第一数理逻辑优秀课件
合集下载
第一章数理逻辑PPT精品文档123页
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/20
19
中北大学离散数学课程组
例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P： 上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
10
中北大学离散数学课程组
1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
2020/6/20
21
中北大学离散数学课程组
七、约 定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序(从
2020/6/20
6
中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/20
7
中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合 而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/20
19
中北大学离散数学课程组
例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P： 上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
10
中北大学离散数学课程组
1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
2020/6/20
21
中北大学离散数学课程组
七、约 定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序(从
2020/6/20
6
中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/20
7
中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合 而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
离散数学第一章数理逻辑
故命题可形式化为:(A∧B∧C) ↔ P
34
中北大学离散数学课程组
例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
35
中北大学离散数学课程组
作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
36
中北大学离散数学课程组
b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
37
中北大学离散数学课程组
练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
10
中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
11
中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/30
24
中北大学离散数学课程组
例 （解）
34
中北大学离散数学课程组
例3.他既聪明又用功。 例4.他虽聪明但不用功。 例5.除非你努力，否则你将失败。 例6.张三或李四都可以做这件事。
35
中北大学离散数学课程组
作业：
（1）判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合 式公式。
a.(Q→R∧S） b.(P ↔(R →S)) c.((┐P→Q)→(Q→P)) d.(RS→T) e.((P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R)) （2）用符号形式写出下列命题。 a.假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读
书或看报。
36
中北大学离散数学课程组
b.我今天进城，除非下雨。 c.仅当你走我将留下。
37
中北大学离散数学课程组
练习：将下列命题符号化。 1）说逻辑学枯燥无味（P）或毫无意义（Q）是不对的。 2）如果明天有雾（P），则我乘车（Q），不坐飞机（R）。 3）有雨（P）就刮风（Q）。 4）如果小王没来上课（P），一定是他生病了（Q）。 5）如果我上街（P），我就去图书馆看看（Q），除非我很累
2020/6/30
10
中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/30
11
中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/30
24
中北大学离散数学课程组
例 （解）
离散数学-公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
1
0 1
0 0
13
第13页
小结
本小节中p, q, r, … 均表示命题. 联结词集为{, , , , }，p, pq, pq, pq, pq为
基本复合命题. 其中要尤其注意理解pq涵义. 重复使用{, , , , }中联结词构成更为复杂复合命题.
设 p: 2 是无理数，q: 3是奇数，
r: 苹果是方， s: 太阳绕地球转 则复合命题 (pq) ((rs) p) 是假命题.
比如 公式 A=p, B=p, C=pq, D=(pq)r,
E=((pq) r) (rs)
分别为0层，1层，2层，3层，4层公式.
17
第17页
公式赋值
定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中所有命题变项, 给p1, p2, … , pn各指定一个真值, 称为对A一个赋值或解释. 若使A为1, 则称这组值为A成真赋值; 若使A为0, 则称这组
定义1.6 合式公式（简称公式）递归定义： (1) 单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是 (4) 只有有限次地应用(1)—(3) 形成符号串是合式公式
几点阐明： 归纳或递归定义, 元语言与对象语言, 外层括号能够省去
第一部分 数理逻辑
主要内容 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理
1
第1页
第一章 命题逻辑基本概念
主要内容 命题与联结词
命题及其分类 联结词与复合命题 命题公式及其赋值
2
第2页
1.1 命题与联结词
(完整版)离散数学-数学逻辑(课件模板)
第一篇数理逻辑数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律的学科，它起源于公元十七世纪。
十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电子元件设计和性质分析的工具。
冯·诺意曼，图灵，克林，…等人研究了逻辑与计算的关系。
基于理论研究和实践，随着1946年第一台通用电子数字计算机的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。
除古典二值（真，假）逻辑外，还研究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。
不仅有演绎逻辑，也还有归纳逻辑。
计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序逻辑等。
现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。
第1-1章命题逻辑学习要求: 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习范式时与集合的范式进行对比。
表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。
本章就是讨论逻辑学中的对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。
§1-1-1 命题逻辑联结词与真值表一、命题的基本概念首先我们从下面的例子加以分析。
例1-1-1.1人总是要死的。
例1-1-1.2苏格拉底是人。
例1-1-1.3苏格拉底是要死的。
例1-1-1.4中国人民是勤劳和勇敢的。
例1-1-1.5鸵鸟是鸟。
例1-1-1.6 1是质（素）数。
高一数学课件：简易逻辑共20页文档
不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
高一数学课件：简易逻辑
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
高一数学课件：简易逻辑
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
数理逻辑课件 第5节 一阶逻辑基本概念
代换实例
定义9 设A0是含命题变项 p1, p2, …, pn的命题公式， A1, A2, …, An是n个谓词公式，用Ai (1in) 处处代替 A0中的pi，所得公式A称为A0的代换实例. 例如: F(x)G(x), xF(x)yG(y)等都是pq的代 换实例. 定理2 重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代 换实例都是矛盾式.
