运动学导数处理关联自由度约束1
基于约束螺旋的自由度求解原理.
0 0 0 a4 / b4 0 0 0 a4 / b4
g
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 b2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 b4 0 0 1 0 0 0 0 1
m
rank (B) rank ({ S r S r S m 0, S m A})
基于约束螺旋的自由度求解
公共约束的分析流程：
将每个运动副具 有的自由度表达 为运动螺旋 Si 将运动螺旋整合 为螺旋系A 求A的反螺旋系B A的零空间
rank (B)
得到机构的公 共约束数
A [ S1; S2
构件数 第i个运动副引入的约束数
g
ui 6 fi
M 6(n g 1) f i
i 1
（ ui
第i个运动副引入的约束数）
对于平面机构，
M 3(n g 1) f i
i 1 g
机构自由度分析的一般公式
对于多环空间机构:
M f i 6l
i 1 g
0 1 0
S r 0 0 1 0 0 0
S4 0 1 0
公共约束：
0 1 0 0 1 a2 0 b4 b5 0 0 c5 a3
S r 0 0 1 0 0 0
S r 0 0 1 0 0 0
支链 2
冗余约束：
0 0
b1
t 3 3 1 0 0
自由度：
S 0 0 1 0 0 0
i 1 g
d 6
——多环并联结构在去除公共约束因素后的冗余约束； ——机构的局部自由度数。
ADAMS约束问题讨论
·50· 计算机应用技术 机械 2007年第12期 总第34卷————————————————收稿日期：2007－08－27作者简介：喻涛（1980－），硕士研究生，主要研究方向为机械CAD/CAM 。
ADAMS 约束问题讨论喻涛，李文蔚（昆明理工大学，云南 昆明 650093）摘要：机构存在冗余约束时，ADAMS 会在计算时自动解除一些约束，从而使被解除约束的自由度上不会计算构件间的作用力。
冗余约束应在进行动力学分析前被手动解除，以获得更精确的结果数据。
关键词：ADAMS ；约束方程；冗余约束中图分类号：TH122 文献标识码：A 文章编号：1006－0316(2007)12－0050－02Discussion of constraint questions based on ADAMSYU Tao ，LI Wen-wei(Kunming University of Science and Technology ，Kunming 650093，China)Abstract ：ADAMS will make some constraints invalid in the process of calculation automatically when redundant constraints exists in mechanism, then the joint reaction forces in any directions associated with redundant constraint equations will not be calculated .To gain most accurate date ,the redundant constraints should be eliminated by hand before dynamic analysis. Key words ：ADAMS ；constraint equation ；redundant constraint虚拟样机分析软件ADAMS （Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems ），目前己经被全世界各行各业的数百家主要制造商采用，ADAMS 软件能对虚拟机械系统进行静力学、运动学和动力学分析，输出位移、速度、加速度和反作用力曲线。
1-1&2约束及约束方程、自由度和广义坐标
§1-2 自由度和广义坐标
确定具有完整约束质点系的位置的独立参数的个数称为 质点系的自由度数。 质点系的自由度数。 例如，图1 例如，图1-5两刚性杆连接两小球组成的双摆，确定两小 球位置的直角坐标为 它们必须满足下面两个约束方程
可见有两个独立坐标，即质点系有两个自由度。 确定一个质点系位置的独立参数选取一般不是唯一的 ，如上述双摆，可以选中的任意两个作为独立参数，也 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 可以选取角作为独立参数。我们把这些能完全确定质点系位置的独 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 立参数称为质点系的广义坐标。显然，广义坐标数目等于确定质点 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下 系位置的独立参数数目。在完整约束的情况下，质点系的广义坐标 在完整约束的情况下， 的数目等于自由度数。 的数目等于自由度数。 如果以 表示一非自由质点系的广义坐标，则各质 点的直角坐标都可以写成这些广义坐标的函数。对于完整、双面和 定常约束，可以写成如下的函数形式
