相似原理与量纲分析

对《粘性土地基强夯地面变形与应用的模型试验研究》的相似原理与量纲分析

包思远

摘要：实验研究是力学研究方法中的重要组成部分。量纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。相似原理与量纲分析的主要内容为物理方程的量纲齐次性，π定理与量纲分析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相似准则数、相似原理与模型实验。本文主要分析和学习例文中的相似模型的建立和量纲分析方法，用相似原理和量纲分析方法解决实验中遇到的问题。

关键字模型试验，相似原理，量纲分析

1 模型实验相似原理基础

模型顾名思义是把实际工程中的原型缩小N倍，进行相应的实验，得到相应的规律，来反映原型在现实工程中的状态，起到一个指导作用。

模型试验它的优点在于小巧，轻便，易于安装和拆卸，最重要的原因是它的经济性高能够从少量的实验经费中得到较好的实验规律。回归于模型试验的本质就是相似原理，而相似理论有三个，分别为相似第一、二、三三大定理，其中相似第一定律是:彼此相似的物理现象,单值条件相同,其相似准数的数值也相同;相似第二定律，也称为π定律，即:两个物体相似，无论采用哪种相似判据，某些情况下的相似判据均可写成为无量纲方程。第二相似定理表明现象的物理方程可以转化为相似准数方程。它告诉人们如何处理模型试验的结果，即以相似准数间的关系给定的形式处理试验数据，并将试验结果推广到其它相似现象上去;相似第三定律是相似现象的充要条件。现象相似的充分和必要条件是:现象的单值条件相似,并且由单值条件导出来的相似准数的数值相等。

实际应用时,相似条件都是由无量纲形式的π数来表示的。目前推导原型与模型相似条件的方法主要有方程分析法和量纲分析法。方程分析法是根据支配现象的微分方程来推导相似关系。在使用方程分析法推导相似关系时,首先要列出支配现象的微分方程,然后取项与项之比就可以求出无量纲的二数。这种方法对实验者知识的掌握程度要求较高。而且在计算机

发达的今天,基于数值计算的计算机方法往往比试验方法更有利。量纲分析法比方程分析法对知识的要求要低,但是正确应用量纲分析的前提条件是正确地选择支配现象的物理参数。因为量纲分析法本身无法判断出何种物理参数是支配现象的。

1.1 相似原理中的量纲分析

对模型试验来说，为了正确的把实验结果能够用来建立一般的规律性，就首先要对原型力学现象有一个清楚的认识，在安排实验时，正确的选择无量纲参数非常的重要，无量纲参量的数目应尽可能的少，且选定的参量又要以合适的形式反映其效应。

量纲分析法是用来找出各个物理量间的相关关系，探究许多事先并未知晓的物理规律或者说无法得知明确的数学物理方程的情况，它只需要找出与发生物体现象相关的一些参数就可找出相似条件。

有量纲量和无量纲量。所谓的有量纲量是指某一个数值要依附于一个单位制的量。而无量纲指的则是某个数值与单位制没有关系，比如:长度，时间，力矩等为有量纲量，而长度的比值，能量的比值，以及长度与体积的比值等均可认为是无量纲量。所以无量纲量与有量纲量的概念是相对来说的。

基本量度单位和导出量度单位。它们两个的概念可以这样来解释，即把某些物理量看成基本物理量，而其他各量分别以这些基本量来表示，由此把基本量所有的量度单位称为基本量度单位，把用基本量表示的量度单位称为导出量度单位。在具体的量纲分析中，选取基本量度单位要根据具体情况来定，如在工程中可以取力，长度和时间的单位等。另外，我们在量纲分析中，可以把长度单位的符号写成[L]，质量单位符号写成[M]，时间单位符号写成[T]，而导出量纲，如速度就可表示为L/T，力的量纲就可以是ML/T2。

量纲公式。通过量纲和谐原理，找出两边对应且一致的量纲，并且可以正确的体现规律的方程，也就是说可以正确反映物理规律的方程都能表示为无量纲方程。

1.2 相似条件

在利用相似原理之前，我们需要认清原型与模型是否符合一定的相似条件，而相似条件主要从多各方面来对比考虑，如几何相似，材料相似，荷载相似，初始条件和边界条件相似，质量相似，时间相似等等。所设计出的模型试验只有和现实相似了，结果和规律才能正确的反馈到现实中去。以下分别介绍几何相似和荷载相似:

(1)几何相似，模型和原型中形成一个尺寸比例关系，通过这一比例来确定模型的尺寸，进而可以确定其他的比值，如:面积比，惯性矩比，跨度比，以及在本实验模型中的锤重等。

(2)荷载相似，利用量纲分析得到相似系数来对荷载进行缩放。在本模型试验中只要确定了锤重，落距，就能得到夯击能的缩放比例。

2 相似原理与量纲分析在试验中的应用

例文应用强夯法模型试验，文中指出强夯模型试验的研究比较多，使用的方法也是各不一样，但普遍都存在各自的问题，比如模型箱的尺寸，所选用的参数，土的调制，测量方法等，都或大或小有着问题。如果我们把模型设计的太小，通过相似准则知道，其他的实验装置都必须做的比较精细，即测量时可能由于方法的粗糙，导致实验分析的结果与实际相差较远，也就是说所设计的模型试验不能反映现场规律，实验为不成功。所以探讨模型试验的不足以及它未来的发展趋势是有必要的。

2.1 实验模型的分析

一、探讨模型箱的尺寸

首先，从模型箱的设计尺寸大小来考虑，模型箱需要符合在强夯某一能量作用下最大影响范围和最大影响深度，计算出其大致范围和深度，即通过大致计算出影响深度，即可设计出模型箱的高度，而通过文献中得到的经验数据，表明夯点间距为锤径的1.5~2.0倍，也就是说模型箱的长宽度至少要为锤径的5倍左右，以此来设计模型试验箱，以避免实验后续过程中，模型箱边界效应的影响，导致实验结果不准确;其次，要考虑到模型箱内容土的体积，如果过小会有边界影响，过大又会加大实验量，拖慢实验进度，固考虑实验工作量也是一方面;最后，要综合考虑以上箱尺寸之后，要考虑的就是模型箱的制作材料，不同的材料会有不同程度的变形，对于强夯模型试验，在冲击的作用下当然是把箱体的变形减到最小就是最好的了。

二、探讨强夯模型实验中的相似系数

通过确定基本参数的比例，再由相似原理得到的所选取参数之间的相似关系，即可根据相似关系得到其它参数的比例系数，最后通过把原型缩小到模型的参数值去综合考虑该模型试验是否能够顺利的进行。如何选取基本参数的比例尤为重要，因为它涉及到后面的其他参数因子。原则上，要根据实际工程中的经验数值，挑选些比较容易见到的参数，且比较好控