《运筹学》期末考试试卷A答案

《运筹学》试题样卷（一）
一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X ）
1. 无孤立点的图一定是连通图。

2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。

3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。

4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。

5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与0
>j σ对应的变量都可以被选作换
入变量。

6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。

7. 度为0的点称为悬挂点。

8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。

9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。

二、建立下面问题的线性规划模型（8分）
某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。

农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。

如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。

该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。

种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。

养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900
元 / 每头奶牛。

养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。

农场现有鸡舍允许最多养1500
三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中54
,x x 为松弛变量，问
(1)写出原线性规划问题；（4分）
(2)写出原问题的对偶问题；（3分）
(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。

（1分）
四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）
s. t. 3 x1 + x2 + x3?60
x 1- x 2 +2 x 3?10
x 1+x 2-x 3?20
x 1,x 2 ,x 3?0
五、求解下面运输问题。

（18分）
某公司从三个产地A1、A2、A3将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示：
问：应如何调运，可使得总运输费最小?
六、灵敏度分析（共8分）
线性规划max z = 10x1 + 6x2 + 4x3
s.t. x1 + x2 + x3 ?100
10x1 +4 x2 + 5 x3 ?600
2x1 +2 x2 + 6 x3 ?300
x1 , x2 , x3 ?0
的最优单纯形表如下：
(1)C1在何范围内变化，最优计划不变？(4分)
(2)b1在什么范围内变化，最优基不变？(4分)
七、试建立一个动态规划模型。

（共8分）
某工厂购进100台机器，准备生产 p1 , p2 两种产品。

若生产产品 p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品 p2 ，每台机器 每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。

试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？ 八、求解对策问题。

（共10分）
某种子商店希望订购一批种子。

据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。

假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。

要求：
（1）建立损益矩阵；（3分）
（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。

（2分）
（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。

（5分） 九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。

（8分）
二、建线性规划模型。

共计8分（酌情扣分）
解：用321,,x x x 分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；54,x x 分别表示奶牛和鸡的饲养数；76,x x 分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有
三、对偶问题。

共计8分 解：（１）原线性规划问题：
3211026max x x x z +-=
⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≤+0,103522132122x x x x x x x
；……4分
（２）原问题的对偶规划问题为：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
≥≥+-≥-≥0,1022632121212y y y y y y y
； ……3分
（３）对偶规划问题的最优解为：
)2,4(=*Y T 。

……1分
四、单纯形表求解线性规划。

共计16分 解：引入松弛变量x 4、 x 5、 x 6，标准化得，
s. t. 3 x 1 + x 2 + x 3+ x 4 = 60 x 1- x 2 +2 x 3 + x 5 = 10 x 1+ x 2- x 3
+ x 6 = 0
x 1, x 2 , x 3， x 4、 x 5、 x 6，≥0……………3分
由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： ( 15 , 5 , 0 )T …2分
最优值为： z*=25。

………2分
五、求解运输问题。

共计18分
解：
（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分） 设x ij 为由A i 运往B j 的运量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）,
分
所以，基本的初始可行解为：x 14 =25； x 22=20 ； x 24 =5 ；
X 31 =15； x 33 =30； x 34=5
其余的x ij=0。

…………3分
（2）求最优调运方案：
1会求检验数，检验解的最优性：?11=2；?12=2；?13=3；
?21=1；?23=5；?32= - 1…………3分 2
分
…3分
3再次检验 …………2分 4能够写出正确结论
解为：x 14=25 ； x 22 =15 ； x 24 =10 x 31 =15， x 32 =5 x 33=30
其余的x ij=0。

(1)
分
最少运费为： 535 ………1分。

六、灵敏度分析。

共计8分 （1）（4分） （2）（4分）
七、建动态规划模型。

共计8分
解：(1)设阶段变量k 表示年度，因此，阶段总数n =3。

(2)状态变量sk 表示第k 年度初拥有的完好机床台数， 同时也是第 k –1 年度末时的完好机床数量。

(3)决策变量uk ，表示第k 年度中分配于生产产品 p 1 的机器台数。

于是sk – uk 便为该年度中分配于生产产品 p 1的机器台数．
（4） 状态转移方程为
（5）允许决策集合,在第 k 段为 （6）目标函数。

设gk (sk ,uk )为第k
年度的产量，则
gk (sk ,uk ) = 45uk + 35(sk –uk ) ,
因此，目标函数为
（7）条件最优目标函数递推方程。

令fk (sk )表示由第k 年的状态sk 出发，采取最优分配方案到第3年度结束这段时间的产品产量，根据最优化
原理有以下递推关系：
（8）.边界条件为
八、解决对策问题。

共10分
（1}{)(k k k k k s u u s U ≤≤=0∑
==3
),(k i k k k k u s g R 0)(1313=++s f
（2）悲观法：1
（3
23……2分
分十、用标号法求v1到v6的最短路。

（6分）。