的. 证明)2()1(⇒，设A 是左可逆的，那么存在m n R B ⨯∈，使得n I BA =，),(A N x ∈∀ 0=Ax ，于是00====B BAx x I x n ，即证A 的解空间{}0)(=A N .)3()2(⇒，由{}0)(=A N ，再根据线性方程组解的理论知，n A N n A R =-=)(dim )(，从而A 是列满秩的，当然有n m ≥.)4()3(⇒，设n A R =)(,由n A R A A A T ===)()(dim )](dim[μμ,知A A T 是可逆的.)1()4(⇒，由A A T 可逆，得n T T I A A A A =-1)(知T T A A A 1)(-是A 的一个左逆矩阵，即T T L A A A A 11)(--=。

(完整word版)矩阵的单侧逆

目录内容摘要 (1)引言及预备知识： (1)1. 单侧可逆的矩阵的性质 (2)2. 矩阵的单侧逆的计算通式................................ 错误!未定义书签。

3。

矩阵的单侧逆的算法................................... 错误!未定义书签。

4. 矩阵的单侧逆的应用.................................... 错误!未定义书签。

参考文献：............................................... 错误!未定义书签。

矩阵的单侧逆【内容摘要】：本文主要研究了矩阵的单侧逆，讨论了单侧可逆矩阵具有的性质，和可逆矩阵一样，单侧可逆的矩阵具有多种性质.本文给出了单侧正定矩阵的定义，还研究了在投影变换中矩阵的单侧逆。

最后本文根据前人得出的矩阵的单侧逆的计算通式，和用单侧逆求解线性方程组的方法,在应用方面给出了具体的实例。

【关键词】：单侧逆；线性方程;投影变换；计算通式引言及预备知识：矩阵的逆及其推广在各领域有不同程度的应用，对于矩阵的逆的研究有着重要的理论价值和实际意义。

但是逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵有意义，而在实际问题中,遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定是非奇异的。

所以矩阵的逆的推广对解决实际问题有重大意义，矩阵的单侧逆便是其中一种。

矩阵的单侧逆在矩阵方程、投影变换等问题中有着重要的应用，所以对矩阵的单侧逆的研究有着重要的意义.受正定矩阵的判定定理（一个矩阵是正定的当且仅当它与单位阵合同）启发,本文给出了单侧正定矩阵的定义。

在本文中，用m n R ⨯表示实数域上一切m n ⨯阶矩阵的集合,n I 表示n 阶单位阵,()rank A 表示矩阵A 的秩，T A 表示矩阵A 的转置，n R 表示n 维线性空间.定义 [3]1. 矩阵n n A R ⨯∈，如果存在矩阵n n B R ⨯∈，使得n AB BA I ==,则说矩阵A 是可逆的，称矩阵B 为矩阵A 的逆矩阵,记作1A -.定义 [1]2. 矩阵m n A R ⨯∈,如果存在矩阵n m B R ⨯∈，使得n BA I =(m AB I =），则称矩阵A 是左（右)可逆的。

矩阵的左逆与右逆

第4章 矩阵的广义逆

求矩阵的逆矩阵的方法

反对称正交对称矩阵的左右逆特征值问题

左逆,右逆,正交阵

矩阵求逆的方法

矩阵的左逆与右逆

广义逆矩阵及其应用

研究生矩阵理论课后答案第8章

可逆矩阵判断条件

R对称矩阵左右逆特征值问题的有解条件

第4章--矩阵的广义逆

矩阵论学习-(矩阵广义逆)-1

矩阵左逆和右逆的关系

矩阵的逆相关公式

矩阵的逆初等变换法

《缺项算子矩阵的右(左)可逆补》范文

矩阵的左逆与右逆

(完整word版)矩阵的单侧逆

第4章矩阵的广义逆