函数的单调性 知识点与题型归纳

1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情

1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用．

2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15

注意：

研究函数单调性必须先求函数的定义域，

函数的单调区间是定义域的子集

单调区间不能并！

知识点一函数的单调性

1.单调函数的定义

1

2

2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间.

注意：

1、《名师一号》P16 问题探究 问题1

关于函数单调性的定义应注意哪些问题？

(1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值．

(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；

(3)定义的两种变式：

设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1

()()0->-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；

3 1212

()()0-<-f x f x x x ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．

2、《名师一号》P16 问题探究 问题2

单调区间的表示注意哪些问题？

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法

(1) 定义法:

利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1

②作差f (x 1)－f (x 2)，并适当变形

(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性．

(2) 导数法:

设函数y ＝f (x )在某区间D 内可导．如果f ′(x )>0，则f (x )在区间D 内为增函数；如果f ′(x )<0，则f (x )在区间D 内为减函数．

注意：(补充)

（1）若使得f ′(x )=0的x 的值只有有限个，

4 则如果f ′(x )0≥，则f (x )在区间D 内为增函数； 如果f ′(x ) 0≤，则f (x )在区间D 内为减函数．

（2）单调性的判断方法：

《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法

定义法及导数法、图象法、

复合函数的单调性(同增异减)、

用已知函数的单调性等

(补充)单调性的有关结论

1．若f (x )，g (x )均为增(减)函数，

则f (x )＋g (x )仍为增(减)函数．

2．若f (x )为增(减)函数，

则－f (x )为减(增)函数，如果同时有f (x )>0， 则()1f x 为减(增)

(减)函数．

3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．

4．y ＝f [g (x )]是定义在M 上的函数，

若f (x )与g (x )的单调性相同，

则其复合函数f [g (x )]为增函数；

若f (x )、g (x )的单调性相反，

则其复合函数f [g (x )]为减函数．

简称”同增异减”

5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

函数单调性的应用

《名师一号》P17 特色专题

(1)求某些函数的值域或最值．

(2)比较函数值或自变量值的大小．

(3)解、证不等式．

(4)求参数的取值范围或值．

(5)作函数图象．

二、例题分析：

（一)函数单调性的判断与证明

例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1

判断下列说法是否正确

(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．()

(2)函数f(x)＝1

x在其定义域上是减函数．()

(3)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．()

答案：√×√

例1.（2）《名师一号》P16 高频考点例1（1）

5

(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()

A．y ＝x＋1 B ．y＝(x －1)2

C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)

答案：A.

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点例1（2）

判断函数f(x)＝ax

x＋1

在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．

法一：定义法

设－1

则f(x1)－f(x2)＝

ax1

x1＋1

－

ax2

x2＋1

＝ax1x2＋1－ax2x1＋1

x1＋1x2＋1

＝

a x1－x2

x1＋1x2＋1

∵－1

∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.

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