第一章 虚位移定理
§1-1 约束及约束方程
在几何静力学中，我们将限制某物体位移的周围物体 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用 称为该物体的约束。现在从运动学角度来看约束的作用， 现在从运动学角度来看约束的作用， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制， 一非自由质点系的位置或速度受到某些条件的限制，这种 限制条件称为该质点系的约束。 限制条件称为该质点系的约束。 例如，圆球被限制在水平面上做纯滚动，这是约束 表现为限制圆球中心到水平面的距离保持不变；圆球与水 平面接触点的速度在每瞬时都为零。在一般情况下，约束 对质点系运动的限制可以通过质点系各质点的坐标或速度 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程 的数学方程式来表达，这种表达式称为约束方程。 约束方程。
力学系统的自由度与约束分析
力学系统的自由度与约束分析在我们日常生活和工程技术的各个领域，力学系统无处不在。
从简单的机械装置到复杂的航空航天结构，理解力学系统的行为和特性对于设计、分析和优化至关重要。
而在力学系统的研究中，自由度和约束是两个核心概念，它们为我们揭示了系统的运动可能性和限制条件。
首先，让我们来理解一下什么是自由度。
简单地说，自由度就是确定一个系统在空间中的位置和姿态所需的独立变量的数目。
比如说，一个在空间中自由运动的质点，它可以在三个方向（x、y、z）上自由移动，所以它有三个自由度。
而对于一个刚体，不仅要考虑其质心的位置（三个自由度），还要考虑其绕三个坐标轴的转动（三个自由度），总共就有六个自由度。
那么约束又是什么呢？约束就是对系统自由度的限制条件。
约束可以分为几何约束和运动约束。
几何约束限制了系统中质点的几何位置关系。
比如，一根不可伸长的绳子连接的两个质点，它们之间的距离就被绳子的长度所约束。
运动约束则限制了质点速度之间的关系。
例如，一个轮子在地面上滚动，轮子与地面接触点的速度必须为零，这就是一种运动约束。
为了更清晰地分析力学系统的自由度和约束，我们可以通过一些具体的例子来进行探讨。
考虑一个简单的平面滑块，它可以在一个水平平面内自由滑动。
在这个例子中，我们可以选择滑块在平面内的坐标（x，y）作为描述其位置的变量，因此这个滑块具有两个自由度。
如果我们在平面上设置一个固定的障碍物，使得滑块不能进入某个区域，这就形成了一个几何约束，滑块的自由度就相应减少了。
再来看一个更复杂一些的例子，比如一个由多个连杆组成的机构。
每个连杆都可以看作是一个刚体，具有六个自由度。
但是由于连杆之间通过铰链连接，这些铰链就对连杆的运动形成了约束。
通过对这些约束的分析，我们可以确定整个机构的自由度，从而了解其可能的运动方式。
在实际的工程应用中，对力学系统的自由度和约束进行准确分析具有重要意义。
在机械设计中，如果对自由度和约束的分析不准确，可能会导致设计的机构无法按照预期的方式运动，甚至出现卡死等故障。
空间连杆机构自由度的计算
开链机构的自由度计算公式:
F
i 1
p
fi
开链机构的自由度 =
三、计算机构自由度应注意的事项
1. 公共约束
2. 消极自由度fp
3. 局部自由度ft
1.公共约束
表现形式: 常用m表示
闭链机构
末杆拆开后
开链机构பைடு நூலகம்
机构自由度(考虑公共约束)公式应为：
F fi 6 m
i 1
p
公共约束的判别原则：
5p1个约束 4p2个约束 3p3个约束 2p4个约束 p5 个约束
机构自由度 =
各可动构件 自由度之和
各类运动副提供 的约束数目总和
空间闭链机构自由度的公式:
F 6n p
i 1
p
fi
单环闭链机构的自由度公式：
F
fi 6
i 1
p
二、空间开链机构的自由度
开链机构的可动构件数目 = 运动副数目,即n = p
特殊对待具体的情况
2.消极自由度fp 概念: 机构中的一些不起运动学作用的自由度 用fp表示
3.局部自由度ft
概念:机构中不影响机构运动的自由度 表示:局部自由度以ft表示
综上所述，单环闭链机构自由度公式应为：
F
f i ( 6 m) f p f t
i 1
p
谢谢观赏！
一空间闭链机构的自由度二空间开链机构的自由度三计算机构自由度应注意的事项一空间闭链机构的自由度n个可动构件6n自由度类运动副5个约束5p1个约束类运动副4个约束4p2个约束类运动副3个约束3p3个约束类运动副2个约束2p4个约束类运动副1个约束p5个约束机构自由度各可动构件自由度之和各类运动副提供的约束数目总和空间闭链机构自由度的公式
ADAMS自由度以及冗余约束的分析
