数理统计复习题第五章

第五章 大数定律与中心极限定理

一、 典型题解

例1设随机变量X 的数学期望()(){}2,3E X u D X X u σσ==-≥方差，求P 的大小区间。

解 令3εσ=，则有切比雪夫不等式有：

()()

()22

221

,339D X P X E X P X E X σεσεσ⎡⎤⎡⎤-≥≤

-≥≤=⎣⎦⎣⎦有

例2在n 次独立试验中，设事件A 在第i 次试验中发生的概率为()1,2,....i p i n =

试证明：A 发生的频率稳定于概率的平均值。

证 设X 表示n 次试验中A 发生的次数，引入新的随机变量0i A X A ⎧=⎨⎩1,发生•

，不发生

()12,...i n =，

，则X 服从()01-分布，故 ()()(),1i i i i i i i E X p D X p p p q ==-=，

又因为

()

()2

2

4140i i i i i i i i p q p q p q p q -=+-=-≥，

所以

()()1

1,2, (4)

i i i D X p q i n =≤

= 由切比雪夫大数定理，对,o ε∀>有()11lim 1n i i n i p X E X n ε→∞

=⎧⎫

-<=⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭

∑ 即 11lim 1n i n i X p p n n ε→∞

=⎧⎫

-<=⎨⎬⎩⎭

∑

例 3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学

生无家长，1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。（1）求参加会议的家长数X 超过450的概率；（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率。

解（1）以()400,,2,1 =k X k 记第k 个学生来参加会议的家长数，则k X 的分布律为

k X 0 1 2 k P 0.05 0.8 0.15

易知()()19.0,1.1==k k X D X E ，1,2,...400.k =而∑==400

1

k k X X .由独立同分布中

心极限定理知，随机变量

19

.04001.140019

.04001

.1400400

1

⨯-=

⨯-∑=X X

k k

近似服从正态分布()0,1N ，于是

{

}()14004001.1

45011.147.00.4000.19

11.1470.1357

P X P P

⎫>=>=-≤

⎬⎭≈-Φ= （2）以Y 记有一名家长来参加会议的学生数，则(400,0.8)Y B ，由德莫佛—拉普拉斯定理得

{

}

()340 2.52.50.9938.

P Y P P ≤=≤⎫=≤⎬

⎭≈Φ=

例4一加法器同时收到20个噪声电压()20,,2,1 =k V k ，设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布。记∑==20

1k k V V ，求()105P V >的近

似值。

解 易知()())20,,2,1(12100,5 ===k V D V E k k ，由独立同分布中心极限定理，随机变量

20

1210052020

121005

2020

1

⨯-=

⨯-=

∑=V V

Z k k

近似服从正态分布()0,1N ，于是

()

()20387201001050.38712101220

110.

38710.3870.348

20t P V P P P dt --∞

⎧

⎫⎧

⎫

⎪>=>

=>⎬⎪⎭⎧

⎫⎪

=-≤≈-=-Φ=

⎬⎪⎭

⎰

即有 ()1050.348.P V >≈

例5一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于03的概率为

1

3

p =

，若船舶遭受了90 000次波浪冲击，问其中有29 500～30 500次纵摇角度大于03的概率是多少？

解 我们将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。在90 000次波浪冲击中纵摇角度大于03的次数记为X ，则X 是一个随机变量，且有

1(90000,)3

X B 。其分布律为{}9000090000

12,0,1,,90000.33k k

k P X k C

k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

所求的概率为

{}9000030500

9000029500

122950030500.33k

k

k

k P X C -=⎛⎫⎛⎫≤≤= ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭∑

要直接计算是麻烦的，我们利用德莫佛—拉普拉斯定理来求它的近似值。即有

{}

2

22950030500.t P X P dt -⎧⎫≤≤=≤≤⎛⎫⎛⎫

≈=Φ-Φ

其中

190000,3n p ==

。即有

{}()()

295003050020.9995P X ≤≤≈Φ-Φ-=.

例6 设在某中重复独立试验中，每次试验事件A 发生的概率为1

4

，问能以0.9997的概率保证在1000次试验中A 发生的频率与1

4

相差多少？此时A 发生的次数在哪个范围之内？

解 设A n 为n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，p 是在各次试验中事件A 发生的概率。则(),A n B n p ，当n 很大时，由德莫佛—拉普拉斯定理，有A n 近似服从()(),1,N np np p -从而

{}A A n p p p np n n np n n βεεε⎧⎫

=-≤=-≤≤+⎨

⎬⎩⎭