函数的基本性质练习题(重要)

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教师资格考试高中数学学科知识与教学能力试题与参考答案

教师资格考试高中数学学科知识与教学能力模拟试题(答案在后面)一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、设函数(f(x)=log2(x2−4x+5))，则该函数的定义域为：A.(x<2)B.(x>2)C. 全体实数D.(x≠2)2、已知向量(a⃗=(3,4))，(b⃗⃗=(−1,2))，若(c⃗=a⃗−2b⃗⃗)，则(|c⃗|)（即(c⃗)的模）等于：A. 5B. 7C.(√29)D.(√53)3、在以下函数中，定义域为全体实数的是（）A.(f(x)=√x−1))B.(g(x)=1x2C.(ℎ(x)=log2(x+3))+√x+1)D.(j(x)=1x−14、在等差数列({a n})中，若首项(a1=3)，公差(d=2)，则第10项(a10)的值是（）A. 21B. 19C. 17D. 155、设函数(f(x)=x3−3x+1)，则函数在区间[-2, 2]上的最大值为：A、1B、3C、5D、不存在6、若矩阵(A)经过有限次初等行变换可化为矩阵(B)，下列叙述正确的是：A、(A)与(B)的秩不一定相等。

B、(A)与(B)的行列式值相同。

C、若(A)可逆，则(B)也可逆。

D、(A)与(B)相似。

7、在下列数学概念中，属于集合概念的是：A. 方程B. 函数C. 点D. 三角形8、函数y=lg(2x-1)的定义域是：A. (1, +∞)B. (0, +∞)C. (0, 1)D. (1, 2)二、简答题（本大题有5小题，每小题7分，共35分）第一题在高中数学课程中，函数是一个非常重要的概念，请详细解释函数的概念，并举例说明函数在实际生活中的应用。

第二题请结合高中数学课程标准，谈谈如何有效地进行高中数学概念的教学设计。

第三题题目：请简述函数的奇偶性，并举例说明。

如何利用函数的奇偶性简化某些积分问题？第四题请结合高中数学教学实际，阐述如何利用“问题情境”激发学生学习高中数学的兴趣。

第五题请结合高中数学教学实际，谈谈如何有效地进行数学课堂导入，提高学生的学习兴趣。

函数的基本性质练习题(重要)

（高中数学必修1）函数的基本性质[B 组]一、选择题1．下列判断正确的是（）A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B．函数()(1f x x =- C．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（）A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞UD ．[)64,+∞3．函数y = ）A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ．[)+∞,2 D ．[)+∞,04．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≥5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =表示相等函数。

其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（）二、填空题1．函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。

2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x = . 3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为________. 4．奇函数()f x 在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-=__________。

微积分复习

第一章1.1区间与邻域1.1.1区间开区间，闭区间，半开半闭区间，无穷区间，这四类统称为区间，还分为有限区间（a，b）[a,b]，无限区间(−∞，b)(a,+∞)（a,b成为区间的端点）。

全体实数的集合R也可表示为无限区间(−∞,+∞)1.1.2邻域定义，设δ为某个正数，称开区间(x0−σ,x0+σ)为点x0的δ的邻域，简称为点x0的邻域，记作U(x0,σ)即U(x0,σ)={x0|x0−σ<x0<x0+σ}={x||x−x0|}1.2函数的概念1.2.1函数的定义设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A 或f(A)={y丨f(x)=y,y∈B}其中x叫做自变量，y叫做x的函数，集合 A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合{f(x)丨x∈A}叫做函数的值域。

1.2.2函数的表示法函数的表示法通常有三种：表格法、图像法和解析法。

1.2.3函数关系的建立为了建立函数关系，需要明确问题中的因变量和自变量，得出函数关系，并根据实际背景确定函数的定义域。

1.3函数的基本性质1.3.1函数的单调性设函数y=f(x)在区间I上有定义，x1及x2为区间I上任意两点，且x1<x2。

如果恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在I上是单调增加的；如果恒有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在I上是单调减少的。

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

1.3.2函数的奇偶性设函数y=f(x)的定义域D关于原点对称。

如果在D上有f(x)= f(−x)，则称f(x)为偶函数；如果在D上有f(x)=−f(−x)，则称f(x)为奇函数。

1.3.3函数的周期性设函数y=f(x)的定义域为D。

如果存在一个非零数l，使得对于任一x∈D有(x±I)∈D,且f(x±I)=f(x)，则f(x)称为周期函数，l 称为f(x)的周期，如果在函数f(x)的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为f(x)的最小正周期。

高中数学必修一集合与函数的概念知识点+练习题含答案解析(非常详细)

第一部分集合与函数的概念知识点整理第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。

（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。

（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。

{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

记作：BA⊆（或B⊇Ａ）注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/ B或B⊇/A（2）.“包含”关系（2）—真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

「新高一预科」2024版数学必修第一册必刷题

「新高一预科」2024版数学必修第一册必刷题新高一预科数学必修第一册是高中数学学习的重要一册，为了巩固学生对于基础数学知识的掌握，也为了让学生逐渐适应高中数学的学习方法和思维方式，这本教材中的题目往往涵盖了各个知识点的应用和拓展。