ADAMS 自由度以及冗余约束的分析
1引言
虚拟样机分析软件 ADAMS（Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems），是对机械系统的运动学与动力学进行仿真计算的商用软件，目前己 经被全世界各行各业的数百家主要制造商采用。一个系统通常是由多个构建组成 的，各个构件之间的这种约束通常存在某些约束关系，即一个构件限制另一个构 件的运动，两个构件之间的这种约束关系，通常称为运动副或者铰链，ADAMS 中运动副分为低副、高副和基本副[1] [2]，这些运动副对构件的自由度进行约束， ADAMS 为每个约束列出一个或多个代数约束方程，在实际中,存在着大量的机 构由于人为的带入虚约束而导致过约束的情况[3]，有时需要通过引入虚约束来 增加系统的刚度[4]，在定义运动副过程中，往往会出现过约束及冗余约束的情 况，文献[5]分析了过约束问题，文献[6]对凸轮机构的冗余情况进行了分析，用 一个点线副和一个平行副的组合来代替滑移副来解决冗余约束，但是没有分析具 体方法。
1) 添加垂直副约束，限制长方体绕 轴转动，在垂直轴选项中选择 2 Bodies-2 Location,实体分别选取长方体和大地，位置分别选取长方体上的 Marker_2 和 大地上的 Marker_1，方向选取 Marker_1 的 X 轴和 Y 轴，生成的 Marker_3 和 Marker_4 的 Z 轴与 Marker_1 的 X 轴和 Y 轴一致，如图 2，要保证 Marker_3 与 Marker_4 的 Z 轴垂直，长方体绕 Marker_1 的 Z 轴的转动将被限制，其只 有五个自由度，即绕 Marker_1 的 X、Y 轴的转动，和沿 Marker_1 的 X、Y、 Z 轴的移动.
2.4.1自由度-分析运动学1
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5
•非完整约束(nonholonomic constraint)： 不可积分的运动约束.
•完整约束(holonomic constraint)： 几何约束与可积分的运动约束.
x
A
x
M
M
l
y
y
M
3
二、约束的分类
几何约束： 只限制质点或质点系在空间的位置的约束. 运动约束： 除限制质点位置，还限制质点速度的约束.
R
o
I
纯滚动
约束方程:
yC = R
vI = 0
xC = R
可积分
xC = R
dxC = Rd 可积分的运动约束
4
x
lM
y
x
l
M
y
xA A xA = sin t
x
理论力学
分析运动学
——约束与约束方程
质点系
•自由质点系： 质点可“自由”运动，
不受任何预先给定的限制
•非自由质点系： 质点运动受到预先给定
的强制性限制
——约束
2
约束、约束方程及其分类
一、约束与约束方程
•约 束(constraint)： 对非自由系统各质点位置和速度所加的 几何学或运动学限制。
•约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式。
y
x y
v
y x
x
o
tan
=
y x
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第05章 空间机构的自由度分析
(5-7)
对于一般的没有公共约束的空间机构， λ =0，d=6。 在许多教科书中都是这样指出，平面机构
及球面机构都有 3 个公共约束， λ =3，是三阶机构 d=3 。并解释说，由于平面机构中所有转动
副轴线相互平行，所有构件都受到数量相等和性质相同的约束，都失去两个转动和一个移动运
动，构件只能在与轴线垂直的平面内作三自由度的运动，即沿平面内相互垂直的两方向的移动
1
··
论自由度与输入的关系。 关于自由度公式的发展，俄罗斯人有自己的看法。认为平面机构的自由度公式是切贝契夫
(Чебышев)[24,25]于1869年首先提出的；空间机构的自由度公式是马雷舍夫（Maлышев）提出的 [24,25]。1953年阿尔托波列夫斯基(Apтоболевский)在他的书中就提出应考虑机构的过约束修正自 由度公式 [26]。俄罗斯人的追求值得尊敬。
由度。最简单的例子就是门扇上的两个合页（转动副）。从运动学上说，一个合页就决定了门
的转动运动，另一个合页则没有起到对运动的任何约束作用，这即是过约束。上述前3种自由度 的计算公式共同存在一个问题是没有考虑过约束的情况，后两种企图考虑过约束，但人们也不
3
··
知道如何考虑。本书将在下节应用螺旋理论来考虑过约束情况，介绍普遍适用的自由度计算的 方法。
若在三维空间中有n个完全不受约束的物体，任选其中的一个为固定参照物，由于每个物体 相对参照物都有 6 个自由度，则系统中的 n 个物体相对选 定的参照物共有 6(n-1) 个自由度。若所有的物体之间都用 运动副连接起来，设第 i 个运动副带来的约束为 ui，由于 运动副的类型不同此约束可以是 1 和 5 之间的任何数，如 果运动副数目为 g，则这时机构的自由度就是所有运动构 件总的自由度减去所有的约束数的总和，即
