理论物理导论-哈密顿函数

理论物理导论 对拉格朗日函数全微分得： 对拉格朗日函数全微分得：
∂L ∂L ∂L ɺ ɺ dL( q, q, t ) = ∑ ( dqα + dqα ) + dt ɺ ∂qα ∂t α=1 ∂qα
s
ɺ ɺ = ∑ ( pα dqα + pα dqα ) +
α=1
s
∂L dt ∂t
对Hamiltonian函数 q , p , t )全微分得： 函数H( 全微分得： 函数 全微分得
由运动方程和分动量方程有： 由运动方程和分动量方程有： c2 α ɺ ɺɺ mr − mr θ2 − 3 2 + = mr sin θ r d c 2 cos θ ɺ mr 2 θ = 2 3 dt mr sin θ
二维极坐标方程
(
)
电子在 ( r , θ ) 平面上运动
理论物理导论
［例2］
一质量为m、半径为r的圆柱体置于坡角为α的斜面上；柱轴 一质量为 半径为 的圆柱体置于坡角为 的斜面上； 用轻绳过坡顶的光滑滑轮与一质量为m’的重物相连结， 用轻绳过坡顶的光滑滑轮与一质量为 的重物相连结，如图 的重物相连结 重物自静止开始下落，求重物的加速度和下落h距离后的速度 重物自静止开始下落，求重物的加速度和下落 距离后的速度 分析： 利用哈密顿正则方程求解 分析： 需先求得力学系的动能和势能 从而求得拉氏函数， 从而求得拉氏函数，最终获得 哈密顿函数。 哈密顿函数。圆柱体作平动
s s
在稳定约束情形下， H (q, p, t ) 在稳定约束情形下，正好表示的是力学系的机械能 如果动能是广义速度的二次非齐次函数时， 如果动能是广义速度的二次非齐次函数时， = T2 + T1 + T0 T 它虽不表机械能， H (q, p, t ) = T2 − T0 + U 它虽不表机械能，但仍是一个特征函数
= H ( q1 , q2 ,..., qs , p1 , p2 ,..., ps ; t )
ɺ ɺ ɺ ɺ = ∑ qα pα − L( q1 , q2 ,..., qs , q1 , q2 ,..., qs ; t )
α=1
s
理论物理导论
ɺ ɺ 如果动能是广义速度的二次齐次函数 T = ∑ aαβ qα qβ
p = f '( x)
理论物理导论 为例 ： Legendre变换的一般定义 以二元函数 f ( x, y ) 为例)： 变换的一般定义(以二元函数 变换的一般定义 的全微分为： f ( x, y ) 的全微分为：
∂f ∂f df ( x, y ) = dx + dy = u ( x, y ) dx + v ( x, y ) dy ∂x ∂y ∂f 又因 d ( x) = d (ux) = udx + xdu ∂x
∑ α
s
=1
ɺ pα qα
(
)
(
)
理论物理导论
哈密顿Hamiltonian函数 函数
pϕ 2 α 1 2 pθ 2 H= pr + 2 + 2 2 − r r sin θ r 2m
代入正则方程可得运动方程： 代入正则方程可得运动方程： pϕ 2 pθ 2 ∂H α ɺ pr = − = 3+ 3 2 − 2 ∂r mr mr sin θ r pϕ 2 cos θ ∂H ɺ pθ = − = 2 3 ∂θ mr sin θ ∂H ɺ pϕ = − =0 ∂ϕ
y = f ' ( X )( x − X ) + f ( X ) = f ' ( X ) x − Xf ' ( X ) − f ( X )
( X , f ( X ))
由 ( f ' ( X ) , f ( X ) − Xf ' ( X ) ) 唯一决定
这正是Legendre变换关系
理论物理导论 如图， 的切线方程式为： 如图，函数 y = f ( x ) 过 ( x, y ) 的切线方程式为：
ɺ 降阶后的2s个一阶方程中， 降阶后的 个一阶方程中，拉格朗日函数 L = L(q, q, t ) 个一阶方程中
因此我们需作Legendre变换，引入新的函数 H = H (q, p, t ) 变换， 因此我们需作 变换 显然Hamiltonian 函数 H( q , p , t )的形式为： 的形式为： 显然 的形式为 ∂ ɺ ɺ ɺ H ( q , p, t ) = q L ( q, q , t ) − L ( q , q, t ) ɺ ∂q
理论物理导论
哈密顿函数和正则方程
Hamiltonian function and Canonical equation
∂L 由广义动量的定义： 由广义动量的定义： pα = ɺ ∂qα
qα时，广义动量： α = ∂L = ∂T 广义动量： p 当势能中不含广义速度 ɺ ɺ ɺ ∂qα ∂qα ∂L 拉格朗日方程组为： ɺ 拉格朗日方程组为： pα = (α = 1,2,⋯ ,s) ∂qα