（也可能相同），真值可能不同（也可能相同）. 12/29
实例
注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域.
例4 在一阶逻辑中将下面命题符号化. (1) 正数都大于负数.
解: (1) 令 F(x)：x为正数， G(x)：x为负数, H(x,y)：x>y， 则有
xy(F(x)G(y)H(x,y))
13/29
21/29
封闭的公式
又如: x, x中的x是指导变元, 辖域为 (F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中的y是指导变元, 辖域为(G(x,y)H(x,y,z)). x的3次出现都是约束出现, y的第一次出现是自由出现, 后2次是约束出现, z的2次出现都是自由出现.
实例
例1 用0元谓词将命题符号化. (1) 墨西哥位于南美洲. (2)2 是无理数仅当3 是有理数. (3) 如果2>3，则3<4.
在一阶逻辑中： (1) F(a)，其中，a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲. (2) F(2 )G3( ), 其中，F(x)：x是无理数，G(x)：x是有理数 (3) F(2, 3)G(3, 4)， 其中，F(x, y)：x>y，G(x, y)：x<y
9/29
实例
注意： (1) 不含个体变项的谓词称为0元谓词. (2) 当谓词为谓词常项时， 0元谓词为命题. (3) 任何命题均可以表示成0元谓词，因而可 将 命题看成特殊的谓词.
第一二章数理逻辑课件
二、真值表truth table
1、命题公式的赋值（解释）：设命题公式A(p1,p2…pn), 其中p1,p2…pn为A中的命题变元，给p1,p2…pn各指派一 个真值，称对A的一次赋值（解释）。如果指定的某 组赋值使A的真值为1，则称这组值为A的成真赋值， 否则称这组值为A的成假赋值。
2、定义：在命题公式A(p1,p2…pn)中，对于分量（命题变 元）指派真值的各种可能组合，就确定了这个命题公 式的各种真值情况，将其汇列成表，就是命题公式的 真值表；命题公式中变元真值指派组合数目决定于变 元分量的个数，一般说，n个命题变元组成的命题公式 共有2n种真值组合情况。
p
┐p
0
1
1
0
2、合取 （∧）
定义：两命题P、Q的合取 是一复合命题，记为。当 且仅当P、Q同时为T时， 为T，其他情况为F 。P∧Q
真值表如表1.2所示。 与自然语言的关系：相当于与、 并且、和等，常表示递进、并列 、转折这样的关系，但新的复合 命题不一定有意义，这是数理逻 辑命题与自然语言的区别。
组成的合取式。 2、析取范式求法(P31) 1）将命题公式中联结词转换成┐ ∧ ∨。 2）利用德摩根律把┐直接移入到每个命题变元之前。 3）利用分配律或结合律将公式转换成析取范式，并进行化简 。
例1 (┐P ∧ R) ∨ ┐(P →Q) (P ∧ ┐R) ∨ ┐(┐P ∨ Q) (P ∧ ┐R) ∨ (P ∧ ┐Q)
是对陈述句中的关联词的符号化处 理。
1、否定( ┐)
定义：设P为一命题，P的否定 是一个新的命题，记为；若P为 T，则为F，若P为F，则为T。与 自然语言的关系：相当于不、否 、非等； ┐P真值表如表1.1所示 。
注意：否定的意义仅是修改命题 的内容，没有构成复合命题，它 是一元运算。
全版数理逻辑 .ppt
A和B不相交<=>﹁(x)(xA^xB)． ▪ 若A和B不是不相交的，就称A和B是相交的．
例如
{1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交。
精选文档
20
9．2．2 特殊集合
空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合．
AB<=>(x)(xA→xB)．
当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。
▪ 注意区分和．例如
{a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}，
{a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}．
AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
▪ 这个定义也可以写成
A=B<=>(x)(xA←→xB)，
A≠B<=>(x)﹁(xA←→xB)．
精选文档
14
▪ 这个定义就是集合论中的外延公理，也叫外延原 理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决 定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内 涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集 合．例如
精选文档
26
9．3．2 广义并和广义交
▪ 广义并和广义交是一元运算，是对一个集合 的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元 素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们 就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限 多个元素，它们就可以求无限多个元素的井 和交．广义并和广义交是并集和交集的推 广．