本文将会介绍一些必刷题，帮助学生全面、系统地掌握这本教材中的知识。

1.关于集合的题目集合是高中数学中的基础概念之一，学生在初中已经接触过集合的概念，这里的题目能够帮助学生巩固对于集合的理解和运用。

例如，集合的定义、集合的基本运算、集合的关系等等。

通过大量的练习，学生能够更加熟悉集合的运算规律和性质。

2.关于函数的题目函数是高中数学中的另一个重要概念，学生需要理解函数的定义、函数的性质、函数的图像等等。

这里的题目可以帮助学生掌握函数的基本性质，以及函数的应用。

例如，求函数的定义域、判断函数的奇偶性、求函数的极值、用函数解决实际问题等等。

通过这些题目的练习，学生可以更好地理解函数的基本概念和运用方法。

3.关于数列的题目数列是高中数学中重要的内容之一，学生需要掌握数列的基本性质、数列的通项公式、数列的求和公式等等。

这里的题目可以帮助学生更加全面地掌握数列的知识。

例如，求等差数列的通项公式、求等比数列的通项公式、求等差数列的和、求等比数列的和等等。

通过大量的题目练习，学生可以更加熟练地掌握数列的相关知识和运用。

4.关于平面几何的题目平面几何是高中数学中需要掌握的重要内容之一，这里的题目可以帮助学生巩固平面几何的基本知识和运用。

例如，平面几何的基本概念、平面几何的性质、平面几何的判定等等。

通过这些题目的练习，学生可以更加深入地理解平面几何的相关知识，并且能够更好地运用到实际问题中。

总之，新高一预科数学必修第一册中的题目是学生逐步过渡到高中数学学习的桥梁，通过用大量的题目进行练习，学生能够全面地掌握这本教材中的知识，并且能够更好地适应高中数学的学习方式和思维方式。

希望学生们能够充分利用这本教材，通过不断地练习和思考，提高自己的数学素养和解题能力。

高一数学必修一函数的基本性练习题

函数的基本性质综合练习一．选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分）1．若函数ax y =与x b y -=在(0，＋∞)上都是减函数，则bx ax y +=2在),0(∞上是（） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增2．已知函数)127()2()1()(22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数，则m 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．设)(x f 是(－∞，＋∞)上的增函数a 为实数，则有 ( )A ．)2()(a f a f <B ．)()(2a f a f <C ．)()(2a f a a f <+D ．)()1(2a f a f >+ 4．如果奇函数)(x f 在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[－7，－3]上是( )A ．增函数且最小值是－5B ．增函数且最大值是－5C ．减函数且最大值是－5D ．减函数且最小值是－55．已知定义域为}0|{≠x x 的函数)(x f 为偶函数，且)(x f 在区间(－∞，0)上是增函数，若0)3(=-f ，则0)(<xx f 的解集为( ) A ．(－3,0)∪(0,3) B ．(－∞，－3)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－3,0)∪(3，＋∞) 6．当]5,0[∈x 时，函数c x x x f +-=43)(2的值域为( )A ．[c,55＋c ]B ．[－43＋c ，c ]C ．[－43＋c,55＋c ] D ．[c,20＋c ] 7．设)(x f 为定义在R 上的奇函数．当0≥x 时，b x x f x ++=22)((b 为常数)，则)1(-f 等于( )A ．3B ．1C ．－1D ．－38．下列函数在(0,1)上是增函数的是( )A ．x y 21-=B ．1-=x yC ．x x y 22+-=D ．5=y9.下列四个集合：①}1|{2+=∈=x y R x A ；②},1|{2R x x y y B ∈+==；③},1|),{(2R x x y y x C ∈+==；④}1{的实数不小于=D ．其中相同的集合是( )A ．①与②B ．①与④C ．②与③D ．②与④ 10．给出下列命题：①xy 1=在定义域内为减函数；②2)1(-=x y 在),0(∞ 上是增函数；③x y 1-=在)0,(-∞上为增函数；④kx y =不是增函数就是减函数。

指数函数练习题及答案

指数函数练习题及答案指数函数是高中数学中的重要内容之一，也是数学建模和应用题中常见的数学模型。

掌握指数函数的性质和解题方法，对于学生来说是非常重要的。

本文将介绍几道常见的指数函数练习题，并给出详细的解答过程。

一、求解指数函数的定义域和值域1. 已知函数 f(x) = 2^x，求函数的定义域和值域。

解答：对于指数函数 f(x) = 2^x，由于指数函数的底数必须大于0且不等于1，所以定义域为全体实数。

而指数函数的值域为正实数集。

二、求解指数函数的图像和性质2. 已知函数 f(x) = 3^x，求函数的图像和性质。

解答：对于指数函数 f(x) = 3^x，我们可以通过绘制函数的图像来观察其性质。

首先，我们选取几个不同的 x 值，计算对应的 y 值，然后将这些点连成一条曲线。

根据计算结果，我们可以看出指数函数 f(x) = 3^x 是递增函数，并且随着 x 的增大，函数值也随之增大。

三、求解指数函数的基本性质3. 求函数 f(x) = 4^x 的对称轴和最小值。

解答：对于指数函数 f(x) = 4^x，我们可以通过求导数来求解其对称轴和最小值。

首先，我们求函数的导数 f'(x) = ln(4) * 4^x。

然后，令导数等于0，解得 x = 0。

所以对称轴为 x = 0。

接下来，我们求解函数在 x = 0 处的函数值，即 f(0) =4^0 = 1。

所以最小值为 1。

四、求解指数函数的变形题4. 已知函数 f(x) = 2^(x+1) - 3，求函数的图像和性质。

解答：对于指数函数 f(x) = 2^(x+1) - 3，我们可以通过绘制函数的图像来观察其性质。

首先，我们选取几个不同的 x 值，计算对应的 y 值，然后将这些点连成一条曲线。

根据计算结果，我们可以看出指数函数 f(x) = 2^(x+1) - 3 是递增函数，并且随着x 的增大，函数值也随之增大。

此外，由于函数中有减法操作，所以整个函数的图像会在 y 轴下方平移 3 个单位。

优品课件之函数的性质

函数的性质《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第四讲―函数的基本性质一．课标要求(例题5，练习题7，习题9) 1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；二．命题走向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。

