2017-2018年上海市崇明区中考一模数学试题含答案
上海市2017各区中考数学一模试卷6套(包含答案解析)
2017年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣13．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．C． =D． =， =5．如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A．B．C．D．6．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则的值为．8．计算：（﹣3）﹣（+2）= ．9．已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是．10．把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为．11．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是．12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= ．13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1y2．（填“＞”、“=”或“＜”）14．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线．15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为．16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为米．（结果保留根号）17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：．20．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．22．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．25．如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．2017年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．2tanαD．2cotα【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据锐角三角函数的定义得出cotA=，代入求出即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴cotA=，∵BC=2，∠A=α，∴AC=2cotα，故选D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=，cotA=．2．下列抛物线中，过原点的抛物线是（）A．y=x2﹣1 B．y=（x+1）2C．y=x2+x D．y=x2﹣x﹣1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别求出x=0时y的值，即可判断是否过原点．【解答】解：A、y=x2﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；B、y=（x+1）2中，当x=0时，y=1，不过原点；C、y=x2+x中，当x=0时，y=0，过原点；D、y=x2﹣x﹣1中，当x=0时，y=﹣1，不过原点；故选：C．【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握抛物线上特殊点的坐标及一般点的坐标的求法是解题的关键．3．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（）A．45米B．40米C．90米D．80米【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．【解答】解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，∴1.5：2=教学大楼的高度：60，解得教学大楼的高度为45米．故选A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．4．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（）A．∥，∥B．C． =D． =， =【考点】*平面向量．【分析】根据向量的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、∥，∥，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；B、表示两个向量的模的数量关系，方向不一定相同，故不一定平行，故本选项正确；C、=，说明两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；D、=， =，则、都与平行，三个向量都互相平行，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基础题．5．如图，在▱ABCD中，点E是边BA延长线上的一点，CE交AD于点F．下列各式中，错误的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵AD∥BC∴=，故A正确；∵CD∥BE，AB=CD，∴△CDF∽△EBC∴=，故B正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△EBC∴=，故D正确．∴C错误．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．6．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC 的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由△AEF∽△ABC，可知△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，根据cosA==，即可解决问题．【解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，∴∠AEB=∠AFC=90°，∵∠A=∠A，∴△AEB∽△AFC，∴=，∴=，∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，∵cosA==，∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，故选B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知，则的值为．【考点】比例的性质．【分析】用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵ =，∴b=a，∴==．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，用a表示出b是解题的关键．8．计算：（﹣3）﹣（+2）= ．【考点】*平面向量．【分析】根据平面向量的加法计算法则和向量数乘的结合律进行计算．【解答】解：：（﹣3）﹣（+2）=﹣3﹣﹣×2）=．故答案是：．【点评】本题考查了平面向量，熟记计算法则即可解题，属于基础题型．9．已知抛物线y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，那么k的取值范围是k＜1 ．【考点】二次函数的性质．【分析】由开口向下可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围．【解答】解：∵y=（k﹣1）x2+3x的开口向下，∴k﹣1＜0，解得k＜1，故答案为：k＜1．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数有关是解题的关键．10．把抛物线y=x2向右平移4个单位，所得抛物线的解析式为y=（x﹣4）2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将y=x2向右平移4个单位，所得函数解析式为：y=（x ﹣4）2．故答案为：y=（x﹣4）2．【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减”得出是解题关键．11．已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长是8 ．【考点】解直角三角形．【专题】计算题；等腰三角形与直角三角形．【分析】利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，∴sinA=，即=，解得：AB=8，故答案为：8【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．12．如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、C、E和点B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC：CE=3：5，∴AC：AE=3：8，∵AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，∴DF=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，关键是找出对应的比例线段，写出比例式，用到的知识点是平行线分线段成比例定理．13．已知点A（2，y1）、B（5，y2）在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1＞y2．（填“＞”、“=”或“＜”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算自变量为2、5时的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=2时，y1=﹣x2+1=﹣3；当x=5时，y2=﹣x2+1=﹣24；∵﹣3＞﹣24，∴y1＞y2．故答案为：＞【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．14．已知抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，那么该抛物线的对称轴是直线x=2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数值相等的点到对称轴的距离相等可求得答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c过（﹣1，1）和（5，1）两点，∴对称轴为x==2，故答案为：x=2．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数值相等的点到对称轴的距离相等是解题的关键．15．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足为D，BE是△ABC 的中线，AD与BE相交于点G，那么AG的长为 2 ．【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴AD==3，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×=2，故答案为：2【点评】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的重心的性质，判断点G为三角形的重心是解题的关键．16．在一个距离地面5米高的平台上测得一旗杆底部的俯角为30°，旗杆顶部的仰角为45°，则该旗杆的高度为5+5米．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】CF⊥AB于点F，构成两个直角三角形．运用三角函数定义分别求出AF和BF，即可解答．【解答】解：作CF⊥AB于点F．根据题意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米．在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米．则AB=AF+BF=5+5米故答案为：5+5．【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．【考点】线段垂直平分线的性质．【专题】探究型．【分析】设CE=x，连接AE，由线段垂直平分线的性质可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的长度．【解答】解：设CE=x，连接AE，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即（3+x）2=42+x2，解得x=．故答案为：．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，则点A、E之间的距离为4．【考点】旋转的性质；解直角三角形．【分析】先解直角△ABC，得出BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．再根据旋转的性质得出BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，利用等边对等角以及三角形内角和定理得出∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∠BCM=∠ACN．解直角△ANC求出AN=AC•cos∠CAN=3×=2，根据等腰三角形三线合一的性质得出AE=2AN=4．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3．∵把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E，∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，∴∠B=∠CAE．作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，则∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∴∠BCM=∠ACN．∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，∴AE=2AN=4．故答案为4．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了解直角三角形以及等腰三角形的性质．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】直接将特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：原式====．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．如图，已知点D是△ABC的边BC上一点，且BD=CD，设=， =．（1）求向量（用向量、表示）；（2）求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【考点】*平面向量．【分析】（1）在△ABD中，利用平面向量的三角形加法则进行计算；（2）根据向量加法的平行四边形法则，过向量的起点作BC的平行线，即可得出向量向量在、方向上的分向量．【解答】解：（1）∵，∴∵，∴∵，且∴；（2）解：如图，所以，向量、即为所求的分向量．【点评】本题考查平面向量，需要掌握一向量在另一向量方向上的分量的定义，以及向量加法的平行四边形法则．21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴∵AC=6，BD=4，∴∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，∴，∴．∴EF∥BD，∴，∴，∴（2）∵AC∥BD，EF∥BD，∴EF∥AC，∴△BEF∽△ABC，∴．∵，∴．∵S△BEF=4，∴，∴S△ABC=25．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．22．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，在Rt△ABG中，利用已知条件求出AB的长即可；（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知数据可求出CD的长，进而可求出台EF的长度．【解答】解：（1）连接AB，作BG⊥AB交AC于点G，则∠ABG=90°∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，在Rt△ABG中，，∵BG=2.26，tan20°≈0.36，∴，∴AB≈6.3，答：A、B之间的距离至少要6.3米．（2）设直线EF交AD于点P，作CQ⊥EF于点Q，∵AE和FC的坡度为1：2，∴，设AP=x，则PE=2x，PD=8﹣x，∵EF∥DC，∴CQ=PD=8﹣x，∴FQ=2（8﹣x）=16﹣2x，在Rt△ACD中，，∵AD=8，∠ACD=20°，∴CD≈22.22∵PE+EF+FQ=CD，∴2x+EF+16﹣2x=22.22，∴EF=6.22≈6.2答：平台EF的长度约为6.2米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．23．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．（1）求证：AE⊥CD；（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）先根据题意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性质得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，进而可得出∠AFC=90°；（2）根据AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由点E是BC的中点可知CE=BE，故，根据∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，进而可得出结论．【解答】证明：（1）∵AC2=CE•CB，∴．又∵∠ACB=∠ECA=90°∴△ACB∽△ECA，∴∠ABC=∠EAC．∵点D是AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠CAD∵∠CAD+∠ABC=90°，∴∠ACD+∠EAC=90°∴∠AFC=90°，∴AE⊥CD（2）∵AE⊥CD，∴∠EFC=90°，∴∠ACE=∠EFC又∵∠AEC=∠CEF，∴△ECF∽△EAC∴∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴∵∠BEF=∠AEB，∴△BEF∽△AEB∴∠EBF=∠EAB．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．24．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分和两种情况，计算即可．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）∴，解得，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线顶点D的坐标为（1，4），（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，∴点E（2，3），过点E作EH⊥BC于点H，∵OC=OB=3，∴BC=，∵，CE=2，∴，解得EH=，∵∠ECH=∠CBO=45°，∴CH=EH=，∴BH=2，∴在Rt△BEH中，；（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），∴BP=2，DP=4，∴，∵，∠CBE、∠BDP均为锐角，∴∠CBE=∠BDP，∵△DMB与△BEC相似，∴或，①，∵DM=4﹣m，，，∴，解得，，∴点M（1，）②，则，解得m=﹣2，∴点M（1，﹣2），当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．综上所述，点M的坐标为（1，）或（1，﹣2）．【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式的一般步骤、熟记相似三角形的判定定理和性质定理、掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．25．如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，在Rt△BAD中，，AB=16，∴AD=12∴；（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠DEF=∠ADB，∴∠DEF=∠DBC，∵∠EDF=∠BDE，∴△EDF∽△BDE，∴，∵BC=AD=12，BE=x，∴CE=|x﹣12|，∵CD=AB=16∴在Rt△CDE中，，∵，∴，∴，定义域为0＜x≤24（3）∵△EDF∽△BDE，∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，①当BE=BD时∵BD=20，∴BE=20②当DE=DB时，∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，∴BE=24；③当EB=ED时，作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，即∴，解得：BE=；综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、三角函数定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．2017年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x23．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．8．计算：3﹣4（+）=．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于厘米．13．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5厘米的一个等边三角形放大成边长为20厘米的等边三角形，那么放大前后的两个三角形的周长比是．14．已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是．15．如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是．16．在半径为4厘米的圆面中，挖去一个半径为x厘米的圆面，剩下部分的面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式：（结果保留π，不要求写出定义域）17．如果等腰三角形的腰与底边的比是5：6，那么底角的余弦值等于．18．如图，DE∥BC，且过△ABC的重心，分别与AB、AC交于点D、E，点P是线段DE上一点，CP的延长线交AB于点Q，如果=，那么S△DPQ ：S△CPE的值是．三、解答题19．计算：cos245°+﹣•tan30°．20．如图，已知AD是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，AD⊥BC，垂足为点E，AE=BC=16，求⊙O的直径．21．如图，已知向量，，．（1）求做：向量分别在，方向上的分向量，：（不要求写作法，但要在图中明确标出向量和）．（2）如果点A是线段OD的中点，联结AE、交线段OP于点Q，设=，=，那么试用，表示向量，（请直接写出结论）22．一段斜坡路面的截面图如图所示，BC⊥AC，其中坡面AB的坡比i1=1：2，现计划削坡放缓，新坡面的坡角为原坡面坡脚的一半，求新坡面AD的坡比i2（结果保留根号）23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC∽△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0）是抛物线y=ax2+2x﹣c上的一点，将此抛物线向下平移6个单位后经过点B（0，2），平移后所得的新抛物线的顶点记为C，新抛物线的对称轴与线段AB的交点记为P．（1）求平移后所得到的新抛物线的表达式，并写出点C的坐标；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点Q是新抛物线对称轴上的一点，且△BCQ与△ACP相似，求点Q的坐标．25．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB=，点O是AB的中点，∠DOE=∠A，当∠DOE以点O为旋转中心旋转时，OD交AC的延长线于点D，交边CB于点M，OE交线段BM于点N．（1）当CM=2时，求线段CD的长；（2）设CM=x，BN=y，试求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；（3）如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，请直接写出线段CM的长．2017年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分）1．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形 B．大小不相同的图形C．能够重合的图形 D．大小相同的图形【考点】相似图形．【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．2．下列函数中，y关于x的二次函数是（）A．y=2x+1 B．y=2x（x+1） C．y=D．y=（x﹣2）2﹣x2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：A、y=2x+1是一次函数，故A错误；B、y=2x（x+1）是二次函数，故B正确；C、y=不是二次函数，故C错误；D、y=（x﹣2）2﹣x2是一次函数，故D错误；故选：B．3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AH=2，BH=1，BC=5，∴AB=AH+BH=3，∴，∴，故选D．4．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【考点】二次函数的性质．【分析】由表可知抛物线过点（﹣2，0）、（0，6）可判断A、B；当x=0或x=1时，y=6可求得其对称轴，可判断C；由表中所给函数值可判断D．【解答】解：当x=﹣2时，y=0，∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x=0和x=1时，y=6，∴对称轴为x=，故C错误；当x＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选C．5．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（）A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；②=；故选：C．6．下列说法中，错误的是（）A．长度为1的向量叫做单位向量B．如果k≠0，且≠，那么k的方向与的方向相同C．如果k=0或=，那么k=D．如果=，=，其中是非零向量，那么∥【考点】*平面向量．【分析】由平面向量的性质来判断选项的正误．【解答】解：A、长度为1的向量叫做单位向量，故本选项错误；B、当k＞0且≠时，那么k的方向与的方向相同，故本选项正确；C、如果k=0或=，那么k=，故本选项错误；D、如果=，=，其中是非零向量，那么向量a与向量b共线，即∥，故本选项错误；故选：B．二、填空题（每题2分）7．如果x：y=4：3，那么=．【考点】比例的性质．【分析】根据比例的性质用x表示y，代入计算即可．【解答】解：∵x：y=4：3，∴x=y，∴==，故答案为：．8．计算：3﹣4（+）=﹣﹣4．【考点】*平面向量．【分析】根据向量加法的运算律进行计算即可．【解答】解：3﹣4（+）=3﹣4﹣4=﹣﹣4．故答案是：﹣﹣4．9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣1＞0．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．10．抛物线y=4x2﹣3x与y轴的交点坐标是（0，0）．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令x=0可求得y=0，可求得答案．【解答】解：在y=4x2﹣3x中，令x=0可得y=0，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），故答案为：（0，0）．11．若点A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，则n的值为12．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将A（3，n）代入二次函数的关系式y=x2+2x﹣3，然后解关于n的方程即可．【解答】解：∵A（3，n）在二次函数y=x2+2x﹣3的图象上，∴A（3，n）满足二次函数y=x2+2x﹣3，∴n=9+6﹣3=12，即n=12，故答案是：12．12．已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP 的长等于5﹣5厘米．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，。
