数学选择性必修一第三章圆锥曲线的方程章末复习提升课

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人教A版数学选择性必修第一册第三章章末总结(课件PPT)

解得 x2＝2c2－c2b2a2＝3c2－c2a2a2.
又 x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝ac∈
33，
2
2
.
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专题四直线与圆锥曲线的位置关系在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出命题；能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；在判断直线与圆锥曲线位置关系中，利用判断法进行推断． [典例 4] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)过点1， 22，且焦距为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设过点 P(－2,0)的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
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2．圆锥曲线的几何性质 (1)已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点． (2)已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”． 3．圆锥曲线的离心率椭圆和双曲线的离心率是最重要的几何性质之一，离心率的考查是高考的一个热点，下面就离心率的求法做一个简单的总结． (1)定义法； (2)几何法； (3)寻求齐次方程求离心率； (4)借助不等式求离心率的取值范围．
斜
率
k
的取值范围为
－ 22， 22.
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[练习 4](2020·新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)过点 M(2,3)，点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为12.
(1)求 C 的方程； (2)点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．

新教材人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程讲义(知识点考点汇总及配套习题)

第三章圆锥曲线的方程3.1 椭圆 ................................................................................................................................ - 1 -3.1.1 椭圆及其标准方程 .............................................................................................. - 1 - 3.1.2 椭圆的简单几何性质 ........................................................................................ - 12 -第1课时椭圆的简单几何性质 ........................................................................ - 12 - 第2课时椭圆的标准方程及性质的应用 ........................................................ - 23 -3.2 双曲线 .......................................................................................................................... - 35 -3.2.1 双曲线及其标准方程 ........................................................................................ - 35 - 3.2.2 双曲线的简单几何性质 .................................................................................... - 46 - 3.3 抛物线 .......................................................................................................................... - 60 -3.3.1 抛物线及其标准方程 ........................................................................................ - 60 - 3.3.2 抛物线的简单几何性质 .................................................................................... - 70 - 章末复习 ............................................................................................................................... - 82 -3.1 椭圆3.1.1 椭圆及其标准方程2008年9月25日211．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆．()(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为圆．()(3)方程x2a2＋y2b2＝1(a＞0，b＞0)表示的曲线是椭圆．()[提示](1)×(2)√(3)×2．设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10D [由椭圆方程知a 2＝25，则a ＝5，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A ．x 2100＋y 236＝1B ．y 2400＋x 2336＝1C ．y 2100＋x 236＝1D ．y 220＋x 212＝1C [由条件知，焦点在y 轴上，且a ＝10，c ＝8，所以b 2＝a 2－c 2＝36，所以椭圆的标准方程为y 2100＋x 236＝1.]4．方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．(－6，－2)∪(3，＋∞) [由a 2＞a ＋6＞0得a ＞3或－6＜a ＜－2.]【例1】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎪⎫－1，142.[解] (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4,2a ＝10，所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．法一：由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，解得a ＝6.又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝4 2.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.法二：因为所求椭圆过点(4,32)，所以18a 2＋16b 2＝1. 又c 2＝a 2－b 2＝4，可解得a 2＝36，b 2＝32. 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1.(3)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧b 2＝8，a 2＝4.则a 2＜b 2，与a ＞b ＞0矛盾，舍去．综上可知，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )．分别将两点的坐标(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入椭圆的一般方程，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a ＞b ＞0)或整式形式mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．