关于Lebesgue控制收敛定理的条件

控制收敛定理

控制收敛定理今天正好看到这个问题跑来回答一下233）一般测度空间中的Lebegue控制收敛定理：若 f_n 为测度空间 (,\mathcr{F},\mu) 上的可测函数列，有f_n\overet{p}\rightarrow f 或 f_n\overet{a。

e。

}\rightarrow f ，且存在 g\in L^1 使得，f_n，\leq g ，则 \intf_n\,d\mu\rightarrow \int f\,d\mu\ (n\rightarrow \infty)当然，我觉得题主可能不仅仅想知道控制收敛定理是什么，还会想要知道控制收敛定理可以用来干什么、以及控制收敛定理有没有更多更有意思的不同版本。

我们不妨下面假定 (,\mathcr{F},\mu) 是一个概率空间，并且总在这个概率空间上进行讨论，来看看可以用控制收敛定理做些什么事情。

利用概率空间的有限性得到一个显然的推论是Lebegue有界收敛定理：若 _n 为随机变量列，有 _n\overet{p}\rightarrow 或_n\overet{a。

}\rightarrow ，且 _n 几乎处处一致有界，则\mathbb{E}_n\rightarrow \mathbb{E}\ (n\rightarrow \infty)其在概率中另一个重要的应用是推出Vitali收敛定理：对于随机变量列 _n ，若有 _n\in L^p,_n\overet{p}\rightarrow ，则下列三者等价：1、_n^p一致可积2、 _n\overet{L^p}\rightarrow \in L^p3、，_n，_p\rightarrow ，，_p,\ \in L^p熟悉Vitali收敛定理证明的读者会清楚从3推出2时（这是一个弱推强），Lebegue控制收敛定理提供了关键的收敛性。

在具体的计算方面，Lebegue控制收敛定理结合Fubini定理能够被用来证明Levy' Inverion Formula：对于随机变量的分布 F ，及其对应特征函数 \phi ，对于 \foralla<b ，总是有 \frac{F(b)+F(b-0)}{2}-\frac{F(a)+F(a-0)}{2}=\frac{1}{2\pi}\lim_{T\rightarrow \infty} \int _{-T}^T\frac{e^{-itb}-e^{-ita}}{-it}\phi(t)\,dt这个定理的关键意义在于完成了“分布与特征函数一一对应”的论证。

第八讲勒贝格积分的极限定理及应用

第8讲勒贝格控制收敛定理及应用一、勒贝格控制收敛定理问题 ()d ()d (lim l d im ).b b bk k a a a k k f x x f x x f x x →∞→∞==⎰⎰⎰ lim ()(),k k f x f x →∞=若能否推出极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致收敛)才能交换二者次序——黎曼积分的局限性定理 (勒贝格控制收敛定理)1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若注定理中控制函数的可积性是必不可少的.(2) ,, ()(),() a.e. ,()k k f x F x x E F x E ∈≤∈存在使得对任意的(),()(),k f x f x E ∈则且(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰[0,),E =+∞设考虑反例函数序列[0,]1, [0,]()(),1,2,0, k k x k f x x k x kχ∈⎧===⎨>⎩{}()(),()1,a.e. ,k f x F x F x E ≥控制的函数必须{}()()1,k f x E f x ≡显然在上处处收敛于()F x E L 则在上不是可积的.()f x E L 在上也不可积的.k y x O推论1 (勒贝格有界收敛定理)注推论1中的条件(3)不能缺少.0,(),a.e. ,(2) k M f x M x E >≤∈存在常数控制函数的可积性 (3) ().m E <+∞ 1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈(),()(),k f x f x E ∈则且lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰推论2 (逐项积分)1()()(1,2,), ()d ,i i E i u x E i u x x ∞=∈=<+∞∑⎰ 且设有则1(1)();i i u x E ∞=∑ 在上几乎处处收敛 (2)()(),f x E ∈其和函数且1()d .i i E u x x ∞==∑⎰1()()d d E E i i x u x f x x ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∑例1 分析 [0,1],lim ()0,n n x f x →∞∈=则对有[]0,1,x ∈当时由于[]0,111sup |()0|sin12n n n x f x f n β∈⎛⎫=-≥= ⎪⎝⎭0,→二、应用举例1220lim()sin d .1n nx R nx x n x →∞+⎰求极限先积分后求极限实难进行, 故需交换次序.解 22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x=∈+令 ()0,[0,1].n f x x →∈即[]{()}0,1.n f x ⇒在上不一致收敛00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.2-0.100.10.20.30.40.5x (10 x/(1+100 x 2)) sin(10 x)22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x =∈+1n =2n =3n =非一致收敛的几何直观验证勒贝格控制收敛定理221()(),[0,1].122n nx nx f x F x x n x nx ∆≤≤==∈+注意到由R 积分和L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理有22[0,1]lim ()sin d 1n nx L nx x n x →∞=+⎰22[0,1]()sin d 1lim n nx L nx x n x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰[0,1]()0d 0.L x ==⎰1220lim()sin d 1n nx R nx x n x →∞+⎰求函数列积分的极限问题1) 若利用R 积分理论来求, 则需验证函数列在积分区间[a , b ]上的一致收敛性.则利用R 积分与L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理.[,]()([,]),()([,]),()()d ()()d .b a b a f x a b f x a b L f x x R f x x ∈∈=⎰⎰若则且 2) 若函数列在区间上不一致收敛, R 积分理论失效亦是如此，直接利用逐项积分性质毋庸置疑。

