数理统计与随机过程试题
(完整word版)随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
随机过程例题
s h X (t) n}
P{s Wk s h, X (t) n} P{X (t) n}
P{s Wk s h, X (t) X (s h) n k} P{X (t) n}
P{s Wk s h} P{X (t) X (s h) n k} P{X (t) n}
[解] E[X (t)] E[Y (t)] 0
RX (t,t )
a2 2
cos
RX ( )
RY (t,t
)
b2 2
cos
RY ( )
故 X (t)和 Y (t)均是平稳过程。
RXY (t, t ) E[ X (t)Y (t )] E{a cos(t )b sin[(t ) ]}
4谱 分析
例2
• 已知平稳过程的相关函数为 RX ( ) ea cos，(其0中) a
> 0, 0 为常数，求谱密度 GX () .
[解]
GX
()
2
0
e a
c os (0
) cos(
) d
0
e a
[c os (0
)
c os (0
)
]d
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
[解] (1) 随机过程 X (t) 是平稳过程，
相关函数：
RX
( )
a2 2
cos(0 )
平均功率： P RX (0) a2 2
(2)
E[ X
2 (t)]
E[a 2
cos2 (0t
)]
a2 2
a2
s in(2 0t )
X (t) 是非平稳过程
平均功率： P lim 1 T E[ X 2 (t)]dt a2 2 T 2T T
随机过程试题及答案
随机过程试题及答案随机过程是概率论与数理统计的重要理论基础之一。
通过研究随机过程，可以揭示随机现象的规律性，并应用于实际问题的建模与分析。
以下是一些关于随机过程的试题及答案，帮助读者更好地理解与掌握这一概念。
1. 试题：设随机过程X(t)是一个马尔可夫过程，其状态空间为S={1,2,3}，转移概率矩阵为：P =| 0.5 0.2 0.3 || 0.1 0.6 0.3 || 0.1 0.3 0.6 |(1) 计算X(t)在t=2时的转移概率矩阵。
(2) 求X(t)的平稳分布。
2. 答案：(1) 根据马尔可夫过程的性质，X(t)在t=2时的转移概率矩阵可以通过原始的转移概率矩阵P的2次幂来计算。
令Q = P^2，则X(t=2)的转移概率矩阵为：Q =| 0.37 0.26 0.37 || 0.22 0.42 0.36 || 0.19 0.36 0.45 |(2) 平稳分布是指随机过程的状态概率分布在长时间内保持不变的分布。
设平稳分布为π = (π1,π2, π3)，满足πP = π（即π为右特征向量），且所有状态的概率之和为1。
根据πP = π，可以得到如下方程组：π1 = 0.5π1 + 0.1π2 + 0.1π3π2 = 0.2π1 + 0.6π2 + 0.3π3π3 = 0.3π1 + 0.3π2 + 0.6π3解以上方程组可得到平稳分布：π = (0.25, 0.3125, 0.4375)3. 试题：设随机过程X(t)是一个泊松过程，其到达率为λ=1，即单位时间内到达的事件平均次数为1。
(1) 请计算X(t)在t=2时的累计到达次数的概率P{N(2)≤3}。
(2) 计算X(t)的平均到达速率。
4. 答案：(1) 泊松过程具有独立增量和平稳增量的性质，且在单位时间内到达次数服从参数为λ的泊松分布。
所以，P{N(2)≤3} = P{N(2)=0} + P{N(2)=1} + P{N(2)=2} +P{N(2)=3}，其中P{N(2)=k}表示在时间间隔[0,2]内到达的次数为k的概率。
随机过程试题及答案
1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。
2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，且A 和Φ服从在区间[]0,1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为 。
3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t 0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从 分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t 对应随机变量⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果时取得红球如果t t t e tt X ,,3)(，则 这个随机过程的状态空间 。
6．设马氏链的一步转移概率矩阵ij P=(p )，n 步转移矩阵(n)(n)ijP (p )=，二者之间的关系为 。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为 。
8．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t 则{(5)6|(3)4}______P X X ===9．更新方程()()()()0tK t H t K t s dF s =+-⎰解的一般形式为 。
10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。
二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。
