对数导学案

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对数导学案

4．3 对数导学案（一）学习目标1、理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；掌握利用计算器求对数值的方法；了解积、商、幂的对数．2、会进行指数式与对数式之间的互化；会运用函数型计算器计算对数值；培养计算工具的使用技能．重点、难点：指数式与对数式的关系；对数的概念．一、创设情景兴趣导入1、问题2的多少次幂等于8？ 2的多少次幂等于9？ 2、推广已知，如何求出，如何用表示出的问题． 3、解决为了解决这类问题，引进一个新数——二、动脑思考探索新知1、概念如果，那么 b 叫做，记作lo g a b N= ，其中a 叫做，N 叫做．例如，328=写作3l o g 82=，3叫做以2为底8的对数；1293=写作，12叫做以；3100.001-=写作，−3叫做以对数．2、指数式与对数式形如的式子叫做指数式，形如的式子叫做对数式．当0,1,0>≠>N a a 时3、对数的性质：（1）；（2）；（3）N >0，．三、巩固知识典型例题⇔=N abb N a=log例1 将下列指数式写成对数式：（1）411()216=；（2）13273=；（3）31464-=；（4）10xy=．分析依照上述公式由左至右对应好各字母的位置关系．解（1）；（2）；（3）；（4）．例2 将下列对数式写成指数式：（1）2log 325=；（2）31lo g 481=-；（3）10log 10003=；（4）21lo g 38=-．分析依照上述公式，由右至左对应好各字母的位置关系．解（1）；（2）；（3）；（4）．例3 求下列对数的值． (1)3lo g 3； (2)7log 1．分析（1）题可以利用性质（2）；（2）题可以利用性质（1）．解（1）由于相同，由对数的性质（2）知3log 3= ．（2）由于为，由对数的性质（1）知7log 1= ．四、运用知识强化练习1．将下列各指数式写成对数式： (1)35125=； (2)20.90.81=； (3)0.20.008x=； (4)1313437-=．2．把下列对数式写成指数式： (1)12lo g 42=-； (2)3log 273=； (3)5log 6254=；(4)0.011lo g 102=-．3．求下列对数的值：(1)7lo g 7； (2)0.5log 0.5； (3)13lo g 1； (4)2log 1．4．3 对数导学案（二）学习目标1、理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；掌握利用计算器求对数值的方法；了解积、商、幂的对数．2、会进行指数式与对数式之间的互化；会运用函数型计算器计算对数值；培养计算工具的使用技能．重点、难点：指数式与对数式的关系；对数的概念．一、复习引入 1、对数的概念如果，那么 b 叫做，记作lo g a b N= ，其中a 叫做，N 叫做． 2、指数式与对数式形如的式子叫做指数式，形如的式子叫做对数式．当0,1,0>≠>N a a 时3、对数的性质：（1）；（2）；（3）N >0，．二、动脑思考形成新知1、常用对数：以叫做常用对数，10lo g N简记为．如10lo g 2记为．2、自然对数：以（e= ，在科学研究和工程计算中被经常使用）为底的对数叫做自然对数，e lo g N简记为．如e log 5记为．三、创设问题自我探究问题等式lg 2lg 5+=lg 7、lg 2lg 5+=lg 10是否成立？等式222log 12log 4log 8-=、222log 12log 4log 3-=是否成立？等式333log 2log 6=、333log 2log 8=是否成立？解决⇔=N abb N a=log请利用计算器验证．结论lg 2lg 5+= ； =-4log12log 22 ；=2log33；四、动脑思考探索新知1、对数的运算法则法则1：（M >0，N >0）；法则2：（M >0，N >0）；法则3：lg nM= （n 为整数，M >0）．五、巩固知识典型例题例5 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：（1）lg xyz ；（2）lgx y z；（3）lgz分析要正确使用对数的运算法则．解（1） lg xyz=（2）lgx yz= = = ；（3）lgz= + — = ．六、运用知识强化练习1、用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：（1）lg ；（2）lgxy z；（3）2lg()y x．2、归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？4．3 对数导学案（习题课）班级：姓名：评价：学习目标1、进一步理解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；掌握利用计算器求对数值的方法；了解积、商、幂的对数．2、学会进行指数式与对数式之间的互化；会运用函数型计算器计算对数值；培养计算工具的使用技能．重点、难点：指数式与对数式的关系；对数的概念．对数的运算法则。

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2.2.1对数与对数运算（一）一【学习目标】（一）教学知识点1.对数的概念；2．对数式与指数式的互化．（二）能力训练要求1.理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识．二、教学重点：对数的定义．三、教学难点：对数概念的理解．四【新课讲授】(导学)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？列出表达式：（自学）知识点1 ：对数的概念1.对数定义：一般地，如果，)1,0(≠>a a 且则数 b 叫做以a 为底 N 的对数，记作，其中a 称为对数的底，N 称为真数. （b N N a a b =⇔=log ）（1）底数的取值范围；真数的取值范围（2）对数式和指数式关系式子名称 a b N指数式对数式思考1．将下列指数式写成对数式：（1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（知识点2 两种重要对数1.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作．思考2：5log 10简记作； 5.3log 10简记作2.自然对数：用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， N e log 简记作思考3：3log e 简记作 10log e 简记作思考4．将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=；（2）7128log 2=；（3）201.0lg -=；（4）303.210ln =．知识点三 : 重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ， 1log =a a ⑶对数恒等式N aNa =log五【典例欣赏】（互学） 1对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.2对数基本运算例2求下列各式中的x 的值：（1）32log 64-=x ；（2）68log =x ；（3）x =100lg ；（4）x e =-2ln 。

对数函数导学案

对数与对数函数导学案一、学习目标：1、理解对数的概念，掌握对数的基本运算，并领会对数函数的图像与性质；2、会灵活使用对数函数的图像和性质解决与对数函数相关的问题；3、加深对图像法、比较法等一些常规方法的理解，进一步体会分类讨论，数形结合等数学思想。