勒贝格逐项积分定理证明勒贝格控制收敛定理

勒贝格逐项积分定理是数学分析领域的重要定理之一，它为我们理解积分与极限之间的关系提供了重要的理论基础。

在本文中，我将对勒贝格逐项积分定理进行深入探讨，并尝试给出其证明，同时还会结合勒贝格控制收敛定理进行分析。

我将从基本概念出发，逐步展开讨论，帮助读者充分理解这一重要定理。

1. 勒贝格积分的概念在开始探讨勒贝格逐项积分定理之前，我们首先需要了解勒贝格积分的基本概念。

勒贝格积分是对变量在某个区间上的函数进行积分的一种方法，与黎曼积分不同的是，勒贝格积分对函数的可积性有更加严格的要求。

这种积分方法在处理一些特殊的函数和收敛性问题时具有重要的应用价值。

2. 逐项积分的概念在研究级数的收敛性时，我们常常会接触到逐项积分的概念。

逐项积分是将级数中的每一项进行单独的积分，然后再考察这些积分的收敛性。

逐项积分在分析级数的收敛性和积分之间的关系时起着重要的作用，而勒贝格逐项积分定理正是对逐项积分的一个重要的推广和应用。

3. 勒贝格逐项积分定理的表述勒贝格逐项积分定理是关于逐项积分和函数极限交换次序的定理。

它指出，如果级数在某个区间上逐项积分后收敛，那么这个逐项积分所得的函数的极限与原级数在该区间上的逐项积分所得的函数的极限是相同的。

这个定理在分析级数的逐项积分和函数极限的关系时起着至关重要的作用。

4. 勒贝格逐项积分定理的证明为了证明勒贝格逐项积分定理，我们需要结合勒贝格控制收敛定理来进行分析。

勒贝格控制收敛定理是判别逐项积分收敛的重要定理，它为我们提供了一种有效的方法来判断逐项积分的收敛性。

通过对级数的逐项积分进行适当的控制，我们可以得到逐项积分的收敛性，从而进一步推导出勒贝格逐项积分定理。

5. 个人观点与理解在我看来，勒贝格逐项积分定理是数学分析领域中的一个重要定理，它揭示了级数逐项积分和函数极限之间的深刻关系。

通过对该定理的深入理解，我们不仅可以更加深刻地理解级数的收敛性和逐项积分的性质，还可以为解决一些实际问题提供重要的理论支持。

现代应用数学基础

《现代应用数学基础》温习2021-11-121. (Lebesgue 操纵收敛定理) 设(1) {})(x f n 是可测集E 上的可测函数列; (2))()(x F x f n ≤ .于E ,,,2,1 =n 且)(x F 在E 上Lebesgue 可积;(3) {})(x f n 依测度收敛于)(x f . 则)(x f 在E 上Lebesgue 可积且 lim()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.证明: 分两步进行讨论. 第一步. 先设+∞<mE .利用Lebesgue 积分的绝对持续性, 对任意0>ε,存在0>δ,使得E e ⊂ 且δ<me 时,.4)(⎰<edx x F ε由{})(x f n 依测度收敛于)(x f 知,存在0>N ,当N n ≥时,.]2[δε<≥-mEf f mE n于是, 当N n ≥时,.4)(]2[⎰≥-<mE f f E n dx x F εε因此,dx x f x f dx x f dx x f mEf f E n EEn n ⎰⎰⎰≥--≤-]2[)()()()(ε+dx x f x f mEf f E n n ⎰<--]2[)()(ε2≤dx x F mEf f E n ⎰<-]2[)(ε+]2[2mEf f mE mEn εε<-ε<.故等式lim()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰成立.第二步. 设+∞=mE .采取用测度有限的集合列E E k ⊂}{逼近的方式. 选择集合列}{k E 知足条件+∞<k mE 且[].4)()(⎰⎰<<E k E dx x F dx x F k ε由此推出.4)(\⎰<k E E dx x F ε另一方面, 从上可知, 存在0>N ,当N n ≥时, .2)()(ε<-⎰dx x f x f kE n因此,dx x f x f dx x f dx x f En EEn ⎰⎰⎰-≤-)()()()(+dx x f x f kE E n ⎰-\)()(+dx x f x f kE n ⎰-)()(.2)(2\εε<+≤⎰kE E dx xF 证毕2.（1）求证：E 是气宇空间X 的有界集当且仅当0,M x E ∃>∀∈，有()0,x x M ρ≤，其中0x X ∈为某定点．专门地，E 是赋范空间X 的有界集当且仅当0,M x E ∃>∀∈，x M ≤．（2）假设{}n x 是气宇空间X 中的收敛点列，那么{}n x 是有界集．证明（1）设E 是有界集， 0x X ∈. 那么()0,()sup ,x y Ed E x y M ρ∈==<+∞．取0y E ∈. 那么()000,0M x y M ρ=+>，x E ∀∈，有()()()0000,,,x x x y y x ρρρ≤+()000,M x y M ρ≤+=．反之，设0M >， x E ∀∈，()0,x x M ρ≤．于是,x y E ∀∈，()()()00,,,2x y x x x y M ρρρ≤+≤，(),()sup ,2x y Ed E x y M ρ∈=≤<+∞，即E 是有界集．专门地，当X 是赋范空间时，取0x θ=，有(),x x x ρθθ=-=，因此E 是有界集当且仅当0M ∃>，x E ∀∈，x M ≤．（2）设()n x xn →→∞，那么()lim ,0n n x x ρ→∞=．即(){},n x x ρ是收敛于0的数列．因此0M ∃>，n ∀，(),n x x M ρ≤．由（1）已证，此式说明{}n x 是气宇空间X 中的有界点列．3.（Banach 紧缩映射原理）设),(ρX 是完备的气宇空间，X X T →:是X 上的紧缩映射，即，存在)1,0[∈α，使),(),(y x Ty Tx αρρ≤.那么T 存在唯一的不动点x ，即.T x x =证明任取.0X x ∈由此点动身逐次迭代，10x Tx =，2210,,x Tx T x ==n x =1n Tx -0,n T x =取得点列}{n x ，其中1-=n n Tx x .先证}{n x 是Cauchy 列.事实上，由于T 是紧缩的，存在)1,0[∈α有),(),(),(111--+≤=n n n n n n x x Tx Tx x x αρρρ),(),(01212x x x x n n n ραρα≤≤≤-- .对任意,p n m +=有),(),(),(),(1211n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x +-+-+-++++++=ρρρρ),()(0121x x n p n p n ρααα+++≤-+-+),(1),(10101x x x x np n n ρααρααα-≤--=+ .由于0nα→(),n →∞因此}{n x 是Cauchy 列.次证不动点存在性.因为X 完备，故,x X ∃∈使lim n n x x →∞=.又因为T 是紧缩映射，从而必是持续映射，对1-=n n Tx x 令∞→n 取得x T x =.再证不动点的唯一性.假设又有*x 使,**x Tx =则***(,)(,)(,),x x T x Tx x x ρραρ=≤即.0),(1*≤-x x ρα）（由于01＞α-，因此,0),(*=x x ρ即.*x x =4.设计一种迭代格式，利用紧缩映射原理求方程017=-+x x 在]1,0[的根.解令1)(7-+=x x x f ，因为,017)(6>+='x x f 故f 是严格增加的.又因为,1)1(,1)0(=-=f f 因此方程017=-+x x 在]1,0[内有且仅有一个根.取初值10=x ，将方程写成,17x x -=用711--=n n x x 进行迭代，那么取得近似解,01=x }{,,1,0,1432n x x x x ===不收敛.这是因为070,1T x x T -=在]1,0[不是紧缩映射.现改良迭代公式，引入参数λ，令()(()0)Tx x f x Tx x f x λ=+=⇔=.x ∀,y [0,1],∈由微分中值定理得，)1,0(∈∃η使1().Tx Ty f x y λη'-=+-因661()1(71)(1)7f ληληλλη'+=++=++,故取18λ=-,有1()f λη'+=786(1)η-78<，从而78Tx Ty x y -<-，这说明T 是]1,0[上的紧缩映射，紧缩常78α=.]1,0[=X 作为一维欧氏空间R 的闭气宇子空间是完备的，由紧缩映射原理，T 有唯一不动点，确实是方程017=-+x x 的唯一的根.),1(8187)1(8177x x x x x Tx -+=-+-=迭代公式1-=n n Tx x 即).1(8187711---+=n n n x x x 取10=x ，得178x =，20.8415x =，30.8240x =，40.8138x =，50.8075x =，8036.06=x ，70.8017x =，80.7995x =.取近似解,7995.08=x 则8101x x αα--870.348⎛⎫== ⎪⎝⎭，781x x --αα70.79950.80170.01=-=.于是，误差 {}0.7995min 0.34,0.010.01.x -≤=5.（常微分方程解的存在唯一性）考虑初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(x t x x t f dt dx（A ）其中),(x t f 在平面2R 上持续，且关于变量x 知足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f t x f t x L x x -≤-，0>L 为常数.那么初值问题（A ）在],[00ββ+-t t 上存在唯一解，其中1Lβ<. 证明第一指出，初值问题（A ）有解与积分方程0()(,())t t x t x f u x u du =+⎰（B ）有持续解是等价的.