崇明初中一模数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，正数是（）A. -3B. 0C. 1.5D. -2答案：C解析：正数是大于0的数，选项C中的1.5是大于0的，因此选C。
2. 下列等式中，正确的是（）A. 2a = a + aB. 3x + 2 = 2x + 3xC. 5b - 3b = 2b + 1D. 4c + 2c = 6c答案：A解析：等式A中的2a表示a加上a，等式B中的3x + 2不等于2x + 3x，等式C 中的5b - 3b不等于2b + 1，等式D中的4c + 2c等于6c，因此选A。
3. 若x = 2，则下列代数式中，值为5的是（）A. 3x - 4B. 2x + 1C. x - 3D. 4x - 7答案：A解析：将x = 2代入各选项中，得到3x - 4 = 32 - 4 = 6 - 4 = 2，2x + 1 = 22 + 1 = 4 + 1 = 5，x - 3 = 2 - 3 = -1，4x - 7 = 42 - 7 = 8 - 7 = 1，因此选B。
4. 下列图形中，面积最大的是（）A. 正方形B. 长方形C. 三角形D. 梯形答案：A解析：在相同的边长下，正方形的面积最大，因此选A。
5. 若一个等腰三角形的底边长为8，腰长为6，则这个三角形的面积是（）A. 24B. 28C. 32D. 36答案：C解析：等腰三角形的面积公式为底边长乘以高除以2，高可以通过勾股定理计算，即h = √(腰长^2 - (底边长/2)^2)。
代入数据得到h = √(6^2 - (8/2)^2) = √(36 - 16) = √20 = 2√5。
因此面积为8 2√5 / 2 = 8√5，近似值为32，因此选C。
二、填空题（每题5分，共50分）6. 若a = 3，b = -2，则a + b的值是（）答案：1解析：a + b = 3 + (-2) = 1。
7. 下列等式中，正确的是（）A. 2a = a + aB. 3x + 2 = 2x + 3xC. 5b - 3b = 2b + 1D. 4c + 2c = 6c答案：D解析：等式D中的4c + 2c等于6c。
崇明区年初三数学一模试卷及标准答案
崇明区年初三数学一模试卷及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：崇明区2017-2018学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（完卷时间：100分钟，满分：150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，那么tan A 的值是………………………（ ▲ ）(A)34； (B)43； (C)35； (D)45．2．抛物线22(3)4y x =+-的顶点坐标是 ……………………………………………………（ ▲ ）(A)(3,4)；(B)(3,4)-；(C)(3,4)-；(D)(3,4)--．3．如图，在ABC △中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE BC ∥．已知6AE =，34AD DB =， 那么EC 的长是 ………………………………………………………………………………（ ▲ ） (A) 4.5；(B) 8；(C) 10.5；(D) 14．4．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:3:1DE EC =，联结AE 交BD 于点F ，那么DEF △的面积与BAF △的面积之比为………………………………………………（ ▲ ）(A)3:4；(B)9:16；(C)9:1；(D)3:1．5．如果两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是……………（ ▲ ） (A) 外离；(B) 外切；(C) 相交；(D) 内切．6．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，6AB =，10AC =，BAC ∠和ACB ∠的平分线相交于点E ，过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，那么EF 的长为………………………………（ ▲ ）(A)52； (B)83； (C)103； (D)154．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知23x y =(0)y ≠，那么x yy+= ▲ ． 学校 班级 准考证号 姓名…………………密○……………………………………封○……………………………………○线……………………………8．计算：13222a b a b ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r rr ▲ ．9．如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3km 的两地在地图上的图距是▲ cm ．10．如果抛物线2(1)4y a x =+-有最高点，那么a 的取值范围是 ▲ ． 11．抛物线224y x =+向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为 ▲ ． 12．已知点11(,)A x y 和22(,)B x y 是抛物线22(3)5y x =-+上的两点，如果124x x ＞＞，那么1y 2y ．（填“＞”、“＝”或“＜”）13．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为点D ，如果6AC =，8AB =，那么AD 的长度为 ▲ ．14．已知ABC △是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么G A 的长度为 ▲ ． 15．正八边形的中心角的度数为 ▲ 度．16．如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡的坡度为 ▲ ． 17．如图，在55⨯正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，已知点A 的坐标是(2,3)-，点C 的坐标是(1,2)，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 ▲ ．18．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，点D , E 分别在,AC BC 上，且CDE B ∠=∠，将CDE △沿DE折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，如果8AC =，10AB =，那么CD 的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：tan 453sin602cos45cot302sin 45︒-︒+︒︒-︒20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，在ABC △中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ， 已知5AD =，4BD =．（1）求BC 的长度；（2）如果AD a =u u u r r ，AE b =u u u r r ，那么请用a r 、b r 表示向量CB u u u r．21．（本题满分10分，每小题各5分）如图，CD 为⊙O 的直径，CD AB ⊥，垂足为点F ，AO BC ⊥，垂足为点E ，2CE =． （1）求AB 的长； （2）求⊙O 的半径．A BCD E （第20题图）（第21题图）AB C O FE D22．（本题满分10分）如图，港口B 位于港口A 的南偏东37︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km ，到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45︒方向上．这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75︒≈︒≈︒≈）23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； （2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．（第22题图） AD BCE37°45°北东（第23题图）A BD ECG F24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线243y x bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点（点M与点A 不重合），过点M 作垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ．（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P 是MN 的中点，那么求此时点N 的坐标；（3）如果以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM △相似，求点M 的坐标．（第24题图）AMP NB Ox yB Oxy （备用图）A25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．（第25题图1） AB C DF EB DF EC A（第25题图2） B DF ECA（第25题图3）崇明区2017学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学参考答案(201801)一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、A2、D3、B4、B5、D6、C二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、528、 a b -+r r 9、 6 10、 1a <-11、 22(2)4y x =++ 12、> 13、4.8 14、 315、45 16、 1：2.4 17、 (1,1)-- 18、258三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19、解：原式=132322232-⨯+⨯- …………………………………………5分 332322=+-+ ………………………………………………3分 12232=-………………………………………………………2分 20、（1）∵BE 平分ABC ∠ ∴ABE CBE =∠∠ ∵ED BC ∥ ∴DEB CBE =∠∠∴ABE DEB =∠∠ ………………………………………………………2分 ∴4BD DE == ∵ED BC ∥ ∴DE ADBC AB=……………………………………1分 又∵5AD =，4BD = ∴9AB =∴459BC = ∴365BC =………………………………………2分 （2）∵ED BC ∥ ∴5=9DE AD BC AB =∴95BC DE = …………………………………………………………1分又∵ED u u u r 与CB u u ur 同向 ∴95CB ED =u u u r u u u r ………………………………1分∵AD a =u u u r r ，AE b =u u u r r ∴ED a b =-u u u r r r……………………………1分∴9955CB a b =-u u u r r r…………………………………………………………2分21、（1）∵CD AB ⊥，AO BC ⊥∴90AFO CEO ==︒∠∠ ………………………………………1分 在AOF COE △和△中AFO CEO AOF COE AO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴AOF COE △≌△ ……………………………………………1分 ∴CE AF = ………………………………………………………1分 ∵2CE = ∴2AF=∵CD 是O e 的直径，CD AB ⊥ ∴12AF BF AB ==……………………………………………1分 ∴4AB = …………………………………………………………1分（2） ∵AO 是O e 的半径，AO BC ⊥∴2CE BE == ………………………………………………1分 ∵4AB = ∴12BE AB =∵90AEB =︒∠ ∴30A =︒∠ ……………………2分 又∵90AFO =︒∠ ∴232AF CosA AO AO === …………1分 ∴433AO =即O e 的半径是433………………………1分 22、解：由题意可得37A =︒∠，45AEC =︒∠，90D =︒∠，5DE km = 过点C 作CH AD ⊥，垂足为点H 则90AHC EHC ==︒∠∠ ∴34CH tanA AH == ………………………………………………………1分 1CHtan HEC EH==∠ ………………………………………………………1分 设CH x =则43AH x =，EH x = …………………………………………2分 ∴5DH x =+ ………………………………………………………1分∵90AHC D ==︒∠∠ ∴CH BD ∥ ∴AH AC DH BC= …………2分 ∵C 点是AB 边的中点 ∴AC BC = ∴AHDH = …………1分 ∴453x x =+ 解得15x = ………………………………………………1分 ∴42015353AE x x km =+=+= ………………………………………1分 23、（1）∵四边形ABCD 是正方形∴90BCD ADC ==︒∠∠，AB BC = …………………………1分 ∵BF DE ⊥ ∴90GFD =︒∠∴BCD GFD =∠∠∵BGC FGD =∠∠∴BGC DGF △∽△ ………………………………………………2分 ∴BG BC DG DF= ………………………………………………………1分 ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ……………………………………………1分∵AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅ ……………………………………………1分（2）联结BD∵BGC DGF △∽△ ∴BG CG DG FG= ………………………………………………………1分 ∴BG DG CG FG = 又∵BGD CGF =∠∠∴BGD CGF △∽△ ………………………………………………2分∴BDG CFG =∠∠ ………………………………………………1分∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线 ∴1452BDG ADC ==︒∠∠ ……………………………………1分∴45CFG =︒∠ ……………………………………………………1分24、（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+（0k ≠）∵(3,0)A ，(0,2)B ∴302k b b +=⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ……………………………………1分 ∴直线AB 的解析式为223y x =-+ ………………………………1分 ∵抛物线243y x bx c =-++经过点(3,0)A ，(0,2)B ∴493032b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ …………………………1分∴2410233y x x =-++ ……………………………………………1分 （2）∵MN x ⊥轴， (,0)M m∴设2410(,2)33N m m m -++，2(,2)3P m m -+ ∴2443NP m m =-+， 223PM m =-+ ……………………1分 ∵P 点是MN 的中点∴NP PM =∴2424233m m m -+=-+ ………………………………………1分 解得112m =，23m =（不合题意，舍去） ………………………1分∴(,)23N ……………………………………………………1分 （3）∵(3,0)A ，(0,2)B ， 2(,2)3P m m -+ ∴13AB =，133BP m = ∴13133AP m =- ∵BPN APM =∠∠∴当BPN △与APM △相似时，存在以下两种情况：1° BP PM PN PA= ∴213223341341333m m m m m -+=-+- 解得118m = ……………………1分 ∴11(,0)8M …………………………………………………………1分 2°BP PA PN PM= ∴213131333424233m m m m m -=-+-+ 解得52m = ……………………1分 ∴5(,0)2M ……………………………………………………………1分 25、（1）∵90ACB =︒∠，45cosA = ∴45AC AB = ∵8AC = ∴10AB = ……………………………1分 ∵D 是AB 边的中点 ∴152AD AB == ∵DE AC ⊥ ∴90DEA DEC ==︒∠∠∴5cosA AD == ∴4AE = ∴844CE =-= ∵在Rt AED △中，222AE DE AD += ∴3DE = ……………………1分 ∵DF DE ⊥ ∴90FDE =︒∠又∵90ACB =︒∠ ∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC == ………………………………………………………………1分 ∵在Rt EDF △中，222DF DE EF += ∴5EF = …………………1分（2）不变 ……………………………………………………………………………1分过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ⊥，DG BC ⊥∴90DHC DGC ==︒∠∠又∵90ACB =︒∠ ∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG =︒∠∵90FDE =︒∠∴HDG HDF EDF HDF -=-∠∠∠∠ 即EDH FDG =∠∠ ……1分 又∵90DHE DGF ==︒∠∠∴EDH FDG △∽△ ……………………………………………………1分 ∴34DE DH DF DG == …………………………………………………………1分 ∵90FDE =︒∠ ∴34DE tan DFE DF ==∠ ……………………1分 （3）1° 当QF QC =时，易证90DFE QFC +=︒∠∠，即90DFC =︒∠ 又∵90ACB =︒∠，D 是AB 的中点∴152CD BD AB === ∴132BF CF BC === …………………………………………………1分2° 当FQ FC =时，易证FQC DEQ DCB △∽△∽△∵在Rt EDF △中，34DE tan DFE DF ==∠ ∴设=3DE k ，则4DF k =，5EF k =当FQ FC =时，易证3DE DQ k ==，∴53CQ k =-∵DEQ DCB △∽△ ∴56DE DC EQ BC == ∴185EQ k = ∴75FQ FC k == ∵FQC DCB △∽△ ∴56FQ DC CQ BC == ∴755536k k =- 解得125117k = ∴71251755117117FC =⨯= ∴1755276117117BF =-= ……………………………………………………2分 3° 在BC 边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出25DK =当CF CQ =时，易证CFQ EDQ BDK △∽△∽△∴设=3DE k ，则3EQ k =，5EF k = ∴2FQ k =∵EDQ BDK △∽△ ∴525DE BD DQ DK == ∴655DQ k = ∴6555CQ FC k ==- ∵CQF BDK △∽△ ∴525CQ BD FQ DK == ∴65555225k k -= 解得5511k = ∴2511FC = ∴254161111BF =-= ………………………………………………………2分。
2018年上海崇明县初三一模数学试卷答案
CH
tan 45 =
2018/12/04
EH
∴ ， EH =
CH
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=x
tan 45∘
∵ ． ， C H ⊥AD BD⊥AD
∴ ， ∘ ∠AH C = ∠ADB = 90
∴ ， H C //DB
∴ ， AH
AC
=
HD
CB
又C 为AB的中点，
∴ ， AC = C B
∵ ∴ ． C E = 2 AF = 2
∵C D是⊙O的直径，C ． D⊥AB ∴ ． 1
AF = BF = AB 2
2018/12/04
∴ ． AB = 4
（2） 求⊙O的半径．
答案
⊙O的半径是 4 ． √3
3
解 析 ∵AO是⊙O的半径，AO⊥BC．
∴ ． C E = BE = 2
=
2(x
+
2)
2
+
4
．
12.
已知点 和 是抛物线 A(x1, y1) B(x2, y2)
y
=
2(x
−
2 3)
+
5上的两点，如果x1
>
x2
>
4，那么y1
y2．（填“>”或“<
”） 答案 > 解 析 抛物线对称轴为直线x = 3，开口向上．
2018/12/04
又x1 > x2 > 4 ，均在对称轴右侧．
∴ ， ∠DF C = ∠A
又∵ ， ∠DC F = ∠F C A
∴ ， △C DF ∽ △C F A
∴ ，即 ， 2 CF = CD × CA
2 5 = CD × 8
2017年上海市各区初三数学一模18题集锦(含答案)