二、重点：对数函数的图像与性质的应用。

难点：利用对数函数的性质来解决实际问题。

三、课前热身：1、指数式与对数式的关系：N a b =⇔ (10≠>a a 且)2、对数恒等式：=1log a ， =a a log ， =N a a log (10≠>a a 且)3、运算法则：⎪⎩⎪⎨⎧===na a a log N Mlog (MN)log M4、换底公式：5、换底公式的两个较为常用的推论：（1） =⋅a b b a log log ；（2） =n a b m log （ a , b > 0且均不为1）四、随堂演练1、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（）A 、13 B 、123 C 、122 D 、1332、函数(21)log 32x y x -=-的定义域是（）A 、),1()1,32(+∞B 、),1()1,21(+∞C 、),32(+∞D 、),21(+∞3、若16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，则m 的值为（） A ．2 B.9 C.18 D.174、已知x e f x =)(，则)5(f 等于（）A ．5ln B.5ln - C.e 5log D.5e5、若0log log 2121<<n m ，则（）A 、1<<m nB 、1<<n mC 、n m <<1D 、m n <<1 6、若12log <a ，则a 的取值范围是（）A 、)2,1(B 、),2()1,0(+∞C 、)2,1()1,0(D 、)1,0(7、若b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个根，则2)(lg ba等于（）A 、2B 、21C 、4D 、418、当10<<a 时，在同一坐标系中，函数y =a －x与y ＝log a x 的图象是（）9、为了得到函数103lg+=x y 的图象，能够把函数x y lg =的图象（） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 10、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在)1,(--∞上是减少的11、已知集合{}2,log 2>==x x y y A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==0,)21(x y y B x ，则A B = 。

《对数函数图像及其性质》导学案

《对数函数图像及其性质》导学案对数函数图像及其性质导学案1. 引言本导学案旨在介绍对数函数的图像及其性质。

对数函数是数学中一种重要的函数类型，具有广泛的应用领域。

通过研究对数函数的图像和性质，我们可以更好地理解和应用对数函数。

2. 对数函数的定义对数函数是指以某个正数为底的对数函数，一般表示为 $y = \log_{a}x$，其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$。

对数函数的定义域为正实数集合 $x>0$，值域为实数集合。

3. 对数函数的图像对数函数的图像在直角坐标系中呈现一条曲线，具体的图像形状和走势与底数 $a$ 的大小有关。

下面以底数 $a=2$ 和底数$a=\frac{1}{2}$ 为例进行说明。

3.1 底数为2的对数函数图像当底数 $a=2$ 时，对数函数 $y = \log_{2}x$ 的图像如下所示：![log_2(x)](log_2(x).png)3.2 底数为1/2的对数函数图像当底数 $a=\frac{1}{2}$ 时，对数函数 $y =\log_{\frac{1}{2}}x$ 的图像如下所示：![log_{1/2}(x)](log_{1/2}(x).png)4. 对数函数的性质对数函数具有以下几个重要的性质：- 对于任意正实数 $x_1$ 和 $x_2$，以及任意实数 $k$，都有$\log_{a}(x_1 \cdot x_2) = \log_{a}x_1 + \log_{a}x_2$ 和$\log_{a}(x_1^k) = k \cdot \log_{a}x_1$。

- 对于任意正实数 $x$ 和 $a > 1$，有 $\lim_{x \to +\infty}\log_{a}x = +\infty$。

换言之，当自变量 $x$ 趋向正无穷时，对数函数的取值趋向正无穷。

- 对于任意正实数 $x$，有 $\lim_{x \to 0^{+}} \log_{a}x = -\infty$。

对数函数导学案(全章)

对数函数导学案(全章)导学目标本章主要介绍对数函数及其性质，通过研究，你将了解以下内容：- 对数函数的定义与表示方法；- 对数函数的性质及其与指数函数之间的关系；- 对数函数在实际问题中的应用。

1. 对数函数的定义与表示方法1.1 对数函数的定义对数函数是一种能够描述指数运算逆运算的数学函数。

设正数a > 0 且a ≠ 1，b > 0，则以 a 为底 b 的对数，记作logₐb，定义为满足a^logₐb = b 的实数。

1.2 对数函数的表示方法对数函数可以用不同的表示方法来表示，常见的有以下两种：- 指数形式：logₐb = x，表示以 a 为底 b 的对数为 x；- 运算形式：logₐb = logc b / logc a，表示以 a 为底 b 的对数，等于以任意正数 c 为底 b 的对数与以 c 为底 a 的对数的商。

2. 对数函数的性质与关系2.1 对数函数的性质对数函数具有以下性质：- logₐa = 1；- logₐa^x = x，其中 a > 0，a ≠ 1；- logₐ1 = 0，其中 a > 0，a ≠ 1；- log₁₀10 = 1，log₂2 = 1。

2.2 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数之间存在着紧密的联系：- 若 a^x = b，则logₐb = x；- 若logₐb = x，则 a^x = b。

3. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 在经济学中，对数函数可以用来描述利率、复利和指数增长等问题；- 在物理学中，对数函数可以用来描述声音的音量、地震的震级等问题；- 在计算机科学中，对数函数可以用来描述算法的时间复杂度等问题。