事实上，设（A ）有解),(t x x =那么它知足常微分方程与初始条件()(,()),dx t f t x t dt= 00().x t x = 对上式两头积分可得，0()()(,()).tt x t x t f u x u du -=⎰这说明)(t x x =是（B ）的解，且由)(t x 的可微性知)(t x 是持续的.反之，假设)(t x x =是（B ）的持续解，那么在式（B ）中令0t t =得,)(00x t x =由于)(t x 持续，故变上限积分函数可微，对式（B ）两边求导得，)).(,()(t x t f dtt dx = 这说明)(t x x =是方程（A ）的解.现利用方程（B ），在持续函数空间],[00ββ+-t t C 上概念映射T 为0()()(,()).t t Tx t x f u x u du =+⎰（C ）由f 的持续性可知],,[00ββ+-∈t t C Tx 且))(())((max 0t Ty t Tx Ty Tx t t -=-≤-β0max(,())(,())t t t t f u x u f u y u du β-≤≤-⎰00max ()()t t t t L x u y u du β-≤≤-⎰0maxt t t t L x y du β-≤≤-⎰000max t t L x x t t β-≤=--.0x x L -=β因,1<βL 故T 是Banach 空间],[00ββ+-t t C 上的紧缩映射.由紧缩映射原理，存在唯一的],,[)(00ββ+-∈=t t C t x x 使.T x x = 按式（C ），T x x =就表示x 是方程（B ）的唯一的持续解.从而方程（A ）存在唯一的解.6.(线性代数方程组解的存在唯一性)设有线性方程组,b Ax =其中n n ij a A ⨯=)(为n n ⨯矩阵，1)(⨯=n i b b 为1⨯n 矩阵（列向量）.假设A 知足12,nijii j aa =<∑ 1,2,i n =.(即A 是所谓的对角占优阵)，那么b Ax =存在唯一解.证明由于0≠ii a ，记,ij ii n na C a ⨯⎛⎫=⎪⎝⎭ 1i ii n b e a ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭，那么原方程组b Ax =与e Cx =同解.记n n ij I ⨯=)(δ为单位矩阵，其中⎩⎨⎧≠==.01j i ji ij δ那么方程组e Cx =与下述方程组同解：x e x C I =+-)(. （A ）对任意列向量n n i K x x ∈=⨯1)(，取范数,max 1i ni x x≤≤∞=则),(∞x K n是有限维赋范空间从而是Banach 空间.由式（A ），令nnK K T →:为.)(e x C I Tx +-= （B ）因为ij ij ii n na I C a δ⨯⎛⎫-=-⎪⎝⎭,,,nK y x ∈∀有 =-∞TyTx ∞+--+-])[(])[(e y C I e x C I∑=≤≤∞--=--=nj j j iiij ij ni y x a a y x C I 11))((max ))((δ)max(11∑=≤≤-≤nj iiij ijni a a δ1max j j j nx y ≤≤-∞-=y x α其中∑=≤≤-=nj iiij ijni a a 11maxδα1])[(1max 11<-=∑=≤≤ii nj ij ii n i a a a ，故T 是紧缩映射.由紧缩映射原理，T 存在唯一不动点x ，由T x x =，x 是方程（A ）的唯一解，从而是方程组b Ax =的唯一解.7.（积分方程的Fredholm 定理）设2[,],f L a b ∈ (,)K t u 是概念在矩形],[],[b a b a ⨯上的Lebesgue 可测函数，且是平方可积的，即2(,)b baaM K t u dtdu =⎰⎰<+∞.那么Fredholm 积分方程⎰+=badu u x u t K t t x )(),()()(λϕ （A ）当M1<λ时有唯一解].,[)(2b a L t x x ∈=证明作],[2b a L 上的映射T 为⎰+=badu u x u t K t t Tx )(),()())((λϕ. （B ）由Holder 不等式（2==q p ）得，dt du u x u t K ba b a2)(),(⎰⎰dt du u x du u t K bab aba])(),([22⎰⎰⎰⋅≤.2+∞<=xM故⎰badu u x u t K )(),(],,[2b a L ∈从而由],[2b a L 是线性空间及],[2b a L ∈ϕ可知，2[,].Tx L a b ∈ T 是],[2b a L 到],[2b a L 的映射.已知],[2b a L 是Banach 空间，由Holder 不等式（2==q p ）得，22()()()()baTx Ty Tx t Ty t dt -=-⎰2(,)(()())b b aaK t u x u y u du dt λ=-⎰⎰222[(,)()()]b bbaaaK t u du x u y u du dt λ≤⋅-⎰⎰⎰,22y x M -=λ 即≤-Ty Tx y x M -λ.因为,1<M λ故T 为紧缩映射.由紧缩映射原理得，T 存在唯一不动点2()[,].x x t L a b =∈由()()()T x t x t =及式（B ）可知，)(t x x =是积分方程（A ）的唯一解.8．设X ,Y 是赋范空间，Y X T →:是线性算子，那么以下诸条件等价：（1）T 是有界算子；（2）X x M ∈∀>∃,0，有x M Tx ≤；. （3）T 在某一点X x ∈0持续；（4）T 在X 上持续．.证明（1）⇒（2）设T 有界，即T 将X 的任一有界集映射为Y 的有界集．那么T 将=)(X S {}1y Xy ∈=映射成有界集．即),(,0X S y M ∈∀>∃有M Ty ≤.从而，x X ∀∈, 假设x θ=, 那么T θθ=, 显然有Tx M x ≤; 假设x θ≠, 那么()x y S X x =∈, 由于,M x x T x Tx ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=故x M Tx ≤. （2）⇒（3）设.θ→n x 由条件（2）得，n n x M Tx ≤.于是由θ→n x 得，θθT Tx n =→.这说明T 在θ=0x 持续．（3）⇒（4）设T 在某点X x ∈0持续，即当0x x n →有0Tx Tx n →.设X y ∈0是任一点且0y y n →.令00x y y x n n +-=.那么0x x n →，从而应有()000Tx x y y T Tx n n →+-=. 由于T 是线性的，故()0000Tx Ty Ty x y y T n n +-=+-.因此，()00000→-+-=-Tx x y y T Ty Ty n n ，即0Tx Tx n →.0y 的任意性说明T 在X 上持续．（4）⇒（1）（反证法）假设T 不是有界算子，那么T 将X 的某有界集映射成Y 的无界集．不妨设A 有界而TA 无界．于是，0,,M x A ∃>∀∈ x M ≤；且n ∀（正整数），A x n ∈∃，有n Tx n >.令nx y nn =，那么 nM x n y n n ≤=1，n y θ→()n →∞. 由于T 持续，因此n Ty T θθ→= ()n →∞. 这与11>=n n Tx nTy 相矛盾. 因此T 有界．9．设积分算子T 概念为()()()taTx t x u du =⎰，其中()1[,]x t L a b ∈．(1)T 是从1[,]L a b 到[,]C a b 的算子. (2) T 是从1[,]L a b 到自身的算子. 别离求出T .解 (1) 1[,]x L a b ∀∈,有()maxt a a t bTx x u du ≤≤=⎰()max taa t bx u du ≤≤≤⎰()bax u du x ==⎰,取得1T ≤.令()01x t b a=-,那么10[,]x L a b ∈,且()001b a x x u du ==⎰,于是取得01sup x T Tx Tx ==≥max ta a tb du b a ≤≤=-⎰1b a dt b a ==-⎰. 因此1T =.(2) 1[,]x L a b ∀∈，有()bt aa Tx x u du dt =⎰⎰()b t aax u dudt ≤⎰⎰()[]b baax u du dt ≤⎰⎰()baxdt b a x ==-⎰，取得T b a ≤-．n ∀（正整数），令1[,]()10(,]n n t a a nx t t a b n ⎧∈+⎪⎪=⎨⎪∈+⎪⎩（如下图）.那么()bn n ax x t dt =⎰11a nandt +==⎰,()bt n n aaTx x u du dt =⎰⎰()11a b naa nn t a dt dt ++=-+⎰⎰12b a n=--, 12n n T T x Tx b a n=≥=--．由n 的任意性得,T b a ≥-.因此T b a =-.10．设X ，Y 为赋范空间，:T X Y →是线性算子．(1)T 为闭算子的充要条件是：任一点列{}n x X ⊂，假设n x x →，n Tx y →，那么y Tx =．(2)有界限性算子是闭算子．证明 (1)必要性设T 是闭算子且设{}n x X ⊂，n x x →，n Tx y →．那么(){}(),nnx Tx G T ⊂，且()(),,n n x Tx x y -n n x x Tx y=-+-0→，即()(),,n n x Tx x y →．由于()G T 是X Y ⨯中闭集，故()(),x y G T ∈，从而有y Tx =．充分性设(){}(),nnx Tx G T ⊂，()(),,nnx Tx x y →．