地质统计学(6)_普通克里格法-cjg2011

③ 信息不仅包括二阶矩知识，还包括更多知识（二维分 布）——析取克里格
非线性 平稳
二、克里格方程组及其方差
1. 问题的提出
设Z(x)为点承载的区域化变量，且是二阶平稳（或本征）的。今要
1 对以x0为中心的盘区V(x0)的平均值 ZV ( x0 ) Z ( x)dx （简记为ZV）进行 V V
（ 2）
(i 1,2,, n)
于是得到简单克里格方程组： iC ( xi , x j ) C ( xi ,V )
j 1
n
从这个方程组中解出λi （i=1，2，… ，n），即为所求的简单克里 格系数，它必定满足最小方差无偏估计的要求。 将克里格方程组两端均乘以λi ，并对i 从1到n求和，则有：
（1）无偏性条件
若要使ZV*为ZV的无偏估计量，即要求 E[ZV*- ZV ]=0
因为： E ( ZV )
1 V
EZ ( x)dx m
V
又因为： E (Z ) E Z V i i i E ( Z i ) m i
n n n
i 1

i 1
令其为零，得到普通克里格方程组。
普通克里格方程组：
n F 2C ( xi ,V ) 2 i C ( xi , x j ) 2 0 i 1 i n F 2 i 1 0 i 1
(i 1,2, , n)
（i=1，2，… ，n）既不同于V，又各不相同。所采用的线性估计量 为：
* V
Z i Z i
i 1
n
它是n个数值的线性组合。
克里格估值的原则：就是在保证这个估值ZV*是无偏的，且估计
方差最小的前提下，求出n个权系数λi 。在这样的条件下求得的λi 所构
成的估计量ZV*称为ZV的克里格估计量，记为ZK* 。这时的估计方差 称为克里格方差，记为σK*。 当Z (x)的期望已知时：为简单克里格；未知时：为普通克里格
具体说是：考虑了信息样品的形状、大小及其待估块段相互之间的空 间分布位置等几何特征，以及变量的空间结构信息后，为了达到线性、无 偏、最小估计方差的估计，而对每个样品值分别赋予一定的权系数，最后 用加权平均来对待估块段的未知量进行估计的方法。“特定的滑动平均”
一、概述
2. 克里格法的种类 （1）普通克里格——满足二阶平稳（或本征）假设的区域化变量 （2）泛克里格——非平稳或具有漂移存在的区域化变量 （3）析取克里格——计算可采储量时，需要采用非线性估计量时 （4）对数克里格——区域化变量符合对数正态分布时 （5）随机克里格——数据较少、分布不规则、对估计精度要求不高时 （6）因子克里格——
n j (vi , v j ) (vi ,V ) j 1 n 1 i i 1
2 K n
(i 1,2,, n)
i (vi ,V ) (V ,V )
i 1
（5）普通克里格方程组及其方差的矩阵的表示法 为简单起见，我们仅给出样品点为非点承载下的普通克里格方程 组及其方差的矩阵表示形式： K M
在无偏性条件 数法。 令：

i 1
n
i
1 下，要使得估计方差最小，从而求得诸权
系数λ i , (i=1,2,…,n)，这是一个求条件极值的问题，要用拉格朗日乘
n F 2 i 1 ，为n个权系数λ 和μ 的(n+1)元函数。 i i 1
2 E
-2 μ是拉格朗日乘数。求出F对λ i , (i=1,2,…,n)以及F对μ的偏导数，并
普通克里格法
要
点
1. 克里格法的定义
2. 克里格法的种类 3. 克里格法的使用信息和应用条件 4. 普通克里格方程组 5. 普通克里格方差 6. 算例与应用实例
一、概述
1. 克里格法的定义 矿业定义：根据一个块段（盘区）内外的若干信息样品的某特征值 （品位）数据，对该块段（盘区）品位（特征值）作出一种线性、无偏、 最小估计方差的估计方法。 数学定义：一种求最优、线性、无偏内插估计量的方法。