3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1<n l ≥≤和i,j I ∈，n 步转移概率(n)()(n-)ij ik kjk Ip p p l l ∈=∑ ，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。
北京工业大学2010-2013学年数理统计与随机过程(研)试卷
北京工业大学2010-2011学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。
数据结果保留3位小数。
考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛骤等编第三版（或第四版）高等教育出版社，不能携带和查阅任何其他书籍、纸张、资料等。
考试时允许使用计算器。
考试时间120分钟。
考试日期：2011年1月4日1.某茶叶制造商声称其生产的一种包装茶叶平均每包重量不低于150克，已知茶叶包装重量服从正态分布，现从一批包装茶叶中随机抽取100包，经计算得到样本均值为149.7,样本标准差为0.9,试在α＝0.01的显著性水平上检验该制造商的说法是否可信？2. 某食品市场的经理将根据预期到达商店的顾客来决定职员分配数目以及收款台的数目。
为检验工作日上午顾客到达数（用5分钟时间段内进入商店的顾客数来定义）是否服从泊松分布，随机选取了一个由3周内工作日上午的128个5分钟时间段组成通过这些样本，请你帮忙分析到达顾客数服从泊松分布吗？（取显著性水平）3.一家关于MBA 报考、学习、就业指导的网站希望了解国内MBA 毕业生的起薪是否与各自所学的专业有关，为此，他们在已经在国内商学院毕业并且获得学位的MBA 学生中按照专业分别随机抽取了5人，调查了他们的起薪情况，数据如下表所示（单 位： 万元），根据这些数据他们能否得出专业对MBA 起薪有影响的结论？（取显著性水平050.=α）4．为定义一种变量,用来描述某种商品的供给量与价格之间的相关关系.首先要收集（1） 试确定（2） 对回归方程进行显著性检验（α=0.05）；（3） 当x=20时,求y 的95％的预测区间。
5．6．设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，其一步转移概率矩阵为 3104411142431044P ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其初始状态的概率分布为01(0)(),0,1,2,3i i p P X i i ====求： （1）求2{1}P X =；（2）求2{2|1}n n P X X +==；（3）求012{1,2,1}P X X X ===；（4）讨论此链是否具有遍历性，若是遍历的求其极限分布。
数理统计与随机过程 随机过程试题
数理统计和随机过程考试试题一、填空(1，2小题每空3分,3，4，5每空4分，共21分) 1. 设1,,X X X 是来自总体(0,1)XN 的简单随机样本，统计量12()~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = .2. 设),,,(21n X X X 是来自正态总体),(2σμN 的简单随机样本。
记∑==n k k X n X11，*2211()1n k k S X X n ==--∑，则()(X S μ-服从 分布。
3. 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为621()/()X k S k k ωω==+∑,则(0)X R = 。
4．设随机过程()X t ，t T ∈，若 ，则称()X t 为弱平稳过程。
5．设()X t 为标准的Wiener 过程，则其相关函数12(,)X R t t = 。
二、假设总体的分布密度为2222exp(),0(;)00x x x f x x θθθ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩其中0θ>是未知参数，试求参数θ的极大似然估计量.（14分） 三、设112,,,n X X X 是来自总体211~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y 是来自总体222~(,)Y N μσ的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为*2*212,S S ，且设221212,,,μμσσ均为未知. 欲检验假设22012:H σσ=，22112:H σσ<，显著性水平α事先给定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.（10分）四、试求随机过程{()cos ,}X t A t t R ω=∈的一维分布函数、一维概率密度函数，自相关函数与协方差函数 ，其中A 服从标准正态分布(0,1).N （15分） 五、（1） 二阶矩过程()X t (01)t ≤<的自相关函数为21212(,)1X R t t t t σ=-，其中120,1t t ≤<，此过程是否均放连续、均方可导，为什么？若均方可导，试求12(,)X R t t '和12(,)XX R t t '（8分）；（2） 设()cos sin X t A t B t αα=+，α为常数，,A B 相互独立同分布于2(0,)N σ，判断()X t 是否均方可积。
随机过程习题及部分解答【直接打印】
随机过程习题及部分解答习题一1. 若随机过程()(),X t X t At t =-∞<<+∞为，式中A 为（0，1）上均匀分布的随机变量，求X (t )的一维概率密度(;)X P x t 。