那么{}max ,n n x x Tx y --n n x x Tx y ≤-+-()(),,0n n x Tx x y =-→．因此n x x →，n Tx y →．于是由题设所述的条件得，y Tx =，即()(),x y G T ∈，()G T 是闭的．证得T 是闭算子．(2) 设:T X Y →是有界的，并设{}n x X ⊂，n x x →且n Tx y →．由T 的持续性得，n Tx Tx →；再利用极限的唯一性得，Tx y =．由(1)可知，T 是闭算子．11．设T 是从Banach 空间X 到Banach 空间Y 的线性算子且T 是幂等的，即对x X ∀∈，()T Tx Tx =．假设零空间()N T 与值空间TX 都是闭的，证明T 是有界的．证明先证T 是闭算子．设{}n x X ⊂，,x y X ∈，n x x →且n Tx y →．因为TX 是闭的．故y TX ∈，从而存在x X ∈使T x y =．因为()()n n n n T Tx x T Tx Tx -=-n n Tx Tx θ=-=，故()n n Tx x N T -∈，而()N T 是闭的，因此T x x -=()()lim n n n Tx x N T →∞-∈．于是()T T x x θ-=，从而有()y T x T T x Tx ===．证得T 是闭算子．因为X ，Y 是Banach 空间，故应用闭图象定理得，T 是有界的．证完.12. 在欧氏空间n K 中，点列收敛等价于依坐标（分量）收敛．事实上，设{}nk x K ⊂，nx K∈，其中()()()()12,,,k k k k n x a a a =，(12,,,x a a =)n a ．咱们有()1221nk k i i i x x a a =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑，()()()()1122k k k k i i k n n a a x x a a a a a a -≤-≤-+-++-．于是()lim lim k k ii k k x x a a →∞→∞=⇔=，1,2,,i n =．13. 在持续函数空间[],C a b 中，点列收敛等价于函数列一致收敛．事实上，设()n n x x t =，[](),x x t C a b =∈．咱们有max ()()n n a t bx x x t x t ≤≤-=-.于是，lim 0,,,n n n x x N n N x x εε→∞=⇔∀>∃∀>-<[]0,,,,,()()n N n N t a b x t x t εε⇔∀>∃∀>∀∈-<⇔函数列{}()n x t 在[],a b 上一致收敛于()x t ．14. 在离散气宇空间X 中，由于()0,1ε∀∈，(),n x x ρε<等价于n x x =，因此点列{}n x 收敛于x 意味着{}n x 大体上是常点列，即存在正整数N ，n N >必有n x x =，从而{}n x 确实是12,,,,,,,N x x x x x ．15. 在[],p L a b （1p ≤<+∞）中，点列{}n f 收敛于f ，即()()1()()0bppn n af f f t f t dtn -=-→→∞⎰．这种收敛被称为函数列{}()n f t 的p 次幂平均收敛．专门地，当2p =，其物理意义是按能量收敛．由函数列{}()n f t 的p 次幂平均收敛一样不能取得{}()n f t 逐点（对每点[],t a b ∈）收敛于()f t ，但必然存在子列{}()k n f t ，使()()()k n f t f t n →→∞ .．16. 证明：[],C a b 完备（即函数列一致收敛Cauchy 准那么）．证：设{}[],n x C a b ⊂为Cauchy 列. 那么0ε∀>，N ∃，,m n N ∀>，[],t a b ∀∈,有()()max ()()m n m n m n a t bx t x t x t x t x x ε≤≤-≤-=-<．（）固定t ，那么{}()n x t 是Cauchy 数列，从而有唯一的()x t 使lim ()()n n x t x t →∞=．由此式概念的()x t 是[],a b 上的函数．对式（）令m →∞得，n N ∀>，[],t a b ∀∈，()()n x t x t ε-≤，即{}()n x t 一致收敛于()x t ．又每一个()n x t 是持续的，因此极限函数()x t 持续，即[],x C a b ∈.由依范数收敛与一致收敛的等价性（例），有n x x →()n →∞．这说明[],C a b 完备．17．证明：p l （1p ≤<+∞）完备．证：设{}p n x l ⊂为Cauchy 列，其中()()()()12,,,,n n n n i x a a a =. 那么0ε∀>，N ∃，,m n N ∀≥，有()()11pp m n i i n m i a a x x ε∞=⎛⎫-=-<⎪⎝⎭∑ （）于是,m n N ∀≥，i ∀有()()m n i im n a a x x ε-≤-<，即(){}1n in a ∞=是Cauchy 数列（i ∀），因此可设()()0lim n ii n a a →∞=，()()()()000012,,,,i x a a a =，由式（）得, ,m n N ∀≥，k ∀，()()11kpp m n i i i a a ε=⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑．（）对式（）令m →∞得，n N ∀≥，k ∀，()()101kpp n i i i a a ε=⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭∑．（）对式（）令k →∞得，n N ∀≥，()()101ppn i i i a a ε∞=⎛⎫-≤⎪⎝⎭∑，即0n x x ε-≤．这说明0n x x →()n →∞．而且由0N x x ε-≤也说明0p N x x l -∈．由于p l 是线性空间，故()00p N N x x x x l =+-∈．因此p l 是完备的．18．证明：l ∞完备．设{}n x l ∞⊂是Cauchy 数列，其中()()()()12,,,,n n n n i x a a a =.那么0ε∀>，N ∃，,m n N ∀≥，有()()1sup m n i i m n i a a x x ε≥-=-<．于是,m n N ∀≥,i ∀, ()()m n ii a a ε-<, （）即(){}1n in a ∞=是Cauchy 数列（i ∀），因此可设()()0lim n ii n a a →∞=，()()(00012,,,x a a =()0,i a ).对式（）令m →∞得，n N ∀≥，i ∀，()()0n i i a a ε-≤．于是n N ∀≥，0n x x -=()()01sup n i i i a a ε≥-≤．这说明0n x x →()n →∞．由0N x x ε-≤也说明0N x x l ∞-∈．由于l ∞是线性空间，因此00N N x x x x l ∞=-+∈，因此l ∞完备．A first three books have earned a conservatively estimated $480 million in 3 years.Potter and the Goblet of Fire promises to break all previous bookselling records.Britain and North America, thousands of children rushed to claim their copies when Harry Potter and the Goblet of Fire was on sale.:Reading of the books has been challenged in 25 school districts and the books have been banned in schools in Kansas and Colorado.are beautifully crafted works of entertainment, the literary counterpart of Steven Spielberg.amount to much more than just the sum of parts of children’s classic, and they can be read by children and adults with equal pleasure.language of the books may be unadorned, but the way with naming people and things is quirky and original.also find the books appealing because of the deepintellectualism in them.第一单元way that companies win the competition that happens 24/7/365 is to get “there”faster. This trait is a requirement not only for people who can act quickly, but for those who can think fast with the courage to act on their own conviction key players who succeed in their work at the bench in industry environment in great measure depends on their ability to work with a broad variety of personalities。