导数在解决运动学学问题中的应用
过去学生遇到此类问题，一般采用公式对照法确定加速度和初速度，即对照位移公式 ，由t及t2的系数确定v0和a，再套用运动学公式求出对应值，但此题中增加了常数项，使学生理解其含义增加难度（其实是时间和位移起点不同造成的），但如果用导数知识，问题迎刃而解。
汽车追上自行车之前，t时刻两车的距离为：
由二次函数求极值的公式知：当 时，L有最大值
二、通过三角函数变换求极值问题
设三角函数 可作如下变换：
令 ，则有： ，
于是有：
当 时，y有极大值
【例2】一质量为m的木块放在水平面上，以一个大小为F的拉力拉着它在水平地面上运动，F＜mg。已知木块与地面间的动摩擦因数为 ，拉力F沿什么方向拉物体时，物体的加速度最大，此最大值为多少？
数得出，随着线圈的转动线圈平面内的磁通量 ，求导得 ，（负号代表磁通量减小时E增大），则线圈中总电动势为 。
*评注：求导的方法不仅可以找出电动势随时间的变化情况，而且还可看出在发电机中磁通量的变化和电动势的关系，即磁通量减小时电动势增大，另外对自感现象中自感电动势 ，也可将 求导得出，即 。
【后记】在数学高考试题中已出现对导数知识的考查，可以预见，今后物理高考和物理教师的教学中，也决不会让微积分这门曾经对普通物理学产生过巨大推动作用的工具学科失色的，其实在解决许多具体物理问题时，特别是讨论增减性和极限时，导数方法更是简便有效，更能体现出数学对物理的工具作用，希望我们的各位同仁关注这一点。
浅谈物理教学中的几个数学问题
王锟
我们都知道，物理量的定义、物理规律、物理定律等通常都是通过数学式来描述的，求解物理问题也常常要运用数学知识，可以说，物理离不开数学，下面本人就如何运用数学原理巧解一些物理问题谈谈自己的粗浅体会。
全国高中物理竞赛提高力学进阶运动学：导数处理关联、自由度、约束(上)
本讲专题处理运动学关联问题，基础好的同学最好掌握两种方法：关联法与数学参数法，看出其中的联系。
知识回顾1．运动定义：绝对运动：动点相对于定系的运动,如P 相对于地面的运动。
相对运动：动点相对动系的运动,如P 相对于车厢的运动。
牵连运动：动系相对于定系的运动,如行驶的汽车相对于地面的运动。
2．关联关系：如果牵连运动为转：动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度以及科氏加速度的矢量和。
记为：kr e a a a a a ++=其中科氏加速度),sin(2 , 2r e r e k r e k v v a v a ωωω=⨯=如图：例题精讲第一部分：数学描述能力训练【例1】 一个半径为r 的圆环能在水平地面上做纯滚动，在圆环边缘固定有一个半径可以忽略的小滑轮，某时刻滑轮恰好处于水平位置。
在距离滑轮r 处有一墙高为2r 的墙，一根不可伸长的绳子从墙根连出，绕过滑轮，从墙顶处绕出（由几何条件可以算出来绳子绕出的是等腰直角三角形的两条边），某本讲导学第2讲 运动的关联知识模块人在墙顶处以速度v匀速拉绳子，为了让绳子即不拉断，也不松弛，则此刻①圆环的角速度ω为多少？②圆环中心相对地面加速度a为多少？ωvar【例2】图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。
AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。
BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。
当AB杆绕A轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。
BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，BC杆和a的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）CD杆的长度由图给定。
求此时C点加速度c【例3】在图所示机构中，杆O1 A//O2 B，杆O2 C//O3 D，且O1 A = 200mm，O2 C = 400mm，CM = MD = 300mm，若杆AO1 以角速度ω= 3 rad / s 匀速转动，则D点的速度的大小为cm/s，M点的加速度的大小为cm/s2。
机械设计中的运动学和动力学分析
机械设计中的运动学和动力学分析机械设计是一门综合性的学科，它涉及到力学、材料学、工程学等多个学科领域。
其中，运动学和动力学是机械设计的基础，它们对于机械系统的设计和分析至关重要。
一、运动学分析运动学是研究物体运动规律的学科，它主要关注物体的运动状态和轨迹。
在机械系统中，通过运动学分析可以确定各个零件的位置、速度、加速度等参数，从而为机械系统的设计和优化提供依据。
在进行机械运动学分析时，首先需要建立合适的坐标系和参考系。