精选文档
精选文档
例如
{1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交。
精选文档
20
9．2．2 特殊集合
空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合．
AB<=>(x)(xA→xB)．
当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。
▪ 注意区分和．例如
{a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}，
{a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}．
AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
▪ 这个定义也可以写成
A=B<=>(x)(xA←→xB)，
A≠B<=>(x)﹁(xA←→xB)．
精选文档
14
▪ 这个定义就是集合论中的外延公理，也叫外延原 理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决 定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内 涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集 合．例如
精选文档
26
9．3．2 广义并和广义交
▪ 广义并和广义交是一元运算，是对一个集合 的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元 素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们 就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限 多个元素，它们就可以求无限多个元素的井 和交．广义并和广义交是并集和交集的推 广．
精选文档
精选文档
离散数学配套课件PPT(第5版)第一部分 数理逻辑联结词全功能集
3
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
4
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
13
例ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ续)
解 编号
极小项
角码 标记
1 x1∧x2∧x3∧x4 2 x1∧x2∧x3∧x4 3 x1∧x2∧x3∧x4
1110 * 1011 * 0111 *
4 x1∧x2∧x3∧x4 1010 * 5 x1∧x2∧x3∧x4 0101 * 6 x1∧x2∧x3∧x4 0011 *
1.5 联结词全功能集
联结词全功能集 与非联结词,或非联结词
1
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
8
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
9
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
(5,7) x1∧x3∧x4 001 *
数理逻辑 第一章 逻辑、集合和函数 函数
P61 － 例14－16。 令g为从集合A到集合B的函数，f是从
集合B到集合C的函数，函数f和g的组 合用f ◦g表示，定义为：
(f ◦g)(a)=f ( g (a) )
三、反函数和函数组合
如果g的值域不是f 的定义域的子集， 就无法定义f ◦g。
P62 － 例17－18。 对函数组合而言交换律不成立。
函数f是一对一的，当且仅当只要x≠y， 就有f(x)≠f(y)
P59 － 例6 - 例8
二、一对一函数和映上函数
定义域和伴域都是实数集合子集的函 数f称为严格递增的，如果对f定义域 中的x和y，只要x<y就有f(x)<f(y)。
f称为严格递减的，如果对f定义域中 的x和y，只要x<y就有f(x)>f(y)。
一、引言
在许多情况下，我们都会为一个集合的每 个元素指派另一个集合的一个特定元素。
例如：假定为学习数理逻辑课的每个学生 从{A,B,C,D}中选择一个字母作为他的得分。 再假定张三的得分为A，李四的得分为C， 王五的得分为A，赵六的得分为D。
这种打分就是一个函数。
一、引言
令A和B为集合。从A到B的函数f是对 元素的一种指派，对A的每个元素恰 好指派B的一个元素。如果f指派给A 中元素a的唯一的B的元素是b，就写 成f(a)＝b。如果f是从A到B的函数， 就写成 f: A→B。
二、一对一函数和映上函数
例：A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，如果f : A→B为 f(1)=a，f(2)=c，f(3)=b，f(4)=c，
则f是满射。