勒贝格控制收敛定理的应用

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协勒贝格控制收敛定理的应用侯英(贵州财经学院数学与统计学院，贵州贵阳550004)文化与教育技柬摘要：勒贝格控制收敛定理是实变函数论的一个重要定理，可以用于计算积分的极限，证明积分等式、数列收敛、不等式、判断函数连续等许多问题。

关键词：勒贝格控制收敛定理；可测函数；可积函数勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了，积分与极限的交换问题，并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。

利用这一定理可以证明列维(L evi)定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。

首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。

勒贝格控制收敛定理：设(1){fn}是可测集E上的可测函数列；(2)I f o(x)J≤F(x)a．e．于E，n=l，2，…，且F(x)在E上可积分(称I R}为F(x)所控制，而F(x)叫控制函数)；(3)“x)j f(x)。

则f(x)在E上可积分，且l挚JE五(x)dx2JE f(x)dx注：将条件(3)换为“x)川x)a．e。

于E，定理结论仍成立。

在应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数。

且要求控制函数是可积的。

下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理的应用。

l利用定理证明勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式、判断函数连续等等问题。

例l：设fl，f2。

…是E上的非负可积函数，且f L}在E上依测度收敛于f，r,m f,L(幽b= f z，证明：对E的任何町测子集A，均有叩．f正c‘)d(x触=．￡，“)ax证：由于f与丘都是非负函数，因此(f-驴(x)≤“x)。

x∈E．故f是函数列f(f-∞+l的控制函数．冈为{fn}在E上依测度收敛于f，所以{(㈤+I在E上依测度收敛予0。

由勒贝格控制收敛定理。

得．1i r a J．(，一．f O+(x)dx=0由1挚J。

^(触2J。

Lebesgue控制收敛定理的证明及应用

・
１２５・
若记Ｍ和分别是，（在，ｌ】上的上下确界，即有
（一Ｘｉ～１） ≤ Ｌ厂）ｄｘ＜Ｍｚ（一一１），
因此可得
窑（一） ≤ ￡朋．，＇（批喜（一）。
于是对上式两端所有划分分别取上下确源自，便得Ｌ，ｂｌｆ（＝（＝（。
・．
．
）在【口，ｂｌ＿Ｌ￣Ｌ积分和Ｒ积分相同。
例１：定义在【０，１】的狄利克雷函数厂（ｘ）：
八＝妻
・。
．
对于区间【０，１】的任意分划，一切积分大和等于１，一切小和等于０，因此（）不可能是Ｒ可积
２０１６ｆ－￣６期５期）
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贵州工程应用技术学院学报ＪＯＵ贝ＲＮＡＬｏＦＧＵＩＺＨ匪ＯｕＵ ⅢＶＥ～ＲＳ１ＴＹ０小ＦＥＮＧ于ＩＮＥＥＲＩＮＧ于ＳＣＥ报ＮＣＥ
摘要：通过引Ａ．Ｌｅｂｅｓｇｕｅ￣，分与ＲＪｅｍａｎｎ积分的关系，仔细比较两个积分的优越性，进而详细地阐述了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ控制收敛定理的证明及其应用。首先给出了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ控制收敛定理并对其进行证明，其次再
举例说明其基本的应用，最后，指出该定理的不足之处并给出条件稍宽松的定理，从而可为解题带来便利，为理解并掌握Ｌｅｂｅｓｇｕｅ控制收敛定理及应用提供指导。

勒贝控制收敛定理及其他格

勒贝格控制收敛定理及其他莱维单调收敛定理：.1.lim ,I }{lim )}){}{⎰⎰⎰∞→∞→=In n I n I n n n n s ff s s b I s a s 且有极限函数上几乎处处收敛于一个在则存在，上是递增的，在区间使得是一个阶梯函数序列，理：设关于阶梯函数的莱维定2. (关于勒贝格可积函数序列的莱维定理)设}{n f 是)(I L 中的一个函数序列，使得a)}{n f 在I 上几乎处处是递增的，b)⎰→I n n n f lim 存在，则}{n f 在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数f,且有.lim ⎰⎰→=In n n I f f3. (关于勒贝格可积函数级数的莱维定理)设}{n g 是)(I L 中的一个函数序列，使得a)每个}{n g 在I 上几乎处处是非负的，b)级数∑⎰∞=1n In g收敛，则级数∑⎰∞=1n I n g 在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数,且有⎰∑⎰∑⎰∞=∞===I i In i n I g gg 11. 4．设}{n g 是)(I L 中的一个函数序列，使得级}{n f 数∑⎰∞=1||n I n g是收敛的，则级数∑⎰∞=1n I n g在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数,且有⎰∑⎰∑∞=∞==I i I n i n g g11. 5 . (勒贝格控制收敛定理) 设}{n f 是区间I 上的一个勒贝格可积函数序列. 设a) }{n f 在I 上几乎处处收敛于一个极限函数f ,b) 在)(I L 内有一个非负函数g 使得对于一切1≥n 都有I ..),(|)(|于e a x g x f n ≤则极限函数)(I L f ∈,序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎰I n x f )(收敛，且.lim ⎰⎰→=In n n I f fb)可表述为}{n f 在I 上几乎处处被g 控制6. 设I 是一个有界区间，假设}{n f 是)(I L 中的一个函数序列，它在I 上几乎处处有界收敛，即，存在一个极限函数f 和一个正常数M ，使得在I 上几乎处处有,|)(|),()(lim M x f x f x f n n n ≤=∞→则.lim ),(⎰⎰=∈→II n n n f f I L f 7 . (勒贝格可积性) 设}{n f 是L(I)中的一个函数序列. 它I 上几乎处处收敛于一个极限函数f .若在)(I L 内有一个非负函数g 使得对于一切1≥n 都有I ..),(|)(|于e a x g x f ≤则极限函数)(I L f ∈.8．设f 在半无穷区间),[+∞=a I 上有定义，假定对每个a b ≥，f 在紧区间[a,b]上是勒贝格可积的，而且存在一个正常数M ，使得对于每个a b ≥都有⎰≤b a M f ,|| 则)(I L f ∈，极限⎰+∞→b a b f lim 存在，且⎰⎰+∞→+∞=b a b a f f lim阶梯函数的极限函数类比勒贝格可积函数类要大，该类中的函数称为可测函数由勒贝格积分定义的函数的连续性设X 和Y 是不是R 的两个子区间，f 是定义在Y X ⨯上的函数，它满足以下条件 a) 对Y 中的每个y ，在X 上由下式),()(y x f x f y =定义的函数)(x f y 在X 上是可测的.b) 在)(X L 内存在一个非负函数g,使得对任意的Y y ∈都有.X ..),(|),(|于e a x g y x f ≤c) 对Y 中固定的y 有.X ..),,(),(lim 于e a y x f t x f yt =→ 于是勒贝格积分⎰X dx y x f ),(对Y 中的每个y 都存在，而且由等式 ⎰=X dx y x f y F ),()(定义的函数F 在Y 上连续.积分号下的微分法设X 和Y 是不是R 的两个子区间，f 是定义在Y X ⨯上的函数，它满足以下条件 a) 对Y 中的每个y ，由等式 ),()(y x f x f y =定义的函数)(x f y 在X 上是可测的，且对于Y 内的某个点a 有).(X L f a ∈.b) 对于Y X ⨯的每个内点(x,y),偏导数.),(2存在y x f Dc)在)(X L 内存在一个非负函数G ,使得对于Y X ⨯的全部内点都有),.(|),(|2x G y x D ≤那么勒贝格积分⎰X dx y x f ),(对Y 中的每个y 都存在，其导数为 ⎰=X dx y x f D y F ),()('2即求导和求积分可交换次序.••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。

