江苏省南菁、泰兴、常州一中、南京二十九中四校2021届高三联考数学试题含答案

江苏省南菁、泰兴、常州一中、南京二十九中四校2021届高三联考
数学试题
2020．11
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合M ＝{}12x x −≤≤，N ＝{}
2x y y =，则M
N ＝
A ．(0，2)
B ．(0，2]
C ．[0，2]
D ．[2，+∞) 2．已知复数5i
2i
z =
−，则共轭复数z 在复平面对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量a ＝(cos α，﹣2)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则2sin αcos α等于 A ．45− B ．﹣3 C ．3 D ．4
5
4．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是 A ．若a ＞b ，则
11
a b
< B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2 D ．若a ＞b ，则a ＞b
5．已知函数()cos f x x x =+，x ∈R ，设1(0.3)a f −=，0.3(2)b f −=，2(log 0.2)c f =，则 A ．b ＜c ＜a B ．c ＜a ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜b ＜a 6．函数(e e )sin 2x x y x −=−的图像可能是
7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有
袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”今有 底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面 是边长为2的正方形，上棱EF ＝
3
2
，EF ∥平面ABCD ， EF 与平面ABCD 的距离为2，该刍甍的体积为 第7题 A ．6 B ．113
C ．31
4 D ．12
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ﹣m )2＋(y ＋2)2＝4上两个动点，且AB
＝l ：2y x =−上存在唯一的一个点P ，使得OC PA PB =+，则实数m 的值为
A ．1或1−
B ．1−或1−
C 11
D ．1+或1
二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．对于函数()3sin(2)3
f x x π
=−的图象为C ，叙述正确是
A ．图象C 关于直线1112
x π
=对称 B ．函数()f x 在区间(12
π
−，
512
π
)内是增函数 C ．图像C 关于点(
3
π
，0)对称
D ．由y ＝3sin2x 的图像向右平移
3
π
个单位长度可以得到图像C
10．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2a +
312a =，则下列说法正确的是
A ．q ＝2
B ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
C ．8254S =
D ．数列{}2n S +是等比数列
11．已知点A(﹣2，0)，圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16，点P 在圆C 上运动，给出下列命题，其中
正确的有 A ．PA PC ⋅的取值范围是[8，25]
B ．在x 轴上存在定点B(4，0)，使PA ：PB 为定值
C ．设线段PA 的中点为Q ，则点Q 到直线x ＋y ﹣3＝0的距离的取值范围[1−，
1+]
D ．过直线x ＋y ﹣4＝0上一点T 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，则CM CN ⋅的取值范围是(﹣16，0]
12．已知函数42, 2()2(4), 2x x f x f x x ⎧+−<−⎪=⎨−≥−⎪⎩
，给出下列命题，其中正确的有
A ．507(2020)2f =
B ．方程1
()14
f x x =
−有四个实根 C ．当x ∈[6，10)时，()8816f x x =−−
D ．若函数()y f x t =−在(−∞，10)上有8个零点i x (i ＝1，2，3，…，8)，则
8
1
()i
i
i x f x =∑的
取值范围为(﹣16，0)
三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知2
()2x f x x +=+(x ∈R)，则不等式2(3)(38)f x x f x −<−的解集为 ．
14．已知函数2
()1
x f x x −=
−与()1g x mx m =+−的图象相交于A 、B 两点，若动点P 满足PA +PB 2=，则P 的轨迹方程为 ．
15．已知四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，AB ＝，CD ＝
CBD ＝45°，则球O 的表面积为 ．
16．在锐角△ABC 中，a 2﹣b 2＝bc ，则
11
2sin A tan B tan A
−+的取值范围为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
①AB AC 6⋅=−，②i b c +=i 为虚数单位，③△ABC 的面积为． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ﹣c ＝2，cosA ＝1
4
−， ．
（1）求a ； （2）求sin(C ﹣
6
π
)的值．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知函数32()2(21)1f x ax a x =−−+(a ∈R)． （1）若a ＞0，讨论()f x 的单调性；
（2）当a ＝2时，若α∀、β∈R ，(sin )(sin )f f m αβ−<恒成立，求m 的取值范围． 19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P —ABCD 中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝1，E 是PB 上一点．
（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
（2）若E 是PB 的中点，且二面角P —AC —E
求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且3655a a =，2716a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n S b =−．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ；
（3）设43n n c b n =+−，是否存在正整数i ，j (2＜i ＜j )，使2c ，i c ，j c 成等差数列，若存在，求出所有的正整数i ，j ，若不存在，请说明理由．
如图，过点E(1，0)的直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，过点C(2，0)且与AB 垂直的直线与圆O 的另一交点为D ．
（1）当点B 坐标为(0，﹣2)时，求直线CD 的方程； （2）记点A 关于x 轴的对称点为F （异于点A ，B ），求证：直线BF 恒过定点； （3）求四边形ACBD 面积S 的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x ax =−，a ＞0．
（1）若()f x ≤﹣a 对∀x ＞0恒成立，求实数a 的取值集合；
（2）在函数()f x 的图象上取定点A(1x ，1()f x )，B(2x ，2()f x )(1x ＜2x )，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在0x ∈(1x ，2x )，使k ＝0()f x '成立；
（3）当n N *∈时，证明：2223
1(ln 2)(ln )(ln
)224
n n
n n +++
+>
+．
参考答案
1．D 2．C 3．A 4．D 5．D 6．A 7．B 8．A 9．AB 10．AD 11．BD 12．BC
13．(2，3) 14．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1 15．28 16．(
，3)
3
17．
18．
19．
20．
21．
22．。