预测2011年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。

预测明年的对本讲的考察是：（1）考察函数性质的选择题1个或1个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。

三．要点精讲 1．单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；○2 必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) （2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

（3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集：①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数 y= f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。

函数对应关系练习题

函数对应关系练习题一、选择题1. 函数f(x)=2x+3的值域是：A. (-∞,+∞)B. {x|x>3}C. {x|x<-3}D. {x|-∞<x<+∞}2. 函数g(x)=x^2-4x+3的最小值是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若函数h(x)=x^3-6x^2+9x+2的零点为a，b，c，则a+b+c的值为：A. 3B. 6C. 9D. 2二、填空题1. 函数f(x)=\frac{1}{x}的定义域是______。

2. 若函数f(x)=\sqrt{x}的值域为[0,+∞)，则其定义域是______。

3. 函数y=\sqrt{2x-1}的反函数是______。

三、解答题1. 已知函数f(x)=x^2-2x-3，请找出其与x轴的交点。

2. 函数f(x)=\frac{1}{x}的图像在第一象限内与y=x的交点坐标是什么？3. 函数y=\sqrt{4-x^2}表示的图形是什么？请描述其形状和边界。

四、证明题1. 证明函数f(x)=x^3在(-∞,+∞)上是单调递增的。

2. 证明函数f(x)=\frac{1}{x}在(0,+∞)上是单调递减的。

五、应用题1. 某公司生产的产品，每件产品的成本为c元，售价为p元，利润为p-c元。

假设该公司的总利润函数为f(x)=px-cx，x为生产的产品数量。

如果每件产品的售价为50元，成本为30元，求当生产100件产品时的总利润。

2. 某工厂生产一种产品，每件产品的利润为10元。

如果工厂每月生产x件产品，则其总利润为f(x)=10x-0.01x^2元。

求当工厂每月生产多少件产品时，其利润最大。

六、综合题1. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求其在区间[0,2]上的最大值和最小值。

2. 函数f(x)=x^2+2x+1的图像与直线y=k相切，求k的值。

3. 函数f(x)=\frac{1}{x}与函数g(x)=\frac{1}{x}+1的图像在第一象限内是否有交点？如果有，请求出交点坐标。

函数反函数对数及对数函数

函数一、函数：1．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义1．求值域的几种常用方法〔1〕配方法：对于〔可化为〕“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决〔2〕基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

〔3〕判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数22122+-+=x x x y 的值域由22122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，假设0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数值域中的一个值；假设0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 得021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2133,2133[+- 〔4〕别离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

(完整版)高中数学基础知识练习题答案

高中数学基础知识练习题答案黄浦区教研室数学组提供（供黄浦区2011年高三学生使用)一、集合和命题1、{}2112--，，，；2、23、φ，{}0，{}2，{}4，{}0,2，{}0,4，{}2,4，{}0,2,4；4、01±或5、11x y =⎧⎨=-⎩；6、(01]，7、（1）若0ab =，则0a =；（2）否命题：若2x ≠且3x ≠，则2560x x -+≠；逆否命题：若2560x x -+≠，则2x ≠且3x ≠。

8、否命题：若0a ≠或0b ≠,则220a b +≠；逆否命题：若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠。

9、必要非充分；10、D二、不等式1、（1），（2），(3）；2、A ；3、B4、（1）()()()()222222222220a b cd ac bd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥所以()()()22222a b c c ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =等号成立。

（2）()()()2220a b a b a b a b b a ab-++-+=>，所以22a b a b b a +>+.（3）()()()23322a b a b ab a b a b +-+=-+所以，当a b =时，3322a b a b ab +=+;当a b ≠时，3322a b a b ab +>+。

（4)因()222232()24b b a b b a b a +-+=-+,故()222a b b a b +≥+，当且仅当0a b ==时等号成立。

（5） x y >5、{}6,a a a R ⎪≥∈;6、1142x x x ⎧⎫⎪<>⎨⎬⎩⎭或；7、解:(]2,2-8、(1）1,1111,11,111a a a a x R a a a ⎧⎛⎫+∞<-> ⎪⎪+⎝⎭⎪⎪∅=∈⎨=-⎪⎪⎛⎫-∞-<<⎪ ⎪+⎝⎭⎩，当或时，当时当时，当（2）()()22,,0101,,01a a a a x a a a a a ⎧<>⎪⎪∈∅==⎨⎪<<⎪⎩当或时，当或时当时。

高中数学必修一同步练习题库：函数的基本性质(简答题：较难)