lebesgue积分收敛定理

Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。

Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。

Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。

这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。

下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。

一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。

给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。

Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。

二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。

Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。

简述lebesgue控制收敛定理

Lebesgue 控制收敛定理简述
Lebesgue 控制收敛定理是概率论中一个非常重要的定理之一，它给出了随机变量序列在概率意义下的控制收敛性的定义和性质。

该定理的应用非常广泛，包括统计学、控制论、信号处理等领域。

本文将简述 Lebesgue 控制收敛定理的概念和基本性质。

让我们假设我们有一个随机变量序列 {Xn} ,它在这个序列中的每个元素都是随机变量。

我们想要定义控制收敛性，这是指随机变量序列 {Xn} 的控制集 (control set) 随 n 的增大而不断减小。

控制集是指 {Wn:Wn 是一个随机变量，且 P(Wn)=1} 。

Lebesgue 控制收敛定理给出了随机变量序列在概率意义下的控制收敛性的定义和性质。

该定理指出，如果随机变量序列 {Xn} 是可列可加的，并且其均值函数 (mean function) 可积，那么该序列的控制集 {Wn} 的极限 (as n→∞) 是一个确定的随机变量，称为随机变量序列 {Xn} 的控制极限。

更具体地说，如果 {Xn} 是一个可列可加的随机变量序列，并且其均值函数 F(x) 可积，那么有:
- 当 Xn 是独立随机变量时，控制集的极限为 Xn 的期望值: limn→∞P(Wn)=E(Xn)
- 当 Xn 是独立同分布随机变量时，控制集的极限为 Xn 的均值:
limn→∞P(Wn)=E(Xn)
Lebesgue 控制收敛定理给出了随机变量序列在概率意义下的控
制收敛性的定义和性质。

它为我们提供了一种在概率意义下控制随机变量序列的方法，并且为我们提供了一种计算随机变量序列的控制极限的方法。

该定理的应用非常广泛，包括统计学、控制论、信号处理等领域。

实变函数三大积分收敛定理计算题

实变函数三大积分收敛定理计算题一、实变函数三大积分收敛定理概述实变函数的三大积分收敛定理分别是：Lebesgue控制收敛定理、dominated收敛定理和Fubini定理。

它们在数学分析中起着至关重要的作用，为我们将复杂问题转化为简单问题提供了有力的工具。

1.Lebesgue控制收敛定理：若函数列{f_k}在区间E上可积，且在E上几乎处处收敛于函数f，那么在E上存在非负函数F，使得F在E上勒贝格可积，且对任意k，有f_k(x)≤F(x)，那么{f_k}在E上的勒贝格积分极限存在，且极限值为f(x)的勒贝格积分。

2.Dominated收敛定理：若函数列{f_k}在区间E上可积，且存在一个函数g在E上可积，使得对任意x∈E，有|f_k(x)|≤g(x)，那么{f_k}在E上的积分极限存在，且极限值为f(x)的积分。

3.Fubini定理：若函数f(x, y)在区域D上可积，那么f(x, y)关于x和y的积分可以交换顺序计算，即∫∫f(x, y)dxdy = ∫f(x, y)dy∫dx。

二、积分收敛定理在实际问题中的应用积分收敛定理在实际问题中有着广泛的应用，如求解极限、计算定积分等。

通过运用这些定理，我们可以将复杂的问题转化为更容易解决的问题，从而简化问题的处理过程。

三、计算题实例分析以下为一个利用Lebesgue控制收敛定理求函数列Lebesgue积分的极限的实例：设f_k(x) = kln(kx)e^(-kx)cos(kx)，k为正整数。

求{f_k}在区间[0, 1]上的勒贝格积分极限。

解：首先分析函数列{f_k}的性质。

易知cos(kx)是[0, 1]上的连续函数，ln(kx)和e^(-kx)是[0, 1]上的可测函数。

根据实变函数的相关定理，可得f_k(x)在[0, 1]上可积。

由Lebesgue控制收敛定理，若存在非负函数F(x)在[0, 1]上勒贝格可积，且对任意k，有f_k(x)≤F(x)，那么{f_k}在[0, 1]上的勒贝格积分极限存在，且极限值为f(x)的勒贝格积分。

lp空间上的勒贝格控制收敛定理

lp空间上的勒贝格控制收敛定理LP空间（Lebesgue space）是一种在函数空间理论中常用的空间，在分析学和数学物理学中有广泛的应用。

勒贝格控制收敛定理是关于LP空间的一项重要结果，它给出了在收敛性质上的一个有力保证。

本文将介绍LP空间的基本概念，并详细阐述勒贝格控制收敛定理的原理和应用。

我们来了解一下LP空间的定义。

LP空间是由可测函数组成的集合，其范数由勒贝格测度给出。

设（Ω，Σ，μ）是一个完备的测度空间，其中Ω是定义域，Σ是Ω上的σ-代数，μ是定义在Σ上的测度。

对于一个可测函数f：Ω→R，定义其p阶勒贝格范数为：||f||p = （∫|f|^p dμ）^(1/p)其中1 ≤ p < ∞。

当p = ∞时，勒贝格范数定义为：||f||∞ = ess sup|f|LP空间是所有具有有限p阶勒贝格范数的可测函数的集合，记作Lp(Ω)。

LP空间是一个线性空间，并且具有范数结构。

不同的p值对应着不同的LP空间，例如L1(Ω)是绝对可积函数的集合，L2(Ω)是平方可积函数的集合等。

在LP空间上，我们可以定义收敛性和收敛的几种模式。

一般来说，我们关心两种收敛模式：几乎处处收敛和勒贝格控制收敛。

几乎处处收敛是指对于几乎所有的点ω∈Ω，序列{fn(ω)}在极限n→∞时都收敛到同一个值f(ω)，即：lim(n→∞) fn(ω) = f(ω)，几乎处处ω∈Ω这种收敛模式是最常见的，也是最容易理解的。

但是，几乎处处收敛并不能保证在范数意义下的收敛。

勒贝格控制收敛是一种强收敛模式，它在LP空间中给出了一个更强的收敛保证。

勒贝格控制收敛是指对于任意给定的ε > 0，存在一个集合E ⊂ Ω，使得μ(E) < ε，并且对于所有的n > N（N是一个固定的自然数），有：||fn - f||p < ε，对于所有的ω∈Ω\ E这意味着在集合Ω减去一个测度足够小的集合E后，序列{fn}在范数意义下收敛到f。

叙述lebesgue控制收敛定理

叙述lebesgue控制收敛定理
Lebesgue控制收敛定理是一个几何结构的重要定理，它的内容是指在一个分
散的空间里，如果存在一个满足lebesgue定义的收敛度控制函数，那么空间内的所有函数也将收敛至同一点。