(3)找关系：根据已知条件建立关于a ，b ，c (或m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．[跟进训练]1．求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆的标准方程．[解] 法一：因为所求椭圆与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，所以其焦点在x 轴上，且c 2＝25－9＝16.设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16 ①. 又点(3，15)在所求椭圆上，所以32a 2＋(15)2b 2＝1，即9a 2＋15b2＝1 ②.由①②得a 2＝36，b 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1.又椭圆过点(3，15)，将x ＝3，y ＝15代入方程得925＋λ＋159＋λ＝1，解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.【例2】 (1)已知椭圆x 216＋y 212＝1的左焦点是F 1，右焦点是F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，那么|PF 1|∶|PF 2|＝( )A ．3∶5B ．3∶4C ．5∶3D ．4∶3(2)已知椭圆x 24＋y 23＝1中，点P 是椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，且∠PF 1F 2＝120°，则△PF 1F 2的面积为________．[思路探究] (1)借助PF 1的中点在y 轴上，且O 为F 1F 2的中点，所以PF 2⊥x 轴，再用定义和勾股定理解决．(2)利用椭圆的定义和余弦定理，建立关于|PF 1|，|PF 2|的方程，通过解方程求解．(1)C (2)335 [(1)依题意知，线段PF 1的中点在y 轴上，又原点为F 1F 2的中点，易得y 轴∥PF 2，所以PF 2⊥x 轴，则有|PF 1|2－|PF 2|2＝4c 2＝16，又根据椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝8，所以|PF 1|－|PF 2|＝2，从而|PF 1|＝5，|PF 2|＝3，即|PF 1|∶|PF 2|＝5∶3.(2)由x 24＋y 23＝1，可知a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos ∠PF 1F 2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4. ②由①②联立可得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|sin ∠PF 1F 2＝12×65×2×32＝335.]椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)，则点M 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M 到两焦点的距离之和必为2a .(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF 1|，|PF 2|看作一个整体，运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．1．本例(2)[探究问题]1．用定义法求椭圆的方程应注意什么？[提示]用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义确定椭圆的基本量a，b，c.2．利用代入法求轨迹方程的步骤是什么？[提示] (1)设点：设所求轨迹上动点坐标为M (x ，y )，已知曲线上动点坐标为P (x 1，y 1)．(2)求关系式：用点M 的坐标表示出点P 的坐标，即得关系式⎩⎨⎧x 1＝g (x ，y )，y 1＝h (x ，y ).(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可．【例3】 (1)已知P 是椭圆x 24＋y 28＝1上一动点，O 为坐标原点，则线段OP中点Q 的轨迹方程为______________．(2)如图所示，圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25及点A (1,0)，Q 为圆上一点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，求点M 的轨迹方程．[思路探究] (1)点Q 为OP 的中点⇒点Q 与点P 的坐标关系⇒代入法求解． (2)由垂直平分线的性质和椭圆的定义进行求解．(1)x 2＋y 22＝1 [设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由点Q 是线段OP 的中点知x 0＝2x ，y 0＝2y ，又x 204＋y 208＝1，所以(2x )24＋(2y )28＝1，即x 2＋y 22＝1.](2)[解] 由垂直平分线的性质可知|MQ |＝|MA |， ∴|CM |＋|MA |＝|CM |＋|MQ |＝|CQ |， ∴|CM |＋|MA |＝5.∴点M 的轨迹为椭圆，其中2a ＝5，焦点为C (－1,0)，A (1,0)，∴a ＝52，c ＝1 ，∴b 2＝a 2－c 2＝254－1＝214.∴所求点M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1.1．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法，本例(1)所用方法为代入法，例(2)所用方法为定义法．2．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．3．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P (x ，y )与另一个已知曲线C ：F (x ，y )＝0上的动点Q (x 1，y 1)存在着某种联系，可以把点Q 的坐标用点P 的坐标表示出来，然后代入已知曲线C 的方程 F (x ，y )＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．[跟进训练]2．已知x 轴上一定点A (1,0)，Q 为椭圆x 24＋y 2＝1上任一点，求线段AQ 中点M 的轨迹方程．[解] 设中点M 的坐标为(x ，y )，点Q 的坐标为(x 0，y 0)．利用中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 02，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .∵Q (x 0，y 0)在椭圆x 24＋y 2＝1上，∴x 204＋y 20＝1. 将x 0＝2x －1，y 0＝2y 代入上式，得(2x －1)24＋(2y )2＝1.故所求AQ 的中点M 的轨迹方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋4y 2＝1.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)． (1)求椭圆的焦点坐标时，若方程不为标准方程，应先将其化为标准方程，确定a 2，b 2的值和焦点所在的坐标轴，再利用关系式a 2＝b 2＋c 2求出c ，即可写出焦点坐标．(2)已知方程求参数的值(或取值范围)时，需注意：对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当m＞n ＞0时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当n ＞m ＞0时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆．特别地，当n ＝m ＞0时，方程表示圆心在原点的圆．若已知方程不是标准方程，需先进行转化．3．椭圆上的点P 与两焦点F 1，F 2构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角形中，令∠F 1PF 2＝θ，如图．(1)当点P 与B 1或B 2重合时，∠F 1PF 2最大． (2)焦点△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )． (3)|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ.(4)S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin θ，且当P 与B 1或B 2重合时，面积最大．4．求与椭圆有关的轨迹方程的方法一般有：定义法、直接法和代入法(相关点法)．