V
Y ( x)dx
1 V
Z ( x)dx m Z
V
V
m
所用的估计量为：
Y iYi
V i 1 n
其中： Y Z i m (i 1,2,, n)
只要求得YV的估计值YV* ，就能得到ZV的估计值ZV * 。
显然： YV*是YV的无偏估计量，且不需要任何条件。因为：
1 其中： 2 , n
C (v1 ,V ) C (v2 ,V ) M C (vn ,V ) 1
C (v1 , v1 ) C (v1 , v2 ) C (v2 , v1 ) C (v2 , v2 ) K C (v , v ) C (v , v ) n 1 n 2 1 1 C (v1 , vn ) C (v2 , vn ) C (vn , vn ) 1 1 1 1 0
将上式克里格方程组中的第一式（前n个方程）两边乘以λ i ，再 对i 从1到n求和得：
C( x , x ) C( x ,V )
i 1 j 1 i j i j i 1 i i
n
n
n
将此式代入到普通克里格估计方差公式中得：
C (V ,V ) i C ( xi ,V )
（7）指示克里格——处理非参数（类型参数）的区域化变量时
3. 克里格法的使用信息及应用条件 信息： ① 一组数据； ② 空间构形（坐标）； ③ 结构信息（变差函数模型）。
线性 平稳
条件： ① 二阶平稳（本征）假设、线性估计量——普通克里格
线性非 平稳
② 平稳条件不满足，仍采用线性估计量——泛克里格
估计。
v2 ⊙ x2
v1 ⊙ x1
V
⊙
x0
v3 ⊙ x3
v4 ⊙ x4
2. 线性估计量的构造
Zi （i=1，2，… ，n）是一组离散的信息样品数据，它们定义在 点承载xi （i=1，2，… ，n）上的；或是确定在以xi 点为中心的承载vi
（i=1，2，… ，n）上的平均值Zvi (xi) （简记Zi ）。且这n个承载vi
n
（ 1）
其中 C(V ,V ) 表示协方差函数在待估域V上的平均值。
2 2 为了使 E 达到最小，按照求极值原理，将前述的 E 公式（1）对
诸λi求偏导数，并令其为0，则有：
2 n E 2C ( xi ,V ) 2 j C ( xi , x j ) 0 i j 1
2 。公 示无偏估计量的估计方差，不能保证估计方差最小，故用记号 E
式（4）是在确保估计方差最小的前提下推导出来的，它是克里格方差，
2 故记号为 K 。其中关键的区别在于λi （i=1，2，… ，n）在两个式中的
意义不一样。
从克里格方程组解出λi 后，即得到YV的简单克里格估计量：
Z m Y m jY j m j (Z j m)
2 E i 1
n
（3）用变差函数表示的普通克里格方程组与普通克里格方差 若Z(x)只满足本征假设，而不满足二阶平稳假设时，则利用协方 差函数与变差函数的关系C(h)=C(0) - γ(h) 可得用变差函数γ(h)表示的 普通克里格方程组与普通克里格方差：
n j ( xi , x j ) ( xi ,V ) j 1 n 1 i i 1 (i 1,2, , n)
E(Y ) i E (Yi ) i E ( Z i m) 0
V i 1 i 1 n n
E(YV )
1 V

V
E[Y ( x)]dx 0 E (YV ) E(YV )
2 的表达式： E
2 2 为了求出λi，使得 E E YV YV 最小，首先需求出
2 E EYV YV E[YV2 ] 2E[YV YV ] E[YV2 ] 2

1 V2

n
V V n
E[Y ( x) Y ( y )]dxdy 2 i
i 1
n
1 V

V
E[Y ( xi ) Y ( x)]dx
i j E[Y ( xi )Leabharlann Baidu Y ( x j )]
i ( xi ,V ) (V ,V )
2 E i 1
n
（4）信息样品为非点承载时的普通克里格方程组与普通克里格方差 若样品的承载不能看作是点承载，而是以x i为中心，其体积为v i
的承载时，样点之间的协方差C(xi ,x j )，就变为样品域之间的平均协
方差 C (vi , v j ) ，相应的普通克里格方程组与普通克里格方差分别写成：
3. 简单克里格方程组和简单克里格方差（E(Z(x)=m 已知） 由于Z (x)的期望为已知，令：Y(x)=Z(x)-m 则：
E[Y(x)]=E[Z(x)-m]=E[Z(x)]-m=0
其协方差函数为： E[Y(x) · Y( y) ]=C(x, y )
对ZV的估计转化为对YV* 的估计，且有：
YV 1 V
C( x , x ) C( x ,V )
i 1 j 1 i j i j i i i
n
n
n
（ 3）
将（3）式代入公式（1），则得到简单克里格方差的计算公式：
C (V ,V ) i C ( xi ,V )
2 K i 1 n
（ 4）
公式（1）与公式（4）中，所用的估计方差符号不一样，（1）式表
i 1
所以得无偏性条件为：

i 1
n
i
1
（2）普通克里格方程组 在区域化变量Z(x) 满足二阶平稳的条件下类似于简单克里格方 法的估计方差的推导，同样可以得到估计方差：
C (V ,V ) 2 i C ( xi ,V ) i j C ( xi , x j )
2 E i 1 i 1 j 1 n n n
整理得：
n i C ( xi , x j ) C ( xi ,V ) i 1 n 1 i i 1 (i 1,2,, n)
这n+1个方程的方程组，称为普通克里格方程组。
普通克里格方差：
n i C ( xi , x j ) C ( xi ,V ) i 1 n 1 i i 1 (i 1,2,, n)
n j C (vi , v j ) C (vi , V ) j 1 n 1 i i 1
2 K n
(i 1,2,, n)
C (V ,V ) i C (vi ,V )
i 1
用变差函数γ(h)表示的普通克里格方程组与普通克里格方差：
i 1 j 1
1 2 V
1 C ( x , y ) d x d y 2 i V V V i 1
n n i 1
n
C ( x , x)dx C ( x , x )
V i i 1 j 1 i j i j
n
n
2 所以： E C (V ,V ) 2 i C ( xi ,V ) i j C ( xi , x j ) i 1 j 1
K K j 1 j 1 n n
所以：
n Z j Z j m 1 j j 1 j 1 K n
4. 普通克里格方程组和普通克里格方差（E(Z(x)=m 未知）
* 要使估计量 ZV i Z i 是无偏的，就必须增加限制条件： i 1 n