x
= max ( xf '( X ) − f ( x) )
Legendre变换 变换
x X
y = f ' ( X ) x − Xf ' ( X ) − f ( X )
f ( X ) − Xf ' ( X )
* 已知 f ， Legendre变换 f 其 变换
f * ( p) = xp − f ( x)
s
比较
理论物理导论 函数H( 全微分两种形式比较知： 对Hamiltonian函数 q , p , t )全微分两种形式比较知： 函数 全微分两种形式比较知
∂H ∂pα ∂H ɺα = − p ∂qα ɺ qα =
(哈密顿 正则方程 哈密顿)正则方程 哈密顿
且
∂H ∂L =− ∂t ∂t
pα , qα (α = 1, 2,..., s ) 称作正则变量 pα , qα 构成 维相宇 或相空间 中的一个相点 构成2s维相宇 或相空间)中的一个相点 维相宇(或相空间
两式相减得： 两式相减得：
∂f d ( x − f ) = xdu − vdy = dg (u , y ) ∂x
这种从原函数 f ( x, y ) 变换到新函数 g (u , y ) 的方法 称为Legendre变换 变换 称为
理论物理导论
事实上只需从u 中解出x 代入g(u， 事实上只需从 = u(x，y)中解出 = x(u，y)代入 ，y) 中解出 代入 ， 即有 f (x，y) = f (x (u，y)，y) 从变换的定义可以看出Legendre变换通俗表述为： 变换通俗表述为： 从变换的定义可以看出 变换通俗表述为 为了使含有x，y独立变量的函数变换为含新变量 ，u 独立变量的函数变换为含新变量x， 为了使含有 ， 独立变量的函数变换为含新变量 的新函数g(u， ： 的新函数 ，y)： 新函数g(u，y)等于新函数不含有的独立变量乘以 新函数 ， 等于新函数不含有的独立变量乘以 ∂f 原函数f(x， 对该变量的偏导数 原函数 ，y)对该变量的偏导数 u = ，再减去 ∂x n ∂f 原函数f(x， ，若推广到多元， 原函数 ，y)，若推广到多元，则 g = − f + ∑ xi ∂xi i =1
∂L d ∂L ( )− = 0 拉格朗日方程 ɺ dt ∂qα ∂qα
能否把二阶常系数微分方程降成一阶呢？ 能否把二阶常系数微分方程降成一阶呢？
ɺ (qα → pα )
理论物理导论
哈密顿方程
勒让德（Legendre）变换 勒让德（Legendre）
经过原点， 设函数 y = f ( x ) 经过原点，即 f ( 0 ) = 0 过任意一点 ( x, y ) 的切线方程式为： 的切线方程式为：
∂H ɺ pα = − ∂qα ∂H ɺ qα = ∂pα
∂H pr ɺ r= = ∂pr m
ɺ = ∂H = pθ θ ∂pθ mr 2 pϕ ∂H ɺ ϕ= = 2 2 ∂pϕ mr sin θ
理论物理导论
哈密顿Hamiltonian函数 函数
缺广义坐标 ϕ
H = H ( r , θ, pr , pθ , pϕ )
为循环坐标， ϕ 为循环坐标， 循环积分 pϕ = c ∂H pr 2 pϕ 2 pθ ∂H α ɺ= r = ɺ pr = − = 3+ 3 2 − 2 ∂pr m ∂r mr mr sin θ r
∂H ɺ pθ = − = 2 3 ∂θ mr sin θ pϕ 2 cos θ ɺ = ∂H = pθ θ ∂pθ mr 2
ɺ 若H中不显含 a，则 pα = − 中不显含q 中不显含 ∂H = 0 ，即 pα 为常数 ∂qα
个正则方程知， 由2s个正则方程知，给定哈密顿函数后，积分可积的 个正则方程知 给定哈密顿函数后， 情形下，力学系的运动轨迹被确定， 情形下，力学系的运动轨迹被确定，当积分不可积时 出现随机的混沌行为
z
−e
(
)
θ r
Ze x
y
ϕ
理论物理导论
H
( p, q, t ) =
−L +
1 α 2 2ɺ2 2 2 2 ɺ ɺ 拉格朗日函数 L = T − U = m r + r θ + r sin θϕ + 2 r ∂L 各分动量： pr = 各分动量： ɺ = mr ɺ ∂r ∂L ɺ pθ = ɺ = mr 2 θ ∂θ ∂L ɺ pϕ = = mr 2 sin 2 θϕ ɺ ∂ϕ ɺ ɺ ɺ 得 H = − L + pr r + pθθ + pϕϕ 1 α 2 2ɺ2 2 2 ɺ2 − ɺ = m r + r θ + r sin θϕ 2 r pϕ 2 α 1 2 pθ 2 = pr + 2 + 2 2 − = H (r , θ, pr , pθ , pϕ ) r r sin θ r 2m