例：A={1,2,3}，B={a,b,c,d}，如果f : A→B为 f(1)=a，f(2)=c，f(3)=b，
则f是单射。
集合B到集合C的函数，函数f和g的组 合用f ◦g表示，定义为：
(f ◦g)(a)=f ( g (a) )
三、反函数和函数组合
如果g的值域不是f 的定义域的子集， 就无法定义f ◦g。
P62 － 例17－18。 对函数组合而言交换律不成立。
函数f是一对一的，当且仅当只要x≠y， 就有f(x)≠f(y)
P59 － 例6 - 例8
二、一对一函数和映上函数
定义域和伴域都是实数集合子集的函 数f称为严格递增的，如果对f定义域 中的x和y，只要x<y就有f(x)<f(y)。
f称为严格递减的，如果对f定义域中 的x和y，只要x<y就有f(x)>f(y)。
一、引言
在许多情况下，我们都会为一个集合的每 个元素指派另一个集合的一个特定元素。
例如：假定为学习数理逻辑课的每个学生 从{A,B,C,D}中选择一个字母作为他的得分。 再假定张三的得分为A，李四的得分为C， 王五的得分为A，赵六的得分为D。
这种打分就是一个函数。
一、引言
令A和B为集合。从A到B的函数f是对 元素的一种指派，对A的每个元素恰 好指派B的一个元素。如果f指派给A 中元素a的唯一的B的元素是b，就写 成f(a)＝b。如果f是从A到B的函数， 就写成 f: A→B。
二、一对一函数和映上函数
例：A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，如果f : A→B为 f(1)=a，f(2)=c，f(3)=b，f(4)=c，
则f是满射。
例：A={1,2,3}，B={a,b,c,d}，如果f : A→B为 f(1)=a，f(2)=c，f(3)=b，
则f是单射。
数理逻辑简介.ppt课件
14、等价否定等值式 A B A B
15、归谬论 (A B) (A B) A
三、等值演算。
置换定理：如果 A B，则 ( A) (B)。
例2、验证下列等值式。
(1) p (q r) ( p q) r
(2) p (q r) p (q r) q r (3) q (p q) p 1
q (q p)
q (q p)
(q q) p
1 p 1
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
考虑问题:能否利用等值式来化简，或判断 公式的类型(重言，矛盾，可满足)。
判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足 式，或者判断两个命题公式是否等值。有两种方 法，即真值表法和等值演算法。
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。 重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用 其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B 是重言式，则称 A与B是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B是否等值，即判断 A B
例2、 p p q r p r
为_5__层公式。
3、真值表。
公式 A 的解释或赋值
赋值
成真赋值 成假赋值
（使A为真的赋值） （使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ，
按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010……
等是 A 的成真赋值。
2、结合律 (A B) C A (B C)， (A B) C A (B C)
3、分配律 A (B C) (A B) (A C) ， A (B C) (A B) (A C)
数理逻辑课件 第6节 一阶逻辑等值演算与推理定律
x(F(x,y,z)tG(x,t,z))
换名规则
xt(F(x,y,z)G(x,t,z)) 式 或者
辖域扩张等值
x(F(x,y,z)yG(x,y,z))
x(F(x,u,z)yG(x,y,z))
代替规则
xy(F(x,u,z)G(x,y,z)) 式
辖域扩张等值
•13/30
实例
例3 设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量词: (1) xy(F(x)G(y))
解: 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x)) 或 x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) 式 x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x))
量词否定等值
置换 置换
•11/30
实例
例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值. (2) 不是所有的人都爱看电影
(2) 量词否定等值式
① xA(x) xA(x)
② xA(x) xA(x)
•6/30
一阶逻辑基本等值式
(3) 量词辖域收缩与扩张等值式
A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的出现.