九年级一模18题1、（2017年杨浦区一模第18题）△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，BD AC ⊥于点D ，将△BCD 绕点B 逆时针旋转，旋转角的大小与CBA ∠相等，如果点C 、D 旋转后分别落在点E 、F 的位置，那么EFD ∠的正切值是________.【答案】12tan cot cot EFD DFB CEB ∠=∠=∠，问题的本质是在△EBC 中，已知两边EB=BC=6，∠ABC 的余弦为3，求边EC 长.可由余弦定理，或过E 点向BC 添高，得EC=1255，cos CEB ∠=1tan 2EFD ∠=.2、（2017年徐汇区一模第18题）如图，在□ABCD 中，3:2:=BC AB ，点F E 、分别在边BC CD 、上，点E 是边CD 的中点，BF CF 2=，︒=∠120A ，过点A 分别作DF AQ BE AP ⊥⊥、，垂足分别为Q P 、，那么AQAP 的值是________．【答案】13392AP DF AQ BE ===请注意本题中面积法的作用.3、（2017年长宁区一模第18题）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，D 是AB 的中点，点E 在边AC 上，将ADE ∆沿DE 翻折，使得点A 落在点'A 处，当'A E AC ⊥时，'A B =___________.【答案】722或以A 为原点，射线AC 为横轴正半轴，建立直角坐标系.①设AE=a ，则'DA DA =，得22(4)(3)25a a -++=，解得a =1，从而'(1,1)(8,6)A B -，，'2A B =；②22(4)(3)25a a -+-=，解得a =7，从而'(7,7)(8,6)A B ，，'2A B =.4、（2017年崇明区一模第18题）如图，已知ABC ∆中，45ABC ∠= ，AH BC ⊥于点H ，点D 在AH 上，且DH CH =，联结BD ，将BHD 绕点H 旋转，得到EHF ∆（点B 、D 分别与点E 、F 对应），联结AE ，当点F 落在AC 上时，（F 不与C 重合）如果4BC =，tan 3C =，那么AE 的长为.【答案】3105△AEH 相似于△CFH ，且相似比为3：1，过H 向AC 做垂线段HM ，则11022cos 2110FC CM CH C ==⋅⋅∠=⋅⋅31035AE CH ==.5、（2017年宝山区一模第18题）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，联结CD交BE于F，如果AC═8，tanA═12，那么CF：DF═________．【答案】65∵DE⊥AB，tanA═12，∴DE=12AD，∵Rt△ABC中，AC═8，tanA═12，∴BC=4，AB=4，又∵△AED沿DE翻折，A恰好与B重合，∴AD=BD=2，DE=，∴Rt△ADE中，AE=5，∴CE=8﹣5=3，∴Rt△BCE中，BE=5，如图，过点C作CG⊥BE于G，作DH⊥BE于H，则Rt△BDE中，DH==2，Rt△BCE中，CG==，∵CG∥DH，∴△CFG∽△DFH，∴===．6、（2017年奉贤区一模第18题）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，点P是边AD上的一点，联结BP，将△ABP沿着BP 所在直线翻折得到△EBP，点A落在点E处，边BE与边CD相交于点G，如果CG=2DG，那么DP的长是________．【答案】1∵CG=2DG，CD=6，∴CG=4，DG=2，由勾股定理得，BG=5，∴EG=1，由折叠的性质可知，∠E=∠A=90°，又∠EGD=∠CGB，∴△HEG∽△BCG，∴==，∴HG=，∴DH=DG﹣HG=，同理，DP=1．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=23（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为________.【答案】13PQ垂直平分CD，故CM=6，∠PMC=∠QMC=90°，注意到∠PCM=∠A，∠QCM=∠B，于是32tan tan661323PQ PM QM CM PCM CM QCM=+=⋅∠+⋅∠=⨯+⨯=.8、（2017年闵行区一模第18题）如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D在边BC上，将△ABD沿着直线AD翻折，点B落在点B1处，如果B1D⊥AC，那么BD=________.【答案】32-作DE⊥AB于E，由折叠的性质可知，∠B′=∠B=60°，∵B1D⊥AC，∴∠B′AC=30°，∴∠B′AC=90°，由折叠的性质可知，∠B′AD=∠BAD=45°，在Rt△DEB中，DE=BD×sin∠B=BD，BE=BD，∵∠BAD=45°，DE⊥AB，∴AE=DE=BD，则BD+BD=2，解得BD=2﹣2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°，点B 、C 分别落在点B'、C'处，联结BC'与AC 边交于点D ，那么'BD DC=________.【答案】2过C ’作C’H ⊥AC 于点H，则33'''22BC a CA C A C H C A a =====，，，于是23''32BD BC a DC C H a ===.10、（2017年普陀区一模第18题）如图，DE ∥BC ，且过△ABC 的重心，分别与AB 、AC 交于点D 、E ，点P 是线段DE 上一点，CP 的延长线交AB 于点Q ，如果14DP DE =，那么S △DPQ ：S △CPE 的值是________.【答案】115由重心定理及条件，易知DP ：PE ：BC=1：3：6，于是△DPQ 与△EPC 的高之比为1：5，从而S △DPQ ：S △CPE 1115315=⨯=.如图，已知△ABC ，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点C 落在边AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，连接BD ，如果∠DAC=∠DBA ，那么BD AB的值是________.【答案】512-如图，由旋转的性质得到AB=AD ，∠CAB=∠DAB ，∴∠ABD=∠ADB ，∵∠CAD=∠ABD ，∴∠ABD=∠ADB=2∠BAD ，∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∴∠ABD=∠ADB=72°，∠BAD=36°，过D 作∠ADB 的平分线DF ，∴∠ADF=∠BDF=∠FAD=36°，∴∠BFD=72°，∴AF=DF=BD ，∴△ABD ∽△DBF ，∴，即，解得=.12、（2017年松江区一模第18题）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=23，把△ABC 绕着点C 旋转，使点B 与AB 边上的点D 重合，点A 落在点E ，则点A 、E 之间的距离为________.【答案】过C 作CH ⊥AB 于H ，△ACE 相似于△BCE ，相似比为2，所以2222cos cos 93AE BD BH BC B AB B ⎛⎫===⋅∠=⋅∠=⨯= ⎪⎝⎭.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=1，BC=3，点P 是边AB 上一点，如果把△BCP 沿折痕CP 向上翻折，点B 恰好与点D 重合，那么sin ∠ADP 为________.【答案】23CP 垂直平分线段BD ，CD=CB=3，从而得到，设AP=x ，则-x ，在△APD中，由勾股定理得2221)x x +=，解得255x =，BP=355，于是sin ∠ADP=23..14、（2017年黄浦区一模第18题）如图，菱形ABCD 形内两点M 、N ，满足MB ⊥BC ，MD ⊥DC ，NB ⊥BA ，ND ⊥DA ，若四边形BMDN 的面积是菱形ABCD 面积的15，则cos A =．D NMC BA 【答案】23。
2017年上海崇明区中考第二次模拟考试数学试卷及参考答案
2017年上海崇明区第二学期教学质量调研测试卷九年级数学（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．考试中不能使用计算器．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．下列运算错误的是 …………………………………………………………………………（ ）(A)23x x x +=；(B)326()x x =；(C)235x x x ⋅=；(D)842x x x ÷=．2．一次函数32y x =-+的图像不经过下列各象限中的 ……………………………………（ ）(A)第一象限；(B)第二象限；(C)第三象限；(D)第四象限．3．在一次引体向上的测试中，小强等5位同学引体向上的次数分别为：6,8,9,8,9，那么关于这组数据的说法正确的是 …………………………………………………………………（ ）(A )平均数是8.5；(B )中位数是8.5；(C )众数是8.5；(D )众数是8和9．4．商场将某种商品按原价的8折出售，仍可获利20元．已知这种商品的进价为140元，那么这种商品的原价是 ……………………………………………………………………………（ ）(A )160元；(B )180元；(C )200元；(D )220元．5．如图，直线a 与直线b 交于点A ，与直线c 交于点B ，1120∠=︒，245∠=︒，如果使直线b与直线c 平行，那么可将直线b 绕点A 逆时针旋转 ……………………………………（ ）(A)15︒；(B)30︒；(C)45︒；(D)60︒．6．如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 到点E ，使AE AB =，联结ED 、EC 、AC ．添加一个条件，能使四边形ACDE 成为菱形的是 ………………………………………（ ） (A)AB AD =； (B)AB ED =；(C)CD AE =； (D)EC AD =．（第6题图）（第5题图）二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．16的平方根是 ． 8．因式分解：29x x -= ． 9x =的解是 ．10．不等式组315030x x -<⎧⎨-<⎩的解集是 ．11．已知函数()23xf x x =+，那么自变量x 的取值范围是 ．12．已知关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是 ． 13．如果将抛物线235y x =+向右平移4个单位后，那么所得新抛物线的顶点坐标是 ． 14．有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、…、6点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是素数的概率是 ．15．某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有 人．16．一商场内的一座自动扶梯所在的斜边的坡度为1:2.4i =，小明站在自动扶梯上，当他沿着斜坡向上方向前进了13米时，他在铅垂方向升高了 米． 17．在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，3BC =，4cos 5A =，以点AC 为圆心，2为半径作圆，那么这两圆的位置关系是 ．（第15题图）最喜爱的各类图书的人数 最喜爱的各类图书的人数占总人数的百分比18．如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，4AC =，BD 平分ABC ∠，将ABC ∆绕着点A 旋转后，点B 、C 的对应点分别记为1B 、1C ，如果点1B 落在射线BD 上， 那么1CC 的长度为 ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：)2123122712tan 601-⎛⎫+-+ ⎪︒+⎝⎭20．（本题满分10分）解方程组：2234021x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知ABC ∆中，AD BC ⊥，垂足为D ，且4AD =，以AD 为直径作圆O ，交AB 边于点G ，交AC 边于点F ，如果点F 恰好是AD 的中点． （1）求CD 的长度；（2）当3BD =时，求BG 的长度．ABCDG FO（第21题图）（第18题图）CA DB22．（本题满分10分）在一条笔直的公路上有AB 两地，小明骑自行车从A 地去B 地，小刚骑电动车从B 地去A 地然后立即原路返回到B 地，如图是两人离B 地的距离y (千米)和行驶时间x (小时)之间的函数图像．请根据图像回答下列问题：（1）AB 两地的距离是 ，小明行驶的速度是 ；（2）若两人间的距离不超过3千米时，能够用无线对讲机保持联系，那么小刚从A 地原路返回到 B 地途中，两人能够用无线对讲机保持联系的 x 的取值范围是 ．23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知ABC ∆是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ． （1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =．)（第22题图）ABDCEG F（第23题图）24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知抛物线22y ax x c =-+经过ABC ∆的三个顶点，其中点(0,1)A ，点(9,10)B ，AC x ∥轴．（1）求这条抛物线的解析式； （2）求tan ABC ∠的值；（3）若点D 为抛物线的顶点，点E 是直线AC 上一点，当CDE ∆与ABC ∆相似时，求点E 的坐标．（第24题图）25．（本题满分14分，其中第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，6AB =，8BC =，tan 2D =，点E 是射线CD 上一动点（不与点C 重合），将BCE ∆沿着BE 进行翻折，点C 的对应点记为点F ． （1）如图1，当点F 落在梯形ABCD 的中位线MN 上时，求CE 的长；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，设CE x =，BFC EFCS y S ∆∆=，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如图3，联结AC ，线段BF 与射线CA 交于点G ，当CBG ∆是等腰三角形时，求CE 的长．ABCDEFM NEDCFABEDC FAB GD CAB（第25题图1）（第25题图2）（第25题图3）（第25题备用图）2017年崇明区第二学期教学质量调研测试卷九年级数学答案及评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．D ； 2.C ； 3.D ； 4.C ； 5.A ； 6.B 二、填空题：（本大题12题，每题4分，满分48分）7．4±； 8．(9)x x -； 9．x =3； 10．5x 3＜＜； 11．32x ≠-； 12．4m ＜； 13．(4,5) ； 14．12； 15．480； 16．5； 17．外离； 18． 1655三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=3423431++………………………………………………8分 =332 ………………………………………………………………2分 20． 解：由①得：40x y -=，0x y += ………………………………………2分原方程组可化为4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩…………………………………2分解得原方程组的解为112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =-⎧⎨=⎩ ………………………………………6分21.解：（1）AD BC ⊥ 90ADB ADC ∠=∠=︒∴∵点F 是AD 的中点，OF 是半径OF AD ⊥∴ 90AOF ∠=︒∴ …………………………………………1分 AOF ADC ∠=∠∴ …………………………………………………………1分 ∴OF CD ∥ …………………………………………………………………1分∴12OF AO CD AD == ……………………………………………………………1分 ∵OF OA =,4AD =∴4CD = ……………………………………………………………………1分（2）过点O 作OH AG ⊥，垂足为H∵在O 中，OH AG ⊥ ∴2AG AH = …………………………1分∵90ADB ∠=︒ ∴222AD BD AB +=∵3BD =，4AD = ∴5AB =………………………………………1分∵ 在Rt △ABD 中，4cos 5AD BAD AB ∠== 在Rt △AOH 中，4cos 25AH AH BAD AO ∠===∴85AH = …………………………………………………………………1分∴1625AG AH == …………………………………………………………1分∴169555BG =-= …………………………………………………………1分22．（1）30千米；15千米/时 …………………………………………………………各3分 （2）95x ≤≤2 ………………………………………………………………………4分23．证明：（1）∵△ABC 是等边三角形∴AB AC BC ==，60ABC ACB ∠=∠=︒ CD CE =∴△CDE 是等边三角形∴60CDE ABC ∠=∠=︒，CD DE =∴DF AB ∥ ………………………………………………………………2分 EF AE =，CD DE =∴AE EFCE DE=∴AF BC ∥ ……………………………………………………………………2分 ∴四边形ABDF 是平行四边形 ∴AB DF = …………………1分 又∵AB BC =∴BC DF = ……………………………………………………………1分 （2）∵△CDE 是等边三角形∴60CDE DCE ∠=∠=︒，CE CD DE == 又∵BC DF =∴BCE FDC △≌△ …………………………………………………………1分 ∴CBE DFC ∠=∠ …………………………………………………………1分 又∵BED FEG ∠=∠∴BDE FGE △∽△ …………………………………………………………1分∴BD DE FG EG=…………………………………………………………………1分 又∵CD DE = ，2BD CD =∴2BD GF CD EG== ……………………………………………………………1分∴2GF EG = …………………………………………………………………1分24．解：（1）∵抛物线22y ax x c =-+经过点(0,1)A 和点(9,10)B∴1811810c a c =⎧⎨-+=⎩……………………………………………………1分解得131a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ………………………………………………………………2分∴这条抛物线的解析式为21213y x x =-+ ………………………………1分（2）过点B 作BH AC ⊥，垂足为HAC x ∥轴，(0,1)A ，(9,10)B 9,1H ∴（）9BH AH ==∴ 又90BHA ∠=︒HAB ∴△是等腰直角三角形45HAB ∠=︒∴ ………………………………………………………1分AC x ∥轴，(0,1)A ，点C 也在该抛物线上6,1C ∴（）过点C 作CG AB ⊥，垂足为点Gsin 45CG AC =︒=∴ ……………………………………………1分cos 45AG AC =︒= 又∵在Rt △ABH中，sin 45BHAB ==︒∴BG == …………………………………………………1分 ∴在Rt △BCG 中，1tan 2CG ABC BG ∠== ……………………………1分 （3）过点D 作DK AC ⊥，垂足为K∵点D 是抛物线21213y x x =-+的顶点 ∴(3,2)D - ………………1分∴(3,1)K∴3CK DK == 又∵90CKD ∠=︒ ∴△CDK 是等腰直角三角形 ∴45DCK ∠=︒ 又∵45BAC ∠=︒∴DCK BAC ∠=∠ ………………………………………………………1分∴当△CDE 与△ABC 相似时，存在以下两种情况：1︒AC ECAB CD =∴EC=2 (4,1)E ∴ ……………1分 2︒AC DC AB EC =EC ∴EC=9 (3,1)E -∴ …………1分 25． 解：（1）把BE 与MN 的交点记为点O∵梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒ ∴90C ∠=︒由翻折得CEB FEB ∠=∠，90EFB C ∠=∠=︒∵MN 是梯形ABCD 的中位线 MN AB CD ∴∥∥ ∴CEB FOE ∠=∠，1EO CNOB BN== ∴FEB FOE ∠=∠∴FE FO = ………………………………………………………………1分 90EFB ∠=︒∵，EO BO = FO EO =∴ …………………………1分 ∴FE FO EO ==∴△EFO 是等边三角形 ∴60FEB ∠=︒60CEB ∠=︒∴ ……………………………………………………………1分 ∴在Rt △ECB中，3cot 6083EC BC =︒=⨯= …………………1分 （2）把BE 与CF 的交点记为点P 由翻折得BE 是CF 的垂直平分线 即90EPC BPC ∠=∠=︒，12FP CP FC == 2EFC EPC S S =△△∴，2BFC BPC S S =△△ BFC BPCEFC EPCS S S S =△△△△∴……………………………………………………………1分 ∵90ECP BCP ∠+∠=︒ , 90CBP BCP ∠+∠=︒ ECP CBP ∠=∠∴又∵90EPC BPC ∠=∠=︒ ECP CBP ∴△∽△222864()BPC EPC S BC S EC x x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭△△∴ …………………………………………1分 264C EFC S S x=△BF △∴y= (0x ＜≤10) …………………………………………2分（3）当△CBG 是等腰三角形时，存在以下三种情况： 1︒ GB=GC延长BF 交CD 于点H∵GB=GC ∴∠GBC=∠GCB∵∠HCB=90° ∴∠CHB+∠GBC=90° ∵∠ABC=90° ∴∠CAB+∠GCB=90° ∴∠CHB=∠CAB ∴sin ∠CHB=sin ∠CAB=45∵∠ABC=90° ∴∠ACB+∠CAB=90°，∠ABG+∠GBC=90° ∴∠CAB=∠GBA ∴GA=GB ∴GA=GC∵AB ∥CD ∴1CH CGAB AG== ∴CH=AB=6 ∵CE x = ∴EF x =，6HE x =-第11页∵90HFE ∠=︒ ∴4sin 65EF x CHB HE x ∠===- ∴83x = 即83CE = ………………………………………………………………2分 2° CB=CG当CB=CG=8时，AG=10-8=2∵AB ∥CD ∴4CH CG AB AG== ∴CH=4AB=24 ∵CE x = ∴EF x =，24HE x =- ∵90HFE HCB ∠=∠=︒∴sin 24EF BC x CHB HE BH x ∠====-解得83x =即83CE = ……………………………2分 3° BC=BG当BC=BG 时，F 点与G 点重合由翻折可得，BE 垂直平分线段GC易证∠CBE=∠CAB∵∠ECB=∠CAB=90° ∴4tan tan 3CBE CAB ∠=∠=∴483CE = 解得CE=323………………………………………………………………2分 综上所述，CE 的长为83、323。
2018年上海市各区中考一模压轴题图文解析15.88
所以 QC＝5－3m，QE＝5m－x．
由 FC DE 5 ，得 x 3m 5 ． QC QE 6 5 3m 5m x 6
解得 x 175 ．此时 BF＝6－x＝ 527 ．
117
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图6
图7
Hale Waihona Puke 图86例2018 年上海市奉贤区中考一模第 24 题
如图 1，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y 3 x2 bx c 与 x 轴交于点 A(－2,0)和点 8
QF QD 2m 5 x
在 Rt△DFM 中，由勾股定理，得 (4m)2 42 (3 x)2 ．
联立 x 3m 和 (4m)2 42 (3 x)2 ，消去 m，整理，得11x2 58x 75 0 ． 2m 5 x
解得 x＝ 25 ．此时 BF＝6－x＝ 41 ．
11
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③如图 8，当 FQ＝FC＝x 时，DE＝DQ＝3m．
图2
（3）因为△APM 是直角三角形，如果△BPN 与△APM 相似，那么△BPN 也是直角三
角形．
由于∠BPN＝∠APM＝∠ABO 为定值，所以存在两种情况：
①如图 3，当∠BNP＝90°时，BN//x 轴．所以 yN＝yB＝2．
解方程 4 m2 10 m 2 2 ，得 m 5 ，或 m 0 （舍去）．此时 M (5 , 0) ．
33
2
2
②如图 4，当∠NBP＝90°时，作 NH⊥y 轴于 H，那么△NHB∽△BOA．
所以 NH BO 2 ．所以 NH 2 BH ．
BH AO 3
3
解方程 m 2 ( 4 m2 10 m) ，得 m 11 ，或 m 0 （舍去）．此时 M (11, 0) ．．
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精品解析：上海市崇明县2018年中考数学一模试卷(解析版)
2018年上海市崇明县中考数学一模试卷一、选择题1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】由勾股定理，得AC=，由正切函数的定义，得tanA=，故选：A．2. 抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（）A. （3，4）B. （3，﹣4）C. （﹣3，4）D. （﹣3，﹣4）【答案】 D【解析】∵y=2（x+3）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），故选：D．3. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，，则EC的长是（）A. 4.5B. 8C. 10.5D. 14【答案】 B【解析】∵DE∥BC，∴．∵AE＝6，∴，∴AC＝14．∴EC＝8．故选B．4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】 B【解析】试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选B．考点：1.平行四边形的性质;2.相似三角形的判定和性质.视频5. 已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】 D【解析】∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，又∵5﹣2=3，∴两圆的位置关系是内切．故选：D．点睛：本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，AC=10，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，那么EF的长为（）A. B. C. D.【答案】 C【解析】试题解析：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵∠DAE=∠HAE，AE=AE，∠ADE=∠AHE，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∵AC===10，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴，即，解得：DF=，则EF=DF﹣DE=﹣2=，故选C．二、填空题7. 已知2x=3y（y≠０），那么=_____．【答案】【解析】试题解析：∵2x=3y，∴，∴．故答案为：．8. 计算：=_____．【答案】【解析】=。
崇明区初三一模中考数学测试卷
