复变函数学习指导

复变函数第二章学习指导

一、 知识结构

1.复变函数在一点可导的定义

2.解析函数 2.42.5

3.15⎧⎧⎨⎪

⎩⎪

⎪⎧⎪⎨⎨

⎩⎪

⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩

函数在一点解析的定义

定义函数在区域解析的定义四则运算运算复合运算定理充分必要条件定理及定理

3.

初等函数()

,,sin ,cos ,,z z z e z z Lnz z a z a αα⎧⎪⎨⎪⎩n 单值函数:z 与有例外

二、 学习要求

⒈理解解析函数的定义，性质及其充分必要条件；

⒉了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别；

⒊熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法； ⒋熟练掌握“已知解析函数的实部（或虚部），求该解析函数”的方法。 5.理解z z sin ,e 与z cos 的定义及其主要性质；

6.

,,z Lnz z a α的定义及其主要性质.

三、 内容提要

1.函数在一点可导的定义是

设函数)(z f w =定义在区域D 内，D z z D z ∈∆+∈)(,00，若

z

z f z z f z ∆-∆+→∆)

()(lim

存在，则称此极限为函数)(z f 在点0z 的导数，记为)(0z f '，即 z

z f z z f z f z ∆-∆+='→∆)

()(lim

)(000

0 （2.1）

此时，称函数)(z f 在点0z 可导，否则，称函数)(z f 在点0z 不可导。 2.函数在一点解析的定义是

设函数)(z f w =定义在区域D 内，0z 为D 内某一点，若存在一个邻域),(0p z N ，使得函数)(z f 在该邻域内处处可导，则称函数)(z f 在点0z 解析。此时称点0z 为函数)(z f 的

解析点。若函数)(z f 在点0z 不解析，则称0z 为函数)(z f 的奇点。

关于解析函数的定义，有下面的注解：

注解1 解析性与可导性：在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；

注解2 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一个点的可导性不能得到在这个点解析。

3.若函数),(i ),()(y x v y x u z f ++=定义在区域D 内，则函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是：

⑴),(y x u 与),(y x v 在D 内可微。 ⑵x y y x v u v u -==,在D 内成立。

条件⑵称为柯西——黎曼条件或C.— R.条件。 函数)(z f 在区域D 内为解析函数的充分必要条件是： ⑴y x y x v v u u ,,,在D 内连续．

⑵x y y x v u v u -==,在D 内成立．

关于柯西-黎曼条件，有下面的注解：

注解1 解析函数的实部与虚部不是完全独立的，它们是C-R 方程的一组解； 注解2 解析函数的导数形式更简洁.

4.初等解析函数 整幂函数

定义 设y x z i +=，n 为正整数，称n

z w =为整幂函数． 指数函数

定义2.4 设y x z i +=，称

)sin i (cos e e y y x

z

⋅+= （2.9） 为指数函数，其等式右端中的e 为自然对数的底，即 2.71828e =． ⑴对任意二复数111i y x z +=与222i y x z +=,有

2121e e e z z z z +=⋅

⑵z e 在复平面上为解析函数，且有z

z e )(e =' ⑶对任意一复数y x z i +=，有

π2)(Arg ,

e e k y z x

z +== （k ：整数）

⑷z

e 只以i π2k (k 为整数)为周期． ⑸21

e e

z z =的充分必要条件是

i π212k z z =- （k 为整数）

⑹z

z e lim ∞

→不存在．

⑺设y x z i +=，若0=y ，则x

z e e =；若0=x ，则

y y y sin i cos e i ⋅+=

这便是欧拉公式．

⑻若y x z i +=，则z

z

e e

=．

三角函数

定义2.6 设z 为复数，称

i

2e e i i z

z -- 与2e e i i z z -+

分别为z 的正弦函数和余弦函数，分别记作

i

2e e sin i i z

z z --=

与 2e e cos i i z z z -+= 正、余弦 函数的性质：

⑴z sin 与z cos 在复平面解析，且有

z z z z sin )(cos ,cos )(sin -='='

⑵三角学中实变量的三角函数间的已知公式对复变量的三角函数仍然有效：

例如，由定义可推得

1cos sin 22=+z z z z cos )2sin(=+π

z z sin )2

cos(

-=+π

212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=± 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z =±

z z sin )sin(-=- z z cos )cos(=-