高二数学测试题 含答案解析

高二暑假班数学测试题

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．若a

A ．a |c |

B ．ab

C ．a －c 1b >1c

【解析】选C.选项A 中c ＝0时不成立；选项B 中a ≤0时不成立；选项D 中取a ＝－2，b ＝－1，c ＝1验证，不成立，故选C.

2．

等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于

( )

A ．

－24 B ．0 C ．12 D ．24

【解析】选A.由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.

3．当x >1时，不等式x ＋

1

x －1

≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3] 【解析】选D.因为当x >1时，x ＋1x －1＝1＋(x －1)＋1

x －1≥3，

所以x ＋

1

x －1

≥a 恒成立，只需a ≤3.

4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7

＝9，则其前10项之和为( ) A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15

【解析】选D.由已知(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，从而a 1＋a 10＝±3. 所以S 10＝

a 1＋a 10

2

×10＝±15. 5．函数y ＝x 2＋2

x －1(x ＞1)的最小值是( )

A ．23＋2

B ．23－2

C ．2 3

D ．2

【解析】选 A.因为x ＞1，所以x －1＞0.所以y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2

x －1＝

x 2－2x ＋1＋2（x －1）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝x －1＋3

x －1

＋2≥23＋2.

6．不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧

x ≥2x －y ＋3≤0表示的平面区域是下列图中的( D )

7．(2010年高考山东卷)已知x ，y ∈R ＋

，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为___3_____．

解析：∵x ＞0，y ＞0且1＝x 3＋y

4≥2

xy

12

，∴xy ≤3. 当且仅当x 3＝y

4时取等号．

8．(2015·高考广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝

________．

【解析】因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.

【答案】10

9.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0，所表示的区域上一动点，则|OM |

的最小值是________．

【解析】

如图所示，M 为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，所以|OM |的最小值＝

2

2

＝ 2. 【答案】 2

10.(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y

x

的最大值为________．

【解析】

画出可行域如图阴影所示，因为 y

x

表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，

所以点(x ，y )在点A 处时y

x

最大．

由⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. 所以A (1，3)．

所以y

x 的最大值为3.

【答案】3

11．(本小题满分12分)公差不为零的等差数列{a n }中，a 3＝7，且a 2，a 4，a 9成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .

【解】(1)由数列{a n }为公差不为零的等差数列，设其公差为d ，且d ≠0. 因为a 2，a 4，a 9成等比数列，

所以a 24＝a 2·a 9，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )，

整理得d 2＝3a 1d .

因为d ≠0，所以d ＝3a 1.① 因为a 3＝7，所以a 1＋2d ＝7.② 由①②解得a 1＝1，d ＝3， 所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2. 故数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －2. (2)由(1)知b n ＝23n －

2， 因为b n ＋1b n ＝23（n ＋1）－

2

2

3n －2＝8，

所以{b n }是等比数列，且公比为8，首项b 1＝2，

所以S n ＝2（1－8n ）1－8

＝2（8n －1）

7.

12.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16. (1)求不等式g (x )<0的解集；

(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围． 【解】(1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， 所以(2x ＋4)(x －4)<0， 所以－2

所以不等式g (x )<0的解集为{x |－2

当x >2时，f (x )≥(m ＋2)x －m －15恒成立， 所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15， 即x 2－4x ＋7≥m (x －1)． 所以对一切x >2，

均有不等式x 2－4x ＋7

x －1≥m 成立．

而x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1

－2

≥ 2

（x －1）×4

x －1

－2＝2.

(当且仅当x －1＝

4

x －1

即x ＝3时等号成立) 所以实数m 的取值范围是(－∞，2]．

13．(本小题满分12分)画出不等式组⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋2y －1≥02x ＋y －5≤0

y ≤x ＋2

所表示的平面区域并求其面积．

解：如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域．