1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8D [根据椭圆的定义知，P 到另一个焦点的距离为2a －2＝2×5－2＝8.] 2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4B [椭圆方程可化为x 2＋y 24k ＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧4k >1，4k －1＝1，解得k ＝2.]3．若方程x 2m ＋y 22m －1＝1表示椭圆，则实数m 满足的条件是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＞12且m ≠1[由方程x 2m ＋y22m －1＝1表示椭圆，得⎩⎨⎧m ＞0，2m －1＞0，m ≠2m －1，解得m ＞12且m ≠1.]4．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为________．x 225＋y 29＝1 [如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3. 又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.]5．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4，∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点，∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．3.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质使用多媒体手段展示大小、扁圆程度等不同的椭圆，体现椭圆形状的美，然1．椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比ca称为椭圆的离心率．(2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆．思考：离心率相同的椭圆是同一椭圆吗？[提示]不是，离心率是比值，比值相同不代表a，c值相同，它反映的是椭圆的扁圆程度．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于a. ()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c. ()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．()[提示](1)×(2)√(3)√2．经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程为()A．x29＋y24＝1B．y29＋x24＝1C．x29－y24＝1 D．y29－x24＝1A[由题易知点P(3,0)，Q(0,2)分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，故椭圆的焦点在x轴上，所以a＝3，b＝2，故椭圆的标准方程为x29＋y24＝1.]3．椭圆的长轴长是短轴长的2倍，它的一个焦点为(0，3)，则椭圆的标准方程是________．x2＋y24＝1[依题意得2a＝4b，c＝3，又a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝1，故椭圆的标准方程为x2＋y24＝1.]4．设椭圆x225＋y2b2＝1(0＜b＜5)的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则离心率的值为________．35[由条件知2×5＋2c＝4b，即2b＝c＋5，又a2－b2＝c2，a＝5解得b＝4，c＝3.∴离心率e＝ca＝35.]【例1】(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与椭圆xa2＋yb2＝λ(λ＞0且λ≠1)有()A．相同的焦点B．相同的顶点C．相同的离心率D．相同的长、短轴(2)求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．(1)C[在两个方程的比较中，端点a、b均取值不同，故A，B，D都不对，而a，b，c虽然均不同，但倍数增长一样，所以比值不变，故应选C.](2)[解]把已知方程化成标准方程为x216＋y29＝1，所以a＝4，b＝3，c＝16－9＝7，所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6；离心率e＝ca＝74；两个焦点坐标分别是(－7，0)，(7，0)；四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．由标准方程研究性质时的两点注意(1)已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．(2)焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.(1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝6 3；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)经过点M(1,2)，且与椭圆x212＋y26＝1有相同的离心率．[思路探究](1)焦点位置不确定，分两种情况求解．(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系，再用待定系数法求解．法二：设与椭圆x212＋y26＝1有相同离心率的椭圆方程为x212＋y26＝k1(k1>0)或y212＋x26＝k2(k2>0)．[解](1)若焦点在x轴上，则a＝3，∵e＝ca＝63，∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3.∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.若焦点在y轴上，则b＝3，∵e＝ca＝1－b2a2＝1－9a2＝63，解得a2＝27.∴椭圆的方程为y227＋x29＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y23＝1或y227＋x29＝1.(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．如图所示，△A1F A2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.(3)法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2，设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1. 将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆的方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.法二：设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即所求椭圆的标准方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个．提醒：与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有相同离心率的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝k 1(k 1>0，焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b2＝k 2(k 2>0，焦点在y 轴上)．[跟进训练]1．已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．[解] 法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，9a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，则设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3·2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.法二：设椭圆方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9m＝1，2m ＝3·2n 或⎩⎪⎨⎪⎧9m ＝1，2n ＝3·2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝9n ＝1或⎩⎨⎧m ＝9，n ＝81.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.。