Lebesgue控制收敛定理的确切描述是：设X为一个距数值空间，f是X上的函数，g是一个Lebesgue控制函数，当f的收敛度满足g时，称f对X控制收敛。

这就是所谓的Lebesgue控制收敛定理。

Lebesgue控制函数g一般是单调减小的函数，它以一个适当的正实数δ为界限，使得当x距离给定点变化超过δ时，f（x）有一定比率地减小。

这样定义使得在一个距离很大的空间里，所有满足lebesgue控制函数的函数会有相同的收敛结果。

Lebesgue控制收敛定理的实质是证明了X内的每个函数收敛至同一个点，这
样使得在几何结构中能预测每个函数的收敛结果，从而更加简单地研究这一几何结构。

总之，Lebesgue控制收敛定理是指在一个距数值空间内，如果满足Lebesgue
控制函数的所有函数都会收敛至同一点，这个定理提供的几何结构的一种非常有用的性质，常常被应用于数学归纳和定理证明。

勒贝控制收敛定理及其他格

勒贝格控制收敛定理及其他莱维单调收敛定理：.1.lim ,I }{lim )}){}{⎰⎰⎰∞→∞→=In n I n I n n n n s ff s s b I s a s 且有极限函数上几乎处处收敛于一个在则存在，上是递增的，在区间使得是一个阶梯函数序列，理：设关于阶梯函数的莱维定2. (关于勒贝格可积函数序列的莱维定理)设}{n f 是)(I L 中的一个函数序列，使得a)}{n f 在I 上几乎处处是递增的，b)⎰→I n n n f lim 存在，则}{n f 在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数f,且有.lim ⎰⎰→=In n n I f f3. (关于勒贝格可积函数级数的莱维定理)设}{n g 是)(I L 中的一个函数序列，使得a)每个}{n g 在I 上几乎处处是非负的，b)级数∑⎰∞=1n In g收敛，则级数∑⎰∞=1n I n g 在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数,且有⎰∑⎰∑⎰∞=∞===I i In i n I g gg 11. 4．设}{n g 是)(I L 中的一个函数序列，使得级}{n f 数∑⎰∞=1||n I n g是收敛的，则级数∑⎰∞=1n I n g在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数,且有⎰∑⎰∑∞=∞==I i I n i n g g11. 5 . (勒贝格控制收敛定理) 设}{n f 是区间I 上的一个勒贝格可积函数序列. 设a) }{n f 在I 上几乎处处收敛于一个极限函数f ,b) 在)(I L 内有一个非负函数g 使得对于一切1≥n 都有I ..),(|)(|于e a x g x f n ≤则极限函数)(I L f ∈,序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎰I n x f )(收敛，且.lim ⎰⎰→=In n n I f fb)可表述为}{n f 在I 上几乎处处被g 控制6. 设I 是一个有界区间，假设}{n f 是)(I L 中的一个函数序列，它在I 上几乎处处有界收敛，即，存在一个极限函数f 和一个正常数M ，使得在I 上几乎处处有,|)(|),()(lim M x f x f x f n n n ≤=∞→则.lim ),(⎰⎰=∈→II n n n f f I L f 7 . (勒贝格可积性) 设}{n f 是L(I)中的一个函数序列. 它I 上几乎处处收敛于一个极限函数f .若在)(I L 内有一个非负函数g 使得对于一切1≥n 都有I ..),(|)(|于e a x g x f ≤则极限函数)(I L f ∈.8．设f 在半无穷区间),[+∞=a I 上有定义，假定对每个a b ≥，f 在紧区间[a,b]上是勒贝格可积的，而且存在一个正常数M ，使得对于每个a b ≥都有⎰≤b a M f ,|| 则)(I L f ∈，极限⎰+∞→b a b f lim 存在，且⎰⎰+∞→+∞=b a b a f f lim阶梯函数的极限函数类比勒贝格可积函数类要大，该类中的函数称为可测函数由勒贝格积分定义的函数的连续性设X 和Y 是不是R 的两个子区间，f 是定义在Y X ⨯上的函数，它满足以下条件 a) 对Y 中的每个y ，在X 上由下式),()(y x f x f y =定义的函数)(x f y 在X 上是可测的.b) 在)(X L 内存在一个非负函数g,使得对任意的Y y ∈都有.X ..),(|),(|于e a x g y x f ≤c) 对Y 中固定的y 有.X ..),,(),(lim 于e a y x f t x f yt =→ 于是勒贝格积分⎰X dx y x f ),(对Y 中的每个y 都存在，而且由等式 ⎰=X dx y x f y F ),()(定义的函数F 在Y 上连续.积分号下的微分法设X 和Y 是不是R 的两个子区间，f 是定义在Y X ⨯上的函数，它满足以下条件 a) 对Y 中的每个y ，由等式 ),()(y x f x f y =定义的函数)(x f y 在X 上是可测的，且对于Y 内的某个点a 有).(X L f a ∈.b) 对于Y X ⨯的每个内点(x,y),偏导数.),(2存在y x f Dc)在)(X L 内存在一个非负函数G ,使得对于Y X ⨯的全部内点都有),.(|),(|2x G y x D ≤那么勒贝格积分⎰X dx y x f ),(对Y 中的每个y 都存在，其导数为 ⎰=X dx y x f D y F ),()('2即求导和求积分可交换次序.••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。

勒贝格控制收敛定理基本用途

勒贝格控制收敛定理基本用途勒贝格控制收敛定理（Lebesgue's Dominated Convergence Theorem）是实分析中的一项重要定理，它可以用来求解极限、积分和级数等各种数学问题。

本文将从基本的控制收敛定理开始介绍，然后详细说明它的基本用途。

勒贝格控制收敛定理是由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Lebesgue）证明提出的，它提供了在函数序列可控制并且满足一些条件下，可以交换极限运算符和积分运算符的条件。

在数学上，它属于测度论的一部分。

具体来说，如果有一个函数序列{f_n(x)}满足以下条件：1.对于所有的n，函数f_n(x)在一些测度为零的集合上有界，即存在一个实数M，使得，f_n(x)，≤M，几乎处处成立；2.存在一个可积函数g(x)，使得对于几乎处处的x，有，f_n(x)，≤g(x)，对于所有的n成立。

那么，我们可以得到以下结论：1.对于几乎处处的x，函数序列{f_n(x)}收敛于函数f(x)；2. 序列{f_n(x)}的极限函数f(x)也是可积的，并且有∫，f_n(x)-f(x)，dx→0，即函数序列的积分与其极限函数的积分之差趋于零；3. 使用交换积分和极限运算符的公式，可得∫f(x)dx = lim(n→∞) ∫f_n(x)dx。