总结本章主要介绍了对数函数的定义与表示方法，对数函数的性质与指数函数的关系，以及对数函数在实际问题中的应用。

通过研究，你可以更好地理解并运用对数函数解决相关的数学问题。

参考资料:- 张宇老师. (2021). 《高中数学》. 北京师范大学出版社.。

第5课时《对数》导学案

��
.
(2)设经过 x 年国民生产总值达到翻两番的目标,那么 (1+8%)x=4,两边取常用对数可得:xlg 1.08=lg 4, 解得 x=
�� ≈ ��.��
18 (年).
导.学. 固. 思
=
lg3
=log3m,
2 2
∴有 log3m=log44 =2,即 m=3 =9. b (2)(法一)因为 18 =5,所以 log185=b, 于是 log3645=
lo g 18 45 lo g 18 36 lo g 18 (18×2) lo g 9+lo g 18 5 a+b = 18 . 18 = 2 -a 1+lo g 18
【解析】根据对数式的意义得不等式组 a-2 > 0, 5-a > 0,∴2<a<5 且 a≠3. a-2 ≠ 1,
2
式子
lo g 8 9 的值为( A lo g 2 3 2 3 A. B. 3 2
). C.2
= log23,∴原式= .
3 2
D.3
【解析】∵log89=
lo g 2 32 2 lo g 2 23 3
多长?(2)取多少次,还有0.125尺?
实例2:假设2008年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值达到翻两番的目标?
导.学. 固. 思
问题1
根据上述情境,我们由指数函数来了解对数函数 1 �� 4 的意义:(1)取 4 次之后,还剩下( ) = ,我 �� 16 们设取 x 次后还剩下 0.125 尺,那么列出方程 ( )x=0.125⇒x= 3

《对数的概念》教案、导学案与同步练习

《第四章指数函数与对数函数》《4.3.1对数的概念》教案【教材分析】对数与指数是相通的，本节在已经学习指数的基础上通过实例总结归纳对数的概念，通过对数的性质和恒等式解决一些与对数有关的问题.【教学目标与核心素养】课程目标1、理解对数的概念以及对数的基本性质；2、掌握对数式与指数式的相互转化；数学学科素养1.数学抽象：对数的概念；2.逻辑推理：推导对数性质；3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质. 【教学重难点】重点：对数式与指数式的互化以及对数性质；难点：推导对数性质．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】一、情景导入已知中国的人口数y 和年头x 满足关系中，若知年头数则能算出相应的人口总数。

反之，如果问“哪一年的人口数可达到18亿，20亿，30亿......”，该如何解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本122-123页，思考并完成以下问题 1.对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？ 2.什么是常用对数和自然对数？13 1.01xy =⨯3.如何进行对数式和指数式的互化？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．[点睛] log a N 是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．2．常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg_N ，log e N 简记为ln_N .3．对数与指数的关系若a ＞0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：a log a N ＝N ；log a a x ＝x (a ＞0，且a ≠1)． 4．对数的性质 (1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数．四、典例分析、举一反三题型一对数式与指数式的互化例1将下列指数式与对数式互化:(1)lo g 1327=-3; (2)43=64;(3)e -1=1e ; (4)10-3=0.001.【答案】(1)(13)-3=27. (2)log 464=3.(3)ln 1e =-1. (4)lg0.001=-3. 解题技巧：（对数式与指数式的互化）1.(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N 三者之间的同一种关系.如下图:2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需log ba Nb a N ==与将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.跟踪训练一1. 将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=14; (2)102=100; (3)e a =16;(4)log 6414=-13; (5)log x y=z (x>0,且x ≠1,y>0).【答案】(1)log 214=-2. (2)log 10100=2,即lg100=2.(3)log e 16=a ,即ln16=a. (4) 64-13=14.(5)x z=y(x>0,且x≠1,y>0).题型二利用对数式与指数式的关系求值例2求下列各式中x 的值: (1)4x=5·3x; (2)log 7(x+2)=2; (3)lne 2=x; (4)log x 27=32;(5)lg0.01=x.【答案】（1）x=lo g 435（2）x=47（3）x=2（4）x=9（5）x=-2【解析】(1)∵4x=5·3x,∴4x3x =5,∴(43)x=5,∴x=lo g 435.(2)∵,∴x+2=49,∴x=47. (3)∵,∴,∴x=2.(4)∵,∴x 32=27,∴x=2723=32=9. (5)∵lg0.01=x,∴,∴x=-2. 解题技巧：（利用对数式与指数式的关系求值）指数式ax=N 与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N 之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.跟踪训练二1.求下列各式中的x 值:7log (2)2x +=2ln e x =2x e e =3log 272x =2100.0110x -==(1)log 2x=12;(2)log 216=x ;(3)log x 27=3. 【答案】（1）x=√2（2）x=4（3）x=3 【解析】(1)∵log 2x=12,∴x=212,∴x=√2. (2)∵log 216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4. (3)∵log x 27=3,∴x 3=27,即x 3=33,,∴x=3. 题型三利用对数的基本性质与对数恒等式求值例3求下列各式中x 的值:（1）; (2);(3)3log 3√x =9. 【答案】（1）x=2（2）x=100（3）x=81【解析】(1)∵,∴,∴x=2. (2)∵,∴lgx=2,∴x=100. (3)由3log 3√x =9得√x =9,解得x=81.解题技巧：（利用对数的基本性质与对数恒等式求值） 1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)log a 1=0(a>0,a≠1);(3)log a a=1(a>0,a≠1)进行对数的化简与求值.2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.跟踪训练三1. 求下列各式中x 的值:(1)ln(lg x )=1;(2)log 2(log 5x )=0;(3)32+log 35=x. 【答案】（1）（2）x=5（3）x=45 【解析】(1)∵ln(lgx)=1,∴lgx=e,∴； (2)∵log 2(log 5x )=0,∴,∴x=5. (3)x=32×3log 35=9×5=45. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧2ln(log )0x =2log (lg )1x =2ln(log )0x =2log 1x =2log (lg )1x =log a N a 10e x =10e x =5log 1x =六、板书设计七、作业课本126页习题4.3中1题2题【教学反思】本节主要学习了一类新的数：对数。

对数的概念(导学案)

§5.1对数的概念预习案一、三维目标：知识与技能（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型。

（2）了解指数函数xay=(a>0, 1≠a)与对数函数xyalog=（a>0, a1≠）互为反函数。

2、过程与方法在解决简单实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型。

能运用现代信息技术学习、探索和解决问题。

情感、态度与价值观通过对对数函数的研究，使学生深刻认识到函数是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型，结合实际问题，感受运用对数函数概念建立模型的过程与方法。