2. 设随机过程()cos(),X t A t t R ωθ=+∈，其中振幅A 及角频率ω均为常数，相位θ是在[,]ππ-上服从均匀分布的随机变量，求X (t )的一维分布。
习题二1. 若随机过程X (t )为X (t )=At t -∞<<+∞，式中A 为（0,1）上均匀分布的随机变量，求12[()],(,)X E X t R t t2. 给定一随机过程X (t )和常数a ，试以X (t )的相关函数表示随机过程()()()Y t X t a X t =+-的自相关函数。
3. 已知随机过程X (t )的均值M X (t )和协方差函数12(,),()X C i t t ϕ是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+是普通函数，试求随机过程()()()Y t X t t ϕ=+的均值和协方差函数。
4. 设()cos sin X t A at B at =+，其中A ，B 是相互独立且服从同一高斯（正态）分布2(0,)N σ的随机变量，a 为常数，试求X (t )的值与相关函数。
习题三1. 试证3.1节均方收敛的性质。
2. 证明：若(),;(),X t t T Y t t T ∈∈均方可微，a ,b 为任意常数，则()()aX t bY t +也是均方可微，且有[()()]()()aX t bY t aX t bY t '''+=+3. 证明：若(),X t t T ∈均方可微，()f t 是普通的可微函数，则()()f t X t 均方可微且[()()]()()()()f t X t f t X t f t X t '''=+4. 证明：设()[,]X t a b 在上均方可微，且()[,]X t a b '在上均方连续，则有()()()b aX t dt X b X a '=-⎰5. 证明，设(),[,];(),[,]X t t T a b Y t t T a b ∈=∈=为两个随机过程，且在T 上均方可积，αβ和为常数，则有[()()]()()b b baaaX t Y t dt X t dt Y t dt αβαβ+=+⎰⎰⎰()()(),b c baacaX t dt X t dt X t dt a c b =+⎰⎰⎰≤≤6. 求随机微分方程()()()[0,](0)0X t aX t Y t t X '+=∈+∞⎧⎨=⎩的()X t 数学期望[()]E X t 。
随机过程习题
一．填空题〔每空2分，共20分〕2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-<t<ωΦ∞∞ 其中ω为正常数，A 和Φ是相互独立的随机变量，3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为1λ的同一指数分布。
4．设{}n W ,n 1≥是与泊松过程{}X(t),t0≥对应的一个等待时间序列，则n W 服从Γ分布。
5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t2t,;e,e ⎫⎬⎭。
7．设{}n X ,n 0≥为马氏链，状态空间I ，初始概率i 0p P(X =i)=，绝对概率{}j n p (n)P X j ==，n 步转移概率(n)ij p ，三者之间的关系为(n)j i ij i Ip (n)p p ∈=⋅∑。
8．在马氏链{}n X ,n 0≥中，记 {}(n)ij v n 0f P X j,1v n-1,X j X i ,n 1,=≠≤≤==≥(n)ij ij n=1f f ∞=∑，假设ii f1<，称状态i 为非常返的。
9．非周期的正常返状态称为遍历态。
三．计算题〔每题10分，共50分〕1.抛掷一枚硬币的试验，定义一随机过程：cos t H X(t)=t Tπ⎧⎨⎩ ,t (-,+)∈∞∞，设1p(H)=p(T)=2，求〔1〕{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；〔2〕一维分布函数F(x;0),F(x;1)。
解：〔1〕样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； 〔2〕当t=0时，{}{}1P X(0)=0P X(0)=12==， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11⎧⎪⎪≤⎨⎪≥⎪⎩；同理0x<-11F(x;1)=1x<12x 11⎧⎪⎪-≤⎨⎪≥⎪⎩2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。
3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。
数理统计与随机过程例题精选
例1：设ζ，η为相互独立，数字期望均为0、 方差均为1的随机变量，令ζ（t）=ζ+ηt， 求ζ（t）的均值、方差和相关函数。
解：
1 (t ) E[ (t )] E ( ) tE() 0;
(t ) D[ (t )] D( t ) D( ) t D( ) 1 t ;
0 0 3 4 P 1 1 4 2 0 1
1 4 1 2 3 4
2 0 1 4 1 4
1 2 3
P X 0 0, X 2 1, X 4 1 P X 2 1, X 4 1| X 0 0 P X 1 0, X 2 0, X 3 0, X 4 0 | X 0 0
(4) E[N(5)]=5 , D N 5 5 , Cov[ N (5), N (12)] D N 5 5.