崇明区2018学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意：1. 本试卷含三个大题，共25题2. 务必按答题要求在答题纸规定位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂的答题纸的相应位置上】 1. 如果23x y =，那么xy的值为( ) A.23B.32C.53D.252. 在Rt △ABC 中，如果090C ∠=，那么ACBC表示A ∠的( )A.正弦B.正切C.余弦D.余切3. 已知二次函数2y ax bx =+的图像如图所示，那么的a 、b 符号为( )A.0,0;a b >>B.0,0;a b <>C.0,0;a b ><D.0,0;a b <<4. 如图，如果BAD CAE ∠=∠，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC ∽△ADE 的是( )A.B D ∠=∠B.C AED ∠=∠C.AB DEAD BC=D.AB ACAD AE =（第3题图） （第4题图） 5. 已知向量a 和b 都是单位向量，那么下列等式成立的是( )A.a b =B.2a b +=C.0a b -=D.a b =CBEDAOxy6. 如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径1r >，那么这两个圆的位置关系不可能是( )A. 内含B. 内切C. 外离D. 相交二、填空题（本大题共12 题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】 7. 化简：3322a a b ⎛⎫--= ⎪⎝⎭___________.8. 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且1a cm =，4c cm =，那么b =___________cm . 9. 在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点()4,3A ，如果AO 与y 轴正半轴的夹角为α，那么cos α=___________.10. 如果一个正六边形的半径为2，那么这个正六边形的周长为___________. 11. 如果两个相似三角形的周长比为4:9，那么它们的面积比为___________.12. 已知线段AB 的长为10厘米，点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么线段AC 的长为___________厘米.13. 已知抛物线()214y x =--，那么这条抛物线的顶点坐标为___________.14. 已知二次函数22y x =--，那么它的图像在对称轴的___________部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）.15. 已知△ABC 中，090ACB ∠=，6AC =，8BC =，G 为△ABC 的重心，那么CG =___________.16. 如图，正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上，已知6BC =，△ABC 的高3AH =，则正方形的DEFG 边长为___________.（第16题图） （第18题图）17. 已知Rt △ABC 中，090ACB ∠=，10AB =，8AC =，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有唯一的公共点，那么C 的半径R 的取值范围为___________.CBMADHGFEDCBA18. 如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点.例如，如图的四边形ABCD 中，点M 在边CD 上，连结AM 、BM ，090AMB ∠=，则点M 为直角点.若点E 、F 分别为矩形ABCD 边AB 、CD 上的直角点，且5AB =，6BC =，则线段EF 的长为___________.三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 计算：2tan30cos 45cot 30sin 602cos30-+．20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，且23DE BC =．（1）如果AC=6，求AE 的长；（2）设AB a =，AC b =，求向量DE （用向量a 、b 表示）．21．（本题满分10分，每小题各5分）已知：如图，AO 是O 的半径，AC 为O 的弦，点F 为AC 的中点，OF 交AC 于点E ，AC=8，EF=2． （1）求AO 的长；（2）过点C 作CD ⊥AO ，交AO 延长线于点D ，求sin ∠ACD 的值．（第20题图）（第21题图）E DCBAC EFOA安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知集热管AE 与支架BF 所在直线相交于水箱横截面O 的圆心O ，O 的半径为0.2米，AO 与屋面AB 的夹角为32°，与铅垂线OD 的夹角为40°，BF ⊥AB ，垂足为B ，OD ⊥AD ，垂足为D ，AB=2米． （1）求支架BF 的长； （2）求屋面AB 的坡度．（参考数据：tan18°≈13，tan32°≈3150，tan40°≈2125）23. （本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，E 是AC 上一点，点G 在BE 上，联结DG 并延长交AE 于点F ，∠BGD=∠BAD=∠C ． （1）求证：BD BC BG BE ；（2）如果∠BAC=90°，求证：AG ⊥BE ．（第23题图）（第22题图）FEBDAO GF DECAB如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数26y ax bx =++（a 、b 都是常数，且 a <0）的图像与x 轴交于点(2,0)A -、(6,0)B ，顶点为点C . （1） 求这个二次函数的解析式及点C 的坐标；（2） 过点B 的直线132y x =-+交抛物线的对称轴于点D ，联结BC ，求∠CBD 的余切值；（3） 点P 为抛物线上一个动点，当∠PBA =∠CBD 时，求点P 的坐标.CxBAOy25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，AD ⊥BC ，垂足为D ，点P 是边AB 上的一个动点，过点P 作PF ∥AC 交线段BD 于点F ，作PG ⊥AB 交AD 于点E ，交线段CD 于点G ，设BP =x .（1）用含x 的代数式表示线段DG 的长；（2）设△DEF 的面积为 y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域； （3）△PEF 能否为直角三角形？如果能，求出BP 的长；如果不能，请说明理由.CGD F EBPA参考答案一、选择题 1、B2、D3、A4、C5、D6、C二、填空题7、1322a b + 8、2 9、3510、12 11、16:8112、555- 13、()1,4- 14、右侧 15、10316、2 17、68R <≤或245R = 18、6或7 三、解答题19、5320、（1）4；（2）2233a b -+21、（1）5；（2）4522、（1）1.04米；（2）1:3 23、（1）证明略；（2）证明略24、（1）21262y x x =-++，()2,8C ；（2）43；（3）757,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭或139,28⎛⎫- ⎪⎝⎭25、（1）533DG x =-；（2）23129274408y x x =-+-（9552x <<）；（3）能，12557或9043。
∥3套精选试卷∥上海市崇明县2017-2018中考数学第一次阶段模拟试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为( )A．72072054848x-=+B．72072054848x+=+C．720720548x-=D．72072054848x-=+【答案】D【解析】因客户的要求每天的工作效率应该为：（48+x）件，所用的时间为：72048x+，根据“因客户要求提前5天交货”，用原有完成时间72048减去提前完成时间72048x+，可以列出方程：7207205 4848x-=+．故选D．2．已知一次函数y=kx+b的图象如图，那么正比例函数y=kx和反比例函数y=bx在同一坐标系中的图象的形状大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：如图所示，由一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，可得k＞1，b＜1．因此可知正比例函数y=kx的图象经过第一、三象限，反比例函数y=bx的图象经过第二、四象限．综上所述，符合条件的图象是C选项．故选C．考点：1、反比例函数的图象；2、一次函数的图象；3、一次函数图象与系数的关系3．如果关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负数解，且关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩无解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣2B ．0C ．1D ．3【答案】B 【解析】解关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，结合解集无解，确定a 的范围，再由分式方程1311a x x x --=++有负数解，且a 为整数，即可确定符合条件的所有整数a 的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y 的不等式组2()43412a y y y y ---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，可整理得242y a y +⎧⎨<-⎩ ∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵1311a x x x --=++得x ＝42a - 而关于x 的分式方程1311a x x x --=++有负数解 ∴a ﹣4＜1∴a ＜4于是﹣3≤a ＜4，且a 为整数∴a ＝﹣3、﹣2、﹣1、1、1、2、3则符合条件的所有整数a 的和为1．故选B ．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．4．如图，AB 为O 的直径，,C D 为O 上两点，若40BCD ∠︒＝，则ABD ∠的大小为（ ）．A ．60°B ．50°C ．40°D ．20°【答案】B 【解析】根据题意连接AD ，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的ABD ∠的大小.【详解】解：连接AD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒．∵40BCD ∠=︒，∴40A BCD ∠=∠=︒，∴904050ABD ∠=︒-︒=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.5．如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成 一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为A ．6cmB ．35cmC ．8cmD ．53【答案】B 【解析】试题分析：∵从半径为9cm 的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形， ∴留下的扇形的弧长=()2293π⨯=12π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r=122ππ=6cm ， ∴圆锥的高为2296-=35cm故选B.考点: 圆锥的计算．6．若△ABC 与△DEF 相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（ ）A ．2：3B ．3：2C ．4：9D ．9：4【答案】C【解析】由△ABC 与△DEF 相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．【详解】∵△ABC 与△DEF 相似，相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：1．故选C ．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．7．在如图的2016年6月份的日历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是( )A ．27B ．51C ．69D ．72【答案】D 【解析】设第一个数为x ，则第二个数为x+7，第三个数为x+1．列出三个数的和的方程，再根据选项解出x ，看是否存在．解：设第一个数为x ，则第二个数为x+7，第三个数为x+1故三个数的和为x+x+7+x+1=3x+21当x=16时，3x+21=69；当x=10时，3x+21=51；当x=2时，3x+21=2．故任意圈出一竖列上相邻的三个数的和不可能是3．故选D ．“点睛“此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（―1，2）B．（―9，18）C．（―9，18）或（9，―18）D．（―1，2）或（1，―2）【答案】D【解析】试题分析：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似，∴△ ABO∽△A′B′O且OA'OA＝13.∴A EAD＝0E0D＝13.∴A′E＝13AD＝2，OE＝13OD＝1.∴A′（－1,2）.同理可得A′′（1,―2）.方法二：∵点A（―3，6）且相似比为13，∴点A的对应点A′的坐标是（―3×13，6×13），∴A′（－1,2）.∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称，∴A′′（1,―2）.故答案选D.考点：位似变换.9．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（）A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/hC．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h【答案】C【解析】甲的速度是：20÷4=5km/h；乙的速度是：20÷1=20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，故选C．10．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是A．B．C．D．【答案】C【解析】分三段讨论：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小；②相遇后向相反方向行驶至特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加；③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大；结合图象可得C选项符合题意．故选C．二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为________m.【解析】试题分析：利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度即可． 解：∵同一时刻物高与影长成正比例．设旗杆的高是xm ．∴1.6：1.2=x ：9∴x=1．即旗杆的高是1米．故答案为1．考点：相似三角形的应用．12．已知二次函数21y ax bx c =++与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -，()8,2.B 如图所示，则能使12y y >成立的x 的取值范围是______．【答案】x<-2或x>1【解析】试题分析：根据函数图象可得：当12y y 时，x ＜－2或x ＞1．考点：函数图象的性质13．已知一个多边形的每一个内角都是144，则这个多边形是_________边形.【答案】十【解析】先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷外角的度数计算即可．【详解】解：180°﹣144°=36°，360°÷36°=1，∴这个多边形的边数是1．故答案为十．【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．14．把小圆形场地的半径增加5米得到大圆形场地，此时大圆形场地的面积是小圆形场地的4倍，设小圆形场地的半径为x 米，若要求出未知数x ，则应列出方程 （列出方程，不要求解方程）．【答案】π（x+5）1=4πx 1．【解析】根据等量关系“大圆的面积=4×小圆的面积”可以列出方程．【详解】解：设小圆的半径为x 米，则大圆的半径为（x+5）米，根据题意得：π（x+5）1=4πx 1，故答案为π（x+5）1=4πx 1.本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，本题等量关系比较明显，容易列出．15．因式分解：2xy 4x -= ．【答案】．【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式x 后继续应用平方差公式分解即可：()()()22xy 4x x y 4x y 2y 2-=-=+-． 16．函数y=2+1-1x x 中自变量x 的取值范围是___________． 【答案】x≥﹣12且x≠1 【解析】试题解析：根据题意得：2+10{-10x x ≥≠ 解得：x≥﹣12且x≠1. 故答案为：x≥﹣12且x≠1. 17．已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是 ．【答案】1．【解析】试题分析：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=1，答：它的周长是1，故答案为1．考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．18．因式分解：3x 3﹣12x=_____．【答案】3x （x+2）（x ﹣2）【解析】先提公因式3x ，然后利用平方差公式进行分解即可．【详解】3x 3﹣12x=3x （x 2﹣4）=3x （x+2）（x ﹣2），故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，△BAD 是由△BEC 在平面内绕点B 旋转60°而得，且AB ⊥BC ，BE ＝CE ，连接DE ．求证：△BDE ≌△BCE ；试判断四边形ABED 的形状，并说明理由．【答案】证明见解析.【解析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；（2）根据（1）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，证得四边形ABED 为菱形．【详解】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，∵AB⊥EC，∴∠ABC=90°，∴∠DBE=∠CBE=30°，在△BDE和△BCE中，∵DB CBDBE CBE BE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE≌△BCE；（2）四边形ABED为菱形；由（1）得△BDE≌△BCE，∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC，∴BA=BE，AD=EC=ED，又∵BE=CE，∴BA=BE=ED= AD∴四边形ABED为菱形．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．20．“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下：本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为；赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由;成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率.【答案】（1）50，30%；（2）不能，理由见解析；（3）P=2 3【解析】（1）由直方图可知59.5~69.5分数段有5人，由扇形统计图可知这一分数段人占10%，据此可得选手总数，然后求出89.5~99.5这一分数段所占的百分比，用1减去其他分数段的百分比即可得到分数段69.5~79.5所占的百分比；（2）观察可知79.5~99.5这一分数段的人数占了60%，据此即可判断出该选手是否获奖；（3）画树状图得到所有可能的情况，再找出符合条件的情况后，用概率公式进行求解即可. 【详解】（1）本次比赛选手共有（2+3）÷10%=50（人），“89.5～99.5”这一组人数占百分比为：（8+4）÷50×100%=24%，所以“69.5～79.5”这一组人数占总人数的百分比为：1-10%-24%-36%=30%，故答案为50，30%；（2）不能；由统计图知，79.5~89.5和89.5~99.5两组占参赛选手60%，而78＜79.5，所以他不能获奖；（3）由题意得树状图如下由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好选中1男1女的共有8种结果，故P=812=23.【点睛】本题考查了直方图、扇形图、概率，结合统计图找到必要信息进行解题是关键.21．关于x的一元二次方程ax2+bx+1=1．当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【答案】（2）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=2时，x2=x2=﹣2．【解析】分析：（2）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（2）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.22．解不等式组：2(3)47{22x x x x +≤++>并写出它的所有整数解． 【答案】原不等式组的解集为122x -≤<，它的所有整数解为0，1． 【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后写出它的所有整数解即可．【详解】解：()2347{22x x x x +≤++>①②， 解不等式①，得1-2x ≥， 解不等式②，得x ＜2， ∴原不等式组的解集为122x -≤<， 它的所有整数解为0，1．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法．解一元一次不等式组的简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．23．如图，以40m/s 的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系h ＝10t ﹣5t 1．小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？小球飞行时间t 在什么范围时，飞行高度不低于15m ？【答案】（1）小球飞行时间是1s 时，小球最高为10m ；(1) 1≤t≤3.【解析】（1）将函数解析式配方成顶点式可得最值；（1）画图象可得t 的取值．【详解】（1）∵h ＝﹣5t 1+10t ＝﹣5（t ﹣1）1+10，∴当t ＝1时，h 取得最大值10米；答：小球飞行时间是1s 时，小球最高为10m ；（1）如图，由题意得：15＝10t ﹣5t 1，解得：t 1＝1，t 1＝3，由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．先化简，再求值：2221()4244a a a a a a -÷--++，其中a 是方程a 2+a ﹣6=0的解． 【答案】13. 【解析】先计算括号里面的，再利用除法化简原式， 【详解】22214244a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ ， =()()()()222222a a a a a a -++⋅+- ，=2222a a a a a --+⋅- ， =222a a a a-+⋅-， =2a a +， 由a 2+a ﹣6=0，得a=﹣3或a=2，∵a ﹣2≠0，∴a≠2， ∴a=﹣3，当a=﹣3时，原式=32133-+=-． 【点睛】本题考查了分式的化简求值及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算. 25．如图，直线y=kx+2与x 轴，y 轴分别交于点A （﹣1，0）和点B ，与反比例函数y=m x 的图象在第一象限内交于点C （1，n ）．求一次函数y=kx+2与反比例函数y=m x 的表达式；过x 轴上的点D （a ，0）作平行于y 轴的直线l （a ＞1），分别与直线y=kx+2和双曲线y=m x交于P 、Q 两点，且PQ=2QD ，求点D 的坐标．【答案】()1一次函数解析式为22y x =+；反比例函数解析式为4y x =；()()22,0D ． 【解析】(1)根据A （-1,0）代入y=kx+2，即可得到k 的值；（2）把C （1，n ）代入y=2x+2，可得C （1,4），代入反比例函数m y x=得到m 的值； （3）先根据D （a,0），PD ∥y 轴，即可得出P （a,2a+2）,Q(a ，4a ),再根据PQ=2QD ，即可得44222a a a +-=⨯，进而求得D 点的坐标.【详解】（1）把A （﹣1，0）代入y=kx+2得﹣k+2=0，解得k=2，∴一次函数解析式为y=2x+2；把C （1，n ）代入y=2x+2得n=4，∴C （1，4），把C （1，4）代入y=m x得m=1×4=4，∴反比例函数解析式为y=4x；（2）∵PD∥y轴，而D（a，0），∴P（a，2a+2），Q（a，4a），∵PQ=2QD，∴2a+2﹣4a =2×4a，整理得a2+a﹣6=0，解得a1=2，a2=﹣3（舍去），∴D（2，0）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数的解析式.26．凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【答案】（1）1；（3）；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．【解析】试题分析：（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到30﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；（3）由于根据（1）得到x≤1，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；（3）首先把函数变为y==，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．试题解析：（1）设一次购买x只，则30﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=1．答：一次至少买1只，才能以最低价购买；（3）当10＜x≤1时，y=[30﹣0.1（x﹣10）﹣13]x=，当x＞1时，y=（16﹣13）x=4x；综上所述：；（3）y==，①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤1时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当x=46时，y1=303.4，当x=1时，y3=3．∴y1＞y3．即出现了卖46只赚的钱比卖1只赚的钱多的现象．