通过建立坐标系，可以简化运动学分析过程，并方便对机械系统进行描述和计算。
常用的坐标系有笛卡尔坐标系、极坐标系、柱坐标系等。
其次，运动学分析需要确定机械系统各个零件之间的约束关系。
通过约束关系，可以确定机械系统的自由度，即自由变动的独立参数的个数。
自由度的确定对于机械系统的设计和分析都具有重要意义。
最后，通过运动学分析可以得到机械系统各个零件的运动规律。
运动规律可以用位移、速度和加速度来描述，这些参数的确定对于机械系统的性能分析和优化都具有重要作用。
二、动力学分析动力学是研究物体受力和运动状态变化规律的学科，它主要关注物体的力学特性和运动过程中的力学效应。
在机械系统中，通过动力学分析可以确定机械系统的力学性能，包括受力情况、静力平衡、动力平衡等。
在进行机械动力学分析时，首先需要建立力学模型。
力学模型可以是刚体模型或柔性模型，根据实际情况选择合适的模型。
通过建立力学模型，可以确定机械系统的质量、惯性矩阵等参数。
其次，动力学分析需要确定机械系统受到的外力和约束条件。
外力可以是静力和动力的作用力，约束条件包括几何约束和受力约束等。
通过确定外力和约束条件，可以建立机械系统的动力学方程。
最后，通过动力学分析可以得到机械系统的运动状态和受力情况。
运动状态包括位置、速度、加速度等参数，受力情况包括内力和外力等。
这些参数的确定对于机械系统的稳定性和性能分析都具有重要意义。
三、运动学和动力学分析在机械设计中的应用运动学和动力学分析在机械设计中具有广泛的应用。
力学系统的自由度与约束分析
力学系统的自由度与约束分析力学是研究物体运动规律的学科，而力学系统是指由多个物体组成的整体。
在力学系统中，自由度和约束是两个重要的概念。
自由度描述了系统中独立运动的数量，而约束则限制了系统的运动方式。
本文将探讨力学系统的自由度与约束分析。
一、自由度的概念与计算方法自由度是描述物体或系统独立运动的数量。
在力学系统中，自由度的计算可以通过以下方法进行。
首先，需要确定系统中的独立坐标。
独立坐标是指能够完全描述系统状态的坐标。
例如，对于一个质点，其自由度为三，因为可以用三个独立的坐标（如直角坐标系的x、y、z坐标）来描述其位置。
对于一个刚体，其自由度则取决于其几何形状和运动方式。
其次，需要考虑约束条件。
约束是指系统中存在的限制物体运动的条件。
约束可以分为完整性约束和非完整性约束。
完整性约束是指将物体的运动范围限制在一个特定的曲面上，而非完整性约束则是指物体的运动受到其他物体或力的限制。
最后，通过自由度的计算公式，可以得到力学系统的自由度。
对于一个具有n个独立坐标和k个约束条件的力学系统，其自由度可以用公式F = n - k来计算。
二、约束对自由度的影响约束条件对力学系统的自由度有着重要的影响。
约束条件可以分为完整性约束和非完整性约束。
完整性约束将物体的运动限制在一个特定的曲面上，从而降低了系统的自由度。
例如，一个质点在一个平面上运动，其自由度为二，而在一个直线上运动，其自由度则降低为一。
完整性约束可以通过将坐标的自由度限制在特定的范围内来实现。
非完整性约束是指物体的运动受到其他物体或力的限制。
例如，两个物体通过绳子相连，它们的运动受到绳子的约束。
非完整性约束可以通过引入拉格朗日乘子来处理，从而得到系统的自由度。
三、自由度与系统的稳定性自由度与系统的稳定性之间存在一定的关系。
自由度越高，系统的稳定性越差。
这是因为自由度的增加会增加系统的运动自由度，使得系统更容易受到外界扰动的影响。
然而，约束条件可以提高系统的稳定性。
学年第一学期第四讲机器人导论
可移动度/ Degree of Mobility
为了避免侧滑，R( )I 需要满足以下约束:
C1f R( )I 0 C1s (s )R( )I 0
C1 (
s
)
C1 f
C1s (
s
)
从数学上讲 R( )I 属于投影矩阵 C1(s ) 的零空间 C1(s ) 的零空间 N 是有满足一下约束的向量 n 组成
机器人的底盘运动学由一组独立的约束组成
rankC1(s )
C,1(s ) 越大， 移动受到的约束越多
从数学上来讲
m dim NC1(s ) 3 rankC1(s )
无标准轮情形 rank
所有方向都受到约束
Cr1a(nks)C1(
0
s
)
3
例如
单轮: 仅有一个固定的标准轮
差动: 两个固定标准轮
沿同一轴部署
3.3.2
机器人的机动性/Robot Maneuverability
机动程度
M m s
具有同样 M 未必是相同的 例如: 差动机器人和三轮机器人
3.3.3
具有 M 2 的机器人，其 ICR 总是被约束在一条直线上 具有 M 3 的机器人，其 ICR 可不受约束的配置在平面上的任意点
同步驱动的案例
标准轮/Fixed Standard Wheel
3.2.3
转向标准轮/Steered Standard Wheel
ot Kinematic Constraints
给定具有 M 个轮子的机器人
每个轮子施加零个或多个机器人运动约束
只有固定或转向标准轮会产生约束