关于全称量词的：
① x(A(x)B) xA(x)B
② x(A(x)B) xA(x)B
③ x(A(x)B) xA(x)B
解: xy(F(x)G(y)) y(F(a)G(y)))(y(F(b)G(y)))(y(F(c)G(y))) ((F(a)G(a))(F(a)G(b))(F(a)G(c))) ((F(b)G(a))(F(b)G(b))(F(b)G(c))) ((F(c)G(a))(F(c)G(b))(F(c)G(c)))
•20/30
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第一章 命题逻辑
例1： 1. 2是素数。 2. 雪是黑色的。 3. 2+3=5 。 4. 明年十月一日是晴天。 5. 这朵花多好看呀！ 6. 3能被2整除. 7. 明天下午有会吗？ 8. 请关上门！ 9. x+y>5 。 10. 地球外的星球上也有人。
命题判断的关键： 1.是否是陈述句； 2.真值是否是唯一的。
1
前件，q称为条件命题p→q的后
1
件。
表1.4 q p→q 01 11 00 11
【例】 p：小王努力学习。q：小王学习成绩优秀。 p→q：如果小王努力学习，那么他的学习成绩就优秀。 联 结 词 “ → ” 与 汉 语 中 的 “ 如 果 … ， 那 么 …” 或
“若…，则…”相似，但又是不相同的。
• 例11：用等值演算法解决下面问题. A、B、C、D四人百米竞赛.观众甲、乙、丙预测比 赛名次为： 甲：C第一，B第二； 乙：C第二，D第三； 丙：A第二，D第四. 比赛结束后发现甲、乙、丙每人预测的情况都各对 一半，试问实际名次如何（假设无并列情况）？
1.4 联结词全功能集
• 一个n(n≥1)维卡氏积{0,1}n到{0,1}的函数称为一个 n元真值函数。设F是一个n元真值函数，则可记 为F：{0,1}n→{0,1}
1.3 等值演算
• 定义1.10 设A,B为两个命题公式，若等价 式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记 作A⇔B.
• A⇔B不是命题公式 • 可通过判断A与B的真值表是否相同，来判
断A与B是否等值。
• 例8：判断下列命题公式是否等值 （1） ¬(p∨q)与¬p∨¬q ； （2） ¬(p∨q)与¬p∧¬q ；
• 在一个联结词的集合中，如果一个联结词可由集 合中的其他联结词定义，则称此联结词为冗余的 联结词，否则称为独立的联结词。
数理逻辑--精PPT共32页
数理逻辑--精
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
32
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成8、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
32
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成8、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6.离散数学在国外的状况
值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视离散 数学的研究。日本有离散数学研究中心，并且从美 国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支 持美国的有关课题的研究，这样使日本的离散数学 这几年的发展极为迅速。台湾、香港两地也从美国 引进人才，大力发展离散数学。新加坡，韩国，马 来西亚也在积极推动离散数学的研究和人才培养。 。
6.离散数学在国外的状况
美国政府也成立了离散数学及理论计算 机科学中心DIMACS（与Princeton大学， Rutgers大学，AT&T 联合创办的，设在 Rutgers大学），该中心已是离散数学理论 计算机科学的重要研究阵地。美国国家数学 科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立） 在1997年选择了离散数学作为研究专题，组 织了为期一年的研究活动。
科实际应用走；学科实际应用跟着自然走”
！
——需要如下三个方面的能力：构造模 型、算法设计、程序设计的能力。
思维训练：构造性思维
3 关于课程学习
课程特点 知识点集中，概念和定理多 方法性强
——阅读，思考，练习，阅读，总结 ，……
学习内容 数理逻辑、集合论、抽象代数、图论
4.计算科学与数学的关系
6.关于离散数学的一些应用
例2 : 一个邮递员从邮局出发，要走 完他所管辖的街道，他应该怎样选择什 么样的路径，这就是著名的"中国邮递 员问题"，由中国离散数学家管梅谷教 授提出，著名离散数学家J. Edmonds和 他的合作者给出了一个解答。
6.关于离散数学的一些应用
例3:一个班级的学生共计选修A、B、 C、D、E、F六门课程，其中一部分人同 时选修D、C、A，一部分人同时选修B、 C、F，一部分人同时选修B、E，还有一 部分人同时选修A、B，期终考试要求每 天考一门课，六天内考完，为了减轻学 生负担，要求每人都不会连续参加考试 ，试设计一个考试日程表。
