2021版新高考数学一轮复习讲义:第八章第八讲 曲线与方程 (含解析)

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第八讲曲线与方程

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一曲线与方程的定义

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系:

那么,这个方程叫做__曲线__的方程;这条曲线叫做__方程__的曲线.

知识点二求动点的轨迹方程的基本步骤

重要结论

1.“曲线C是方程f(x,y)=0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”的充分不必要条件.

2.求轨迹问题常用的数学思想

(1)函数与方程思想:求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x,y 的方程及函数关系.

(2)数形结合思想:由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合.

(3)等价转化思想:通过坐标系使“数”与“形”相互结合,在解决问题时又需要相互转化.

双基自测

题组一 走出误区

1.(多选题)下列结论错误的是( ABCD ) A .方程x 2+xy =x 的曲线是一个点和一条直线

B .到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2=y 2

C .y =kx 与x =1

k

y 表示同一直线

D .动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的 题组二 走进教材

2.(必修2P 37T3)已知点F (14,0),直线l :x =-1

4,点B 是l 上的动点,若过点B 垂直于

y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ,则点M 的轨迹是( D )

A .双曲线

B .椭圆

C .圆

D .抛物线

[解析] 由已知|MF |=|MB |,根据抛物线的定义知,点M 的轨迹是以点F 为焦点,直线l 为准线的抛物线.

题组三 考题再现

3.(2019·广东汕头模拟)一动圆的圆心在抛物线y 2=8x 上,且动圆恒与直线x +2=0相切,则此动圆必过定点( B )

A .(4,0)

B .(2,0)

C .(0,2)

D .(0,0)

[解析] 圆心C 在抛物线上,设与直线x +2=0相切的切点为A ,与x 轴交点为M ,由抛物线的定义可知,CA =CM =R ,直线x +2=0为抛物线的准线,故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点(2,0),故选B .

4.(2019·长春模拟)如图所示,A 是圆O 内一定点,B 是圆周上一个动点,AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ,则点E 的轨迹是( B )

A .圆

B .椭圆

C .双曲线

D .抛物线

[解析] 由题意知,|EA |+|EO |=|EB |+|EO |=r (r 为圆的半径)且r >|OA |,故E 的轨迹为以O ,A 为焦点的椭圆,故选B .

5.(2019·豫北名校联考)已知△ABC 的顶点B (0,0),C (5,0),AB 边上的中线长|CD |=3.则顶点A 的轨迹方程为__(x -10)2+y 2=36(y ≠0)__.

[解析] 设A (x ,y ),由题意可知D (x 2,y 2).又∵|CD |=3,∴(x 2-5)2+(y

2)2=9,即(x -10)2

+y 2=36,由于A 、B 、C 三点不共线,∴点A 不能落在x 轴上,即y ≠0,∴点A 的轨迹方程为(x -10)2+y 2=36(y ≠0).

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一 曲线与方程——自主练透

例1 (多选题)关于x ,y 的方程x 2m 2+2+y 23m 2-2

=1,(其中m 2≠2

3)对应的曲线可能是

( ABCD )

A .焦点在x 轴上的椭圆

B .焦点在y 轴上的椭圆

C .焦点在x 轴上的双曲线

D .圆

[解析] 由题,若m 2+2>3m 2-2,解得-20,解得m <-63或m >6

3

,则当x ∈(-2,-

63)∪(6

3

,2)时,曲线是焦点在x 轴上的椭圆,A 正确;若3m 2-2>m 2+2,解得m <-2或m >2,此时曲线是焦点在y 轴上的椭圆,B 正确;若3m 2-2<0,解得-

63

3

,此时曲线是焦点在x 轴上的双曲线,C 正确;当m 2=2时,方程为x 2+y 2=4,所以D 正确.故选ABCD .

〔变式训练1〕

(多选题)(2020·山东青岛一中期末)已知点F (1,0)为曲线C 的焦点,则曲线C 的方程可能为( AD )

A .y 2=4x

B .x 2=4y

C .x 2cos 2θ+y 2sin 2θ=1(0<θ<π2)

D .x 2cos 2θ-y 2sin 2θ=1(0<θ<π2

)

[解析] y 2=4x 的焦点坐标为(1,0);x 2=4y 的焦点坐标为(0,1);当θ=π

4时,sin 2θ=cos 2θ

=12,x 2cos 2θ+y 2sin 2θ=1表示圆;双曲线x 2cos 2θ-y 2sin 2θ=1(0<θ<π

2)的焦点在x 轴上,且c =cos 2θ+sin 2θ=1,其焦点坐标为(1,0),(-1,0),故选AD .

考点二 定义法求轨迹方程——自主练透

例2 (1)(2019·沈阳模拟)若点P 到点F (0,2)的距离比它到直线y +4=0的距离小2,

则点P 的轨迹方程为( C )

A .y 2=8x

B .y 2=-8x

C .x 2=8y

D .x 2=-8y

(2)(2019·福州模拟)已知圆M :(x +5)2+y 2=36,定点N (5,0),点P 为圆M 上的动点,点Q 在NP 上,点G 在线段MP 上,且满足NP →=2NQ →,GQ →·NP →=0,则点G 的轨迹方程是( A )

A .x 29+y 2

4=1

B .x 236+y 2

31=1

C .x 29-y 2

4

=1

D .x 236-y 2

31

=1

(3)(2019·大庆模拟)已知圆C 1:(x +3)2+y 2=1和圆C 2:(x -3)2+y 2=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M

的轨迹方程为__x 2-

y 2

8

=1(x ≤-1)__. [解析] (1)由题意知P 到F (0,2)的距离比它到y +4=0的距离小2,因此P 到F (0,2)的距离与到直线y +2=0的距离相等,故P 的轨迹是以F 为焦点,y =-2为准线的抛物线,所以P 的轨迹方程为x 2=8y .故选C .

(2)由NP →=2NQ →,GQ →·NP →=0知GQ 所在直线是线段NP 的垂直平分线,连接GN ,∴|GN |=|GP |,∴|GM |+|GN |=|MP |=6>25,∴点G 的轨迹是以M ,N 为焦点的椭圆,其中2a =6,2c =2

5,∴b 2=4,∴点

G 的轨迹方程为x 29+y 2

4

=1,故选A .

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