高中数学选择性必修第一册章末复习课

章末复习课[网络构建][核心归纳]1.三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹标准方程(以焦点在x轴上为例)x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(以焦点在x轴上为例)x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(以焦点在x轴正半轴上为例) y2＝2px(p＞0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴2.求圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数.当焦点位置不确定时，要分情况讨论.也可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )，其中当1A ＞1B 时，焦点在x 轴上，当1A ＜1B 时，焦点在y 轴上；双曲线方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，当1A ＜0时，焦点在y 轴上，当1B ＜0时，焦点在x 轴上.另外，与已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x 2－y 2＝λ(λ≠0). (2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p 的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y 2＝2mx (m ≠0)或x 2＝2my (m ≠0)，然后建立方程求出参数m 的值. 3.直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中的变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ＞0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线无交点. (2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2（y 1－y 2）2(k ≠0)，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2，x 1＋x 2，x 1x 2，y 1＋y 2，y 1y 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出.要点一数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决. 【例1】双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1，3) B.(1，3] C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)解析如图所示，由|PF 1|＝2|PF 2|知P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16a 2＋4a 2－4c 22×4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的右顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1，∴－1≤54－e 24<1，且e >1，解得1<e ≤3.故选B. 答案 B【训练1】抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若2|BF |＝|AF |＋|CF |，则( ) A.2x 2＝x 1＋x 3 B.2y 2＝y 1＋y 3 C.2x 3＝x 1＋x 2D.2y 3＝y 1＋y 2解析如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|. 又∵|AA ′|＝x 1＋p2， |BB ′|＝x 2＋p2， |CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p 2，∴2x 2＝x 1＋x 3，故选A. 答案 A要点二分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.【例2】如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率. 解当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2516，∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53. 故双曲线的离心率为54或53.【训练2】求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (2，0)，且e ＝22. 解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0). 由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b 2＝1.② 由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1. (2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (2，0)，∴a ＝2. 又c a ＝22，∴c ＝ 2. ∴b 2＝a 2－c 2＝2.此时椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (2，0)，∴b ＝2.又c a ＝22，∴a 2－b 2a ＝22，∴a 2＝8. 此时椭圆的标准方程为y 28＋x 24＝1.故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1或y 28＋x 24＝1. 要点三函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.【例3】已知椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程. 解法一设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得m (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋n (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.①∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得n ＝2m .直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1. 又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22，∴|x 2－x 1|＝2.联立mx 2＋ny 2＝1与x ＋y －1＝0可得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0，且由已知得x 1，x 2是方程(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2n m ＋n，x 1x 2＝n －1m ＋n，∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n m ＋n 2－4·n －1m ＋n.② 将n ＝2m 代入②式，解得m ＝13，∴n ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1.法二由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，x ＋y －1＝0得(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2nm ＋n ，x 1x 2＝n －1m ＋n ，且直线AB 的斜率k ＝－1， ∴|AB |＝（k 2＋1）（x 1－x 2）2＝（k 2＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2·4n 2－4（m ＋n ）（n －1）m ＋n.∵|AB |＝22，∴2·4n 2－4（m ＋n ）（n －1）m ＋n ＝22，∴m ＋n －mn m ＋n＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝n m ＋n ，y ＝1－x ＝mm ＋n .∵OC 的斜率为22，∴m n ＝22，将其代入①式得，m ＝13，n ＝23.∴所求椭圆的方程为x 23＋23y 2＝1.【训练3】若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________. 解析由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫532(a >0)，得a ＝3.故填3.答案 3要点四化归与转化思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为化归与转化思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.【例4】已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |＋|MF |取最小值时，点M 的坐标为( ) A.(0，0) B.(1，－22) C.(2，－4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 解析过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，则由抛物线定义知|MF |＝|ME |.当点M 在抛物线上移动时，|MF |＋|MA |的值在变化，显然M 移到M ′，使AM ′∥Ox 即A ，M ，E 共线时，|ME |＋|MA |最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ，得x ＝12， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.答案 D【训练4】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围.(1)证明设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4×14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，所以AB 的中点M 的纵坐标为y 0，因此PM 垂直于y 轴.(2)解由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝18[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]－ x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22（y 20－4x 0）.因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2| ＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 204＝1，又－1≤x 0<0，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△P AB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104.。

第三章圆锥曲线的方程(单元复习课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)

F1F2
2
PF1 2
PF2 2 2 PF1
a2 b2
b
焦点到渐近线的距离为 b
二、知识回顾
点和双曲线的位置关系
1,点(x0 , y0 )在双曲线内
x2 a2
y2 b2
（含焦点部分）
1,点(x0 , y0 )在双曲线上
1,点(x0 , y0 )在双曲线外
共焦点的双曲线方程
x2 a2 k
y2 b2 k
1(a2
k
b2 )
1,点(x0 , y0 )在双曲线内
二、知识回顾
二．定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 P 和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；标记为 F 的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．
当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
1,(x0,
y0 )
为切点
y0 y a2
x0 x b2
1,(x0,
y0
)
为切点
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中 x2 换为 x0 x ， y2 换成 y0 y 便得．
切点弦所在直线方程
为双 x0 x
a2
y0 y b2
1,(x0,
y0 )
曲线外一点
为双曲线外 y0 y
a2
x0x y0 y 1；
a2 b2
③椭圆
x2 y2 1
a2 b2
(a b 0) 与直线 Ax By C 0
相切的条件是 A2a2 B2b2 c2 ．
二、知识回顾