上述结论是勒贝格控制收敛定理所述的基本内容。

接下来我们将介绍它的基本用途。

首先，勒贝格控制收敛定理可以用于求解极限。

在实际应用中，我们经常遇到需要求解一个函数序列的极限的问题。

使用勒贝格控制收敛定理，我们可以通过找到一个可控制函数序列和一个可积函数来确定极限函数。

这为我们求解各种函数的极限问题提供了一种有效的方法。

其次，勒贝格控制收敛定理可以用于求解积分。

当我们需要计算一个函数的积分时，有时会遇到难以直接计算的情况，比如被积函数不连续或者复杂。

通过构造一个逐点收敛于被积函数的可控制函数序列，再根据勒贝格控制收敛定理，我们可以将积分与极限运算符交换，从而将复杂的积分问题转化为易于计算的极限问题。

lebesgue积分的几个充要条件

lebesgue积分的几个充要条件
1．可积函数应是限制的：即函数的值的的模有一个有限的上界。

2．可积函数应是可导的：但不要求在每一点都可导，只要局部可导性就行。

3．可积函数的反函数正的部分的积分应是有界的。

4．可积函数的第二次及以上反函数偏导数应是可积的函数。

5．可积函数应是上下连续的，即其在任一点旁附近的每点上有限个不同值，尽管两个相邻点上连续函数的值可能不相同。

6．可积函数应是断点函数，但断点处的变化要可积。

7．可积函数不必连续，但其在每一定义域上应是一次可积。

8．可积函数的子集与子集的求积分应有一一对应关系，并且可由子集到子集求积分的结果关系来实现集合的有序化。

关于Lebesgue控制收敛定理的条件

论文的结构及主要内容
• 本文主要由三部分组成 • 第一部分为引言和预备知识，主要介绍了论文的写作依据和一些相关的定义和定理 • 第二部分给出了Lebesgue控制收敛定理及证明过程和在积分运算中的应用 • 第三部分是本文的重点内容，主要包括Lebesgue控制收敛定理中的一个重要特例， Lebesgue控制收敛定理的条件作明显减弱之后得出的三个推论以及 Lebesgue控制收敛定理点
1引言及预备知识 1.1引言 1.2预备知识 2 Lebesgue控制收敛定理 3Lebesgue控制收敛定理中的条件 3.1 Lebesgue控制收敛定理中的一个重要特例 3.2 Lebesgue控制收敛定理的条件可以作明显减弱 3.3 Lebesgue控制收敛定理中的可积的控制函数的不可缺少性 3.3.1控制函数的可积性 3.3.2控制函数的不可缺少性 4 全文总结参考文献致谢
结论
Lebesgue控制收敛定理为积分和极限次序的交换提供了充分条件, 并且有着广泛的应用. 对定理的条件作适当的减弱之后,定理结论仍然成立, 但定理条件中可积的控制函数是不可缺少的.
参考文献
• [1]郑维行,王声望编. 实变函数与泛函分析概要（第三版.第一册）[M]. 北京:高等教育出版社,2005.4:91-145. • [2]玛哈提.胡斯曼.勒贝格积分极限定理记住[J].新疆大学学报,2011.30 （2）:1-4. • [3]周民强编.实变函数论[M].北京:北京大学出版社,2001.7:183 -185. • [4]夏道行，吴卓人，严绍宗，舒五昌编著 .实变函数论与泛函分析（上册.第二版）[M].北京:高等教育出版社,2010.1:173-176. • [5]曹广福编.实变函数论与泛函分析（上册.第二版）[M].北京:高等教育出版社,2004.5:85-88. • [6]侯友良编著.实变函数基础[M].武汉:武汉大学出版社,2001.10:121125.

Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用

Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理是实分析中重要的定理，它们在测度论、积分论以及概率论等领域有着广泛的应用和推广。

本文将首先介绍Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理的基本概念和定理内容，然后探讨它们在实际问题中的应用及推广。

一、Fatou引理Fatou引理是测度论中的一个重要定理，它描述了非负可测函数序列的积分性质。

具体来说，如果有一列非负可测函数{fn}，则其逐点极限的下积分不大于其逐点极限的下极限的积分，即∫lim inf fn ≤ lim inf ∫fn这个定理的重要性在于它在测度论中具有广泛的应用，特别是在概率论中。

例如在概率论中，可以用Fatou引理来证明随机变量序列收敛到某个随机变量时，其期望收敛到该随机变量的期望。

二、Lebesgue控制收敛定理Lebesgue控制收敛定理是关于可测函数序列的收敛性的一个重要定理。

具体来说，如果存在一个可积函数g，使得对于所有的n，有|fn(x)|≤g(x)几乎处处成立，则当n趋向于无穷时，fn收敛到f几乎处处成立，并且有lim ∫|fn-f| = ∫lim|fn-f| = 0n→∞Lebesgue控制收敛定理的重要性在于其可以推广到广泛的函数类别，例如可测函数、几乎处处有限的函数等。

这使得该定理在实际中有着广泛的应用。

三、Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理的推广及应用1. 推广Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理都可以推广到更一般的情况。

例如对于可测函数而言，可以将Fatou引理推广到Fatou定理，即逐点极限的下积分不大于其下极限的积分；Lebesgue控制收敛定理也可以推广到其他函数类别中，例如可积函数、Lp空间等。

2. 应用这两个定理在实际问题中有着广泛的应用。

在测度论中，Fatou引理可以用于证明随机变量序列的期望的性质；在积分论中，Lebesgue控制收敛定理可以用于证明函数序列的收敛性及与极限函数的关系；在概率论中，这两个定理也有着重要的应用。

Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用

Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理是测度论中重要的定理，它们在分析、概率论等领域有着广泛的应用。

本文将对这两个定理进行推广，并探讨它们在实际问题中的应用。

首先我们来看一下Fatou引理的推广。

Fatou引理是指对于一个非负可测函数序列{fn}，如果存在一个非负可测函数f，使得fn(x)在几乎处处收敛于f(x)，那么有∫lim inf fn(x)dx ≤ lim inf∫ fn(x)dx其中lim inf fn(x)表示函数序列fn(x)的下极限，即n→∞时fn(x)取极限的最小上确界。

Fatou引理的原始版本是对非负可积函数而言的，而针对一般可积函数也可以进行类似的推广。

另一个需要注意的是Lebesgue控制收敛定理，这一定理是说如果存在一个可积函数g(x)，使得|fn(x)| ≤ g(x) 对几乎所有x成立，并且fn(x)几乎处处收敛于f(x)，那么有这个定理的意义在于，在某些条件下，我们可以通过控制函数序列的绝对值大小，来保证它的收敛性。

接下来我们将探讨这两个定理在实际问题中的应用。

首先是Fatou引理。

在概率论中，我们经常需要对随机变量的分布进行研究，而随机变量的分布可以看作是一个函数序列，而在进行分布的研究时，我们往往需要对函数序列的极限进行讨论。

Fatou引理告诉我们，对于非负可积函数序列，我们可以通过极限函数f的存在来推断极限的存在性。

这对于概率分布的研究是非常重要的，因为它可以保证我们的推断是合理的。

Lebesgue控制收敛定理在实际问题中也有着广泛的应用。

在信号处理领域，我们经常需要对信号的频谱进行分析，而频谱可以看作是一类函数序列。

Lebesgue控制收敛定理告诉我们，如果我们能够找到一个可积函数g(x)，使得函数序列的绝对值都不超过g(x)，并且函数序列收敛于某个函数f(x)，那么我们就可以得到函数序列的收敛性。

Lebesgue控制收敛定理的证明及应用

Lebesgue控制收敛定理的证明及应用
张孟娟;金瑾
【期刊名称】《毕节学院学报》
【年(卷),期】2016(034)006
【摘要】通过引入Lebesgue积分与Riemann积分的关系,仔细比较两个积分的优越性,进而详细地阐述了Lebesgue控制收敛定理的证明及其应用.首先给出了Lebesgue控制收敛定理并对其进行证明,其次再举例说明其基本的应用,最后,指出该定理的不足之处并给出条件稍宽松的定理,从而可为解题带来便利,为理解并掌握Lebesgue控制收敛定理及应用提供指导.
【总页数】9页(P125-133)
【作者】张孟娟;金瑾
【作者单位】贵州工程应用技术学院理学院,贵州毕节551700;贵州工程应用技术学院毕节循环经济研究院,贵州毕节551700
【正文语种】中文
【中图分类】B84
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