计算机学科的一个重要特点——离散性
硬件
数据表示、存储
离
软件（系统软件、应用软件）
散
程序编写、执行
数
模型
学
算法（程序运行逻辑）
2 离散数学与计算机科学
离们在更高的
高度去了解和学习计算机科学”！
计算机科学知识掌握的过程：“硬件
跟着软件走，软件跟着模型走，模型跟着学
4计算学科与离散数学的关系
在计算机科学知识掌握的过程中应是
“硬件跟着软件走，软件跟着模型走，模型
跟着学科实际应用走；学科实际应用跟着自
然走”。关于学生的培养目标就是要培养自
己的学生能够根据实际应用问题提出计算机
应用的模型，并用硬件和软件资源去构造计
算机系统去完成模型中所提出来的工作。
构造模型的能力；算法设计的能力；
世界各地对离散数学的如此钟爱显然是有原因 的，那就是没有离散数学就没有计算机科学，没有 计算机软件。
5.离散数学在国外的状况
20世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言离散数 学和几何学将是21世纪数学研究的前沿阵地。这一 观点不仅得到国际数学界的赞同，也得到了中国数 学界的赞同和响应。
除上述以外，欧洲也在积极发展离散数学，英 国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意 大利、西班牙等国家都建立了各种形式的离散数学 研究中心。近几年，南美国家也在积极推动离散数 学的研究。澳大利亚，新西兰也组建了很强的离散 数学研究机构。
第一数理逻辑
引言
1.计算机专业的学生为什么要学 习离散数学？
2.离散数学包含的内容? 3.怎样学习离散数学？
1 什么是离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分 支，是计算机类专业的重要课程。它 以研究离散量的结构及其相互间的关 系为主要目标，其研究对象一般是有 限个或可数个元素。
2 离散数学与计算机科学
至于计算机技术专业的学生为何要学习 数学这个问题的答案：计算机科学植根于数 学，从而数学是必须掌握的基础知识；另外 如果我们已经拥有牢固的数学基础，则能大 大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维 能力和形式化思维能力，从而今后在学习任 何一门计算机科学的专业主干课程时，都不 会遇上任何思维理解上的困难。
程序设计的能力。
6.离散数学在国外的状况
纵观全世界软件产业的情况，易见一个
奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。造 成这种现象的一个根本的原因就是计算机科 学在美国的飞速发展。当今计算机科学界的 最权威人士很多都是研究离散数学出身的。
美国最重要的计算机科学系（MIT， Princeton，Stanford，Harvard，Yale， ….）都有第一流的离散数学家。计算机科 学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效 益，这已是不争之事实。
6.关于离散数学的一些应用
例4:一个人带着一只狼、一只羊和一 捆草要渡河，由于船太小，人做摆渡者 一次只能运送一个“乘客”，很显然， 如果人不在，狼要吃羊，羊要吃草，问 人怎样才能把它们平安地渡过河去？
6.关于离散数学的一些应用
例5 网络计划技术
在生产原子弹的曼哈顿计划中，
涉及到很多工序，许多人员的安排，很
6.关于离散数学的一些应用
例1:在日常生活中我们常常遇到离散数学 的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你 会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一 共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国 家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个 国家都能清楚地显示出来。但要证明这个结 论确是一个著名的世界难题，最终借助计算 机才得以解决，最近人们才发现了一个更简 单的证明。
胡锦涛同志在1998年接见“五四”青年 奖章时发表的讲话中指出，离散数学不同于 传统的纯数学的一个分支，它还是一门应用 学科，一门交叉学科。他希望中国的离散数 学研究能够为国家的经济建设服务。
多元件的生产，怎样安排各种人员的工
作，以及各种工序间的衔接，从而使整
个工期的时间尽可能短？这些都是离散
数学典型例子。
6.关于离散数学的一些应用
总之，离散数学无处不在，它的主要应 用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。 所以离散数学完全可以看成是一门量化的关 系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的 管理学。