函数的基本性质（简答题：较难）1、已知函数且）.（1）求的定义域；（2）讨论函数的单调性.2、（满分16分）已知函数，其中是自然对数的底数.（1）证明：是上的偶函数；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论.3、已知幂函数（）在是单调减函数，且为偶函数.（1）求的解析式；（2）讨论的奇偶性，并说明理由.4、已知函数.（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）判断函数的奇偶性；（Ⅲ）若，求的取值范围.5、（1）不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围；（2）已知是定义在上的奇函数，当时，，求的解析式．6、定义在上函数，且，当时，．（1）求的解析式；（2）当时，求的最大值和最小值．7、已知函数，．（1）证明：为奇函数，并求的单调区间；（2）分别计算和，并概括出涉及函数和对所有不为0的实数都成立的一个等式，并加以证明．8、已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）用单调性的定义证明为上的增函数；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．9、已知函数．（1）判断的奇偶性；（2）用单调性的定义证明为上的增函数；（3）求满足不等式的实数的取值范围．10、定义在上的函数满足对任意，，恒有，且不恒为0．（1）求和的值；（2）试判断的奇偶性，并加以证明；（3）若，恒有，求满足不等式的的取值集合．11、已知定义域为R的函数是奇函数．(1)求实数a的值；(2)用定义证明：f(x)在R上是减函数．12、已知函数（1）用定义证明在上单调递增；（2）若是上的奇函数，求的值；（3）若的值域为D，且，求的取值范围.13、讨论函数在定义域上的单调性.14、已知函数是定义在区间上的奇函数，且若对于任意的有（1）判断并证明函数的单调性；（2）解不等式；（3）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．15、已知函数的定义域为，其中为常数；（1）若，且是奇函数，求的值；（2）若，，函数的最小值是，求的最大值；（3）若，在上存在个点，满足，，，使得，求实数的取值范围；16、已知函数；（1）当时，若，求的取值范围；（2）若定义在上奇函数满足，且当时，，求在上的反函数；（3）对于（2）中的，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；17、已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）猜测的单调性，并用定义证明；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．18、已知函数在上有意义，且对任意满足.（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；（2）若时，，则能否确定在的单调性？若能，请确定，并证明你的结论，若不能说明理由.19、设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．20、已知函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1.(1)求f(9)，f(27)的值；(2)若f(3)＋f(a－8)<2，求实数a的取值范围．21、已知函数，（且），（1）求函数的定义域；（2）求使的的取值范围.22、已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.（1）求的解析式；（2）若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围.23、已知定义域为的函数是奇函数．（1）求实数的值；（2）判断并证明在上的单调性；（3）若对任意实数，不等式恒成立，求的取值范围．24、已知定义在R上的函数是奇函数,函数的定义域为. （1）求的值；（2）若在上单调递减，根据单调性的定义求实数的取值范围；（3）在(2)的条件下，若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围.25、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．26、设函数的定义域是R，对于任意实数，恒有，且当时，。

专题10 函数的基本性质(单调性)(原卷版)