当x=45时，最低售价为30﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．故店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；分类讨论．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（）A．45B．35C．25D．15【答案】B【解析】试题解析：列表如下：∴共有20种等可能的结果，P（一男一女）=123=205．故选B．2．若△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，则这两个三角形的面积比为（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4【答案】C【解析】由△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，根据相似三角形的性质，即可求得答案．【详解】∵△ABC与△DEF相似，相似比为2：3，∴这两个三角形的面积比为4：1．故选C．【点睛】此题考查了相似三角形的性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．3．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】先将抛物线解析式化为顶点式，左加右减的原则即可.【详解】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．【点睛】本题考查二次函数的平移；掌握平移的法则“左加右减”，二次函数的平移一定要将解析式化为顶点式进行；4．将1、2、3、6按如图方式排列，若规定（m、n）表示第m排从左向右第n个数，则（6，5）与（13，6）表示的两数之积是（）A6B．6 C2D3【答案】B【解析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【详解】第一排1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，由此可知：（1，5）表示第1排从左向右第56，（13，1）表示第13排从左向右第1个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，第13排是奇数排，最中间的也就是这排的第7个数是1，那么第16，则（1，5）与（13，1）表示的两数之积是1．故选B．5．一、单选题在反比例函数4yx的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据反比例函数kyx=中k的几何意义，过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可．【详解】解：A、图形面积为|k|=1；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（12|k|）=1．故选B．【点睛】主要考查了反比例函数kyx=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．6．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9【答案】D【解析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解: 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，A 、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为35，不符合题意；B 、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为12，不符合题意； C 、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为14，不符合题意； D 、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为13，符合题意，故选D ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A ．2.5×10﹣7B ．2.5×10﹣6C ．25×10﹣7D ．0.25×10﹣5 【答案】B【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选B ．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．8．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<< 【答案】D【解析】先求出点M 到x 轴、y 轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵点M 的坐标是（4，3），∴点M 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是4，∵点M （4，3），以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，∴r 的取值范围是3＜r ＜4，故选：D ．本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键． 9．下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（ ）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙【答案】B 【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC 全等，甲与△ABC 不全等．详解：乙和△ABC 全等；理由如下：在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ，所以乙和△ABC 全等；在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ，所以丙和△ABC 全等；不能判定甲与△ABC 全等；故选B ．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．若一次函数y ＝（2m ﹣3）x ﹣1+m 的图象不经过第三象限，则m 的取值范图是（ ）A ．1＜m ＜32 B ．1≤m ＜32 C ．1＜m≤32 D ．1≤m≤32【答案】B【解析】根据一次函数的性质，根据不等式组即可解决问题；【详解】∵一次函数y=（2m-3）x-1+m 的图象不经过第三象限， ∴23010m m ＜-⎧⎨-+≥⎩， 解得1≤m ＜32． 故选：B ．【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二、填空题（本题包括8个小题）11．已知a ，b ，c ，d 是成比例的线段，其中3cm a =，2cm b =，6cm c =，则d =_______cm ．【解析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【详解】已知a，b，c，d是成比例线段，根据比例线段的定义得：ad＝cb，代入a＝3，b＝2，c＝6，解得：d＝4，则d＝4cm．故答案为：4【点睛】本题主要考查比例线段的定义．要注意考虑问题要全面．12．设[x)表示大于x的最小整数，如[3)=4,[−1.2)=−1，则下列结论中正确的是______ .(填写所有正确结论的序号)①[0)=0；②[x)−x的最小值是0；③[x)−x的最大值是0；④存在实数x，使[x)−x=0.5成立．【答案】④【解析】根据题意[x)表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案．【详解】①[0)=1，故本项错误；②[x)−x>0，但是取不到0，故本项错误；③[x)−x⩽1，即最大值为1，故本项错误；④存在实数x，使[x)−x=0.5成立，例如x=0.5时，故本项正确．故答案是：④．【点睛】此题考查运算的定义，解题关键在于理解题意的运算法则.13．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__________．【答案】5 2【解析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【详解】设AP ，EF 交于O 点，∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ∥AD,AB ∥CD.∵PE ∥BC,PF ∥CD ，∴PE ∥AF,PF ∥AE.∴四边形AEFP 是平行四边形．∴S △POF=S △AOE.即阴影部分的面积等于△ABC 的面积．∵△ABC 的面积等于菱形ABCD 的面积的一半，菱形ABCD 的面积=12AC ⋅BD=5， ∴图中阴影部分的面积为5÷2=52． 14．不等式1253x ->的解集是________________ 【答案】7<-x【解析】首先去分母进而解出不等式即可.【详解】去分母得，1-2x>15移项得，-2x>15-1合并同类项得，-2x>14系数化为1，得x<-7.故答案为x<-7.【点睛】此题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．15．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE ∥BC ，已知AD ＝2，DB ＝4，DE ＝1，则BC ＝_____．。
{3套试卷汇总}2017-2018上海市崇明县九年级质量调研数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图,E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点,且BE:AB=2：3,△BEF的面积为4,则平行四边形ABCD 的面积为()A．30 B．27 C．14 D．32【答案】A【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED，∴22 BEF BEFCDF AEDS SBE BES CD S AE∆∆∆∆⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，∵BE：AB=2：3，AE=AB+BE，∴BE：CD=2：3，BE：AE=2：5，∴44925BEF BEFCDF AEDS SS S∆∆∆∆==，，∵S△BEF=4，∴S△CDF=9，S△AED=25，∴S四边形ABFD=S△AED-S△BEF=25-4=21，∴S平行四边形ABCD=S△CDF+S四边形ABFD=9+21=30，故选A.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，熟记相似三角形的面积等于相似比的平方是解题的关键.2．如图，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC，若∠A=60°，∠ADC=85°，则∠C的度数是（）A．25°B．27.5°C．30°D．35°【答案】D【解析】分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案．详解：∵∠A=60°，∠ADC=85°，∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，∴∠AOC=2∠B=50°，∴∠C=180°-95°-50°=35°故选D．点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出∠AOC度数是解题关键．3．已知a为整数，且3<a<5，则a等于()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】直接利用3，5接近的整数是1，进而得出答案．【详解】∵a为整数，且3<a<5，∴a=1．故选：B．【点睛】考查了估算无理数大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．4．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【答案】C【解析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=cx图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．6．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（）A．54°B．64°C．27°D．37°【答案】C【解析】由∠AOC＝126°，可求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠CDB的度数．【详解】解：∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝12∠BOC＝27°故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．若抛物线y＝x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x＝1时，y有最大值为0D．抛物线的对称轴是直线x＝3 2【答案】D【解析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，A选项错误；B、由抛物线与y轴的交点坐标可得出c值，进而可得出抛物线的解析式，令y=0求出x值，由此可得出抛物线与x轴的交点为（1，0）、（1，0），B选项错误；C、由抛物线开口向上，可得出y无最大值，C选项错误；D、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线x=-32，D选项正确．综上即可得出结论．【详解】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，A选项错误；B、∵抛物线y=x1-3x+c与y轴的交点为（0，1），∴c=1，∴抛物线的解析式为y=x1-3x+1．当y=0时，有x1-3x+1=0，解得：x1=1，x1=1，∴抛物线与x轴的交点为（1，0）、（1，0），B选项错误；C、∵抛物线开口向上，∴y无最大值，C选项错误；D、∵抛物线的解析式为y=x1-3x+1，∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a =-321=32，D选项正确．故选D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键．8．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．9．某青年排球队12名队员年龄情况如下：年龄18 19 20 21 22人数 1 4 3 2 2则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A．20，19 B．19，19 C．19，20.5 D．19，20【答案】D【解析】先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解．【详解】这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19，中位数为20202=1．故选D．【点睛】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义．10．共享单车已经成为城市公共交通的重要组成部分，某共享单车公司经过调查获得关于共享单车租用行驶时间的数据，并由此制定了新的收费标准：每次租用单车行驶a小时及以内，免费骑行；超过a小时后，每半小时收费1元，这样可保证不少于50%的骑行是免费的．制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】B【解析】根据需要保证不少于50%的骑行是免费的，可得此次调查的参考统计量是此次调查所得数据的中位数.【详解】因为需要保证不少于50%的骑行是免费的，所以制定这一标准中的a的值时，参考的统计量是此次调查所得数据的中位数，故选B．【点睛】本题考查了中位数的知识，中位数是以它在所有标志值中所处的位置确定的全体单位标志值的代表值，不受分布数列的极大或极小值影响，从而在一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。
上海市崇明县2018年中考数学一模试卷(解析版)
2018年上海市崇明县中考数学一模试卷一、选择题1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【答案】A【解析】由勾股定理，得AC =224AB BC -=，由正切函数的定义，得tanA=34BC AC =， 故选A ．2. 抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（ ）A. （3，4）B. （3，﹣4）C. （﹣3，4）D. （﹣3，﹣4）【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的顶点式为：y=a （x-h ）²+k （a≠0），其中顶点坐标为（h ，k ）.【详解】∵y =2（x +3）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4），故选D ． 3. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，已知AE=6，AD 3DB 4=，则EC 的长是 A. 4.5B. 8C. 10.5D. 14【答案】B【解析】∵DE∥BC，∴AE ADEC DB=．又∵AE=6，AD3DB4=，∴63EC8EC4=⇒=．故选B．4. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A. 3：4B. 9：16C. 9：1D. 3：1【答案】B【解析】【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选B．5. 已知两圆的半径分别为2、5，且圆心距等于3，则两圆位置关系是（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】【分析】【详解】∵两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，又∵5﹣2=3，∴两圆的位置关系是内切．故选D．【点睛】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．6. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E 作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（）A. 52B.83C.103D.154【答案】C【解析】【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF∽△ABC可得DF=163，据此得出EF=DF-DE=103.【详解】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵DAE HAE AE AEADE AHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DAE≌△HAE（AAS），∴AD=AH，同理△CGE ≌△CHE ，∴CG=CH ，设BD=BG=x ，则AD=AH=6-x 、CG=CH=8-x ，∵AC=22226810AB BC ，∴6-x+8-x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF ∥BC ，∴△ADF ∽△ABC ，∴AD DF AB BC =，即468DF =， 解得：DF=163， 则EF=DF-DE=163-2=103， 故选C.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题7. 已知 ()2x 3y y 0=≠，那么x y y+=________． 【答案】52【解析】【分析】由已知得出比例式，表示出x ，y ，代入解答即可．【详解】由2x=3y （y≠0），可得：x y ＝32， 所以x y y +＝232+＝52， 故答案52【点睛】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键． 8. 计算：13()(2)22a b a b --- =_____．【答案】a b -+【解析】13222a b a b ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13222a b a b --+ =a b -+故答案为: a b -+.9. 如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3km 的两地在地图上的图距是_________cm ．【答案】6【解析】【分析】设两地在地图上的图距是xcm ，然后根据比例尺的定义，即可得到方程，解此方程即可求得答案，【详解】解：设两地在地图上的图距是xcm ，根据题意得：1:,30000050000=x ∴x=6cm故答案为：6．【点睛】此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．10. 如果抛物线y=（a+1）x 2﹣4有最高点，那么a 的取值范围是_____．【答案】1a <-【解析】试题解析：∵抛物线()214y a x =+-有最高点， ∴a+1＜0，即a ＜-1．故答案为a ＜-1．11. 抛物线y ＝2x 2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为_____．【答案】y=2（x+2）2+4【解析】试题解析：∵二次函数解析式为y=2x 2+4，∴顶点坐标（0，4）向左平移2个单位得到的点是（-2，4），可设新函数的解析式为y=2（x-h ）2+k ，代入顶点坐标得y=2（x+2）2+4，故答案为y=2（x+2）2+4．点睛：函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 12. 已知点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是抛物线y=2（x ﹣3）2+5上的两点，如果x 1＞x 2＞4，那么y 1_____y 2．（填“＞”、“=”或“＜”）【答案】＞【解析】【分析】【详解】∵y =2（x ﹣3）2+5，∴a =2＞0，有最小值为5，∴抛物线开口向上，∵抛物线y =2（x ﹣3）2+5对称轴为直线x =3，∵x 1＞x 2＞4，∴y 1＞y 2．故答案为＞【点睛】本题考察了二次函数的图像和性质，当a >0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当a <0时，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小.13. 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为点D，如果AC=6，AB=8，那么AD的长度为_____．【答案】4.8【解析】【分析】【详解】∵∠BAC=90°，AB=8，AC=6，∴BC=22AB AC+=10，∵AD⊥BC，∴6×8=AD×10，解得：AD=4.8．故答案为4.8．14. 已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA的长度为_____．3【解析】【分析】【详解】延长AG交BC于D，∵G是三角形的重心，∴AD⊥BC，BD=DC=12BC=32，由勾股定理得，AD2233AB BD=-，∴GA=23AD33．【点睛】本题考查了三角形重心的性质，等边三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1是解答本题的关键.15. 正八边形的中心角为______度．【答案】45°【解析】【分析】运用正n 边形的中心角的计算公式360n︒计算即可. 【详解】解：由正n 边形的中心角的计算公式可得其中心角为360458︒=︒， 故答案为45°. 【点睛】本题考查了正n 边形中心角的计算.16. 如图，一个斜坡长 130 m ，坡顶离水平地面的距离为 50 m ，那么这个斜坡的坡度为________．【答案】1：2.4【解析】试题解析：如图，在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=130m ，BC=50m ， ∴2222=13050AB BC --，∴tan∠BAC=50512012 BCAC==．17. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（-2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是_____________.【答案】(-1,1)【解析】试题解析：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，即圆心的坐标是（-1，1），18. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，连接CF.若AC＝8，AB＝10，则CD的长为__【答案】23 8【解析】分析：由对称性可知CF⊥DE，可得∠CDE=∠ECF=∠B，得出CF=BF，同理可得CF=AF，由此可得F是AB的中点，求得CF=5，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2=CD×CA，进而得出CD的长．详解：由对称性可知CF⊥DE，又∵∠DCE=90°，∴∠CDE=∠ECF=∠B，∴CF=BF，同理可得CF=AF ，∴F 是AB 的中点， ∴CF=12AB=5， 又∵∠DFC=∠ACF=∠A，∠DCF=∠FCA，∴△CDF∽△CFA，∴CF 2=CD×CA，即52=CD×8， ∴CD=258. 故答案是：258. 点睛：考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F 是AB 的中点．三、解答题19. 计算：000tan 45cot 302sin 45-﹣3sin60°+2cos45°．【答案】【解析】【分析】同类二次根式化简. 【详解】解：000tan45cot302sin45-﹣3sin60°+2cos45°32-+= 20. 如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ，已知5AD =，4BD =． （1）求BC 的长度；（2）如果AD a =，AE b =，那么请用a 、b 表示向量CB ．【答案】（1）365；（2）9955CB a b =- 【解析】 试题分析：（1）由BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，ED ∥BC ，可证得BD=DE ，DE AD BC AB =，从而可求出结论；（2）由ED BC ，得5=9DE AD BC AB =.