理论力学概念整理-约束、自由度与广义坐标
xB OAcos AB cos; yB OAsin ABsin; x&C r&; yC H r; H OA ABsin 2r; 结论:8个约束方程
4.广义坐标 广义坐标数为 :3n-s=1, 即: 刚体数n=3
约束方程数 s 8;
5.自由度计算
自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数
空间质点: k 3n s,
平面质点: k 2n s,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标 一般地：n个质点，自由度为k， 取广义坐标： q1 ,q2 qk
xi xi (q1, q2 qk ,t) yi yi (q1, q2...... qk , t) zi zi (q1, q2 qk , t)
O z
x
y
l
A
z M
y x
y
C
vC
x
定常几何约束
单摆: x2 y2 z2 l 2
非定常几何约束
x2 y2 z2 l0 vt 2
O z
x
y
l
A
v
双面约束：在约束方程中用严格的 等号表示的约束。
OA为刚性杆： x2 y2 z2 l2
单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。
ri ri (q1, q2 qk , t)
i=1,2,······ n
2.自由刚体的自由度
最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体 (形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
约束-自由度
第14章 虚位移原理在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。
这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。
从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。
1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。
虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。
14.1 约束·自由度·广义坐标质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。
按约束方程的形式对约束进行以下分类。
1.几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。
例如图14-1所示的单摆，其约束方程为222l =y +x又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为⎪⎩⎪⎨⎧--0+22222=y l =)y (y +)x (x r =y x BB A 2B A A A图14-2xy图14-3上述例子中的约束方程均表示几何约束。
如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。
例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心C 的速度为ωr =v c运动约束方程为0=ωr v c -设c x 和φ分别为轮心C 点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为0C =r φx- 2.定常约束与非定常约束约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。
刚体6个自由度 自由度数目减少(由于约束)
：刚体绕固定轴oz转过的角度——进动角； ：进动角速度——沿oz方向
：自转角速度——沿 ox3 方向。 ：ox3 和oz间的夹角——章动角； ：章动角速度——沿oN方向。
并设它们之间的夹角为 ，显然有
ω ω自转 ω进动
L在 ox1 x3平面内，L与 x3 的夹角：
L与 ox3 的夹角： 2
L在 ox1 轴的投影： L1 I1ω1
ω 由图：ω， 进动在
则：
ox1 上的分量相等
进动 cos( ) 1
2
L1 L cos( 2 ) L sin 进动 sin I1 I1 I1
即：L在
x1 x 2 平面内， ox3 。
3. I1 I 2 I 3 ——对称陀螺 ( I1 I 2 I 3：不对称陀螺) 此时：平面 x1 x 2 内的任一轴都是主轴 选 ox2 L L2 0
2 0
L, ω, x3 在同一平面
将ω 分解到 x3和 L 的方向上，分别称为 ω自转 和 ω 进动，
v 1 ：质点在 K1 系中的速度；
v：质点在K系中的速度； V：K1系对 K 0 系的速度。 则：
v 0 v1 V