例3：证明:正弦波X (t ) Acos( t ) t , 2 x, 0 x 1 其中是常数, A与相互独立, A~f ( x) , 0, 其它 在(0, 2 )上均匀分布,是平稳过程; 并判断其是否为各态历经过程.
（2）ξt的均值函数;(3) ξt的相关函数。
解：（1）P{在[0，t]内发生偶数次“随机点”}
( t ) 2 ( t ) 4 p0 (t ) p2 (t ) e t {1 } 3 t cosht 2! 4!
（2）显然
E (t ) 1 e t cosht (1) e t sinh t e t (cosht sinh t ) e t e t e 2 t
3/4 1/4 0 3/4 1/4 0 0
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
统计06级《随机过程》考试试题_B
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称 随机过程 （ B 卷）一、（15分）证明：对1210n n t t t t -∀≤<<<<，{}121121|,,,n n n t n t n t n t P X x X x X x X x ----≤==={}112111201|,,n nn n t t n n t t n nt P X X x x X X x x X X x ------=-≤--=--= {}11n n t t n n P X X x x --=-≤-（独立增量性） {}11|n n t n t n P X x X x --=≤=因此，{},0t X t ≥是一个马尔可夫过程。
二、（15分）解：取充分小的0h >，则有：{,()}{()}{()}r r P x W x h N t n P x W x h N t n P N t n <≤+=<≤+==={,()()}{()}{}{()()}{()}r r P x W x h N t N x h n r P N t n P x W x h P N t N x h n r P N t n <≤+-+=-==<≤+-+=-==()[()]()()!()!r n r t x h W n tt x h f x h en r t e n λλλλ--------=两边除以h ，并令0h →，我们有：1[()][()]()()!()!(())()()(1)!!!r r n r n r x xW r r x W nn t x t x f x e en r n r f x N t n x e t t r n n λλλλλλλλ--------===- 最后我们可以得到结果：1!1(())1,0()!(1)!r r n rW n x x f x N t n x t n r r t t t--⎛⎫⎛⎫==-⋅<< ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭三、（15分）解：画出状态转移图，有：状态3、4无法和其它状态相通，组成一个闭集，且331f =，所以状态3、4为常返态；另外状态0、2相通组成一个闭集，且001f =，故状态0、2是常返态；因为(1)111/2f =，()110,(1)n f n =>，故111/21f =<，所以状态1为非常返态。
数理统计与随机过程 研究生 练习题
一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.解 85:0=μH ，85:1≠μH选统计量n s x T /0μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平050.=α）解：由极大似然估计得.2ˆ==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。
则}{k XP =有估计 i p ˆ ,7,0,!2}{ˆ2===-k k e k X P k=0ˆp三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。
五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。