专题10函数的基本性质（单调性）1．增函数和减函数增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)f (x 1)＞f (x 2)那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数．区间D 称为函数f (x )的单调递增区间那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数．区间D 称为函数f (x )的单调递减区间图象特征函数f (x )在区间D 上的图象是上升的函数f (x )在区间D 上的图象是下降的图示[121212(2)函数f (x )在区间D 上是减函数，x 1，x 2∈D ，则x 1<x 2⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调性(1)定义：如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间.(2)图象特征：函数y ＝f (x )在区间D 上具有单调性，则函数y ＝f (x )在区间D 上的图象是上升的或下降的． [归纳总结] 基本初等函数的单调区间如下表所示：函数条件单调递增区间单调递减区间正比例函数 (y ＝kx ，k ≠0) 与一次函数 (y ＝kx ＋b ，k ≠0) k ＞0R无 k ＜0无R反比例函数 (y ＝kx，k ≠0)k ＞0无 (－∞，0)和 (0，＋∞)k ＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞) 无二次函数a ＞0[－b2a，＋∞) (－∞，－b2a](y＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)a ＜0(－∞，－b2a][－b2a，＋∞) 3. 最大值和最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足；对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论称M 是函数y ＝f (x )的最大值称M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标[知识拓展] 函数最大值和最小值定义中两个关键词： ①“存在”：M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y ＝x 2(x ∈R )的最小值是0，有f (0)＝0.②“任意”：最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f (x )≤M (f (x )≥M )成立，也就是说，函数y ＝f (x )的图象不能位于直线y ＝M 的上(下)方．典型题型与解题方法重要考点一：利用图象求函数的单调区间【典型例题】函数()y f x ＝在区间[22]-，上的图象如图所示，则此函数的增区间是（）A ．[20]-，B ．[0]1，C ．[21]-，D ．[11]-，【题型强化】1.已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-2.关于函数()11f x x =--的下列结论，错误的是（） A ．图像关于1x =对称 B ．最小值为1-C ．图像关于点()1,1-对称D ．在(],0-∞上单调递减【名师点睛】函数单调区间的求法及表示方法(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．(3)区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．重要考点二：用定义证明函数的单调性【典型例题】已知函数(),(1,)1xf x x x=∈-+∞+，试判断函数()f x 的单调性，并证明.【题型强化】1.试用函数单调性的定义证明：()2-1xf x x =在()1,+∞上是减函数．2.已知函数[]21(),3,51x f x x x -=∈+. (1)判断()f x 在区间[]3,5上的单调性并证明； (2)求()f x 的最大值和最小值.【名师点睛】1．函数单调性的证明方法——定义法利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：2．用定义证明函数单调性时，作差f (x 1)－f (x 2)后，若f (x )为多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f (x )是分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f (x )解析式是根式，则先“分子有理化”再分解因式．重要考点三：单调性的应用【典型例题】函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+的解集为________【题型强化】1.已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.2.已知()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，恒有2()()f x f x x +-=成立.，若()y f x =在(,0]-∞上单调递增，且(2)()22f a f a a --≥-，则a 的取值范围为__________.【名师点睛】利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f ”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．重要考点四：对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误【典型例题】已知函数226y kx x =+-在区间(2,4)上单调递增，求实数k 的取值范围.【题型强化】1.二次函数()222f x x ax =++在区间[]1,2上单调，则实数a 的取值范围；2.()()()222f x x m x m m R =+--∈(1)已知()f x 在[]2,4上是单调函数,求m 的取值范围； (2)求()0f x <的解集.【名师点睛】若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子区间上也是单调的，因此f (x )在区间A 上单调增(或减)和f (x )的单调增(或减)区间为A 不等价．重要考点五：抽象函数单调性的判断与证明【典型例题】已知()f x 定义域为R ,对任意x ,y R ∈都有()()()1f x y f x f y +=+-,当0x >时, ()1f x <,(1)0f =.（1）求(1)f -;（2）试判断()f x 在R 上的单调性,并证明; （3）解不等式:2(232)2()4f x x f x --+>.【题型强化】1.设()f x 是定义在R 上的函数,对任意的,x y R ∈,恒有()()()f x y f x f y +=⋅，且当0x ＞时,()01f x ＜＜ .(1)求()0f 的值;(2)求证:对任意x ∈R ,恒有()0f x ＞. (3)求证:()f x 在R 上是减函数.2.已知定义在R 上的恒不为0的函数()y f x =满足()()()1212f x x f x f x +=⋅，试证明： (1)()01f =及()()()1122f x f x x f x -=； (2)()()(),,2nf nx f x n N n +=∈≥⎡⎤⎣⎦；(3)当0x >时，()1f x >，则函数()f x 在R 上是增函数.【名师点睛】一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f (x ＋y )”型[即给出f (x ＋y )所具有的性质，如本例]，二是“f (xy )”型．对于f (x ＋y )型的函数，只需构造f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]，再利用题设条件将它用f (x 1)与f (x 2－x 1)表示出来，然后利用题设条件确定f (x 2－x 1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f (x 2)与f (x 1)的大小关系；对f (xy )型的函数，则只需构造f (x 2)＝f (x 1·x 2x 1)即可．重要考点六：利用图象求函数的最值【典型例题】对于任意x ∈R ，函数()f x 表示3x -+，3122x +，243x x -+中的较小者，则函数()f x 的最大值是_________.【题型强化】1.函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（） A ．52B ．5222+C ．32D ．22.若函数2()f x x bx a =++在区间[0,1]上的最大值是(,)M a b ，最小值是(,)n a b ，则(,)(,)M a b n a b -( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 无关，但与b 有关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 有关，但与b 无关【名师点睛】利用图象法求函数最值的一般步骤是：重要考点七：利用单调性求最值【典型例题】函数11y x =-+在区间[]1,2上的最大值为（） A ．13-B ．12- C ．1- D ．不存在【题型强化】1.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（） A ．4B ．5C ．9D ．132.函数()1xf x x =-在区间[]2,5上的最大值与最小值的差记为max min f -，若 max min f --22a a ≥-恒成立，则a 的取值范围是（） A ．1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]1,2C ．[]0,1D ．[]1,3【名师点睛】1．利用函数单调性求最值的一般步骤：(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间[b ，c )上是减函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上有最大值f (b )． (3)如果函数f (x )在区间(a ，b ]上是减函数，在区间[b ，c )上是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上有最小值f (b )．重要考点八：实际应用中的函数最值问题【典型例题】某建筑公司打算在一处工地修建一座简易储物间.该储物间室内地面呈矩形形状，面积为250m ，并且一面紧靠工地现有围墙，另三面用高度一定．．．．的矩形彩钢板围成，顶部用防雨布遮盖，其平面图如图所示.已知该型号彩钢板价格为100元/米，整理地面及防雨布总费用为500元，不受地形限制，不考虑彩钢板的厚度，记与墙面平行的彩钢板的长度为x 米.（1）用x 表示修建储物间的总造价()f x （单位：元）；（2）如何设计该储物间，可使总造价最低？最低总造价为多少元？【题型强化】1.某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为()f x 元，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为()g x 元．（1）写出()f x 与()g x 的解析式；（2）选择哪家比较合算？请说明理由．2.某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.()1写出4辆车运营的总利润y （万元）与运营年数()*x x N ∈的函数关系式. ()2这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？【名师点睛】(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．重要考点九：忽视端点值致误【典型例题】函数()()2,12f x x x =≥+的值域为__________. 【题型强化】1.函数11x y x +=-在区间()[),02,5-∞⋃上的值域为_____ 2.对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是________________. 重要考点十：逻辑推理训练——抽象函数【典型例题】已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，当1x >时， ()0f x >，且()()+()f x y f x f y ⋅= (1)求(1)f ；(2)证明()f x 在定义域上是增函数；(3)如果1()13f =-，求满足不等式()(2)2f x f x --≥的x 的取值范围．【题型强化】1.设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意,x y R ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求(0)f 的值；（2）求证：()f x 为奇函数；（3）若函数()f x 是R 上的增函数，已知()11f =,且(2)(1)2f a f a >-+，求实数a 的取值范围.2.若定义在R 上的函数()f x 对任意的1x 、2x R ∈，都有()()()12121f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，()1f x >.（1）求证：()1f x -为奇函数；（2）求证：()f x 是R 上的增函数；（3）若()45f =，解不等式()2323f m m --<．【名师点睛】处理抽象函数问题的基本方法是赋值法．在本题的求解中，根据所给式子f (x ·y )＝f (x )＋f (y )进行适当的赋值或配凑．该式及由该式推出的f (1x)＝－f (x )可作为推理依据．1．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)2．已知函数234()x x f x x ++=，对于任意12x ≥时下列说法正确的是（）A ．函数最小值为7B ．函数最小值为232C ．函数最大值为7D ．函数最大值为2323．下列结论正确的是（）A ．4y x =在定义域内是单调递减函数B ．若()f x 在区间[]0,2上满足()()02f f <，则()f x 在[]0,2上是单调递增的C ．若()f x 在区间[]0,3上单调递减，则()f x 在()1,2上单调递减D ．若()f x 在区间()1,2，[]2,3上分别单调递减，则()f x 在(]1,3上单调递减 4．在区间(),0-∞上为增函数的是（）A ．y x =B ．21xy x =+-C ．222y x x =--- D．y =5．下列函数中，值域为R 且区间()0,∞+上单调递增的是（）A ．3y x =-B ．y x x =C ．1y x -= D．y =6．若函数(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1 B．2⎛ ⎝⎦ C．2⎫⎪⎪⎣⎭ D ．()1,+∞7．若函数()211y x a x =++-在[]22-,上单调，则a 的范围是（）A ．3a ≥B ．5a ≤-C ．3a ≥或5a ≤-D ．3a >或5a <-8．函数221()(1)x f x x x -=-的单调增区间为___________.9．函数()f x =的单调递增区间为________．10．若()12ax f x x +=+在区间2（，）∞-+上是增函数，则a 的取值范围是_________11．已知函数25,1(),1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞上单调递増，则a 的取值范围是________.12．若()()112a x f x x --=+在区间()2,-+∞上是减函数，则23f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是______．13．已知函数()()1100f x a x a x =-＞，＞．（1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f （x ）在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域是122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求a 的值．14．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围．15．已知函数()()()212f x x a x a a R =--+∈.（1）求函数()f x 在[]0,1上的最小值()g a 的表达式；（2）若函数()f x 在[]0,1上有且只有一个零点，求a 的取值范围.。