二、学习重点：理解对数函数的概念。

三、学习难点：指数函数xay=(a>0, 1≠a)与对数函数xyalog=（a>0, a1≠）互为反函数。

四、知识链接：1、对数函数的概念我们把函数叫做对数函数，a叫做。

特别地，我们称为常用对数函数；称为自然对数函数。

指数函数xay=(a>0, 1≠a)与对数函数xyalog=（a>0, a1≠）有什么关系？探究案例1计算：计算对数函数xy2log=对应于x取1,2,4时的函数值；计算常用对数函数xy lg=对应于x取1,10,100,0.1时的函数值。

变式：计算对数函数xy 21log =对应于x 取0.25,0.5，1,2,4,8，16时的函数值;计算常用对数函数x y lg =对应于x 取0.1，0.001.，1，1000时的函数值。

例2 写出下列函数的反函数：（1）x y lg = (2)x y 31log = (3)x y 5= (4)x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43训练案1、计算对数函数x y 3log =对应于x 取1,3,9时的函数值。

2、列函数的定义域：（1）5lg )2(222-=-x x x f (2)求函数)3lg(562+--=x x x y 的定义域。

532对数的运算(导学案)

5．3.2 对数的运算预习探究：知识点1 对数的运算性质思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到真数是n 个正数的乘积．知识点2 换底公式若a >0，且a ≠1；b >0；c >0，且c ≠1，则有log a b ＝log c b log c a．思考2：对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？提示： log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln b ln a. 考点类析：题型一对数的运算性质的应用例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示：(1)log a (xy 2)；(2)log a (x y )；(3)log a3x yz 2. [解析] (1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y .(2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋12log a y . (3)log a3x yz 2＝13log a x yz 2＝13[log a x －log a (yz 2)] ＝13(log a x －log a y －2log a z )． [归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．【变式】用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式：(1)log a (x 3y 5)； (2)log ax yz . [解析] (1)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5＝3log a x ＋5log a y .(2)log a x yz＝log a x －log a (yz ) ＝log a x 12－(log a y ＋log a z )＝12log a x －log a y －log a z . 题型二利用对数的运算性质化简、求值例2 (1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8. [分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析] (1)原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.[归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则和方法(1)基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．【变式】计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg25＋23lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2. [解析] (1)法一：原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 法二：原式＝lg 427－lg4＋lg75 ＝lg42×757×4＝log(2·5)＝lg 10＝12. (2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.题型三换底公式的应用例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519； (2) log 927．[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值．[解析] (1)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝（－2lg5）·（－3lg2）·（－2lg3）lg2·lg3·lg5＝－12. (2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32. [归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(2)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a；log a a n ＝n ，log am b n ＝n mlog a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．【变式】计算下列各式的值：(1)log 89·log 2732；(2)log 21125·log 3132·log 513.[解析] (1)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109. (2)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53)＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.当堂自测：1．2log 510＋log 50.25的值为( C )A ．0B ．1C ．2D ．4 [解析] 原式＝log 5100＋log 50.25＝log 5(100×0.25)＝log 525＝log 552＝2.2． lg25＋lg4＋(19)－12的值为( B )A ．73B ．5C ．313D ．13[解析] 原式＝lg(25×4)＋(3－2)－12＝lg100＋3＝2＋3＝5.3.12log 612－log 62＝12．[解析] 原式＝12log 612－12log 62 ＝12log 6122＝12log 66＝12. 4．计算下列各式的值：(1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log 222；(2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7.(2)原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32) ＝(log 23＋23log 23)(2log 32＋32log 32＋log 32) ＝53log 23×92log 32＝152.。

对数的概念导学案

4.3.1 对数的概念导学案【学习目标】1. 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系，及常用对数和自然对数.2. 掌握对数式和指数式的互化.3.通过指数与对数的互化培养学生的逆向思维.一、导：预习课本P122—P123，理清概念并完成下面问题。

（5分钟）问1：什么是对数？什么是常用对数和自然对数？问2：对数与指数之间如何实现互化？问3：对数的两个结论是什么？如何证明？二、思、议、展(10分钟)思考1：(1)式子log m N中，底数m的范围是什么？(2)对数式log a N是不是log a与N的乘积？【基础自测】1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．log a M＝2 C．log22＝M D．log2a＝M2．若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3 C．9 D．273．在b＝log a(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<0 B．0<a<1或1<a<5 C．0<a<1 D．1<a<54.下列说法正确的有( )A. 零和负数没有对数B. 任何一个指数式都可以化成对数式C. 以10为底的对数叫作常用对数D. 以e为底的对数叫作自然对数探究一：指数与对数的互化（10分钟）例1. 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．①53＝125；②4－2＝0.0625；③73.551=⎪⎭⎫ ⎝⎛m ；④664log 21-=；⑤lg100＝2；⑥ln1=0例2. 求下列各式中x 的值（1）31log 8-=x （2）627log =x （3）lg10=x （4）-ln e 3＝x三、评（5分钟）四、检：完成课本P123练习1，2，3及下列当堂检测题.（10分钟）1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A. 01e =与ln10=B. 3log 92=与1293=C. 1 3182-=与811log 23=- D. 7log 71=与177= 2.若0a >,且0,0a c ≠>,则将b a c =化为对数式为( )A. log a b c =B. log a c b =C. log b c a =D. log c a b =3.已知()23409=>a a ，则23log =a ( )A. 2B.3C.12D.13 4.ln e=____，lg1=____.5.已知log 2,log 3a a m n ==,则2m n a +=__________.6.=822log ________，=8log 22_________.。