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件第3章圆锥曲线与方程本章总结提升

y1+y2=- 7 ,y1y2= 14 .
3 5
5
y1+y2=3y2=- 7 ,解得 y2=- 7 ,
5 2 3( 2 -1)
2
y1y2=22 =2×(- 7 ) = 14 ,解得 t2=21,
即 t=± 21,故 l 的方程为 x- 5y± 21=0.
(方法 2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),l 的方程为
0 -1
k1·k2=
0
0 +1
·
0
=
02 -1 1
=.
2
0
4
(2)解由题设可以得到直线AP的方程为y-1=k1(x-0),直线PB的方程为
y-(-1)=k2(x-0).
3
- ,
1
=
-1 = 1 ,
由
解得
= -2,
= -2;
1
- ,
2
=
+ 1 = 2 ,
-8
4( 2 -1)
x1+x2=4 2 +1,x1x2= 4 2 +1 ,
由Δ=(8km)2-16(4k2+1)(m2-1)>0,
得m2<1+4k2,①
两点,求△OAB面积的最大值.
分析由椭圆的几何性质求椭圆的标准方程中的参数.设出点P的坐标,利用
已知条件写出直线的方程,代入椭圆方程,求出弦AB的长度以及点O到直线
AB的距离,将△OAB面积表示为与点P的坐标有关的函数关系式,利用函数
关系式求最值.
解 (1)由题设知

a=2,e=

=
3
,∴c=
2
−
2

新教材高中数学第3章圆锥曲线与方程章末综合提升课件苏教版选择性必修一

过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点．设 A，B 到
双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 d1＋d2＝6，则双曲
线的方程为( )
A．x42－1y22 ＝1
B．1x22 －y42＝1
C．x32－y92＝1
D．x92－y32＝1
(2)已知直线 y＝－12x＋2 和椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)交于 A，B 两点，且 a＝2b．若|AB|＝2 5，求椭圆的方程．
“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；
[跟进训练]
2．(1)以直线 3x±y＝0 为渐近线，一个焦点坐标为 F(0，2)的双
曲线方程是( )
A．y2－x32＝1
B．x2－y32＝1
C．x32－y2＝1
D．y32－x2＝1
第3章圆锥曲线与方程
章末综合提升
NO.1 巩固层·知识整合
NO.2
提升层·题型探究
类型1 类型2 类型3 类型4
类型 1 圆锥曲线的定义及应用
【例 1】 (1)已知动点 M 的坐标满足方程 5 x2＋y2＝|3x＋4y－
12|，则动点 M 的轨迹是( )
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线

人教A版高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程章末素养提升3课件

【易错提醒】 1．椭圆的定义|PF1|＋|PF2|＝2a中，应有2a＞|F1F2|；双曲线定义 ||PF1|－|PF2||＝2a中，应有2a＜|F1F2|；抛物线定义中，定点F不在定直线l上． 2．椭圆中几何量a，b，c满足a2＝b2＋c2，双曲线中几何量a，b， c满足a2＋b2＝c2． 3．椭圆离心率e∈(0,1)，双曲线离心率e∈(1，＋∞)，抛物线离心率e＝1．
(2)如果双曲线的渐近线为ax±by＝0，它的双曲线方程可设为ax22－by22＝ λ(λ≠0)．
4．共轭双曲线 (1)双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线． (2)双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距． (3)与ax22－by22＝1 具有相同渐近线的双曲线系方程为ax22－by22＝k(k≠0)． 5．抛物线方程的设法对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为 y2＝ ax(a≠0)或 x2＝ay(a≠0)．
【答案】(1)B (2)0，12
【解析】(1)设PF1与圆相切于点M，如图．
∵|PF2|＝|F1F2|， ∴△PF1F2 为等腰三角形，取 N 为 PF1 的中点． ∴|F1M|＝41|PF1|．又∵在直角△F1MO 中， |F1M|2＝|F1O|2－a2＝c2－a2， ∴|F1M|＝b＝41|PF1|．①
所以 kPQ·kOQ＝xy00－－35t ·yx00＝xy2020 －－53tyx00＝45（x20 －x520 ）－－53x430 (x0－3)＝45. 所以直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值45.
圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长轴、短轴，双曲线的虚轴、实轴，抛物线的焦点等，解决此类问题的主要方法是通过研究直线与曲线的位置关系，把所给问题进行化简，通过计算获得答案；或是从特殊位置出发，确定定值，然后给出一般情况的证明．

