2017-中考数学-压轴专题-最值问题系列(一)

专题最值问题—— 1（几何模型）

一、归于几何模型，这类模型又分为以下情况：

1. 归于“两点之间的连线中，线段最短”。

凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。

2.归于“三角形两边之差小于第三边”。

凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。

3.利用轴对称知识（结合平移）。

4. 应用“点到直线的距离，垂线段最短。”性质。

5. 定圆中的所有弦中，直径最长；以及直线与圆相切的临界位置等等。

二、基础知识模型

（一）“将军饮马”问题

1.如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地B，问将军怎样走路程最短？

2.如图,一位将军骑马从驻地M出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到驻地M，问：这位将军怎样走路程最短?

图1 图2

3. 如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵马，先到草地一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。

（二）“造桥选址”问题（选自人教版七年级下册）

1. 如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸1l、l2平行,桥MN 与河岸垂直）

练习:

1. 如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，

连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.

1题图2题图

2.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，

若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为__________.

3.如图3，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,请在x轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。

变式1:

如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0）.把点A 和点B 向左平移 m 个单位，得到点A '和点B ',使C B C A '+'最短，求m 的值.

变式2:

如图，已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）,点C 的坐标为（-2，0），点D 的坐标为（-4，0）. 把点A 和点B 向左或向右平移m 个单位，得到点A '和点B ',使四边形A 'B 'CD 的周长最短，求m 的值.

中考真题练习

2.如图（1），抛物线35

18532+-=x x y 和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长。

1.

3.

4.（广州 2014 24题）已知平面直角坐标系中两定点A （﹣1，0）、B （4，0），抛物线y=ax 2+bx ﹣2（a ≠0）过点A ，B ，顶点为C ，点P （m ，n ）（n ＜0）为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标；

（2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；

（3）若m ＞23，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜2

5）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得首位依次连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

（三）垂线段最短问题

1.如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )

A.（0，0）

B.（21-，21-）

C.（22，22-）

D.（22-，22-）

变式

1. 已知点A 的坐标为（-4，8）,点B 的坐标为（2，2）,在y 轴上找一点M ，使点M 到点C （-2，0）的距离和到直线AB 的距离之和最小，请求出最小值。

2. 已知点A 的坐标为（-4,8），点B 的坐标为（2，2）已知点C '的坐标为（2，0），在y 轴上找一点N ，使点N 到点C '的距离和到直线AB 的距离之和最小，请求出最小值.

中考真题训练

1. 如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax 2上，点C 坐标为（-2，0）.

(1) 求a 的值；

(2) 在x 轴上找一点Q ，使得△QAB 的周长最小，求出点Q 的坐标；

(3) 已知点D 的坐标为（2，0），在y 轴上找一点Q ，使点Q 到点D 的距离和到直线AB 的距离之和最小，请求出最小值.

2.对于平面直角坐标系x0y 中的点平P （a ，b ），点P '的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++b ka k b a ,（其中k 为常数，且k ≠0），则称点P '为点P 的“k 属派生点”.

例如：P （1，4）的“2属派生点”P '为（1+2

4，2×1+4），即P '（3，6）． （1）①点P （-1，-2）的“2属派生点” P '的坐标为 ____________；

②若点P 的“k 属派生点”P '的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P 的坐标____________；

（2）若点P 在x 轴的正半轴上，点P 的“k 属派生点”为P '点，且△OP P '为等腰直角三角形，则k 的值为________；

（3）如图, 点Q 的坐标为（0，34），点A 在函数()034＜x x

y -

=的图象上，且点A 是点B 的“3-属派生点”，当线段B Q 最短时，求B 点坐标．