高中数学《对数的运算》导学案

第2课时对数的运算1．对数运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)□1log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)□2log a M N ＝log a M －log a N ； (3)□3log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 2．换底公式(1)对数的换底公式：□4log a b ＝log c b log c a (a >0且a ≠1；c >0且c ≠1；b >0)．(2)三个较为常用的推论： ①□5log a b ·log b c ·log c a ＝1； ②□6log a b ＝1log ba ；③□7log a m b n ＝n m log a b (a ，b >0，且均不为1)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( ) (2)log a (xy )＝log a x ·log a y .( ) (3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)．( ) (4)由换底公式可得log a b ＝log (－2)blog (－2)a .( )答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．做一做(1)(教材改编P 68T 3)log 325－log 35＝________.(2)(教材改编P 68T 3)lg 8＋lg 53＝________.(3)若lg 5＝a ，lg 7＝b ，用a ，b 表示log 75＝________. 答案 (1)log 35 (2)3 (3)ab『释疑解难』(1)对数运算性质推导的基本方法：利用对数的定义将对数问题转化为指数问题，再利用幂的运算性质，进行转化变形，然后把它还原为对数问题．(2)对数运算性质的实质就是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算，使用时要注意公式的适用条件．(3)只有当式子中所有的对数都有意义时，对数的运算性质才能成立．如log 2[(－3)·(－5)]是存在的，但log 2(－3)与log 2(－5)均不存在，故不能写成log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)．(4)注意下列式子不一定成立：log a (MN )≠log a M ·log a N ，log a (M ±N )≠log a M ±log a N ，log a M N ≠log a Mlog aN ，log a M n ≠(log a M )n .(5)逆向运用对数的运算性质，可以将几个对数式化为一个对数式，有利于化简，如：lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.(6)运算法则(1)可推广到若干个正因数积的对数，即log a (M 1·M 2·M 3·…·M k )＝log a M 1＋log a M 2＋log a M 3＋…＋log a M k ，a >0，且a ≠1，M k >0，k ∈N *.(7)换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义． (8)换底公式的意义就在于改变对数式的底数，把不同底数的问题转化为同底数的问题进行化简、计算或证明．(9)换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底数，要由具体的已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．探究1 对数运算性质的应用例1 若a >0，且a ≠1，x >y >0，n ∈N *，则下列各式： ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a (xy )＝log a x ·log a y ；④log a x log a y ＝log a xy ；⑤(log a x )n＝log a x n；⑥log a x ＝－log a 1x ；⑦log a x n ＝log a nx ；⑧log a x －y x ＋y ＝－log a x ＋y x －y .其中式子成立的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 24·log 22＝2×1＝2，而log 2(4＋2)＝log 26≠2，①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )不成立；对于①，取x ＝8，y ＝4，a ＝2，则log 28－log 24＝1≠log 2(8－4)＝2，①log a x －log a y ＝log a (x －y )不成立；对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 2(4×2)＝log 28＝3，而log 24·log 22＝2×1＝2≠3，①log a (xy )＝log a x ·log a y 不成立；对于①，取x ＝4，y ＝2，a ＝2，则log 24log 22＝2≠log 242＝1，①log a xlog ay ＝log a xy 不成立；对于①，取x ＝4，a ＝2，n ＝3，则(log 24)3＝8≠log 243＝6，①(log a x )n ＝log a x n 不成立；①成立，由于－log a 1x ＝－log a x －1＝log a (x －1)－1＝log a x ； ①成立，由于log anx ＝log a x 1n ＝1nlog a x ；⑧成立，由于log a x －y x ＋y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y x －y －1＝－log a x ＋yx －y . 答案 A例2 化简：(1)4lg 2＋3lg 5－lg 15； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg 1.2； (3)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (4)log 28＋43＋log 28－4 3. 解 (1)原式＝lg 24×5315＝lg 104＝4.(2)原式＝lg (33)12 ＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32.(3)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3＝5log 32－(5log 32－2)－3＝－1.(4)原式＝log 2(8＋43·8－43)＝log 24＝2. 拓展提升对数式化简与求值的原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． (3)要注意一些常见的结论，如lg 2＋lg 5＝1，lg 1a ＝－lg a 等．【跟踪训练1】计算：(1)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2； (2)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (3)log 2748＋log 212－12log 242－1.解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.(3)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22－32 ＝－32.探究2 换底公式的应用例3 计算：(1)(log 43＋log 83)lg 2lg 3；(2)(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8lg 2lg 3＝lg 32lg 2·lg 2lg 3＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝12＋13＝56.(2)解法一：原式＝⎝⎛⎭⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·3log 52 ＝13log 25·log 22log 25＝13.解法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125 ＝⎝⎛⎭⎪⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5 ＝13lg 53lg 2·3lg 2lg 5 ＝13.解法三：原式＝(log 253＋log 2252＋log 2351)(log 52＋log 5222＋log 5323) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·3log 52 ＝133×3 ＝13.拓展提升换底公式在求值中的应用利用对数的换底公式能够将不同底的对数化为常用对数或自然对数或同底的对数，即可用对数的运算性质来解决对数求值问题，同时要注意换底公式的逆用和变形应用．【跟踪训练2】计算：(1)log 23×log 34×log 45×log 56×log 67×log 78； (2)log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－ 5)．解 (1)原式＝lg 3lg 2×lg 4lg 3×lg 5lg 4×lg 6lg 5×lg 7lg 6×lg 8lg 7＝lg 8lg 2＝3lg 2lg 2＝3. (2)原式＝log 52log 513·log 79log 734＋log 4(3＋5－ 3－5)2＝log 132·log 349＋log 4(6－232－5)＝log 132 12·3log 2232＋log 4(6－2×2)＝－12·log 32·3log 23＋log 42 ＝－32＋12log 22 ＝－32＋12 ＝－1.探究3 对数式的条件求值问题例4 已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解解法一：∵18b ＝5，∴log 185＝b ，又log 189＝a ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b2－a . 解法二：∵log 189＝lg 9lg 18＝a ，∴lg 9＝a lg 18，同理得lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg (9×5)lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a. 解法三：∵log 189＝a ，∴log 18182＝1－log 182＝a ， ∴log 182＝1－a .