故95BC DE = 又ED 与CB 同向，所以95CB ED =，由AD a =，AE b =得ED a b =-，因此9955CB a b =- 试题解析：（1）∵BE 平分ABC ∠，∴ABE CBE ∠=∠.∵ED BC ，∴DEB CBE ∠=∠.∴ABE DEB ∠=∠.∴4BD DE ==.∵ED BC ，∴DE AD BC AB=. 又∵5AD =，4BD =，∴9AB =，∴459BC =，∴365BC =. （2）∵ED BC ， ∴5=9DE AD BC AB =. ∴95BC DE = 又∵ED 与CB 同向∴95 CB ED=∵AD a=，AE b=∴ED a b=-∴9955 CB a b=-21. 如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，CE=2．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【答案】（1）AB=4；（2）⊙O433【解析】试题分析：（1）由CD AB⊥，AO BC⊥得AFO CEO∠=∠，AOF COE∠=∠，结合AO CO=可证AOF COE≌.从而AF=CE，故可求得AB的长；（2）由垂径定理得BE=CE，故BE=12AB，从而∠A=30°，在直角三角形AFO中即可求出AO的值.试题解析：（1）∵CD AB⊥，AO BC⊥∴90AFO CEO∠=∠=︒在AOF COE和中AFO CEOAOF COEAO CO∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOF COE≌∴CE AF=∵2CE=,∴2AF=∵CD是O的直径，CD AB⊥∴12AF BF AB==∴4AB =.（2） ∵AO 是O 的半径，AO BC ⊥, ∴2CE BE ==,∵4AB =, ∴12BE AB =. ∵90AEB ∠=︒，∴30A ∠=︒.又∵90AFO ∠=︒∴23AF CosA AO AO === ∴433AO = 即O 的半径是433. 22. 如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处．一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km 到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】35km【解析】【分析】过点C 作CH ⊥AD 于H ．.构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.【详解】解：如图，过点C 作CH ⊥AD 于H ．.设CH xkm =.Rt ACH ∆中，37A ︒∠=， ∵tan 37CH AH︒=， ∴tan 37tan 37CH x AH ︒︒==. 在Rt CEH ∆中，45CEH ︒∠=， ∵tan 45CH EH︒=， ∴tan 45CH EH x ︒==. ∵,CH AD BD AD ⊥⊥，∴90AHC ADB ︒∠=∠=.∴//HC DB . ∴AH AC HD CB=. 又C 为AB 的中点，∴AC CB =.∴AH HD =. ∴5tan 37x x ︒=+. ∴5tan 3750.75151tan 3710.75x ︒︒⨯⨯=≈=--. ∴151535(km)tan 37AE AH HE ︒=+=+≈. 因此，E 处距离港口A 大约为35km.点睛：本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．23. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF ⊥DE ，垂足为F ，BF 交边DC于点G．（1）求证：GD•AB=DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB=45°．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先证明△BGC∽△DGF，然后根据相似三角形的性质列比例式整理即可；（2）连接BD、CF，由△BGC∽△DGF，可得BG CGDG FG=,变形得BG DGCG FG=，可证△BGD∽△CGF，从而∠BDG=∠CFG，再根据正方形的性质求出∠BDG即可.【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∴∠BCD=∠GFD，∵∠BGC=∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴BG BC DG DF=，∴DG•BC=DF•BG，∵AB=BC，∴DG•AB=DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC ∽△DGF ， ∴BG CG DG FG =， ∴BG DG CG FG =， 又∵∠BGD=∠CGF ， ∴△BGD ∽△CGF ，∴∠BDG=∠CFG ，∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线， ∴1BDG ADC 452︒∠=∠=， ∴∠CFG=45°． 24. 如图，抛物线y=–43x 2+bx+c 过点A （3，0），B （0，2）．M （m ，0）为线段OA 上一个动点（点M 与点A 不重合），过点M 作垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ．（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P 是MN 的中点，那么求此时点N 的坐标； （3）如果以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x =-+ ，2410233y x x =-++；（2）110(,)23N ；（3）5(,0)2M 【解析】【分析】 （1）运用待定系数法求解即可；（2）设2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭得2443NP m m =-+223PM m =-+ ,再由点坐标公式得出方程，求解即可；（3）分两种情况进行讨论即可得解.【详解】（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+（0k ≠）∵()3,0A ，()0,2B∴302k b b +=⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为223y x =-+ ∵抛物线243y x bx c =-++经过点()3,0A ，()0,2B ∴493032b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴2410233y x x =-++ （2）∵MN x ⊥轴， (),0M m ∴设2410,233N m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∴2443NP m m =-+， 223PM m =-+ ∵P 点是MN 的中点∴NP PM = ∴2424233m m m -+=-+ 解得112m =，23m =（不合题意，舍去） ∴110,23N ⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）∵()3,0A ，()0,2B ， 2,23P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴AB =BP =∴AP = ∵BPN APM ∠=∠∴当BPN △与APM △相似时，存在以下两种情况： ①BP PM PN PA=∴213223341341333m m m m m -+=-+- 解得118m = ∴11,08M ⎛⎫⎪⎝⎭ ② BP PA PN PM= ∴213131333424233m m m m m -=-+-+ ,解得52m = ∴点M 的坐标为5,02M ⎛⎫ ⎪⎝⎭25. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，cos A ＝45，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF ⊥DE 交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE ⊥AC 时，求EF 的长； （2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，∠DFE 的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出∠DFE 的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当△CQF 是等腰三角形时，请直接写出BF 的长．【答案】（1）5；（2）不变；（3）4111或3或527117. 【解析】 试题分析：（1）由已知条件易求DE=3，DF=4，再由勾股定理EF=5；（2）过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G ，由（1）可得DH=3，DG=4；再证EDH FDG ∽，即可得出结论；（3）分三种情况讨论即可.（1）∵90ACB ∠=︒，45cosA =∴45AC AB = ∵8AC =∴10AB =∵D 是AB 边的中点∴152AD AB == ∵DE AC ⊥∴90DEA DEC ∠=∠=︒∴45AE cosA AD == ∴4AE =∴844CE =-=∵在Rt AED 中，222AE DE AD +=∴3DE =∵DF DE ⊥∴90FDE ∠=︒又∵90ACB ∠=︒∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC ==∵在Rt EDF 中，222DF DE EF +=∴5EF =（2）不变过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ⊥，DG BC ⊥∴90DHC DGC ∠=∠=︒又∵90ACB ∠=︒，∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG ∠=︒∵90FDE ∠=︒∴HDG HDF EDF HDF ∠-∠=∠-∠ 即EDH FDG ∠=∠ 又∵90DHE DGF ∠=∠=︒∴EDH FDG ∽ ∴34DE DH DF DG == ∵90FDE ∠=︒ ∴34DE tan DFE DF ∠== （3）1° 当QF QC =时，易证90DFE QFC ∠+∠=︒，即90DFC ∠=︒ 又∵90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点 ∴152CD BD AB === ∴132BF CF BC === 2° 当FQ FC =时，易证FQC DEQ DCB ∽∽∵在Rt EDF 中，34DE tan DFE DF ∠== ∴设=3DE k ，则4DF k =，5EF k =当FQ FC =时，易证3DE DQ k ==，∴53CQ k =-∵DEQ DCB ∽∴56DE DC EQ BC == ∴185EQ k =∴75FQ FC k == ∵FQC DCB ∽∴56FQ DC CQ BC == ∴755536k k =- 解得125117k = ∴71251755117117FC =⨯= ∴1755276117117BF =-= 3° 在BC 边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出DK = 当CF CQ =时，易证CFQ EDQ BDK ∽∽ ∴设=3DE k ，则3EQ k =，5EF k =∴2FQ k =∵EDQ BDK ∽∴DE BD DQ DK ==∴DQ =∴5CQ FC == ∵CQF BDK ∽∴CQ BD FQ DK ==∴552k =解得k = ∴2511FC = ∴254161111BF =-=。
2018年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析第24、25题
2018年上海市各区县中考数学一模压轴题图文解析 目录例 2018年上海市崇明县中考一模第24题如图1，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中B (3, 0)，C (0, 4)，点A 在x 轴的负半轴上，OC ＝4OA ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过点P 作PM //BC 交射线AC 于M ，联结CP ，若△CPM 的面积为2，则请求出点P 的坐标．动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模24”，拖动点P 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，有两个时刻，△CPM 的面积为2． 满分解答（1）由C (0, 4)，OC ＝4OA ，得OA ＝1，A (－1, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0, 4)，得4＝－3a ． 解得43a =-．所以244(1)(3)(23)33y x x x x =-+-=---2416(1)33x =--+．顶点坐标为16(1)3，．（2）如图2，设P (m , 0)，那么AP ＝m ＋1． 所以S △CPA ＝12AP CO ⋅＝1(1)42m +⨯＝2m ＋2．由PM //BC ，得CMBPCABA=．又因为CPMCPAS CM S CA=△△，所以S △CPM ＝(22)BP m BA+．①如图2，当点P 在AB 上时，BP ＝3－m ． 解方程3(22)4m m -+＝2，得m ＝1．此时P (1, 0)．②如图3，当点P 在AB 的延长线上时，BP ＝m －3．图2 图3例2018年上海市崇明县中考一模第25题如图1，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点（不与B、C重合），过点E作EF⊥AE交AC、CD于点M、F，过点B作BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）求证：△ABH∽△ECM；＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）设BE＝x，EHEM（3）当△BHE为等腰三角形时，求BE的长．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16崇明一模25”，拖动点E在BC上运动，可以体验到，有三个时刻，△BHE可以成为为等腰三角形．满分解答（1）如图2，因为∠1和∠2都是∠BAC的余角，所以∠1＝∠2．又因为∠BAH和∠CEM都是∠AEB的余角，所以∠BAH＝∠CEM．所以△ABH ∽△ECM ．图2 图3（2）如图3，延长BG 交AD 于N ．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，所以AC ＝10．在Rt △ABN 中，AB ＝6，所以AN ＝AB tan ∠1＝34AB ＝92，BN ＝152．如图2，由AD //BC ，得92AHAN EH BE x==． 由△ABH ∽△ECM ，得68AH AB EM EC x==-．所以y ＝EH EM＝AH AH EM EH ÷＝6982x x ÷-＝12729xx -．定义域是0＜x ＜8．（3）如图2，由AD //BC ，得92NHAN BHBE x ==．所以292BN x BH x+=． 所以215292x BH x =⨯+＝1529xx +． 在△BHE 中，BE ＝x ，cos ∠HBE ＝35，1529xBH x =+． 分三种情况讨论等腰三角形BHE ： ①如图4，当BE ＝BH 时，解方程1529xx x =+，得x ＝3． ②如图5，当HB ＝HE 时，1cos 2BE BH B =⋅∠．解方程11532295x x x =⨯+，得92x =．③如图6，当EB ＝EH 时，1cos 2BH BE B =⋅∠．解方程11532295x x x ⨯=+，得74x =．图4 图5 图6例2018年上海市奉贤区中考一模第24题如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像经过原点和点A(2, 0)，直线AB与抛物线交于点B，且∠BAO＝45°．（1）求二次函数的解析式及顶点C的坐标；（2）在直线AB上是否存在点D，使得△BCD为直角三角形，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模24”，可以体验到，以BC为直径的圆恰好经过点A，直角三角形BCD存在两种情况．满分解答（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于O、A(2, 0)两点，所以y＝x(x－2)＝(x－1)2－1．顶点C的坐标为(1,－1)．（2）如图2，作BH⊥x轴于H．设B(x, x2－2x)．由于∠BAH＝45°，所以BH＝AH．解方程x2－2x＝2－x，得x＝－1，或x＝2．所以点B的坐标为(－1, 3)．图2①∠BDC＝90°．如图3，由A (2, 0)、C (1,－1)，可得∠CAO ＝45°．因此∠BAC ＝90°． 所以当点D 与点A (2, 0)重合时，△BCD 是直角三角形．②∠BCD ＝90°．由A (2, 0)、B (－1, 3)，可得直线AB 的解析式为y ＝－x ＋2． 【解法一】如图4，过点C 作BC 的垂线与直线AB 交于点D ．设D (m ,－m ＋2 )．由BD 2＝BC 2＋CD 2，得(m ＋1)2＋(－m －1)2＝22＋42＋(m －1)2＋(－m ＋3)2．解得73m =．此时点D 的坐标为71(,)33-．【解法二】构造△BMC ∽△CND ，由BMCNMCND=，得4123m m -=-+．解得73m =．图2 图3 图4例 2018年上海市奉贤区中考一模第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，点D 是斜边AB 上任意一点，联结DC ，过点C 作CE ⊥CD ，联结DE ，使得∠EDC ＝∠A ，联结BE ．（1）求证：AC ·BE ＝BC ·AD ；（2）设AD ＝x ，四边形BDCE 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并写出定义域；（3）当S △BDE ＝14S △ABC 时，求tan ∠BCE 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16奉贤一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，△ABC与△DEC保持相似，△ACD与△BCE保持相似，△BDE是直角三角形．满分解答（1）如图2，在Rt△BAC和Rt△EDC中，由tan∠A＝tan∠EDC，得B C E CA C D C=．如图3，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，所以∠1＝∠2．所以△ACD∽△BCE．所以AC BCAD BE=．因此AC·BE＝BC·AD．图2 图3（2）在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝3，所以AC＝4．所以S△ABC＝6．如图3，由于△ABC与△ADC是同高三角形，所以S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB＝x∶5．所以S△ADC＝65x．所以S△BDC＝665x-．由△ADC∽△BEC，得S△ADC∶S△BEC＝AC2∶BC2＝16∶9．所以S△BEC＝916S△ADC＝96165x⨯＝2740x．所以S ＝S 四边形BDCE ＝S △BDC ＋S △BEC ＝6276540x x -+＝21640x -+．定义域是0＜x ＜5．（3）如图3，由△ACD ∽△BCE ，得AC BC ADBE=，∠A ＝∠CBE ．由43x BE=，得BE ＝34x ．由∠A ＝∠CBE ，∠A 与∠ABC 互余，得∠ABE ＝90°（如图4）． 所以S △BDE ＝1133(5)(5)2248BD BE x x x x ⋅=-⨯=--．当S △BDE ＝14S △ABC ＝13642⨯=时，解方程33(5)82x x --=，得x ＝1，或x ＝4．图4 图5 图6作DH ⊥AC 于H ．①如图5，当x ＝AD ＝1时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝35，AH ＝45AD＝45．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝416455-=，所以tan ∠HCD ＝DH CH＝316．②如图6，当x ＝AD ＝4时，在Rt △ADH 中，DH ＝35AD ＝125，AH ＝45AD＝165．在Rt △CDH 中，CH ＝AC －AH ＝164455-=，所以tan ∠HCD ＝DH CH＝3．综合①、②，当S △BDE ＝14S △ABC 时， tan ∠BCE 的值为316或3．例 2018年上海市虹口区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3与x 轴分别交于点A (2, 0)、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，tan ∠CBA ＝12．（1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，△BCE 是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模24”，可以体验到，以BC 为直角边的直角三角形BCE 有2个． 满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx ＋3，得C (0, 3)，OC ＝3． 由tan ∠CBA ＝OC OB＝12，得OB ＝6，B (6, 0)．将A (2, 0)、B (6, 0)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋3，得4230,36630.a b a b ++=⎧⎨++=⎩ 解得14a =，b ＝－2．所以221123(4)144y x x x =-+=--．（2）如图2，顶点D 的坐标为(4,－1)．S 四边形ACBD ＝S △ABC ＋S △ABD ＝1123+2122⨯⨯⨯⨯＝4．（3）如图3，点E 的坐标为(10, 8)或(16, 35)．思路如下：设E 21(,23)4x x x -+．当∠CBE ＝90°时，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，那么2EFBOBFCO==．所以EF ＝2BF ．解方程21232(4)4x x x -+=-，得x ＝10，或x ＝4．此时E (10, 8)．当∠BCE ＝90°时，EF ＝2CF ．解方程21224x x x -=，得x ＝16，或x ＝0．此时E (16, 35)．图2 图3例 2018年上海市虹口区中考一模第25题如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为线段AE 上一点，联结BF 并延长交边AD 于点G ，过点G 作AE 的平行线，交射线DC 于点H ．设AD EFx AB AF==． （1）当x ＝1时，求AG ∶AB 的值；（2）设GDH EBAS S △△＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当DH ＝3HC 时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16虹口一模25”，拖动点B 可以改变平行四边形的邻边比，可以体验到，当菱形ABCD 时，G 是AD 的中点，△GDH 与△EBA 保持相似．还可以体验到，DH ＝3HC 存在两种情况．满分解答（1）如图2，当x ＝1时，AD ＝AB ，F 是AE 的中点． 因为AD //CB ，所以AG ＝BE ＝12BC ＝12AD ＝12AB ．所以AG ∶AB ＝1∶2． （2）如图3，已知AD EF x AB AF ==，设AB ＝m ，那么AD ＝xm ，BE ＝12xm ．由AD //BC ，得BE EFx AG AF==． 所以12BE AG m x==．所以DG ＝12xm m -．图2 图3 图4如图4，延长AE 交DC 的延长线于M ． 因为GH //AE ，所以△GDH ∽△ADM ． 因为DM //AB ，所以△EBA ∽△ADM ． 所以△GDH ∽△EBA ． 所以y ＝GDHEBAS S △△＝2()DG BE ＝2211()()22xm m xm -÷＝22(21)x x -．（3）如图5，因为GH //AM ，所以11()2122DHDG xm m m x HMGA ==-÷=-． 因为DM //AB ，E 是BC 的中点，所以MC ＝AB ＝DC ．DH ＝3HC 存在两种情况：如图5，当H 在DC 上时，35DH HM =．解方程3215x -=，得45x =． 如图6，当H 在DC的延长线上时，3DH HM =．解方程213x -=，得45x =．图5 图6例 2018年上海市黄浦区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－3ax ＋c 与x 轴交于A (－1, 0)、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C (0, 2)．（1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标； （2）求证：∠CAO ＝∠BCO ；（3）点D 是射线BC 上一点（不与B 、C 重合），联结OD ，过点B 作BE ⊥OD ，垂足为△BOD 外一点E ，若△BDE 与△ABC 相似，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D 在射线BC 上运动，可以体验到，当点E 在△BOD 外时，有两个时刻，Rt △BDE 的两条直角边的比为1∶2． 满分解答（1）由y ＝ax 2－3ax ＋c ，得抛物线的对称轴为直线32x =．因此点A (－1, 0)关于直线32x =的对称点B 的坐标为(4, 0)．（2）如图2，因为tan ∠CAO ＝2CO AO=，tan ∠BCO ＝2BO CO=，所以∠CAO ＝∠BCO ．（3）由B (4, 0)、C (0, 2)，得直线BC 的解析式为122y x =-+．设D 1(,2)2x x -+．以∠ABC （∠OBC ）为分类标准，分两种情况讨论：①如图3，当∠OBC ＝∠DBE 时，由于∠OBC 与∠OCB 互余，∠DBE 与∠ODC 互余，所以∠OCB ＝∠ODC ．此时OD ＝OC ＝2．根据OD 2＝4，列方程221+(2)42x x -+=．解得x ＝0，或85x =．此时D 86(,)55．②如图4，当∠OBC ＝∠EDB 时，OD ＝OB ＝4．根据OD 2＝16，列方程221+(2)162x x -+=．解得x ＝4，或125x =-．