第四课时必修1函数的基本性质

第四课时函数的概念、基本性质高考考点：1.函数的概念及三要素：定义域，对应关系，值域2.函数的表示方法：解析式，列表，图像3.函数的性质：单调性，最值（值域），奇偶性利用定义判断函数单调性的歩骤：A) 定义法：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f(x 1)－f(x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ○2确定f(－x)与f(x)的关系； ○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数典型例题题型一、求函数的定义域1.已知函数32112)(2--+--=x x x x f ，求函数f(x)的定义域 2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f(x+1)的定义域为，函数)(2x f 的定义域为题型二、求函数的解析式3.已知函数的解析式求函数)(),1(,2)(2x f x f x x f +-=4.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式5.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

6设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时,)1()(+=x x x f ,则当(,0)x ∈-∞时()f x = ()f x 在R 上的解析式为题型三、函数的单调性7.判断函数12+=x y 在区间），（∞+0上的单调性并用定义证明你的结论．题型四、函数的奇偶性8.设函数2211)(xxx f -+=判断它的奇偶性并且求证：)()1(x f x f -=．基础练习题1．下面说法正确的选项（）A ．函数的单调区间一定是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间)0,(-∞上为增函数的是（） A ．1=y B ．21+-=xx y C ．122---=x x y D ．21x y += 3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围（）A ．2-≥bB ．2-≤bC ．2->bD ． 2-<b4．如果偶函数在）（b a ,具有最大值，那么该函数在）（a b --,有（）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ．没有最小值5．函数x x x y 2||+=，R x ∈是（） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．不具有奇偶函数 D ．不确定6．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定7．函数)(x f 在区间（-3,3）是奇函数且在区间（-3，0）是减函数，则）上是在区间（函数3,0)(x f （）函数A ．单调递增B ．单调递减C ．不是单调D ．不确定8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（） A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b9．已知)(x f 在实数集上是减函数，若0≤+b a ，则下列正确的是（）A ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≤+B ． )()()()(b f a f b f a f -+-≤+C ．)]()([)()(b f a f b f a f +-≥+D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 10.函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩ ，若()3f x =，则x =11、定义在)1,1(-上的奇函数1)(2+++=nx x m x x f ，则常数=m ____,=n _____ 12．函数)(x f 在R 上为偶函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .13．函数||2x x y +-=，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为 .14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； .15．判断下列函数的奇偶性 ①x x y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4；16．已知8)(32005--+=x b ax xx f ，10)2(=-f ，求)2(f .17.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是18.已知f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,它们的定义域都是{x|x ≠±1,x ∈R}且满足f(x)+g(x)=11-x , 求f(x)与 g(x)。

一元函数微分学练习题

一元函数微分学练习题一元函数微分学是微积分学中最重要的一个分支，它研究了一元函数的变化率，即函数在某一点处的斜率，以及函数的极大值和极小值等性质。

通过学习一元函数微分学，我们能够更好地理解函数的变化规律，解决各种实际问题。

下面是一些关于一元函数的微分学练习题，希望通过这些练习题的训练，提高大家对一元函数微分学的理解和运用能力。

1. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的导数。

2. 求函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5的极值点。

3. 已知函数f(x) = e^x，求f'(1)。

4. 求函数f(x) = ln(x)在点x = 3处的导数。

5. 求函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数。

6. 求函数f(x) = cos^2(x)在点x = π/4处的导数。

7. 求函数f(x) = e^x * sin(x)在点x = 0处的导数。

8. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值点。

9. 求函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x的极值点。

10. 求函数f(x) = sqrt(x)在点x = 4处的导数。

以上是一些关于一元函数微分学的练习题，希望大家通过自己的思考和计算，能够熟练掌握一元函数微分学的相关概念和计算方法。

在解答这些问题时，可以利用微分的定义和相关公式，同时也要注意使用函数的基本性质及其图像来推导和解决问题。

在解答题目时，可以采用以下步骤：1. 根据题目中给出的函数形式，求出函数的导数。

2. 使用导数的定义和性质，计算得到题目所要求的导数或导数的值。

3. 对于求函数的极值点，求导后令导数等于零，解得函数极值点的x坐标，再代入函数中求出对应的y坐标。

4. 对于函数的图像和性质，可以根据求导的结果，观察函数的增减性、凸凹性等。

通过不断的练习和掌握一元函数微分学的基本概念和计算方法，我们能够更好地理解函数的变化规律，解决各种实际问题。

2025年上半年教师资格考试高中数学学科知识与教学能力试题与参考答案

2025年上半年教师资格考试高中数学学科知识与教学能力试题与参考答案一、单项选择题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、以下哪个数学概念不是高中数学学科中的核心内容？A. 函数B. 微积分基础C. 几何证明D. 概率与统计答案：C. 几何证明解析：高中数学学科的核心内容通常包括函数、方程与不等式、数列与极限、微积分基础（如导数、定积分）、概率与统计等。