dr d ' r v1 ω r v ω r dt dt
v 0 V v ω r
上式右边各项再对时间求导，有
dV w V dt ( K1、K 系坐标原点对K0系的加速度)
在 K1 中对矢量 A(t ) Ax (t )i(t ) Ay (t ) j(t ) Az (t )k (t )
车辆运动学约束
车辆运动学约束全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：车辆运动学约束是指车辆在运动过程中受到的各种限制和约束条件，这些约束条件影响着车辆的行驶轨迹、速度和加速度等运动特性。
在车辆设计与控制领域，车辆运动学约束是一个非常重要的概念，它可以帮助工程师和设计师更好地理解车辆的运动特性，提高车辆的性能和安全性。
一般来说，车辆在运动中受到的主要约束有以下几类：1. 路面条件约束：路面的摩擦系数、坡度、曲率等因素会对车辆的运动特性产生影响。
在不同的路面条件下，车辆的最大加速度、最大速度等参数会有所不同，这些参数可以作为车辆运动学约束的重要参考。
2. 动力系统约束：车辆的动力系统包括发动机、传动系统等，这些系统的性能限制了车辆的加速能力、最大速度等。
动力系统约束是车辆设计中需要考虑的重要因素之一。
3. 悬挂系统约束：车辆的悬挂系统对车辆的操控性和稳定性有重要影响，悬挂系统约束包括车辆的悬挂结构、减震器性能等因素。
4. 转向系统约束：车辆的转向系统约束决定了车辆的转向性能和操控性能，包括转向角度、转向速度等。
5. 其他约束：车辆的质量分布、空气阻力、惯性力等因素也会对车辆的运动特性产生影响，这些因素也需要在车辆设计和控制中考虑。
在车辆设计和控制中，工程师需要根据车辆的实际情况和要求，综合考虑以上各种约束条件，设计出适合的车辆结构和控制策略。
通过对车辆运动学约束的深入理解和分析，可以帮助工程师优化车辆的性能，提高车辆的安全性和舒适性。
车辆运动学约束是车辆设计和控制中的重要概念，它涉及到车辆运动特性的各个方面，对于提高车辆的性能和安全性都起着至关重要的作用。
在未来，随着车辆技术的不断发展和进步，车辆运动学约束将会继续发挥着重要的作用，为汽车行业的发展提供强大的支持和保障。
【这是一篇简短而精炼的关于车辆运动学约束的文章，希望对你有所帮助。
】第二篇示例：车辆运动学约束是指在车辆运动过程中受到的各种限制和约束条件。
这些约束条件包括车辆的速度、加速度、转向角度等因素，它们限制了车辆在运动过程中的自由度，影响了车辆的行驶轨迹和稳定性。
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本讲专题处理运动学关联问题，基础好的同学最好掌握两种方法：关联法与数学参数法，看出其中的联系。
知识回顾
1•运动定义:
绝对运动:动点相对于定系的运动，如P相对于地面的运动。
相对运动:动点相对动系的运动，如P相对于车厢的运动。
牵连运动:动系相对于定系的运动，如行驶的汽车相对于地面的运动。
2.关联关系:
如果牵连运动为转：动点在某瞬时的绝对加速度等于它在该瞬时的牵连加速度与相对加速度以及科氏加速度的矢量和。
记为：
其中科氏加速度
sin
(
v
3
如图:
例题精讲
第一部分:数学描述能力训练
【例1】一个半径为r的圆环能在水平地面上做纯滚动，在圆环边缘固定有一
个半径可以忽略的小滑轮，某时刻滑轮恰好处于水平位置。
在距离滑轮r处有一墙高为2r的墙,一根不可伸长的绳子从墙根连出，绕过滑轮,从墙顶处绕出（由几何条件可以算出来绳子绕出的是等腰直角三角形的两条边，某本讲导学
运动的关联
知识模块
1高二物理竞赛秋季班第2讲学生版
人在墙顶处以速度V匀速拉绳子，为了让绳子即不拉断，也不松弛,则此刻①圆环的角速度3为多少?
②圆环中心相对地面加速度a为多少？
【例2】图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构
图。
AB和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动,A、D两点位于同一水平线上。
BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连,可绕连接处转动（类似铰链。
当AB杆绕A轴以恒定的角速度3转到图中所示的位置时,AB杆处于竖直位置。
BC杆与CD杆都与水平方向成45角，已知AB杆的长度为I , BC杆和
CD杆的长度由图给定。
求此时C
点加速度ca的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示
【例3】在图所示机构中，杆0 1 A IIO 2 B ,杆0 2 C //0 3 D，且0 1 A = 200mm, 0 2 C = 400mm, CM = MD = 300mm,若杆AO 1 以角速度3 = 3 rad I 匀速转动，则D
点的速度的大小为cm/s, M点的加速度的大小为cm/s2。
A . 60;
B .
120;
C .
150
D .