此时D 1216(,)55-．图2图3 图4例 2018年上海市黄浦区中考一模第25题如图1，已知直线l 1//l 2，点A 是l 1上的点，B 、C 是l 2上的点，AC ⊥BC ，∠ABC ＝60°，AB ＝4，O 是AB 的中点，D 是CB 的延长线上的点，将△DOC 沿直线CO 翻折，点D 与点D ′重合．（1）如图1，当点D 落在直线l 1上时，求DB 的长；（2）延长DO 交直线l 1于点E ，直线OD ′分别交直线l 1、l 2于点M 、N ． ①如图2，当点E 在线段AM 上时，设AE ＝x ，DN ＝y ，求y 关于x 的解析式及定义域；②若△DONAE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模25”，拖动点D 在CB 的延长线上运动，可以体验到，CD ′与AB 保持平行，△BON 与△BDO 保持相似．还可以体验到，有两个时刻DN ＝3． 满分解答（1）如图3，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝4，O 是AB 的中点，所以△OBC 是边长为2的等边三角形．又因为△DOC 与△D ′OC 关于CO 对称，所以∠BCD ′＝120°，CD ′＝CD ．所以AB //D ′C ．当点D ′ 落在直线l 1上时， AD ′//BC ． 所以四边形ABCD ′是平行四边形． 所以CD ′＝BA ＝4．此时BD ＝CD －CB ＝CD ′－CB ＝4－2＝2． 图3（2）①如图4，由于AE //BD ，O 是AB 的中点，所以AE ＝BD ＝x ． 因为AB //D ′C ，所以∠AOM ＝∠2．又因为∠AOM ＝∠BON ，∠2＝∠1，所以∠BON ＝∠1． 又因为∠OBN ＝∠DBO ，所以△BON ∽△BDO ．所以BO BD BN BO =．因此22x x y =+．于是得到24x y x -=．定义域是0＜x ≤2．②在△DON 中，DN当S△DON DN ＝3．有两种情形：情形1，如图4，当D 在BN 上时，DN ＝24x y x-=＝3，解得x ＝1，或x ＝－4．此时AE ＝1．情形2，如图5，当D 在BN 的延长线上时，由BO BD BNBO=，得22xx y =-． 于是得到24x y x -=．当DN ＝24x y x-=＝3时，解得x ＝4，或x ＝－1．此时AE ＝4．图4 图5例 2018年上海市嘉定区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++经过点A (4, 0)、点C (0,－4)，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称．（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求∠ACB 的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （m ＞0），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果∠QPO ＝∠BCO ，求m 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模24”，可以体验到，QO ∶QP ＝OB ∶OC ．满分解答（1）将A (4, 0)、C (0,－4)分别代入212y x bx c =++，得840,4.b c c ++=⎧⎨=-⎩ 解得b ＝－1，c ＝－4．所以2142y x x =--＝1(2)(4)2x x +-＝219(1)22x --．点B 的坐标是(－2, 0)，顶点坐标是9(1,)2-．（2）由A (4, 0)、B (－2, 0)、C (0,－4)，得AC ＝BC ＝AB ＝6，CO ＝4．作BH ⊥AC 于H ．由S△ABC ＝12AB CO ⋅＝12AC BH ⋅．得AB CO BH AC⋅=因此sin ∠ACB ＝BH BC．（3）点P 的坐标可以表示为21(,4)2m m m --． 由tan ∠QPO ＝tan ∠BCO ，得12QO OB QPOC==．所以QP ＝2QO ．解方程212(4)2m m m =--，得m = 图2所以点P 的横坐标m ＝32+．例 2018年上海市嘉定区中考一模第25题如图1，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在AC 边的延长线上，且DB 2＝DC ·DA ．（1）求DC CA的值；（2）如果点E 在线段BC 的延长线上，联结AE ，过点B 作AC 的垂线，交AC 于点F ，交AE 于点G ．①如图2，当CE ＝3BC 时，求BF FG的值；②如图3，当CE ＝BC 时，求BCD BEGS S △△的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“16嘉定一模25”，拖动点E 运动，可以体验到，当CE ＝3BC 时，BD //AE ，BG 是直角三角形ABE 斜边上的中线．当CE ＝BC 时，△ABF ≌△BEH ，AF ＝2EH ＝4CF ． 满分解答（1）如图1，由DB 2＝DC ·DA ，得DB DA DCDB=．又因为∠D 是公共角，所以△DBC ∽△DAB ．所以DB BC CD DA AB BD ==．又因为tan ∠BAC ＝BC AB ＝12，所以12CD BD =，12BD DA =．所以14CD DA =．所以13DC CA =．（2）①如图4，由△DBC ∽△DAB ，得∠1＝∠2． 当BF ⊥CA 时，∠1＝∠3，所以∠2＝∠3．因为13DC CA =，当CE ＝3BC 时，得DC BC CA CE=．所以BD //AE ．所以13BD EA =，∠2＝∠E ．所以∠3＝∠E ．所以GB ＝GE ．于是可得G B 是Rt △ABE 斜边上的中线．所以23BD GA=．所以23BF BD FGGA ==． ②如图5，作EH ⊥BG ，垂足为H ．当CE ＝BC 时，CF 是△BEH 的中位线，BF ＝FH ．设CF ＝m ．由tan ∠1＝tan ∠3＝12，得BF ＝2m ，AF ＝4m ．所以FH ＝2m ，EH ＝2m ，DC ＝1533CA m =．因此422FG AF m HG EH m ===．所以2433FG FH m ==．所以103BG m =．于是5121321102323BCDBEGm m DC BFS S BG EH m m ⨯⋅===⋅⨯△△．图4 图5例 2018年上海市静安区青浦区中考一模第24题如图1，直线121+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，二次函数的图像与y轴相交于点C ，与直线121+=x y 相交于点A 、D ，CD //x 轴，∠CDA ＝∠OCA ．（1）求点C 的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模24”，可以体验到，△AOB 与△COA 相似． 满分解答（1）由121+=x y ，得A (－2, 0)，B (0, 1)．所以OA ＝2，OB ＝1．由于CD //x 轴，所以∠CDA ＝∠1． 又已知∠CDA ＝∠OCA ，所以∠1＝∠OCA ． 由tan ∠1＝tan ∠OCA ，得OB OAOA OC=． 所以122OC=．解得OC ＝4．所以C (0, 4)．（2）因为CD //x 轴，所以y D ＝y C ＝4． 图2 解方程1142x +=，得x ＝6．所以D (6, 4)． 所以抛物线的对称轴为直线x ＝3．因此点A (－2, 0)关于直线x ＝3的对称点为(8, 0)．设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －8)．代入点C (0, 4)，得4＝－16a ． 解得14a =-．所以2113(2)(8)4442y x x x x =-+-=-++．例 2018年上海市静安区青浦区中考一模第25题如图1，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ＝BC ＝10，cos ∠ACB ＝45，点E在对角线AC 上，且CE ＝AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求证：∠DCA ＝∠EBC ；（2）当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果△DFG 是直角三角形，求△AEF 的面积．图1动感体验请打开几何画板文件名“16静安青浦一模25”，拖动点D 运动，可以体验到，直角三角形DFG 存在两种情况． 满分解答（1）如图2，因为AD //BC ，所以∠DAC ＝∠ECB ．又因为AC ＝CB ，AD ＝CE ，所以△ADC ≌△CEB ．所以∠DCA ＝∠EBC ． （2）如图3，作EH ⊥BC 于H ．在Rt △EHC 中，CE ＝x ，cos ∠ECB ＝45，所以CH ＝45x ，EH ＝35x ．所以S △CEB ＝12BC EH ⋅＝131025x ⨯⨯＝3x ．因为AD //BC ，所以△AEF ∽△CEB ．所以2()AEF CEBS AE S CE=△△． 所以22103(10)()3AEFx x y S x x x--==⨯=△．定义域是0＜x≤5．定义域中x＝5的几何意义如图4，D 、F 重合，根据AD AECBCE=，列方程1010x x x-=．图2 图3 图4（3）①如图5，如果∠FGD ＝90°，那么在Rt △BCG 和Rt △BEH 中，tan ∠GBC ＝335104504xGC HE x GB HB x x===--． 由（1）得∠ACD ＝∠CBE ．由cos ∠ACD ＝cos ∠CBE ，得GC GB CEBC=．所以10GC CExGB BC==． 因此350410x x x =-．解得x ＝5．此时S △AEF ＝23(10)15x y x-==．②如图6，如果∠FDG ＝90°，那么在Rt △ADC 中，AD ＝AC cos ∠CAD ＝4105⨯＝8．此时S △AEF ＝23(10)32x y x -==．图5 图6例2018年上海市闵行区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(3, 0)，与y轴交于点C(0,－3)，点P是直线BC下方的抛物线上的任意一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）联结PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形，求点P的坐标；（3）如果点P在运动过程中，使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模24”，拖动点P在直线BC下方的抛物线上运动，可以体验到，当四边形POP′C为菱形时，PP′垂直平分OC．还可以体验到，当点P 与抛物线的顶点重合时，或者点P 落在以BC 为直径的圆上时，△PCB 是直角三角形． 满分解答（1）将B (3, 0)、C (0,－3)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得930,3.b c c ++=⎧⎨=-⎩． 解得b ＝－2，c ＝－3．所以二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3．（2）如图2，如果四边形POP ′C 为菱形，那么PP ′垂直平分OC ，所以y P＝32-．解方程23232x x --=-，得x =P 的坐标为3)2-．图2 图3 图4（3）由y ＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)＝(x －1)2－4，得A (－1, 0)，顶点M (1,－4)．在Rt △AOC 中，OA ∶OC ＝1∶3．分两种情况讨论△PCB 与△AOC 相似： ①如图3，作MN ⊥y 轴于N ．由B (3, 0)、C (0,－3)，M (1,－4)，可得∠BOC ＝∠MCN ＝45°，所以∠BCM ＝90°．又因为CM ∶CB ＝1∶3，所以当点P 与点M (1,－4)重合时，△PCB ∽△AOC ． ②如图4，当∠BPC ＝90°时，构造△AEP ∽△PFB ，那么CE PF EPFB=．设P (x , x 2－2x －3)，那么22(3)(23)3(23)x x xx x x -----=---．化简，得1(2)1x x --=+．解得x =．此时点P 的横坐标为x =．而2(23)32CB NB x x x CP MP x x---===-++是个无理数，所以当∠BPC ＝90°时，△PCB 与△AOC 不相似．例 2018年上海市闵行区中考一模第25题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠ABC ＝90°，对角线AC 、BD 交于点G ，已知AB ＝BC ＝3，tan ∠BDC ＝12，点E 是射线BC 上任意一点，过点B作BF ⊥DE ，垂足为F ，交射线AC 于点M ，交射线DC 于点H ．（1）当点F 是线段BH 的中点时，求线段CH 的长；（2）当点E 在线段BC 上时（点E 不与B 、C 重合），设BE ＝x ，CM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）联结GF ，如果线段GF 与直角梯形ABCD 中的一条边（AD 除外）垂直时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16闵行一模25”，拖动点E 在射线BC 上运动，可以体验到，点G 是BD 的一个三等分点，CH 始终都有CE 的一半．还可以体验到，GF 可以与BC 垂直，也可以与DC 垂直． 满分解答（1）在Rt △BCD 中，BC ＝3，tan ∠BDC ＝BCDC＝12，所以DC ＝6，DB ＝ 如图2，当点F 是线段BH 的中点时，DF 垂直平分BH ，所以DH ＝DB ＝此时CH ＝DB －DC ＝6．图2 图3（2）如图3，因为∠CBH 与∠CDE 都是∠BHD 的余角，所以∠CBH ＝∠CDE ． 由tan ∠CBH ＝tan ∠CDE ，得CH CECBCD =，即336CH x -=． 又因为CH //AB ，所以CH MCABMA =，即3CH =．因此36x -=)3x y x-=+．x 的取值范围是0＜x ＜3．（3）如图4，不论点E 在BC 上，还是在BC 的延长线上，都有12BG AB GDDC ==，12CH CE =． ①如图5，如果GF ⊥BC 于P ，那么AB //GF //DH ． 所以13BP PF BG BC CH BD ===．所以BP ＝1，111(3)366PF CH CE x ===-．由PF //DC ，得PF PE DC CE =，即12(3)(3)363x x x---=-．整理，得242450x x -+=．解得21x =±21BE =-②如图6，如果GF ⊥DC 于Q ，那么GF //BE ． 所以23QFDQ DG CEDC DB ===．所以DQ ＝4，2(3)3QF x =-．由QF //BC ，得QFQH BCCH=，即21(3)2(3)3213(3)2x x x ---=-． 整理，得223450x x --=．解得34x ±=．此时34BE +=．图4 图5 图6例 2018年上海市浦东新区中考一模第24题如图1，抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋c （a ＞0）与x 轴交于A (－3,0)、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，抛物线的顶点为M ．（1）求a 、c 的值； （2）求tan ∠MAC 的值；（3）若点P 是线段AC 上的一个动点，联结OP ．问：是否存在点P ，使得以点O 、C 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P 在线段AC 上运动，可以体验到，△COP 与△ABC 相似存在两种情况． 满分解答（1）将A (－3,0)、C (0,－3)分别代入y ＝ax 2＋2ax ＋c ，得960,3.a a c c -+=⎧⎨=-⎩ 解得a ＝1，c ＝－3．（2）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4，得顶点M 的坐标为(－1,－4)． 如图2，作MN ⊥y 轴于N ．由A (－3,0)、C (0,－3)、M (－1,－4)，可得OA ＝OC ＝3，NC ＝NM ＝1． 所以∠ACO ＝∠MCN ＝45°，AC ＝MC所以∠ACM ＝90°．因此tan ∠MAC ＝MC AC＝13．（3）由y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋3)(x －1)，得B (1, 0)．所以AB ＝4． 如图3，在△COP 与△ABC 中，∠OCP ＝∠BAC ＝45°，分两种情况讨论它们相似：当CP ABCOAC =时，3CP =CP =P 的坐标为(－2,－1)．当CPACCOAB =时，3CP =．解得CP =．此时点P 的坐标为93(,)44--．图2 图3例2018年上海市浦东新区中考一模第25题如图1，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与A、D不重合），∠EBM＝45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线于点G，交CD 于点M．的值；（1）如图1，联结BD，求证：△DEB∽△CGB，并写出DECG（2）如图2，联结EG，设AE＝x，EG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M为边DC的三等分点时，求S△EGF的面积．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模25”，拖动点E在AD边上运动，可以体验到，△EBD与△GBC保持相似，△EBG保持等腰直角三角形．满分解答（1）如图3，因为∠EBM＝∠DBC＝45°，所以∠1＝∠2．又因为∠EDB＝∠GCB＝45°，所以△DEB∽△CGB．因此DE DB==CG CB图3 图4（2）如图3，由△DEB ∽△CGB ，得EB DB GBCB=．又因为∠EBM ＝∠DBC ＝45°，所以△EBG ∽△DBC （如图4）． 所以△EBG 是等腰直角三角形．如图4，在Rt △ABE 中，AB ＝6，AE ＝x ，所以BE所以y ＝EG．定义域是0＜x ＜6． （3）如图5，由于S △EGB ＝12EG 2＝2364x +，EGFEGBS EFS EB=△△，所以2364EGFEF x S EB +=⨯△． 由（1）知，DE，所以 x ＝AE ＝AD －DE＝6．①如图6，当13CMCD =时，13CG CM AG AB ==．所以1144CG CA ==⨯=．此时x ＝AE＝6＝3．所以3162EF AE BF CB ===．所以13EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝2133634+⨯＝154．②如图7，当23CM CD =时，23CG CM AG AB ==．所以2255CG CA ==⨯=此时x ＝AE＝6＝65．所以61655EF AE BF CB ==÷=．所以16EF EB =．所以2364EGF EF x S EB +=⨯△＝26()361564+⨯＝3925．图5 图6图7第（2）题也可以这样证明等腰直角三角形EBG ： 如图8，作GH ⊥EB 于H ，那么△GBH 是等腰直角三角形．一方面GB CB EBDB=，另一方面cos 45HB GB =︒=GB HB EB GB =．于是可得△EBG ∽△GBH ．所以△EBG 是等腰直角三角形． 如图9，第（2）题也可以构造Rt △EGN 来求斜边EG ＝y ：在Rt △AEN 中，AE ＝x ，所以AN ＝EN ＝2x ．又因为CGDE )x -，所以GN ＝AC －AN －CG ＝所以y ＝EG．如图10，第（2）题如果构造Rt △EGQ 和Rt △CGP ，也可以求斜边EG ＝y ：由于CG )x -，所以CP ＝GP ＝1(6)2x -＝132x -．所以GQ ＝PD ＝16(3)2x --＝132x +，EQ ＝16(3)2x x ---＝132x -．所以y ＝EG．图8 图9 图10例 2018年上海市普陀区中考一模第24题如图1，已知二次函数273y ax x c =-+的图像经过A (0, 8)、B (6, 2)、C (9, m )三点，延长AC 交x 轴于点D ．（1）求这个二次函数的解析式及m 的值； （2）求∠ADO 的余切值；（3）过点B 的直线分别与y 轴的正半轴、x 轴、线段AD 交于点P （点A 的上方）、M 、Q ，使以点P 、A 、Q 为顶点的三角形与△MDQ 相似，求此时点P 的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q 在线段AD 上运动，可以体验到，△APQ 与△MDQ 相似只存在一种情况． 满分解答（1）将A (0, 8)、B (6, 2)分别代入273y ax x c =-+，得8,3614 2.c a c =⎧⎨-+=⎩解得29a =，c ＝8．所以二次函数的解析式为227893y x x =-+．所以227(9)818218593m f x x ==-+=-+=． （2）由A (0, 8)、C (9, 5)，可得直线AC 的解析式为183y x =-+．所以D (24, 0)． 因此cot ∠ADO ＝OD OA＝248＝3．（3）如图2，如果△APQ 与△MDQ 相似，由于∠AQP ＝∠MQD ，∠PAQ 与∠DMQ 是钝角，因此只存在一种情况，△APQ ∽△MDQ ．因此∠APQ ＝∠D ．作BN ⊥y 轴于N ，那么∠BPN ＝∠D ．因此cot ∠BPN ＝cot ∠D ＝3．所以PN ＝3BN ＝18．此时点P 的坐标为(0, 20)．图2例 2018年上海市普陀区中考一模第25题如图1，已知锐角∠MBN 的正切值等于3，△PBD 中，∠BDP ＝90°，点D 在∠MBN 的边BN 上，点P 在∠MBN 内，PD ＝3，BD ＝9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ，设CA x CP=．（1）求x ＝2时，点A 到BN 的距离；（2）设△ABC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当△ABC 因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模25”，拖动点C 运动，可以体验到，AH 与BH 的比值＝tan ∠B ＝3为定值，AH 与PD 的比值＝CA ∶CP ＝x ．满分解答（1）如图2，作AH ⊥BC 于H ，那么PD //AH ． 因此2AHCAx PDCP===． 所以AH ＝2PD ＝6，即点A 到BN 的距离为6．图2 图3（2）如图3，由AHCAx PDCP==，得AH ＝xPD ＝3x ．又因为tan ∠MBN ＝AH BH＝3，所以BH ＝x ．设BC ＝m ．由CH CA x CD CP ==，得9m x x m -=-．整理，得81x m x =-．所以y ＝S △ABC ＝12BC AH ⋅＝18321x x x ⨯⨯-＝2121x x -． 定义域是0＜x ≤9．x ＝9的几何意义是点C 与点H 重合，此时CA ＝27，CP ＝3．（3）在△ABC 中，BA ，cos ∠ABCBC ＝81x x -．①如图4，当BA ＝BC 81xx =-，得1x = ②如图5，当AB ＝AC时，BC ＝2BH ．解方程821x x x =-，得x ＝5．③如图6，当CA ＝CB 时，由cos ∠ABC 12AB BC ．解方程1821xx =-，得135x =．图4 图5 图6例 2018年上海市松江区中考一模第24题如图1，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，O 是坐标原点，已知点B 的坐标是(3, 0)，tan ∠OAC ＝3．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 在x 轴上方的抛物线上，且∠PAB ＝∠CAB ，求点P 的坐标； （3）点D 是y 轴上的一动点，若以D 、C 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求出符合条件的点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D 在y 轴正半轴上运动，可以体验到，△BCD 与△ABC 相似存在两种情况． 满分解答（1）由y ＝ax 2＋bx －3，得C (0,－3)，OC ＝3． 由tan ∠OAC ＝3，得OA ＝1，A (－1, 0)．因为抛物线与x 轴交于A (－1, 0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)． 代入点C (0,－3)，得a ＝1．所以y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3． （2）如图2，作PH ⊥x 轴于H ．设P (x , (x ＋1)(x －3))． 由tan ∠PAB ＝tan ∠CAB ，得3PHCO AHAO ==．所以(1)(3)31x x x +-=+． 解得x ＝6．所以点P 的坐标为(6, 21)．（3）由A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0,－3)，得BA ＝4，BC ＝∠ABC ＝∠BCO＝45°．当点D 在点C 上方时，∠ABC ＝∠BCD ＝45°．分两种情况讨论△BCD 与△ABC相似：如图3，当CD BA CBBC=时，CD ＝BA ＝4．此时D (0, 1)．如图4，当CD BCCBBA=4=92CD =．此时D 3(0,)2．图2 图3 图4例 2018年上海市松江区中考一模第25题已知等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝∠BCD ＝45°，AD ＝3，BC ＝9，点P 是对角线AC 上的一个动点，且∠APE ＝∠B ，PE 分别交射线AD 和射线CD 于点E 和点G ．（1）如图1，当点E 、D 重合时，求AP 的长；（2）如图2，当点E 在AD 的延长线上时，设AP ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当线段DG AE 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模25”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，DG DE 也存在两种情况．满分解答（1）如图3，作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为M 、N ，那么MN ＝AD ＝3．在Rt △ABM 中，BM ＝3，∠B ＝45°，所以AM ＝3，AB ＝在Rt △AMC 中，AM ＝3，MC ＝6，所以CA ＝如图4，由AD //BC ，得∠1＝∠2．又因为∠APE ＝∠B ，当E 、D 重合时，△APD ∽△CBA ．所以AP CBADCA=．因此3AP =AP ．（2）如图5，设（1）中E 、D 重合时点P 的对应点为F ． 因为∠AFD ＝∠APE ＝45°，所以FD //PE ．