几何证明虽然在几何学中占有重要地位，但在高中数学课程中，尤其是针对“教师资格考试高中数学学科知识与教学能力”的考核，其重点更多放在函数、微积分基础、概率统计等应用更广泛、对后续学习影响更大的内容上。

几何证明虽然也是数学的一部分，但在高中数学教学中往往不是最核心的内容。

2、下列哪个选项中的函数图像不经过原点（0，0）？A. y = 2xB. y = x^2C. y = 1/xD. y = logₐx（a > 0, a ≠ 1）且定义域为(0, +∞)答案：B. y = x^2解析：对于选项A，y = 2x，当x = 0时，y = 0，所以图像经过原点。

对于选项B，y = x^2，当x = 0时，y = 0^2 = 0，但该函数图像是一个开口向上的抛物线，其顶点在原点，但并不表示所有图像都经过原点（除了顶点外，其他点都不经过原点）。

对于选项C，y = 1/x，在x接近0但x ≠ 0时，y的绝对值趋于无穷大，且图像关于原点对称，但不包括原点本身。

然而，由于题目问的是“不经过原点”的函数，我们主要关注B选项，因为B选项的图像除了顶点外确实不经过原点。

对于选项D，由于对数函数的定义域要求x必须大于0（且底数a > 0, a ≠ 1），所以其图像不经过原点。

但根据题目描述“且定义域为(0, +∞)”，我们实际上不需要考虑定义域外的点，因此这里主要关注B选项。

3、在复数范围内，方程 x^2 + 4 = 0 的解为 ( )A. x = ±2B. x = ±2iC. x = 2D. x = 2i答案：B. x = ±2i解析：对于方程 x^2 + 4 = 0，我们首先尝试在实数范围内求解。

函数的基本性质练习题

（函数的基本性质）练习题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。

1．下面说法正确的选项（）A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间)0,(-∞上为增函数的是（）A ．1=yB ．21+-=xxy C ．122---=x x y D ．21x y +=3．函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围（）A ．2-≥bB ．2-≤bC ．2->bD ． 2-<b 4．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有（）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ．没有最小值 5．函数px x x y +=||，R x ∈是（） A ．偶函数 B ．奇函数 C ．不具有奇偶函数 D ．与p 有关 6．函数)(x f 在),(b a 和),(d c 都是增函数，若),(),,(21d c x b a x ∈∈，且21x x <那么（）A ．)()(21x f x f <B ．)()(21x f x f >C ．)()(21x f x f =D ．无法确定7．函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（）A ．]8,3[B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[- 8．函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（）A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b 9．定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则（）A ．)2()2()3(f f f <<B ．)2()3()2(f f f <<C ．)2()2()3(f f f <<D ．)3()2()2(f f f <<二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）.11．函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f .14．构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).15．（12分）已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，求函数)1(+x f 得单调递减区间.16．（12分）判断下列函数的奇偶性 ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4；17．（12分）已知8)(32005--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，求)2(f .函数的奇偶性一、选择题1．若)(x f 是奇函数，则其图象关于（）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上的是（） A ． (())a f a ，- B ． (())--a f a ， C ． (())---a f a ，D ．(())a f a ，-3．下列函数中为偶函数的是（）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y4. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（）A ．增函数，最小值是-5B ．增函数，最大值是-5C ．减函数，最小值是-5D ．减函数，最大值是-55. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为（）A ．1-B ．2-C ．1D ．26.已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增，则下列关系式成立的是( )A ．)2()2()(f f f >->-ππ B ．)()2()2(ππ->->f f fC ．)2()2()(ππ->>-f f fD ．)()2()2(ππ->>-f f f二、填空题7．若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为____________ . 8．若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数，且)3()1(f f <，则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为__________________________.9．已知)(x f是定义在[)2,0-⋃(]0,2上的奇函数，当0>x时，)(x f的图象如右图所示，那么f (x )的值域是 .10．已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为2x y =，则这个函数在区间)0,(-∞上的解析式为．三、解答题11. 判断下列函数是否具有奇偶性： (1)35()f x x x x =++； (2)2(),(1,3)f x x x =∈-；(3)2)(x x f -=；(4) 25)(+=x x f ； (5) )1)(1()(-+=x x x f .12．判断函数122+-=x x y 的奇偶性，并指出它的单调区间.13．已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间322xyO指数函数与对数函数一. 【复习目标】1. 掌握指数函数与对数函数的函数性质及图象特征.2. 加深对图象法，比较法等一些常规方法的理解.3. 体会分类讨论，数形结合等数学思想.二、【课前热身】1.设5.1348.029.0121,8,4-⎪⎭⎫ ⎝⎛===y y y ，则 ( )A. 213y y y >> B 312y y y >> C 321y y y >> D 231y y y >> 2.函数)10(|log |)(≠>=a a x x f a 且的单调递增区间为 ( )A (]a ,0B ()+∞,0C (]1,0D [)+∞,1三. 【例题探究】例1.设a>0，x x eaa e x f +=)(是R 上的偶函数. （1）求a 的值；（2）证明：)(x f 在()+∞,0上是增函数例2.已知()())2(log 2log )(,22log )(222>-+-=-+=p x p x x g x x x f (1) 求使)(),(x g x f 同时有意义的实数x 的取值范围 (2) 求)()()(x g x f x F +=的值域.例3.已知函数)1(12)(>+-+=a x x a x f x（1）证明：函数)(x f 在()+∞-,1上是增函数；四、方法点拨1.函数单调性的证明应利用定义.2.含参数的二次函数在闭区间上的最值应注意谈论.3.会用反证法证明否定性的命题.1 求下列各式中的x 的值： (1)313x =；(2)6414x =；(3)92x =； (4)1255x 2=；(5)171x 2=-．2 有下列5个等式，其中a>0且a ≠1，x>0 , y>0 ①y log x log )y x (log a a a +=+，②y log x log )y x (log a a a ⋅=+， ③y log x log 21y x log a a a-=，④)y x (log y log x log a a a ⋅=⋅， ⑤)y log x (log 2)y x (log a a 22a -=-，将其中正确等式的代号写在横线上_____________． 3 化简下列各式：(1)51lg 5lg 32lg 4-+；(2)536lg27lg 321240lg 9lg 211+--+；(3)3lg 70lg 73lg -+； (4)120lg 5lg 2lg 2-+．4 利用对数恒等式N a Nloga=，求下列各式的值：(1)5log 4log 3log 354)31()51()41(-+(2)2log 2log 4log 7101.0317103-+(3)6lg 3log 2log 100492575-+ (4)31log 27log 12log 2594532+-5 化简下列各式：(1))2log 2(log )3log 3(log 9384+⋅+； (2)6log ]18log 2log )3log 1[(46626⋅⋅+-冲刺强化训练(3)2.若⎩⎨⎧≥<+=)6(log )6)(3()(2x x x x f x f ，则)1(-f 的值为（）A 1B 2C 3D 4 5.函数），且10(≠>=a a a y x在[]21，上的最大值比最小值大2a，则a 的值是 7.设函数)(log )(2xxb a x f -=且12log )2(,1)1(2==f f （1）求a,b 的值；（2）当[]2,1∈x 时，求)(x f 最大值8.已知函数)(x f 在定义域()1,1-上是减函数，且)1()1(2a f a f ->-（1）求a 的取值范围；（2）解不等式：().1log 1log a xa a >-。