（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。
随机过程试题带答案
随机过程试题带答案1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 __________2 ?设随机过程X(t)⼆Acos( ? ? t+G),-：：⽴的随机变量，且A和门服从在区间10,1 1上的均匀分布，贝U X(t)的数学期望为______________ 。
3?强度为⼊的泊松过程的点间间距是相互独⽴的随机变量，且服从均值为丄____ 的同⼀指数分布。
4?设:W n,n 是与泊松过程1X(t),t ⼀0?对应的⼀个等待时间序列，则W n服从-分布。
5?袋中放有⼀个⽩球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取⼀球，取后放回，f t对每⼀个确定的t对应随机变量x(t)⼆3,如果t时取得红球，则这个随机过e t, 如果t时取得⽩球程的状态空间_________ 。
6?设马⽒链的⼀步转移概率矩阵P=(P j)，n步转移矩阵P(n)，⼆者之间的关系为—P(n) =P n—。
7?设:X n,n ⼀0?为马⽒链，状态空间I，初始概率P i⼆P(X。
⼆i)，绝对概率P j(n) =P(X n⼆j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为P j(n)⼋P i p j n)。
8 .设｛X(t),t - 0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则1. 设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式：P(BC A)=P(B A)P(C AB)。
1.为e，(e -1)。
2. (sin(?t+1)-sin t)。
3. _ 2 ■1 24. - 5 . -1,—t,|l| ;e,e2"l 。
6 . P(n^ P n。
7 . P j(n) 7 P i p j n) <—13 3 J ------------ 阳6t a8. 18e 9。
K t i；=H t］⼇i0K t — sdM s 10.2. 设｛X(t), t_0｝是独⽴增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t), t_0｝是⼀个马尔科夫过程。
《数理统计与随机过程》试题
一、(本题10分)设11,,,n n X X X + 是来自总体2(,)N μσ的简单样本，记2,n X S 为前n个样本的均值和方差，试求证：(1)T t n =-二、（本题15 分）设1,,n X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，其中μ已知，1）试求出2σ的极大似然估计2ˆσ。
2）证明2ˆσ是2σ的无偏估计。
3）证明2ˆσ是较2211()1nii S XX n ==--∑更有效的估计。
三、(本题15分)设1216,,,X X X 是总体~(,4)X N μ的样本，1）试证：对假设01:0:0H H μμ=↔≠，其两个拒绝域1{2 1.645}W X =≤-与2{1.52 2.125}W X =≤≤有相同的显著性水平0.05.α=2）求μ的置信度为95.0的单侧置信下限。
四、（本题15 分）某研究所推出一种感冒新药，为证明其疗效，选择了200名感冒患者，将其分为两组，一组不服药，另一组服药，数天后治愈情况如下表：试在显著性水平05.0=α的水平下，检验这种感冒新药是否有明显的疗效。
五、(本题15分)考察温度x 0C 对产量y （kg ）的影响，测得 10组数据如下表：( 1010102211142.5,18.6,20125,3564.1,8365iii i i i i x y x y x y ========∑∑∑ )应用线性模型,10~110=++=i x y i i i εββ其中),,0(~2σεN i 且相互独立1）试求回归方程及回归决定系数2R 。
2）试检验回归方程的显著性(0.05α=)。