∵18b ＝5，∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b2－a .解法四：∵log 189＝a ，∴18a ＝9. 又18b ＝5，∴45＝5×9＝18b ·18a ＝18a ＋b . 令log 3645＝x ，则36x ＝45＝18a ＋b ，即⎝⎛⎭⎪⎫183×183x ＝18a ＋b,182x ＝9x ·18a ＋b . ∵18a ＝9，∴182x ＝(18a )x ·18a ＋b ＝18ax ·18a ＋b ＝18ax ＋a ＋b . ∴2x ＝ax ＋a ＋b ，∴x ＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b2－a. 拓展提升指数与对数式的转化是解题关键对数式的证明和对数式的化简的基本思路是一致的，就是根据对数的运算性质和换底公式对对数式化简，此题巧妙引入辅助量，顺利完成指数与对数的转化是解题的关键．带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．【跟踪训练3】已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∴x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log ct ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ， ∴令a x＝b y＝c z＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg tlg c ，∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t . ∵1x ＋1y ＋1z ＝0，且lg t ≠0，∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.1.对数的运算性质(1)在运算过程中避免出现以下错误： log a (MN )＝log a M ·log a N .log a M N ＝log a M log a N .log a N n ＝(log a N )n . log a M ±log a N ＝log a (M ±N ).(2)要特别注意它的前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价.2.换底公式(1)由换底公式可得如下结论：①log a n b n ＝log a b ；②log a m b n ＝nm log a b ；③log a b ·log b a ＝1；④log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(a ，b ，c >0且a ，b ，c ≠1，d >0)(2)换底公式及其推论在解题中有广泛的应用，具体地讲，就是将底不同的对数转换成底相同的对数进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般地换成以10为底的常用对数.1．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是( )①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |；③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |.A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③ 答案 B解析 ∵xy >0，∴①中若x <0则不成立；③中若x <0，y <0也不成立，故选B.2．计算log 916×log 881的值为( ) A ．18 B.118 C.83 D.38 答案 C解析 log 916×log 881＝lg 16lg 9×lg 81lg 8＝4lg 22lg 3×4lg 33lg 2＝83，故选C. 3．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36＝( ) A.a ＋b a B.a ＋b b C.a a ＋b D.b a ＋b答案 B解析 log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋bb ，故选B.4．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________(用m ，n 表示)．答案 m ＋2n解析 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .5．计算(33)23 ＋log 2(log 216)＋(5－log 513 )2. 解 (33) 23 ＋log 2(log 216)＋(5－log 513 )2＝(3×312) 23＋log 24＋(5log 53)2＝(332) 23＋2＋32＝3＋2＋9 ＝14.A 级：基础巩固练一、选择题1．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 C解析 2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 2．如果lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ，那么( ) A ．x ＝ab 3c 5 B ．x ＝3ab5c C ．x ＝a ＋3b －5c D ．x ＝a ＋b 3－c 3答案 A解析 ∵lg x ＝lg a ＋3lg b －5lg c ＝lg a ＋lg b 3－lg c 5＝lg ab 3c 5，∴x＝ab 3c 5.3．化简log 212＋log 223＋log 234＋…＋log 23132等于( ) A ．5 B ．4 C ．－5 D ．－4 答案 C解析原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23×34×…×3132＝log 2132＝－5. 4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1x －1y ＝( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 ∵x ＝log 2.51000＝3lg 2.5，y ＝log 0.251000＝3lg 0.25，∴1x －1y ＝13(lg 2.5－lg 0.25)＝13×lg 2.50.25＝13×lg 10＝13.5．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14 答案 A解析由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.二、填空题6．log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72＝________.答案 154解析原式＝log 3334 3＋lg (25×4)＋2＝log 33－14 ＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154.7．化简(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________. 答案 54解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28×⎝ ⎛⎭⎪⎫1log 23＋1log 232 ＝56log 23×32log 23＝54.8．汶川里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关. 震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹的能量．答案 1000解析设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2，E 1，则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹的能量．三、解答题 9．(1)计算：log327＋lg 4＋lg 25； (2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06；(3)2log 214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫169－12 ＋lg 20－lg 2－(log 32)×(log 23)＋(2－1)lg 1.解 (1)原式＝log3(3)6＋2lg 2＋2lg 5＝6＋2(lg 2＋lg 5)＝8.(2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2 ＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝1.(3)原式＝14＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫432－12 ＋lg 202－lg 2lg 3 ·lg 3lg 2＋1＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋lg 10－1＋1＝2.B 级：能力提升练10．设a ，b ，c 为正数，且满足a 2＋b 2＝c 2.(1)求证：log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＋log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a －c b ＝1； (2)如果log 4⎝⎛⎭⎪⎫1＋b ＋c a ＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，那么a ，b ，c 的值是多少？解 (1)证明：左边＝log 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋b ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a －c b ＝log 2(a ＋b )2－c 2ab ＝log 2(a ＋b )2－(a 2＋b 2)ab ＝log 22 ＝1 ＝右边．(2)由log 4a ＋b ＋ca ＝1，得－3a ＋b ＋c ＝0，① 由log 8(a ＋b －c )＝23，得a ＋b －c ＝4，② 由题设知a 2＋b 2＝c 2，③ 由①＋②，得b －a ＝2，④由①得c ＝3a －b ，代入③得a (4a －3b )＝0，因为a >0，所以4a －3b ＝0，⑤ 由④⑤得a ＝6，b ＝8，则c ＝10.。