高一函数练习题及答案

高一函数练习题及答案1. 定义域问题给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，求其定义域。

2. 函数值问题已知 \( g(x) = 3x - 2 \)，求 \( g(5) \)。

3. 函数的奇偶性判断函数 \( h(x) = x^3 - 2x \) 的奇偶性。

4. 函数的单调性分析函数 \( k(x) = x^2 + 3x + 2 \) 在 \( (-\infty, -1.5) \) 和 \( (-1.5, +\infty) \) 上的单调性。

5. 复合函数已知 \( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = x + 3 \)，求 \( f(g(x)) \)。

6. 反函数问题求函数 \( m(x) = 2x + 1 \) 的反函数。

7. 函数的图像变换若 \( n(x) = x^2 \)，求 \( n(2x - 1) \) 的图像与 \( n(x) \) 的图像之间的关系。

8. 函数的极值问题求函数 \( p(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x \) 的极值点。

9. 函数的连续性判断函数 \( q(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 在 \( x = 1 \) 处是否连续。

10. 函数的应用问题某工厂生产的产品数量与成本之间的关系由函数 \( r(x) = 100x + 500 \) 给出，其中 \( x \) 代表产品数量，求当产品数量为 50 时的成本。

答案1. 定义域为 \( x \neq 0 \) 的所有实数。

2. \( g(5) = 3 \times 5 - 2 = 13 \)。

3. 函数 \( h(x) \) 是奇函数，因为 \( h(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -h(x) \)。

4. 函数 \( k(x) \) 在 \( (-\infty, -1.5) \) 上单调递减，在\( (-1.5, +\infty) \) 上单调递增。

(完整版)《函数的基本性质》练习题

(完整版)《函数的基本性质》练习题一、选择题1. 设函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1，在区间 [-2, 2] 上，f(x) 的最小值出现在区间的哪个点？A. x = -2B. x = -1C. x = 0D. x = 1E. x = 2答案：C. x = 02. 若函数 g(x) 的定义域为实数集，且对任意 x，g(x) = g(x + 1)，则函数 g(x) 的图像具有什么样的性质？A. 对称性B. 周期性C. 单调性D. 渐近性E. 不对称性答案：B. 周期性二、填空题1. 设函数 h(x) = 2^(x - 1)，则 h(0) = ____答案：12. 设函数i(x) = √(x^2 - 9)，则定义域为 ____ 的实数集。

答案：[-∞, -3] 并[3, +∞]三、解答题1. 证明函数 f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 在整个实数集上是递增的。

解答：首先，计算 f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

我们可以使用求函数的导数的方法证明 f(x) 的递增性。

根据二次函数的性质，当 3x^2 - 12x + 9 > 0 时，即 x^2 - 4x + 3 > 0 时，函数 f(x) 在该区间上是递增的。

化简方程得到 (x - 1)(x - 3) > 0，所以 f(x) 在 (-∞, 1)U(3, +∞) 上是递增的。

因此，函数 f(x) 在整个实数集上是递增的。

2. 设函数 g(x) = |x + 3| - 2x，求函数 g(x) 的定义域以及其在定义域上的单调区间。

解答：对于函数 g(x) 来说，|x + 3| 在定义域内的取值范围为 x+ 3 ≥ 0 和 x + 3 < 0 两种情况，即x ≥ -3 或 x < -3。

同时，2x 在定义域内的取值范围为 x 属于实数集。

综合两种情况，g(x) 的定义域为x 属于实数集。