3）当自变量042x =0C 时，求预测值0y 及其95%的预测区间。
六、(本题15分)设随机相位正弦波过程()cos()X t A t ωξ=+，其中A 为常数，随机变量ξ服从[0,2]π上的均匀分布，证明：()X t 为宽平稳过程；七、(本题15分)在某城市的地价预测研究中，将每月的地价分为“上涨”、“持平”、“下跌”三个状态，用1、2、3表示，用n X 表示第n 月的地价状态，则可以认为}2,1,0,{ =n X n 为齐次马尔可夫链，转移概率矩阵为：1/21/201/31/31/31/61/21/3P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）试说明该马氏链是遍历链；（2）求其平稳分布，并给出实际意义的解释。
数理统计与随机过程复习题
数理统计与随机过程复习题数理统计与随机过程复习资料第1章抽样与抽样分布1. 设母体，是来自母体的一个子样，若问C为何值时，CY服从t分布，并给出其自由度。
2. 设母体,是来自母体的一个容量为6的子样，设，求常数C，使CY服从分布。
3. 设是来自总体的简单样本，记为前个样本的均值和方差，试求证：。
第2章参数估计1. 设母体（二项分布），其中：N已知，p是未知参数。
求p的最大似然估计量。
并确定所得估计量的无偏性和相合性。
2. 设母体（二项分布），求参数N，p的矩估计量。
3. 设为母体的一个子样，，当为何值时，Y为的无偏估计量且方差最小。
4. 设为母体的一个子样，，当满足什么条件时，Y为的无偏估计量，并求方差。
5. 设为母体的一个子样，求常数C，使为的无偏估计。
6. 设母体X的密度函数为a与b为参数，求a与b的矩估计。
7. 设母体（正态分布），其中：和为参数。
求和的最大似然估计量。
并确定所得估计量的无偏性；若是有偏，进行修正。
8.设母体X的分布密度为，其中，求参数的最大似然估计量。
9. 设母体（均匀分布），为参数，为母体的一个子样，，求参数的置信概率的置信区间。
10. 设母体（正态分布），其中为未知参数，为母体的一个子样，求母体平均数的置信概率为的置信区间。
11. 两台机床加工同一种零件，分别抽取6个和9个零件，测量其长度计算得到.。
假定各台机床零件长度服从正态分布。
求两个母体方差比的置信区间（=0.95）。
12.设是取自总体的一个样本，总体X的密度函数为（1）求的矩估计和极大似然估计；（2）的矩估计和极大似然估计是否为无偏的。
第3章假设检验1. 设母体和，和分别是来自母体X和母体Y的独立子样。
给定显著水平，检验假设，2. 设和分别是来自母体和母体的独立子样，且。
给定显著水平，检验假设，第4章方差分析1. 下表给出某种化工过程在三种浓度、四种温度水平下的得率数据：取显著水平，在不考虑交互作用的条件下，检验浓度和温度对得率是否有显著影响？浓度（%）温度（℃）102438522101191047876651312102. 在一元方差分析中，，而，试求的无偏估计量及其方差。
数理统计与随机过程复习题
10 i 1
y
i 1
2 i
1003075 .
10 2
则 Lxx xi2 nx 1096.5 . Lxy xi yi nx y 1974.5 . Lyy yi2 n y 7672.5 .
i 1
i 1
10
2
ˆ 1
Lxy Lxx
即为： 0.2949， 0.3131 .
1 225 205 1.149 . （4） 225 0.4892 2.2281 1 12 14300
ˆ 0 10.28 0.304 225 78.68 ， y
2
ˆ0 x0 ，y ˆ0 x0 预测区间为： y ，即为： 77.53， 79.83 .
3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布 N ， 2 ，其中 40 （kg / cm2） 。现从 一批这种钢索的容量为 9 的一个子样测得断裂强度平均值为 X ， 与以往正常生产时的 相比， 。设总体方差不变，问在 0.01 下能否认为这批钢索质量有显著提 X 较 大 20（kg / cm2） 高？
而
2
10 0.035%
2 2 7.656 n 1 .
0.04%
2
未落在拒绝域中，接受 H 0 .