高中数学《对数》导学案

2．2.1对数与对数运算第1课时对数1．对数的概念(1)对数的概念：□1如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)两种特殊的对数①常用对数：□2通常以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为lg_N；②自然对数：□3以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数log e N简记为ln_N(其中e≈2.71828…)．2．对数与指数的关系(1)对数的基本性质①□4零和负数没有对数，即N>0；②□51的对数为0，即log a1＝0；③□6底数的对数等于1，即log a a＝1.(2)两个重要的对数恒等式①a log a N＝□7N(a>0，且a≠1，N>0)；②log a a N＝□8N(a>0，且a≠1)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()(4)等式log a1＝0对于任意实数a恒成立．()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．做一做(1)若5x＝2018，则x＝________.(2)(教材改编P64T3)lg 10＝________；ln e＝________.(3)(教材改编P64T2)将log24＝2化为指数式为________．答案(1)log52018(2)11(3)22＝4『释疑解难』在对数的概念中为什么规定a>0且a≠1呢？(1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；②当N ＝1时，x 可以为任意实数，是不唯一的，即log 11有无数个值．因此规定a >0，且a ≠1.探究1 对数的概念例1 (1)使对数log 2(－2x ＋1)有意义的x 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 (2)在对数式b ＝log a －2(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4解析 (1)要使对数log 2(－2x ＋1)有意义，只要使真数－2x ＋1>0即可，即x <12，∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12，故选C. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2>0，a －2≠1，5－a >0，解得2<a <3或3<a <5.答案 (1)C (2)C 拓展提升对数式有意义的条件对数式有意义的两个前提：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．【跟踪训练1】 (1)满足函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1的x 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)(2)在log (2x －1)(x ＋2)中求x 的范围．答案 (1)C (2)见解析解析 (1)要使函数有意义，必有⎩⎨⎧x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1，故选C.(2)因为真数大于0，底数大于0且不等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >12，且x ≠1.即x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >12，且x ≠1.探究2 指数式与对数式的互化例2 (1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝132；34＝81；⎝ ⎛⎭⎪⎫12m＝n ； (2)将下列对数式改写成指数式：log 5125＝3；log 1216＝－4；ln a＝b ；lg 1000＝3.解 (1)log 216＝4；log 2132＝－5；log 381＝4；log 12n ＝m .(2)53＝125；⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；e b ＝a,103＝1000.拓展提升由指数式a b ＝N 可以写成log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：【跟踪训练2】 (1)若a ＝log 23，则2a ＋2－a ＝________. (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64. 答案 (1)103 (2)见解析解析 (1)因为a ＝log 23，所以2a＝3，则2a＋2－a ＝3＋3－1＝103.(2)①24＝16；②(3)6＝x ；③log 464＝3.探究3 对数性质的应用例3 (1)给出下列各式： ①lg (lg 10)＝0； ②lg (ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝12，得x ＝±5.其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． (2)求下列各式中x 的值： ①log 2(log 5x )＝0；②log 3(lg x )＝1； ③log (2－1)(2－1)＝x ；④3x ＋3＝2.解析 (1)∵lg 10＝1，∵lg (lg 10)＝lg 1＝0，∵正确；∵ln e ＝1，∵lg (ln e)＝lg 1＝0，∵正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，∵错误；由log 25x ＝12，得x ＝2512＝5，∵错误．故填∵∵.(2)①∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.②∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000. ③∵log(2－1)(2－1)＝x ，∴(2－1)x ＝2－1， ∴x ＝1.④x ＋3＝log 32，∴x ＝log 32－3. 答案 (1)①② (2)见解析拓展提升对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0且a ≠1)． (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．【跟踪训练3】 (1)若log 2(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值； (2)已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．解 (1)因为log 2(x 2－7x ＋13)＝0，所以x 2－7x ＋13＝1，即x 2－7x ＋12＝0，解得x ＝4或x ＝3. (2)∵log 2[log 3(log 4x )]＝0， ∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3.∴x ＝43＝64.同理求得y ＝16.∴x ＋y ＝80. 探究4 对数恒等式的应用例4 求下列各式的值： (1)5log 54；(2)3log 34－2；(3)24＋log 25.解 (1)设5log 54＝x ，则log 54＝log 5x ，∴x ＝4. (2)∵3log 34＝4，∴3log 34－2＝3log 34×3－2＝4×19＝49.(3)∵2log 25＝5，∴24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80. 拓展提升运用对数恒等式时的注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．【跟踪训练4】求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 34的值．解原式＝31×3log 36－24×2log 23＋(10lg 3)3＋3－2×log 34＝3×6－16×3＋33＋(3log 34)－2＝18－48＋27＋116＝－4716.对数概念的理解 (1)规定a >0且a ≠1.(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以在a b ＝N 中，N 总是正数，即零和负数没有对数.(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b＝N ⇔log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .(4)在关系式a x ＝N 中，已知a 和x ，求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N ，求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.1．若a >0，且a ≠1，c >0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b答案 B解析由对数的定义直接可得log a c ＝b . 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256 D ．2 答案 B解析 ∵x 2＝16且x >0，x ≠1，∴x ＝4.故选B.3．若log 3181＝x ，则x ＝________. 答案－4解析 ∵log 3181＝log 33－4，∴3x ＝3－4，∴x ＝－4. 4．式子2log 25＋log 321的值为________．答案 5解析由对数性质知，2log 25＝5，log 321＝0，故原式＝5.5．求下列各式中x 的值：(1)若log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 3＝1，求x 的值； (2)若log 2018(x 2－1)＝0，求x 的值．解 (1)∵log 31＋2x 3＝1，∴1＋2x3＝3， ∴1＋2x ＝9，∴x ＝4. (2)∵log 2018(x 2－1)＝0， ∴x 2－1＝1，即x 2＝2.∴x ＝± 2.A 级：基础巩固练一、选择题1．将对数式log 5b ＝2化为指数式是( ) A ．5b ＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝b D ．b 2＝5 答案 C解析由对数的概念可知log 5b ＝2⇔52＝b ，故选C. 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．8－13＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与912＝3 D ．log 77＝1与71＝7答案 C解析 log 39＝2应转化为32＝9. 3．已知log 12x ＝3，则x13＝( )A.18B.14C.12D.32 答案 C解析由log 12x ＝3，得x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以x13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 13 ＝12. 4．方程2log 3x ＝14的解是( )A ．x ＝19B ．x ＝x3 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9 答案 A 解析∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.5．21＋12log 25 的值等于()A ．2＋ 5B ．25C ．2＋52D ．1＋52答案 B 解析21＋12log 25 ＝2×212log 25 ＝2×(2log 25) 12 ＝2×(5) 12 ＝25.二、填空题6．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________. 答案 2解析依题意得2x －1＝3，∴x ＝2.7．若a >0，a 2＝49，则log 23a ＝________.答案 1解析由a >0，a 2＝49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232，可知a ＝23， ∴log 23 a ＝log 2323＝1.8．2log 214 －⎝ ⎛⎭⎪⎫827－23 ＋lg 1100＋(2－1)lg 1的值是_______．答案－3解析原式＝14－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫233－23 ＋lg 10－2＋(2－1)0＝14－94－2＋1＝－3.三、解答题9．求下列各式中的x 的值：(1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2；(4)log 5(log 2x )＝0；(5)x ＝log 2719.解 (1)由log x 27＝32，得x 32 ＝27，∴x ＝27 23 ＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23 ＝x ，∴x ＝1322＝322. (3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2，即x ＝(3＋22)－12 ＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2.(5)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2， ∴x ＝－23.B 级：能力提升练10．已知log a b ＝log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．求证：a ＝b 或a ＝1b .证明设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，∴b ＝(b k )k ＝bk 2. ∵b >0，且b ≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b ；当k ＝1时，a ＝b .∴a ＝b 或a ＝1b ，命题得证．。

