高考数学压轴专题长沙备战高考《计数原理与概率统计》知识点训练及答案

【高中数学】数学高考《计数原理与概率统计》复习资料

一、选择题

1．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．

13

B ．

14

C ．

15

D ．

12

【答案】A 【解析】 【分析】

根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】

由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率11333315

5C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率13

3325

5C A 3A 20P ==,所以所求概率为21

13P P P ==. 故选：A 【点睛】

本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.

2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v

共线的概率为( ) A ．

1

3

B ．

14

C ．

16

D ．

112

【答案】D 【解析】 【分析】

由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r

共线的基本事件的个数，利用

古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】

由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636⨯=种结果，

又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r

共线，即630m n -=，即2n m =，

满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，

所以向量p u r 与q r 共线的概率为31

3612

P =

=，故选D 。 【点睛】

本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础

题。

3．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（

表示一根阳线，

表示一根阴线），从

八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（ ）

A ．

314

B ．27

C ．

928

D ．

1928

【答案】A 【解析】 【分析】

列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】 根据题意一共有：

乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑； 巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑； 离艮、离兑；艮兑，28种情况.

满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种.

故632814p =

=. 故选：A . 【点睛】

本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

4．下列四个结论中正确的个数是

（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2

010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；

（2）已知2

(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=

（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为

ˆ23y

x =-； （4）“1x ≥”是“1

2x x

+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得

2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的；

（2）中，已知(

)2

2,X N σ

~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所

以 (2)0.5P X >=是正确的；

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质

和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y

x =-是正确；

（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，

所以“1x ≥”是“1

2x x

+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ） A ．

112

B ．

115

C ．

118

D ．

114

【答案】D 【解析】 【分析】

先得到随机抽取两个不同的数共有28种，再得出选取两个不同的数，其和等于20的共有2中，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】

由题意，在不超过20的素数有：2,3,5,7,11,13,17,19，共有8个数，

随机选取两个不同的数，共有2

828C =种，

其中随机选取的两个不同的数，其和为20的有31720,71320+=+=，共有2种， 所以概率为212814

P ==. 故选：D . 【点睛】