—2—
4.1 炼铝厂测得铝的硬度 x 与抗张强度 y 的数据如下：
xi yi
68
53
70
84
60
72
51
83
70
64
288 298 349 343 290 354 283 324 340 2862Βιβλιοθήκη n 1， X t
随机过程练习题[1]
![随机过程练习题[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f990ed48c850ad02de804131.png)
S (t ) X (t ) Y (t )
是具有强度 的泊松过程． 6．设齐次马氏链的转移概率矩阵为
1 / 3 1 / 2 P 1/ 4 0
1/ 3 1/ 3 0 1/ 2 0 0 1/ 4 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2
(1) 此链有几个状态？ (2) 试画出转移概率图； （3）从第 2 个状态至少要几步才能转移到第 3 个状态？ 7．设齐次马氏链 { X n , n 1} 的状态空间为 S {0,1,2} ，一步转移概率矩阵为
1 / 2 1 / 2 0 P 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 3 / 4 1/ 4
初始分布 P ( X 0 i ) 1 / 3, i 0, 1, 2 ．试求： （1） P ( X 0 0, X 2 1) ； （2） P ( X 2 0) ． 8．设马氏链 { X n , n 1} 的状态空间为 S {1,2,3} ，一步转移概率矩阵为
试证此链不是遍历的． 10．设齐次马氏链 { X n , n 0} 的状态空间为 S {0,1,2} ，一步转移概率矩阵为
1 / 2 1 / 3 1 / 6 P 1 / 3 2 / 3 0 0 1/ 2 1/ 2
（画出转移概率图； （2）此链是否遍历？（3）若遍历，求其平稳分布．
随机过程练习题
1．设 Y (t ) Xt a, t T , X 为随机变量， a 为常数，且 E ( X ) 机过程 Y (t ), t T 的均值函数、协方差函数．
, D( X ) 2 ，试求随
2．设随机过程 X (t ) X 1 X 2 t , t R ， X 1 , X 2 为相互独立的随机变量，且都服从正态 分布 N (0, ) ．试求随机过程 X (t ) 的一维分布．
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一、（10分）某工程部队的工程师向领导建议，他提出的一项新工艺在不降低工程质量和影响工程进度的同时，还将节省机器运转的开支。
假如采用旧工艺时机器每星期运转开支平均是1000元，又假定新旧工艺机器每星期运转开支X 都是服从正态分布，且具有标准差250元。
使用新工艺后观察了9个星期，其机器运转开支平均每星期是750元。
试在01.0=α的水平下，检验工程师所述是否符合实际，即新工艺是否能节省开支。
（3554.3)8(005.0=t ，8965.2)8(01.0=t ，57.2005.0=u ，33.201.0=u ） 二、（12分）设母体
X
服从正态分布),(2σμN ，X 是子样),,,(21n X X X Λ的平均数，
∑=-=n
i i n
X X n S 1
2___
2
)1（是子样方差，又设),(~21σμN X n +，且与n X X X ,,,21Λ独立，求：
（1）X E ，X D ，2
n ES ，2n DS ；（2）统计量
1
1
1+--+n n S X
X n
n 的分布。
三、（13分）一个罐中装有黑球和白球，其中黑球、白球的个数均未知，如何用统计的方法估计其中黑球与白球的比例。
（建立模型并给出两种估计方法） 四、（15分）以下为温度对某个化学过程的生产量的影响的数据：
已知
X 和Y 之间具有线性依赖关系。
（1）写出其线性回归模型，并估计参数βα,； （2）讨论回归系数的性质（分布）。
五、（10分）设有一随机过程)( t X ，它的样本函数为周期性的锯齿波。
下图（a ）、（b ）画出了二个样本函数图。
各样本函数具有同一形式的波形，其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。
设在0=t 后的第一个零值点位于0τ，0τ是一个随机变量，它在) , 0 ( T 内均匀分布，即
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它值
00
1
)( 0T t T
t f τ
若锯齿波的幅度为A ，求随机过程)( t X 的一维分布函数和分布密度。
六、（10分）() t X 通过一线性系统后产生输出() t Y ，有⎰-=t
T t du u X T
t Y )(1)(
（1） 求该系统的频率响应函数；
（2） 若()t X 为一平稳过程，且其相关函数为,4
1)(2τ
λτ-=
e R X （λ为常数），求输出过程的谱密度。
七、（15分）设0),(≥t t X 为泊松过程，
（1）求})(,)({2211k t X k t X p ==，用21,t t 的函数表示； （2）求该过程的期望和相关函数。
该过程是否为平稳过程？ （3）证明泊松过程是具有负指数间隔的计数过程。
八、（15分）设随机过程()0,≥t t X 只取两个值：A ，A -，且
t
A t X A t t X p t A t X A t t X p ∆∆∆∆211})(|)({1})(|)({μμ-=-=-=+-===+
（1）说明()t X 是一个齐次马尔科夫过程，写出转移概率函数满足的微分方程组； （2）求极限概率。