数学人教A版选择性必修第一册第三章直线与圆锥曲线综合问题综合复习课件

y2 b2
1(a b 0) ，
因为椭圆离心率等于 1 ，它的一个顶点恰好是抛物线 x2 8 3y 的焦点，
2
x2 8 3y 焦点为 (0, 2 3) ，所以 b 2 3 ，
所以 e c 1 , a2 b2 c2 ，解得 a2 16, b2 12 ， a2
所以椭圆 C 的标准方程 x2 y2 1 .
(2)过点 M 3, 0 作两条互相垂直的直线 l1, l2 ，与椭圆 C 分别交于 A, B,C, D 四点，如图，求
四边形 ACBD的面积的取值范围.
【解】（1）因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以 2b b2 c2 a ，即 a 2b ，又因为直线 3x 4y 6 0 与圆 x2 ( y b)2 a2 相切，
所以 y1 y2 y1(x2 t) y2 (x1 t) 0 ，
x1 t x2 t
(x1 t)(x2 t)
所以 2my1 y2 (4 t)( y1 y2 )=0 ，
所以 32m 4m(4 t)=0 ，所以 t 4 .
2．（2022·广东广州·高二期末）已知椭圆 C :
2)
3]
k
x1
x2
4
24k 3 4k 2
，
直线
AB 的斜率为
y1 x1
y2 x2
1
2.
4．（2022·四川遂宁·高二期末（理））在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F(0, 2) ，点 P 到点 F 的距离比点 P 到直线 y= 3 的距离小 1，记 P 的轨迹为 C． (1)求曲线 C 的方程； (2)在直线 y= 2 上任取一点 M，过 M 作曲线 C 的切线 l1、l2 ，切点分别为 A、B，求证直线 AB 过定点．解：(1)设曲线 C 上任意一点 P 的坐标为 (x, y) ，由题意知 y 3 且有

22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--第三章圆锥曲线的方程章末总结

|′ | + || + 6 − 1 ≥ |′ | + 5 = 5 + 5 = 10 .
2. 已知抛物线 : 2 = 2(＞0) 的焦点为，抛物线上的一点 (2, ) 满
2 = 16
足 || = 6 ，则抛物线的方程为_________________.

[解析] 因为 = 2 ，所以 = 3 ，所以双曲线的渐近线方程为 = ± 3 .
又抛物线 2
= 2(＞0) 的准线方程为 =
= 3,
联立得 ቐ
⇒=−
=−
2
1
2
3
，所以 ||
2

2

− ，
2
= 3 .
因为 △ = × 3 × = 2 3 ，所以 = 2 2 或 −2 2 （舍去），
1 2 ，存在“ Ω 点”；
中双曲线， = 1, = 4 ，双曲线上的点到右焦点的距离的最小值是 −
= 3＞2, |2 | = 2, |1 | = 4, |1 2 | = 8 ，不存在 △ 1 2 , 不存在“ Ω
点”.故选C.
（2）已知点是抛物线 2 = 4 上的动点，点在轴上的射影是点
|1 | + |2 | =

，解得 |1 |
2
=+

， |2 |
4

4
= −，
又 1 2 为圆的直径，所以四边形 1 2 为矩形，所以 = |1 ||2 | =
2
( )
4
−
2
2
，即
32
=
2
16
− 2 ，即 2 = 322 ，

新教材2023年秋高中数学第3章圆锥曲线的方程章末综合提升课件新人教A版选择性必修第一册

2
圆交于C，D两点，且满足
[解]

5 3
＝，求直线l的方程．
4
由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
2
∴圆心到直线l的距离d＝
5
由d<1得|m|<
5
．
2
，
①
∴|CD|＝2 1 −
2 ＝2
1
4 2
2
− ＝
5
5
5 − 42 ．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
= 2 + 2，
2
2
得xM＝－，同理可得xN＝－，
1
2
∴|MN|＝ 5|xM－xN|＝2 5
＝2 5
2 −+1
＝2
−1
＝2 5 1 +
1
5 1
1
2
−
1
1

+ 2
−2+1
≥2 5× 1 +
1
−2+
1
−2−2
＝ 15，当且仅当m＝－1时，等号成立，
∴|MN|min＝ 15，此时直线AB的方程为x＋y－2＝0．

，
2 2 2 +4
4 − 4
1+
2
＝
2
，
5．
类型3 直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及判定直线与圆锥曲线的交
点个数、求弦长、求最值等问题，它是圆锥曲线的定义、性质与直
线的基础知识的综合应用，涉及数形结合、函数与方程、分类讨论
等数学思想方法．直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线

人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件复习课第3课时圆锥曲线的方程

(1)椭圆的焦点只能在坐标轴上.( × )
2
(2)方程
Байду номын сангаас2
(3)椭圆
4
+
2
=1(m>0,n>0)不一定表示椭圆.(

