分段函数例题

分段函数常见题型例析

河南 陈长松

所谓“分段函数”是指在定义域的不同部分，有不同对应关系的函数，因此分段函数不是几个函数而是一个函数，它在解题中有着广泛的应用，不少同学对此认识不深，解题时常出现错误．现就分段函数的常见题型例析如下：

１．求分段函数的定义域、值域

例１．求函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧->-≤+)2(,2

)2(,42x x x x x 的值域．

解：当x ≤－２时，4)2(422-+=+=x x x y ， ∴ y ≥－４．

当x ＞－２时，y ＝2x ， ∴y ＞2

2-＝－１． ∴ 函数)(x f 的值域是｛y ∣y ≥－４，或y ＞－１｝＝｛y ∣y ≥－４｝． 评注：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域是各段函数值集合的并集．

２．作分段函数的图象

例２ 已知函数2(2)()3[22)3[2)x f x x x x -∈-∞-⎧⎪=+∈-⎨⎪∈+∞⎩

，，，，

，，，画函数(

f x 解：函数图象如图１所示．

评注：分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，

作图的关键是根据定义域的不同，分别由表达式做出

其图象．作图时，一要注意每段自变量的取值范围；

二要注意间断函数的图象中每段的端点的虚实． ３．求分段函数的函数值

例３．已知)(x f ＝⎪⎩

⎪⎨⎧<=>+)0.(0)0(,)0(,1x x x x π 求(((3)))f f f -的值．

解：∵ －３＜０ ∴ f （－３）＝０，

∴ f （f （－３））＝f （０）＝π

又π＞０ ∴(((3)))f f f -＝f （π）＝π＋１． x 图1

评注：求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应关系求值．

４．求分段函数的最值

例４．已知函数)(x f ＝22(0)(0)x x x ⎧⎨<⎩，≥，

求出这个函数的最值． 解：由于本分段函数有两段，所以这个函数的图象由

两部分组成，其中一部分是一段抛物线，另一部分是

一条射线，如图２所示．因此易得，函数最小值为０，

没有最大值．

５．表达式问题

例５． 如图３，动点P 从边长为１的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B C D ，，再回到A ，设x 表示P 点的行程，y 表示PA 的长度，求y 关于x 的表达式．

解：如图3所示，当P 点在AB 上运动时，PA x =；

当P 点在

BC 上运动时，由PBA △Rt ，求得PA =；

当P 点在

CD 上运动时，由PDA Rt △求出PA =；

当P 点在DA 上运动时，4PA x =-，

所以y 关于x

的表达式是01122343 4.

x x x y x x x ⎧<=<-<⎩， ≤≤，

≤， ≤，， ≤ 在此基础上，强调“分段”的意义，指出分段函数的

各段合并成一个整体，必须用符号“｛”来表示，以纠正

同学们的错误认识． A B

P 图３