360。
讲述高端的，真正的物理
学
2
高二物理竞赛春季班第2讲学生版
【例4】图示铰链四边形机构中，A O 1=B O 2=100mm,又210 O =AB ,杆A O 1以等角速度3 =2rad/绕轴1O转动。
杆AB上有一套筒C,此套筒与杆CD相铰接。
机构的各部件都在同一铅直面内。
求当①=60
o时杆CD的速度和加速度。
【例5】如图两个杆铰接在地面上，间距为I ,两根杆转动的角速度不变，分别为1 3,2求如图所示的时刻，交点的速度和加速度。
【例6】已知:如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度3绕水平O轴转动,带动直杆AB沿铅直线上、下运动,且O , A , B共线。
凸轮上与点A接触的点为’A ,
图示瞬时凸轮轮缘线上点’A的曲率半径为A P点’A的法线与OA夹角为0 ,
OA=l。
求该瞬时AB的速度及加速度。
高二物理竞赛秋季班第2讲学生版
【例7】已知:如图所示平面机构,AB长为I ,滑块A可沿摇杆0C的长槽滑
动。
摇杆0C以匀角速
度3绕轴0转动，滑块B以匀速3 I v =沿水平导轨滑动。
图示瞬时0C铅直, AB与水平线0B夹角为
30
a求:此瞬时AB杆的角速度及角加速度。
课后小练习
1.如图，一个圆盘以角速度3旋转，盘上从中心连出一根杆0A ,相对盘固定，杆长为I，平面上另一根杆
AB相对于此杆旋转角速度为3问在地面上看，此杆端点速度为多少，加速度
为多少？
趣味物理
剧院大厅里的声音
时常到各种剧院和音乐厅去的人，一定都清楚地知道：有些大厅里，演员的言语和音乐的声音可以在很远的地方听得明了清楚，但是在有一些大厅里，虽然坐在前排，也听得不大清楚。
这现象的原因，在一部讲声波和它的应用的书里有很好的说明
在建筑物里发生的随便什么声音，会在声源发声完毕以后继续传一个相当长的时间;它在多次反射作用下,绕着整个建筑物传了好几次，一一但是在这同时，别的声
音又接着发了出来，使听的人时常不可能把各个声音一个一个辨别清楚。
例如假定一个声音要继续存在3秒钟,又假定讲话的人每秒发出3个音节，那么那相当于9个音节的声波就会一起在房间里行进，因此产生了一团糟的噪音，使得听众没法听懂讲话人要讲的意思。
在这种情形，讲话的人只好一个字一个字分得非常清楚地讲下去，而且不要用太大的声音。
但是一般的情形恰恰相反，讲话的人在这种情形往往更提高了声音，这样就只会把噪音更加增强了。
还在不久以前，能够建筑出合于声学要求的剧院，是认为侥幸的事情的。
现在呢，人们已经找到方法去消灭这种扰乱声音的现象（这现象叫做交混回响。
这本书不打
算详细谈这个问题，因为
A B讲述高端的，真正的物理学
这只有建筑师才感觉兴趣。
我们只指出一点，就是，消灭交混回响现象的方法，主要是建造能够吸收剩余声音的墙壁。
吸收声音最好的是打开的窗子（就象孔吸收光最好一样；人们甚至把一平方米的打开的窗子采用来做吸收声音的计量单位。
坐在剧院里的观众也很能够吸收声音，虽然他们的吸收能力要比打开的窗子小一半:一个人吸收的声音相当于半米打开的窗子。
一位物理学家说过，观众吸收讲演人的演词，所谓吸收’可以照这个词的表面意义讲”如果他这句话说得不错，那么，空虚的大厅对讲演的人是不利的，这句话也就可以照它的表面意义来讲。
反过来说，假如声音的吸收太强了，这也会使声音听不清楚的。
第一，过度的吸收会把声音减弱,第二,会把交混回响的作用减少得太多，使得听起来声音仿佛断断续续,给人一种枯燥的感觉。
因此,我们固然应该避免过度的交混回响，但是太短的交混回响也不好。
那么交混回响究竟要有怎样的程度才合适,这对于各种大厅是不一样的，应该在设计每座大厅的时候来决定。
剧院里还有一个东西，从物理观点上看是很有趣的，这东西就是在台前提词用的
台词厢。
你可曾注意所有剧院的台词厢都是同一形状的吗？这原因是，台词厢的本
身等于一种声学仪器。
台词厢的拱壁等于一个声音的凹面镜，它起着两种作用：阻止提词的人发出的声波传播到观众方面去，还把这些声波反射到舞台上。
学习效果反馈:
代课教师:
通过今天学习，你觉得:
1.本讲讲义内容设置:
A .太难太多，吃不透
B .难度稍大,个别问题需要下去继续思考
C .稍易,较轻松
D .太容易，来点给力的
2.本节课老师讲解你明白了：
A . 40%以下
B . 40% 到80%
C . 80%以上但不全懂
D.自以为都懂了
3.有什么东西希望老师下节课再复习一下么？（可填题号,知识点，或者填无5高二物理竞赛秋季班第2讲学生版。