+
2
=1
3
2
比椭圆
16
+
2
=1
25
√ )
更扁一些.( × )
(4)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线.( × )
(5)对于三个参数a,b,c,在椭圆的标准方程中,最大的是a,在双曲线的标准
位置
图形
P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准
方程
x2
a2
+
y2
=1(a>b>0)
b2
y2
a2
+
x2
=1(a>b>0)
b2
范围
-a≤x≤a 且-b≤y≤b
-b≤x≤b,且-a≤y≤a
对称性对称轴:x 轴、y 轴,对称中心:(0,0)
A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
x2
a2
图形
−
y2
=1(a>0,b>0)
2
b
y2
a2
−
x2
=1(a>0,b>0)
2
b
范围

章末复习提升课选择性必修第一册

23
【解析】抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y＝－1，延长PQ交准线于点M，如图所示．根据抛物线的定义知，|PF|＝|PM|＝|PQ|＋1.
所以|PA|＋|PQ|＝|PA|＋|PM|－1＝|PA|＋|PF|－1≥|AF|－1＝10－1＝9，
当且仅当点A，P，F共线时，等号成立．
【答案】 9
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第三章圆锥曲线的方程
32
→→ 因为OA ·OB ＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝
k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3，
所以O→A
→ ·OB
是一个定值．
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第三章圆锥曲线的方程
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第三章圆锥曲线的方程
4
类型一圆锥曲线的定义
(1)若命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a＞0，a 是常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6, 则动点P的轨迹方程是________．
【答案】
x2 q2
－p2－y2 q2
＝1(x＞q)
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第三章圆锥曲线的方程
22
类型六圆锥曲线中的最值问题已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A
的坐标是(8，7)，则|PA|＋|PQ|的最小值为________．