所以AFADAPAE =33y=+．因此3y x =-＜x ≤图3 图4 图5（3）如图6，因为CA =AF =，所以FC ．由DF //PE ，得13FP DG FCDC===．所以FP =．由DF //PE ，92AD AF DEFP===．所以2293DE AD ==．①如图6，当P 在AF 的延长线上时，233AE AD DE =+=．②如图7，当P 在AF 上时，123AE AD DE =-=．图6 图7例 2018年上海市徐汇区中考一模第24题如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，已知点A (－1,－1)，点B 在第二象限，OB＝235y x bx c =++经过点A 和B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线235y x bx c =++的对称轴；（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO 、BO 的延长线交于点C 、D ，设点E 在直线AB 上，当△BOE 和△BCD 相似时，直接写出点E 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模24”，拖动点E 在射线BA 上运动，可以体验到，△BOE 和△BCD 相似存在两种情况． 满分解答（1）由A (－1,－1)，得OA 与x 轴负半轴的夹角为45°． 又因为∠AOB ＝90°，所以OB 与x 轴负半轴的夹角也为45°． 当OB＝B 到x 轴、y 轴的距离都为2．所以点B 的坐标为(－2,2)．（2）将A (－1,－1)、B (－2,2)分别代入235y x bx c =++，得31,5122 2.5b c b c ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得65b =-，145c =-．所以23614555y x x =--．抛物线的对称轴是直线x ＝1．（3）如图2，由A (－1,－1)、B (－2,2)、C (1, 1)、D (1,－1)，以及∠AOB ＝90°，可得BO 垂直平分AC ，BO ＝BA ＝BC BD ＝如图3，过点A 、E 作y 轴的平行线，过点B 作y 轴的垂线，构造Rt △ABM 和Rt △EBN ，那么BA BMMABEBNNE==．设点E 的坐标为(x , y )1322x y==+-．图2图3当点E 在射线BA 上时，∠EBO ＝∠DBC ．分两种情况讨论相似：①当BE BCBOBD ==BE =1322x y==+-．解得x ＝43-，y ＝0．所以E 4(,0)3-（如图4）．②当BE BDBOBC ==BE =1322x y==+-．解得x ＝45-，y ＝85-．所以E 48(,)55--（如图5）．图4 图5例2018年上海市徐汇区中考一模第25题如图1，四边形ABCD中，∠C＝60°，AB＝AD＝5，CB＝CD＝8，点P、Q分别是边AD、BC上的动点，AQ与BP交于点E，且∠BEQ∠BAD．设A、P两点间的距离为x．＝90°－12（1）求∠BEQ的正切值；＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（2）设AEPE（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点间的距离．图1动感体验请打开几何画板文件名“16徐汇一模25”，拖动点P在AD边上运动，可以体验到，∠AEP＝∠BEQ＝∠ABH＝∠ADH，△ABF∽△BEF∽△BDP，△AEP∽△ADF．满分解答（1）如图2，联结BD、AC交于点H．因为AB＝AD，CB＝CD，所以A、C在BD的垂直平分线上．所以AC垂直平分BD．因此∠BAH＝1∠BAD．2∠BAD，因为∠BEQ＝90°－12所以∠BEQ＝90°－∠BAH＝∠ABH．在Rt △ABH 中，AB ＝5，BH ＝4，所以AH ＝3． 所以tan ∠BEQ ＝tan ∠ABH ＝34． 图2（2）如图3，由于∠BEQ ＝∠ABH ，∠BEQ ＝∠AEP ，∠ABH ＝∠ADH ， 所以∠AEP ＝∠BEQ ＝∠ABH ＝∠ADH ．图3 图4 图5如图3，因为∠BFA 是公共角，所以△BEF ∽△ABF ． 如图4，因为∠DBP 是公共角，所以△BEF ∽△BDP ． 所以△ABF ∽△BDP ．所以AB BD BF DP =．因此585BF x=-． 所以5(5)8BF x =-．所以518(5)(539)88FD BD BF x x =-=--=+．如图5，因为∠DAF 是公共角，所以△AEP ∽△ADF ． 所以5401539(539)8AE AD y PEFDx x ====++．定义域是0≤x ≤5．（3）分三种情况讨论等腰△AEP ：①当EP ＝EA 时，由于△AEP ∽△ADF ，所以DF ＝DA ＝5（如图6）． 此时BF ＝3，HF ＝1． 作QM ⊥BD 于M ．在Rt △BMQ 中，∠QBM ＝60°，设BQ ＝m ，那么12BMm =，QM =． 在Rt △FMQ 中，132FM m =-，tan ∠MFQ ＝tan ∠HFA ＝3，所以QM ＝3FM ．13(3)2m =-，得BQ ＝m ＝9- ②如图7，当AE ＝AP 时，E 与B 重合，P 与D 重合，此时Q 与B 重合，BQ ＝0． ③不存在PE ＝PA 的情况，因为∠PAE ＞∠PAH ＞∠AEP ．图6图7例 2018年上海市杨浦区中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线y ＝x ＋4经过A 、C 两点．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点P 、Q 在抛物线上（点P 在对称轴左边），且PQ //AO ，PQ ＝2AO ，求点P 、Q 的坐标；（3）动点M 在直线y ＝x ＋4上，且△ABC 与△COM 相似，求点M 的坐标． 图1 动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模24”，拖动点M 在射线CA 上运动，可以体验到，△ABC 与△COM 相似存在两种情况． 满分解答（1）由y ＝x ＋4，得A (－4, 0)，C (0, 4)．将A (－4, 0)、C (0, 4)分别代入212y x bx c =-++，得840,4.b c c --+=⎧⎨=⎩ 解得b ＝－1，c ＝4．所以抛物线的表达式为2142y x x =--+．（2）如图2，因为PQ //AO ，所以P 、Q 关于抛物线的对称轴对称． 因为抛物线的对称轴是直线x ＝－1，PQ ＝2AO ＝8，所以x P ＝－5，x Q ＝3． 当x ＝3时，2142y x x =--+＝72-．所以P 7(5,)2--，Q 7(3,)2-．（3）由2114(4)(2)22y x x x x =--+=-+-，得B (2, 0)．由A (－4, 0)、B (2, 0)、C (0, 4)，得AB ＝6，AC ＝CO ＝4．当点M 在射线CA 上时，由于∠MCO ＝∠BAC ＝45°，所以分两种情况讨论相似：①当CM ABCOAC =时，4CM=CM =M (－3, 1)（如图3）．②当CMACCOAB=时，4CM=CM =M 84(,)33-（如图4）．图2图3图4例 2018年上海市杨浦区中考一模第25题如图1，已知菱形ABCD 的边长为5，对角线AC 的长为6，点E 为边AB 上的动点，点F 在射线AD 上，且∠ECF ＝∠B ，直线CF 交直线AB 于点M ．（1）求∠B 的余弦值；（2）当点E 与点A 重合时，试画出符合题意的图，并求BM 的长； （3）当点M 在AB 的延长线上时，设BE ＝x ，BM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“16杨浦一模25”，拖动点E 在AB 上慢慢运动，可以体验到，∠1＝∠2＝∠3，△MCE 与△MBC 保持相似． 满分解答（1）如图2，作AN ⊥BC 于N ，联结BD 交AC 于O ，那么BO 垂直平分AC ．在Rt △ABO 中，AB ＝5，AO ＝3，所以BO ＝4．因为S 菱形ABCD ＝12AC BD ⋅＝BC AN ⋅，所以64=5AN ⨯⨯．解得AN ＝245．在Rt △ABN 中，AB ＝5，AN ＝245，所以BN ＝75．因此cos ∠B ＝BN AB ＝725． （2）如图3，当点E 与点A 重合时，由于∠ECF ＝∠B ，∠FEC ＝∠1， 所以△ECF ∽△ABC ．所以EFACECAB =，即665EF =．解得365EF =．由BC //AF ，得AMAF BMBC=，即53625BMBM+=．解得12511BM =．图2图3（3）如图4，因为∠ECF ＝∠ABC ，根据等角的邻补角相等，得∠MCE ＝∠MBC ．如图5，因为∠M 是公共角，所以△MCE ∽△MBC ． 所以MC MB MEMC=．因此22()MC MB ME y x y xy y =⋅=+=+．作MH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △MBH 中，MB ＝y ，cos ∠MBH ＝725，所以BH ＝725y ，MH ＝2425y ．在Rt △MCH 中，根据勾股定理，得MC 2＝MH 2＋CH 2． 因此222247()(5)2525xy y y y +=++．整理，得125514y x =-．定义域是145＜x ≤5．定义域中x ＝145的几何意义如图6所示，此时D 、F 重合，AB //CF ．由CF ＝CE ，CF ＝CB ，得CE ＝CB ． 所以1cos 2BE BC B =⋅．解得BE ＝72525⨯⨯＝145．图4 图5 图6。
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崇明区2017-2018学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学（完卷时间：100分钟，满分：150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5AB =，3BC =，那么tan A 的值是………………………（ ▲ ）(A)34； (B)43； (C)35； (D)45．2．抛物线22(3)4y x =+-的顶点坐标是 ……………………………………………………（ ▲ ）(A)(3,4)；(B)(3,4)-；(C)(3,4)-；(D)(3,4)--．3．如图，在ABC △中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE BC ∥．已知6AE =，34AD DB =， 那么EC 的长是 ………………………………………………………………………………（ ▲ ） (A) 4.5；(B) 8；(C) 10.5；(D) 14．4．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，:3:1DE EC =，联结AE 交BD 于点F ，那么DEF △的面积与BAF △的面积之比为………………………………………………（ ▲ ）(A)3:4； (B)9:16； (C)9:1； (D)3:1．5．如果两圆的半径分别为2和5，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是……………（ ▲ ） (A) 外离；(B) 外切；(C) 相交；(D) 内切．6．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，6AB =，10AC =，BAC ∠和ACB ∠的平分线相交于点E ，过点E 作EF BC ∥交AC 于点F ，那么EF 的长为………………………………（ ▲ ）(A)52； (B)83； (C)103； (D)154．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知23x y =(0)y ≠，那么x yy+= ▲ ．8．计算：13222a ba b ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r rrr ▲ ． 9．如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3km 的两地在地图上的图距是▲ cm ．10．如果抛物线2(1)4y a x =+-有最高点，那么a 的取值范围是 ▲ ．11．抛物线224y x =+向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为 ▲ ． 12．已知点11(,)A x y 和22(,)B x y 是抛物线22(3)5y x =-+上的两点，如果124x x ＞＞，那么1y 2y ．（填“＞”、“＝”或“＜”）13．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为点D ，如果6AC =，8AB =，那么AD 的长度为 ▲ ．14．已知ABC △是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么G A 的长度为 ▲ ． 15．正八边形的中心角的度数为 ▲ 度．16．如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡的坡度为 ▲ ． 17．如图，在55⨯正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，已知点A 的坐标是(2,3)-，点C 的坐标是(1,2)，那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是 ▲ ．18．如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，点D , E 分别在,AC BC 上，且CDE B ∠=∠，将CDE △沿DE折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，如果8AC =，10AB =，那么CD 的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：tan 453sin602cos45cot302sin 45︒-︒+︒︒-︒20．（本题满分10分，每小题各5分）如图，在ABC △中，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，过点E 作ED BC ∥交AB 于点D ， 已知5AD =，4BD =． （1）求BC 的长度；（2）如果AD a =，AE b =，那么请用a 、b 表示向量CB ．21．（本题满分10分，每小题各5分）如图，CD 为⊙O 的直径，CD AB ⊥，垂足为点F ，AO BC ⊥，垂足为点E ，2CE =． （1）求AB 的长； （2）求⊙O 的半径．ABCDE （第20题图）（第21题图）ABCO F ED22．（本题满分10分）如图，港口B 位于港口A 的南偏东37︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km ，到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45︒方向上．这时，E 处距离港口A 有多远？（参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75︒≈︒≈︒≈）23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，联结DE ，过顶点B 作BF DE ⊥，垂足为F ，BF 交边DC 于点G ．（1）求证：GD AB DF BG ⋅=⋅； （2）联结CF ，求证：45CFB ∠=︒．（第22题图） ADBCE 37°45°北东（第23题图）ABDECGF24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，抛物线243y x bx c =-++过点(3,0)A ，(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点（点M与点A 不重合），过点M 作垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P 、N ．（1）求直线AB 的解析式和抛物线的解析式；（2）如果点P 是MN 的中点，那么求此时点N 的坐标；（3）如果以B ，P ，N 为顶点的三角形与APM △相似，求点M 的坐标．（第24题图） AMPNBOxyBOxy（备用图）A25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题5分，第(3)小题5分）如图，已知ABC △中，90ACB ∠=︒，8AC =，4cos 5A =，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上一点，联结DE ，过点D 作DF DE ⊥交BC 边于点F ，联结EF ．（1）如图1，当DE AC ⊥时，求EF 的长；（2）如图2，当点E 在AC 边上移动时，DFE ∠的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出DFE ∠的正切值；（3）如图3，联结CD 交EF 于点Q ，当CQF △是等腰三角形时，请直接写出．．．．BF 的长．（第25题图1） ABCD FE BD FE CA（第25题图2） BD FE CA（第25题图3）崇明区2017学年第一学期教学质量调研测试卷九年级数学参考答案(201801)一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、A2、D3、B4、B5、D6、C二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、528、 a b -+ 9、 6 10、 1a <- 11、 22(2)4y x =++ 12、> 13、4.8 14、 315、45 16、 1：2.4 17、 (1,1)-- 18、258三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19、解：原式=132322232-⨯+⨯- …………………………………………5分 332322=+-+ ………………………………………………3分 12232=-………………………………………………………2分 20、（1）∵BE 平分ABC ∠ ∴ABE CBE =∠∠ ∵ED BC ∥ ∴DEB CBE =∠∠∴ABE DEB =∠∠ ………………………………………………………2分 ∴4BD DE == ∵ED BC ∥ ∴DE ADBC AB= ……………………………………1分 又∵5AD =，4BD = ∴9AB =∴459BC = ∴365BC = ………………………………………2分 （2）∵ED BC ∥ ∴5=9DE AD BC AB = ∴95BC DE = …………………………………………………………1分又∵ED 与CB 同向 ∴95CB ED = ………………………………1分∵AD a =，AE b = ∴ED a b =- ……………………………1分 ∴9955CB a b =- …………………………………………………………2分 21、（1）∵CD AB ⊥，AO BC ⊥∴90AFO CEO ==︒∠∠ ………………………………………1分 在AOF COE △和△中AFO CEO AOF COE AO CO =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴AOF COE △≌△ ……………………………………………1分 ∴CE AF = ………………………………………………………1分 ∵2CE = ∴2AF = ∵CD 是O 的直径，CD AB ⊥ ∴12AF BF AB ==……………………………………………1分 ∴4AB = …………………………………………………………1分（2） ∵AO 是O 的半径，AO BC ⊥∴2CE BE == ………………………………………………1分 ∵4AB = ∴12BE AB =∵90AEB =︒∠ ∴30A =︒∠ ……………………2分 又∵90AFO =︒∠ ∴232AF CosA AO AO === …………1分 ∴433AO =即O 的半径是433………………………1分 22、解：由题意可得37A =︒∠，45AEC =︒∠，90D =︒∠，5DE km = 过点C 作CH AD ⊥，垂足为点H 则90AHC EHC ==︒∠∠ ∴34CH tanA AH == ………………………………………………………1分 1CHtan HEC EH==∠ ………………………………………………………1分 设CH x =则43AH x =，EH x = …………………………………………2分 ∴5DH x =+ ………………………………………………………1分 ∵90AHC D ==︒∠∠ ∴CH BD ∥ ∴AH ACDH BC= …………2分 ∵C 点是AB 边的中点 ∴AC BC = ∴AH DH = …………1分 ∴453x x =+ 解得15x = ………………………………………………1分 ∴42015353AE x x km =+=+= ………………………………………1分 23、（1）∵四边形ABCD 是正方形∴90BCD ADC ==︒∠∠，AB BC = …………………………1分 ∵BF DE ⊥ ∴90GFD =︒∠ ∴BCD GFD =∠∠∵BGC FGD =∠∠∴BGC DGF △∽△ ………………………………………………2分 ∴BG BCDG DF= ………………………………………………………1分 ∴DG BC DF BG ⋅=⋅ ……………………………………………1分∵AB BC =∴DG AB DF BG ⋅=⋅ ……………………………………………1分 （2）联结BD ∵BGC DGF △∽△ ∴BG CGDG FG = ………………………………………………………1分 ∴BG DGCG FG= 又∵BGD CGF =∠∠∴BGD CGF △∽△ ………………………………………………2分 ∴BDG CFG =∠∠ ………………………………………………1分∵四边形ABCD 是正方形，BD 是对角线 ∴1452BDG ADC ==︒∠∠ ……………………………………1分 ∴45CFG =︒∠ ……………………………………………………1分24、（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+（0k ≠） ∵(3,0)A ，(0,2)B∴302k b b +=⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ……………………………………1分∴直线AB 的解析式为223y x =-+ ………………………………1分 ∵抛物线243y x bx c =-++经过点(3,0)A ，(0,2)B ∴493032b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ …………………………1分∴2410233y x x =-++ ……………………………………………1分 （2）∵MN x ⊥轴， (,0)M m ∴设2410(,2)33N m m m -++，2(,2)3P m m -+ ∴2443NP m m =-+， 223P M m =-+ ……………………1分 ∵P 点是MN 的中点 ∴NP PM = ∴2424233m m m -+=-+ ………………………………………1分 解得112m =，23m =（不合题意，舍去） ………………………1分∴(,)23N ……………………………………………………1分 （3）∵(3,0)A ，(0,2)B ， 2(,2)3P m m -+ ∴13AB =，133BP m = ∴13133AP m =- ∵BPN APM =∠∠∴当BPN △与APM △相似时，存在以下两种情况：1° BP PM PN PA= ∴213223341341333m m m m m -+=-+- 解得118m = ……………………1分 ∴11(,0)8M …………………………………………………………1分 2° BP PA PN PM= ∴213131333424233m m m m m -=-+-+ 解得52m = ……………………1分 ∴5(,0)2M ……………………………………………………………1分 25、（1）∵90ACB =︒∠，45cosA = ∴45AC AB = ∵8AC = ∴10AB = ……………………………1分 ∵D 是AB 边的中点 ∴152AD AB == ∵DE AC ⊥ ∴90DEA DEC ==︒∠∠∴5cosA AD == ∴4AE = ∴844CE =-= ∵在Rt AED △中，222AE DE AD += ∴3DE = ……………………1分∵DF DE ⊥ ∴90FDE =︒∠又∵90ACB =︒∠ ∴四边形DECF 是矩形∴4DF EC == ………………………………………………………………1分∵在Rt EDF △中，222DF DE EF += ∴5EF = …………………1分（2）不变 ……………………………………………………………………………1分过点D 作DH AC ⊥，DG BC ⊥，垂足分别为点H 、G由（1）可得3DH =，4DG =∵DH AC ⊥，DG BC ⊥∴90DHC DGC ==︒∠∠又∵90ACB =︒∠ ∴四边形DHCG 是矩形∴90HDG =︒∠∵90FDE =︒∠∴HDG HDF EDF HDF -=-∠∠∠∠ 即EDH FDG =∠∠ ……1分 又∵90DHE DGF ==︒∠∠∴EDH FDG △∽△ ……………………………………………………1分 ∴34DE DH DF DG == …………………………………………………………1分 ∵90FDE =︒∠ ∴34DE tan DFE DF ==∠ ……………………1分 （3）1° 当QF QC =时，易证90DFE QFC +=︒∠∠，即90DFC =︒∠ 又∵90ACB =︒∠，D 是AB 的中点∴152CD BD AB === ∴132BF CF BC === …………………………………………………1分2° 当FQ FC =时，易证FQC DEQ DCB △∽△∽△∵在Rt EDF △中，34DE tan DFE DF ==∠ ∴设=3DE k ，则4DF k =，5EF k =当FQ FC =时，易证3DE DQ k ==，∴53CQ k =-∵DEQ DCB △∽△ ∴56DE DC EQ BC == ∴185EQ k = ∴75FQ FC k == ∵FQC DCB △∽△ ∴56FQ DC CQ BC == ∴755536k k =- 解得125117k = ∴71251755117117FC =⨯= ∴1755276117117BF =-= ……………………………………………………2分 3° 在BC 边上截取BK=BD=5，由勾股定理得出25DK =当CF CQ =时，易证CFQ EDQ BDK △∽△∽△∴设=3DE k ，则3EQ k =，5EF k = ∴2FQ k =∵EDQ BDK △∽△ ∴525DE BD DQ DK == ∴655DQ k = ∴6555CQ FC k ==- ∵CQF BDK △∽△ ∴525CQ BD FQ DK == ∴65555225k k -= 解得5511k = ∴2511FC = ∴254161111BF =-= ………………………………………………………2分Q。