高中数学《对数》导学案新人教A版必修1

湖北省武汉市蔡甸区第二中学高中数学必修1《对数》导学案
学习目标
（1）理解对数的概念；能够熟练进行对数式与指数式的互化．
（2）能熟练运用对数的运算法则，对数恒等式，换底公式等性质解题；
学习重点能够熟练进行对数式与指数式的互化；能熟练运用对数的运算法则，对数恒等
式，换底公式等性质解题
学习过程
一．阅读课本P 62至P 67回问答下面题
1．为什么要引入对数？指数与对数有什么关系？
2．○
1为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ○
2是否是所有的实数都有对数呢？
3.指数有哪些性质及运算法则？类比指数，对数有哪些性质及运算法则？
你自己还能推出哪些跟对数有关的性质呢？
4.课本例1例2，考察什么知识？
5.课本例3例4和P 68练习题3，分别考察什么知识？
二．反馈练习
1. 计算：
（1）27log 9
（2）81log 43
（3）()()
32log 32-+，（4）625log 345
2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：
(1) lg （xyz ）；
（2）lg z xy 2；
（3）z xy 3lg
；（4）z y x 2lg
3.计算： (1)lg 14-2lg
37+lg7-lg18 (2)9
lg 243lg
三、合作探究
1. 设a =2lg ,b =3lg ，试用a 、b 表示12log 5
2.已知a =2log 14，用a 表示7log
2
3.设a 、b 、c 为正数，且c b a 643==，求证：b
a c 2111=-．。

高一数学(§221 对数的概念)导学案

§2.2.1 对数的概念导学案学习目标1. 理解对数的概念；2. 掌握对数式与指数式的相互转化；3. 会求对数式的值.旧知提示（预习教材P 62~ P 64，找出疑惑之处）复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？复习2：假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？（只列式）合作探究讨论：在式子4216=中，有3个数2（底数），4（指数）和16（幂）（1）由2和4得到数16的运算是运算，记为：；（2）由16和4得到数2的运算是运算，记为：；（3）由2和16得到数4的运算是运算呢？又应该怎样记呢？新知：对数的概念指数与对数间的关系：0,1a a >≠时，x a N =⇔ .试一试：完成下列指对互化：2416=⇒ ；210100=⇒ ；1242=⇒ ； 2100.01-=⇒ .探究：（1）负数与零是否有对数？为什么？（2）0,1a a >≠时，log 1a = ， log a a = .（3）常用对数： .（4）自然对数： .（5）底数a 的取值范围：；真数N 的取值范围： . 典型例题例1 下列指数式化为对数式.（1）45625= ；（2）61264-=；（3） 1() 5.133m =.练1. 下列指数式化为对数式.（1）328= ；（2）5232=；（3） 131273-=.例2 下列对数式化为指数式.（1）13log 273=- ；（2）ln10 2.303=；（3） lg0.012=-.练2. 下列对数式化为指数式.（1）3log 92=；（2）lg0.0013=-；（3） 21ln 2e =-.小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体. 例3 求下列各式中x 的值：（1）642log 3x =-；（2）log 86x =；（3）lg 3x =；（4）2ln e x -=.思考：log n a a = ；log a Na = （对数恒等式）练3：求下列各式的值.（1）5log 5；（2）lg1000；（3）4ln e ；（4）3log 83；（5）9log 27.学习小结① 对数概念；②lg N 与ln N ； ③指对互化； ④如何求对数值. 知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数. 学习评价1. 若2log 3x =，则x =（）. A. 4 B. 6 C. 8 D. 92. 若5log 1525x=，则x = . 3. 已知log 162x =，则x = . 4. 求下列各式的值.（1）0.5log 1；（2）9log 81；（3）25log 625；（4）3log 243；（5）4log 64；（6）2.课后作业1. 对数式(2)log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（）. A ．(,5)-∞ B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5) 2. 若2log 124x=，则x = ，3log 124x=，则x = . 3. 已知函数3,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()2f x =，则x = .4.若log 1)1x =-，则x =；若y =，则y = . 5. 计算：（1）；（2）1)log (3+；（3）；（4）1)log 1).。

对数导学案