第三章圆锥曲线的方程章末重难点归纳总结(原卷版)人教版高中数学精讲精练选择性必修一

第三章圆锥曲线的方程章末重难点归纳总结考点一定义及应用【例1-1】（2023·陕西西安）若抛物线22x py =（0p >）上一点(),3M m 到焦点的距离是5p ，则p =（）A ．34B ．32C ．43D ．23【例1-2】（2023·广东梅州）已知椭圆22:195x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与椭圆C的一个交点为A ，若24AF =，则12AF F △的面积为（）A ．BC ．4D【例1-3】（2022秋·江苏徐州·高二统考期中）已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点12,F F 在x 轴上，中心在坐标原点，点A 的坐标为，P 为双曲线右支上一动点，则1PF PA -的最大值为（）A ．2B ．2C ．4+D ．4【一隅三反】1．（2023·广东东莞）抛物线C 的顶点为原点，焦点为(2,0)F ，则点(5,0)B 到抛物线C 上动点M 的距离最小值为（）A ．B ．C ．5D ．2．（2023·全国·高二课堂例题）已知P 为抛物线24y x =上的任意一点，F 为抛物线的焦点，点A 坐标为()3,2，则PA PF +的最小值为（）A ．4B ．3C ．D 3．（2023秋·四川资阳·高二统考期末）设1F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 为椭圆上任一点，点Q 的坐标为()1,4-，则1PQ PF +的最大值为.4．（2023·全国·高二课堂例题）双曲线C ：22143x y -=的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线C 的右支上，点P 关于原点的对称点为Q ，则11PF QF -=.考点二标准方程【例2-1】（2023秋·高二课时练习）F ，A 分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，则椭圆的标准方程为（）A ．2213620x y +=B ．22195x y +=C ．222036x y +=1或2213620x y +=D ．2295x y +=1或22159x y +=【例2-2】．（2023·浙江）已知等轴双曲线Γ经过点()3,2A ，则Γ的标准方程为（）A ．22155x y -=B ．22155y x -=C ．221y x -=D ．221x y -=【例2-3】（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点()1,2-，则它的方程是（）A ．212x y =或24y x =-B ．24y x =-或22x y =C ．212=-x yD ．24y x =-【一隅三反】1．（2023秋·甘肃临夏·高二校考期末）（1）若椭圆的焦点坐标为()3,0±，且椭圆经过点()4,0，求椭圆的标准方程．（2）与椭圆2212516y x +=有公共焦点，且经过点(-，求双曲线的标准方程．2．（2023春·陕西渭南·高二校考期中）已知曲线C 的方程：22152x y m m +=--(1)当m 为何值时，曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆？(2)当m 为何值时，曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线？3．（2023·江苏·高二假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)4a =，经过点13 ,A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭；(2)与双曲线22164x y -=1有相同的焦点，且经过点()2；(3)过点P 3 ,154⎛⎫ ⎪⎝⎭，Q 1653,⎛⎫- ⎪⎝⎭且焦点在坐标轴上．考点三直线与曲线的位置关系【例3-1】（2023秋·全国·高二期中）椭圆22182x y +=与直线()1y k x =-的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定【例3-2】（2023·全国·高二课堂例题）直线340x y -=与双曲线221916y x-=的交点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【一隅三反】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨七十三中校考期中）双曲线22194x y -=与直线()23y x m m =-+∈R 的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1或22．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨七十三中校考期中）直线1732y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与双曲线2219x y -=交点的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．43．（2023秋·高二课时练习）直线2y =与抛物线28y x =的公共点的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．无数考点四弦长【例4-1】（2023·全国·高二课堂例题）过双曲线224x y -=的右焦点F 作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A ，B 两点，则弦长AB =．【例4-2】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知抛物线28y x =的焦点为F ，已知第一象限的点A 在抛物线上，连接AF 并延长交抛物线于另一点B ，且2FB AF =，则AOB 的面积是.【一隅三反】1．（2023·江苏·高二假期作业）如图，已知斜率为－2的直线经过椭圆C ：22154x y +=的左焦点1F ，与椭圆相交于A ，B 两点，求：(1)线段AB 的中点M 的坐标；(2)AB 的值．2．（2022秋·江苏盐城·高二校联考期中）经过双曲线2213y x -=的左焦点1F 作斜率为2的弦AB ，求：(1)线段AB 的长；(2)设点2F 为右焦点，求2F AB 的周长.3．（2023秋·高二课时练习）经过点()2,2M 作直线l 交双曲线2214y x -=于,A B 两点，且M 为AB 中点．(1)求直线l 的方程．(2)求线段AB 的长．4．（2023·河南开封）已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线E 上一点H 的纵坐标为5，O 为坐标原点，2cos 3OFH ∠=-．(1)求抛物线E 的方程；(2)抛物线上有一条长为6的动弦长为6的动弦AB ，当AB 的中点到抛物线的准线距离最短时，求弦AB 所在直线方程．考点五离心率与渐近线【例5-1】（2023秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）直线l 经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到l 的距离为其长轴长的16，则该椭圆的离心率为（）A B C D 【例5-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线恰好与曲线21y x =+相切，则E 的离心率为（）ABC D 【一隅三反】1．（2024秋·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y --=垂直，则C 的离心率为（）AB CD 2．（2023秋·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2224x y ++=所截得的弦长为C 的离心率为（）AB ．3C D ．23．（2023·全国·高二课堂例题）下列有关双曲线221916x y -=与221169y x -=的说法正确的是（）A ．有公共顶点B ．有公共渐近线C ．有公共焦点D ．离心率相等4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）圆O （O 为原点）是半径为a 的圆分别与x 轴负半轴､双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线交于,P Q 两点（P 在第一象限），若C 的另一条渐近线与直线PQ 垂直，则C 的离心率为（）A ．3B ．2CD 考点六曲线的实际应用【例6-1】（2023秋·河北保定·高二统考期末）（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律．卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论正确的（）A ．卫星向径的取值范围是[],a c a c -+B ．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C ．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小D ．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆【一隅三反】1．（2022秋·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期中）（多选）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为右焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长､焦距分别为2a ､2c ，下列结论正确的是（）A ．卫星向径的取值范围是[,]a c a c -+B ．卫星运行速度在远地点时最小，在近地点时最大C ．卫星在左半椭圆弧的运行时间小于其在右半椭圆弧的运行时间D ．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越圆2．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）随着我国经济的迅猛发展，人们对电能的需求愈来愈大，而电能所排放的气体会出现全球气候变暖的问题，这在一定程度上威胁到了人们的健康．所以，为了提高火电厂一次能源的使用效率，有效推动社会的可持续发展，必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为1:40（图纸上的尺寸单位：m ），图纸中单叶双曲面的方程为22211(21)4x y z z +-=-≤≤（如图2），则该冷却塔占地面积为（）A ．22800πmB ．23000πmC ．23200πmD ．24800πm 3．（2022秋·福建福州·高二校联考期末）如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线22(0)x py p =>旋转形成的抛物面，当放入一个半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A 点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A 点，则p 的取值范围为.。

数学选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程章末复习提升课

人教A版数学选择性必修第一册 第三章章末总结(课件PPT)

新教材 人教A版高中数学选择性必修第一册 第三章 圆锥曲线的方程 讲义(知识点考点汇总及配套习题)